(龙版)第三章经典习题答案

第三章 练习题一、填空题：1．设随机变量ξ与η相互独立且具有同一分布律：则随机变量ηξζ+=的分布律为：2．随机变量ξ服从（0,2）上均匀分布，则随机变量ξη2=在（0,4）的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧=041)(y y f η其他4〈〈y o )()()()()()()()(2y F y F y p y p y y p y p y p y F --=-≤-≤=≤≤-=≤=≤=ξξηξξξξηyy O y y F y f 41212121)()(/=∙+∙==ηη 3．设x 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中的概率为0.4，则x 2的数学期望E (x 2) ＝ DX+（EX ）2=2.4+16=18.4 。

4．设随机变量x 服从 [1, 3 ] 上的均匀分布，则E (x 1)＝⎰=∙32121113Ln dx x5．设DX ＝4，DY ＝9，P XY ＝0.5，则D (2x – 3y) ＝4Dx+9Dy-2cov(2x,3y)=61 。

6．若X 与Y 独立，其方差分别为6和3，则D(2X －Y)＝___27_______。

二、单项选择：1．设离散型随机变量（ηξ,）的联合分布律为： 若ξ与η独立，则α与β的值为： （ A ）A ．α＝92，β＝91B ．α＝91，β＝92C ．α＝61，β＝61D ．α＝185，β＝18131)311819161(1=+++-=+βα还原为（ηξ,）：2. 设（X ，Y ）是一个二元随机变量，则X 与Y 独立的充要条件是：（ D ） A 、 cov （X,Y ）= 0 B 、)()(i j i ij X Y P X P P = C 、 P = 0 D 、j i ij P P P ⨯=3．已知（X ，Y ）的联合密度为=)(x ϕ 04xy 其它1,0≤≤y x ，则F （0.5，2）=（B ）A 、0B 、0.25C 、0.5D 、0.1414425.015.005.001===⎰⎰⎰⎰ydy xdx xydxdy F ），（=0.25 4．如果X 与Y 满足D （X ＋Y ）＝D （X －Y ），则必有 （ ）A ．X 与Y 独立B ．X 与Y 不相关C ．D （Y ）＝0 D ．D （X ）D （Y ）＝0BE E E 故选），（））（（00cov 0=⇒=⇒=--ρηξηηξξ5．对任意两个随机变量X 和Y ，若E （X ，Y ）＝E （X ）E （Y ），则 （ B ） A ．D （XY ）＝D （X ）D （Y ） B ．D （X ＋Y ）＝DX ＋DY C ．X 和Y 独立 D ．X 与Y 不独立6．设DX ＝4，DY ＝9，P XY ＝0.5，则D （2X －3Y ）＝＿＿＿＿。

（ C ） A ．97 B ．79 C ．61 D ．29 7．设已知随机变量ξ 与η的相关系数0=ρ，则ξ与η之间的关系为： （ D ） A. 独立 B. 相关 C. 线性相关 D. 线性无关 8． 设X, Y 为两个独立的随机变量, 已知X 的均值为2, 标准差为10, Y 的均值为4, 标准差为20, 则与Y X -的标准差最接近的是[ D ]A 10B 15C 30D 22500400100=+=+=-DY DX X Y D ）（9．设随机变量X ～N （－3，1），Y ～N （2，1），且X 与Y 独立，设Z ＝X －2Y ＋7，则Z ～（ A ）A ．N （0，5）B ．N （0，－3）C ．N （0，46）D ．N （0，54） DZ=D （X —2Y+7）=5， EZ=E （X —2Y+7）=010．设两个相互独立的随机变量X 和Y ，分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则 （ B ）A ．P (x + y ≤0) = 21B ．P (x + y ≤1) =21 C ．P (x －y ≤0) = 21D ．P (x －y ≤1) = 21E （X+Y ）= EX + EY = 1，以1为中心的正态分布大于1小于1各为1/2三、计算题：1. 设（X ，Y ）~ ),(y x ϕ= 0)(y x ce +- 其它0,0>>y x 求：① 确定C ② F （x ，y ） ③ 验证X 与Y 的独立性 解：① 根据二元随机变量密度函数的性质：1110=⇒==⎰⎰⎰⎰∞+∞++-+∞∞-+∞∞-c dxdy ce dxdy y x y x ）（即），（ϕ② 根据二元随机变量分布函数：⎩⎨⎧--=--===----+-∞-∞-⎰⎰⎰⎰，其它，），）（（））（（），（），（）（00011110y x e e e e dxdy e dxdy y x y x F y x y x xyy x xyϕ③ 分别求出X 与Y 的边缘密度函数满足：相互独立。

与故），（）（）（Y X y x y x Y X ϕϕϕ=∙2. 离散型二维随机变量（X ，Y ）的分布为： Y\X 1 2 3 0 3/16 3/8 a 1 b 1/8 1/16 问：a ，b 分别取什么值时，X 与Y 是相互独立的？解：依据独立的充分必要条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=⇒=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+161411631634316981841638384169b b a a b a ）（）（3求：（1）EX ，EY ，DX ，DX （2）xy ρ（3）D （X ＋Y ），并说明X 与Y 是否独立。

（1）EX=0EY=0 DX=43 DX=43 （2）Pxy=DYDX Y X ),cov(0),cov(=-=EXEY EXY Y X∴Pxy=o（3）2304343),cov(2)(=++=++=+y x Dy Dx y x D 81)1,1(649)1()1(=-=-=≠=-=-=y x p y p x P 由于 ∴X 与Y 不独立。

4．设二维随机向量（X,Y ）~ U(D), 其中D={ (x, y) | 0 ≤x ≤1,0≤y ≤1}, 求X 与Y 的边缘密度函数()x f X 与()x f Y .离散分布与数字特征1. 离散型二维随机变量（X ，Y ）的分布为： Y\X 1 2 3 0 3/16 3/8 a 1 b 1/8 1/16问：a ，b 分别取什么值时，X 与Y 是相互独立的？ 2. 二维随机变量（X ，Y ）的联合分布如下：求： (1)X 、Y 的边缘概率分布 P(Y|x=1) 下的条件概率, X=1时Y 的条件分布 (2)X+Y , XY , Min(X,Y) , Max(X,Y) 的概率分布（3）EX ，EY ，DX ，DX EXY ，EXY ，Emin(X,Y)，Emax(X,Y) （4）xy ρ，D(X+Y), D(2X-3Y)（5）并说明X 与Y 是否相关？是否独立。

连续分布及其数字特征3． 设（X ，Y ）~ ),(y x ϕ= 0)(y x ce +- 其它0,0>>y x 求：① 确定C ② F （x ，y ） ③ 验证X 与Y 的独立性4．X ～ae −ax ,x>0; Y ～be −by , y>0;X 与Y 相互独立，求U=X+Y ，V=X-Y 的密度函数？指数分布+指数分布5．设二维随机向量（X,Y ）~ U(D), 其中D={ (x, y) | 0 ≤x ≤1,0≤y ≤1}, 求： （1）X 与Y 的联合密度f(x,y), 边缘密度函数()x f X 与()x f Y ； (2) X 、Y 的联合分布函数F(x,y)；边缘分布函数()x F X 与()x F Y ；(3) X+Y, X-Y 的概率密度函数； (4) EX, EY, EXY , DX, DY (5) cov(X,Y), ρ ,D(X+Y)(6) F X|Y=y (x), F X|Y ≤y (x), f X|Y=y (x), f X|Y ≤y (x), P(X ≤0.5|Y=0.3), P(X ≤0.5|Y ≤0.3),中心极限定理的应用：6．某餐饮（/酒店/旅游集团/零销商业）集团销售总监发现，在该集团旗下餐饮店（/酒店/旅游公司/商店）中用餐（/住店/参加旅游团/购物）的顾客，有70%会成为回头客，某星期该公司进行广告促销活动，经理在调查中发现，80%的顾客是第一次来该店消费，那么有多大概率保证当天总数中的60%或者更多的人会再次光临呢？提示：二项→泊松/正态 解：P=0.7, 设促销活动中，有n 个顾客光临，0.8n 个首次光顾； 设X=n 个顾客中，再次光临的人数，X ～b(0.8n,P) 由于P=0.7 X ～b(0.8n, 0.7) →X ～N(0.56n, 0.168n)P(X ≥0.6n)=1−F(0.6n)=1−Φ[(0.6n −0.56n)/n 168.0]例如，如果促销当天100人消费，其中80人属于第一次消费，则 P(X ≥60)=1−F(60)=1−Φ[(60−56)/8.16]=1-0.834=0.166注：本题并没有考虑回头客，再度回头的可能性！如果回头客再次回头的概率是100%！ 则P(全部人数超过六十人回头)=P(X>40)=1-F(40)= 1−Φ[(40−56)/8.16]=17．交通部门进行的一项研究表明，所有机动车辆盗窃案件中，遭窃的车主80%不能找回自己的车，问：某省第一季度发生了200起机动车辆盗窃案件，试问其中至少170起涉案车辆不能被追回的概率；解：X1,X2,…,X200分别表示200起盗窃案车主不能找回车辆，Xi ～b(1,0.8)， X=200辆不能被破获的数量X=X1+X2+…+X200～b(200,0.8) → X ～N(160,160)P(X>170)=1-F(170)=1-F[(170-160)/(410)]=1-Φ(0.7906)=1-0.7852=0.2148 P(X>150)=Φ(-0.7906)=0.78528．PICC 保险公司推广一项房屋财产保险，每份保单须交纳1000元，担保期限为30年，如果房屋出现非人为损坏，保险公司赔偿50万元。

根据过去数据可以预计，和平年代30年内房屋出现非人为损坏的概率为万分之一，已知该公司已有100万顾客参加该保险，问： 1）公司在该项目上盈利的概率； 盈利超过9亿的概率；2）根据所有可能赔付情况，求该公司在该项目上盈利的平均值。

解：1) X=100万客户中，需要赔偿的客户数；X=X 1+…+X 1000000～N(100,99.99) 总收入1000∙1000000=10亿，10亿元=赔付2000客户 P(盈利)=P(X<2000)=Φ(1900/10)=1P(盈利超过九亿)=P(X<200)=F(200)=Φ(100/10)=1 2)分段求EX,节略！9．已知某餐饮集团公司调查该公司某特色菜肴的销售状况，按照过去几个月的销售状况，得到以下数据：某特色菜肴在所有菜单中占有10%概率，每单需原材料1个单位；预计该公司未来一周内菜单总数将达到1000单。