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北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含答案)-最新教学文档
三角形全等的判定1、掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；2、判断能证明三角形全等的条件；3、判断三角形全等能推出的结论；4、探索全等三角形判定的综合问题．1．斜边、直角边定理（HL）文字描述：_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等．符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．图示：2．探究三角形全等的思路（1）已知两边（2）已知一边一角（3）已知两角3.什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想.4. 开放题问题类型及解题策略（1）条件开放与探索型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.（2）结论开放与探索型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.（3）条件、结论开放与探索型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.参考答案：1、斜边直角边2、(1)SAS HL SSS(2)AAS SAS ASA AAS(3)ASA AAS1．利用HL证全等【例1】如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．总结：1．判定直角三角形全等共有五种方法：“SSS”“ASA”“AAS”和“HL”；一般先考虑利用“HL”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2．“HL”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．练1．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．练2．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是_______________．【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．2．利用HL证全等，再证边角相等【例2】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：CB=CD．【解析】根据已知条件，利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC．∴CB=CD．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”．总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系．练3．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=_____________．【解析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．∵MN∥PQ，AB⊥PQ，∴AB⊥MN，∴∠DAE=∠EBC=90°，在Rt△ADE和Rt△BCE中，∴△ADE≌△BEC（HL），∴AE=BC，∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为7．点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单．练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC．【解析】由图片和已知，可得△ABE≌△DCE，则BE=CE，然后再证明Rt△ABE≌Rt△DCE，即可得证．证明：∵∠A=∠D=90°，AE=DE（已知），∠AEB=∠DEC（对顶角相等），∴△ABE≌△DCE（ASA），∴AB=DC，在Rt△ABE和Rt△DCE中，∴Rt△ABE≌Rt△DCE，∴∠ACB=∠DBC．点评：本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等．3．利用HL解决实际问题【例3】如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄A与C，A与D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出Rt△ADB≌Rt△ADC，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．由题意，知BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，则Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．点评：此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt△ADB≌Rt△ADC是解决问题的关键．总结：对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD=CD D．不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC，又AD=AD，AD⊥BC，所以Rt△ABD≌Rt△ACD，所以BD=CD．∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，由AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴BD=CD．故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt△ABD≌Rt△ACD．4．全等三角形——补充条件型问题【例1】如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解析】由已知先推出BC=EF，添加条件AC=DF，根据“SAS”可推出两三角形全等．解：AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，即BC=EF.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．总结：因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件．练6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．【解析】要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．解：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．点评：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难．5．全等三角形——结论探索型问题【例5】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF 即可．解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练8．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（）A．5对B．6对C．7对D．8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∴BD=CD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又AE=AF，AO=AO，∴△AOE≌△AOF，EO=FO，进一步证明可得△BOD≌△COD，△BOE≌△COF，△AOB≌△AOC，△ABF≌△ACE，△BCE≌△CBF，共7对．故选：C．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．6．全等三角形——条件和结论全开放型问题【例6】有下列四个判断：①AD=BF；②AE=BC；③∠EFA=∠CDB；④AE∥BC．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．已知：求证：证明：【解析】由已知AD=BF，证出AF=BD，再由平行线AE∥BC得出∠A=∠B，证明△AEF≌△BCD，即可得出∠EFA=∠CDB．解：已知：AD=BF，AE=BC，AE∥BC；求证：∠EFA=∠CDB；证明：∵AD=BF，∴AD+DF=BF+DF，即AF=BD.∵AE∥BC，∴∠A=∠B，在△AEF和△BCD中，∴△AEF≌△BCD（SAS），∴∠EFA=∠CDB．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS、SAS、ASA、AAS、HL的考查．要熟练掌握全等三角形的证明思路：练9．如图，AC交BD于点O，有如下三个关系式：①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写出命题书写形式，如：如果⊗、⊗，那么⊗)(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．【解析】（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明．证明：在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD，∴∠A＝∠C，∴AB∥DC．练10．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（）A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．BC=EF D．AC=DF【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：A、正确，符合判定ASA；B、正确，符合判定AAS；C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D、正确，符合判定SAS．故选：C．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．练11．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC 于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②④【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF，∵DE⊥BC，FG⊥BC，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB和△FGC中，∴△DEB≌△FGC（AAS），∴BE=CG，DE=FG，故①正确；在△DEP和△FGP中，∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；∵PG=PC+CG，∴PE=PC+BE．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正确．正确的有①②④，故选：D．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．练12．如图，EA⊥AB，BC⊥AB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（）A．（1），（3）B．（2），（3）C．（3），（4）D．（1），（2），（4）【解析】本题条件较为充分，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°5．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）A．甲乙B．丙C．乙丙D．乙6．如图，在△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．（1）请你写出两个正确结论：①__________；②__________；（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：△DBM≌△DCN．1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_____________．2．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．3．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是_______________．4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．5．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？6．请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，_______求证：△ABE≌△CDF．证明：参考答案：当堂检测1．【解析】A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；故选B．2．【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3．【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选B．4．【解析】∵∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B．5．【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．解：已知图1的△ABC中，∠B=50°，BC=a，AB=c，AC=b，∠C=58°，∠A=72°，图2中，甲：只有一个角和∠B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC 不全等；乙：符合SAS定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS定理，能推出两三角形全等；故选：C．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．6．【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD，DE=DF；证明△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，即可解决问题．解：如图，∵AB=AC，AE=AF，AD⊥BC，∴BD=CD，DE=DF；在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），同理可证△AED≌△AFD；故选：B．点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键．7.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形；（3）先证明△ABD≌△ACD，再证明△DBM≌△DCN．解：（1）①BD=CD；②△ABD≌△ACD；（2）∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．（3）在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD=∠ACD，在Rt△DBM和Rt△DCN中，∴△DBM≌△DCN．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．家庭作业1．【解析】还需添加条件AB=AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案为：AB=AC．2．【解析】在直角△ABC与直角△ADC中，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠2=∠ACB，在△ABC中，∠ACB=180°﹣∠B﹣∠1=50°，∴∠2=50°．故填50°3．【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠DEF=∠ABC=35°，∴∠DFE=90°﹣35°=55°．故答案为：55°．4．【解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD．（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，在Rt△CDB和Rt△AEC中，∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．5．【解析】BD=CD，理由：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），在Rt△ABD与Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）．6．【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF．点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．。
七年级数学下册课本答案北师大版
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七年级数学下册课本答案北师大版(一) 第6页
七年级数学下册课本答案北师大版(二) 第8页
1.解：(1)(-3n)=(-3)n=-27n.
(2)(5xy)=5xy=125xy.
(3)-a+(-4a)a=-a+(-4)aa=-a+16a=15a.
2.解：地球可以近似地看作是球体，如果用V，r分别表示求得体积和半径，那么V=4/3 r.
七年级数学下册课本答案北师大版(三) 第11页
七年级数学下册课本答案北师大版(四) 第13页
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(完整版)新北师大版七年级数学下册全册教案
周次日期教学内容课时备注1 2.15---2.16 同底数幂的乘法 12 2.17---2.21 幂的乘方与积的乘方法—同底数幂的除 52015—2016 学年度第二学期教学进度任课教师：学科：数学年（班）级：3 2.24---2.28 整式的乘法—平方差公式 54 3.3—3.7 完全平方公式—回顾与思考 55 3.10---3.14 两条直线的位置关系—探索直线平 5行的条件6 3.17---3.21 探索直线平行的条件—平行线的性质 57 3.24—3.28 回顾与思考—认识三角形 58 3.31---4.4 图形的全等—探索三角形全等的条件 4 清明节9 4.7---4.11 探索三角形全等的条件—用尺规作三 5角形10 4.14---4.18 利用三角形全等测距离—回顾与思考 511 4.21—4.25 复习期中考试 312 4.28---5.2 用表格表示的变量间关系—用关系 4 劳动节式表示的变量间关系13 5.5---5.9 用图象表示的变量间关系—回顾与 5思考14 5.12---5.16 轴对称现象—探索轴对称的性质 515 5.19---5.23 简单的轴对称图形 516 5.26---5.30 利用轴对称进行设计—回顾与思考 517 6.2---6.6 感受可能性—概率的稳定性 518 6.9---6.13 等可能事件发生的概率—回顾与思考 519 6.16—6.20 总复习 520 6.23---6.27 期末考试 5本学期总目标：培养学生良好的学习习惯，提高他们学习数学的热情，力争取得一个比较优异的学习成绩教研组长签字：说明：此表一式两份，一份作为教案附件之一粘贴在教案本上，一份上交教务处。
1.1 同底数幂的乘法教学目标：知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算。
过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力。
北师大版七年级下册数学学案：3.7切线长定理
第三章§3.7 切线长定理
目标1. 使学生理解切线长.
2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用.
合作探究1，过圆外一点画圆的切线，你能画几条？试试看。
2、探索问题：从⊙O外一点P画⊙O的两条切线，切点分别
为A、B，
（1）这个图形是轴对称图形吗？
（2）你能找出图中的相等关系吗？说明理由。
（3）切线长概念：
（4）切线长定理：过圆外一点画圆的条切线，它们的切线长，圆心和这一点的连线两条切线的夹角。
已知：
求证;
证明：
用符号语言表示定理
（5），如图3-28，已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm.过点P画⊙O的
两条切线，这两条切线的切线长cm。
3，探究为了测量一个光盘的直径，小明把直尺，
光盘和三角尺按图示放置于桌面，量出A P=5cm,
这张光盘的直径是cm,
P
A
B
O
1，已知四边形ABCD 的四条边都与⊙O 切线，图中的线段之间有哪些等量关系？说明理由
2，已知如图，Rt △ABC 的两条直角边AC =10 cm ，BC =24 cm ，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F ，求⊙O 的半径.
3,如图，PA 和PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，∠P=40°，点D 在AB 上，点E 和点F
分别在PA 和PB 上，且AD=BE ，BD=AF ，求∠EDF 的度数
4,小结，
这节课你学到了什么内容？你还想知道什么？
5，作业习题 2.3.4题
图9
O
D
C
B
A
?? 1 ?
A
F
B
D
E O
C。
新北师大版七年级数学下第五章《生活中的轴对称》学案及答案
第五章生活中的轴对称第一课时 5.1 轴对称现象一、学习目标:1、经历观察、分析现实生活实例和典型图案的过程，认识轴对称和轴对称图形培养学生探索知识的能力与分析问题、思考问题的习惯。
2、会找出简单对称图形的对称轴,了解轴对称和轴对称图形的联系与区别。
二、学习重点：通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形,会找出简单的轴对称图形的对称轴.三、学习难点：找出简单轴对称图形的对称轴与理解轴对称和轴对称图形的联系与区别（一）预习准备（1）预习书115~117页（2)预习作业：1．如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是（）2．如图所示,下面的5个英文字母中是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图所示的图案中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（二）学习过程：1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做_______图形，这条直线叫做_______.2、对称轴是一条_______，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴.3、把一个图形沿着一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这_______图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
4、轴对称图形与轴对称的区别:区别：轴对称是_______图形的位置关系，而轴对称图形是_______具有特殊形状的图形. 5．你认识世界上各国的国旗吗？如图7-4所示，观察下面的一些国家的国旗，是轴对称图形的有（ )A．甲乙丙丁戊 B．甲乙丁戊 C．甲乙丙戊 D．甲乙戊6．小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到等腰直角三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案,她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由．8．观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴?在图中画出所有的对称轴．9．如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？•请指出这个图形，并简述你的理由．拓展：1．如图所示，以虚线为对称轴画出图形的另一半．回顾小结：1．如果一个图形沿某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做。
七下数学课本北师大课后习题答案
七下数学课本北师大课后习题答案在初中数学的学习过程中，课后习题是帮助学生巩固和深化课堂知识的重要环节。
北师大版七年级下册数学课本的习题设计旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
以下是一些课后习题的答案示例，供同学们参考。
第一章：实数- 习题1：理解实数的概念，能够区分有理数和无理数，并能够进行实数的四则运算。
- 习题2：掌握平方根和立方根的概念，能够计算简单数的平方根和立方根。
第二章：代数基础- 习题1：掌握等式的基本性质，能够解一元一次方程。
- 习题2：理解不等式的概念，能够根据不等式的性质解不等式。
第三章：函数及其图像- 习题1：理解函数的概念，能够识别自变量和因变量，以及函数关系式。
- 习题2：掌握一次函数的图像，能够根据函数关系式绘制函数图像。
第四章：几何基础- 习题1：掌握线段、射线和直线的概念，理解它们之间的关系。
- 习题2：理解角的概念，能够识别锐角、直角和钝角，并能够计算角度。
第五章：统计与概率- 习题1：理解平均数、中位数和众数的概念，能够计算一组数据的平均数、中位数和众数。
- 习题2：掌握概率的基本概念，能够计算简单事件的概率。
第六章：综合应用- 习题1：将所学的数学知识应用到实际问题中，如解决生活中的实际问题。
- 习题2：通过数学建模，解决一些复杂的综合问题。
结束语：数学学习不仅仅是记忆和计算，更重要的是理解和应用。
希望同学们在完成课后习题的过程中，能够深入思考，培养解决问题的能力。
同时，鼓励同学们在遇到难题时，与同学或老师讨论，共同探索数学之美。
记住，数学是逻辑的艺术，也是解决问题的工具。
祝学习进步！。
北师大七年级数学下册课本答案
北师大七年级数学下册课本答案做七年级数学课本习题如同一把钥匙，它能帮助我们开启心灵的智慧之窗。
小编整理了关于北师大七年级数学下册课本的答案，希望对大家有帮助!北师大七年级数学下册课本答案(一)第22页解：(1)原式=(700+4)(700-4)=700²-4²=490000-16=489984.(2)原式=x²-4y²+x²-1=2x²-4y²-1.(3)原式=-x²-x-(x²-1/9)=x²-x-x²+1/9=-x+1/9.北师大七年级数学下册课本答案(二)第24页解：(1)原式=(1/2 x) ²-2•1/2x•2y+(2y) ²=1/4x²-2xy+4y².(2)原式=(2xy) ²+2•2xy • 1/5x+( 1/5x) ²=4x²y²+4/5x²y+1/25x².(3)原式=n²+2n+1-n²=2n+1.北师大七年级数学下册课本答案(三)第27页解：(1)96²=(100-4)²=100²-2×100×4+4²=9216.(2)(a-b-3)(a-b+3)=(a-b) ²-3²=a²-2ab+b²-9.北师大七年级数学下册课本答案(四)第29页北师大七年级数学下册课本答案(五)第31页解：(1)原式=3xy÷y+y÷y=3x+1.(2)原式=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c.(3)原式=-6c²d÷2c²d+c³d³÷2c²d=-3+1/2cd².(4)原式=4x²y÷7xy+3xy²÷xy=4/7x+3/7y.。
七年级下册北师大版数学书总复习答案165-170页全解最好
七年级下册北师大版数学书总复习答案165-170页全解最好七年级下册北师大版数学书总复习答案165-170页全解最好习题虽然都有答案，但是都是在自己完全答完题之后对的，在网上是问不到答案的哈不是对着答案抄袭的，那样效果不是很好，多看书lgkldjfgknjknfdng北师大版七年级数学下册总复习题165—170总复习题答案买本或借本全解，有答案求北师大版数学书七年级下册，第54页练习的答案11题的（1）是9/13 （2）是5/2 （3）是—3北师大版数学七年级下总复习答案要答案总得把题目发来吧七年级下册北师大数学书总复习1,2题七年级数学期末试题一、填空（共24分） 1、六棱柱有_____个顶点，_____个面。
2、如果运进72吨记作＋72吨，那么运出56吨记作_________。
3、任意写出5个正数，5个负数，并且分别填入所属 ... 里，正数 ... { }负数 ... { } 。
4、－1/3的相反数是________，倒数是_________。
5、观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数，－23，－18，－13，__,___。
6、用语言叙述下列代数式（1＋20％）x的意义是______________。
7、用科学计数法表示361000000＝_____________。
8、从一副扑克牌中，任意抽出一张牌，抽到黑桃的概率是________。
二、判断（对的打“√”，错的打“×”，共10分）1、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。
（）2、两数相减，差一定小于被减数。
（）3、经过一点可以作两条直线。
（）4、用一个平面去截圆锥，截面不可能是三角形。
（）三、计算[（3＋3＋5）分] 1、 2、3n－[5n+(3n-1)] 3、求代数式的值：，其中p＝3，q ＝－1。
四、解放程（8分） 1、－2（x－1）＝4 2、五、作图题。
（8分）1、面是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图。
七年级数学下册 全一册学案(pdf)(新版)北师大版1
D ������ m������m２ ������m３ ＝m６ D ������ １ ２ ５
６ ������ 填空 :
A ������ ８
B ������ ２
C ������ １ ５
８ ９ ( ) ２ ２ˑ２ ＝㊀２ ㊀;
(C )
４ ３ ７ ( ) ; １ ２ ˑ㊀２ ㊀＝２
: 中, 底 数 可 以 是 数, 也可以是 ７ 结果用幂的形式表示 ) ������ 计算 (
m ９ , 则 m 的值为 ８ ������ 若 ４ˑ２ ˑ１ ６＝２
７ 的是 ９ ������ 下列各式计算结果为 a ２ ５ ������( A ������( － a) － a)
A ������ ３
B ������ ４
C ������ ５
D ������ ６
(A ) (C )
易错题 ) 下列计算中 , 正确的个数是 １ ０ ������ (
３ ( ) ������( ６ －( x－ x－ y) y) ４ 解：原式 ＝－ ( x－ y)
( ) ( ������( ４ x－ x－ y) y－x)������( y)．
２ ３ ６ ＝（ x－ y）
２ ３ 解：原式 ＝ （ x－ x－ x－ y）（ y） （ y）
２ ㊀
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形讲义(含答案)
北师大版初北师大版七年级（下）数学第四章三角形教案：全等三角形讲义（含答案）1、知识与才干：了解全等三角形及相关概念，可以从图形中寻觅全等三角形，探求并掌握全等三角形的性质，可以应用性质处置复杂的效果。
2、进程与方法：在探求全等三角形性质的进程中，体会研讨效果的方法，感受图形变化途径。
3、情感、态度与价值观：培育先生的识图才干、归结总结才干和应意图识。
1.全等形〔1〕定义：可以________的两个图形叫做全等形。
了解要点：图形的全等与他们的位置有关，只需满足可以完全重合即可；而完全重合包括两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积区分相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。
〔2〕几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。
2.全等三角形及相关的概念〔1〕全等三角形的定义：可以________的两个三角形叫做全等三角形。
〔2〕全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一同，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。
〔3〕全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号〝≌〞来表示，如下图△ABC ≌△DEF。
符号〝≌〞的含义：〝∽〞表示_______，〝=〞表示________，合起来就是外形相反，大小也相等，这就是全等。
〔4〕全等三角形的书写：①字母顺序确定法：依据书写规范，依照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,那么AB与__、AC与__、BC与__是对应边，∠A 和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边〔角〕是________，最小的边〔角〕是对应边〔角〕。
〔5〕对应边〔角〕与对边〔角〕的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。
对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。
【最新北师大版七年级下册数学】第8讲：两条直线的位置关系-学案
知识讲解：我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.在图1中，直线AB 与直线CD 相交于点O ，∠1与∠2有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. 对顶角相等.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图2，直线AB 与直线CD 垂直，记作AB ⊥CD ；如图3，直线l 与直线m 垂直，记作l ⊥m.其中，点O 是垂足.第八讲：两条直线的位置关系适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120知识点1、相交线与平行线2、对顶角的概念及其性质3、补角和余角4、垂线的概念与性质5、点到直线的距离6、对顶角、补角、余角及垂直的综合应用学习目标 1、掌握两条直线平行的充要条件，并会根据直线方程判定，两条直线是否平行. 2、通过教学，提高学生用旧知识解决新问题的能力，培养学生探索、概括能力. 学习重点 掌握两条直线平行的判定条件.学习难点对斜率的讨论、即利用斜率判定、两直线平行时，注意考虑斜率不存在时是否满足题意.平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.考点一：相交线与平行线【例题】：1、在同一平面内两条直线的位置关系有（）A．平行与相交 B.平行和垂直 C.平行、垂直和相交 D.垂直和相交2、在同一平面内两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n等于（）A．1 B.2 C.3 D.4【练习】．1、下面说法中正确的是（）A.在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种B.在同一平面内, 不垂直的两条直线必平行C.在同一平面内, 不平行的两条直线必垂直D.在同一平面内,不相交的两条直线一定不垂直2、下面说法中正确的是（）①在同一平面内不相交的两条直线必平行；②在同一平面内不相交的两条线段必平行；③在同一平面内不平行的两条直线必相交；④在同一平面内不平行的两条线段必相交A．1 B.2 C.3 D.4考点二：对顶角的概念及其性质【例题】．1、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B. C. D.2、下列语句正确的是（）①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。
北师大版七年级数学下册学案(含解析)：第四章三角形章末复习
章末复习
知识技能考点聚焦掌握方法
专题一：三角形的三边关系
1．已知中，，，那么边的长可能是下列哪个值（）．A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
2．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（）．
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】
3．长为，，，的四根木条，组成三角形，选法有（）．
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【解析】
专题二：三角形的内角和
4．如图，的大小等于（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
5．如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则
（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
专题三：全等三角形的判定及应用
6．（2015·绍兴）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点
与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线
，就是的平分线，此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得≌
，这样就有．则说明这两个三角形全等的依据是（）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
7．（2015·宜昌）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从
，，
，四个点中找出符合条件的点，则点有（）．
A．个B．个C．个D
．个
【答案】C 【解析】
8．（2015·齐齐哈尔）如图，点，
，，在同一直线上，，，要使
≌，则只需添加一个适当的条件是__________．（只填一个即可）
【答案】示例：
【解析】
9．（2015·黄岛区期末）如图，已知，，，则．。
初一下册数学练习册答案北师大版
以下是为⼤家整理的初⼀下册数学练习册答案北师⼤版的⽂章，供⼤家学习参考！更多最新信息请点击第⼀章勾股定理课后练习题答案 说明：因录⼊格式限制，“√”代表“根号”，根号下内⽤放在“()”⾥⾯; “⊙”，表⽰“森哥马”， §，¤，♀，∮，≒，均表⽰本章节内的类似符号。
§1.l探索勾股定理 随堂练习 1.A所代表的正⽅形的⾯积是625;B所代表的正⽅形的⾯积是144。
2.我们通常所说的29英⼨或74cm的电视机，是指其荧屏对⾓线的长度，⽽不 是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了⼀部分，所以实际测量存在误差. 1.1 知识技能1.(1)x=l0;(2)x=12. 2.⾯积为60cm：，(由勾股定理可知另⼀条直⾓边长为8cm). 问题解决 12cm2。
1.2 知识技能 1.8m(已知直⾓三⾓形斜边长为10m，⼀条直⾓边为6m，求另⼀边长). 数学理解 2.提⽰：三个三⾓形的⾯积和等于⼀个梯形的⾯积： 联系拓⼴ 3.可以将四个全等的直⾓三⾓形拼成⼀个正⽅形. 随堂练习 12cm、16cm. 习题1.3 问题解决 1.能通过。
. 2.要能理解多边形ABCDEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的⾯积是相等的.然后 剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位 置上.学⽣通过量或其他⽅法说明B’ E’F’C’是正⽅形，且它的⾯积等于图①中 正⽅形ABOF和正⽅形CDEO的⾯积和。
即(B’C’) 2=AB2+CD2：也就是BC2=a2+b2。
， 这样就验证了勾股定理 §l.2 能得到直⾓三⾓形吗 随堂练习 l.(1) (2)可以作为直⾓三⾓形的三边长. 2.有4个直⾓三⾓影.(根据勾股定理判断) 数学理解 2.(1)仍然是直⾓三⾓形;(2)略;(3)略 问题解决 4.能. §1.3 蚂蚁怎样⾛最近 13km 提⽰：结合勾股定理，⽤代数办法设未知数列⽅程是解本题的技巧所在 习题 1.5 知识技能 1.5lcm. 问题解决 2.能. 3.最短⾏程是20cm。
北师大七年级下数学练习册答案
1. C 2. B 3. B 4.— 4 5.3a'b 6.— 128
7. (1)64x了(2)¥x9 y6
(3)— x3'"+ 3 ( 4 )0.125 9.36m6 10.3100 >475
11.— 7 12.8
8.72
笫5节 同底数幕的除法
1.a-#-—21 2.C 3.D
4
l _4
5.—(m— 1)2
数学．七年级下．北师大版，七
第 一 章 整式的运算
笫1节 整 式
1. D 2. B 3. C 4.— x了 5.— 4 3 6.6 7.2 2 8.m— 3 9.12 10.— 3
笫 2 节 整式的加减
1.D 2.A 3.a— b+ c 4.1 5. 互为相反数 6.(1)7x— 7y
(2)8a— 2b (3)— /2矿 — : ab— }矿 7.4a+ 5b— 4 58 cm 8.— 40
6.(1)(x—1)3 (2)a2m十3n (3)1 (4)25
7.— 0.007 89
8.
25 64
9.— (x+y) 6n-l
10.1 11. 5 12.81 13.8.57 X 105
笫6节 整式的采法
1.D 2.B 3.C 4.D 5.2 6.6x3— 8x2 7.— 4 8. (l)a8 廿(2)2x了—9xy4 +6x了 (3)2x3 +x2— 5x— 3 (4)— 3x2— 5xy+2y2 9.红+x2 +2x
．：乙A=60 °且乙BOC=90 °+— 12 乙A, :.L_BOC— 120° '
:.L_BOD — 60°.
2018-2019学年北师大版七年级数学下册全册教案(含教学反思)
1．1 同底数幂的乘法1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点)2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)一、情境导入问题：2015年9月24日，美国国家航空航天局(下简称：NASA)对外宣称将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注．早在2014年，NASA就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星，这颗行星环绕红矮星开普勒186，距离地球492光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远(1年＝3.1536×107s)?3×105×3.1536×107×492＝3×3.1536×4.92×105×107×102＝4.6547136×10×105×107×102.问题：“10×105×107×102”等于多少呢？二、合作探究探究点：同底数幂的乘法【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)m n＋1·m n·m2·m.解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；(2)原式＝－a 3·a 2·(－a 3)＝a 3·a 2·a 3＝a 8；(3)原式＝m n ＋1＋n ＋2＋1＝a 2n ＋4.方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法计算：(1)(2a ＋b )2n ＋1·(2a ＋b )3·(2a ＋b )n －4；(2)(x －y )2·(y －x )5.解析：将底数看成一个整体进行计算．解：(1)原式＝(2a ＋b )(2n ＋1)＋3＋(n －4)＝(2a ＋b )3n ；(2)原式＝－(x －y )2·(x －y )5＝－(x －y )7.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b )n ＝⎩⎨⎧（b －a ）n （n 为偶数），－（b －a ）n （n 为奇数）. 【类型三】 运用同底数幂的乘法求代数式的值若82a ＋3·8b －2＝810，求2a ＋b 的值．解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a 、b 的关系，根据a 、b 的关系求解．解：∵82a ＋3·8b －2＝82a ＋3＋b －2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9.方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．【类型四】 同底数幂的乘法法则的逆用已知a m ＝3，a n ＝21，求a m ＋n 的值．解析：把a m ＋n 变成a m ·a n ，代入求值即可．解：∵a m ＝3，a n ＝21，∴a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×21＝63.方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把a m ＋n 变成a m ·a n .三、板书设计1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．2．同底数幂的乘法法则的运用在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”1．2 幂的乘方与积的乘方第1课时幂的乘方1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；(重点)2．掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用．(难点)一、情境导入1．填空：(1)同底数幂相乘，________不变，指数________；(2)a2×a3＝________；10m×10n＝________；(3)(－3)7×(－3)6＝________；(4)a·a2·a3＝________；(5)(23)2＝23·23＝________；(x4)5＝x4·x4·x4·x4·x4＝________．2．计算(22)3；(24)3；(102)3.问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？(2)观察计算结果，你能发现什么规律？(3)你能推导一下(a m)n的结果吗？请试一试．二、合作探究探究点一：幂的乘方计算：(1)(a3)4; (2)(x m－1)2；(3)[(24)3]3; (4)[(m－n)3]4.解析：直接运用(a m)n＝a mn计算即可．解：(1)(a3)4＝a3×4＝a12；(2)(x m－1)2＝x2(m－1)＝x2m－2；(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236；(4)[(m－n)3]4＝(m－n)12.方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．探究点二：幂的乘方的逆用【类型一】逆用幂的乘方比较数的大小请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375.请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．解析：首先理解题意，然后可得3100＝(35)20，560＝(53)20，再比较35与53的大小，即可求得答案．解：∵3100＝(35)20，560＝(53)20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560.方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝(35)20，560＝(53)20是解此题的关键．【类型二】逆用幂的乘方求代数式的值已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．【类型三】逆用幂的乘方结合方程思想求值已知221＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式13x＋12y的值为________．解析：由221＝8y＋1，9y＝3x－9得221＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则21＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式13x＋12y＝7＋3＝10.故答案为10.方法总结：根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式．三、板书设计1．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．2．幂的乘方的运用幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则第2课时积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则；(重点)2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．二、合作探究探究点一：积的乘方【类型一】直接运用积的乘方法则进行计算计算：(1)(－5ab)3; (2)－(3x2y)2；(3)(－43ab2c3)3; (4)(－x m y3m)2.解析：直接运用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；(3)(－43ab2c3)3＝(－43)3a3b6c9＝－6427a3b6c9；(4)(－x m y3m)2＝(－1)2x2m y6m＝x2m y6m.方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】含积的乘方的混合运算计算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．【类型三】积的乘方的实际应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3，即可求得答案． 解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3≈43×3×(6×105)3≈8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．探究点二：积的乘方的逆用【类型一】 逆用积的乘方进行简便运算计算：(23)2014×(32)2015. 解析：将(32)2015转化为(32)2014×32，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝(23)2014×(32)2014×32＝(23×32)2014×32＝32. 方法总结：对公式a n ·b n ＝(ab )n 要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算．【类型二】 逆用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，又∵23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键．三、板书设计1．积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积．即(ab)n＝a n b n(n是正整数)．2．积的乘方的运用在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a n·b n＝(ab)n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－a n(n为正整数)；当n为偶数时，(－a)n＝a n(n为正整数)1．3 同底数幂的除法第1课时同底数幂的除法1．理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题；(重点)2．理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质．(难点)一、情境导入一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？二、合作探究探究点一：同底数幂的除法【类型一】直接运用同底数幂的除法进行运算计算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)7÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(－xy)看作一个整体；(2)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(3)把(a2＋1)看作一个整体．解：(1)(－xy )13÷(－xy )8＝(－xy )13－8＝(－xy )5＝－x 5y 5；(2)(x －2y )3÷(2y －x )2＝(x －2y )3÷(x －2y )2＝x －2y ；(3)(a 2＋1)7÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2＝(a 2＋1)7－4－2＝(a 2＋1)1＝a 2＋1.方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，再根据法则计算．【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算已知a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，求a m －n －1的值．解析：先逆用同底数幂的除法，对a m －n －1进行变形，再代入数值进行计算．解：∵a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，∴a m －n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23. 方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m －n －1＝a m ÷a n ÷a .声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．解：(1)因为1010÷105＝1010－5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015－10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．方法总结：本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键．探究点二：零指数幂和负整数指数幂【类型一】零指数幂若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )A．x≥6 B．x≤6C．x≠6 D．x＝6解析：∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.方法总结：本题考查的是0指数幂成立的条件，非0的数的0次幂等于1，注意0指数幂的底数不能为0.【类型二】比较数的大小若a＝(－23)－2，b＝(－1)－1，c＝(－32)0，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＝c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：∵a＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－32)0＝1，∴a＞c＞b.故选B.方法总结：本题的关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数，指数为负整数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【类型三】零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2 D．x＜2解析：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.方法总结：任意非0的数的0次幂为1，底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为0.【类型四】含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算计算：－22＋(－12)－2＋(2015－π)0－|2－π2|.解析：分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．解：－22＋(－12)－2＋(2015－π)0－|2－π2|＝－4＋4＋1－2＋π2＝π2－1.方法总结：熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键．三、板书设计1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．2．零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a0＝1(a≠0)．3．负整数次幂：任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数．即a－p＝1a p(a≠0，p是正整数)．从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础第2课时用科学记数法表示较小的数1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．一、情境导入同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )A．1.06×10－4 B．1.06×10－5C．10.6×10－5 D．106×10－6解析：0.000106＝1.06×10－4.故选A.方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数用小数表示下列各数：(1)2×10－7; (2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3; (4)2.17×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n还原成通常表示的数，就是把a 的小数点向左移动n位所得到的数．三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量1．4 整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点) 2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．(难点)一、情境导入根据乘法的运算律计算：(1)2x·3y；(2)5a2b·(－2ab2)．解：(1)2x·3y＝(2×3)·(x·y)＝6xy；(2)5a2b·(－2ab2)＝5×(－2)·(a2·a)·(b·b2)＝－10a3b3.观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？二、合作探究探究点：单项式与单项式相乘【类型一】直接利用单项式乘以单项式法则进行计算计算：(1)(－23a2b)·56ac2；(2)(－12x2y)3·3xy2·(2xy2)2；(3)－6m2n·(x－y)3·13mn2(y－x)2.解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．解：(1)(－23a2b)·56ac2＝－23×56a3bc2＝－59a3bc2；(2)(－12x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－18x6y3×3xy2×4x2y4＝－32x9y9；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5. 方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组，进而求出m ，n 的值，即可得出答案．解：∵－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎨⎧3m ＋1＋5m －3＝4，2n ＋5n －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝34，n ＝57，∴m 2＋n ＝143112. 方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是解题关键．【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用有一块长为x m ，宽为y m 的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m ，宽34y m 的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积． 解析：先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．解：长方形的面积是xy m 2，绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m 2)，则剩下的面积是xy －920xy ＝1120xy (m 2)． 方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．三、板书设计1．单项式乘以单项式的运算法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．单项式乘以单项式的应用本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用．要求学生在乘法的运算律以及幂的运算律的基础上进行探究．教师在课堂上应该处于引导位置，鼓励学生“试一试”，学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用该知识点第2课时单项式与多项式相乘1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；2．掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用．(重点，难点)一、情境导入计算：(－12)×(12－13－14)．我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算2x·(3x2－2x＋1)呢？二、合作探究探究点：单项式乘以多项式【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算计算：(1)(23ab2－2ab)·12ab；(2)－2x·(12x2y＋3y－1)．解析：利用单项式乘以多项式法则计算即可．解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2； (2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y ＋(－2x )·(－1)＝－x 3y ＋(－6xy )＋2x ＝－x 3y －6xy ＋2x .方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【类型二】 单项式与多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高12a 米． (1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋12ab (平方米)．故防洪堤坝的横断面面积为(12a 2＋12ab )平方米； (2)堤坝的体积V ＝Sl ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab (立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a 2＋50ab )立方米．方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【类型三】 利用单项式乘以多项式化简求值先化简，再求值：5a (2a 2－5a ＋3)－2a 2(5a ＋5)＋7a 2，其中a ＝2.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．解：5a (2a 2－5a ＋3)－2a 2(5a ＋5)＋7a 2＝10a 3－25a 2＋15a －10a 3－10a 2＋7a 2＝－28a2＋15a，当a＝2时，原式＝－82.方法总结：本题考查了整式的化简求值．在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．三、板书设计1．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．2．单项式与多项式乘法的应用本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上，学习单项式乘以多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高解题水平第3课时多项式与多项式相乘1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点)2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)一、情境导入某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究探究点一：多项式与多项式相乘【类型一】直接利用多项式乘多项式法则进行计算计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【类型二】多项式乘以多项式的混合运算计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用【类型一】多项式乘以多项式的化简求值先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x 系数化为1，即可求出解．解：去括号后得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解得x＝－7 15.方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．【类型三】多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米．方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．【类型四】根据多项式乘以多项式求待定系数的值已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2项，也不含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2.∵积不含x2项，也不含x项，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝32，a＝94，∴系数a、b的值分别是94，32.方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．三、板书设计1．多项式与多项式的乘法法则：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．2．多项式与多项式乘法的应用本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础1．5 平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】直接运用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式计算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8.解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989；(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．【类型三】化简求值先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型四】平方差公式的几何背景如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是12(2a＋2b)(a －b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．【类型五】平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．三、板书设计1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．平方差公式的应用学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成。
北师大版七年级下册数学同步教案(全册)
第一章整式的乘除教材简析本章的主要内容有：(1)幂的有关运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法)；(2)整式的乘法；(3)乘法公式(平方差公式、完全平方公式)；(4)整式的除法．本章是继七年级上册第三章整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，也是八年级下册第四章因式分解和第五章分式学习的基础，因此，本章内容的地位至关重要．本章内容是中考的必考内容，主要考查幂的运算性质，与整式运算有关的计算、化简求值，用科学记数法表示一个绝对值小于1的数，题型多以选择题、填空题为主，难度不大．教学指导【本章重点】幂的运算，整式的乘除运算，乘法公式．【本章难点】幂的运算法则及平方差公式和完全平方公式的灵活运用．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的思想方法，如通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质．2．体会和掌握转化的思想方法，如将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算．3．体会和掌握数形结合的思想方法．在学习本章内容时，要注意代数与几何之间的联系，如在整式乘法和乘法公式部分，借助几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法．课时计划1同底数幂的乘法1课时2幂的乘方与积的乘方2课时3同底数幂的除法2课时4整式的乘法3课时5平方差公式2课时6完全平方公式2课时7整式的除法2课时1同底数幂的乘法教学目标一、基本目标1．使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握同底数幂的乘法法则，并能正确计算同底数幂的乘法．2．在推导同底数幂的乘法法则的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力． 二、重难点目标 【教学重点】理解并掌握同底数幂的乘法法则． 【教学难点】运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．把下列式子化成同底数幂． (1)(－a )2＝a 2，(－a )3＝－a 3；(2)(x －y )2＝(y －x )2，(x －y )3＝－(y －x )3. 2．根据乘法的意义填空． (1)102×103＝105； (2)105×108＝＝1013； (3)10m ·10n ＝10m ＋n ； (4)2m ·2n ＝2m ＋n ； (5)⎝⎛⎭⎫17m ×⎝⎛⎭⎫17n ＝⎝⎛⎭⎫17m ＋n ； (6)(－3)m ·(－3)n ＝(－3)m ＋n ；(7)同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)－a 3·(－a )2·(－a )3； (2)10 000×10m ×10m ＋3； (3)m n ＋1·m n ·m 2·m ；(4)(x －y )2·(y －x )5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算． 【解答】(1)原式＝－a 3·a 2·(－a 3) ＝a 3·a 2·a 3 ＝a 8.(2)原式＝104×10m ×10m ＋3 ＝104＋m ＋m ＋3＝107＋2m.(3)原式＝m n ＋1＋n ＋2＋1＝m 2n ＋4.(4)原式＝(y －x )2·(y －x )5 ＝(y －x )7.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.(2)底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．一般地，(a －b )n＝⎩⎪⎨⎪⎧(b －a )n (n 为偶数)－(b －a )n (n 为奇数).(3)推广：a m ·a n ·a p ＝a m＋n ＋p(m 、n 、p 都是正整数)．【例2】(教材P3例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s ，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s ．地球与太阳大约有多远？【互动探索】(引发学生思考)地球距离太阳的距离＝光的速度×太阳光照射到地球上大约需要的时间．【解答】 3×108×5×102 ＝15×1010 ＝1.5×1011(m)．即地球距离太阳大约有1.5×1011 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)实际应用型问题应先转化为数学问题，再运用结合律及同底数幂的运算性质进行计算，注意最后一步用科学记数法表示，不要漏掉单位．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列算式中，结果等于x 6的是( A ) A ．x 2·x 2·x 2 B ．x 2＋x 2＋x 2 C ．x 2·x 3D ．x 4＋x 22．如果32×27＝3n ，则n 的值为( C ) A ．6 B ．1 C ．5D ．83．若a m ＝3，a n ＝4，则a m ＋n ＝12. 4．计算： (1)－a 3·a 4； (2)100·10m ＋1·10m －3； (3)(－x )4·(－x 2)·(－x )3. 解：(1)原式＝－a 3＋4 ＝－a 7.(2)原式＝102·10m ＋1·10m －3 ＝102＋(m ＋1)＋(m －3)＝102m .(3)原式＝x 4·(－x 2)·(－x 3) ＝x 4·x 2·x 3 ＝x 4＋2＋3＝x 9.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若82a ＋3·8b －2＝810，求2a ＋b 的值．【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，等式的左边等于多少？a 、b 之间有什么关系？ 【解答】因为82a ＋3·8b －2＝82a＋3＋b －2＝810，所以2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)同底数幂的乘法法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加字母表示：a m·a n＝a m ＋n(m 、n 为正整数)推广：a m·a n·…·a p＝a m ＋n ＋…＋p(m 、 n 、…、p 为正整数)练习设计请完成本课时对应练习！2 幂的乘方与积的乘方 第1课时 幂的乘方教学目标一、基本目标1．了解幂的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．2．经历探索幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．二、重难点目标 【教学重点】会进行幂的乘方的运算． 【教学难点】幂的乘方法则的总结及其运用．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．(1)乘方的意义：32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘. (32)3的意义：3个32相乘； (2)根据幂的意义填空： (32)3＝32×32×32(根据幂的意义) ＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)＝32×3，(a m )2＝a m ·a m ＝a 2m (根据a m ·a n ＝a m ＋n )， (a m )n ＝a m ·a m ·…·a m (幂的意义) ＝a m＋m ＋…＋m(同底数幂相乘的法则)＝a mn (乘法的意义)； (3)幂的乘方法则：(a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 2．已知球体的体积公式为V ＝43πR 3.(1)若乙球的半径为3 cm ，则乙球的体积V 乙＝36π cm 3.甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V 甲＝36_000π cm 3，V 甲是V 乙的103倍；(2)地球、木星、太阳可以近似地看作球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍、100倍，它们的体积分别约是地球的103倍、106倍．3．(教材P6例1)计算：(1)(102)3; (2)(b5)5；(3)(a n)3; (4)－(x2)m；(5)(y2)3·y; (6)2(a2)6－(a3)4.解：(1)原式＝106.(2)原式＝b25.(3)原式＝a3n.(4)原式＝－x2m.(5)原式＝y7.(6)原式＝a12.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(－24)3；(2)(x m－1)2；(3)[(24)3]3；(4)(－a5)2＋(－a2)5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝－212.(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.(3)原式＝24×3×3＝236.(4)原式＝a10－a10＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．(3)幂的乘方的推广：((a m)n)p＝a mnp(m、n、p都是正整数)．【例2】若92n＝38，求n的值．【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边的底数→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．【解答】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38，所以4n＝8，所以n＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．【例3】已知a x＝3，a y＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．【互动探索】(引发学生思考)将a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．【解答】因为a x＝3，a y＝4，所以a3x＋2y＝a3x·a2y＝(a x)3·(a y)2＝33×42＝27×16＝432.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用a mn＝(a m)n＝(a n)m，可对式子进行变形，从而使问题得到解决．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算(－a 3)2的结果是( A ) A ．a 6 B ．－a 6 C ．－a 5D ．a 52．下列运算正确的是( B ) A ．(x 3)2＝x 5 B ．(－x )5＝－x 5 C ．x 3·x 2＝x 6D ．3x 2＋2x 3＝5x 53．当n 为奇数时，(－a 2)n ＋(－a n )2＝0. 4．计算：(1)a 2·(－a )2·(－a 2)3＋a 10； (2)x 4·x 5·(－x )7＋5(x 4)4－(x 8)2. 解：(1)原式＝a 2·a 2·(－a 6)＋a 10 ＝－a 10＋a 10 ＝0.(2)原式＝x 4·x 5·(－x 7)＋5x 16－x 16 ＝－x 16＋5x 16－x 16 ＝3x 16.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例4】请看下面的解题过程： 比较2100与375的大小．解：因为2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27， 所以2100＜375.请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，再比较底数的大小来比较所求两个数的大小．【解答】因为3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125， 所以3100＞560.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)幂的乘方法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘字母表示：(a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)推广：((a m )n )p ＝a mnp (m 、n 、p 都是正整数)练习设计请完成本课时对应练习！第2课时积的乘方教学目标一、基本目标1．了解积的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．2．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．二、重难点目标【教学重点】会进行积的乘方的运算．【教学难点】明确幂的乘方与积的乘方的异同．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(3×5)4＝3(4)·5(4)；(2)(3×5)m＝3(m)·5(m)；(3)(ab)n＝a(n)·b(n)；(4)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(abn个ab ＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.推广：(abc)n＝a n b n c n(n是正整数)．3．(教材P7例2)计算：(1)(3x)2; (2)(－2b)5；(3)(－2xy)4; (4)(3a2)n.解：(1)原式＝9x2.(2)原式＝－32b5.(3)原式＝16x4y4.(4)原式＝3n a2n.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)(x 4·y 2)3； (2)(a n b 3n )2＋(a 2b 6)n ； (3)[(3a 2)3＋(3a 3)2]2； (4)⎝⎛⎭⎫991002018×⎝⎛⎭⎫100992019； (5)0.12515×(23)15.【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算． 【解答】(1)原式＝x 12y 6. (2)原式＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n . (3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1296a 12. (4)原式＝⎝⎛⎭⎫99100×100992018×10099＝1×10099＝10099. (5)原式＝⎝⎛⎭⎫1815×815＝⎝⎛⎭⎫18×815＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)题按先乘方再乘除后加减的运算顺序计算；(4)、(5)题逆用(ab )n ＝a n b n 可使计算简便．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算(x 2y )2的结果是( B ) A ．x 6y B ．x 4y 2 C ．x 5yD ．x 5y 22．(a m )m ·(a m )2不等于( C ) A ．(a m ＋2)m B ．(a m ·a 2)m C ．am 2＋am 2D ．(a m )3·(a m －1)m3．已知a m ＝2，a n ＝3，则a 2m ＋3n＝108.4．计算：(1)－4xy 2·(xy 2)2·(－2x 2)3； (2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3； (3)⎝⎛⎭⎫232018×⎝⎛⎭⎫322019.解：(1)原式＝－4xy 2·x 2y 4·(－8x 6) ＝32x 9y 6.(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12 ＝0.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫23×322018×32＝32. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3) 【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算． 【解答】因为R ＝6×105千米，所以V ＝43πR 3＝43×3×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．即它的体积大约是8.64×1017立方千米．【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)积的乘方法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：积的乘方等于积的每一个因式分 别乘方，再把所得的幂相乘字母表示：(ab )n＝a n b n(n 是正整数)逆用：a n b n＝(ab )n(n 是正整数)练习设计请完成本课时对应练习！3 同底数幂的除法 第1课时 同底数幂的除法教学目标一、基本目标1．了解同底数幂的除法的运算法则，并能解决一些实际问题． 2．经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义． 二、重难点目标 【教学重点】会进行同底数幂的除法运算． 【教学难点】同底数幂的除法法则的总结及运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P9～P11的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)同底数幂的除法1．用你熟悉的方法计算：(1)23·22＝25,25÷22＝23；(2)104·103＝107,107÷103＝104；(3)a4·a3＝a7，a7÷a3＝a4；(4)从(1)～(3)的运算中归纳出同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减.2．(教材P10例1)计算：(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3；(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m＋2÷b2.解：(1)原式＝a3.(2)原式＝－x3.(3)原式＝x3y3.(4)原式＝b2m.(二)负整数指数幂1．a0＝1(a≠0)；a－n＝1a n(n是正整数，a≠0)．2．(教材P10例2)用小数或分数表示下列各数：(1)10－3; (2)70×8－2；(3)1.6×10－4.解：(1)原式＝0.001.(2)原式＝164.(3)原式＝0.000 16.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)x12÷x3；(2)(x3)2÷x2÷x；(3)(a2＋1)8÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.【互动探索】(引发学生思考)根据同底数幂的除法法则计算．【解答】(1)x12÷x3＝x12－3＝x9.(2)(x 3)2÷x 2÷x ＝x 6÷x 2÷x ＝x 6－2－1＝x 3.(3)(a 2＋1)8÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2＝(a 2＋1)8－4－2＝(a 2＋1)2.【互动总结】(学生总结，老师点评)同底数幂的除法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式计算正确的是( C ) A ．a 4÷(－a )2＝－a 2 B ．a 3÷a 3＝0 C ．(－a )4÷(－a )2＝a 2 D ．a 6÷a 4＝a2．下列各式计算的结果为x 8的是( A ) A ．x ·x 7 B ．x 16－x 2 C ．x 16÷x 2D ．(x 4)43．m 5÷m 2＝m 3；(－4)4÷(－4)2＝16；a 3·a m ·a m ＋1＝a 2m ＋4. 4．若3x ＝10,3y ＝5，则32x －y ＝20. 5．计算： (1)x 3÷x 2； (2)(－x )7÷(－x )； (3)62m ＋1÷6m ；(4)(x －y )9÷(y －x )4÷(x －y )2. 解：(1)原式＝x . (2)原式＝x 6. (3)原式＝6m ＋1. (4)原式＝(x －y )3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，求a m －n －1的值．【互动探索】要求a m－n －1的值，观察已知式子，看它们之间有什么联系？【解答】因为a m ＝4，a n ＝2，a ＝3， 所以a m－n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m－n －1＝a m ÷a n ÷a .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)同底数幂的除法法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：同底数幂相除，底数不变，指数相减字母表示：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n )推广：a m ÷a n ÷a p ＝a m－n －p(a ≠0，m 、n 、p 都是正整数，且m ＞n ＋p )练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 用科学记数法表示较小的数教学目标一、基本目标1．理解科学记数法的意义和特征，能够用科学记数法表示小于1的正数．2．用科学记数法表示较小的数，让学生感受数学与现实生活的联系，同时增强活动性和趣味性．二、重难点目标 【教学重点】理解并掌握用科学记数法表示小于1的正数的方法． 【教学难点】会用科学记数法解决相应的实际问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．科学记数法：绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中1≤a <10，n 是正整数． 例如：864 000可以写成8.64×105.2．因为0.1＝110＝10－1；0.01＝1100＝10－2；0.001＝11000＝10－3……所以0.000 086 4＝8.64×0.000 01＝8.64×10－5.类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a |＜10.n 等于原数第一个非零数字前所有0的个数(特别注意：包括小数点前面的零)．3．算一算．10－2＝0.01；10－4＝0.0001；10－8＝0.000_000_01. 一般地，10的－n 次幂，在1前面有n 个0.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】一种花粉颗粒直径约为0.000 006 5米，数字0.000 006 5用科学记数法表示为()A．0.65×10－5B．65×10－7C．6.5×10－6D．6.5×10－5【互动探索】(引发学生思考)利用10的负整数次幂，把一个小于1的正数表示成a×10－n的形式，与较大数的科学记数法表示有什么不同之处？指数由什么决定？【分析】0.000 006 5＝6.5×10－6.【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|<10，n为正整数．与较大数的科学记数法表示不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．活动2巩固练习(学生独学)1．用科学记数法把0.000 009 405表示成9.405×10n，那么n＝－6.2．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000 03；(2)0.000 506；(3)－0.000 063.解：(1)0.000 03＝3×10－5.(2)0.000 506＝5.06×10－4.(3)－0.000 063＝－6.3×10－5.3．下面是用科学记数法表示的数，写出原来的数．(1)2×10－8; (2)7.001×10－6.解：(1)0.000 000 02.(2)0.000 007 001.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】比较下列两个数的大小．(1)－3.65×10－5与－1.02×10－6；(2)1.45×10－2018与9.8×10－2019.【互动探索】根据有理数的大小比较方法对比比较用科学记数法表示的数的大小．【解答】(1)|－3.65×10－5|＝3.65×10－5，|－1.02×10－6|＝1.02×10－6.因为1.02×10－6＜3.65×10－5，所以－3.65×10－5＜－1.02×10－6.(2)因为9.8×10－2019＝0.98×10－2018,0.98<1.45，所以1.45×10－2018>9.8×10－2019.【互动总结】(学生总结，老师点评)比较用科学记数法表示的数的大小时，利用乘方的意义，把10的指数转化成相同的，然后比较a的大小，若a大，则原数就大；若a小，则原数就小．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．练习设计请完成本课时对应练习！4整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘教学目标一、基本目标1．理解并掌握单项式乘单项式的法则，能够熟练计算单项式乘单项式．2．经历探索单项式乘单项式的运算法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．3．培养学生推理能力、计算能力，并通过小组合作与交流，增强协作精神．二、重难点目标【教学重点】单项式乘单项式的法则．【教学难点】单项式乘单项式的法则的推导及应用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(ab)c＝(ac)b；(2)a m·a n＝a m＋n(m、n都是正整数)；(3)(a m)n＝a mn(m、n都是正整数)；(4)(ab)n＝a n b n(n是正整数)．2．(1)2a2－a2＝a2，a2·a2＝a4，(－2a2)2＝4a4；(2)ac5·bc2＝(a·b)·(c5·c2)·＝abc5＋2＝abc7；(3)单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．3．(教材P14例1)计算： (1)2xy 2·13xy ；(2)－2a 2b 3·(－3a )； (3)7xy 2z ·(2xyz )2.解：(1)原式＝23x 2y 3. (2)原式＝6a 3b 3.(3)原式＝28x 3y 4z 3.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2； (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2·(y －x )2.【互动探索】(引发学生思考)计算单项式乘单项式时应该注意些什么？ 【解答】(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3·3xy 2·4x 2y 4 ＝－32x 9y 9.(2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2·(y －x )2＝－6×13m 3n 3·(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式乘单项式的注意事项：(1)计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立；(5)将(x －y )看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算正确的是( D ) A ．(－3x 3)·(－2x 2)2＝－12x 12 B ．(－3ab )·(－2ab )2＝12a 3b 3 C ．(－0.1x )·(－10x 2)2＝x 5 D ．(2×10n )·⎝⎛⎭⎫12×10n ＝102n2．3x 2可以表示为( A ) A ．x 2＋x 2＋x 2B ．x 2·x 2·x 2C ．3x ·3xD ．9x3．如果x n y 4与2xy m 相乘的结果是2x 5y 7，那么mn ＝12. 4．计算：(1)(－2x 2y )3·3(xy 2)2； (2)(－3x 2y )2·⎝⎛⎭⎫－23xyz ·34xz 2. 解：(1)原式＝－8x 6y 3·3x 2y 4＝－24x 8y 7. (2)原式＝9x 4y 2·⎝⎛⎭⎫－23xyz ·34xz 2＝－92x 6y 3z 3. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．【互动探索】根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2＋n 的值？【解答】因为－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m的积与x 4y 是同类项，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.所以m 2＋n ＝7.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据单项式乘单项式的法则，结合同类项，列出关于m 、n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 单项式与多项式相乘教学目标一、基本目标1．理解并掌握单项式乘多项式的法则，并能正确计算单项式乘多项式．2．理解单项式乘多项式运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．二、重难点目标 【教学重点】单项式乘多项式的法则． 【教学难点】单项式乘多项式的法则的推导及应用．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P16～P17的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．乘法分配律：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc . 2．填空：－x (x 2－3x ＋2)＝－x ·x 2＋(－x )·－3x ＋(－x )·2＝－x 3＋3x 2－2x .3．单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.4．(教材P16例2)计算： (1)2ab (5ab 2＋3a 2b )； (2)⎝⎛⎭⎫23ab 2－2ab ·12ab ； (3)5m 2n (2n ＋3m －n 2)； (4)2(x ＋y 2z ＋xy 2z 3)·xyz .解：(1)原式＝2ab ·5ab 2＋2ab ·3a 2b ＝10a 2b 3＋6a 3b 2.(2)原式＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab＝13a 2b 3－a 2b 2. (3)原式＝5m 2n ·2n ＋5m 2n ·3m －5m 2n ·n 2 ＝10m 2n 2＋15m 3n －5m 2n 3. (4)原式＝(2x ＋2y 2z ＋2xy 2z 3)·xyz ＝2x ·xyz ＋2y 2z ·xyz ＋2xy 2z 3·xyz ＝2x 2yz ＋2xy 3z 2＋2x 2y 3z 4. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】先化简，再求值：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)，其中a ＝－2.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a ＝－2代入化简后的式子求值．【解答】原式＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2＋9a . 当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据单项式与多项式相乘的法则化简式子，再代入已知的数值计算即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．一个长方体的长、宽、高分别3a －4、2a 、a ，它的体积等于( C ) A ．3a 3－4a 2 B ．a 2 C ．6a 3－8a 2D ．6a 2－8a2．已知M 、N 分别表示不同的单项式，且3x (M －5x )＝6x 2y 3＋N ，下列正确的是( C ) A ．M ＝2xy 3，N ＝－15x B ．M ＝3xy 3，N ＝－15x 2 C ．M ＝2xy 3，N ＝－15x 2D ．M ＝2xy 3，N ＝15x 23．图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc .4．计算：(1)2ab 2·(3a 2b －2ab －1)； (2)(－2xy 2)2·⎝⎛⎭⎫14y 2－12x 2－32xy .解：(1)原式＝2ab 2·3a 2b －2ab 2·2ab －2ab 2 ＝6a 3b 3－4a 2b 3－2ab 2. (2)原式＝4x 2y 4·⎝⎛⎭⎫14y 2－12x 2－32xy ＝4x 2y 4·14y 2－4x 2y 4·12x 2－4x 2y 4·32xy＝x 2y 6－2x 4y 4－6x 3y 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如果(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23的展开式中不含x 3项，求n 的值． 【互动探索】由原式的展开式中不含x 3项可以推出什么？由此怎样求出n 的值？ 【解答】(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 2·⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 4－18nx 3＋6x 2. 因为展开式中不含x 3项， 所以n ＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时多项式与多项式相乘教学目标一、基本目标1．理解多项式乘多项式的运算法则，能正确计算多项式乘多项式．2．进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力．二、重难点目标【教学重点】多项式乘多项式的法则．【教学难点】探索多项式乘多项式的法则，注意多项式乘多项式中的“漏项”与“符号”问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(－ab)·(－4b2)＝4ab3；(2)－2x(x－3y)＝－2x2＋6xy；(3)(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；(4)－2x(2x2－3x＋1)＝－4x3＋6x2－2x.2．看图填空：(1)大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n)；(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn，由此可得(a＋b)(m＋n)＝am＋an ＋bm＋bn.3．多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4．(教材P18例3)计算：(1)(1－x)(0.6－x)；(2)(2x＋y)(x－y)．解：(1)原式＝0.6－x－0.6x＋x2＝0.6－1.6x＋x2.(2)原式＝2x2－2xy＋xy－y2＝2x2－xy－y2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(x＋2y)(5a＋3b)；(2)(2x－3)(x＋4)；(3)(x＋y)2；(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)．【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算．【解答】(1)原式＝x·5a＋x·3b＋2y·5a＋2y·3b＝5ax＋3bx＋10ay＋6by.(2)原式＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12.(3)原式＝(x＋y)(x＋y)＝x2＋xy＋xy＋y2＝x2＋2xy＋y2.(4)原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式乘多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；所得结果仍是多项式，且在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→把a＝－1，b＝1代入化简后的代数式求值．【解答】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)·(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值．活动2巩固练习(学生独学)1．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为(B)A．m＝5，n＝6B．m＝1，n＝－6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝－62．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是(A)A．(x－2)(x＋9)B．(x＋2)(x＋9)C．(x－3)(x＋6)D．(x－1)(x＋18)3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋3b)、宽为(2a＋b)的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为(A)A．2,3,7B．3,7,2C．2,5,3D．2,5,74．已知a2－a＋5＝0，则(a－3)(a＋2)的值是－11.5．计算：(1)(y＋1)(x－y)－x(y－x)；(2)(－7x2－8y2)(－x2＋3y2)；(3)(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解：(1)原式＝xy＋x－y2－y－xy＋x2＝x2＋x－y2－y.(2)原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4＝7x4－13x2y2－24y4.(3)原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．【互动探索】计算(ax2＋bx＋1)(3x－2)→由原式的展开式中不含x2项，也不含x项建立方程→确定a、b的值．【解答】(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2＝3ax3＋(3b－2a)x2＋(3－2b)x－2.因为积不含x2的项，也不含x项，所以3b－2a＝0,3－2b＝0，解得a ＝94，b ＝32.即系数a 、b 的值分别是94，32.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据多项式乘多项式的法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列方程解答．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．字母表示：(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋an ＋bm ＋bn练习设计请完成本课时对应练习！5 平方差公式第1课时 平方差公式的认识教学目标一、基本目标1．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算．2．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力． 二、重难点目标 【教学重点】弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点． 【教学难点】会用完全平方公式进行运算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．根据条件列代数式：(1)a 、b 两数的平方差可以表示为a 2－b 2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.(1)观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式.等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差；(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】运用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．【互动探索】(引发学生思考)(1)直接套用公式计算；(2)把－2a看成一项，把b看成另一项；(3)先计算(x－2)(x＋2)，再计算(x－2)(x＋2)的结果与(x2＋4)的乘积．【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a－b)(－2a＋b)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．活动2巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可以用平方差公式计算的是(C)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)2．(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2.3．如果A2－B2＝8，且A＋B＝4，那么A－B的值是2.4．计算：(－2018)2＋2017×(－2019)．解：原式＝20182－(2018－1)×(2018＋1)＝20182－20182＋1＝1.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时平方差公式的应用教学目标一、基本目标1．进一步使学生理解并掌握平方差公式的灵活应用．2．通过小结使学生理解平方差公式的数学表达式与文字表达式在应用上的差异．二、重难点目标平方差公式的应用及推广．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P21～P22的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)探索平方差公式的几何背景如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．(1)请表示图中阴影部分的面积：a2－b2；(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是a＋b，a－b，它的面积是(a＋b)(a－b)；(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由．解：能．理由：阴影部分的面积是不变的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(二)利用平方差公式探索规律(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．⎩⎪⎨⎪⎧7×9＝！！！ 63 ###8×8＝！！！ 64 ###⎩⎪⎨⎪⎧11×13＝！！！ 143 ###12×12＝！！！ 144 ### ⎩⎪⎨⎪⎧79×81＝！！！ 6399 ###80×80＝！！！ 6400 ### (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？解：两个连续奇数的积，等于这两个奇数中间的那个偶数的平方与1的差． (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？解：(n －1)(n ＋1)＝n 2－1(n 为偶数)．证明：根据平方差公式，得(n －1)(n ＋1)＝n 2－12＝n 2－1.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】(教材P22例3)用平方差公式进行计算： (1)103×97; (2)118×122.【互动探索】(引发学生思考)平方差公式有什么特点？怎样计算？ 【解答】(1)原式＝(100＋3)(100－3) ＝1002－32 ＝9991.(2)原式＝(120－2)(120＋2) ＝1202－22 ＝14 396.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目的关键是恰当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式，使复杂的计算简单化，以达到事半功倍的效果．【例2】先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.【互动探索】(引发学生思考)先对代数式进行化简→代入已知值求化简后代数式的值． 【解答】原式＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2) ＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2 ＝5x 2－5y 2 ＝5(x ＋y )(x －y )．当x ＝1，y ＝2时，原式＝－15.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先将原代数式化简，再代值计算．尽量不要直接代入求值，这样不仅使计算复杂化，还容易出错．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)．利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.。