直角三角形和勾股定理

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直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，具有一个角度为90度的直角。

与直角三角形相关的一个重要定理就是勾股定理。

下面将介绍直角三角形以及勾股定理的相关内容。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在直角三角形中，直角位于两条边的交汇处，我们通常将直角对边称为斜边，另外两条边分别称为直角边。

直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的两个直角边相互垂直。

2. 直角三角形的斜边是直角边长度的最大值。

3. 直角三角形中，任意一个角的正弦、余弦和正切值都可以通过三角函数来表示。

二、勾股定理的介绍和应用勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理，它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式为：c² = a² + b²其中，a和b代表直角三角形的直角边的长度，c代表斜边的长度。

勾股定理有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。

1. 求解直角三角形的边长利用勾股定理，我们可以根据直角三角形的两个直角边的长度求解斜边的长度，或者根据斜边的长度求解直角三角形的直角边长度。

这在实际生活中经常用到，比如测量房间的对角线长度、计算建筑物的高度等。

2. 判断直角三角形通过勾股定理，我们可以判断一个三边长度符合勾股定理的三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三边长度满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

3. 计算三角形的面积对于已知两个直角边的直角三角形，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度，然后再利用三角形的面积公式求解三角形的面积。

三角形的面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中S代表三角形的面积，a和b分别代表直角三角形的直角边的长度。

总结：直角三角形与勾股定理是数学中的基础概念和定理，它们在实际生活中有很多应用。

直角三角形的定义和性质以及勾股定理的介绍和应用都是我们学习数学时必须了解和掌握的内容。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理∙（1）斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20 道)1. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半2. 当题目中出现了直角三角形时，要注意斜边上是否有中线或中点出现，如果有斜边的中点，不妨连接中点和直角顶点，构造出斜边上的中线，利用性质2进行中线与斜边之间的转化，从而迅速找到思路3. 由性质二得到的角之间的关系：∠A=∠1，∠B=∠2，∠3=2∠A，∠4=2∠B4. 两个运用性质二的基本图形∙（2）30°引爆全新体验！—直角三角形的性质三(20 道)1. 直角三角形的性质3：有一个角是30度的直角三角形，30度角的对边等于斜边的一半。

它的作用是由特殊角30度得到边的关系2. 性质3的逆定理：在直角三角形中，如果某条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。

它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度3. 一道难度稍大的综合题，要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如∙（3）等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20 道)1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

它可以用来进行边的转化或构造全等来证明边、角相等2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

由此得到角平分线的另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合3. 逆定理的作用是由距离相等得到角平分线，进而得到角相等的结论4. 两个定理的题设和结论刚好相反，成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘密通道∙（4）从地板飞向宇宙—勾股定理(20 道)1. 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，用式子表示就是：a²+b²=c²3. 一种传奇的证明方法：总统证法，通过构造梯形和面积法完成4. 勾股定理的意义：它揭示了直角三角形三边的数量关系，当知道一个直角三角形的任意两条边时，可以利用勾股定理求出另外一条边，简称“知二求一”。

勾股定理及直角三角形的判定

勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。

我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。

另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。

3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。

其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。

我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。

4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。

友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。

【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。

请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

直角三角形-勾股定理1上海学

第讲勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ，又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。

甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理是初中数学中重要的概念和定理。

直角三角形是指一个角为直角（90度）的三角形，而勾股定理是指直角三角形的一条关于三边之间关系的定理。

在本文中，我们将探讨直角三角形的性质及勾股定理的应用。

一、直角三角形的性质直角三角形具有一些特殊的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。

1. 直角三角形的两条直角边直角三角形的两条直角边分别称为直角边和斜边。

直角边是直角三角形中与直角相邻的两条边，斜边则是直角三角形的另一边。

直角边之间的关系是垂直的，而斜边则是直角三角形最长的一条边。

2. 直角三角形的两个锐角除直角外，直角三角形的其他两个角必定是锐角。

由于三角形的内角和为180度，所以直角三角形的两个锐角之和为90度。

3. 直角三角形的边长关系根据直角三角形的边长关系，如果直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有勾股定理成立，即a² + b² = c²。

二、勾股定理的应用勾股定理是直角三角形中最为重要的定理之一，它的应用非常广泛。

下面将介绍勾股定理在求解三角形边长和判断三角形形状方面的应用。

1. 求解三角形的边长通过勾股定理，我们可以利用已知的两条边的长度，求解第三边的长度。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度：3² + 4² = 5²，即斜边的长度为5。

2. 判断三角形形状利用勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

通过勾股定理，我们可以准确地判断三角形的形状。

三、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几何方法和代数方法来完成。

其中，最著名的证明是毕达哥拉斯的证明，下面将简要介绍这个证明。

毕达哥拉斯的证明思路是基于平行线的性质和面积的相等关系。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。

2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．5.直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数。

简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

【典例精析】◆例1：在△ABC 中，∠BAD ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，现将它们折叠，使B 点与C 点重合，求折痕DE 的长。

【巩固】1、四边形ABCD 中，∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2；求对角线AC 的长A BDC E ABCD◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求证：AB 2＝2FG 2．【巩固】已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，ME ⊥MF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2◆例3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF＝b ,且S EFGH ＝32求：a b 的值◆例4：已知：P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数G F AE BD CFEC MB A HDAB C E F G A BP【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O 点，AB ＝15，BC ＝40，CD ＝50，则AD ＝________.◆例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形是指其中一角为90度（直角）的三角形。

勾股定理是与直角三角形密切相关的定理，它描述了直角三角形中，直角边与斜边之间的关系。

在本文中，我们将讨论直角三角形和勾股定理，以及它们在几何学和实际生活中的应用。

1. 直角三角形的定义与特性直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。

根据直角三角形的特性，我们可以得出以下结论：1.1 斜边：斜边是直角三角形中与直角不相邻的边，它是直角边的对边。

1.2 直角边：直角边是直角三角形中与直角相邻的边，我们通常将直角三角形的两个直角边分别称为“邻边”和“对边”。

1.3 邻边：邻边是直角三角形中与直角相邻的边，即与直角边共同组成直角的两条边之一。

1.4 对边：对边是直角三角形中与直角相邻的边，即与直角边共同组成直角的两条边之一。

2. 勾股定理的表述与证明勾股定理是描述直角三角形中直角边与斜边之间关系的定理。

它的数学表达式为：在一个直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。

数学表达式：c² = a² + b²其中，c代表斜边的长度，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度。

证明勾股定理可以采用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明方法。

毕达哥拉斯证明利用了平方的几何性质，通过构建几个平方，并运用几何关系，得出了直角边与斜边之间的数学关系。

3. 勾股定理的应用勾股定理在几何学和实际生活中有广泛的应用。

以下是几个勾股定理的应用例子：3.1 测量直角三角形的边长：通过已知直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度或其他边的长度。

3.2 解决平面几何问题：在平面几何中，利用勾股定理可以求解各种与直角三角形相关的问题，如角度、面积等。

3.3 应用于物理学和工程学：勾股定理在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在测量、导航和建筑设计中常用到勾股定理。

4. 直角三角形的性质及应用举例除了勾股定理，直角三角形还具有其他一些重要的性质。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个内角为直角（度数为90度），这个特性使得直角三角形与勾股定理存在紧密的联系。

勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边之间的关系。

在本文中，我们将探讨直角三角形与勾股定理之间的关系以及一些应用例题。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是由三条边组成的三角形，其中一个内角为90度。

直角三角形的另外两个内角为锐角或钝角。

直角三角形的特性包括：1. 直角三角形的两条边相互垂直。

2. 直角三角形的两条直角边可以作为直角三角形的高和底。

3. 直角三角形的斜边是其他两条边的平方和的平方根。

二、勾股定理的定义和证明勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。

勾股定理描述了直角三角形中三边之间的关系，它的公式如下：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方即c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边，a和b代表直角三角形的两条直角边。

勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是通过几何图形推导得出。

三、直角三角形与勾股定理的应用1. 解决三角形的边长问题：有时候我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度，要求计算斜边的长度，就可以直接使用勾股定理来解决。

例如，如果一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度为5。

2. 判断三角形的形状：在有些情况下，我们已知三角形的边长，但不确定它是不是直角三角形。

此时，我们可以利用勾股定理来判断。

例如，如果一个三角形的三边长度分别为5、12、13，我们可以通过勾股定理判断：5² + 12² = 25 + 144 = 169，而13² = 169，说明这个三角形是一个直角三角形。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。

直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。

在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。

一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。

下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。

1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。

假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。

2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。

根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。

3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。

锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。

在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。

二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。

下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。

例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。

2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。

3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。

例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。

总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。

直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。

通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。

深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。

勾股定理与三角形

勾股定理与三角形勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形三条边的关系。

本文将介绍勾股定理的原理和应用，以及它与三角形的关联。

1. 勾股定理的原理勾股定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，它的原理可以用以下公式表示：在一个直角三角形中，设两直角边分别为a和b，斜边为c，则有：a² + b² = c²。

2. 勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用价值，在几何学和物理学中常被使用。

以下是其中的几个应用场景：2.1 计算直角三角形的边长已知直角三角形的两条边长，可以通过勾股定理来计算斜边的长度。

同样地，已知斜边和一条直角边的长度，也可以通过勾股定理求解剩余的边长。

2.2 判断三条边是否构成直角三角形根据勾股定理，如果三条边的边长满足 a² + b² = c²，那么这三条边可以构成一个直角三角形。

通过勾股定理，我们可以快速验证一个三角形是否为直角三角形。

2.3 判断三角形的形状对于一个非直角三角形，我们可以通过勾股定理判断其形状。

如果a² + b² < c²，那么该三角形为钝角三角形；如果 a² + b² > c²，那么该三角形为锐角三角形。

3. 勾股定理与三角形的关联勾股定理与三角形有着密切的联系，三角形的性质可以通过勾股定理来研究。

利用勾股定理，我们可以推导出正弦定理和余弦定理。

其中，正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中A、B、C为三角形的角度。

余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中C为三角形的夹角，a、b为两边的边长。

通过正弦定理和余弦定理，我们可以更全面地研究三角形的性质和关系，进一步拓宽勾股定理的应用范围。

结语勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形边长的关系。

数学：直角三角形和勾股定理

直角三角形与三角函数：在直角三角形中，可以利用三角函数来表示角度和边的关系，如sin(角度) = 对边/斜边。
特殊直角三角形
添加标题
等腰直角三角形：两腰相等，角度为45°和45°，面积计算公式为(a^2)/2，其中a为腰长。
添加标题
30°-60°-90°直角三角形：有一个30°角和两个60°角，三边之比为1:√3:2，面积计算公式为 (a×√3)/2，其中a为较短的直角边。
桥梁建设：利用勾股定理计算桥墩之间的距离航海定位：通过直角三角形和勾股定理确定船只位置地震监测：利用直角三角形和勾股定理计算地震波传播距离建筑测量：在建筑设计中利用直角三角形和勾股定理进行精确测量
经典例题解析
题目：一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。题目：已知一个直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边长。题目：一个等腰直角三角形的斜边长为6，求腰长。题目：一个直角三角形的斜边长为√5，一条直角边长为1，求另一条直角边长。
航空航天：在航空航天领域，利用直角三角形和勾股定理计算飞行器的飞行轨迹和姿态，以确保飞行器的安全和稳定运行。
航海：在航海领域，利用勾股定理计算船只的航行方向和速度，以确保船只能够准确到达目的地。
在科学实验中的应用
测量地球半径：利用勾股定理计算地球半径卫星轨道：通过勾股定理计算卫星轨道参数天文观测：利用直角三角形和勾股定理计算天体距离桥梁设计：利用勾股定理验证桥梁结构的稳定性
添加标题
30°-45°-90°直角三角形：有一个30°角和两个45°角，三边之比为1:1:√2，面积计算公式为 (a^2)/2，其中a为直角边。
添加标题
60°-30°-90°直角三角形：有一个60°角和两个30°角，三边之比为1:√3:2，面积计算公式为 (a×√3)/2，其中a为较短的直角边。

直角三角形与勾股定理

第3讲直角三角形与勾股定理课程预览斜边中线勾股定理勾股定理逆定理模块一：斜边中线斜边中线性质直角三角形斜边中线等于斜边的一半.斜边中线性质逆定理若三角形一边上的中线是这边长度的一半，则这条边所对的内角是直角.例题精讲例1.如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠A=40°，点M为EC的中点，当D、E分别在AC、AB上时，判断△BMD的形状，并计算∠BMD的度数.例2.如图所示，BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，求证：MN⊥DE.例3.如图所示，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连结FC、FD，求证：FD=FC.例4.如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CD//AB，连接AD与BC相交于E.若DE=2AC，求∠BAD的度数.例5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ABC ，CE 是AB 边上的中线，CF ⊥AB ，求证：CD 平分∠ECF.模块二：勾股定理1.勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，有许多性质是其它三角形所没有的.今天我们就要学习一个关于直角三角形的最重要的性质——勾股定理，首先让我们看一下下面两组图形：如图，下面阴影部分是四个全等的直角三角形，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，根据上面的图形，我们很容易得出下面的一组等式：123222123,,S S S S c S a S b =+⎧⎪⎨===⎪⎩ 整理这些等式，得到：c 2=a 2+b 2.这就是勾股定理的结论.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.勾股定理有着悠久的历史，早在公元前约三千年前的周朝就有“勾三，股四，弦五”的记载. 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.作为平面几何里最基础的定理之一，勾股定理对数学的发展提供了巨大的贡献，因此有数之不尽的后来学者对其进行了研究，勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理，由此可见勾股定理的地位和作用. 下面给出勾股定理另外两种常见证明方法：如下图（左），()22142ABCD S c a b ab ==-+⨯正方形，所以a 2+b 2=c 2；如下图（右），()()2112222ABCDa b a bS ab c+-==⨯+梯形，所以a2+b2=c2.例6.已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.例7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB⊥BC于E，若AB=12，BC=10，AC=8，求DE的长.例8.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C’上，若AB=6，BC=9，求BF的长.例9.已知a，b，c，d都是正数，a<b，c<d，bc>ad，.模块三：勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.即：如果三角形△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.注：勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足a2+b2=c2”为前提，得到这个三角形是直角三角形.两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别. 2.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17；1、1；1、2.例10.如图，正方形ABCD的边长为4，M是AB的中点，且14AN AD，判断△CMN是什么三角形并加以证明.例11.如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是多少？模块四：特殊直角三角形特殊的直角三角形：1.30°、60°直角三角形三边比为：__________；2.等腰直角三角形三边比为：____________.3、顶角为120°等腰三角形三边比为：________________.4、特殊角的三角形常见辅助线添法：例12.在四边形ABCD 中，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC 和AD 的长.例13.如图所示，在△ABC 中，∠A=135°，∠B=30°；求ABAC的值.例14.在直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC<BC ，若214BC AC AB ⋅=，求∠B 的度数.例15.如图，在△ABC 中，AB=37，AC=58，D 在线段BC 上，且AD=AB.若BD 和DC 的长均为整数，求BC 的长.例16.在△ABC 中，D 是BC 边上任一点，求证：AB 2·DC+AC 2·BD-AD 2·BC=BC ·DC ·BD.思维冲浪1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB.若∠B=20°，则∠DFE等于（）A.30°B.40°C.50°D.60°2.如图，将Rt△ABC绕其顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACB=90°，M、N分别为AB、DE的中点，若MN=4，则AB的长为（）A.42B.4C.22D.83.如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是_______.4.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M、N分别是AD、EF的中点，求证：MN⊥EF.5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能是_______.6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________.7.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是________.8.如图，已知AD=4cm，CD=3cm，AD⊥DC，AB=13cm，BC=12cm，四边形ABCD的面积为_______cm2.9.如图，AD⊥BC，垂足为D.如果CD=1，AD=3，BD=9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由.10.在四边形ABCD中，AB4，CD=2，∠C=135°，∠B=∠D=90°，四边形ABCD的周长为_______，面积为______.。

什么是直角三角形和勾股定理

什么是直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理是数学中常见且重要的概念。

本文将介绍直角三角形和勾股定理的基本定义、性质和应用。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，直角对边为最长边，其他两条边分别称为直角边。

直角三角形的性质有：1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边（即斜边的平方）的平方。

2. 直角三角形的两个直角边的长度可以满足勾股定理，即a² + b² =c²。

二、勾股定理的定义和证明勾股定理是描述直角三角形边长关系的定理，也叫毕达哥拉斯定理。

它可以用以下公式表示：a² + b² = c²。

勾股定理的证明有多种方法，其中最常用的是基于几何图形的证明和代数运算的证明。

几何证明是通过构造几何图形来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是通过在直角三角形的两条直角边上构建正方形，然后利用几何相似性和平行线性质得出结论。

例如，我们可以在直角三角形的直角边上分别构建以a和b为边长的正方形，然后通过几何推理得出这两个正方形加上斜边c所形成的大正方形的面积关系，进而证明a² + b² = c²。

代数证明是通过代数运算来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是通过使用平面直角坐标系。

假设直角三角形的顶点位于坐标原点，斜边c与x轴正方向的夹角为θ，那么顶点所对的两条直角边便可以表示为a = c*cosθ和b = c*sinθ，代入勾股定理可以得到c²*cos²θ +c²*sin²θ = c²，经过简化后即可得到a² + b² = c²。

三、勾股定理的应用勾股定理在解决实际问题时具有广泛的应用。

1. 测量：勾股定理可以用于测量无法直接测得的距离。

通过建立直角三角形，测量已知直角边的长度，就可以利用勾股定理计算出未知边的长度。

直角三角形与勾股定理

2．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴
含着丰富的科学知识和人文价值．图20－6是一棵由正方形和
含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自
下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n 个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
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探究一直角三角形性质
命题角度：
1．直角三角形两锐角互余； 2．直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
例1 [2013·鄂州 ]著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还
是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图20－1
所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没
有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入
请解答下列问题： (1)S1＝_1_＋___83___；
(2)通过探究，用含n的代数式
表示Sn，则Sn＝____1＋__8_3 _·__34_n_－__1(_n_为_整__数_)___. 图20－6
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在 Rt△AEC 中，AC＝ AE2＋EC2＝10 米．
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第20课时┃直角三角形与勾股定理
方法点析用勾股定理可以帮助我们解决生活中的许多实际问题，
其关键是把实际问题转化到一个相应的数学模型中，即将实际问题转化到直角三角形中，再运用勾股定理来解决．
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(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于___斜__边__的__一__半___
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直角三角形及勾股定理

直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）；直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第四节直角三角形【回顾与思考】直角三角形⎧⎪⎫⎨⎬⎪⎭⎩三边关系--勾股定理--应用直角三角形的性质---应用直角三角形的判别〖知识点〗直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、线段的中垂线及其性质〖大纲要求〗了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。

〖考查重点与常见题型〗直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解答题，如：（1）在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为（2）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是（3）在△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是（）(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形【例题经典】直角三角形两锐角互余例1．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC•与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．【分析】∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，•若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF，•∴∠ABC=•∠DEF，∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．【点评】此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题．例2、（05梅州）如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O ，则∠AOB+∠DOC= 。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理直角三角形是数学中一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。

下面将对直角三角形和勾股定理进行详细的介绍和论述。

一、直角三角形的定义直角三角形是由一个直角和两个锐角组成的三角形。

直角指的是一个角度为90度的角。

在直角三角形中，直角位于三角形的底边上。

二、勾股定理的表述勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

以三条边分别为a，b，c，直角边长度为c，非直角边的长度为a和b，则有公式：```c^2 = a^2 + b^2```三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。

该证明可以用几何方法、代数方法和三角方法进行。

1. 几何证明：通过构造三个相似三角形和应用勾股定理的变形，可以得到勾股定理的几何证明。

2. 代数证明：通过应用平方差公式和对角线平方和的关系，可以得到勾股定理的代数证明。

3. 三角证明：通过应用正弦定理、余弦定理和正切定理等三角函数的关系，可以得到勾股定理的三角证明。

四、勾股定理的应用勾股定理是应用广泛的数学定理之一，具有重要的实际意义。

它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

1. 测量直角三角形的边长：当已知直角三角形中的两条边长时，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度。

2. 判断三条边是否能构成直角三角形：根据勾股定理，如果三条边的关系符合勾股定理的条件，则可以判断这三条边能够构成直角三角形。

3. 解决实际问题：勾股定理可以用于计算实际问题中的距离、速度、力的大小等。

五、勾股定理的发展历史勾股定理最早出现在古代的各国数学文化中，但公认的最早发现和使用勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派将勾股定理广泛应用于几何学和数学推理中。

在中国，勾股定理被称为“勾股数学”，早在公元前11世纪的商代时期就已经有了记录。

中国古代的数学家通过勾股定理解决了很多问题，并在勾股定理的基础上发展了许多数学定理和方法。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理一、直角三角形的定义与性质1.1 定义：在平面直角坐标系中，有一个角为直角（即90度），由两条直角边和一条斜边组成的三角形称为直角三角形。

1.2 性质：（1）直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为90度。

（2）直角三角形的两个直角边互为邻边。

（3）直角三角形的斜边是直角边的非邻边。

（4）直角三角形的斜边长度大于任意一个直角边的长度。

（5）直角三角形的中线、高线、角平分线三线合一。

二、勾股定理的定义与证明2.1 定义：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边长度，a和b为直角边长度。

2.2 证明：（1）几何法：通过画出直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC为直角边，BC 为另一直角边，AB为斜边，利用平行线等知识进行证明。

（2）代数法：通过构造直角三角形ABC的相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明。

三、勾股定理的应用3.1 直角三角形边长求解：已知直角三角形中，两个直角边的长度，可以通过勾股定理求出斜边的长度。

3.2 直角三角形面积求解：已知直角三角形中，两个直角边的长度，可以通过勾股定理求出三角形的面积。

3.3 逆定理：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。

四、与直角三角形和勾股定理相关的数学文化4.1 勾股定理的历史：勾股定理是古代中国数学家毕达哥拉斯发现的，被称为“勾三股四弦五”。

4.2 勾股定理的应用：在建筑、工程、物理学等领域有着广泛的应用。

以上是关于直角三角形和勾股定理的知识点介绍，希望对您有所帮助。

习题及方法：1.习题：已知直角三角形ABC中，∠C为直角，AB为斜边，AC=3，BC=4，求斜边AB的长度。

方法：根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC2，代入已知数值，得AB2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25，所以AB = √25 = 5。