几何与多元微积分A (上) 试题及答案(09-10学年)

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微积分的应用专项练习60题(有答案)

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷

（2）若 r > 1 ，则由 lim
n →∞
an +1 = r > 1 ，推知 n 充分大时 an +1 > an ，故 an
lim an ≠ 0 ⇒ lim an ≠ 0 ，此与条件矛盾。
n →∞ n →∞
（3）若 r = 1 ，则由 lim 件收敛矛盾。综上得
∞
∞ an +1 = 1 ，推知 n 充分大时， an 同为正值或同为负值，与 ∑ an 条 n →∞ a n =1 n
x − 2 y − 2z +1 12 + (Leabharlann 2) 2 + (−2) 2
去掉绝对值符号，得所求平面方程为
=
3x − 4 y + 5 32 + (−4) 2
7 x − 11 y − 5 z + 10 = 0
或
2 x − y + 5z + 5 = 0
4、求常数项级数
∞
3n −1 − 1 的和. ∑ n −1 n =1 6
π ⎧ ⎪1, 0 ≤ x < 2 ⎪ π ⎪ = < x≤π 和函数 s ( x) ⎨0, 2 ⎪ π ⎪1 ⎪2 , x = 2 ⎩
四、（6 分）求直线 L : 曲面？解：设 P ( x, y , z ) 为旋转曲面上任一点，它是由直线 L 上 Q( x1 , y1 , z1 ) 点绕 z 轴旋转所得，则
4、在空间直角坐标系中，方程 y = 2 x 表示的曲面是抛物柱面，方程 z = 1 −
2
示的曲面是圆锥面 . 5、设 u ( x, y , z ) = z
z z x −3 x dx − y 2 dy + ，则 du = 2 y 2 xy

东华大学-几何与多元微积分A(上)(09-10)

（B）在 π 上; （C）垂直于 π ; （D）与 π 斜交. ).
n
).
（A）平行于 π ;
4、在下列级数中，收敛的级数是(
∞ n
n ∞ ∞ ∞ ⎛ n + ( −1) 1 ⎞ ⎛ n ⎞ （A） ∑ ( −1) ⎜ ;（ B ） ;（ C ） ;（ D ） n3e − n . ln 1 + ⎜ ⎟ ∑ ∑ ∑ ⎟ n n +1 ⎝ n +1 ⎠ n =1 n =1 n =1 n =1 ⎝ n n⎠
∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 x 2 n 的和函数. n ( 2n − 1)
七、(5 分)设 a n > 0, 且 a n +1 ≤ a n ( n = 1,2,3, ") ,若
∑ (−1) n a n 发散,证明 ∑
n =1
∞
1 收敛. n n =1 (1 + a n )
∞
4
y x
. . .
∂z = ∂x
.
4、设 z = xe y + ln( x 2 + y 2 ), 则 dz (1,0) = 5、数项级数
∞
∑ (2n − 1)(2n + 1) 的和为
n =1
∞
1
.
6、幂级数
∑ n⋅2
n =1
1
n
( x − 1) n 的收敛域为
1
.
7、若级数
∑ an 收敛, 且 lim n p (e n − 1)an = 1 , 则 p 的取值范围是
四、（8 分）将函数 f ( x ) = arctg
1+ x (n) 展为 x 的幂级数, 并求 f (0) . 1− x

微积分A第一学期期末试卷A及答案

《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

微积分上册试题及答案

dy
dt dx
பைடு நூலகம்
t4 ln t
2
t
2t
t 4 ；
dx ln t
d 2 y 4t3 4t2 ln t ； dx2 t
d 2 y 4e2 dx 2
t e
ln t
2、求不定积分 I
x2 dx .
x 1
I
3
1
1
[( x 1) 2 2(x 1) 2 (x 1) 2 ]dx 或（令
x 1 u）I 2
(u4 2u2 1)du
2 (x
5
1) 2
4
(x
3
1) 2
2( x
1
1) 2
C
5
3
1、求定积分 I
2
(|
x
|
x)
sin 2
xdx
2
I
2
|
x
|
sin 2
xdx
2
2 x sin 2 xdx
0
2
2
x2
2 0
x(1
cos2x)dx
2
0
2
x 2
sin
2x
1 4
c
os2x
0
2
解：设直杆长为 x ，则目标函数 L x 2 (16 x)2 36 （ 0 x 16 ）
dL 1 2 x 16 ，
dx
(16 x)2 36
令
dL dx
0 ，得驻点 x0
16 2
3
比较： L(0) 4 73 ， L(x0 ) 16 6 3 ， L(16) 28
故直杆长为16 2 3 ，斜臂长为 4 3 时， L 有最小值.

多元函数微分学单元测试题及答案解析

多元函数微分学单元测试题A一、选择题1. 极限24200limy x y x yy x x +→→= （）A.等于0；B.不存在；C.等于 12；D.存在且不等于0或12. 2.设),(b a f y '存在，则yy b a f y b a f y ),(),(lim 0--+→= （）A.),(b a f y '；B. 0； C . 2),(b a f y '； D.21),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.) ,(lim 00y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.5.函数xy xyz +=arcsin的定义域是（） A.{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；C.{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；D.{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（）(A) 220x y +>；（B ）220x y ->；（C ）220x y +<；（D ）220x y -<.7、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是（ D ） A 、（1，2） B 、（1，-2） C 、（-1，2） D 、（-1，-1）二、判断题1. 点集E 的内点必属于E. （）2. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂. （） 3. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处未必连续（）4.二阶混合偏导数与求偏导的次序无关（）5.具有偏导数的函数的驻点必定是极值点. （） 6、若(,)(,)xy yx f x y f x y 和都在点00(,)x y 连续，则0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

微积分(上)习题200题及答案

填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧<≤+<<-=πf x xx xx f代入函数可得答案,220≤≤π答案：412π+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2≠≥x x答案：](()∞+⋃-∞-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x fx g f x x g5.()()()x f d c b a dcx b ax x f1求反函数为常数,,,设-++=()可知反函数,--,--,0--,acy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx b ax y ===+++=答案：acx dxb -- 6._________1sinlim 3310=→x xx答案：07.______sin lim=+∞→xxx x答案:是有界的由于x x xx x sin 1sin lim =+∞→ 8.()0______1lim 0>=-→a x a x x答案:a aa x a x x x x ln 1ln lim 1lim00==-→→ 9.()_____1lim 1=-→xx x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==→m xmxx答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin limk 0==→xxx12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()∞+⋃-⋃-∞-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-→b a b x ax x x 解：()34lim 145lim,5,04lim 12121=+=+++===++-→-→-→x x x x b a ax x x x x 。

空间解析几何及多元微分学练习题参考答案

空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若®®®®++=k j i a 863，2=®b ，则与®a ，x 轴均垂直的向量=®b þýüîíì-±56,58,0。

2．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。

3．曲线ïîïíì=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：ïîïíì=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．求两平面0622:1=+-+z y x p ，884:2=-+-z y x p 所成二面角的角平分面方程。

解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1p 与2p 的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x l在该平面上任取一点，如令4430--===l lz y x 可得，然后由点)443,0,0(--l l 到两平面的距离相等可解得3±=l ，从而得到所求平面方程。

微分几何试卷及答案

微分几何试卷及答案【篇一：微分几何测试题集锦(含答案)】t>一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在p点的切向量为?，主法向量为?，则过p由?,?确定的平面是曲线在p点的___密切平面__________。

⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。

⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___c___。

a、直线b、平面曲线c、球面曲线d、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在p(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___a___不正确。

a、k?13r??r??r?2 b、k?对于曲r??r??r?3 c、k?r d、??的第一基本?r?r??r 2?r??r???形式、面i?edu2?2fdudv?gdv2,eg?f2__d___。

a、?0b、?0c、?0d、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求0,1,⑴在点的切线和法平面。

?2?⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:rcos?,?sin?,u?，试求⑴ ?的第一、第二基本形式；⑵ ?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶ ?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。

微积分(上)理工课程试题(A)及其答案

微积分（上）理工课程试题（A ）合分人：复查人：一、求解下列各题（每小题5分，共 25 分）1. 设221,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，求(1)(1)f a f a +--，其中0a >.2. 求102sin lim ||1x x xx e →⎛⎫⎪+ ⎪+⎝⎭.3. 求33sin sin 3lim x x xx→-4. 已知()F x 在[1,1]-上连续，在(1,1)-内()F x '=且3(1),2F π=求().F x5. 讨论级数21(0)nn n c c∞=>∑的敛散性.二、求解下列各题（每小题6分，共30分）1.设212sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩, 求(0)f '.2. 求()3f x =-的极值.3. 设()y y x =由方程(s in )s in [()]()f x f y f x y +=+所确定, 其中()f t 可导, 且()cos[()]().f y f y f x y ''≠+ 求.dy4. 设222sec sec tan x t y t t t⎧=⎨=-⎩ ，求22.d ydx5. 将21()23f x x x =--展开为(1)x -的幂级数, 并指出其收敛区间.三、求下列积分（每小题7分，共 28 分）1. 求45sin cos x xdx ⎰.2. 求2(1)x xxedx e +⎰.3. 求1⎰.4. 求22ππ-⎰.四、应用题（共10 分）设曲线为ln.y x(1)求该曲线过原点的切线方程;(2)求由上述切线与曲线及x轴所围平面图形的面积;(3)求(2)中平面图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积.五、证明题（共 7 分）若()f x 在(,)-∞+∞上连续, 且0()(2)().xF x x t f t dt =-⎰证明: 当()f x 为单调递减时, ()F x 必定单调递增.2009级微积分（上）理工课程试题（A ）(答案) 一． 1解：原式=22[2(1)(1)][(1)(1)1]a a a a +-+----+=22aa-+2解：102sin (0)lim 2111x x xf x e --→⎛⎫⎪=-=-= ⎪+⎝⎭102sin (0)lim 0111x x xf x e ++→⎛⎫⎪=+=+= ⎪+⎝⎭故原式=1 3解：原式=23cos 3cos 3lim3x x xx→-=0sin 3sin 3lim 2x x x x→-+=4 5分 4解：()arcsin (11)F x x cx ==+-<<⎰因()F x 在[1,1]-上连续，且3(1),2F π=故c π=()arcsin (11)F x x x π=+-≤≤5解：2112(1)1limlimn n n n nnn u c nu cc++→∞→∞+==故当01c <<时，级数发散；当1c >时，级数收敛；但1c =时，lim 0n n u →∞≠，级数发散。

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

微积分试卷及答案4套

微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。

2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。

3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。

4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。

5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。

6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。

7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。

8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。

9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。

二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。

2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。

微积分A习题+答案

2

cot 2 x
2x 3 12、 lim x 2 x 1
13、 lim
x 0
x 1
1 1 1 ( ) x sin x tan x sin x ( 14、极限 lim ) x x A． 1 B． 0 C． 1 D．．
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2 n 1 2 2 2 n n n n 3 1 x 1 1 x 1 x3
1
4、 lim
ex 5、 lim
x 0
6、 lim
x
2sin x 3 x sin x 2 x
7、 lim
n

n4 n 1 n2
ln(sec x tan x) ． sin x
11、 lim
3x 2 5 2 sin x 5 x 3 x
四、概念与定理相关
1
1、 x 0 是函数 f ( x)
2 x 1 2 1
1 x
的
间断点
ke 2 x , x0 2、已知函数 f ( x) ，当 k 1 cos x, x 0
的单调增加区间是单调减少区间上二阶导数大于0则下列关系式成立的是在区间51上的最大值为最小值为四凹凸性与拐点函数arctan20152016学年微积分a1练习册版权归文理学部微积分a课程建设团队所有共86页第16axbxaxbxcx20152016学年微积分a1练习册版权归文理学部微积分a课程建设团队所有共86页第17第四部分不定积分一不定积分的概念tanxdxcossin3lndxtanlncos20152016学年微积分a1练习册版权归文理学部微积分a课程建设团队所有共86页第18sincosdxsinxdxsincossecxdx13arctan17sin20152016学年微积分a1练习册版权归文理学部微积分a课程建设团队所有共86页第19arctanxdxarcsinxdxlnxdx20152016学年微积分a1练习册版权归文理学部微积分a课程建设团队所有共86页第2014coslnxdx16ln17cosaxdxsinaxsinaxsinaxsinaxsinsinsinsincotsincotsin20152016学年微积分a1练习册版权归文理学部微积分a课程建设团队所有共86页第21第五部分定积分一定积分与变上限函数c

多元微分学答案

多元微分学例1求函数yx y x z --=24定义域，并在平面上画出定义域的图形。

解：此函数可以看成两个函数214y x z -=与yx z -=12的乘积。

214y x z -=的定义域是x y 42≤ yx z -=12的定义域是⎩⎨⎧≥>-00y y x ，即02≥>y x 。

从而yx y x z --=24的定义域是214y x z -=与yx z -=12定义域的公共部分，即⎩⎨⎧≥>≥≥042y x y x 。

例2设),(y x f y x z -++=当0=y 时,2x z =求.z 解：代入0=y 时,2x z =得),(2x f x x +=即,)(2x x x f -= 所以 .2)(2y y x z +-= 例3 求11lim222200-+++→→y x y x y x解：法1 原式＝2)11(lim )11)(11()11)((lim220022*******0=++++++-++++++→→→→y x y x y x y x y x y x y x法2 化为一元函数的极限计算。

令t y x =++122，则当0,0→→y x 时，1→t 。

原式＝2)1(lim 11lim121=+=--→→t t t t t 。

例4 求22200lim y x yx y x +→→解：法1 用夹逼准则。

因为22||2y x xy +≤，所以2||22||022222x y x xy x yx y x ≤+⋅=+≤ 而02||lim 00=→→x y x ，从而0||lim 22200=+→→y x y x y x 于是 0lim 22200=+→→y x yx y x法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。

因为22||2y x xy +≤所以2122≤+y x xy ，又0lim 00=→→x y x 所以 0)(lim lim 220022200=⋅+=+→→→→x y x xyy x y x y x y x例5求极限(x,y)(0,0)lim→解 (x,y)(0,0)(x,y)lim lim →→= （3分）(x,y)1lim4→==（2分）例6 研究yx xyy x +→→00lim解：取路径+∈+-=R k kx x y ,2，则,1lim0k y x xy y x -=+→→由k 是任意非零的常数，表明原极限不存在。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅=0．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则46()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅{}3,9,5-.4526.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___7.曲率恒等于零的曲线是_________________.8.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________.19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是35. 根据罗德里格斯定理，如果方向n n dn k dr k =-，其中是沿方向37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交网时测地线的方程为d ds du ds dv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线. 二、单项选择题12其中a 为常向量．3.是一般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定方向成固定角；4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．A.α为单位向量；B.αα⊥；C.k αβ=-；D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．A.()()k s s α=；B.()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C.()k s αβ=-⋅；D.()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．A.,αβγ,均为单位向量；B.αβ⊥；C.βγ⊥；D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A.充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 56x y z +--球面{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱面{(,)r u v R =在第一基本形式为的曲线段的弧长为（B ）．A ．21cosh cosh v v -；B ．21sinh sinh v v -；C ．12cosh cosh v v -；D ．12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B ）．A ．0E =；B ．0F =；C ．0G =；D ．0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．；B．AC．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．1.2.()r t.√r t'.×3.()r t关于t的旋转速度等于其微商的模()4.的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线5.的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线6.7.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例9.16.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是0F=，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×22.球面上的圆一定是测地线.×23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t tt e te ''=---+，, r r r r β='''''⋅⨯，r r γ='''⨯，所以有22666333(0,,),(,,),(,,)223663αβγ==-=-. 3圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，}sin ,cos ,t a t b {}()cos ,sin ,0r t a t a t =--()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ ②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ b +4求正螺面{(,)r u v u =解{cos ,sin u r v =，{sin v r u =-cos v 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程．解{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--，{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，∴球面上任意点的切平面方程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=，法线方程为即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解(){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．228求正螺面}(,,sin ,r u v u v bv 的第一基本形式． 1u r =，F 2v v r r u b ⋅=+．9．计算正螺面{cos ,u v u =}cos ,sin ,0v v ，{}sin ,cos ,u v u v b =-，}0,0,0，{}uv r =，{cos vv r u =-}cos sin cos ,sin cos u v i j k r r v v b v u v u v b⨯=-{sin u v u v b r r n r r b u⨯==⨯+1u u E r r =⋅=，0u v F r r ⋅=，G 0uu r n ⋅=，2uv M uN r =．计算抛物面z x =的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214xx E r r x =⋅=+，4x y F r r xy =⋅=，214y y G r r y =⋅=+，xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，yy N r n =⋅=，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 220=，G =x 求螺旋面{cos r u v =解u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:14.求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，u v 2u v n r r 4u =⨯1=+Ⅱ，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，代入主曲率公式，N2a 002a k=-，所以两主曲率分别为求曲面2{,,r u v u =解{u r =,u 1,02,{}v r ,v =01,2(1,1)(1,1)N =解由23{,,},r u v u v =+得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18.求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程．解由32(,){,,},r u v v u u v =+得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1令320LN M .-=得u =0或v =0所以抛物点的轨迹方程为{}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-，2()r t a '=弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sin r s a a =20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.,=a=αb ==-k βατγ'+b =k,''-b '所以腰曲线是222b kr=a s s =a s s k bββτ'''()-()()+()+ 求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线0x u av ==（0u =0u =，由2πθ=设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑵ =k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅⑵r=r==k ,ααβ，2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ 设曲线：(s),r r =证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ 由伏雷内公式，得??()r r s =是一般螺线，证明:r Γ．证明1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4.证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明(){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=k abτ∴=-.5．曲面S 上一条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±(θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，6.证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{t r e '=2t r r e ='由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7证明：若r '和r ''()()()r t g t r t '''+=则 ,()t r t r '''∀⨯3r r r '''⨯'，故t ∀有()k t =8．证明圆柱螺线t a x =,cos 证明由题意有{}{()sin ,cos ,,()cos ,sin r t a t a t b r t a t a '''=-=--()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{cos ,t β=-另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =9证明曲线y t a x ,sin 2==}2,cos2sin t a t t ，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''=0τ=，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-，{}(0)410,2r ,''=- 密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－，化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则())s λαλ-0λ＝曲线是直线.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线取定点为坐标原点，曲线的方程为()r r t =，(),(),())0r t r t r t '''-=,即((),(),())0r t r t r t '''=所以平行于固定平面，所以()r r t =是平面曲线13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线根据已知条件，得0.............e α⋅=①，0e α⋅=，由伏雷内公式得0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=又有①可知γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，|||0,τγ==所以0，所以曲线为平面曲线设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行证明γγ±１２＝,21ds ds γγ±１２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±=进而12αα=± 15.证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-.s v s v =r r vk ⨯（1-）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角θcos 0,θ=沿每一条直母线只有一个切平面0()ϕθ+u 为直纹面(0,ϕ所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 19.cos γθ0ｎ＝0γγｎ＋ｎ＝是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22.如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.因为20xy M r EG F =⋅=-常数,y =常数构成共轭网．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．}，{0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r ={},1x y r r x ⨯=-，{2|1x yx y r r y n r r x ⨯-==⨯++0xx r n =⋅=，2211xy M r n x y =⋅=++221001M y x -=⨯-=-++， {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cos u u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cosL R v==-，0M==，N R==-，1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-，故球面是全脐的．26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y=，则{}1,0,0xr =，{}0,1,0yr =，{}0,0,0xxr =，{}0,0,0xyr =，{}0,0,0yyr =，1x xE r r=⋅=，0x yF r r=⋅=，1y yG r r=⋅=，}，{}0,0,r=，{0,0,yyr =-}),1x y+|x yx yr rnr r⨯=⨯，{}5/3290,0,()xxr n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xyM r n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()yyr n x y n-=⋅=-+⋅20LN M⇒-=，曲面3x y z+=的所有点为抛物点．．求证正螺面{}(,)cos,sin,r u v u v u v av=是极小曲面．证明{}cos,sinur v=，{sinvr u=-{0,0,0uur=，{sinuvr v=-}cos sin cos,sin cosu vi j kr r v v a v uv u v a⨯=-sin,cos,||u vu va v a v ur rnr r-⨯==⨯1u uE r r=⋅=，0u vF r r=⋅=，22v vG r r a u=⋅=+，uuL r n=⋅=，uvM r n=⋅=0vvN r n=⋅=，21210,22EN FM GLHEG F-+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29.圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线．证明由{cos ,sin ,},r a u a u v =2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴=所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明1202k k H +==，12k k ∴=-，21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，31.因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ，又曲线是曲率线，所以αdn dr ，k )ατγα+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n βα γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，γτβ=-，所以τ。

2009多元微积分期末考试试题参考解答

2009多元微积分期末考试试题参考解答 (A 卷) 2009年6月 21 日一．填空题（每空3分，共15题）1. 设函数),(y x f 在2ℜ上连续，交换累次积分的顺序=⎰⎰--21011),(y dx y x f dy ⎰⎰---22111),(x x dy y x f dx2. 累次积分⎰⎰=1012yx dx e dy 21-e 注：交换积分次序即可算出积分值。

3. 记Ω为单位球: 1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(=0 。

注：注意到积分区域和被积函数的对称性可知积分为零。

4. 设+L 为平面曲线1222=+y x ，方向为逆时针方向，则=+-⎰+L y x ydx xdy 222π2 5. 设三元函数)(3)2(ℜ∈C u 满足方程 3222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，∑为单位球面，n 为其外单位法方向，则dS n∑∂=π4。

注：利用Gauss 公式。

6. 设L 为曲线y x y x 8622+=+，则=⎰Ldl x π30。

注：写出曲线的参数方程，再根据计算公式即可算出积分。

7. 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰+∑=∧+∧+∧dy zdx dx ydz dz xdy 3)22(R π- 注：利用Gauss 公式。

8. 设 k z j y i x V 222++=，则=V rot 09. 设 k x z j z y i y x V 222++=，则=V div zx yz xy 222++10. 初值问题,0'2''=++y y y 1)0(=y ，1)0('=y 的解为xe x y -+=)21(。

11. 一阶常微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=y x dtdy y x dt dx324的通解为t t e c e c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211251 12. 二阶线性常微分方程 0'2=++''y y x y x )0(>x 的通解为)sin(ln )cos(ln 21x c x c +。

《多元函数积分学》练习题参考答案

∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B）（D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
）．（ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ，所以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．

微积分A2复习题参考答案

微积分A2复习题参考答案一、基本题:（一）向量代数、空间解析几何： 1、设32a i j k →→→→=--，{}1,2,1b →=-，则a b →→⋅=a b →→⨯=.{}{}3,1,21,2,13223a b →→⋅=--⋅-=-+= {}3125,1,7121i j ka b →→→→→⨯=--=-所用知识点：设向量{}{},,,,,x y z x y z x y z x y z a a i a j a k a a a b b i b j b k b b b →→→→→→→→=++==++=则：1）a →= ,,y x z a a a a e a a a →→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2）x x y y z z a b a b a b a b →→⋅=++； cos ,a ba b a b→→→→→→⋅⎛⎫=⎪⎝⎭⋅3）,,yz xy x z xy z yzxy x z xyz i j ka a a a a a ab a a a b b b b b b b b b ⎧⎫⎪⎪⨯==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭{},,y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b =---2、设{}1,,2a k →=，{}2,1,3b →=-且a b →→⊥则k =.{}{}01,,22,1,3404a b a b k k k →→→→⊥⇒⋅=⇒⋅-=+=⇒=-所用知识点：设{}{},,,,,x y z x y z x y z x y z a a i a j a k a a a b b i b j b k b b b →→→→→→→→=++==++= 则两向量垂直的充要条件为00x x y y z z a b a b a b a b a b →→→→⊥⇔⋅=⇔++= 3、设a →、b →、c →为单位向量，且满足0a b c →→→→++=，则a b b c c a →→→→→→⋅+⋅+⋅=.2222a b c a b c a b c a b b c c a →→→→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 33202a b b c c a a b b c c a →→→→→→→→→→→→⎛⎫=+⋅+⋅+⋅=⇒⋅+⋅+⋅=- ⎪⎝⎭所用知识点：两向量点积的性质。