高三数学一轮复习第七篇不等式第1节不等关系与不等式课件理
2019版高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件理
方法技巧
比较两个数(式)大小的两种方法
1-1 已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系
是 ( A ) A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b
答案 A ∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,
∴c≥b. ∵b+c=6-4a+3a2, ① c-b=4-4a+a2, ② 由①-②得2b=2+2a2, ∴b=1+a2.
当m=0时,f(a)=f(b); 当m≠0时,m2>0, 又a>b>1,∴f(a)<f(b). 综上,f(a)≤f(b).
考点二
不等式的性质
1 1 a b
典例2 (1)若 < <0,则下列结论不正确的是 ( A.a2<b2 C.a+b<0
a b c d a b C. > d c
)
B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+lt;
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1), ∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N.故选B. (2)易知a,b都是正数, = =log89>1,所以b>a.
b 2ln 3 a 3ln 2
1 3 ∵b-a=1+a2-a= >0, a + 4 2
2
∴b>a.即c≥b>a.
1-2
m2 x 已知m∈R,a>b>1, f(x)= ,则f(a)与f(b)的大小关系是 ( x 1
高三数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件理
A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b)
C.f(a)≤f(b) D.不确定
答案
C
∵f(a)= m 2 a, f(b)=
m
2
,
b
a 1b 1∴f(a)-f(b= m 2 a- m =2 bm2
a1 b1
a
a 1
b
b 1
=m2·a(b=m1)2·b(a,1)
ba
(a1)(b1)
(a 1)(b 1)
b
(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变. (×) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小. (×) (5)同向不等式具有可加性和可乘性. (×)
1.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)解法一: c ⇒d c0<dcd<00⇒0
<c
cd
<0d ⇒
cd
1⇒ 1 >
dc
1 1 0 dc a b 0
(2)易知a,b都是正数, b =2 l n 3=log89>1,所以b>a.
a 3 ln 2
方法技巧 比较两个数(式)大小的两种方法
1-1 (2016长春模拟)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a, b,c的大小关系是 ( ) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
<1
b
x
(2)有关分数的性质
2020版高考(文)大一轮复习：第7章 1 第1讲 不等关系与不等式
A．ac2>bc2
B. ab>1
பைடு நூலகம்
C．a－c>b－c
D．a2>b2
解析：选 C.当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以选项 A 错误；当 b＝0 时，ab无意义，所以选项 B 错误；因为 a>b，所以 a－c>b－c 恒成立，所以选项 C 正确；当 a≤0 时，a2<b2，所以选项 D 错 误．故选 C.
栏目 导引
所以－52<52(x＋y)<10，1<12(x－y)<32， 所以－32<52(x＋y)＋12(x－y)<223， 即－32<3x＋2y<223， 所以 3x＋2y 的取值范围为－32，223.
第七章 不等式
栏目 导引
第七章 不等式
求代数式取值范围的方法 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式 的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是 利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围， 是避免错误的有效途径．
栏目 导引
第七章 不等式
1．设 α∈－π6，π2，β∈[0，π]，那么 2α－β3的取值范围是(
)
A.0，23π
B.－π3，23π
C.－π3，23π
D.－23π，π
解析：选 D.由题设得－π3<2α<π，0≤β3≤π3，所以－π3≤－β3≤0，
会解一元二次不等式，对给定的一元二
次不等式，会设计求解的程序框图.
第七章 不等式
第 1 讲 不等关系与不等式
第七章 不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔___a_>__b___；a－b＝0⇔___a_＝___b__；a－b<0⇔___a_<__b___． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒__a_＞___c___．
高三数学一轮复习 第七篇 不等式 第1节 不等关系与不等式课件 理
3.(2015 保定校级期末)若 P= a 2 + a 5 ,Q= a 3 + a 4 (a≥0),则 P,Q 的大小关系为( C ) (A)P>Q (B)P=Q (C)P<Q (D)由 a 的取值确定
解析:因为 a≥0,P>0,Q>0, 所以 Q2-P2=2a+7+2 a2 7a 12 -(2a+7+2 a2 7a 10 ) =2( a2 7a 12 - a2 7a 10 )>0. 所以 P<Q.
【即时训练】 已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如表:
甲
乙
维生素 A(单位/kg)
600
700
维生素 B(单位/kg)
800400Fra bibliotek设用甲、乙两种食物各 x kg,y kg 配成至多 100 kg 的混合食物,并使混
合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B,则 x,y
a＞b
c＞0
⇒
ac>bc
a＞b c＜0
⇒
ac<bc
a＞b
c＞d
⇒
a+c>b+d
a＞b＞0 c＞d＞0
⇒
ac>bd
a>b>0⇒ an>bn (n∈N,n≥2)
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N,n≥2)
注意 ⇔ ⇒ ⇔
c 的符号
⇒
⇒ a,b 同为正数
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ①a>b,ab>0⇒ 1 < 1 .
第1节 不等关系与不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中的 不等关系.
【高考精品复习】第七篇 不等式 第1讲 不等关系与不等式
第1讲 不等关系与不等式【高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用． 【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ； ②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd ；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a . (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m (b －m ＞0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴①不正确；a ＞|b |≥0，a 2＞|b |2＝b 2，∴②正确；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0，∴③正确；取a ＝2，b ＝－3，则|a |＞b ，但a 2＝4＜b 2＝9，∴④不正确．答案 B2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h答案 D3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a＞b /⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案 B4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d解析由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.答案 D5.12－1与3＋1的大小关系为________．解析12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1.答案12－1＜3＋1考向一比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点] 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.ab ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析 令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故ab ＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．答案 D考向二 不等式的性质【例2】►(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[审题视点] 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． 解析 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ， ∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C. 答案 C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 命题1：若ab ＞0，c a ＞db ，则bc ＞ad ； 命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞db ； 命题3：若c a ＞db ，bc ＞ad ，则ab ＞0. 答案 D考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围． 解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b . ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. [审题视点] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证． 证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b . ∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c ＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式． 【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0， 求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法【示例】►(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x)|B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a。
2025届高中数学一轮复习课件《不等式与不等关系》ppt
B．2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b
C．a＋1b＜log2(a＋b)＜2ba
D．log2(a＋b)＜a＋1b＜2ba
1 解析：令 a＝3，b＝13，则 a＋1b＝6，1＜log2(a＋b)＝log2130＜2，2ba＝233＝214，即 a＋1b＞
log2(a＋b)＞2ba.故选 B．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第21页
方法二(作商法)：∵p＝a3a＋bb3＝a＋baa2－b ab＋b2， ∴pq＝a2－aabb＋b2≥2aba－b ab＝1， 应用基本不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时等号成立. 此题还有另一妙解：p＝ba2＋ ab2＝ba2＋a＋ab2＋b－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q. 当且仅当 a＝b 时等号成立． ∵q＜0，∴p≤q.故选 B．
解析 答案
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重难题型 全线突破
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题型 不等式简单性质的理解
典例 1(1)若 a，b 都是实数，则“ a－ b＞0”是“a2－b2＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出1a＜1b成立 的是________．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
4．“a＋b＞2c”的一个充分条件是( )
A．a＞c 或 b＞c
B．a＞c 且 b＜c
C．a＞c 且 b＞c
D．a＞c 或 b＜c
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解析：对于 A，a＞c 或 b＞c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 A 错误；对于 B，a＞c 且 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 B 错误；对于 C，a＞c 且 b＞c，由同向不等式相加的 性质，可以推出 a＋b＞2c，故 C 正确；对于 D，a＞c 或 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立， 故 D 错误．故选 C．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式课件 理
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二、教材衍化 1．若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A. a－ b>0⇒ a> b⇒a>b⇒a2>b2， 但由 a2－b2>0⇒/ a－ b>0.
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【迁移探究 1】 (变条件)若将本例条件改为“－1<x<y<3”，求 x－y 的取值范围．
解：因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4. 又因为 x＜y，所以 x－y<0，所以－4<x－y<0， 故 x－y 的取值范围为(－4，0)．
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1．若 a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是
A.ac－bd>0
B．ac－bd<0
C.ad>bc
D．ad<bc
解析：选 D.因为 c<d<0，所以 0<－d<－c， 又 0<b<a，所以－bd<－ac，即 bd>ac，
又因为 cd>0，所以bcdd>acdc，即bc>ad.
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4．若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论①ad>bc；②ad＋bc<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d
－c)中，成立的个数是
()
高三数学总复习导与练 第七篇第一节配套课件（教师用） 理
2．实数比较大小的常用方法 (1)作差法：a，b∈R a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b. (2)作商法：a，b∈R＋ ab＞1⇔a＞b； ab＝1⇔a＝b； ab＜1⇔a＜b.
作商法的适用范围较小，且限制条件较多，因而用的较少，一般问题可以 利用作差法比较大小．
(3)分母(分子)有理化 形如： a＋1－ a与 a－ a－1比较大小． (4)根据不等式的基本性质或常用结论进行比较． (5)利用函数的单调性比较大小．
解：设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，则
40x＋90y≤1000，
x≥5， y≥6， x，y∈N*，
4x＋9y≤100，
x≥5， 即
y≥6，
x，y∈N*.
将实际问题中的不等关系写成相应的不等式时，应注意关键性的文字语言 与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等．
解：(1)因未知 c 的正负或是否为零，无法确定 ac 与 bc 的大小，所以是假命题． (2)因为 c2≥0，所以只有 c≠0 时才正确．c＝0 时，ac2＝bc2，所以是假命题． (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命题是真命题．
(4)由 a<b<0⇒1a>1b，命题是真命题．
根据不等式的性质求范围时，一定要彻底利用不等式的性质进行变形求解，如不等 式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负，同向不等式只能相加，不能相 减等．同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性．
通过f(－1)，f(1)求f(－2)的范围时，不能把a，b的范围单独求出来，这样容易扩大范 围，必须用整体思想来处理．
第1节 不等关系与不等式
高三数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件文共24页PPT
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式课件(理)
解：当方程①有实根，且②无实根时，Δ1＝a12－4≥0，Δ2
＝a22－8＜0⇒a21≥4，a22＜8，又 a1，a2，a3 成等比数列，∴a22＝a1a3，
即 a3＝aa221，∴a32＝aa2212＝aa4221＜842＝16，恰好满足方程③中判别式 Δ3
＝a23－16＜0，此时方程③无实根．故选 B.
§7.1 不等关系与不等式
1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b________； )a＝b⇔a－b________； (3)a＜b⇔a－b________. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔__________； (2)传递性：a>b，b>c⇒__________； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________， 不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；
(2015·上海)记方程①：x2＋a1x＋1＝0，方程②：x2＋ a2x＋2＝0，方程③：x2＋a3x＋4＝0，其中 a1，a2，a3 是正实数．当 a1，a2，a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根 的是( )
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
自查自纠
1．＞0 ＝0 ＜0 2．(1)b<a (2)a>c (3)> (4)ac>bc ac<bc (5)a＋c>b＋d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N 且 n≥2) (11)n a>n b(n∈N 且 n≥2)
(2014·山东)已知实数 x，y 满足 ax＜ay(0＜a＜1)，则
(课标通用)高考数学一轮复习第七章不等式第1节不等关系与不等式课件理
1 6．若 0<x<1，则 A＝2 x，B＝1＋x，C＝ 中最大的 1－x 数是________．
[解析]
B－A＝1＋x－2 x＝(1－ x)2>0，所以 B>A，又
1 x2 C－B＝ －(1＋x)＝ >0，故 C>B，所以最大的数是 C. 1－x 1－x
[答案] C
考 点
题 型 突 破
1 1 1 1 (3)由 x>y>0, 得 x < y ，即 x － y <0，故选项 A 不正确；由 x>y>0 及正弦函数的单调性，可知 sinx－siny>0 不一定成立，
1 1 1 1 x y 故选项 B 不正确；由 0<2<1，x>y>0，可知2 <2 ，即2x－ 1 y<0， 故选项 2
[解析] x>y.
[答案] B
B．x>y D．x≥y
由 a<0， ay>0 知 y<0， 又由 x＋y>0 知 x>0， 所以
3．已知 a∈R，则“a2<a”是“a<1”的( A．充分不必要条件 C．充要条件
)
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]
由 a2<a，可得 0<a<1，所以“a2<a”是“a<1”的充
考点一
比较两个数（式）的大小——自练型
(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c －b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( A．c≥b>a C．c>b>a B．a>c≥b D．a>c>b ) )
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式课件 理
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(2)已知 a，b∈R，下列四个条件中，使ab>1 成立的必要不充分条件是 ()
A．a>b－1 B．a>b＋1 C．|a|>|b| D．ln a>ln b
答案 C 解析 由ab>1⇔ab－1>0⇔a－b b>0⇔(a－b)b>0⇔a>b>0 或 a<b<0⇒|a|>|b|， 但由|a|>|b|不能得到 a>b>0 或 a<b<0，即得不到ab>1，故|a|>|b|是使ab>1 成立的 必要不充分条件．故选 C.
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答案
解析
(2)若 0<a<b<1，则 ab，logba，log1 b 的大小关系是________． a
答案 log1 b<ab<logba a
解析
∵0<a<1，∴1a>1.又∵0<b<1，∴log1a
b<log1 a
1＝0.∵0<ab<a0＝1，
logba>logbb＝1，
答案 (3,8)
解析 解法一：设 2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
对应系数相等，则λλ＋ －μμ＝ ＝－ 2，3
⇒ λ＝－12， μ＝52.
∴2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)∈(3,8)．
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答案
解析
解法二：令ab＝ ＝xx＋ －yy， ， ∴xy＝ ＝aa＋ －22 bb， . ∴2x－3y＝2a＋2 b－3a－2 b＝－a2＋52b∈(3,8)．
高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式课件
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an_＞__bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，n≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)有关倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1a_<__1b. ②a<0<b⇒1a_<__1b.
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角度二 与充要条件相结合命题的判断
(1)设 a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
③a>b>0，0<c<d⇒ac_>__bd. ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b_<__1x<1a. (2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)． ②ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)．
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(2)充要条件的判断方法 利用两命题间的关系，看 p 能否推出 q，再看 q 能否推出 p， 充分利用不等式性质或特值求解． (3)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式 的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是 利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范 围，是避免错误的有效途径．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式 理(2021年最新整理)
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第七章 不等式第1讲 不等关系与不等式一、选择题1。
已知2log 3.6,a =4log 3.2,b =4log 3.6,c =则（ ）A 。
a b c >>B 。
a c b >> C. b a c >> D 。
c a b >>解析 因为1a >，,b c 都小于1且大于0,故排除C,D ；又因为,b c 都是以4为底的对数,真数大，函数值也大，所以b c <，故选B 。
答案 B2．设0<b 〈a 〈1，则下列不等式成立的是（ )A ．ab 〈b 2<1B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1 解析 取a ＝12,b ＝13验证可得． 答案 C3．已知下列四个条件：①b >0〉a ，②0>a >b ,③a 〉0>b ，④a >b 〉0，能推出错误!<错误!成立的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 解析 运用倒数性质，由a >b ，ab 〉0可得错误!〈错误!，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案 C4．如果a ，b ，c 满足c 〈b <a ，且ac 〈0,那么下列选项中不一定成立的是 （ ）．A ．ab >acB ．c （b －a )〉0C ．cb 2<ab 2D ．ac （a －c ）<0解析 由题意知c 〈0，a >0，则A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b ＝0时C 不正确． 答案 C5．若a ＞0,b ＞0，则不等式－b ＜错误!＜a 等价于（ ）．A ．－错误!＜x ＜0或0＜x ＜错误!B ．－错误!＜x ＜错误!C ．x ＜－错误!或x ＞错误!D ．x ＜－错误!或x ＞错误!解析由题意知a＞0,b＞0，x≠0,(1)当x＞0时，－b＜错误!＜a⇔x＞错误!；（2)当x＜0时,－b＜错误!＜a⇔x＜－错误!.综上所述，不等式－b＜错误!＜a⇔x＜－错误!或x＞错误!.答案D6．若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间［－1,0］上的一切x 值，ax＋b>0恒成立；条件乙:2b－a〉0，则甲是乙的( ）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当x∈［－1，0]时，恒有ax＋b〉0成立，∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，当a<0时，ax＋b≥b〉0,∴b－a>0，b〉0，∴2b－a>0,∴甲⇒乙,乙推不出甲,例如：a＝错误!b,b>0时,则2b－a＝错误!b>0,但是，当x＝－1时，a·(－1）＋b＝－错误!b＋b＝－错误!b<0,∴甲是乙的充分不必要条件．答案A二、填空题7．若a1〈a2，b1〈b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析 (a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)（b1－b2）〉0。
高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件理
[典题 3] 已知－1<x<4,2<y<3，则 x－y 的取值范围是________， 3x＋2y 的取值范围是________．
[听前试做] ∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18. 答案：(－4,2) (1,18)
考纲要求： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法aa－－bb>＝00⇔⇔aa>＝b，ba，b∈R， a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
(3)已知 a<b<c 且 a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2<b2<c2
B．a|b|<c|b|
C．ba<ca
D．ca<cb
(4)若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜
0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是( )
的取值范围是( )
A．x>2 且 y>2
B．x<2 且 y<2
C．0<x<2 且 0<y<2
D．x>2 且 0<y<2
解析：选 C 由题意得xx＋y>y0>，0 ⇒xy>>00，， 由 2x＋2y－4－xy
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易混易错辨析 用心练就一双慧眼
不等式变形中扩大变量范围致误
【典例】 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取
值范围是
.
解析:法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数),则
4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
【即时训练】 (1)(2015 崇明县一模)若 a<0,b<0,则 p= b2 + a2 与 q=a+b 的大 ab
小关系为( ) (A)p<q (B)p≤q (C)p>q (D)p≥q
解析:(1)p-q= b2 + a 2 -a-b= b2 a2 + a2 b2
ab
a
b
=(b2-a2)·（ 1 - 1 )= b2 a2 b a = b a2 a b ,
ab 1 ba 1 a 1b 1
=m2·
a
ba
1b
1
,
当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m≠0 时,m2>0,
又 a>b>1,
所以 f(a)<f(b),
即 f(a)≤f(b).故选 C.
(教师备用)法二 特值法.令 a=3,b=2. 则 f(3)= 3m2 ,f(2)=2m2
综上可得 b<c<a.故选 B.
2.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速 度v不超过40 km/h,写成不等式就是( D ) (A)v<40 km/h (B)v>40 km/h (C)v≠40 km/h (D)v≤40 km/h
解析:由汽车的速度v不超过40 km/h, 即小于等于40 km/h.即v≤40 km/h,故选D.
第七篇 不等式(必修5)
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
No Image
命题特点
1.高考在本篇一般命制1～2道小 题,分值5～10分. 2.在高考中主要考查一元二次不 等式的解法,常与集合相结合;简 单的线性规划求最值、范围;或 由最值求参数,或考查非线性最 值问题. 3.基本不等式一般不单独考 查,有时在解三角形、函数与导 数、解析几何等问题中会用到基 本不等式求最值(或范围).
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)b>a>c (D)b>c>a
解析:b= 7 - 3 = 4 ,c= 6 - 2 = 4 .因为 7 + 3 > 6 + 2 ,
7 3
6 2
所以 4 < 4 ,所以 b<c. 7 3 6 2
因为 2 ( 6 + 2 )=2 3 +2>4,所以 4 < 2 .即 c<a. 6 2
x 1
(A)f(a)>f(b) (B)f(a)<f(b)
(C)f(a)≤f(b) (D)f(a)≥f(b)
解析:法一 因为 f(a)= m2a ,f(b)= m2b ,所以 f(a)-f(b)= m2a - m2b
a 1
b 1
a 1 b 1
=m2
a
a
1
b
b
1
=m2·
3.(2015 保定校级期末)若 P= a 2 + a 5 ,Q= a 3 + a 4 (a≥0),则 P,Q 的大小关系为( C ) (A)P>Q (B)P=Q (C)P<Q (D)由 a 的取值确定
解析:因为 a≥0,P>0,Q>0, 所以 Q2-P2=2a+7+2 a2 7a 12 -(2a+7+2 a2 7a 10 ) =2( a2 7a 12 - a2 7a 10 )>0. 所以 P<Q.
第1节 不等关系与不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中的 不等关系.
2.了解不等式(组)的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.若a>b,c>d,则a-c>b-d是否成立? 提示:不成立,同向不等式不能相减,如3>2,4>1,但3-4<2-1. 2.若a>b>0,则ac>bc是否成立? 提示:不成立.当c=0时,ac=bc,当c<0时,ac<bc. 3.若 a>b,则 an>bn, n a > n b 是否成立? 提示:不一定.当a>b>0,n∈N,n≥2时才成立.
4.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是
.
解析:因为-3<b<-2, 所以2<-b<3. 又因为-2<a<-1, 所以0<a-b<2. 答案:(0,2)
5.(2015 河南模拟)已知 a>b,ab≠0,则下列不等式中:① 1 < 1 ;②a3>b3;③ ab
a2+b2>2ab,恒成立的不等式的个数是
ab
ab
ab
因为 a<0,b<0,所以 a+b<0,ab>0,
若 a=b,则 p-q=0,此时 p=q,
若 a≠b,则 p-q<0,此时 p<q,
综上 p≤q.故选 B.
答案:(1)B
(2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为
.
解析: (2) a = 1816 = ( 18 )16 1 =( 9 )16( 1 )16=( 9 )16,
2 若 m=0,f(a)=f(b). 若 m≠0,f(a)<f(b). 故选 C.
反思归纳比较大小常用的方法 (1)作差法 一般步骤是①作差;②变形;③判号;④定论.其中变形是关键,常采用因 式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式.当两个式子都 含有开方运算时,可以先乘方再作差. (2)作商法 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. 作商比较大小时,要注意分母的符号避免得出错误结论. (3)特值法 对于选择题可以用特值法比较大小.
考点一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车, 根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不 等关系的不等式.
解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,
ab ②a<0<b⇒ 1 < 1 .
ab (2)有关分数的性质若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质 b < b m ; b > b m (b-m>0).
a am a am
②假分数的性质 a > a m ; a < a m (b-m>0). b bm b bm
夯基自测
1.(2015 高台县校级期末)设 a= 2 ,b= 7 - 3 ,c= 6 - 2 ,则 a,b,c 的大小 关系是( B )
【即时训练】 已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如表:
甲
乙
维生素 A(单位/kg)
600
700
维生素 B(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各 x kg,y kg 配成至多 100 kg 的混合食物,并使混
合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B,则 x,y
(B)ab<b2 (D)|a|<|b|
解析: (2)因为 a<b<0,所以-a>-b>0,ab>0,
所以- a >- b ,即- 1 >- 1 .故选 A.
ab ab
ba
反思归纳 判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反 例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式 可从以下几个方面思考:①不等式两边都乘以一个代数式时,所乘的代 数式是正数、负数或0;②不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时 平方后不等号方向不一定保持不变;③不等式左边是正数,右边是负数, 当两边同时取倒数后不等号方向不变.
ab (C) a >1 (D)a2>b2
b
解析: (2)因为 a<b<|a|,所以 a<0,b 的正负不确定; 若 b=0,可排除 A,C; 若 b=-1,a=-2,则 ab=2>1,可排除 B.故选 D.
考点三 比较大小 【例 3】 已知 m∈R,a>b>1,f(x)= m2 x ,则 f(a)与 f(b)的大小关系是( )
a,得
1
b a
b a
1
c a c a
2, 2
b a
① ,②
将②乘-1,得
1
2
b a b a
c 2, a
1 c a
b, a
两式相加得
1-
2b a
≤
b a
-1≤2-
b a
,
解得 2 ≤ b ≤ 3 . 3a2
答案:[ 2 , 3 ] 32
知识梳理
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 设a,b∈R,则 (1)a>b⇔ a-b>0 ; (2)a=b⇔ a-b=0 ; (3)a<b⇔ a-b<0 .