大学物理2-4保守力 成对力的功 势能
大学物理第四章--功和能
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
势能函数与保守力的关系
势能函数与保守力的关系势能函数与保守力的关系势能函数和保守力是两个重要的物理概念，它们之间有着密切的关系。
势能函数描述了物体所处的位置的势能大小，而保守力则是指一类物理力，其做功与物体所经过的路径无关。
在本文中，我们将探讨势能函数与保守力之间的关系。
首先，我们需要了解什么是势能函数。
如果一个物体在场中的位置发生了变化，那么它的势能也会发生变化。
在一定条件下，物体的势能与位置之间存在一种确定的数学关系，这种关系就是势能函数。
在物理中，势能函数常常用U(x)来表示，其中X是物体的位置。
其次，我们需要明白什么是保守力。
保守力是指其做功与路径无关的力，也就是说，无论物体经历了怎样的路径，保守力所做的功都是相同的。
在物理中，保守力常常被描述为一类势力，它们的势能变化与位置之间存在确定的数学关系。
接着，我们来看一下势能函数与保守力之间的关系。
势能函数与保守力之间存在着一种紧密的联系，也就是说，如果一个力是保守力，那么它所描述的势能函数一定存在。
反之亦然，如果一个势能函数存在，那么它所描述的力一定是保守力。
这是因为在物理中，只有保守力才能描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明描述这种情形的力是保守力。
此外，我们还需要了解，保守力的势能函数在很多方面都是唯一的。
也就是说，对于一个特定的保守力，存在着唯一一个势能函数可以描述它，并且这个势能函数的形式是确定的。
这是由保守力的基本特性所决定的。
总结一下，势能函数与保守力之间存在着密切的关系。
保守力可以描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明所描述的力是保守力。
在大多数情况下，保守力的势能函数都是唯一的，这是由保守力的基本特性所决定的。
深入了解势能函数与保守力之间的关系有助于我们更好地理解物理学的基本概念，进一步提高我们的学术水平。
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
保守力和势能
一对力所作的总功的只取决于两质点的相对运动；
一对力做功的代数和与参考系的选择无关；
5
什么条件下, 一对内力做功为零?
v
m
M
f
s s
C
f
v
N
C
N
Af Af 0
作用点无相对位移
AN AN 0
相互作用力与相对位移垂直
6
功的大小与参照系有关
功的单位为焦耳 功率(power) 功率：单位时间内力对物体所作的功 平均功率
yb ya
W mgdy mg( yb ya ) mg( ya yb )
重力是保守力。重力的功等于重力势能增量 的负值。重力势能以地面为零势能点。
y dy a p o
12
dr dx
W mg( yb ya ) ＝－EP 为势能增量
dr
b
EP mgdy mg(0 y) mgy
P
C
y
R
.
o
m
F
解：
F F0 xi F0 yj
r
x
0
dr dxi dyj
2R
r xi yj
2 A F d r F0 x d x F0 y d y 2F0 R
0 0
8
练习2 如图 M =2kg , k =200N m , s = 0.2m , g ≈ 10ms
功(work)
力对空间累积
中学知识恒力作功
F
a
F
A F s cos F s
s
s
ds
dr
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
保守力-势能
2 l
2 l
2
得 v g l( l2 a 2 )( l a ) 21 2
小结 •功与功率
•势能
重力势能 Ep mgy
dAFdr
Mm
P＝ dA dt
•质点的动能定理
引力势能 Ep G r
弹性势能
Ep
1 2
kx 2
A12mv22 12mv12
•质点系的动能定理
n
n
n
Ai Eki Eki0
•万有引力、重力、弹性力
i1
i1
i1
作功的特点
•质点系的功能原理
A 外 力 ＋ A 非 保 守 内 力 ＝ E－ E0
•机械能守恒定律
n
n
n
n
E ki Ep＝ i E k0i Ep0i
i0
i0
i0
i0
1. 能量、动量、角动量是更为基本的物理量， 它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。 （既适用于宏观世界，又适用于微观领域； 既适用于实物，又适用于场。）
A F d r 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 与保守力相反的是非保守力
典型的非保守力： 摩擦力
1、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
A Ga bm g d r
b ( m ) k ( d g i x d j d yk )
zb (mg)dz a za
Z
mg azmg b z
B C
X
解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。
取AB面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为
E1Ll mg(2lsin)
系统末状态的机械能为 E21 2m2vmg(L 2sin)
大学物理 功和能汇总
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
大学物理动能势能机械能守恒定律
解
(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0， dy＝0，所以
A1 Fx dx
0
4 4 0 0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
1 A A1 A2 45 J 3
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
6
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
dr dxi dyj dzk
A Fz dz mgdz (mgz mgz0 )
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
Mm dA F dr G 2 r 0 dr r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
8
Mm A F dr G 2 r 0 dr A r
B
d ( A ) d ( A A) 2 A d A
大学物理》课程教案
大学物理》课程教案1-1 质点运动的描述1-2 加速度为恒矢量时的质点运动经典力学的基础包括质点力学和刚体力学定轴转动部分。
其中动量、角动量和能量等概念及相应的守恒定律是重点。
此外，狭义相对论的时空观是当今物理学的基本概念之一，与XXX力学联系紧密，因此也被归入经典力学的范畴。
第01章质点运动学（4学时）1-1 质点运动的描述1-2 加速度为恒矢量时的质点运动本章介绍质点运动学的基本概念，包括位置矢量、位移、速度和加速度等描述质点运动及运动变化的物理量，以及运动方程的物理意义及作用。
同时，还将重点讲解圆周运动和相对运动等内容。
基本要求：1.掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量，理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性。
2.理解运动方程的物理意义及作用，掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法。
3.能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。
4.理解XXX速度变换式，并会用它求简单的质点相对运动问题。
重点：1.掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
2.确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义，掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。
3.理解XXX坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。
难点：1.法向和切向加速度。
2.相对运动问题。
第01-1讲质点运动的描述，加速度为恒矢量时的质点运动本节介绍质点运动的描述和加速度为恒矢量时的质点运动。
首先，讲解参考系和位矢、位移的概念，以及运动方程的作用和求解方法。
其次，介绍圆周运动和相对运动等内容，重点讲解法向加速度和切向加速度的物理意义，以及圆周运动的角量和线量的关系。
最后，讲解XXX速度变换式，以及如何利用它求解简单的质点相对运动问题。
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
需要强调的关于保守力(对)做功特点、势能的特征
百一 十 万人 。
三、 制定 相 关 法规 政 策 为 了保证家长教育选择权 ， 美 国政府也制定了相应 的
法规及政策 ， 从制度上来保证家长教育选择权的实现。这
二、 开放 多元教 育选 择
次 的测验评量 ，其他则在一段 时间内针对特定学科作考 核 。据美国教育统计 中心 ２ ０ ０ ４年所作 的估计 ： １ ９ ９ ９ 年美 国在 家教 育 的学 生 人数 为 八十 五 万 人 ，而 ２ ０ ０ ３ 年 时 已达
一
除了为中小学生提供不同类型学校之外 ， 美 国还开放 了学校选择权 ，给予每一位孩子有选择优质教育 的权利 。 具 体做 法 如下 ： １ ． 不受学区限制 。现行美 国义务教育 阶段 ， 美国家长 除了选择传统的强制分配 的地方学区外 ， 还有更多的学校 选择。包括学区内的学校选择 、 跨学区的学校选择及教育 券式 的学校选择。 家长除了可“ 免于学区控制” 自由选择普 通公立学校外 ，可进而选择新形式的学校或私立学校 ， 使 得美 国家长 的教育选择权有更多选项 。 ２ ． 在家教育。除了不受学区限制外 ， 美 国家长还可 以 选择让孩子在家接受教育 。 在家教育是家长选择不让子女 到学校接受教育 ， 而 由父母依据需要来教导儿童的一种教 育方式 。它不同于公办民营的方式 ， 是属于非学校教育类 型 的一 种教 育选 择 。 在 家教 育 深受 美 国激 进 主义 教 育社 会
一
一 ｎ
点 系 运 用质 点 的动能 定 理 Ａ外＋ Ａ内＝
二
‘
ｍ ｉ ｖ 一
2.4 功 动能 势能 机械能守恒
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
大学物 理学
无关，而只与质点的初末位置有关。
非保守力: 力所做的功与路
B
径有关。（例如摩擦力）
重力功 W (mgy2 mgy1)
D
L
C
弹力功
W
(
1 2
k
x22
1 2
k
x12
)
A
引力功
W
(G
F
d r
m' m) (G
rB F
d r
m' m rA
)
2
Ep mgl sin
机械能守恒 m+地球：
0 0 1 mv2 (mgl sin )
2
大学物 理学
例 一轻弹簧, 其一端 系在铅直放置的圆环的顶
PR
点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在
30 A
o
环上运动(μ =0)．开始球
静止于点 A, 弹簧处于自然
B
状态，其长为环半径R;
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
1-4-2 保守力的功、势 能
保守力的功势能（1）重力的功XYZOa b∙∙∙gm rd m 在重力作用下由a 运动到b ，取地面为坐标原点⎰⋅=bard g m W ⎰++⋅-=ba )k dz j dy i dx (k )mg (⎰-=b az z mgdza b mgz mgz =-=初态量-末态量（2）万有引力的功rdr rMm G Wbar r ∙-=⎰3rdrr Mm G b ar r 3⎰-=)()(ba r Mm G r Mm G ---==初态量-末态量两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M 所在处为原点, M 指向m 的方向为位矢的正方向。
m 受的引力方向与位矢方向相反。
rdr r d r r d r ==∙θcos rrMm G F3-=Mr abm（3）弹力的功∙∙∙弹簧振子ikx F-=221122()b ax x b a W kxi dxikx kx=-∙=--⎰222121b a kx kx -==初态量-末态量某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关,而与路径无关,这种力称为保守力。
典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、电场力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力、粘滞阻力、磁力势能AB功是能的量度，给定两点A 、B ，保守力所做的功是一定的，即对应能量差是一定的，对应的这种能定义为势能，只与质点的位置有关。
)()(b E a E W P P ab -=定义了势能差保守力做正功等于相应势能的减少保守力做负功等于相应势能的增加选择b 点为势能为零,则0)(=b E P ab P W E (a)=质点在某一点a 的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点a 移动到零势能点时保守力所做的功rd F a E ar p∙=⎰零势能点保)(mgh E =重力2kx 21E =弹性rMm GE -=引力说明：（1）只有保守力的系统，才可引入相应的势能（2）计算势能必须规定零势能参考点（3）势能仅有相对意义，它与零势能点的选取有关，但两点间势能差与零势能点选取无关（4）势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有保守力与势能函数的关系一般说来，势能是位置的函数，若用E P (x,y,z)表示，那么zE F y E F x E F pz p y p x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=++=k z E j y E i x E k F j F i F F p p p z y x p E k z j yi x )( ∂∂+∂∂+∂∂-=pp E grdE -∇=-=质点所受保守力等于质点势能梯度的负值。
力做功与势能的关系
mm mm W (G 0 ) (G 0 ) rB rA
W (mgz B mgz A ) 1 2 1 2 弹力功 W ( kxB kx A ) 2 2
A
D
C
ACB
F dr
ADB
F dr
B
l
ACB
r (t )
B dr
r (t dt )
P mgk dr dxi dyj dzk
W
B A
2 ） 重力作功
zB P dr mgdz
zA
zA
z
A
zB
mg
B
(mgz B mgz A )
W mgdz 0
四 势能曲线
Ep mgz
Ep
1 2 Ep kx 2
m' m Ep G r
Ep
O
Ep
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
x
o
y
3 ） 弹性力作功
F
o
xA
B A
xB
x
B
x x F kxi W x Fdx x kxdx
A
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
W kxdx 0
二 保守力和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
弹性势能
讨论
势能是状态函数
大学物理 2.4 功能原理 机械能守恒定律
得到
A A
外
E E E E
kA
pA
pA
k p
系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用 E表示，则 E E E
以 E 和 E 分别表示系统初态和末态的机械能，则
A B
A A E E
外 非保 B
A
外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结 论为功能原理。
即
把
x1和 x2
1 1 2 K (x2 ) m1 gx2 K (x1 ) 2 m1 gx1 2 2 1 1 K (x 2 ) 2 K (x1 ) 2 m1 g (x1 x 2 ) 2 2
代入上式，化简可得： 所以得
F 2 (m1 g m2 g ) 2
2.4 功能原理 机械能守恒定律
由质点系动能原理
A A E E
外 内 kB
kA
内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内 力做的功和非保守内力做的功
A A A
外 保内
非保内
E E
kB
kA
保守力的功等于相应势能增量的负值，则
A E E
保内 pB 非保内 kB pB
x 2
1
如图2-12(a)所示；弹簧自然长度时的位置为弹性势能的零点，同时取作 m1 m2 g x m1 上跳过程必须使弹簧伸长 1 的零势能点，如图2-12(b)所示。撤力后 k 才能使下面的木板 m2 恰能提起，如图2-12(c)所示。
k
图2-12
把两个木块、弹簧、地球做系统，只有重力和弹力做功，所以 系统机械能守恒，初终状态动能均为零，故初始状态的弹性势能和 重力势能之和与终了状态的弹性势能和重力势能之和相等。
大学物理2-4保守力成对力的功势能
势能与保守力做功的物理意义
势能与保守力做功的物理意义在 于它们描述了系统能量的转化和
守恒。
在保守力作用下，系统势能与其 他形式的能量之间相互转化，但
总能量保持不变。
势能与保守力做功的概念在物理 学中具有广泛的应用，如机械能 守恒、电磁学、相对论等领域。
THANKS
感谢观看
量来得到保守力所做的功。
保守力做功的实例分析
01
02
03
重力做功
当物体在重力场中移动时， 重力所做的功等于物体质 量与高度差的乘积。
电场力做功
当电荷在电场中移动时， 电场力所做的功等于电荷 量与电势差的乘积。
万有引力做功
当物体在地球附近移动时， 万有引力所做的功等于物 体的质量与地球半径的乘 积。
势能存在
保守力做功与势能的变化有关，势能 是系统能量的重要组成部分，它决定 了系统能分法
01
利用微积分的基本定理，将力在路径上的积分转换为在空间上
的积分，从而求得保守力所做的功。
直接法
02
根据保守力的定义，直接计算力在路径上的积分，得到保守力
所做的功。
势能法
03
利用势能的变化求得保守力所做的功，即通过计算势能的变化
保守力的功与路径无关，只与初末位 置有关，因此存在势能的概念。
成对力的定义
成对力
在物理系统中，如果两个力作用 于同一物体，并且大小相等、方 向相反，则称这两个力为成对力 。
特点
成对力不改变物体的总动量，因 此常常出现在动量守恒的物理过 程中。
保守力与成对力的关系
保守力不一定是成对力，而成对力也 不一定都是保守力。只有当一对力都 是保守力时，它们才具有势能的概念 。
2.4.1 保守力及保守力的功.
W外力 E p W非保守内力 Ek
W外力 W非保守内力 Ek E p EM 或者W外力 W非保守内力 ( Ek E p ) ( Ek0 E p0 )
2.4.4 机械能和机械能守恒定律
若W外力 W非保守内力 0 则EM EM 0或Ek E p Ek0 E p0
在碰撞后弹簧继续压缩的过程中，取物 块、平板、弹簧和地球构成的质点组为研究 对象，由于质点组仅有保守力（重力、弹性 力）做功，所以由机械能守恒定律得
EM Ek E p
由于弹簧处于最大压缩时，物块和平板
的速度等于零，所以达到最大压缩时质点组
的动能变化为
Ek
0
1 (m 2
m )v22
E p引力(r) 0
对于重力势能，通常取地面作为零势能 点，即
E p重力( y0) 0
对于弹性势能，通常取弹簧无形变处作 为零势能点，即
E p弹力( x0) 0
2.4.3 功能原理
EM Ek Ep EM Ek E p W内力 W保守内力 W非保守内力
r1
M
r2 r1
G
Mm r3
r
dl
r2 r1
G
Mm r2
cos
dl
dl
m dr
r
F
r2 r1
G
Mm r2
dr
所以W引
G
Mm r2
G
Mm r1
2. 重力的功
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、 保守力
势能
功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经 历的路径无关，这类力叫做保守力。不具备这种性 a 质的力叫做非保守力。 h h a b c 1. 重力作功 设质量为m的物 体在重力的作用下从a 点沿任一曲线运动到b 点。
d
G
h
ha
hb
b
在元位移 s 中，重 力 G 所做的元功是
保守力的功
Ac E pa E pb E p
成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能 增量的负值）。 注意： （1）势能既取决于系统内物体之间相互作用 的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势 能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。 （2）物体系统在两个不同位置的势能差具有 一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。 （3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意 义。势能零点可根据问题的需要来选择。
a b
A重 (mgy 2 mgy 1)
1 2 1 2 A弹 ( kx 2 kx1 ) 2 2 Mm Mm A引 [(G ) (G )] r2 r1
这三种力对质点作功仅决定于质点运动的始末位 置，与运动的路径无关，称为保守力。
保守力的判据是：
任意
F dr 0
设有两个质点 1 和2 ，质量分别为m1和 m2 ， F1为 质点 1 受到质点 2 的作用力， 为质点 2 受到质点 1 的作 F2 用力，它们是一对作用力和反作用力。
二、 成对力的功
z F2 dr m2 r m F 1 1 dr2 d A1 F1 d r1 dr1 r2 dr 1 r1 d A2 F2 d r2 r d r d A F1 d r1 F2 d r2 y O x F1 d r1 F2 (d r1 d r ) ( F2 F2 ) d r1 F2 d r F2 d r
a
c
d
ha hb
A G coss mg cos s mgh
G
Δs
h
ha
hb
b
A A mgh mg h mgha mghb
A mgha mghb
由此可见，重力作 功仅仅与物体的始末位 置有关，而与运动物体 所经历的路径无关。
（2）当物体的总能量E=-0.50J保持不变时，
令Ep(x)=E就可求得物体的Ek=E-Ep为0的位置，
因此，令
a b 0.50J 2 x x
由此解得
x (2
0.59 m 2 )m 3.14 m
初始 mg=N 小球刚能脱离地面 N=0
kx=mg
外力做功造成弹性势能增加
由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功 只与作用力 F2及相对位移 d r 有关，而与每个质点各 自的运动无关。
表明：任何一对作用力和反作用力所作的总
功具有与参考系选择无关的不变性质。
保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对
保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，
而与各质点的运动路径无关。
势能零点的选择
（1）重力势能
E p ( y) mgy c
重力0 势点一般选在物体运动最低点y=0处，则
E p (0) mg 0 c 0
得到
c0
E p ( y) mgy
1 2 E p ( x) kx c 2
（2）弹性势能
弹性0 势点一般选在弹簧的原长x=0 处。则
a
c
d
ha hb
G
h
ha
hb
b
设物体沿任一闭合 A adb mgha 路径 adbca 运动一周， 重力所作的功为： Abca (mgha
mghb mghb )
a
A Aadb Abca 0
A Gd s 0
d
c
G
Байду номын сангаас
ha hb
h
ha
hb
b
表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运 动一周时重力所作的功为零。
2. 弹性力的功
弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系 一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设 a、b 两点 为弹簧伸长后物体的两个位置， xa 和 xb 分别表示物 体在a、b 两点时距 o 点的距离。
O
X X
l0
O xb
1 E p (0) k 0 2 c 0 c 0 2
得到
1 2 E p ( x ) kx 2
Mm E p (r ) G c （3）万有引力势能 r Mm E p () G c 0 c 0
得到
Mm E p (r ) G r
四、 势能曲线
E p (h) E p ( x)
由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。
F d A F d r r mM dr G0 2 cos d r r O mM b r d A G0 2 d r M r mM G mM ( 1 1 ) rb rb A ra d A ra G0 2 d r 0 ra rb r
x
xa
l0
xb
O xb
xb
x
xa
X
1 2 1 2 A xa F d x x kx d x kxa kxb a 2 2 1 2 1 2 A = kxa - kxb 2 2
由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末 位置有关，与具体路径无关。
3.万有引力的功
两个物体的质量分别为 M和m，它们之间有万有 引力作用。M静止，以M为原点O建立坐标系，研究 m a m相对M的运动。 dr r
x/m Ep(x)/J
0.2 1.5
0.5 0
1 -1.0
EP /J
2 -0.75
3 -0.55
4 -0.44
现在，求物体的平衡位置
2a b F 3 2 dx x x dE p
2
1
0 1 1 2 3 4 x /m
令F=0,解得 x=1m ，这就是物体的平衡位置，在 该点，势能有极小值，如图所示。
三、 势能 势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。
它是一种潜在的能量，不同于动能。
几种常见的势能：
重力势能 弹性势能 万有引力势能
E p mgh 1 2 E p = kx 2 Mm E p G0 r
joke
导航员：请报告你的高度、位置。
飞行员：我大约1.8米高，现在正坐在驾驶员的座 位上。
Fx d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此 坐标的导数的负值。
例题2-12 一质量为m=1kg的物体，在保守力F（x） 的作用下，沿x 轴正向运动（x>0）。与该保守力相 应的势能是 a b E p ( x) 2 ( x 0) x x 式中x以m为单位，势能以J为单位a =1J· m2,b=2J · m （1）画出物体的势能曲线；（2）设物体的总能量E =-0.50J 保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在 一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的 运动范围. a b E p ( x) 2 ( x 0) 解:（1) 根据 x x 取下列数据来 画出势能曲线
§2-5 质点系的功能原理
§2-6 碰撞
§2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
下滑10m 初速度可由 重力做功=动能 增量 求出 飞出屋檐后即为斜抛运动 分水平和竖直方向考虑
关键：求速度
选择进入下一节 §2-0 教学基本要求
§2-1 质点系的内力
§2-2 动量定理 §2-3 功 动能 §2-4 保守力
质心
质心运动定理
动量守恒定律 动能定理 成对力的功 势能 机械能守恒定律
E
Eh
A
Ep
E
Ek
B
Ep
o
H H 重力势能
h
Ep
弹性势能
Ek 0
o
x
E
o
Ek
Ep
x
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
A ( E p 2 E p1 ) E p d A d Ep d A F cos d x