基于自由度缩减方法构造MEMS器件宏模型3
微机电系统文献综述
基于Galerkin法分析微梁的动态响应一、课题研究背景1.MEMS的概念MEMS是微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System)的英文缩写，是指将微结构的传感技术、致动技术和微电子控制技术集成于一体，形成同时具有“传感－计算(控制)－执行”功能的智能微型装置或微型系统[1]。
随着技术的兴起和发展，MEMS已成为继微电子技术之后在微尺度研究领域中的又一次革命。
MEMS通过力、电、磁等能量的转换来实现自身的特有功能，涉及多种物理场的互相耦合，因此它是一个多能量域耦合作用的极其复杂的系统。
2.MEMS的特点一般地说MEMS具有以下几个非约束性的特征：（1）MEMS器件体积小、重量轻、耗能低、惯性小、谐振频率高、响应时间短。
尺寸在毫米到微米范围之内，区别于一般宏(Macro)，即传统的、大于1cm 尺度的“机械”，并非进入物理上的微观层次。
（2）以硅为主要材料，机械电器性能优良：硅的强度、硬度和杨氏模量与铁相当，密度类似于铝，热传导率接近钼和钨。
基于(但不限于)硅微加工技术制造。
（3）批量生产大大降低了MEMS 产品成本。
用硅微加工工艺在一片硅片上同时可制造出成百上千个微型机电装置或完整的MEMS，批量生产使性能价格比比之传统“机械”制造技术大幅度地提高。
（4）集成化。
可以把不同功能、不同敏感方向的多个传感器或执行器集成于一体，或形成微传感器阵列、微执行器阵列，甚至把多种功能器件集成在一起，形成复杂的微系统。
微传感器、微执行器和微电子器件集成在一起可制造成可靠性、稳定性很高的MEMS。
3.MEMS的研究领域作为一门交叉学科，MEMS的研究和开发更是为了在微观领域探索新原理、开发新功能、制造新器件。
由于MEMS具有体系小、重量轻、能耗低、集成度高和智能化程度高等一系列优点，MEMS的研究领域不仅与微电子学密切相关，而且还广泛涉及到机械、材料、光学、流体、化学、热学、声学、磁学、自动控制、仿真学等学科，技术影响遍及包括各种传感器件、医疗、生物芯片、通信、机器人、能源、武器、航空航天等领域[2-5]，所以MEMS技术是一门多学科的综合技术。
基于MEMS技术的微机械设备设计与制造
基于MEMS技术的微机械设备设计与制造近年来，随着科技的快速发展，利用微机械系统（Micro-electro-mechanical systems，MEMS）技术设计和制造微型机械设备成为了一项颇具前景的研究领域。
MEMS技术以其小型化、高性能和低成本的特点，已经逐渐应用于汽车制造、生物医药、通信、传感器等众多领域。
本文将从MEMS技术在微机械设备设计与制造中的应用，工艺流程、设计原理、制造方法和市场前景等方面进行阐述。
1. MEMS技术在微机械设备设计与制造中的应用MEMS技术在微机械设备设计与制造中应用广泛，涵盖了各种类型的微机械设备，如惯性传感器、光学器件、微泵、微阀和微镜等。
其中，惯性传感器是MEMS技术应用最广泛的领域之一。
惯性传感器可以测量物体的加速度和角速度，广泛应用于汽车安全系统、无人机导航以及手机和平板电脑等消费电子产品。
此外，MEMS技术还可用于制造微型光学器件，如微型投影仪、微型摄像头和微镜等，在医疗、通信和娱乐等领域具有广阔的应用前景。
2. MEMS技术微机械设备的设计原理微机械设备的设计原理是MEMS技术中的核心问题之一。
微机械设备的设计需要考虑材料的选择、结构的优化和特定应用的需求。
首先，材料的选择直接关系到微机械设备的性能和可靠性。
常用的材料包括硅、玻璃、聚合物和金属等。
硅材料具有良好的机械性能和化学稳定性，适合用于制造微型机械结构；玻璃材料透明性好，广泛应用于光学器件的制造；聚合物材料虽然力学性能较差，但成本低且制造工艺简单，适合用于制造柔性微机械结构。
其次，微机械设备的结构设计需要考虑尺寸约束、力学稳定性和制造工艺等因素。
由于尺寸限制，微机械设备的设计需要将各种功能集成在一个微小空间内。
同时，由于微机械结构的尺寸小，微机械设备要在极小的振动范围内工作，确保其力学稳定性。
此外，制造工艺对微机械结构的设计也有很大的影响。
不同的制造工艺可以实现不同的微机械结构，如光刻、湿法腐蚀、干法刻蚀和离子蚀刻等。
MEMS器件的计算机辅助设计方法和仿真研究
MEMS器件的计算机辅助设计方法和仿真研究【摘要】MEMS技术的进一步发展依赖于MEMS器件计算机辅助设计的发展和水平的提高。
系统级仿真和多能量场耦合是MEMS器件计算机辅助设计的核心环节。
提出了一种MEMS器件设计的参考方法，并对系统级仿真这一难点做了深入阐述。
关键词MEMS CAD 系统级仿真多能量场耦合1 引言MEMS作为一个新兴的强大的科学领域，虽然近年来取得了飞速的发展，但是相应的设计方法的发展却没有跟上时代的脚步。
尽管MEMS技术有微电子技术作支撑，而且通常使用IC平面制造技术，但它必须进行微机械所特有的三维加工，而且要求与集成电路工艺兼容，要完全解决好这一问题有一定的难度。
此外，MEMS 器件及系统的设计加工与传统的设计加工不同。
传统的设计加工思路是从零件到装配最后到系统，是自下而上的方法。
MEMS系统是采用微电子和微机械加工技术将所有的零件、电路和系统在通盘考虑下几乎同时制造出来，零件和系统是紧密结合在一起的，是一种自上而下的方法。
因此要采用新观念，站在系统高度来设计加工。
鉴于此，建立一套专门的适用的计算机辅助设计、分析和仿真的方法势在必行。
MEMS器件设计软件的发展始于2O世纪8O年代，许多商业机构和大学认识到MEMS CAD软件的重要性，纷纷投入大量的人力物力进行这方面的研究工作。
目前已经开发一些商用MEMS软件，这些系统对促进MEMS 的研究进展使之从实验室走向工业化起了很大的作用。
表1：主要几个典型的MEMS CAD软件软件名称开发单位特点CoventorWare Coventor公司功能最强、规模最大的MEMS专用软件，拥有几十个专业模块，功能包含MEMS器件设计、工艺和仿真。
MEMCAD MIT和 Microcosm公司功能比较齐全，可对设计制造全过程仿真。
还有一个流体分析模块，可对微泵，微阀进行分析。
IntelliCAD IntelliSense公司主要进行机_电_热的分析，在工艺仿真方面有大的灵活性，一个流体分析模块正在测试中。
MEMS微执行器技术现状与未来展望
MEMS微执行器技术现状与未来展望压电MEMS通过单片即可实现微执行、能量收集、传感和无线通信，是应用潜力巨大的热点技术。
压电MEMS微执行器能够精确、自主地执行复杂动作如直线、旋转、加速度、钳动等，以此完成对极微小器件与结构的纳米尺度精确操作。
因此，压电MEMS微执行器不但能够满足集成微系统（IMS）对自测试性、微定位性和片上操控性的严苛要求，同时能够满足集成微系统对输出力矩/体积效能比、响应速度、分辨率、功耗、集成度方面的需求。
2015年开始，以集成微系统任务需求为牵引，通过问题定位、技术分解，确立了基于PZT 材料的MEMS微执行器研究，目前取得的研究进展包括以下几个方面：压电MEMS 多自由度微振动台技术、MEMS惯性传感器自标定技术、MEMS压电微马达技术与PZT材料与微执行器长期稳定性研究。
1 压电MEMS多自由度微振动台技术压电MEMS微执行器的设计难点包括了大位移与低驱动电压之间的制约、驱动负载功率与执行器薄型化之间的制约、不可避免的工艺误差带来的性能退化。
针对上述性能提升难点，在不断的摸索过程中形成和发展了位移放大机构设计、叠加模态去耦设计、负载带宽优化等相关技术。
同时，根据多轮次的流片与设计、版图相互调整的摸索经验，完成压电多自由度微振动台数学模型研究，建立工艺参数与器件性能的映射关系，同时结合器件设计优化，实现器件设计与工艺制备的协同优化，获得压电微执行器稳定工艺流程与优异器件性能。
如图1所示，制得的多自由度微振动台芯片，在位移/电压、执行器厚度方面处于国际领先水平。
而微执行器薄型化、低电压、位移等指标的进步对于后续集成和应用具备重要意义。
指标对比见表1。
图1 （a）不同结构微振动台与（b）动态测试结果表1 微振动台性能参数及对比2 MEMS惯性传感器自标定技术MEMS惯性传感器自标定技术主要通过在MEMS惯性传感器外部集成压电微振动台和集成阵列化检测结构实现闭环控制能力，可以提供多轴高精度动态运动特征，从而实现MEMS惯性传感器使用前原位无自损标定。
MEMS系统设计基本理论及设计关键技术
MEMS系统设计基本理论及设计关键技术汽车传感器设计是汽车生产较为重要环节，对于汽车的整体性能的提高有着直接的影响。
随着社会的快速发展，对汽车传感器的性价比也提出了更高的要求，从设计的理念、原则等角度出发，对设计技术进行更好的优化成为发展的关键。
因此，加强对MEMS汽车传感器设计关键技术的研究具有很大的现实意义，发现当前技术中存在的不足，提出针对性的指导建议，在保证传感器性能满足要求的同时，降低生产陈本，取得更好的竞争优势。
1 MEMS系统设计基本理论1.1 MEMS设计技术MEMS设计技术的综合性是比较强，涵盖各个方面的内容，不仅需要有相应的概念设计作为指导，还需要相应的计算机提供服务，从而对数据进行更好的分析。
MEMS产品设计的后续加工与测试工作的进行也在设计技术涵盖的范围之内，设计技术对整体的产品性能发挥着关键性的作用。
相较于加工技术，MEMS设计技术有着更高的要求，其辅助机械与技术是非常重要的，尤其是计算机辅助设计的应用。
MEMS设计技术在当前的发展中更为趋向于自动化、智能化，满足时代多元化发展的需求，提高产品设计的效率，更好的拓展市场，也实现产品设计的实用性。
1.2 MEMS设计方法设计方法是设计工作的基础，其不仅是设计理念的充分体现，也是对设计行为的基本规范。
MEMS设计技术的重点主要体现非电信号与电信号、电能与机械能等能量之间的转换，对MEMS系统设计有着较大的影响。
MEMS设计方法主要有三种，一是有限元FEM，另一个是边界元BEM，有限差分也是数值分析方法之一。
系统级设计、器件级设计、工艺级设计是不同的设计手段要求，其难度层次逐级递减。
首先，系统级设计的整体性是比较强的，需要综合各个方面的内容进行分析，数值分析法在其中的应用具有一定的局限性，其设计方法的优化更加趋向于简单动态模型的构建，减少了MEMS设计技术中多种能量之间的转换。
器件级设计是较为单一的，有着针对性的。
MEMS微陀螺仪振动分析---优秀毕业论文参考文献可复制黏贴
作者签名： 日 期：
南京航空航天大学硕士学位论文
摘要
随着人类对 MEMS 微陀螺仪的探索日益深入，作为一类新兴发展的惯性传感器，它的发展 和应用正受到广泛关注和重视。本文针对微机械振动陀螺仪的机-电耦合振动问题进行研究，主 要内容如下。
首先，分析了一硅微机械振动陀螺仪的结构与工作机理，将其简化成质量-弹簧-阻尼器力 学模型，建立振动微分方程。通过驱动模态和感应模态的运动，揭示了微陀螺仪设计过程中模 态匹配的重要性。然后，分析了由于加工非理想性产生的不等弹性、阻尼不对称和质量不平衡 产生误差的信号，建立了机械耦合误差信号和数学模型，并定量分析了 z 轴硅微陀螺仪的机械 耦合误差信号。结果表明，机械耦合误差信号包含了正交耦合误差与有用信号同相位的误差信 号，其中正交耦合误差为主要误差信号，且主要由不等弹性产生。
中图分类号：O327 学科分类号：080104
论文编号：1028701 12-S046
硕士学位论文
MEMS 指导教师
徐寅 工程力学 振动控制与振动利用 金栋平 教授
南京航空航天大学
研究生院 航空宇航学院
二О一一年十二月
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics The Graduate School
最后，为解决该设计可能出现的机电耦合缺陷，本文在驱动框的外侧设计了检测电容和静 电力反馈电容，以实现驱动闭环控制，提高了输出精度和检测灵敏度。
关键词：硅微陀螺仪，耦合误差，机-电耦合，非线性振动，闭环反馈控制
本文工作在机械结构力学及控制国家重点实验室完成。
I
MEMS 微陀螺仪振动分析
ABSTRACT
第一部分MEMS基本理论
薄膜材料特点
薄膜材料的性质与对应的体材料有很大的不同 均匀性假设会造成相当大的误差 缺陷与薄膜的尺度相比不能忽略 薄膜材料性能的分散性大 小尺寸和简单器件比大尺寸器件可靠性高 残余应力严重
微电子学研究所
24
Institute of Microelectronics
Electric Works, Memstek, Microfab, Bremen, Neostones, Olivetti I-
Jet, Olympus, Omron, Sony, STM, TMT, X-Fab…
消费电子的大客户
任天堂、三星、诺基亚、LG、苹果
微电子学研究所 Institute of Microelectronics
计步器(加速度传感器)
微电子学研究所 Institute of Microelectronics
MEMS概述
基本结构和力学
MEMS在哪？
消费电子
基本物理学
尺寸效应
微电子学研究所
10
Institute of Microelectronics
MEMS概述
基本结构和力学
MEMS特点
多能量域系统 集成系统
MEMS概述
基本结构和力学
MEMS市场
基本物理学
尺寸效应
典型产品
摩托罗拉压力传感器已经累计销售2亿个 TI的DMD累计销售2000万 AD的加速度传感器累计销售超过2亿 Knowlese 麦克风累计销售10亿只
MEMS产品特点
种类繁多 利润率高 产品销量小
微电子学研究所
基本结构和力学
MEMS市场
基于MEMS微惯性器件的三轴稳定平台
２０１７年 ／ 第９期 物联网技术９1 作品简介本设计主要应用于实验教学。
平台采用领先的智能传感器技术，包括三轴MEMS 陀螺、三轴MEMS 加速度计和三轴MEMS 磁强计传感器。
平台控制系统由姿态信息采集和姿态解算与动力控制两个基本单元组成。
姿态信息检测单元通过MEMS 陀螺仪检测平台的俯仰、横滚航向角获取陀螺和加速度计数据，由MEMS 加速度计对姿态信息进行校正，经处理后发送给姿态解算与动力控制单元，然后由该单元将获取到的惯性传感数据进行数据融合，解算姿态信息，并利用控制策略控制平台动力系统，使平台的横滚内框保持平稳。
平台姿态解算加入Kalman 滤波技术，由嵌入式单片机完成，由电机执行，采用PWM 波控制。
学生可分别做陀螺、加速度、电子罗盘和航姿综合实验等。
本实验系统有助于学生理解和掌握惯性导航、航向姿态、运动状态测量的原理、技术及其应用。
MEMS 三轴稳定平台系统如图1所示。
六自由度IMU 姿态测量单元如图2所示。
三轴稳定平台模型如图3所示。
图1 稳定平台系统组成图2 六自由度IMU 姿态测量单元 图3 三轴稳定平台模型图2 工作原理2.1 整体方案平台控制系统由姿态信息采集和姿态解算与动力控制两个基本单元组成，如图4所示。
姿态信息检测单元获取陀螺、加速度计、磁罗盘的数据，经处理后发送给姿态解算与动力控制单元，然后由该单元将获取到的惯性传感数据进行数据融合，解算俯仰和横滚、航向姿态信息，并利用控制策略控制平台动力系统，使平台的横滚内框保持平稳。
三轴稳定平台原理框图如图4所示。
2.2 姿态采集姿态检测单元主要负责三轴MEMS 陀螺仪、三轴加速度基于ＭＥＭＳ微惯性器件的三轴稳定平台中北大学蒋孝勇，米瑞甫，程 壑，杜 睿指导老师：李孟委摘 要：随着微电子技术的发展，民用和军用设备微型化、低功耗及多功能化成为发展趋势，文中设计了应用于实验教学的基于MEMS 微惯性器件的三轴稳定平台。
该平台采用领先的智能传感器技术设计而成，可实现完全自主姿态监测，有助于学生了解陀螺稳定平台并掌握相关原理、技术及其应用，为陀螺稳定平台的深入研究打下坚实基础。
MEMS器件建模与仿真分析方法研究
其中 P m 是 N
m 的截断模态矩阵, q m 是 m
断模态振幅向量。 高阶振型对机电系统响应的影响是可以忽略不计 的, 可以用降价后的振型进行建模。 静电系统的动力学 方程可写成下面的形式 My = Fe ( y , u) + Fm ( y ) 降低到 m , 如下所示 P MPq = P F e ( y , u) + P Fm ( y)
T
N ) , Vi 是基本向量 , V 是正交的基
本向量矩阵。 利用式 ( 2) 将方程 ( 1) 降到 m 维得到下 dy ( t ) dq( t )
=
= V f y ( t ) , u( t )
T
2 , 20050125 收到修改稿。
吕胜利 , 男, 1966 年 4 月生 , 陕西扶风人 , 汉族。西北工业大学副教授 , 博士 , 主要研究方向为智能结构振动分析与控制、 结 构完整性、 结构多 学 科优化设计。
1
键
引言
系统级建模与仿真是 微机电系统设 计分析的关
[ 1~ 5]
MEMS 器件系统状态方程的一般形式如下 dy ( t ) = f y ( t ) , u( t ) dt ( 1)
。micro - electro - mechanical system( MEMS) 器 件由
于其尺寸的减小 , 与工作环境具有很强的相互作用 , 从 而造成 MEMS 的多维性、 多学科性及多尺度性。MEMS 不仅是一个多场耦合问题, 而且大多数 MEMS 装置都 是复杂的三维结构, 对这一问题建模并进行仿真具有 很大的挑战性。虽然可以用有限元 边界元方法建立 宏观模型, 并进行系统的动态 仿真, 但由 于自由度过 多, 以及该方法本身的特点 , 在计算时间 上是不现实 的。而且, 在实际设计中设计者往往只对几个参数感 兴趣 , 例如结构尺寸、 材料特性等。这要求在不显著降 低精度的情况下尽量减少系统的自由度 , 建立系统的 宏模型 。 本文基于主振型叠加法和拉格朗日动力学方程, 使用解析式来表达系统的动能和势能, 利用简化的自 然振型描述器件的空间状态, 降低系统的自由度。
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第27卷第6期增刊 2006年6月仪 器 仪 表 学 报Chinese Journal of Scientific InstrumentVol.27No.6J une.2006 基于自由度缩减方法构造MEMS 器件宏模型3林谢昭1,2 应济21(福州大学机械工程及自动化学院 福州 350002)2(浙江大学机械与能源工程学院 杭州 310027)摘 要 器件宏模型是M EMS 系统级仿真的关键。
着重介绍了各种基于对器件结构经空间离散后得到的系统矩阵进行变换来构造低维近似系统矩阵的模型自由度缩减(MOR )方法,论述了各种提取线性系统宏模型方法的优缺点,接着阐述了非线性系统模型自由度缩减方法的研究现状,并对M EMS 宏模型的研究发展方向提出了一些建议。
关键词 宏模型 Krylov 子空间 Hankel 范数 Karhunen 2Loeve 展开Macromodel extraction for MEMS devices based on model order reductionLin Xiezhao 1,2 Y ing Ji 21(T he college of Mechanical Engi neering and A utomation ,Fuz hou Universit y ,Fuz hou 350002,China )2(T he College of Mechanical and Energ y Engineering ,Zhej iang Uni versit y ,Hangz hou 310027,China )Abstract The macromodel extraction of MEMS device is one of key issues for system 2level simulation.The model order reduction (MOR )met hods for linear systems are presented ,which creates a lower 2order approximation of t he original system by using a transformation of t he original system matrices that resulted from space discretization of t he device.The major contributions in t he linear systems field and t he advantages and disadvantages of each approach are summarized and discussed.Then t he main met hods for nonlinear systems MOR are presented.Finally some suggestions for t he develop ment of MEMS macromodel extraction are proposed.K ey w ords macromodel Krylov subspaces Hankel 2norm approximation Karhunen ∃Loeve expansion 3基金项目:国家自然科学基金(50105020)、福州大学科技发展基金(20042XY 210)资助项目1 引 言集成电路工业的成功发展,得益于有成熟的CAD 软件可以对产品进行快速准确的模拟和测试。
同时也期待MEMSCAD 软件具备相同能力。
然而,MEMS 多物理场耦合、高度集成特性,使得计算量极大。
虽然快速算法及高性能计算机的发展使得用有限元、边界元和有限差分法等“强力”求解偏微分方程(PDE )的能力已经达到令人惊讶的地步。
但在处理多个器件阵列组成的MEMS 装置、系统级仿真和优化等问题时,这些方法几乎无能为力。
因而,宏模型或缩减自由度模型(CM 或ROM ),作为足够的仿真精度与必要计算效率之间的一种平衡而获得广泛关注[1]。
目前,MEMS 设计都强调自顶而下的设计方法,注重对系统整体性能的把握。
系统级仿真主要是将系统中非电域(机械、流体等)的子系统,用统一有效的方法表示成电域中的等效子系统(即ROM ),以利于用系统模拟器(如SPICE 、Saber 、Simulink 等)仿真。
因此要求器件宏模型要有一定精度,其提取过程计算费用要合理且尽可能地自动化;又要与MEMS 的系统级模型描述一致,可直接插入到系统模拟器中进行计算仿真。
可以采用等效电路或硬件描述语言(V HDL 2AMS 、Verilog 2A 、MAST 等)方法描述宏模型,两者都可实现与系统仿真器的无缝连接。
934 仪 器 仪 表 学 报第27卷 2 建立MEMS 器件宏模型的方法对于复杂MEMS 结构,通用的方法是把器件的PDE 经空间离散后,直接利用模型自由度缩减(MOR )方法来产生宏模型。
可大致归纳为如图1所示的几种方法。
MOR 的基本思想是将原来大自由度数的系统经过变换等方法,转换成一个低自由度数系统,来近似表达原系统动力特性[2]。
限于篇幅关系,本文只关注基于离散后节点矩阵的映射变换建立ROM 的方法(图1中虚线框所示)。
考虑由一阶常微分方程组(ODE )表示的动力系统,方程的表达式为:{x ・}n =[f ]nn {x}n +[B]nm {u}m(1)式中:[f ]nn 是系数矩阵,如果[f ]nn 元素是常数,则称式(1)是线性时不变系统(L TI );如果[f ]nn 元素只与时间显式相关,则为线性时变系统(L TV );如果[f ]nn 是状态向量{x}的非线性函数,则为非线性系统。
{u (t )}是系统输入。
由二阶ODE 描述的动力系统通常可以转化成式(1)的形式。
如果可以构造变换矩阵[T ]nq ,将{x}的维数从n 缩减到q 〈〈n ,即:{x}n =[T]nq {y}q +[ε]n(2)则可以将系统(1)的维数缩减为q ,即:{y ・}q =f ^(x )q+ B^」qm{u}m(3)并使得式(2)的偏差[ε]按某种范数标准最小。
2.1 线性系统R OM 的提取应用于L TI 或L TV 系统的MOR 方法大致分为:(1)基于Krylov 子空间的Pade 近似;(2)Hankel 范数近似和平衡截断近似(TBR );(3)K arhunen 2Loeve 展开(K LD )(或本征正交分解POD )。
基于Krylov 子空间方法是用Arnoldi [3]或Lanczos [4]算法为系统(1)的子空间K q {[9f/9x ],[B ]}产生一个正交基,用它来构造转换矩阵[T ]nq 。
这两种方法都等效于在S 空间中的矩匹配方法。
因而,缩减系统的传递函数在一个或多个选定的频率点附近能够很好地近似原系统的传递函数。
Lanczos 算法计算效率较Arnoldi 算法高,但稳定性稍差。
由于基于Krylov 子空间算法稳定且计算费用低廉,为较大规模系统的缩减提供了一个适合方法。
但其通常无法进行全局的误差估计,且无法保留原系统的稳定性和无源性。
不过,已经证明,如果同余式变换保持了矩阵的正定性,那么无论是稳定性或无源性都能够被缩减后的系统保留[5]。
文献[5]对采用Lanczos 算法的MOR ,提出一个用局部误差估计值来监控矩匹配数量的方法。
这对工程实际的应用极具参考价值。
基于Hankel 范数[6]和平衡截断(TBR )[7]的近似方法可进行全局误差分析,且原系统的稳定性能在缩减后的系统中得到保存。
但是提取ROM 费用高(因为求解相关Lyapunov 方程为O (N 3)运算)。
对大自由度数系统,其应用受到限制。
应用K LD 或POD 方法[8]建立宏模型时,为了产生“快照”(snapshot s ),必须对原系统进行数值仿真或者实验,可从时域或频域中的“快照”构造映射基。
如果使用时域“快照”,则产生缩减基的费用相对廉价些,但是选择适合的输入进行时域仿真时就变得有些棘手。
相反,从频域“快照”产生缩减基的计算花费相对较多,但是能够得到更适合的映射基[9]。
2.2 非线性系统R OM 的提取提取非线性系统的ROM 主要解决:(1)构造低维数的映射基;(2)合理有效地表达系统的非线性。
相关算法可参考线性系统的MOR ,但非线性系统MOR 与线性系统MOR 最大的区别在于:系统自由度数缩减后并不意味着模拟ROM 相关的计算费用就自动地降低了。
因为计算非线性函数{f^(x )}q 的J acobian 式与原系统维数n 有关[10]。
目前,非线性系统的MOR 方法大多以线性MOR 为基础。
通常是将非线性系统线性化,或多项式(Taylor )展开,或双线性化[6],或泛函(Volterra )展开,而后采用MOR 算法。
但是,这些方法所提取的ROM 仅在展开点的附近局部有效。
这是由于用多项式或泛函展开近似表达非线性本身固有的局部性造成的,而双线性化方法也存在类似弱点。
因而这类MOR 方法 第6期增刊基于自由度缩减方法构造M EMS器件宏模型935也局限于弱非线性系统和“小”输入扰动情况。
另外,使用非线性算子的多项式展开时,计算内存和费用随着展开式中所包括的项数呈指数规律增长。
因而,实际应用都局限于三次展开以内。
为了有效地表达系统的非线性,Rewienski[10]提出一个轨线分段线性(TPWL)结合Krylov子空间的方法。
首先在原(或近似)模型中用一个测试信号来产生系统对信号的响应轨线,在沿着轨线一系列等距离的状态点{x i}附近,获得模型的线性展开。
将Krylov基集和每个线性化状态{x i}合并、扩展,来构造矩阵[T]。
在{x i-1}点处提取ROM,做为下一时间步中{x i}处原模型的一个近似,并提取另一个ROM。
同时,在每一个线性化点{x i}处,对[T]施行奇异值分解来消除冗余向量和奇异值小于某个精度限制的向量。
他们的研究表明:基于扩展基集的TPWL法产生的ROM计算精度比以往其它方法的高。
3 结束语目前,基于矩匹配的MOR算法已经成熟。
对于大自由度数线性系统,虽然Pade和Pade型近似本质上是局部的,但是结合有理Krylov(或多点Krylov)和TBR方法可用于全局近似。
基于求解Lyapunov方程的MOR也取得进展[2]。
可以说,线性系统的MOR算法已成熟。
但对于非线性情况,目前仅有针对特定器件的ROM提取方法,而且建模过程中似乎不可避免人为干涉。
因此非线性MEMS器件宏模型的建模方法还是一个开放的问题。