苏教版高中数学必修二高一天天练(教师)(12.31)
苏教版高中数学必修2配套练习参考答案解析几何全部
解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。
最新苏教版高中数学必修2全册单元练习题(共4份)及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二必修2练习题（一）（时间：60分钟，满分：100分）班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.下列命题中，正确的是（ ）A .一个平面把空间分成两部分落千丈 B. 两个平面把空间分成三部分 C. 三个平面把空间分成四部分 D. 四个平面把空间分成五部分 2.下列函数中，奇函数是（ ）A. y = ( 1- x )( 1 + x )B. 31x y =C.x1x x y 2--= D.)1lg(2x x x y ++=3.||2)(2x x x f -=的单调递增区间为( )A. (-1,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,0)和(1,+∞) 4.函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.和，⎪⎭⎫⎝⎛e 11(3,4) D.)(∞+，e 5.一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. π：3 B.π：4 C. π：2 D. π：16. 4、设f (x)是奇函数，且当x > 0时，f (x) = x －1. 则当x < 0时，有 (A) f (x) < 0 (B) f (x) > 0 (C) f (x)f (－x) < 0 (D) f (x)f (－x) < 07．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12 π，这两个球的半径之差为A 4B 3C 2D 18.如图所示的直观图，其平面图形的面积为A 3B 6 C23D2239.圆锥和圆柱的底面半径和高都是R ，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为（ ） （A ）2：2 （B ）4:)21(+（C ）1：2 （D ）2:)21(+10．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为A32321a B 3233a C 337a D 3237a 选择题答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是 . 12. 棱长都是1的三棱锥的表面积为 . 13. 函数 定义域是3lg x y = .14.已知y a =<log 341，那么a 的取值范围是： .三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.有一个几何体的三视图及其尺寸如下 16.一个三棱柱的底面是3的正三角形，侧棱45032（单位cm ），求该几何体的表面积及体积： 垂直于底面，它的三视图如图所示。
苏教版高中数学必修二高一综合练习题
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）高一数学必修2综合练习题一.选择题1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ）Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 9、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、8Лｃｍ２ Ｂ、12Лｃｍ２ Ｃ、16Лｃｍ２ Ｄ、20Лｃｍ２10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、90０ Ｂ、45０ Ｃ、60０ Ｄ、30０11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 、 2 B 、21+ C 、221+D 、221+ 二.填空题 13、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是14、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三.解答题17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
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苏教版高中数学必修二全册同步课时练习棱柱 棱锥 棱台(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C ．棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．A [棱柱的面中，有两个底面，所以至少有两个面互相平行，故A 正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面，B 错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，C 错误．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面可能是平行四边形，D 错误．]2．如图所表示的几何体中，不是棱锥的为( )A B C DA [结合棱锥的定义可知，A 不符合其定义，故选A.] 3．如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝2，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1C [根据棱台是由棱锥截成的进行判断．A 中A 1B 1AB ≠ B 1C 1BC ，故A 不正确；B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC，故B 不正确；C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C.]4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示，A ，B ，C 是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形ABC 的形状为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形B[由题图知，分别连接A，B，C三点，AB，BC，CA是正方体盒子的面对角线，所以△ABC 为等边三角形．]5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．A BC DA[两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．]二、填空题6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．①③④⑤[在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤.]7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.12[由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12 cm.]8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．7[如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．(1) (2) (3)]三、解答题9．观察图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．(1) (2) (3)[解]图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成．图(3)是由一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．10．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.[等级过关练]1．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点，则截得棱台的上、下底面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶8C [如图，由于A 1是SA 的中点， 则SA 1SA ＝12＝A 1B 1AB， 故S 上底面S 下底面＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1B 1AB 2＝14.] 2．在正五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线条数有( )A ．5B ．6C ．8D ．10D [正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线．]3．用一个平行于底面的平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是__________．三棱锥、三棱柱、三棱台等(答案不唯一) [用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形．]4．如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________ cm.13 [由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.]5．如图所示，已知三棱台ABCA′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．[解](1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.①②圆柱圆锥圆台和球(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形C[由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．]2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )A．圆锥B．圆台C．圆柱D．两个圆锥组合体D[连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．]3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能的图形是( )A B C DD[当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D.]4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是( )A．圆台B．圆锥C．圆锥侧面D．圆台侧面C[由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周，得到的是圆锥侧面，不含底面．]5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为( )A．9 B．3C. 5 D．2 2B[如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝22.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.]二、填空题6．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．一个六棱柱中挖去一个圆柱[一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．]7．如图所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的．圆锥、圆柱[旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．]8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．πS[因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.]三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．[解]如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．[解] 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．[等级过关练]1．下列命题中正确的是( )A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球C[A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体；C正确；D错，点的集合应为球面．]2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．圆锥B ．两个圆锥组合体C ．圆台D ．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥D [如图，以AB 为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．]3．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm.52π2＋4 [如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)， ∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．]4．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．12 [由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12.]5．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值． [解]将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA ·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.中心投影与平行投影及直观图画法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是( ) A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆B [由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故A 、C 错误；又圆的直观图为椭圆，故D 错误．]2．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )A B C DC [根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y ′轴的边与底边垂直．]3．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．ACD [由题图可知，在△ABC 中，AB ⊥BC ，AC 为斜边，AD 为直角边上的一条中线，显然斜边AC 最长．]4．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′与x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2D [由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S直观图，得12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.]5．如图所示，为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22B ．1 C. 2D ．2A [在直观图中，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.]二、填空题6．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为 1 cm ，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.8 [由于平行性不变，O ′A ′∥B ′C ′，故在原图形中，OABC ，∴四边形OABC 为平行四边形，且对角线OB ⊥OA ，对角线OB ＝22，则AB ＝12＋（22）2＝3.∴原图形的周长为l ＝3×2＋1×2＝8.]7.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图△A ′O ′B ′，则△AOB 的面积是________．16 [由题图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又因为底边OB 的高线长为8， 所以面积S ＝12×4×8＝16.]8．如图所示，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．10 [由四边形OPQR 的直观图可知该四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.]三、解答题9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm ，3 cm ，2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．[解] 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(1) (2)第二步，画底面，以点O ′为中点，在x ′轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y ′轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm ，分别过点M 和N 作y ′轴的平行线，过点P 和Q 作x ′轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面．第三步，画侧棱，过A ，B ，C ，D 各点分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.第四步，成图，顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，∠A ′B ′C ′＝45°，D ′C ′⊥A ′D ′，A ′B ′＝A ′D ′＝1，D ′C ′⊥B ′C ′，求这块菜地的面积．[解] 在直观图①中，过点A ′作A ′E ′⊥B ′C ′，垂足为E ′，①则在Rt △A ′B ′E ′中，A ′B ′＝1， ∠A ′B ′E ＝45°， ∴B ′E ′＝22，而四边形A ′E ′C ′D ′为矩形，A ′D ′＝1，②∴E ′C ′＝A ′D ′＝1. ∴B ′C ′＝B ′E ′＋E ′C ′＝22＋1. 由此可得原图形如图②，在原图形中，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝22＋1， 且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴这块菜地的面积S ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.[等级过关练]1．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )A B C DD [正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故D 正确．] 2．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中O ′C ′＝O ′A ′＝2O ′B ′，则以下说法正确的是( )A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等边三角形C [将其恢复成原图，设A ′C ′＝2，则可得OB ＝2O ′B ′＝1，AC ＝A ′C ′＝2，故△ABC 是等腰直角三角形．]3.如图，在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中原四边形OABC 为________(填形状)，面积为________ cm 2.矩形 8 [由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，所以四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8(cm 2)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，O (0，0)，B (4，0)，C (0，22)，用斜二测画法把△OBC 画在对应的x ′O ′y ′中时，B ′C ′的长是________．10 [由题设知OB ＝4，OC ＝22，∠COB ＝90°.根据斜二测画法的规则可得O ′B ′＝4，O ′C ′＝222＝2，∠C ′O ′B ′＝45°，在△C ′O ′B ′中，由余弦定理， 得B ′C ′＝（2）2＋42－2×2×4×22＝10.] 5．已知△ABC 的面积为62a 2，它的水平放置的直观图为△A ′B ′C ′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A ′B ′C ′的原图形，并计算△A ′B ′C ′的面积．[解] (1)取B ′C ′所在的直线为x ′轴，过B ′C ′中点O ′与O ′x ′成45°的直线为y ′轴，建立坐标系x ′O ′y ′；(2)过A ′点作A ′M ′∥y ′轴交x ′轴于M ′点，在△A ′B ′C ′中，设它的边长为x ，∵O ′A ′＝32x ，∠A ′M ′O ′＝45°，∴O ′A ′＝O ′M ′＝32x ，故A ′M ′＝62x ；(3)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上O 点左右两侧， 取到点O 距离为x2的点B ，C ，在x 轴O 点左侧取到原点O 距离为32x 的点M ，过M 在x 轴上方作y 轴的平行线并截取MA ＝6x ，连结AB ，AC ，则△ABC 为△A ′B ′C ′的原图形，由S △ABC ＝62a 2，得12x ×6x ＝62a 2，∴x ＝a ，故△A ′B ′C ′的面积为34a 2.平面的基本性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下面是四个命题的叙述(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是( )A．Aα，Bα，∴ABαB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵Aα，aα，∴A aD．∵ABα，∴AαC[A错，应写为A∈α，B∈α；B错，应写为ABα；C对．D错，A有可能在α内．] 2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线B[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A，B，D不共线．(1) (2)]3．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面D[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确．]4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )A B C D[答案] D5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是( )A B C DA[图形A中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．分析可知图形B、C、D中这四点均不共面．]二、填空题6．经过空间任意三点可以作________个平面．一个或无数[若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．] 7．设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈ABβ，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]三、解答题9.如图所示，点A平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．[证明]∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直线BD上．10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．[证明]因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E 与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC 的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB 为等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．[等级过关练]1．下列命题中是假命题的为( )A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若lα，A∈l，则A∈αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合C[C中A是l和α交点时，A∈α.]2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝( )A．l B．PRC．PN D．PMB[如图，MNγ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.]3．如图所示，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．P∈DE[因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，故DE是平面ABC与平面α的交线．又∵P在α内，也在平面ABC内，故P点在平面ABC与平面α的交线DE上．]4．正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．正六边形[如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE PQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中点F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝22 AB，∴截面图形为正六边形．]5．在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．[解](1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连结QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离． ∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴QN ＝QD 21＋D 1N 2＝172a ， ∴D 1H ＝D 1Q ·D 1NQN ＝2a ·a2172a ＝21717a ，即点D 1到l 的距离是21717a .空间两条直线的位置关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的有( )A ．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线B ．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线C ．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线D ．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线C [A 只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；B 把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；C 从反面肯定了两直线的异面；D 中的两条直线可能在同一平面内．故选C.]2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有( )①②③④A．①②B．①③C．②③D．②④D[①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．]3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为( )A．0 B．1C．2 D．无数D[l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n 都垂直．]4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是( ) A．平行四边形B．矩形C．梯形D．正方形B[易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]5．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE ，B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°C [CC 1与B 1E 共面，CC 1与AE 异面，故A 、B 错；AE 与BC 垂直，BC ∥B 1C 1，∴AE ⊥B 1C 1，故D 错．]二、填空题6．如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若MN ＝6，则BD ＝________．18 [连结AM 并延长交BC 于E ，连结AN 并延长交CD 于F ，则E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连结EF .由题意知，AM AE ＝MN EF ＝23，∴EF ＝32×6＝9，∴BD ＝2EF ＝18.]7．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，则所有与∠A 1AB 相等的角是________．∠D 1DC ，∠D 1C 1C ，∠A 1B 1B [因四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中AA 1∥DD 1.又AB ∥CD ，所以∠A 1AB 与∠D 1DC 相等．又由于侧面A 1ABB 1，D 1DCC 1为平行四边形，所以∠A 1AB 与∠A 1B 1B ，∠D 1C 1C 也相等．]8．如图，过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．4[连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．]三、解答题9．如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．[证明]如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQ B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E C1Q.又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q DF.又∵B1E C1Q，∴B1E DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．10．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解]因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB 所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.[等级过关练]1．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.A．①③B．②④C．②③D．③④A[把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB ∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1，CC1的中点，有以下四个结论错误的是( )A．直线DM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线B[B中AM和BN是异面直线．]3．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C 所成的角的大小是__________．60°[如图，连结BC1，A1B.∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°.]4．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．相交或异面[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．]5．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且OAOA′＝OBOB′＝OCOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．[解](1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49.直线与平面平行(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，ABα，CDα，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面D[由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．]2．若直线l不平行于平面α，且lα，则下列四个命题正确的是( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l相交B[依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．]3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形是( )A．①②B．②④C．②③D．①④D[过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．]4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段条数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．]5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或相关A [∵⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥αα∩β＝CD AB β⇒AB ∥CD ，同理可证AB ∥EF ，∴EF ∥CD .] 二、填空题6．如图，三棱锥A BCD 中E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________．m ∶n [∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC . ∴EF ＝HG ＝BEBA·m . 同理，EH ＝FG ＝AE AB·n ， ∴BE AB ·m ＝AEAB·n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .]7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 是A 1B 1的中点，N 是AB 上的点，且AN ∶NB ＝1∶2，过D 1，M ，N 的平面交AD 于点G ，则NG ＝__________．53a[由题意易知GN ∥D 1M ，由AN ∶NB ＝1∶2，M 为A 1B 1的中点得AN ＝13AB ＝13A 1B 1＝23A 1M .∴GN D 1M ＝AN A 1M ＝23， ∴GN ＝23D 1M ＝23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝53a .] 8．如图，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCFE 的形状一定是______．梯形 [∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD 平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ， ∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ， ∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 为梯形．] 三、解答题9．如图，已知A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点．求证：AB 1∥平面DBC 1.[证明] ∵A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C 交BC 1于点E ， 则B 1E ＝EC .连结DE ，在△AB 1C 中， ∵AD ＝DC ，B 1E ＝EC ， ∴DE ∥AB 1.又∵AB 1平面DBC 1，DE 平面DBC 1， ∴AB 1∥平面DBC 1.10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1上不同于B ，B 1的任一点，AB 1∩A 1E ＝F ，B 1C。
苏教版高中数学必修二12月高一试卷.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2006年12月江苏省刘国钧中学高一数学试卷测试时间：100分钟，满分：150分 2006.12一. 选择题（12×5=60分）1.在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ） （A ）一条直线（B ）不共线的三个点（C ）任意的三个点 （D ）两条直线2.异面直线是指（ ）（A ）空间中两条不相交的直线（B ）平面内的一条直线与平面外的一条直线 （C ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （D ）不同在任何一个平面内的两条直线3.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所得的几何体是（ ） （A ）球 （B ）球面 （C ）球或球面 （D ）以上均不对4.用符号表示“点A 在直线上l ，在平面α外”，正确的是（ ） （A ）A ∈l ,l ∉α （B ）A l ∈ ,l α⊄ （C ）A l ⊂,l α⊄ （D ）A l ⊂,l ∉α5.下列叙述中，正确的是（ ） （A ）四边形是平面图形。
（B ）有三个公共点的两个平面重合。
（C ）两两相交的三条直线必在同一个平面内。
（D ）三角形必是平面图形。
6.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )（A ）棱台 （B ）棱锥 （C ）棱柱 （D ）都不对7.下列叙述中，正确的是（ ） （A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ （C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂ 8.如果OA ‖11O A ， OB ‖11O B ，那么AOB ∠与111AO B ∠（ ） （A ）相等 （B ）互补（C ）相等或互补 （D ）以上均不对9.如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是（ ） （A ）共面 （B ）平行（C ）异面 （D ）平行或异面 10.斜线与平面所成角的范围（ ）（A ）(]0,90︒︒ （B ）（0︒，90︒） （C ）[0︒，90︒] （D ）[)0,90︒︒11.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在12.已知直线a ，b 和平面α，下列命题中正确的是（ ） （A ） 若a ‖α，b α⊂，则a ‖b （B ） 若a ‖α，b ‖α，则a ‖b （C ） 若a ‖b ，b α⊂，则a ‖α（C ） 若a ‖b ，a ‖α，则b α⊂或b ‖α二.填空题（6×4=24分）13.直线与直线的位置关系为_____________、___________________、_________________ 14.异面直线所成角α的范围为_____________________15.若一个几何体的三视图都是圆，则这个几何体一定是____________________ 16.一个正方体有__________个顶点，______________个面，________________条边17.在正方体1111ABCD ABC D -中，1AA 与11C D 所成的角为__________,1AA 与1B C 所成的角为___________，1B C 与BD 所成的角为______________18.如果两直线a 与b 同时垂直于同一平面，则这两条直线的位置关系为________江苏省刘国钧中学高一数学试卷测试时间：100分钟，满分：150分班级 姓名答题纸一选择题题号 1 2 3 4 5 6 答案 7 8 9 10 11 12二填空题13______________ 、___________、_____________ 14________________ 15________________16_________、__________、___________ 17__________、___________、__________ 18__________三.解答题（19，20每题12分，21，22，23每题14分）19.在正方体1111ABCD ABC D -中，直线1AD 与平面ABCD 所成的角是多少？ (要有详细的解答过程)20.如图，已知E F 、分别是三棱锥A B C D -的侧棱A B A D 、的中点， 求证：EF ‖平面BCDAEFBC21.如图表示水平放置图形的直观图， （1）画出它原来的平面图形； （2）计算出它平面图形的面积 Y‘2AO 45︒ 1 BB 1D 1 A BC DA 1C 1 DX‘22.已知1111ABCD ABC D 是棱长为a 的正方体， 求：（1）异面直线1AA 与BC 所成的角 （2）求异面直线1BC 与AC 所成的角23.在三棱锥A-BCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形（2）若AC ＝BD ，求证：四边形EFGH 为菱形（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形，并证明。
苏教版高中数学必修二第二学期阶段考试高一数学试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二学期阶段考试高一数学试题一、填空题：（每小题5分计70分）1、已知直线b a ,和平面α，若αα⊥⊥b a ,，则a 与b 的位置关系是 ▲2、若长方体三个面的面积分别是6,3,2，则体积是 ▲3、下列四个命题： ①若αα⊂b a ,//则b a // ②若αα//,//b a 则b a // ③若α⊂b b a ,//则α//a ④若b a a //,//α则α//b 或α⊂b其中为真命题的序号有 ▲ （填上所有真命题的序号）4、过点)2,1(-且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是 ▲5、已知直线a 和平面α，则平面α内必有一直线与直线a ▲ （从“相交，平行，异面，垂直”中选填）6、用一张长cm 12，宽cm 8的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积= ▲b aα7、点Q P ,分别在直线0962,043=-+=-+y x y x 上，则线段PQ 长度的最小值是 ▲ 8、直线012=+-y x 关于点)2,1(-的对称直线的一般式方程是 ▲9、过点)2,1(且到点)1,3(),1,1(--B A 距离相等的直线的一般式方程是 ▲ 10、底面边长为2，高为1的正三棱锥的内切球半径= ▲11、三条直线053,082,01=-+=+-=++y ax y x y x 能围成三角形， 则a 的取值范围是 ▲12、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称圆的标准方程是 ▲ 13、圆)0(022≠=++++C C By Ax y x 与直线0=++C By Ax 的位置关系是 ▲ 14、已知三棱锥BCD A -.平面α满足条件:到D C B A ,,,的距离相等.记满足条件的平面α的个数为p .平面α将三棱锥BCD A -分成的两部分体积之比为nm（为既约分数nmN n m ,,*∈），则n m p ++的所有可能取值为 ▲ 二、解答题：15、（本小题14分）已知：直线//a 平面α，直线⊥b 平面α，求证：b a ⊥16、（本小题14分）建立适当的直角坐标系证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和DCBAD 1C 1B 1A 1CDBA17、（本小题14分）在正方体1111D C B A ABCD -中，(1)求证：⊥C A 1面1BDC（2）求二面角C BD C --1的正切值18、（本小题16分）已知：无论a 取何值，直线0)1()2(=++++a y a x a 始终平分半径为2的圆C （1）求圆C 的标准方程（2）自点)4,1(-A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程CD BA P19、（本小题16分）如图：四棱锥ABCD P -中，（1）若E 为线段PC 上一点，且2:1:=EC PE ,底面ABCD 为平行四边形，则线段AB 上是否存在点F ，使得直线//EF 面PAD ，若存在，指出该点的位置并证明；若不存在，请说明理由（2）若⊥PD 面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2=AB ,M 为线段AB 上一点，且PM CM ⊥，求线段BC 长度的范围20、（本小题16分）已知：圆122=+y x O ：，和点)0,2(-P ，过点P 的直线l 交圆O 与B A ,， （1）求OAB ∆面积最大时的直线l 的方程；（2）平面上是否存在异于点P 的定点Q ，使得圆O 上任意一点M ，满足MQMP为常数，若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由参考答案1、b a //2、63、④4、02=+y x 或01=-+y x5、垂直6、33192288cm cm ππ或7、2010 8、092=+-y x 9、05201=-+=-y x x 或 10、31 11、 6331-≠≠≠a a a 且且 12、1)2()2(22=-++y x 13、相离 14、9或1515、 过直线a 作平面β交平面α于直线c ，……………4分ba cbc b c a c a a ⊥∴⊥∴⊂⊥∴=⋂⊂βαβαβα，又,//,,//Q………………………………………………14分16、在平行四边形ABCD 中，以A 为原点，以直线AB 为x 轴，建立直角坐标系…………………2分设),,(),0,(n m D a B 则),(n m a C +，……………………5分则222222)0()()0()0(-+-+-+-+=+n a m n m a BD AC222222n m a ++=……………………………………9分而22222222222222n m a AD AB DA CD BC AB ++=+=+++……………13分所以=+22BD AC 2222DA CD BC AB +++命题得证…………14分17、（1）联结AC ，在正方体1111D C B A ABCD -中BD C A AC A BD AC BD BD AA ABCD AA ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥1111,,面又面同理∴⊥11BC C A ⊥C A 1面1BDC …………………………7分（2）联结AC 交BD 于点O ,联结O C 1，在正方体1111D C B A ABCD -中OC C BD CO BD O C CD CB OD OB D C B C 1111,,∠∴⊥⊥∴===，即为二面角C BD C --1的平面角，其正切值为2…………………14分18、（1）直线过定点)2,1(-……………………4分据题意知圆心)2,1(-C ，…………………………6分故圆C 的标准方程为4)2()1(22=++-y x ……8分（2）直线l 垂直于x 轴时，合题，方程为1-=x ………10分直线l 不垂直于轴时，设方程为)1(4+=-x k y 即04=++-k y kx由214)2(2=+++--k k k 得34-=k 此时方程为0834=-+y x ……15分综上，所求直线方程为1-=x 或0834=-+y x …16分19、（1）线段AB 上存在点F 满足2:1:=FB AF 时，使得直线//EF 面PAD证明如下：在PD 取点Q 使得2:1:=DQ PQ 连接EQ AQ ,，则DC AF DC AF DC EQ DC EQ 31,//,31,//==又PAD EF PAD AQ PAD EF 面面面//,∴⊂⊄……8分（2）DM CM PDM CM PM CM CM PD ABCD PD ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥面又面,Q所以，以CD 为直径的圆与AB 有公共点，所以BC 的范围是(]1,0…………………16分20、（1）设圆心O 到直线l 的距离为d ，则22)1(21d d d AB s ABC ⋅-=⋅=∆ 当22=d 时ABC ∆面积最大，显然l 与x 轴不垂直，故可设直线l 方程为02)2(=+-+=k y kx x k y 即据7722122±==+=k k k d 得 故所求直线的方程为：)2(77+±=x y ……………………………8分 设存在异于点P 的定点Q ),(t s 使得圆O 上任意一点),(y x M ，满足MQMP为常数， 则为常数）(12254)()()2(22222222k t s ty sx x t y s x y x MQ MP =+++--+=-+-++= ⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧++=-=-=∴)(1024021)1(5202422舍或得k t s k t s t s k tk sk 故所求点Q 坐标为)0,21(-…16分。
苏教版高中数学必修2全册同步练习及单元检测含答案
苏教版高中数学必修2 全册同步练习及检测第1章立体几何§1.1空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理 (1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90° (4)不变 一半 作业设计 1．①②⑤解析 由斜二测画法的规则判断． 2．直角梯形 3．8 解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ，则直观图面积S ′＝24S ＝522．6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1图27．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．9．2 2解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．6 2a2解析画△ABC直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝12BC·AO＝62a2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线 3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ． 故α∩β＝A 的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析。
(完整word版)苏教版高中数学必修二练习及答案
苏教版高中数学必修二练习及答案一、选择题（每题3分，共54分）1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4、已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（） A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52 D ．29、点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．25 10、下列命题中，正确的是()A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ()A ．2B ．19C ．1D ．412、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为ο60，则k 的值是 ( )A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于()A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15、若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于()A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16、由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是() A ．4πB ．πC ．43πD ．23π 17、动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是()A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18、参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( ) A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆 B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆 C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆二、填空题（每题3分，共15分）19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22、三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分） 24、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程。
苏教版高中数学必修二练习及答案
苏教版高中数学必修二练习及答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-苏教版高中数学必修二练习及答案一、 选择题（每题3分，共54分）1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65πD ．32π2、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y xB ．1)1()2(22=-+-y xC ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4、已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为 45，则直线2l 的方程是（） A ．1-=x yB ．5331+=x yC ．73+-=x yD ．73+=x y5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ） A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52D ．29、点)5,0(到直线x y 2=的距离为() A ．25B ．5C ．23D ．25 10、下列命题中，正确的是( )A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内 11、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 () A ．2B ．19C ．1D ．412、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( ) A ．2-B ．1-C ．0D ．113、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为 60，则k 的值是 ()A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15、若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于()A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16、由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是()A ．4πB ．πC ．43πD ．23π17、动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )A ．4)3(22=++y xB ．1)3(22=+-y xC ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x18、参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( )A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆二、填空题（每题3分，共15分）19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22、三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分） 24、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程。
苏教版高中数学必修二高一练习13.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏省扬中市高级中学高一数学练习13 姓名1.设直线的倾斜角α的范围是区间[3π，65π]，则该直线斜率k 的取值范围是_____ 2.设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围为 。
3．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ．4.若关于x 的不等式01)1(2>-+-+m mx x m 的解集为φ，则实数m 的取值范围是 ．5.△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒， 不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b = .6．不等式220mx x m -+>对任意0x >恒成立，则实数m 的取值范围是_____． 7．设0,0,x y >>若不等式110m x y x y++≥+恒成立，则实数m 的最小值是 . 8．对于满足04p ≤≤的任意实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，则x 的范围是 .9．若实数,,a b c 成等比数列，且1a b c ++=，则a c +的取值范围是 ． 10．有一个角为060的钝角三角形，满足最大边与最小边之比为m ，则m 的取值范围为 .11．若不等式22222()x xy a xy ++≤对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为 ．12．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ．13．已知a ，b 为正数且a b >，则211()a ab a a b ++-的最小值是 14．已知A 、B 、C 是同一平面内三个不同点，a BC b AC c AB ===,,，则cbb ac ++的最小值为 .15.已知直线.14)()32(22-=-+-+m y m m x m m（1）当m 为何值时，直线倾斜角为︒45？（2）当m 为何值时，直线与x 轴平行？ （3）当m 为何值时，直线与直线532=-y x 垂直？（4）当m 为何值时，直线与直线532=-y x 平行？16.（1）若三点)0,0)(,0(),0,(),2,2(>>b a b C a B A 共线，求b a +2最小值. （2）过点Ｐ()3,1--的直线ｌ与ｙ轴的正半轴没有公共点，求直线ｌ的倾斜角的范围．（3）已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点P (1,1),且与线段MN 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.17． 已知函数(1)()2a x f x x -=-，a 为常数． （1）若()2f x >的解集为(2,3)，求a 的值；（2）若()3f x x <-对任意(2,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．18． 已知,m n R ∈, 2()f x x mnx =-．（1）当1n =时，①解关于x 的不等式2()2f x m >；②当[1,3]x ∈时，不等式()40f x +>恒成立，求m 的取值范围；（2）证明不等式22()()0f m f n +≥．N DAPMCB19.设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
苏教版高中数学必修二同步练测：第1章1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球（苏教版必修2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共40分）1．下列命题正确的有个.①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台；④侧面都是矩形的棱柱是长方体.2.水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是 .3．下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是 . 4．长方体ABCD-的各顶点都在球O的球面上，其中AB∶AD∶AA1=1∶1∶√2，过A,B两点的大圆中，A，B两点间的劣弧长记为m，过A，D1两点的大圆中，A，D1两点间的劣弧长记为n，则mn的值为 .5.下列命题中，正确的序号是 .①直角三角形绕一边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.6.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2√7，4√3，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB，CD可能相交于点M；②弦AB，CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1. 其中真命题的个数为 .7.如图所示的几何体，是否是棱锥，并说明原因：，某些部分能否为棱锥，举例说明： .8.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形（体）的4个顶点，这些几何形（体）是 .（写出所有正确结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.二、解答题（共60分）9.（20分）根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.（1）由八个面围成，其中两个面是相互平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体；（3）一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体. 10.（20分）多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？11.（20分）判断下列各命题是否正确：（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球（苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. .二、解答题9.10.11.1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球（苏教版必修2）参考答案一、填空题1．02．93．（3）解析：（1）中出现“田”字型，（2）为“7”字型，（4）中有“凹”字型，因此（1）（2）（4）应排除，故填（3）.4．12解析:由题意知，球心O为长方体的中心，设AB=AD=1，AA1=√2，连结OA，OB，OD1，AD1.设球的半径为R，R=OA=OB=OD1=1.所以∠AOB=π3.在△OAD1中，AD1=√3，OA＝OD1＝１，所以∠AOD1＝２π3.所以ｍ＝π3R，ｎ＝２π3R，所以ｍｎ＝１２.5.③6.3解析：设球心为O，由球的弦长知，|OM|＝√42−（AB2）2＝3，|ON|＝√42−（CD2）2＝2.令Q在线段CD上，则2≤|OQ|≤4；令P在线段AB上，则3≤|OP|≤4.所以M可能在线段CD上，但N不能在线段AB上，所以①正确，②错误.又由三角形性质，若M，O，N三点不共线，则|MN|<|OM|＋|ON|＝5，|MN|>|OM|−|ON|＝1，若O在线段MN上，则|MN|＝|OM|＋|ON|＝5，若O在MN的延长线上，则|MN|＝|OM|−|ON|＝1，所以1≤MN≤5，故③④都正确.7.不是棱锥，因为其形状结构不符合棱锥的定义；连结AC，AD，则A−BCD为三棱锥，A−CDE为三棱锥.（答案不唯一）8.①③④⑤解析：本题借助正方体的结构特征解答，画图可知①③④⑤正确.二、解答题9.解：（1）该几何体满足有两个面平行且全等，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱.（2）等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个全等的直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.（3）由梯形较短底边的非直角顶点引一条垂直于较长底边的直线，可将梯形分为一个直角三角形和一个矩形，绕较长的底边所在的直线旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.10.解：多面体至少有四个面，这个多面体是三棱锥.11分析：利用几何体的定义及有关概念解答问题.解：（1）错.由棱锥的顶点定义知，棱锥只有一个顶点.（2）错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于旋转轴.（3）正确.。
苏教版高中数学必修二高一 (直线的方程).doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学必修2 (直线的方程)一、选择题1、直线xcos α+ysin α+1=0,α)2,0(π∈的倾斜角为 A α B 2π-α C π-α D 2π+α 2、直线l 上一点(-1,2)，倾斜角为α，且tan 212=α，则直线l 的方程是A 4x+3y+10=0B 4x-3y-10=0C 4x-3y+10=0D 4x+3y-10=03、直线aax y 1-=的图象可能是 A B C D4、直线l 过点P(1,3)，且与x,y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程A 3x+y-6=0B x+3y-10=0C 3x-y=0D x-3y+8=0o y x yx o yx y x5、直线ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a,b,c满足的条件是A a=bB |a|=|b|C a=b且c=0D c=0或c≠0且a=b6、如果直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，那么这样的直线共有( )条A 4B 3C 2D 1二、填空题1、在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成450角的直线方程是_________；2、直线l过点P(-1,1)，且与直线l’:2x-y+3=0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线的方程为________;3、直线l过点P(4,3)且在x轴、y轴上的截距之比为1：2，则直线l的方程_______;4、斜率为3/4，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线的方程为________.三、解答题1、直线mx+ny-1=0的倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于6，试求m和n的值2、过点P(2,1)，作直线l 交x,y 正半轴于A,B 两点，当|PA|·|PB|取得最小值时，求直线l 的方程答案：一、DCBADA 二、1、x-y-6=0或x+y+6=0;2、2x+y+1=0；3、2x+y-11=0；4、3x-4y ±12=0三、1、⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==41314131n m n m 或 2、x+y-3=0。