2019学年高中数学第一章统计案例2.1条件概率与独立事件学案北师大版选修1_2

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高中数学第一章统计案例2.1条件概率与独立事件课后巩固提升含解析北师大版选修1_2

条件概率与独立事件[A 组基础巩固]1．某人一周晚上值班2次，在已知他星期日一定值班的前提下，其余晚上值班所占的概率为( )A 、13B 、14C 、15D 、16解析：本题为条件概率，在星期日一定值班的前提下，只需再从其余6天中选一天值班即可，概率为16、答案：D2．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别是a 和b ，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是( ) A ．1－abB ．(1－a )(1－b )C ．1－(1－a )(1－b )D ．a (1－b )＋b (1－a )解析：设甲解出该题为事件A ，乙解出该题为事件B ，则P (A )＝a ，P (B )＝b ， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝(1－a )(1－b )．答案：B3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是( ) A 、1425B 、1225C 、34D 、35解析：P ＝810×710＝56100＝1425、答案：A4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为13、12、23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A 、19B 、16C 、13D 、718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A 、B 、C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23、停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ，故概率为P ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718、答案：D5、同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( ) A 、116B 、18C 、316D 、14解析：满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4;x ＝2，y ＝2;x ＝4，y ＝1、所以，所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316、答案：C6．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0、4，乙胜丙的概率为0、5，丙胜甲的概率为0、6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙;第二局，第一局胜者对丙;第三局，第二局胜者对第一局败者;第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0、4)×0、5×(1－0、4)×0、5＝0、09、答案：0、097．由长期统计资料可知，某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为415，刮风(用B 表示)的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________、解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝110715＝314，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38、答案：314 388．若A ，B 为相互独立事件，则下列式子成立的是__________．(把你认为正确的序号都填上) ①P (AB )＝P (A )P (B );②P (A B )＝P (A )P (B );③P (A B )＝P (A )－P (A )P (B );④P (A B )＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B )．解析：①②正确．③P (A B )＝P (A )P (B )＝P (A )[1－P (B ))] ＝P (A )－P (A )P (B )．④P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )] ＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B )．答案：①②③④9．甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0、6，乙击中敌机的概率为0、5、 (1)求甲、乙都未击中敌机的概率; (2)求敌机被击中的概率．解析：设“甲击中敌机”为事件A ，“乙击中敌机”为事件B ，“甲、乙都未击中敌机”为事件C ，“敌机被击中”为事件D 、由题意可知A ，B 相互独立，则A 与B 也相互独立． (1)P (C )＝P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝(1－0、6)×(1－0、5)＝0、2、(2)P (D )＝1－P (A B )＝1－0、2＝0、8、10．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%、问： (1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？ (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？解析：设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则根据题意有P (A )＝0、20，P (B )＝0、18，P (AB )＝0、12，所以(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0、67，(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0、60、[B 组能力提升]1．据统计，大熊猫的平均寿命是12～20岁，一只大熊猫从出生起，活到10岁的概率为0、8，活到20岁的概率是0、4，北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了，它能活到20岁的概率为( ) A ．0、32 B ．0、5 C ．0、4D ．0、8解析：设A ＝“能活到10岁”，B ＝“能活到20岁”．即P (A )＝0、8，P (B )＝0、4，所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0、5、答案：B2、在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A 、18B 、38C 、14D 、78解析：设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (E )＝P (ABC )∪P (AB C )∪P (A B C ) ＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝⎛⎭⎫1－12＋12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝38、答案：B3．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是25，12，35，现3人各投篮1次，则3人中恰有2人投进的概率为________．解析：甲、乙、丙投进分别记作事件A 、B 、C ，它们相互独立，则3人中恰有2人投进的概率为P ＝P (AB C ＋A B C ＋A BC )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝25×12×(1－35)＋25×(1－12)×35＋(1－25)×12×35＝1950、答案：19504．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．解析：解法一先求出成功次数X 的分布列，再求均值．由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫342＝916、所以在2次试验中成功次数X 的分布列为X 0 1 2 P11638916则在2次试验中成功次数X E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32、解法二此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np＝2×34＝32、答案：325．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用满6 000小时未坏，求它能用满10 000小时的概率．解析：设A ＝“用满10 000小时未坏”， B ＝“用满6 000小时未坏”，则P (A )＝12，P (B )＝34，由于A ⊆B ，故P (AB )＝P (A )．∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )＝1234＝23、∴这个元件能用满10 000小时的概率为23、6、如图所示，用A 、B 、C 三类不同元件连接成两个系统N 1、N 2、当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作;当元件A 正常工作且元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0、80、0、90、0、90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2、解析：由题图可知P 1＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )P (C )＝0、80×0、90×0、90＝0、648P2＝P(A∩(B∪C))＝P(A)·[1－P(B C)] ＝0、8×[1－P(B)·P(C)]＝0、8×[1－(1－0、9)(1－0、9)]＝0、8×(1－0、01)＝0、8×0、99＝0、792、。

高中数学第一章统计案例2.1条件概率与独立条件课件北师大版选修1_2

)>0,称 P(B|A)＝PPAAB为在事件 A 发
生的条件下,事件 B 发生的条件概率.P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.
思考 (1)3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13,不比其他同学小.
(2) 掷一颗骰子一次 , 设事件 A ： “ 出现偶数点 ”, 事件 B ： “出现3点或6点”,则事件A,B的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
所以 P(A)＝36＝12,P(B)＝26＝13, P(AB)＝61＝21×31,即 P(AB)＝P(A)P(B), 因此,事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件. 答案 B
反思与感悟利用 P(B|A)＝nnAAB解答问题的关键在于明确 B 中的基本事件空间已经发生了质的变化,即在 A 事件必然发生的前提下,B 事件包含的样本点数即为事件 AB 包含的样本点数.
跟踪训练1 某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. (1)求选到的是共青团员的概率；解设“选到的是共青团员”为事件A,“选到的是第一小组学生”为事件B,则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB. P(A)＝1450＝38.
知识点三相互独立的概念
设A,B为两个事件,若P(AB)＝ P(A)P(B) ,则称事件A与事件B 相互独立.
知识点四相互独立的性质
如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也

2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.2.1条件概率与独立事件教案(含解析)北师大版选修1_2

2．1 条件概率与独立事件100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，A ∩B ＝{产品的长度、质量都合格}．问题1：试求P (A )，P (B )，P (A ∩B )．提示：P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (A ∩B )＝85100.问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格的概率．提示：若用A |B 表示上述事件，则A |B 发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590.问题3：如何理解问题2?提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B 发生的条件下事件A 发生．问题4：试探求P (B )，P (A ∩B )，P (A |B )间的关系．提示：P (A |B )＝P A ∩BP B.条件概率 (1)概念事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式P (A |B )＝P A ∩B P B(其中，A ∩B 也可记成AB )．(3)当P (A )>0时，A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P ABP A.有这样一项活动：甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝{从甲箱里摸出白球}，B ＝{从乙箱里摸出白球}．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )，P (AB )．提示：P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310.问题3：P (AB )与P (A )，P (B )有什么关系？提示：P (AB )＝P (A )P (B )＝35×12＝310.问题4：P (B |A )与P (B )相等吗？提示：相等，由P (B |A )＝P AB P A ＝12，可得P (B |A )＝P (B )．独立事件(1)概念：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)推广：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)拓展：若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．1．由条件概率的定义知，P (B |A )与P (A |B )是不同的；另外，在事件A 发生的前提下，事件B 发生的概率为P (B |A )，其值不一定等于P (B )．2．事件A 与B 相互独立就是事件A 的发生不影响事件B 发生的概率，事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．[例1] (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．[精解详析] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16.∴P (B |A )＝P AB P A ＝13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.∴P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14.∴P (B 1|A 1)＝P A 1B 1P A 1＝1412＝12. 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.[一点通] 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝n ABn A，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P (B|A )＝P ABP A，特别要注意P (AB )的求法．1．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 为“三次抽到的号码之和为6”，事件B 为“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )A.17B ．27C.16D.727解析：选A 用列举法将所有情况全部列出(略)，可知共有27种情况，其中事件A 有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,2,2)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共7种情况，事件B 有(2,2,2)，共1种情况，所以P (A )＝727，P (AB )＝P (B )＝127，根据条件概率公式P (B |A )＝P ABP A ＝127727＝17. 2．甲、乙二人参加一项测试，已知甲通过该项测试的概率为35，他们同时通过该项测试的概率为47.若甲先参加并顺利通过测试，则乙也通过测试的概率是________．解析：设“甲通过测试”为事件A ，“乙通过测试”为事件B .则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝4735＝2021.答案：20213．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，由题意，得P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P AB P B ＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.60.[例2] }，B ＝{硬币乙出现正面}，验证事件A ，B 是相互独立的．[思路点拨] 判定两个复杂事件是否独立应借助定义判断，即判断P (AB )＝P (A )P (B )是否成立，再作出结论．[精解详析] 掷甲、乙两枚硬币的所有可能情形为 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．事件A 中含2个基本事件，事件B 中含2个基本事件，事件AB 中含1个基本事件． ∴P (A )＝24＝12，P (B )＝24＝12，P (AB )＝14.∴P (AB )＝P (A )P (B )．∴事件A ，B 是相互独立的．[一点通] (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．4．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B ”中，满足相互独立的有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选D 由于A 与B 是两个相互独立事件，所以根据相互独立事件的性质可知，A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立事件，故有4对相互独立事件．5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立．解：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K 或方块老K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 互为独立事件.[例3] 100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大？[思路点拨] 若用A ，B ，C 表示甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格，则事件A ，B ，C 相互独立．[精解详析] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13 ＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.结合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．[一点通] (1)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12和P ，且乙投球2次均未命中的概率为116.求：(1)乙投球的命中率P ；(2)甲投球2次，至少命中1次的概率．解：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，则A ，B 相互独立． (1)法一：由题意，得(1－P (B ))2＝(1－P )2＝116.解得P ＝34或P ＝54(舍去)．∴乙投球的命中率为34.法二：由题意，得P (B )·P (B )＝116.∴P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，∴P (B )＝1－P (B )＝1－14＝34.即乙投球的命中率为34.(2)由题意知，P (A )＝12，P (A )＝12.法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝1－12×12＝34.法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为P (A A ＋A A ＋AA )＝P (A A )＋P (A A )＋P (AA )＝12×12＋12×12＋12×12＝34. 7．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．解：设“A 级第一次考试合格”为事件A 1，“A 级补考合格”为事件A 2；“B 级第一次考试合格”为事件B 1，“B 级补考合格”为事件B 2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A 1B 1，注意到A 1与B 1相互独立，则P (A 1B 1)＝P (A 1)×P (B 1)＝23×12＝13.即该考生不需要补考就获得合格证书的概率为13.(2)设“该考生一共参加3次考试”为事件C ，则C ＝A 1B 1B 2＋A 1B 1 B 2＋A 1A 2B 2，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P (C )＝P (A 1B 1B 2＋A 1B 1B 2＋A 1A 2B 2)＝P (A 1B 1B 2)＋P (A 1B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 2) ＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12 ＝16＋16＋19＝49. 即该考生一共参加3次考试的概率为49.1．计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A 发生”“事件A 发生并且事件B 也发生”“事件B 在事件A 发生的条件下发生”的概率之间的关系．2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系：1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12 B ．14 C.13D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n AB n A ＝3054＝59.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59.答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5. (2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2. 所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率．解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝4445.(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝145，在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝845.所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.。

高中数学第一章统计案例条件概率与独立事件学案含解析北师大版选修1_2

高中数学学案：条件概率与独立事件一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【答案】 A【解析】设甲击中为事件A ，乙击中为事件B .∵A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.562．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B ”中，满足相互独立的有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】 D【解析】由于A 与B 是两个相互独立事件，所以根据相互独立事件的性质可知，A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立事件，故有4对相互独立事件．3．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A.16B.25C.215D.56【答案】 A【解析】记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A 、B 是相互独立事件．P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＝24×26＝16. 二、填空题4．由长期统计资料可知，某地区在4月份下雨(记为事件A )的概率为415，刮风(记为事件B )的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.【答案】 314 38 【解析】由题意P (A )＝415，P (B )＝715，P (AB )＝110，则P (A |B )＝P AB P B ＝110715＝314， P (B |A )＝P AB P A ＝110415＝38. 5．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是__________，三人中至少有一人达标的概率是__________．【答案】 0.24 0.96【解析】三人均达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24，三人中至少有一人达标的概率为1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.三、解答题6．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人不放回地依次各抽1题，在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的概率是多少？[分析] 本题为条件概率，事件A 为甲抽到选择题，事件B 为乙抽到判断题．本题所求为在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率．【解析】设甲抽到选择题为事件A ，乙抽到判断题为事件B ，则P (A )＝610＝35，P (AB )＝6×410×9＝415. ∴P (B |A )＝P AB P A ＝41535＝49，即在甲抽到选择题的条件下，乙抽到判断题的概率是49.。

高中数学第一章统计案例第2节独立性检验(第1课时)学案北师大版选修1-21

2.1 条件概率与独立事件1．了解条件概率的概念，会用条件概率公式求解简单的实际问题．2．理解相互独立事件的意义，理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式．1．条件概率(1)已知B发生的条件下，A发生的概率，称为_________________，记为____________．(2)当P(B)＞0时，有__________．(1)其中，A ∩B 也可以写成AB ，即A ，B 同时发生，上式为P(A|B)＝P ABP B ；(2)当P(A)＞0时，A 发生时B 发生的概率为P(B|A)＝P AB P A.【做一做1－1】已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)等于( )．A.950B.12C.910D.14【做一做1－2】把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，事件B ＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于( )．A.14B.12C.16D.182．相互独立事件(1)对于两个事件A ，B ，如果__________，则称A ，B 相互独立．注意区别事件间的“互斥”与“相互独立”的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，可能同时发生．(2)如果A，B相互独立，则A与________，A与____，A与________也相互独立．如果A，B相互独立，则有P(A B)＝P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]，P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)]P(B)，P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]．(3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P(A 1A 2…A n )＝__________.【做一做2】已知A ，B 是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(A B )＝________，P(AB )＝__________.答案：1．(1)B 发生时A 发生的条件概率 P (A |B ) (2)P (A |B )＝P A ∩B P B【做一做1－1】 B【做一做1－2】 B 由题意，知P (A )＝12，P (AB )＝12×12＝14，∴P (B |A )＝P AB P A ＝1412＝12. 2．(1)P (AB )＝P (A )P (B ) (2)B B B(3)P (A 1)P (A 2)…P (A n )【做一做2】 16 16 ∵P (A )＝12，∴P (A )＝1－12＝12.∵P (B )＝23，∴P (B )＝1－23＝13.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×13＝16，P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×13＝16.对条件概率的理解剖析：在解答概率问题时，首先要分清楚题目是条件概率，还是无条件概率，条件概率是指所求事件的发生是有前提条件的，是指在已知事件A必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题即可，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，由古典概型知其条件概率为P(B|A)＝n ABn A＝n ABnΩn AnΩ＝P ABP A，其中n(Ω)为一次试验中可能出现的结果数，n(A)为事件A所包含的结果数，n(AB)为A与B同时发生时的结果数．特别地，如果A为必然事件，即P(A)＝1，则事件B发生的概率可认为是无条件概率．题型一区分条件概率与非条件概率【例题1】在由12道选择题和4道填空题组成的16道考题中，如果不放回地依次抽取2道题．求：(1)第一次抽到填空题的概率；(2)第一次和第二次都抽到填空题的概率；(3)在第一次抽到填空题的前提下，第二次抽到填空题的概率．分析：(1)为无条件古典概型，(2)为相互独立事件同时发生的概率，(3)为条件概率，可由(1)(2)求出．反思：本题中(1)(2)为无条件概率，(3)为条件概率，通过本题体会两者之间的区别与联系．题型二计算条件概率的方法【例题2】设有大小相同的6个白色球和4个红色球放在一个袋子里．现从中不放回地依次取出两球，在已知第一次取出的是白球的情况下，求第二次取出的是红球的概率．分析：本题为条件概率，根据计算公式，需要分清楚两个事件中哪个事件是前提条件，再由公式计算．反思：在求条件概率时，要明确条件事件A 和在事件A 发生的条件下，事件B 是什么，再由公式求出．题型三相互独立事件至少有一个发生的概率【例题3】甲射击击中目标的概率是12，乙射击击中目标的概率是13，丙射击击中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，求目标被击中的概率．分析：甲、乙、丙分别射中目标是相互独立的，利用独立事件来求概率，目标被击中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目标．常从反面解答，即求出目标未被击中的概率．反思：已知事件A 、事件B 、事件C 为相互独立事件，则A ，B ，C 也为相互独立事件，即P(ABC )＝P(A )P(B )P(C )＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]．对于相互独立事件至少有一个发生，常转化为对立面都不发生来求解．答案：【例题1】解：设第一次抽到填空题为事件A ，第二次抽到填空题为事件B ，则第一次和第二次都抽到填空题为事件AB .(1)P (A )＝416＝14.(2)P (AB )＝4×316×15＝120.(3)P (B |A )＝P AB P A ＝12014＝15. 【例题2】解：设第一次取出白球为事件A ，第二次取出红球为事件B ，则P (A )＝610＝35，而P (AB )＝6×410×9＝415，∴P (B |A )＝P AB P A ＝41535＝49，即在第一次取出白球的情况下，第二次取出红球的概率为49.【例题3】解：设甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，丙击中目标为事件C ，目标未被击中为事件A B C ，事件A ，B ，C 相互独立，则目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝34，即目标被击中的概率为34.1(2010·江西高考)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )．A ．(1－p)nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p)n答案：D (间接法)每位同学不能通过测试的概率为1－p ，所以n 位同学全通不过测试的概率为(1－p )n ，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .2设有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是( )．A ．0.56B ．0.92C ．0.94D ．0.96答案：C3甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是52，21，53，现3人各投篮1次，则3人中恰有2人投进的概率为____________．答案：5019甲、乙、丙投篮投进分别记作事件A ，B ，C ，它们相互独立，则3人中恰有2人投进的概率为P ＝P (AB C ＋A B C ＋A BC )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )·P (B )P (C ) 5019532152153211525312152=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=. 4某市派出甲、乙两支球队分别参加全省青年组、少年组足球赛，甲、乙两队夺冠的概率分别为53和52，则该市夺取冠军的概率是____________．答案：2519设甲支球队夺冠为事件A ，乙支球队夺冠为事件B ，则A ，B 两个事件相互独立，该市夺冠为事件A B ＋A B ＋AB ，概率为P (A B ＋A B ＋AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )2519525352525353=⨯+⨯+⨯=，或1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝251953521=⨯-.5甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5. (1)求甲、乙都未击中敌机的概率； (2)求敌机被击中的概率．分析：本题中甲、乙击中敌机的事件是相互独立事件，未被击中的事件也是相互独立事件．解：设“甲击中敌机”为事件A，“乙击中敌机”为事件B，“甲、乙都未击中敌机”为事件C，“敌机被击中”为事件D.由题意可知A，B相互独立，则A与B也相互独立．(1)P(C)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.(2)P(D)＝1－P(A B)＝1－0.2＝0.8.。

高中数学第一章统计案例2.1条件概率与独立事件课件北师大版选修1_2

梳理条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，
记为 P(A|B) .
(2)公式
P(A|B)＝PPA∩BB(其中，A∩B 也可以记成 AB).
PAB
(3)当 P(A)>0 时，A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A)＝ PA .
知识点二独立事件
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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解答
(2)家庭中有三个小孩.
解有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝
{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，
男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本
事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件.
于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，
显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
解答
反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.
解答
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 解三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P( A B C ) ＝1－P( A )P( B )P( C ) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

北师大版选修1-2高中数学第1章《统计案例》1.2.1条件概率与独立事件习题导学案

高中数学第1章《统计案例》1.2.1条件概率与独立事件习题导学案北师大版选修1-2 学习目标 1．理解条件概率和独立事件的概念． 2．会计算简单的条件概率和独立事件同时发生的概率．学习过程一、基础过关3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.724．甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率为( ) A.115 B.215 C.15D.110 5. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为 ( )A.316B.34C.1316D.146．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．二、能力提升7．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配在A 型螺栓的概率为________．8．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？10．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭合都出现红灯的概率为16.求在第一次闭合出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率．。

高中数学第一章统计案例 1_2_1 条件概率与独立事件自我小测北师大版选修1-21

高中数学第一章统计案例 1.2.1 条件概率与独立事件自我小测北师大版选修1-21．下列说法正确的是( )．A ．P (B |A )<P (AB )B ．()=P B P B |A P A ()()是可能的 C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝02．下列事件A 、B 是独立事件的是( )．A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“人能活到20岁”，B ＝“人能活到50岁”3．(2011山东烟台高二期中)如图，A 、B 、C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9、0.8、0.7，那么系统的可靠性是( )．A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.064．某人每周晚上值班2次，在已知他星期日一定值班的前提下，则值班表安排他连续两天值班的概率为( )． A. 13 B. 14 C. 15 D. 165．设11()=()=,()=23P A|B P A|B P A 则P (B )等于__________，P (AB )＝__________. 6．某个家庭中有2个小孩，已知其中1个是男孩，则另1个也是男孩的概率为________．7．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．8．任意向x 轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问：(1)该点落在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在1,14⎛⎫⎪⎝⎭内的概率．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．参考答案千里之行始于足下1．B 显然当P (AB )＝P (B )时B 成立．2．A 依据独立事件定义，B ，C ，D 中两事件发生的概率显然相互影响．3. B 系统可靠即A 、B 、C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.4．A 设事件A 表示“他星期日值班”，事件B 表示“他连续两天值班”(星期六、星期日和星期日、星期一值班都是连续两天值班)．1116271()=7A A P A A =，1112271()=21A A P AB A =， ∴1121(|)=137P AB P B A P A ()==(). 5. 13 12∵1(|)==(|)=2P AB P AB P A B P B A P B P A ()()=()(). P (A )＝13＝P (B )，P (AB )＝12. 6. 13一个家庭的两个小孩只有4种可能：两个都是男孩，第一个是男孩，第二个是女孩，第一个是女孩，第二个是男孩，两个都是女孩，由题目可知这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为Ω，A 表示“其中一个是男孩”，B 表示“另一个也是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，男)}，∴n (A )＝3，n (AB )＝1. 故1(|)=3n AB P B A n A ()=(). 7．解：记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B .2536101()=202C P A C ==，14361()=5C P BA C =，2(|)=5P BA P B A P A ()=(). 8．解：由题意可知，任意向(0,1)这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内任意位置是等可能的，令A ＝102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，由几何概型的计算公式可知． (1) 112()=12P A =. (2)令114B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则1142AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， ∴11124()=14P AB -=. 故在A 的条件下B 发生的概率为114(|)=122P AB P B A P A ()==(). 百尺竿头更进一步解：(1)记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则1()=2P A ，2()=5P B ，1()=2P A ，3()=5P B . ∴恰好命中一次的概率为()+()P P AB P AB =()()+()()P A P B P A P B =1312512525102=⨯+⨯==. (2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P 1，则221129( )=()P()()()=1125100P P A A B B P A A P B P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为1911100P P =-=. 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2019学年高中数学第一章统计案例章末复习学案北师大版选修1_2

第一章统计案例章末复习学习目标 1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预报.2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．一、线性回归分析 1．线性回归方程在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，b ＝∑n i ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x .其中x ＝1n ∑n i ＝1x i ，y ＝1n∑ni ＝1y i . 2．相关系数(1)相关系数r 的计算公式r ＝∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2∑ni ＝1y 2i －n y2.(2)相关系数r 的取值范围是[－1,1]，|r |值越大，变量之间的线性相关程度越高． (3)当r >0时，b >0，称两个变量正相关；当r <0时，b <0，称两个变量负相关；当r ＝0时，称两个变量线性不相关．二、条件概率 1．条件概率的概念设A ，B 为两个事件，已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． 2．计算公式P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A ).三、独立事件 1．独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立事件与互斥事件的对比四、独立性检验1．2×2列联表设A，B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2．统计量χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).3．独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.类型一回归分析例1 如图所示的是某企业2011年至2017年污水净化量(单位：吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2019年该企业污水净化量．附注：参考数据：y ＝54，i ＝17(t i －t )(y i －y )＝21，14≈3.74，i ＝17(y i －y )2＝18.参考公式：相关系数r ＝i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n(t i －t )2i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ＝i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n(t i －t )2，a ＝y －b t .考点线性回归分析题点线性回归方程的应用解 (1)由题意，t ＝4，i ＝17(t i －t )(y i －y )＝21，∴r ＝i ＝17(t i －t )(y i －y )i ＝17(t i －t )2i ＝17(y i －y )2＝2128×18≈0.936.∵0.936>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系．(2)由题意，y ＝54，b ＝i ＝17(t i －t )(y i －y )i ＝17(t i －t )2＝2128＝34， a ＝y －b t ＝54－34×4＝51，∴y 关于t 的回归方程为y ＝34t ＋51.当t ＝9时，y ＝34×9＋51＝57.75，预测2019年该企业污水净化量约为57.75吨．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程． (3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差x (℃)与因患感冒而就诊的人数y ，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i －x )2，a ＝y －b x )考点线性回归分析题点线性回归方程的应用解 (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据，共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P (A )＝515＝13.(2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ＝187，∴a ＝y －b x ＝－307，∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2；当x ＝6时，y ＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2. ∴该小组所得线性回归方程是理想的．类型二条件概率与独立事件例2 (1)一个盒子中有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，第一次取后不放回，若已知第一支是好的，则第二支也是好的概率为________．答案 59解析设A i (i ＝1,2)表示“第i 支是好的”．由题意，得P (A 1)＝610＝35，P (A 1A 2)＝610×59＝13，∴P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝1335＝59.(2)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛．按规则：只有过了第一关，才能去闯第二关；只有过了第二关，才能去闯第三关．对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三关能通过的概率为0.5. ①求小张在第二关被淘汰的概率； ②求小张不能参加决赛的概率．解记“小张能过第一关”为事件A ，“直接去闯第二关能通过”为事件B ，“直接闯第三关能通过”为事件C ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.75，P (C )＝0.5. ①小张在第二关被淘汰的概率为P (A B )＝P (A )[1－P (B )]＝0.8×(1－0.75)＝0.2.②小张不能参加决赛的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )P (C )＝1－0.8×0.75×0.5＝0.7. 反思与感悟 (1)要正确理解条件概率公式的意义，P (AB )为事件A ，B 同时发生的概率，P (A |B )表示在B 发生的前提下，A 发生的概率．(2)在解决互斥事件、对立事件与独立事件的综合问题时，一般先利用独立事件的定义求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率加法公式求概率．(3)“至多”“至少”类题目可考虑利用对立事件的概率公式求解，以简化计算．跟踪训练2 若某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．答案 0.5解析设“动物活到20岁”为事件A ，“活到25岁”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，由于AB ＝B ，所以P (AB )＝P (B )＝0.4. 所以20岁的动物活到25岁的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.类型三独立性检验思想及应用例3 奥运会期间，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？ (2)你能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该高校学生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：独立性检验统计量χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .考点独立性检验思想的应用题点分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)由题意，可知男生抽取6×2020＋10＝4(人)．(2)χ2＝60×(20×20－10×10)230×30×30×30≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该高校学生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．反思与感悟独立性检验问题的求解策略通过公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)先计算χ2的值，再与临界值表作比较，最后得出结论．跟踪训练3 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成下列2×2列联表；(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？考点独立性检验思想的应用题点独立性检验在分类变量中的应用解(1)30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如表所示：(3)χ2＝30×(8－128)212×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下能够认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．1．下列相关系数r对应的变量间的线性相关程度最强的是( )A．r＝0.90 B．r＝0.5C．r＝－0.93 D．r＝0考点线性相关系数题点线性相关系数的应用答案 C2．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为( )A．0.7B．0.5C．0.3D．0.2考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案 B解析设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.2＋0.10.2＋0.1＋0.3＝0.5，故选B.3．某化妆品公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y 的统计数据如下表：由表中数据，得线性回归方程l：y＝bx＋a，则下列结论正确的是( )A．b＜0 B．a＜0C．直线l过点(4,8) D．直线l过点(2,5)考点线性回归方程题点样本点中心的应用答案 C解析由表计算可得x ＝4，y ＝8，b ＝1.4＞0，a ＝y －b x ＝8－1.4×4＝2.4＞0，所以排除A ，B ；因为y ＝1.4x ＋2.4，所以1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以点(2,5)不在直线l 上，所以排除D ；因为x ＝4，y ＝8，所以回归直线l 过样本点的中心(4,8)，故选C. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，在犯错误的概率不超过________(填百分比)的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 5%解析 χ2＝100×(10×30－20×40)230×70×50×50≈4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．5．对于线性回归方程y ＝bx ＋a ，当x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该线性回归方程是_______，根据线性回归方程判断当x ＝______时，y 的估计值是38.考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 y ＝x ＋14 24解析首先把两组值代入线性回归方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3b ＋a ＝17，8b ＋a ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝14.所以线性回归方程是y ＝x ＋14.令x ＋14＝38，可得x ＝24，即当x ＝24时，y 的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确变量． (2)画出散点图，观察它们之间的关系． (3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数． 2．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P (AB )P (B )⎝ ⎛⎭⎪⎫或P (B |A )＝P (AB )P (A )求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．3．独立性检验是研究两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法.一、选择题1．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如表：则该商品销售额与平均气温有( ) A ．确定性关系 B ．正相关关系 C ．负相关关系 D ．函数关系考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 C解析根据春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据知，y 随x 的减小而增大，是负相关关系，故选C.2．如果χ2的观测值为8.654，可以认为“x 与y 无关”的可信度为( ) A ．99.5%B ．0.5%C ．99%D ．1% 考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 B解析 ∵8.654＞7.879，∴x 与y 无关的可信度为0.5%. 3．根据如下样本数据：得到的线性回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 B 解析依题意得，a ＋b －25＝0.9，故a ＋b ＝6.5，①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，则y ＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．4．经过对统计量χ2的研究，得到了若干个临界值，当χ2<2.706时，我们认为事件A 与B ( ) A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下有关系 B ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下有关系 C ．没有充分理由认为A 与B 有关系 D ．不能确定考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 C解析因为χ2<2.706，而犯错误的概率大于10%，所以没有充分理由认为A 与B 有关系．5．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( ) A ．66% B ．67% C ．79%D ．84%考点线性回归分析题点回归直线方程的应用答案 D解析因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25×100%＝84%.6．为了了解疾病A 是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病A 与性别有关的把握约为( ) 临界值表：A.95% B ．99% C ．99.5%D ．99.9%考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 C解析由公式得χ2＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333＞7.879，故有(1－0.005)×100%＝99.5%的把握认为疾病A 与性别有关． 7．下列说法：①设有一个线性回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ②回归方程y ＝bx ＋a 必过(x ，y )；③在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，①错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )，②正确；因为χ2>6.635，故有99%的把握确认这两个变量有关系，③正确．故选B. 二、填空题8．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝________.考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案 13解析出现点数互不相同的共有n (A )＝6×5＝30(种)，出现一个5点，共有n (AB )＝5×2＝10(种)，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝13. 9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得线性回归方程为y ＝0.67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为________．考点线性回归方程题点样本点中心的应用答案 375解析由题意，得x ＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝30，且回归直线y ＝0.67x ＋54.9恒过点(x ，y )，则y ＝0.67×30＋54.9＝75，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝5y ＝375.10．某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如下表所示的2×2列联表(单位：人)：由2×2列联表计算可知，我们有________以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 97.5%解析由表中的数据可得χ2＝105×(10×30－45×20)255×50×30×75≈6.109，由于6.109>5.024，所以我们有97.5%以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．11．某炼钢厂废品率x (%)与成本y (元/吨)的线性回归方程为y ＝105.492＋42.569x .当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1000吨钢中，约有________吨钢是废品．(结果保留两位小数)考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 16.68解析因为176.5＝105.492＋42.569x ，解得x ≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1000吨钢中，约有1000×1.668%＝16.68(吨)是废品．三、解答题12．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？考点线性回归分析题点线性回归方程的应用解 (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4. ∴P (A )＝410＝25，∴P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，∴b ＝∑i ＝13x i y i －3x y∑i ＝13x 2i －3x 2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5， a ＝y －b x ＝27－2.5×12＝－3，∴y ＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x ＝10时，y ＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时，y ＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是可靠的．四、探究与拓展13．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 8解析只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．14．某校高一年级理科有8个班，在一次数学考试中成绩情况分析如下：附：∑8i ＝1x i y i ＝171，∑8i ＝1x 2i ＝204. (1)求145分以上成绩人数y 对班级序号x 的线性回归方程；(精确到0.0001)(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为7班与8班的成绩是否优秀(大于145分)与班级有关系．考点独立性检验思想的应用题点独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用解 (1)x ＝4.5，y ＝5，∑8i ＝1x i y i ＝171，∑8i ＝1x 2i ＝204， b ＝∑8i ＝1x i y i －8x y∑8i ＝1x 2i －8x2＝171－8×4.5×5204－8×4.52＝－314≈－0.2143， a ＝y －b x ＝5－(－0.2143)×4.5≈5.9644，∴线性回归方程为y ＝－0.2143x ＋5.9644. (2)χ2＝90×(3×38－42×7)245×45×80×10＝1.8，∵1.8<6.635，∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为7班与8班的成绩是否优秀(大于145分)与班级有关系．。

北师大版选修1-2 第一章 2.1 条件概率与独立事件课件(45张)

第一章统计案例
§2 独立性检验
2．1 条件概率与独立事件
第一章统计案例
1．条件概率求已知 B 发生的条件下，A 发生的概率，称为 _B__发__生__时__A__发__生__的__条__件__概__率____，记为___P_(_A_|B__)__，当 P(B)>0
P（A∩B）时，其公式为 P(A|B)＝__P__（__B_）___(其中 A∩B 也可以记成 AB)．类似地，当 P(A)＞0 时，A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A) ＝PP（（AAB））.
颜色
红色
2
3
蓝色
4
7
栏目导引
第一章统计案例
令事件 A 为任取一个球是蓝球，令事件 B 为任取一个球为玻
璃球，显然事件 AB 为一个蓝色的玻璃球．
法一：由于任取一个球是等可能的，且 A 包含的基本事件数
n(A)＝11，事件 AB 包含的基本事件数 n(AB)＝4，故所求事件
的概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝141. 法二：由题意可知 P(A)＝4＋167＝1116，P(AB)＝146，
率为 0.7×0.6＝0.42.
栏目导引
第一章统计案例
设某种动物从出生算起活到 20 岁以上的概率为 0.9，活到 25 岁以上的概率为 0.5，现有一个 20 岁的这种动物，则它能活到 25 岁以上的概率为________．解析：设该动物活到 20 岁、25 岁以上记为 A、B，则 P(A)＝0.9，P(B)＝P(AB)＝0.5，所以 P(B|A)＝PP（（AAB））＝00..95＝ 59. 答案：59
在某段时间内，甲地不下雨的概率为 0.3，乙地不下雨的概
率为 0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这

北师大高中数学选修1-2第一章统计案例全章教案

第一章统计案例教材整体分析回归分析和独立性检验都是常用的统计方法，在统计学中也占有很重要的地位。

本章是在《数学3（必修）》的统计知识的基础上，通过对典型案例的讨论，进一步学习线性回归分析模型及其应用，并初步了解独立性检验的基本思想，认识统计思想的应用价值。

一、教学目标学习统计最好通过活动和案例来进行，抛开实际意义的作图和计算是不能帮助学生理解好统计内容的. 因此，应该通过统计活动的过程对典型案例进行探究，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

1．通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。

2．通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用。

二、主要内容与设计思路统计是用以“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的一组概念、法则和方法。

统计学最关心的问题是数据能给我们提供哪些信息。

具体地说，面对一个实际问题时，我们关心如何抽取数据、如何从数据中提取信息、所得结论是否可靠等。

本章的教学内容主要由回归分析（§1）和独立性检验（§2）这两个部分组成，在章末安排有一个统计活动即“学习成绩与视力之间的关系”。

在“回归分析”的内容中，教科书首先通过真实的例子，对用最小二乘法建立变量之间线性回归方程的一般原则和方法进行了复习；接着介绍了刻画变量之间线性相关程度的另一种方法—计算线性相关系数，并通过一个具体例子引导学生进一步体会引入线性相关系数的必要性；最后介绍了可以化成线性回归的非线性回归模型，让学生通过具体的问题进一步了解回归的基本思想和应用。

在“独立性检验”的内容中，教科书首先通过实例介绍了条件概率与独立事件；接着通过对“吸烟与肺癌是否相关”的分析介绍了独立性检验的方法；然后通过引入统计量初步感受独立性检验的基本思想；最后介绍独立性检验的应用解决了一些实际问题。

当然，统计的学习离不开实践。

因此，教科书还设计了一个统计活动：学习成绩与视力之间的关系，希望通过这个统计活动，使学生经历较为系统的数据处理过程，并在此过程中综合运用前面所学的知识和统计方法去解决实际问题。

2019_2020学年高中数学第一章统计案例2独立性检验2.1条件概率与独立事件课件北师大版选修1_2

[自主梳理] 一、条件概率 1．已知 B 发生的条件下，A 发生的概率，称为___B__发__生__时__A__发__生__的__条__件__概__率_______，记 2．为当_P_(P_A(_B|B_)_)>_0_．时，有____P_(_A_|B__)＝__P_P_A_B_B_____．
4 ∴P(B|A)＝PPAAB＝1116＝141.
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1．条件概率的计算： (1)利用古典概型计算该方法是，把事件 A 发生时所有可能的试验结果数记为 n，事件 AB 同时发生可能的试验结果记为 m，则由古典概型计算公式得 P(B|A)＝mn . (2)利用公式计算该方法是先计算出 P(A)，P(AB)，再利用公式 P(B|A)＝PPAAB计算． 2．条件概率是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，解决此类问题一定要分清事件 A，事件 B 是什么，分清事件 AB，事件 A 发生的概率是多少？
1 故 P(B|A)＝PPAAB＝22π＝14.
π
答案：(1)12 (2)①π2 ②14
探究三相互独立事件的概率 [例 3] 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125. (1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
2
1
3．已知 1
A，B
是相互独立事件，且
P(A)＝12，P(B)＝32，则
P(A·B
)＝___6_____；P(
A
·B
)
＝___6_____.
解析：∵P(A)＝12，∴P( A )＝1－12＝12.∵P(B)＝23，∴P( B )＝1－23＝13.∴P(A B )＝P(A)·P( B )

高中数学北师大版选修1-2教案-2.1条件概率与独立事件_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标1．知识与技能(1)了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简单的实际问题．(2)能从条件概率的角度理解两个事件相互独立的含义，能求两个相互独立事件同时发生的概率．2．过程与方法在利用事件的独立性对生活中的随机现象进行辨析的过程中，进一步培养学生的随机观念，掌握利用概率的知识，分析解决实际问题的方法．3．情感、态度与价值观通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识．2. 教学重点/难点重点：两个事件相互独立的概念及相应概率的计算．难点：对条件概率的概念的理解及相应计算．3. 教学用具4. 标签教学过程课标解读1.了解条件概率的概念及计算(重点)．2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式(重点)．3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法(难点).条件概率【问题导思】一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样．(1)这个家庭一男一女的概率是多少？(2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】(1)1/2，(2)2/3.(1)概念：已知事件B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．(2)公式：当P(B)＞0时，P(A|B)＝.相互独立事件【问题导思】在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？【提示】没有影响．(1)定义：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．(2)性质：如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．(3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).条件概率问题1.在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．【思路探究】求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题．【自主解答】设“第一次取到不合格品”为事件A，“第二次取到不合格品”为事件B.(1)P(A)＝＝0.05.(2)法一第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为，这是一个条件概率，表示为P(B|A)＝.法二根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率．规律:1．注意抽取方式是“不放回”地抽取．2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率．3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P(B|A)＝，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．互动探究:在例1题设的条件下，试求在第一次取到合格品后，第二次取到不合格品的概率．【解】法一第一次取走1件合格品后，还剩下99件产品，其中有5件不合格品，于是第二次取到不合格品的概率为5/99.独立事件的判定2.对于下列给出的两个事件：①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A表示“甲同学做对”，事件B表示“乙同学做对”；②在某次抽奖活动中，记事件A表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A，B分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M和N中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A和B.其中事件A和事件B相互独立的是( )A．①②B．①④C．③④D．仅有①【思路探究】判断事件A与事件B是否相互独立，就是要看事件A的发生对事件B的发生是否有影响.【自主解答】规律:判断两个事件是不是相互独立有以下两种方法：(1)由定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独立．(2)由事件本身的性质直接判断，也就是判断一个事件的发生对另一个事件有没有影响．下列事件A，B是独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有4个小球，其中2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到30岁”，B＝“人能活到60岁”【解析】由独立事件的意义可定性地判断B，C，D中，其中一个事件的发生对另一个事件有一定的影响．故选A.【答案】 A相互独立事件同时发生的概率3.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6.求：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率．【思路探究】本题的着眼点是①事件性质的判断；②概率公式的选择；③“正难则反”的转化．【自主解答】设A为“甲投篮一次，投中”，B为“乙投篮一次，投中”．(1)易知AB为“两人各投篮一次，都投中”，由题意知，事件A与B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件A发生)，另一种是甲未投中，乙投中(事件B发生)．根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A与B互斥，并且A与，与B各自相互独立，因而所求概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P()＝P()P()＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.因此，至少有一人投中的概率为1－P()＝1－0.16＝0.84.规律:1．求解某些事件的概率时，应首先确定事件间的关系，即两事件是互斥事件，还是相互独立事件．再选择相应的概率公式进行概率计算．2．求解含有“恰有”“至少”“至多”等词语的概率问题，通常转化为求其对立事件的概率，即利用P(A)＝1－P()求解．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A．(1－p)n B．1－pnC．pnD．1－(1－p)n【解析】至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p)n.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学通过测试的概率为1－(1－p)n.【答案】 D事件理解不清致误袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则在发现其中之一是黄色的时，另一个也是黄色的概率为________．【错因分析】将该事件错误地认为是在第一次取出黄色的乒乓球的条件下，第二次取出的也是黄色的乒乓球．【防范措施】在求概率时，首先要弄清楚随机试验是什么？属于什么概型？其次要判断清楚事件的性质．“其中之一是黄色的”包含三个事件：①第一个是黄色的，第二个是白色的；②两个都是黄色的；③第一个是白色的，第二个是黄色的．【正解】设“取两次，其中之一是黄色的”为事件A，“两个都是黄色的”为事件B，则“其中之一是黄色的，另一个也是黄色的”为P(B|A)．1．条件概率的前提条件是：在知道事件A必然发生的前提下，只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，由古典概型知其条件概率为：，其中n(Ω)为一次试验可能出现的结果数，n(A)为事件A所包含的结果数，n(AB)为AB同时发生时的结果数．2．P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是A，B为相互独立事件；当事件A与B相互独立时，事件A与、与B、与也相互独立．3．求事件概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )A. B. C. D.【解析】事件A包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B包含(2,4)一个基本事件．【答案】 B2．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A. B. C. D.【解析】记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P(A∩B)＝P(A)×P(B)【答案】 A3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A·)＝________；P(·)＝________.4．甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5.(1)求甲、乙都未击中敌机的概率；(2)求敌机被击中的概率．【解】设“甲击中敌机”为事件A，“乙击中敌机”为事件B，“甲、乙都未击中敌机”为事件C，“敌机被击中”为事件D.由题意可知A，B相互独立，则与也相互独立．(1)P(C)＝P()＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.(2)P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.一、选择题1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示第一次摸得白球，如果第二次摸得白球记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是( )A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立【解析】由于摸球过程是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.【答案】 A2．设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的是( )A.与是对立事件B.与是互斥事件C.与不相互独立D．A与是相互独立事件【解析】由P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)得P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()，所以A与是相互独立事件．【答案】 D3．(2013·蚌埠高二检测)袋中有3个红球，4个黄球，2个白球(球除颜色外其余均相同)，从中进行不放回地摸球，用A表示第一次摸到的是白球，用B表示第二次摸到的是黄球，则在事件A发生的前提下事件B发生的概率为( )A. B. C. D.【解析】法一P(A)＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.法二第一次摸出一个白球，袋中还剩8个球．其中黄球4个，摸到每个球的机会均等，所以在事件A发生的前提下事件B发生的概率为＝.【答案】 B4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )A. B. C. D.【解析】由题意得解得P(A)＝2/3.【答案】 D二、填空题6．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则该种使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为________．【解析】设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，因为B⊆A，所以P(AB)＝0.3，于是P(B|A)＝＝＝0.5.【答案】0.57．(2013·永泰高二检测)某同学参加学校举办的智力比赛，比赛规定：分三关进行淘汰赛，通过前一关者才能参加下一关的比赛，闯过三关为获胜者，假设这位同学过第一、二、三关的概率分别为0.8、0.7、0.6，则这位同学获胜的概率为________．【解析】记这位同学通过第i关为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6，且过各关之间互不影响，所以所求概率为P＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.7×0.6＝0.336.故这位同学获胜的概率是0.336.【答案】0.3368．在感冒流行的季节设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．【解析】设甲、乙患感冒为事件A、B，则P＝1－P()＝1－P()P()＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.【答案】0.8三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．【解】画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P(A)＝18/36＝1/2，P(A∩B)＝6/36＝1/6，∴P(B|A)＝1/3则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为.10．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？【解】(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为····.∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P(····)＝P()·P()·P()·P()·P()＝(1－0.2)5＝()5.∴敌机未被击中的概率为()5.(2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：敌机被击中的概率为1－()n，∴令1－()n≥0.9，∴()n≤，两边取常用对数，得n≥≈10.3，∵n∈N＋，∴n＝11.∴至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．11．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．【解】在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件A发生，只有B发生即事件B发生．∵A和B相互独立，∴A与，和B也相互独立．。

2019_2020学年高中数学第1章统计案例22.1条件概率与独立事件学案北师大版选修1_2

2.1 条件概率与独立事件学习目标核心素养1.了解条件概率的概念及计算．(重点) 2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点) 3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(重点、难点)1.借助对条件概率和相互独立事件的理解，提升学生的逻辑推理的核心素养．2．通过利用概率的知识分析解决实际问题的过程，培养学生数学建模的核心素养.1．条件概率概念已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )公式当P (B )＞0时，P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )定义对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立性质如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立公式如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝{取到的2个数之和为偶数}，事件B ＝{取到的2个数均为偶数}，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12B [从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件，故P (A )＝410，P (AB )＝110.所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.] 2．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A.16B.25C.215D.56A[记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P(AB)＝P(A)P(B)＝24×26＝16.]3．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于________．215[由P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.]条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．思路点拨：解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)求概率．[解]由古典概型的概率公式可知：(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤1．分析题意，弄清概率模型；2．计算P (A )，P (AB )； 3．代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ).1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A.14 B.23 C.12D.13D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13.]事件独立性的判断【例2】判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．思路点拨：利用相互独立事件的定义判断．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判断两事件是否具有独立性的三种方法1．定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． 2．公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．3．条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥(1)A (2)B [(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．]相互独立事件同时发生的概率[探究问题]1．实际问题中如何判断事件的独立性？[提示] 在实际问题中，判断事件的独立性往往凭经验，或借助直观的方法，而不需要通过P (AB )＝P (A )P (B )验证．如有放回的两次抽奖、掷5次同一枚硬币、两人射击等等，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出相互独立与否．但对条件较复杂的情形．如甲、乙是地球上两个不同点，“甲地地震”与“乙地地震”就不能轻易判定为相互独立，因为它们可能存在某种内在联系．对这类问题的事件独立性，需要依据公式P (AB )＝P(A)P(B)来判断．2．甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．[提示]记A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、乙都未击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A与B是相互独立的，则A，B也是相互独立的，则P(C)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.3．上述问题中如何求敌机被击中的概率？[提示]记D＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P(A B)＝1－0.2＝0.8.【例3】某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．思路点拨：明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值[解]设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B)＋(A B)表示．由于事件A B与A B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.(3)法一：“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A B)＋(A B)表示．由于事件AB，A B和A B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(AB)＋P(A B)＋P(A B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.法二：1－P (A B )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5. 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P (AB )时的注意要点及思路求P (AB )时注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时同样应注意事件A ，B 是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P (A )＝1－P (A )来运算．3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13，14.求：(1)两个人都破译出密码的概率； (2)两个人都破译不出密码的概率； (3)恰有一人破译出密码的概率； (4)至多一人破译出密码的概率； (5)至少一人破译出密码的概率．[解] 记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)两个人都破译不出密码的概率为P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12. (3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出，乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A B ＋A B ，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512. (4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P (AB )＝1－112＝1112.(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P(A B )＝1－12＝12.1．条件概率的理解与判断条件概率是指所求事件的发生是有前提条件的，是指在已知事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题即可，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A和事件B 同时发生，即AB 发生，由古典概型知其条件概率为：P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A )，其中n (Ω)为一次试验中可能出现的结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为A 与B 同时发生时的结果数．2．判断相互独立事件的方法若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 、B 独立，即如果A 、B 同时成立时的概率等于事件A 的概率与事件B 的概率的积，则可得出事件A 、B 为相互独立事件．3．若两个事件A ，B 相互独立，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ＋A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ＋A B ＋A B .1．判断正误(1)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球为事件A ，摸出黑球为事件B ，摸出红球为事件C ，则A 、B 、C 相互独立．( )(2)在事件A 发生的条件下，B 发生的概率称为条件概率．( )(3)抽奖活动中，在甲抽到奖后，乙又抽到奖，这两个事件为相互独立事件．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )C[∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a)(1－b)．]3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于________．1 2[P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝1412＝12.]4．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________．49 50[P＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－910⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝4950.]5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为1 3，12，23，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．[解]设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝23.停车一次即为事件A BC＋AB C＋AB C，故概率为P＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝718.。