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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT
有几个?举例说明.
1
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也
没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最
小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],
最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成
立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对
∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
第2课时
函数的最大(小)值
-1-
首页
课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的
概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求
一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的
实际应用问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
1
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也
没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最
小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],
最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成
立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对
∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
第2课时
函数的最大(小)值
-1-
首页
课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的
概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求
一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的
实际应用问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
人教版高中数学必修一《函数的最大值、最小值》PPT教学课件
3 f2.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出 f(x)的图象可知(图略)， f(x)既无最大值又无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在) M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤ M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
栏目 导引
函数的最大(小)值(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
如果x0 是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在x = x0 附近找不到比f(x0 )更大（小）的值.
但是在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，
哪个值最小.
如果x0 在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么f(x0 )不小（大）于函数
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从
数学上知道它的道理吗？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8 2 分，其中r
（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商
人教A版2019
选择性必修第二册
一元函数的导数及其应用
5.3.2.2 函数的最大（小）值
问题引入
问题：求函数极值的一般方法是？
提示：
解方程f ′ x = 0，当f ′ x0 = 0 时：
（1）如果在x0 附近的左侧f ′ x > 0 ，右侧f ′ x < 0，那么f(x0 )是极大值；
（2）如果在x0 附近的左侧f ′ x < 0 ，右侧 f ′ x > 0，那么f(x0 )是极小值.
当x → +∞时， f(x) → +∞, f ′ (x) → +∞ .
根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图所示.
例2 给定函数 = ( + 1) .
（3）求出方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数.
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
函数的极值与最大(小)值-第2课时 函数的最大(小)值 课件
() = −1 没有最值，选项C显然不正确；
选项D正确，故选BD.
3. [2021北京昌平高二模拟] 已知函数() = (2 + 2 − 2 )e ，则
(
)A
A. (2)是()的极大值也是最大值
B. (2)是()的极大值但不是最大值
C. (−2)是()的极小值也是最小值
当变化时，′()，()的变化情况如下表：
− 3Байду номын сангаас
′ ()
()
(− 3, −1)
-
0
-1
0
↘
极小
值
(-1，1
）
+
0
↗
（1，3）
1
-
极大
值
所以 = 1和 = −1是函数在[− 3, 3]上的两个极值点，
且(1) = 2, (−1) = −2，
又因为()在区间端点处的取值为(− 3) = 0, (3) = −18，
数的最值满足的方程或不等式求解.
1. 已知函数() = ( − 2)e 在 = 1处取得极值.
（1） 求实数的值；
[答案] ′ () = e + ( − 2)e = ( + − 2)e .
由已知得′(1) = 0，即(2 − 2)e = 0，解得 = 1，
3.对参数进行分类讨论的标准通常是函数在某一区间内是否具有单调性，是
否具有极值等.
类型2 由函数的最值求参数的值或取值范围
例2 [2021山东聊城高二质检] 已知函数() = ln + (1 − ), ∈ .
（1） 讨论()的单调性；
[答案] ()的定义域为(0, +∞)，
(
选项D正确，故选BD.
3. [2021北京昌平高二模拟] 已知函数() = (2 + 2 − 2 )e ，则
(
)A
A. (2)是()的极大值也是最大值
B. (2)是()的极大值但不是最大值
C. (−2)是()的极小值也是最小值
当变化时，′()，()的变化情况如下表：
− 3Байду номын сангаас
′ ()
()
(− 3, −1)
-
0
-1
0
↘
极小
值
(-1，1
）
+
0
↗
（1，3）
1
-
极大
值
所以 = 1和 = −1是函数在[− 3, 3]上的两个极值点，
且(1) = 2, (−1) = −2，
又因为()在区间端点处的取值为(− 3) = 0, (3) = −18，
数的最值满足的方程或不等式求解.
1. 已知函数() = ( − 2)e 在 = 1处取得极值.
（1） 求实数的值；
[答案] ′ () = e + ( − 2)e = ( + − 2)e .
由已知得′(1) = 0，即(2 − 2)e = 0，解得 = 1，
3.对参数进行分类讨论的标准通常是函数在某一区间内是否具有单调性，是
否具有极值等.
类型2 由函数的最值求参数的值或取值范围
例2 [2021山东聊城高二质检] 已知函数() = ln + (1 − ), ∈ .
（1） 讨论()的单调性；
[答案] ()的定义域为(0, +∞)，
(
函数的单调性与最大(小)值PPT课件
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利 用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
《函数的最值》课件
电路设计
在电子工程中，电路设计是至关重要的环节。电路中的电压、电流和功率等参数需要在一定范围内保持稳定，以 满足电路的正常工作需求。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问题，找到最优的电路 参数配置。
在工程设计中的应用
结构设计
在工程设计中，结构设计是至关重要的环节。结构设计需要考虑各种因素，如载荷、材料、工艺等， 以确保结构的强度、刚度和稳定性。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问 题，找到最优的结构设计方案。
对于一些函数，其值域可能没有上界或下界，例 如y=x^2在x<0时。
无界函数的最大值和最小值
对于无界函数，其最大值和最小值可能不存在， 或者存在于特定的边界点。
3
无界函数的性质
无界函数的图像通常会呈现出“爆炸”的特性， 即随着x的增大或减小，y的值也会迅速增大或减 小。
函数最值的几何意义
一元函数最值的几何意义
供需平衡
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重要因素。生产商 和销售商需要预测市场需求和供应量，以制定合理的价格策 略。这需要利用函数最值的概念，通过分析供需函数，找到 使利润最大化的价格和产量。
在物理中的应用
弹性力学
在物理中，弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和内部应力的学科。在弹性力学中，物体在不同外力作用 下的形变程度和内部应力分布可以通过函数最值的概念来描述。例如，在求解弹性体的最大形变或最小应变时， 需要用到函数最值的概念。
01
判断导数的正负，确定函数
的单调性
02
03
确定函数的极值点
04
05
比较极值点与区间端点的函 数值，得出最值
利用函数的单调性求最值
确定函数的单调区间
在电子工程中，电路设计是至关重要的环节。电路中的电压、电流和功率等参数需要在一定范围内保持稳定，以 满足电路的正常工作需求。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问题，找到最优的电路 参数配置。
在工程设计中的应用
结构设计
在工程设计中，结构设计是至关重要的环节。结构设计需要考虑各种因素，如载荷、材料、工艺等， 以确保结构的强度、刚度和稳定性。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问 题，找到最优的结构设计方案。
对于一些函数，其值域可能没有上界或下界，例 如y=x^2在x<0时。
无界函数的最大值和最小值
对于无界函数，其最大值和最小值可能不存在， 或者存在于特定的边界点。
3
无界函数的性质
无界函数的图像通常会呈现出“爆炸”的特性， 即随着x的增大或减小，y的值也会迅速增大或减 小。
函数最值的几何意义
一元函数最值的几何意义
供需平衡
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重要因素。生产商 和销售商需要预测市场需求和供应量，以制定合理的价格策 略。这需要利用函数最值的概念，通过分析供需函数，找到 使利润最大化的价格和产量。
在物理中的应用
弹性力学
在物理中，弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和内部应力的学科。在弹性力学中，物体在不同外力作用 下的形变程度和内部应力分布可以通过函数最值的概念来描述。例如，在求解弹性体的最大形变或最小应变时， 需要用到函数最值的概念。
01
判断导数的正负，确定函数
的单调性
02
03
确定函数的极值点
04
05
比较极值点与区间端点的函 数值，得出最值
利用函数的单调性求最值
确定函数的单调区间
函数的最大(小)值课件
次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
3.2.1函数的性质-最大(小)值-课件(人教版)
那么，我们则称是函数 = ()的最大值.
函数 = ()的最大值可用“ ”或“() ”来表示.
一般地，设函数y = f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)∀x ∈ I,都有f(x) ≥ M;
(2)∃x0 ∈ I,使得f(x0 ) = M.
那么，我们则称M是函数y = f(x)的最小值.
简称增区间.
简称减区间.
(2)用证明函数的单调性
（1）取值；
定义法
（2）作差；
（3）定号；
（4）下结论.
数形结合证明函数单调性
(3)函数的最大（小）值
一般地，设函数 = ()的定义域为，如果存在实数满足:
(1)∀ ∈ ,都有() ≤ ;
(2)∃0 ∈ ,使得(0 ) = .
最小值！
.
课本P81 练习
1
f ( x)
x ，求函数在区间 [2,6] 上的最大值和最小值.
3.已知函数
1
2
【答案】 f ( x)max ， f ( x) min
1
.
6
【解析】首先证明函数在给定的区间上的单调性，即可得到函数的最值.
【详解】解： x1 , x2 [2, 6] ，且 x1 x2 ，则 f x1 f x2
课堂例题
例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它到达最高
点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系
为ℎ() = −4.92 + 14.7 + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳
时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?
解：画出函数ℎ()＝－4.92＋14.7＋18的图象(图3.24).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶
函数 = ()的最大值可用“ ”或“() ”来表示.
一般地，设函数y = f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)∀x ∈ I,都有f(x) ≥ M;
(2)∃x0 ∈ I,使得f(x0 ) = M.
那么，我们则称M是函数y = f(x)的最小值.
简称增区间.
简称减区间.
(2)用证明函数的单调性
（1）取值；
定义法
（2）作差；
（3）定号；
（4）下结论.
数形结合证明函数单调性
(3)函数的最大（小）值
一般地，设函数 = ()的定义域为，如果存在实数满足:
(1)∀ ∈ ,都有() ≤ ;
(2)∃0 ∈ ,使得(0 ) = .
最小值！
.
课本P81 练习
1
f ( x)
x ，求函数在区间 [2,6] 上的最大值和最小值.
3.已知函数
1
2
【答案】 f ( x)max ， f ( x) min
1
.
6
【解析】首先证明函数在给定的区间上的单调性，即可得到函数的最值.
【详解】解： x1 , x2 [2, 6] ，且 x1 x2 ，则 f x1 f x2
课堂例题
例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它到达最高
点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系
为ℎ() = −4.92 + 14.7 + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳
时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?
解：画出函数ℎ()＝－4.92＋14.7＋18的图象(图3.24).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶
高中数学——必修一同步课件-函数的最大值、最小值
2.最小值
对于定义域为I的函数f(x)，条件： f(x)≥M f(x0)=M 结论：M是函数f(x)在I上的最小值.
几何意义：函数y=f(x)图象上最___ 低 点的_______. 纵坐标
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)=x的最小值是-∞.( ) )
(2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.(
2 5
.
f f
(
1 2
)
1 2
,
即
2
2,
1 1 －2 , a 2 1 1 － 2, 2 a
【拓展提升】 1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.
2.利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,则f(x)在区
2.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横 坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而 直接将两端点值代入是最容易出现的错误 ,求解时一定要注意.
3.辨析函数的最值和值域 (1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整 个定义域. (2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素 .例如，函数 f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不 是1，因为1不在f(x)的值域内.
(2)若函数f(x)的定义域与值域都是［
1 2 ,
2］，求a的值.
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么 ?
新教材高中数学第三章函数的最大值最小值课件新人教B版必修第一册ppt
3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分； 当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分； 所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究 类型一 利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的 是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上 是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1） 所以Δf（Δxx） ＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1） ＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区 间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值 【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大 值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .
函数的单调性与最值课件共20张PPT
那么就称函数f(x)在区间D上单 那么就称函数f(x)在区间D上单
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
《函数的最大值》课件
函数最大值的数学表示
设函数为$f(x)$，其定义域为$D$， 函数最大值为$M$，则有$M = max f(x)$，其中$x in D$。
函数最大值可以用数学符号表示为$M = max f(x)$，其中$x in D$。
函数最大值的存在性
对于连续函数，在其定义域内 一定存在最大值和最小值。
对于离散函数，其最大值可能 不存在，因为可能存在多个点 使得函数取到相同的最大值。
函数最大值与区间端点值的关系
总结词
函数在闭区间上的最大值可能出现在区间的端点或内部极值点，但开区间上的最大值只能出现在端点 。
详细描述
在闭区间上，由于函数可能存在极大值或极小值，这些点可能成为最大值的候选点。而在开区间上， 由于没有区间端点的限制，函数的最大值只能出现在区间端点。
函数最大值与极值点的关系
应用实例
优化汽车发动机的设计以提高燃油效率。
资源分配问题
总结词
详细描述
数学模型
应用实例
在资源有限的情况下， 利用函数最大值进行资 源分配以实现最优效益 。
在资源分配问题中，通 常存在多个项目或任务 需要完成，而资源有限 。通过建立项目或任务 的效益与资源需求的函 数关系，并求取该函数 的最大值，可以确定最 佳的资源分配方案。
03
函数最大值的应用
最大利润问题
总结词
利用函数最大值求解最大利润问题，需要考虑成 本、收益和市场需求等因素。
数学模型
利润函数 = 收入 - 成本，通过求导数或使用不等 式等方法找到使利润最大的产量。
详细描述
在生产和销售过程中，企业需要最大化利润。通 过建立成本、收益和市场需求与产量的函数关系 ，并求取该函数的最大值，可以确定最佳产量， 从而实现最大利润。