2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第五章第4讲数系的扩充与复数的引入含解析
【数学】浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数55复数教师用书
【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.5 复数教师用书1．单数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做单数，其中a叫做单数z的实部，b叫做单数z的虚部．(i为虚数单位)(2)分类：(3)单数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭单数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量的模叫做单数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．单数的几何意义单数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．单数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(2)几何意义：单数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出单数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( ×)(2)单数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( ×)(3)单数中有相等单数的概念，因此单数可以比较大小．( ×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √)(5)单数的模实质上就是复平面内单数对应的点到原点的距离，也就是单数对应的向量的模．( √)1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( )A．－3 B．－2 C．2 D．3答案 A解析∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A.2．(2015·课标全国Ⅰ)已知单数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i答案 C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i. 3．(2016·嘉兴一模)设i是虚数单位，若z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵z＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴∴θ为第二象限角，故选B.4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.答案 1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.题型一单数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )A．3，－2 B．3,2C．3，－3 D．－1,4(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i是虚数单位，单数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．答案(1)A (2)A (3)1解析(1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. (2)由解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝＝1－i ，∴其实部为1. 引申探究1．若将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值． 解 (1＋i)(2－3i) ＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ， 所以a ＝5，b ＝－1.2．若将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部． 解 z ＝21＋i3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)(2016·苏北四市调研二)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 (1)A (2)2i解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝2＋a i 1＋2i 5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 (1)C (2)B (3)B解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)C (2)A (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i5＝i.(3)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 (1)B (2)D (3)D解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.(2)z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i 解析 (1)z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选A. (2)(1＋i 1－i )2 017＝[1＋i 21－i 1＋i ]2 017＝i 2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 017＝i 1＋23i 1＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三 复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2) 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．12．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， [4分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[6分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3a 2＋b 2＝－6，[8分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. [14分]1．(2016·绍兴二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4.2．(2016·杭州质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4 答案 D解析 ∵2i－a 1－i＝2i －a 1＋i1－i1＋i＝2i －a 2－a 2i ＝(2－a 2)i －a2，a ∈R ，∴2－a2＝0，∴a ＝4.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2016·杭州模拟)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 5．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 答案 C 解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．(2016·台州五校联考一)集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( ) A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．3答案 D解析 由题意可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，经检验符合题意．*7.若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i (a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定 答案 A解析 ∵a ＋b i ＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝12＋32i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2，∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．8．(2016·温州高三8月模拟)已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z －i ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝5＋i ， ∴复数z 在复平面上对应点在第一象限．9．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，23)解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.10．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．11．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i )2 017＝________. 答案 i解析 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，所以(m ＋n i m －n i )2 017＝(1＋i 1－i)2 017＝i 2 017＝i. 12．已知i 为虚数单位，则5－i 1＋i ＝________. 答案 2－3i解析 5－i 1＋i ＝5－i 1－i 1＋i 1－i ＝5－6i －12＝2－3i. 13．(2016·金华、丽水、衢州十二校高三8月联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i 1＋i (i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z |＝________.答案 022 解析 a ＋i 1＋i ＝a ＋i 1－i 2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由a ＋12＝1－a 2，可得a ＝0，∴z ＝12＋12i ，z ＝12－12i ， ∴|z |＝22. 14．(2016·浙江名校高三第二次联考)已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z2＋az ＝0，则实数a ＝________，|z ＋a |＝________.答案 2 2 3解析 z ＝1＋3i ，由z 2＋az ＝0，得(1＋3i)2＋a (1－3i)＝0，∴－2＋a ＋(23－3a )i ＝0，∴a ＝2，∴z ＋2＝3－3i ，∴|z ＋a |＝2 3. *15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案－2 3解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋2i，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第五章 三角函数、解三角形5.4 第2课时
大一轮复习讲义第五章§5.4简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换NEIRONGSUOYIN 内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PART ONE题型一三角函数式的化简自主演练1.化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝ . 解析 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α. 22cos α2.化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝ . ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x12cos 2x3.化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.题型二三角函数的求值例1 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝ . 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]多维探究命题点1给角求值与给值求值6 ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ－π3＝ . 解析 由题意可得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π22＝110， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ＝45×12－35×32＝4－3310.4－3310 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3(3)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为 . 解析 sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α ＝sin 2α·1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α. cos α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin 2α＝725. －2875 由17π12<α<7π4，得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－43. 所以sin 2α＋2sin 2α1－ tan α＝725×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43＝－2875.解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0.命题点2给值求角例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. √解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2， (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 .∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. －3π4 ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ .π4 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.引申探究思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.跟踪训练1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ .解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 268 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴cos α＝213，sin α＝313， 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268.解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ .所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)π4 ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.题型三三角恒等变换的应用师生共研例3 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3的值； 解 由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝2.得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. 由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.解由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，所以f (x )的最小正周期是π.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.跟踪训练2 (2018·浙江绍兴六校质检)已知函数f (x )＝m cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，3. (1)求函数f (x )的单调递增区间；解 由题意可知f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝3，即3m 2＋32＝3，解得m ＝1. 所以f (x )＝cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝32cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3， 由正弦函数的性质得，－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6 (k ∈Z ).(2)若f (α)＝33，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2π3，求sin α的值. 解 由f (α)＝33，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝33， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2π3， 所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝13<32， 所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，π， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝－223. 所以sin α＝sin ⎢⎡⎥⎤ ⎛⎪⎫α＋π－π＝1×1－ ⎛⎪⎫－22×3＝1＋26.思想方法化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用SIXIANGFANGFA讨论形如y＝a sinωx＋b cosωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωxa2＋b2＋φ)型的函数；研究y＝A sin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决.例已知函数f (x )＝4tan x ·sin·cos －.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3－3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.解 f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ≠π2＋k π，k ∈Z .所以当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，－π12上单调递减.(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上的单调性. 解 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4，所以2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π6，π6， 由y ＝sin x 的图象可知，当2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π6，－π2， 即x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，－π12时，f (x )单调递减； 当2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π6，即x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4时，f (x )单调递增.课时作业2PART TWO基础保分练1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋2α 等于A.－78B.－14C.14D.78√解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝－78.2.4cos 50°－tan 40°等于 A. 2 B.2＋32 C. 3 D.22－1 解析 原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (120°－40°)－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3. √3.已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于 A.－2 B.－1 C.－211 D.211解析 由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－2. √4.在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为A.π4B.π3C.π2D.3π4√在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，解析 由题意知，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝－2cos B cos C ， 又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，因为0<A <π，所以A ＝π4.5.函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于A.5B.92C.52D.2√＝32sin x ＋2cos x ＋2＝52sin(x ＋φ)＋2，解析 由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2其中cos φ＝35，sin φ＝45，∵x ∈R ，∴f (x )max ＝52＋2＝92，故选B.6.若函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 在x ＝θ时取得最小值，则cos θ等于 A.513 B.－513 C.1213 D.－1213√其中sin α＝513，cos α＝1213，由题意知θ＋α＝2k π－π2(k ∈Z )，解析 f (x )＝5cos x ＋12sin x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫513cos x ＋1213sin x ＝13sin(x ＋α)， 得θ ＝2k π－π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513.7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ . －725 解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，可得22cos α＋22sin α＝35， 两边平方得12(1＋2sin αcos α)＝925，∴sin 2α＝－725.解析∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)8.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π3＝ . 2－156 ＝cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156.9.(2019·宁波调研)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝ . π3 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 而cos α＝17，∴sin α＝437， ＝437×1314－17×3314＝32. 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)又0<β<π2，故β＝π3.10.函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2≤x ≤3π4的最小值是 .3－1 ∴f (x )min ＝2sin 2π3－1＝3－1.解析 f (x )＝3sin 23x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos 23x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x ＋π6－1， 又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤2π3，解 由cos β＝55，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2. 11.已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.∴α＋β＝5π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.12.(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35，－45. 解 由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35，－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. 得sin α＝－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.解 由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.技能提升练13.(2018·浙江镇海中学期中)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P ，过点P 作两条直线分别交圆于A ，B 两点，且∠APB ＝π3，则|P A |2＋|PB |2的取值范围为 . (3,6]P A sin ∠PBA ＝PB sin ∠P AB＝2r ＝2， r 为△ABP 的外接圆半径.设∠PBA ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2π3， 又∠APB ＝π3，所以∠P AB ＝2π3－∠PBA ＝2π3－θ，解析在△ABP 中，由正弦定理得P A ＝2sin θ，PB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－θ. |P A |2＋|PB |2＝4sin 2θ＋4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－θ ＝3＋2sin 2θ＋23sin θcos θ＝4＋3sin 2θ－cos 2θ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ－π6， 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2π3，所以2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，7π6， 所以|P A |2＋|PB |2的取值范围为(3,6].14.在△ABC 中，A ，B ，C 是△ABC 的内角，设函数f (A )＝2sin B ＋C 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－A 2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋A 2－cos 2A 2，则f (A )的最大值为 . 2 解析 f (A )＝2cos A 2sin A 2＋sin 2A 2－cos 2A 2＝sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π4， 因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4.所以当A －π4＝π2，即A ＝3π4时，f (A )有最大值 2.拓展冲刺练15.已知sin(π－α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－β，3cos(π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋β，且α，β∈(0，π)，则α＝ ，β＝ . π4 2π3又β∈(0，π)，∴β＝2π3.解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－2cos β， ①3cos α＝2sin β， ②∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12. 又β∈(0，π)，由②知cos α>0，∴cos α＝22，又α∈(0，π)，∴α＝π4.将α＝π4代入①得cos β＝－12，16.已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1(x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上的最大值和最小值； 解 由f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )－(2cos 2x －1)＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6， 所以函数f (x )的最小正周期为π.易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数， 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，2π3上为减函数， 又f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－1， 所以函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上的最大值为2，最小值为－1.(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3，求cos 2x 0的值. 解 ∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 0－π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 0－π6＝35. 又x 0∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3，∴2x 0－π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 0－π6＝45. ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 0－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 0－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 0－π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习高考解答题专讲1函数与导数课件
③当x1<x2,即a>1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
1
-∞,
a
x
1
,1
a
1
a
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.
1
当a<0时,令f'(x)=0,得x1= ,x2=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
1
( 1 )-( 2 )
所以 -x2+2ln x2<0,即
2
1 - 2
<a-2.
1
-
2 2
,
-17题型一
题型二
题型三
不等式问题
导数在不等式中的应用问题难度较大,属中高档题.归纳起来常
见的命题角度有:(1)证明不等式;(2)不等式恒成立问题;(3)存在型不
等式成立问题.
-18题型一
-
ln λ
0
(ln λ,+∞)
+
f(x)
↙
极小值
↗
-22题型一
题型二
题型三
①当λ≥e3时,ln λ≥3,f(x)在[-3,3]上单调递减,
∴f(x)的最大值f(-3)>f(0)=λ.
∴当λ≥e3时命题成立;
②当e-3<λ<e3时,-3<ln λ<3,
∴f(x)在(-3,ln λ)上单调递减,在(ln λ,3)上单调递增.
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第五章 核心素养提升(五)
|P→A＋3B→P|＝|(λ－2，－λ)＋3(λ－2，1－λ)| ＝|(4λ－8，3－4λ)| ＝ （4λ－8）2＋（3－4λ）2 ＝ 32λ2－88λ＋73，0≤λ≤1， 根据二次函数性质，上式当 λ＝1 时取得最小值，故其最小值 为 32－88＋73＝ 17.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(2，0)，C(3， 3)， D(1， 3)，M(2， 3)，
用好向量的坐标表示
(1)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ACD＝90°， AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最小值 为________．
(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝60°，M 为 CD 的 中点，若 N 为该菱形内任意一点(含边界)，则A→M·A→N的最大值 为________．
【答案】
39 2
二、求解平面向量问题的五大策略 平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算，在解题中既 可以按照几何的思路处理，也可以通过运算解决问题，解平面 向量的题目有一些策略，用好这些策略可以顺利地解决问题．
用好共线向量定理及其推论 在△ABC 中，A→B＝2a，A→C＝3b，设 P 为△ABC 内部 及其边界上任意一点，若A→P＝λa＋μb，则 λμ 的最大值为 ________．
所以 λ＋μ＝1.λ＋2μ＝3.
由 λ＋μ＝1，即可知 A、B、C 三点共线．
〈一〉原问题拓展
[拓展 1] 从原问题的图示和判断证明可以看出，由于O→A＝a＋b，O→B＝ a＋2b，O→C＝a＋3b 中，向量 a 的系数都为 1，从图示来说，O→A， O→B，O→C的终点 A、B、C 事实上就是向量O→M＝a 的端点．M 沿着向量 b 的方向平移而得，从而 A、B、C 三点共线，因此
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第五章 三角函数、解三角形5.4 第1课时
大一轮复习讲义第五章三角函数、解三角形§5.4简单的三角恒等变换NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式ZHISHISHULItan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β(T (α＋β)) cos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin βcos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))cos(α＋β)＝(C (α＋β))sin(α－β)＝(S (α－β))sin(α＋β)＝(S (α＋β))2.二倍角公式sin 2α＝；cos 2α＝＝＝；tan 2α＝.2sin αcos α1－2sin 2αcos 2α－sin 2α2cos 2α－12tan α1－tan 2α1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？【概念方法微思考】提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·(k ∈Z )时的特殊情形.π22.怎样研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x函数的性质？提示先根据辅助角公式a sin x＋b cos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)a2＋b2＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.()(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin α2＋cos α22.( ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立.( )×√×√题组二教材改编2.[P127T2]若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4等于 A.－210 B.210 C.－7210 D.7210解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45×22＝－7210. √22 ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.3.[P131T5]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝.解析sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°4.[P146A 组T4(2)]tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， 3 3 ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.题组三易错自纠5.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝ . 解析 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.126.化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 2 解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50° ＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2.7.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . －247解析 方法一 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15， ① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝210， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝7210， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ， ∴tan θ＝43.故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.8.化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2＝ .解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α. 4sin α2题型分类深度剖析PART TWO第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用自主演练1.(2018·嘉兴检测)sin 215°－cos 215°的值为 A.32 B.12 C.－32 D.－12 √＝－cos 30°＝－32，故选C.解析sin 215°－cos 215°＝－(cos 215°－sin 215°)2.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为 A.2941 B.129 C.141 D.1∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋β √解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋β＝25， ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34， 又tan β＝－12，3.已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为 A.－211 B.211 C.112 D.－112∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＝－211. √解析 sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.4.计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 . 12思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.题型二和差公式的灵活应用例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ .解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 多维探究命题点1角的变换2525 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.(2)(2018·浙江名校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5－α＝14， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋3π5等于 A.－18 B.18 C.－78 D.78 解析 设θ＝π5－α，则2θ＝2π5－2α，∴2α＋3π5＝π－2θ，√∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋3π5＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝2sin 2θ－1 ＝18－1＝－78.解 由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ2 命题点2三角函数式的变换例2 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)； ＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ， 故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ.解 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan 5°－tan 5°. ＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2＋cos θ2， ∴原式＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22sin θ2＝－cos θ. 化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ (0<θ<π).引申探究命题点3公式的逆用与变形例3 (1)已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14，－5972 ①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19， ① sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14. ②解析 ∵tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，且α－β＝π3， ∴cos αcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12， ∴sin αsin β＝12－36，(2)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 .那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 33－12(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.思维升华(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋β等.解析 cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80° ＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2. 跟踪训练 (1)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) 2(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ .32 解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1114×437＝32. ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝13， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝±223， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝±24，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝±24. (3)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π6＝ . ±24思想方法用联系的观点进行三角变换SIXIANGFANGFA三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.例(1)(2018·绍兴一中期中)(1＋tan 21°)(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)(1＋tan 24°)的值为A.2B.4C.8D.16√＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1－tan 24°1＋tan 24°·(1＋tan 24°)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1－tan 25°1＋tan 25°·(1＋tan 25°) ＝21＋tan 24°·(1＋tan 24°)·21＋tan 25°·(1＋tan 25°)＝4，故选B. 解析(1＋tan 21°)(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)(1＋tan 24°)＝[1＋tan(45°－24°)]·(1＋tan 24°)[1＋tan(45°－25°)](1＋tan 25°)(2)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π12的值为 .解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π4 17250 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.解析 cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22sin α＋22cos α ∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－45，∴原式＝－75.(3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝ . ＝cos α－sin α，－753课时作业PART THREE基础保分练123456789101112131415161.(2018·台州模拟)已知cos α＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6等于 A.12 B.32 C.－12 D.－32√解析 因为cos α＝1，所以sin α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝sin αcos π6－cos αsin π6＝－sin π6 ＝－12，故选C.2.(2018·温州检测)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于A.－31010B.31010C.－35D.35 解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－31010＝－35，故选C. √A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b √3.(2018·衢州模拟)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是解析a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D. b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a >c >b .4.已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3等于 A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16√则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6sin π6 解析 由于α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝223， ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.5.(2018·绍兴一中期中)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4的值为 A.－142 B.－144 C.142 D.144√解析 由sin α＝12＋cos α可得sin α－cos α＝12， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝12，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝24>0， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4， 可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝144， 则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－142，故选A.6.已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为 A.－12 B.12 C.－13 D.2327 √解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， 所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＋429×223＝2327.7.已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是A.α<π4<βB.β<π4<αC.π4<α<βD.π4<β<α解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， √∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.8.(2018·杭州二中期中)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α ＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋β2等于 A.33 B.－33 C.539 D.－69 √。
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第五章 三角函数、解三角形5.2
大一轮复习讲义第五章三角函数、解三角形§5.2同角三角函数基本关系式及诱导公式NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin 2α＋cos 2α＝1知识梳理ZHISHISHULIsin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α正弦sin α________________________________余弦cos α_________________________________正切tan α_____________－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限2.三角函数的诱导公式－sin α－sin αsin απ2－α π2＋α cos αcos α－cos αcos α－cos αsin α－sin αtan α－tan α1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k ·±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数.【概念方法微思考】π21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)若α∈R ，则tan α＝恒成立.()(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(4)若sin(k π－α)＝(k ∈Z )，则sin α＝.()题组一思考辨析××××基础自测JICHUZICEsin αcos α13 13题组二教材改编2.[P19例6]若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________.－12 解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3.[P22B 组T3]已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为______.3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.4.[P28T7]化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.－sin 2α5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.题组三易错自纠－23 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23.6.已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝______. －35 解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612. 7.已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为________. 612 解析 ∵－π2<α<0， ∴sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152＝－256，∴tan α＝－2 6.2题型分类深度剖析PART TWO故tan α＝sin αcos α＝－125.1.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于A.－513B.513C.－125D.125√解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213， 所以cos α＝1－sin 2α＝513， 题型一同角三角函数基本关系式的应用自主演练2.若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于A.6425B.4825C.1D.1625√解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.3.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 A.3 B.－3 C.1 D.－1 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2 解析由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，＝－3.√∴tan α＝tan 3π4＝－1.4.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于A.－1B.－22C.22D.1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，√(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.思维升华sin αcos α例1 (1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 题型二诱导公式的应用A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2}√师生共研所以由A 的值构成的集合是{2，－2}.(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.解析 原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. －1思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.跟踪训练1 (1)已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α·sin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π2－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9π2＋α的值为________. 解析 原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α， 根据三角函数的定义得tan α＝－34. －34∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 解析 ∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， (2)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π6＝________. 3例2 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12－α等于 A.223 B.13 C.－13 D.－223 题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用√师生共研解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12－α＝π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝－223.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－①求sin x －cos x 的值；15. 解 由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值. 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x ＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值.引申探究解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.∴sin x >0，cos x <0，思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2 (1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ等于A.－26 B.26 C.－23 D.23√解析 由tan 2θ＝－22可得tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝2或tan θ＝－22.又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2，故sin 2θ＋sin(3π－θ)co s(2π＋θ)－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝(2)2＋2－2(2)2＋1＝23.(2)已知sin α＝255，则tan(π＋α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2－α＝___________. 52或－52tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. 解析∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角，①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52；②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52. 综合①②知，原式＝52或－52.3课时作业PART THREEcos α＝－45，所以sin α＋cos α＝－75.故选A.1.(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知α为第三象限角，且tan α＝34，则sin α＋cos α等于A.－75B.－15C.15D.75基础保分练√由tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－35，解析因为α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，2.(2018·舟山模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是 A.1－a 2a B.1－a 2 C.a 2－1a D.－1－a 2 √解析sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.又∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于A.－π6B.－π3C.π6D.π3 √4.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2cos (α＋π)等于 A.1213B.－1213C.1312D.－1312 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，且cos α＝－513， ∴sin α＝1－cos 2α＝1213，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2cos (α＋π)＝－cos αsin α－cos α＝1sin α＝1312. √5.已知tan θ＝2，则sin 2θ－sin θcos θ2cos 2θ的值为 A.12 B.1 C.－12 D.－1 解析∵tan θ＝2，∴sin 2θ－sin θcos θ2cos 2θ＝tan 2θ－tan θ2＝4－22＝1. √解析 由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴sin α＝45， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.6.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于 A.35 B.－35 C.45 D.－45 √7.若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－θ等于A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.√解析 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－θ ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，8.已知sin x＋cos x＝3－12，x∈(0，π)，则tan x等于A.－33 B.33 C. 3 D.－ 3√解析 由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以2sin x cos x ＝－32，即2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝－32， 得tan x ＝－33或tan x ＝－ 3.当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－ 3.故选D.9.(2018·浙江名校协作体联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2－α ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝____，cos α＝____.35 45解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7π2＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝－sin α，所以cos αsin α＝1225，因为0<α<π4，所以cos α>sin α>0.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝125，所以cos α－sin α＝15， ①又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，所以cos α＋sin α＝75， ②由①②得sin α＝35，cos α＝45.10.sin 43π·cos56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43π的值是________. 解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334. －33411.已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为________. 5－95解析 因为cos α－sin α＝－55， ①所以1－2sin αcos α＝15， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.又0<α<π2，所以sin α＋cos α＝355. ②由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2，所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95. 即2sin αcos α＝45. 所以sin α＋cos α>0.12.已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝______. 解析当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.－1。
2020版数学新攻略大一轮浙江高考专用：5.4 数系的扩充和复数的引入
数的正整数指数幂运算也能推广到复数中,即zm·zn= zm+n ,(zm)n=
zmn ,(z1·z2)n= z1n ·z2n (m,n∈N*).
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6.(1)i4k= 1 ,i4k+1= i ,i4k+2= -1 ,i4k+3= -i ,其中k∈N*.
1 i (1 i)(1 i)
2
∴a=-2.
(2)先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,
则|z1|=|z2|= a2 b2 ,∴原命题为真,故其逆否命题为真;
再证其逆命题为假:取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴
当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|= a2 .这与以前关于实 数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对 值概念的扩充.
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8.共轭复数及其运算性质 z=a+bi与 z=a-bi(a,b∈R)互为共轭复数,且z+ z=2a,z- z=2bi,z· z = |z|2
=
| z |2 ,运算性质有: z1 z2=
z1± z2 , z1 z=2
z1· z2
,
z1 z2
=
z1
z2 (z2≠0).
9.设z=a+bi(a,b∈R),则|z|= a2 b2 ,且有:
(1) ||z1|-|z2|| ≤|z1±z2|≤ |z1|+|z2| ; (2)|z|=1⇔ z·z =1 ; (3)|z|2=| z|2=|z2|=| z 2|=z· z .
2020版高考数学新增分大一轮新高考第五章 5.5 复数 Word版含解析
§复数最新考纲.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.了解复数的代数表示法及其几何意义.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．．复数的有关概念()定义：形如＋(，∈)的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部(为虚数单位)．()分类：满足条件(，为实数)复数的分类＋为实数⇔＝＋为虚数⇔≠＋为纯虚数⇔＝且≠()复数相等：＋＝＋⇔＝且＝(，，，∈)．()共轭复数：＋与＋共轭⇔＝，＝－(，，，∈)．()模：向量的模叫做复数＝＋的模，记作＋或，即＝＋＝(，∈)．．复数的几何意义复数＝＋与复平面内的点(，)及平面向量＝(，)(，∈)是一一对应关系．．复数的运算()运算法则：设＝＋，＝＋，，，，∈.()几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.概念方法微思考．复数＋的实部为，虚部为吗？提示不一定．只有当，∈时，才是实部，才是虚部．．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()方程＋＋＝没有解．(×)()复数＝＋(，∈)中，虚部为.(×)()复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)()原点是实轴与虚轴的交点．(√)()复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．。
(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 5.1 任意角、弧度制及
§5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限符号第二象限符号 第三象限符号第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α 错误!＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律． 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示 设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2．[P10A 组T7]角－225°＝______弧度，这个角在第______象限． 答案 －5π4二3．[P15T2]若角α的终边经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则sin α＝____，cos α＝________. 答案22 －224．[P10A 组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度． 答案π3题组三 易错自纠5．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3答案 C解析 因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以θ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________．答案2π3解析 与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3(k ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3. 8．函数y ＝2cos x －1的定义域为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.4．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案 一或三解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 题型二 弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解 由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)． 2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)． 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π6B.π3C ．3D. 3 答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ， ∴|α|＝l r＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 答案518解析 设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α， 由扇形面积等于圆面积的527，可得12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，解得α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为5π6·2r32πr ＝518.题型三 三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角． 命题点2 三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. (2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________．答案 sin α<cos α<tan α解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]答案 A解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，如图，OA为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2时，如图，OB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，5π4时，sin x >cos x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，2π时，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．不相等的角，它们的终边必不相同 C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等 答案 C解析 因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．若角θ终边过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3C.163D ．±3答案 B 解析 sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知点P (cos α，tan α)在第二象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 因为点P (cos α，tan α)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，所以角α的终边在第三象限，故选C.6．(2018·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．下列命题中正确命题的个数是( ) ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ， 又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________． 答案11π6解析 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 12．函数y ＝sin x －32的定义域为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________. 答案 ±34解析 由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 在单位圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案 5解析 如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt△AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫33×32＋94＝943＋98≈5(平方米)．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于B 点，始边不动，终边运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解 (1)根据题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，±35，∴tan α＝±34.(2)若△AOB 为等边三角形， 则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，当B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，α＝π3；当B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，α＝－π3.∴与角α终边相同的角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π或β＝－π3＋2k π，k ∈Z. (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3.。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第五章第4讲数系的扩充与复数的引入含解析
[基础达标]1．(2019·温州七校联考)复数1（1＋i ）i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.1（1＋i ）i ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－12i ，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2019·金华十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 3．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A ．25B ．35C ．105D ．10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i＝－1－3i 5⇒|z |＝105.4．如果复数z 满足|z ＋1－i|＝2，那么|z －2＋i|的最大值是( ) A ．13＋2 B ．2＋3iC ．13＋ 2D ．13＋4解析：选A.复数z 满足|z ＋1－i|＝2，表示以C (－1，1)为圆心，2为半径的圆． |z －2＋i|表示圆上的点与点M (2，－1)的距离． 因为|CM |＝32＋22＝13.所以|z －2＋i|的最大值是13＋2. 故选A.5．(2019·杭州市学军中学联考)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，故选D. 6．(2019·金丽衢十二校联考)已知复数z ＝x ＋(x －a )i ，若对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C.因为z ＝x ＋(x －a )i ，且对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|， 所以x 2＋（x －a ）2>x 2＋（x －a ＋1）2对任意实数x ∈(1，2)恒成立．即2(x －a )＋1<0对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 所以a >x ＋12(1<x <2)．因为x ＋12∈⎝⎛⎭⎫32，52，所以a ≥52. 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞.故选C. 7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34.答案：－348．(2019·杭州市学军中学联考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________．解析：因为z ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ， 所以(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，所以|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10. 答案：109．(2019·宁波南三县六校联考)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________．解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－110．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i ＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.[能力提升]1．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2x D ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D.依次判断各选项，其中A ，C 错，应为|z －z |＝2|y i|；B 错，应为z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，D 正确，因为|z |＝x 2＋y 2≤|x |2＋|y |2＋2|x |·|y |＝（|x |＋|y |）2＝|x |＋|y |.2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是 ( )A ．32B ．33C ．12D ． 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.由图的几何意义得，yx 是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3， 所以yx的最大值为 3.3．若复数z 1.z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝23，则|z 1－z 2|＝________．解析：由已知z 1，z 2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z 1－z 2|为另一对角线长，如图，易知∠Z 1OZ 2＝60°，所以|z 1－z 2|＝2.答案：24．已知复数z ＝22a1＋i ，当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：当a ≥2时，复数z ＝22a1＋i ＝22a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2a －2a i ，|z |＝（2a ）2＋（－2a ）2＝2a .当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则4a 2＋2at ＋4>0，化为：t >－2－2a 2a＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋1a . 令f (a )＝a ＋1a (a ≥2)，f ′(a )＝1－1a2>0，所以f (a )在a ≥2时单调递增，所以a ＝2时取得最小值52.所以t >－5.答案：(－5，＋∞)5．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且实数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x .y ∈R )，z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝（x －2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.所以z ＝4－2i ，(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08（a －2）>0，解得2<a <6，所以实数a 的取值范围是2<a <6.6．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
(浙江)2020版高考数学大一轮复习 平面向量、数系的扩充与复数的引入考点规范练 平面向量的概念及线性运算
考点规范练22 平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2a-b=e1-3e2.故选C.2.在△ABC中,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,若点D满足AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A.23b+13c B.53c-23bC.23b-13c D.13b+23c⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c+23(b-c)=23b+13c.故选A.3.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使A|A|=A|A|成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|=A|A|⇔a=|A|A|A|⇔a与b共线且同向⇔a=λb且λ>0.B,D选项中a和b可能反向.A选项中λ<0,不符合λ>0.故选C.4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A.34AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,根据向量的运算法则,可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .5.(2017浙江嘉兴测试)设点M 是线段AB 的中点,点C 在直线AB 外,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A.12B.6C.3D .32|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴2|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,故选C .6.给出下列命题:①若两个单位向量的起点相同,则终点也相同; ②若a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ; ③λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线; ④0·a =0.其中错误命题的序号为 .不正确.单位向量的起点相同时,终点在以起点为圆心的单位圆上;②不正确,两向量不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0时,a 与b 可能不共线;④正确.7.设点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由平行四边形法则知,点P 为AC 的中点,故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.8.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD=12AB ,BE=23BC ,若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1= ,λ2= . -1623,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以λ1=-16,λ2=23.能力提升组9.如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A .14a +12b B .12a +14b C .23a +13b D .13a +23bAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +12b .∵E 是OD 的中点,∴|AA ||AA |=13,∴|DF|=13|AB|,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×-12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(-12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −16AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a -16b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +12b +16a -16b =23a +13b ,故选C .10.已知在△ABC 中,D 是AB 边上的一点,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A (AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则用a ,b 表示AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为( )A .23a +13bB .13a +23bC .13a +13b D .23a +23b,CD 是∠ACB 的角平分线,故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +13b ,故选A.11.(2017浙江温州八校检测)设a ,b 不共线,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +p b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ) A.-2 B.-1C.1D.2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b .由A ,B ,D 三点共线,知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2a +p b =λ(2a-b ),∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1.12.点D 为△ABC 内一点,且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则A △AAA A △AAA=( )A .47B .13C .712D .112,分别延长DB ,DC 至点B 1,C 1,使得DB 1=4DB ,DC 1=7DC ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则A △AAA 1=A △AAA 1=A △AA 1A 1=S ,S △DAB =14S ,S △DAC =17S ,S △DBC =128S ,S △ABC =14S+17S+128S=1228S ,A △AAAA△AAA=128A 1228A =112,故选D .13.在Rt △ABC 中,∠C 是直角,CA=4,CB=3,△ABC 的内切圆交CA ,CB 于点D ,E ,点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y 的值可以是( ) A .1 B .2 C .4 D .8O ,半径为r ,则OD ⊥AC ,OE ⊥BC ,∴3-r+4-r=5,解得r=1.连接DE ,则当x+y=1时,P 在线段DE 上,排除A;在AC 上取点M ,在CB 上取点N ,使得CM=2CD ,CN=2CE ,连接MN ,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则点P 在线段MN 上时,A 2+A2=1,故x+y=2.同理,当x+y=4或x+y=8时,P 点不在三角形内部,排除C,D .故选B .14.已知△ABC 和点M ,满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若存在实数m ,使得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则点M 是△ABC 的 ,实数m= .3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知,点M 为△ABC 的重心.设点D 为底边BC 的中点,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故m=3.15.(2017浙江湖州模拟)如图,在△ABC 中,AD=2DB ,AE=12EC ,BE 与CD 相交于点P ,若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ,y ∈R ),则x= ,y= .17AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A (AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(1-λ)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A (AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(1-μ)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以可得{23(1-A )=A ,13(1-A )=A ,解得{A =17,A =47,故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =47AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +17AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=47,y=17.16.在△ABC 中,点P 满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点P 的直线与AB ,AC 所在直线分别交于点M ,N ,若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),则m+2n 的最小值为 .AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵M,P,N三点共线,∴13A +23A=1,∴m+2n=(m+2n)(13A +23A)=13+43+23(AA+AA)≥53+23×2√AA·AA=53+43=3.当且仅当AA =AA时等号成立,即m=n=1,故m+2n的最小值为3.17.设两个非零向量a与b不共线.(1)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使k a+b和a+k b共线.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.k a+b与a+k b共线,∴存在实数λ,使k a+b=λ(a+k b),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.18.已知O,A,B是不共线的三点,且AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.若m+n=1,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-m)AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +m(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又因为AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,所以A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).又AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故有m AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(n-1)AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(m-λ)AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(n+λ-1)AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为O ,A ,B 不共线, 所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, 所以{A -A =0,A +A -1=0.所以m+n=1.。
2020版数学新优化浙江大一轮试题：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点规范练23 Word版含答案
B. 2
C. 3
D.2
答案 B
解析法一:以 O 为原点,向量������������,������������所在直线分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系,设<������������,������������>=θ,θ ∈
[ ]π
0,2 ,则������������=(1,0),������������=(0,1),������������=(cos θ,sin θ).由������������=x������������+y������������,
|������������|
4.已知向量������������,������������和������������在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示,若������������=λ������������+μ������������,则 λ+μ 等于 ( )
A.2
B.-2
C.3
D.-3
答案 A
21
x=3,y=3.
6.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,b=(2,-1),则 a=
.
答案(-1,1)或(-3,1)
解析由|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,得 a+b=(1,0)或(-1,0),则 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或 a=(-1,0)-(2,-1)=(3,1).
4cos������ + 2
化为:λ=3cos2������
+
4cos������
+
,令
2
2cos
β+1=t∈[-1,3].
8������
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第五章 三角函数、解三角形5.5
因为|φ|<π2，故 φ＝π6，
所以 f(x)＝
3sin2x＋π6＋
3 2.
将函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后得到 g(x)＝ 3sin2x＋π6＋2m＋ 23的
图象， 又函数 g(x)的图象关于点π3， 23对称，即 h(x)＝ 3sin2x＋π6＋2m的图象关于点 π3，0对称，
1234567
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
师生共研
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π2<φ <π2的最小正周期是 π， 且当 x＝6π时，f(x)取得最大值 2.
(1)求 f(x)的解析式；
ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式；
解 由三角函数的图象可知，
A＋h＝2，
A＝1，
得
－A＋h＝0， h＝1.
设函数 f(x)的最小正周期为 T，则由题意得T2＝71π2－1π2，所以 T＝π，
所以2ωπ＝π，解得 ω＝2.
因为函数 f(x)的图象过点1π2，2，且 0<φ<π2，
振幅 A
周期
频率
相位 初相
2π T＝_ω__
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章 三角函数、解三角形5.3 含解析
§5.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编2．[P35例2]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 答案 π3．[P46A 组T2]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．[P47B 组T2]函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为________________．答案 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， 又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________． 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－3.(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－32，－1 D.⎣⎡⎦⎤32，3答案 B解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3.(3)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)(2017·台州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1 三角函数的周期性例2 (1)(2016·浙江)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3解析 由题意得，1<πk <2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k 是自然数，∴k ＝2或3. 命题点2 三角函数的奇偶性例3 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为________． 答案5π6解析 由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称， ∴f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝±3，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π6.命题点3 三角函数图象的对称性例4 (1)(2017·温州“十五校联合体”期末联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最小值，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( ) A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 B ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，0对称 D ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，0对称答案 B解析 已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )， 所以f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)的周期为2π，若函数在x ＝π4处取得最小值，不妨设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4， 则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x －3π4＝－sin x ， 所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数且它的图象关于点(π，0)对称．(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为________．答案 9解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2， 即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )， 又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件． 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调的条件． 由此得ω的最大值为9.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析 ∵当x ＝－π6时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋π3＝0， ∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为( )A.34πB.π2C.π3D.π4 答案 A解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .当k ＝2时，可得φ＝34π.题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例5 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为______________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数例6 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 答案 D解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)(2018·浙江十校联盟适应性考试)下列四个函数中，以π为最小正周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|tan x | D ．y ＝－ln|sin x |答案 D解析 由题意知函数y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，y ＝cos|x |的最小正周期为2π，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增．因为f (x )＝|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递增，所以y ＝－ln|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递减，又g (x )＝sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝|sin x |的最小正周期为π，则函数y ＝－ln|sin x |的最小正周期为π，故选D.(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z ，且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确； B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎡⎭⎫2π3，π上单调递增，D 项错误． 故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为______________________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ， 得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．(2018·浙江六校协作体期末联考)“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π2＝±sin ωx ，函数f (x )为奇函数，所以充分性成立；反之，若函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则ω×0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因此必要性成立．所以“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数”的充要条件，故选C.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B. 3．(2019·舟山模拟)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D. 4．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1 D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0 D.⎝⎛⎭⎫π12，0 答案 B解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π6>0，则f (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ>0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z . 7．函数y ＝1tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析 要使函数有意义必须有tan ⎝⎛⎭⎫x －π4≠0， 则⎩⎨⎧x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，x －π4≠k π，k ∈Z .所以x －π4≠k π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 8．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期， 又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.9．(2018·浙江温州中学模拟)函数f (x )＝2cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1，则函数的最小正周期为____________，在[0，π]内的对称轴方程是________． 答案 π x ＝π12和x ＝7π12解析 因为f (x )＝1＋cos 2x ＋12cos 2x ＋32sin 2x －1＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.解sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝±1， 得f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．由于x ∈[0，π]，所以在[0，π]内的对称轴方程是x ＝π12和x ＝7π12.10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确． 11．(2018·温州市适应性测试)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，求： (1)f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝34cos 2x －14sin 2x ＋12sin 2x ＝34cos 2x ＋14sin 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝12×sin 2π3＝34. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－34，12， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，12. 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1，且x ∈[]－π，π的x 的取值集合． 解 (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4. 解得a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝11π6＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.13．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x 的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤22，1D.⎣⎡⎦⎤－1，22 答案 D解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6B.⎣⎡⎦⎤－π4，0 C.⎝⎛⎦⎤－π3，－π12 D.⎣⎡⎦⎤0，π4 答案 B解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2可得，当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－π4，0.15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增，若f ⎝⎛⎭⎫π4≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ， 由函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上是增函数得 ⎩⎨⎧－π＋2k π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2k π，k ∈Z ，则2k π－π4≤θ≤2k π＋π3(k ∈Z )．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ， 又π2≤θ＋π2≤5π6，∴f ⎝⎛⎭⎫π4max ＝0，∴m ≥0. 16．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域． 解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f (x )的最小正周期为3π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ，∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0，∴m ＝－2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[]－3，0.。
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[基础达标]1．(2019·温州七校联考)复数1（1＋i ）i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.1（1＋i ）i ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－12i ，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2019·金华十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 3．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A ．25B ．35C ．105D ．10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i＝－1－3i 5⇒|z |＝105.4．如果复数z 满足|z ＋1－i|＝2，那么|z －2＋i|的最大值是( ) A ．13＋2 B ．2＋3iC ．13＋ 2D ．13＋4解析：选A.复数z 满足|z ＋1－i|＝2，表示以C (－1，1)为圆心，2为半径的圆． |z －2＋i|表示圆上的点与点M (2，－1)的距离． 因为|CM |＝32＋22＝13.所以|z －2＋i|的最大值是13＋2. 故选A.5．(2019·杭州市学军中学联考)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，故选D. 6．(2019·金丽衢十二校联考)已知复数z ＝x ＋(x －a )i ，若对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C.因为z ＝x ＋(x －a )i ，且对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|， 所以x 2＋（x －a ）2>x 2＋（x －a ＋1）2对任意实数x ∈(1，2)恒成立．即2(x －a )＋1<0对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 所以a >x ＋12(1<x <2)．因为x ＋12∈⎝⎛⎭⎫32，52，所以a ≥52. 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞.故选C. 7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34.答案：－348．(2019·杭州市学军中学联考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________．解析：因为z ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ， 所以(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，所以|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10. 答案：109．(2019·宁波南三县六校联考)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________．解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－110．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i ＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.[能力提升]1．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2x D ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D.依次判断各选项，其中A ，C 错，应为|z －z |＝2|y i|；B 错，应为z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，D 正确，因为|z |＝x 2＋y 2≤|x |2＋|y |2＋2|x |·|y |＝（|x |＋|y |）2＝|x |＋|y |.2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是 ( )A ．32B ．33C ．12D ． 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.由图的几何意义得，yx 是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3， 所以yx的最大值为 3.3．若复数z 1.z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝23，则|z 1－z 2|＝________．解析：由已知z 1，z 2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z 1－z 2|为另一对角线长，如图，易知∠Z 1OZ 2＝60°，所以|z 1－z 2|＝2.答案：24．已知复数z ＝22a1＋i ，当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：当a ≥2时，复数z ＝22a1＋i ＝22a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2a －2a i ，|z |＝（2a ）2＋（－2a ）2＝2a .当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则4a 2＋2at ＋4>0，化为：t >－2－2a 2a＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋1a . 令f (a )＝a ＋1a (a ≥2)，f ′(a )＝1－1a2>0，所以f (a )在a ≥2时单调递增，所以a ＝2时取得最小值52.所以t >－5.答案：(－5，＋∞)5．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且实数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x .y ∈R )，z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝（x －2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.所以z ＝4－2i ，(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08（a －2）>0，解得2<a <6，所以实数a 的取值范围是2<a <6.6．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。