第七章 图0410I2

^ V1
V2
一.数组表示法
核心思想: 采用两个数组存储一个图. 核心思想: 采用两个数组存储一个图. 定义一个一维数组VERTEX[n] VERTEX[n]存放图中所有 1. 定义一个一维数组VERTEX[n]存放图中所有 顶点的数据信息. 顶点的数据信息. 定义一个二维数组A[n,n] A[n,n]存放图中所有顶点 2. 定义一个二维数组A[n,n]存放图中所有顶点 之间关系的信息(该数组被称为邻接矩阵), ),有 之间关系的信息(该数组被称为邻接矩阵),有
^ ^ ^
每一个链表前面设置一个头结点, 1. 每一个链表前面设置一个头结点,用来存放一个 顶点的数据信息, 顶点的数据信息,称之为 data firstarc 顶点结点.其结构为: 顶点结点.其结构为: 其中: 域存放某个顶点的数据信息; 其中: data 域存放某个顶点的数据信息; firstarc 域存放某个链表中第一个结点的 地址. 地址.
强连通图——有向图中，如果对每一对 有向图中， 强连通图 有向图中 Vi,Vj∈ Vi≠Vj,从Vi到 和从Vj Vi都存 Vj到 Vi,Vj∈V, Vi≠Vj,从Vi到Vj 和从Vj到 Vi都存 在路径，则称G 在路径，则称G是强连通图 强连通分量——有向图中的极大强连通子图称 强连通分量 有向图中的极大强连通子图称 作该有向图的强连通分量
∞ 5 7 ∞ 3
5 ∞ ∞ 4 8 7 ∞ 0 2 1
∞ 4 2 ∞ 6
3 8
1 6 ∞
二.邻接表
核心思想:对具有n个顶点的图建立n 核心思想:对具有n个顶点的图建立n个线性链表 存储该图. 存储该图.
v1 v2 v4 v3
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 3 4
v1 v2 v3 v4
2 1 1 1
3 3 2 2
4 4 4 3
v1 v2 v4 v3 10 v2 v1 4 17 8 v4 v3
关于一条边或弧的表示方法: 关于一条边或弧的表示方法:
(1). 用图形: ) 用图形: vi vj vj (2). 用符号 用符号: (3). 用语言: ) 用语言: 是这条边的两个邻接点。 (a). 顶点 i 与vj 是这条边的两个邻接点。 ) 顶点v (b). 这条边依附于顶点 i 和vj。 ) 这条边依附于顶点v vi vi (vi, vj) ,< vi, vj > vi vj vj
v1
v2 v3
Vertex1[4] v1 v2 v3
A1 =
v4 10 4 v2 8 v4 v1 17 Vertex2[4]
v4
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
v1 v3 v2 v3 v4
A2 =
∝ 4 ∝ ∝ 6 ∝ 7 ∝ ∝ ∝ ∝∝ ∝ ∝ 8 ∝
形式描述如下： #define MAX_VERTEX_NUM 20
路径： ， ， ， ， ， ， ， 路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度： 路径长度：7 简单路径： ， ， ， ， 简单路径：1，2，5，7，6 回路： ， ， ， ， ， ， ， 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路： ， ， ， 简单回路：1，2，3，1
连通——在无向图中，从顶点V到顶点W有一条路径， 在无向图中，从顶点V到顶点W有一条路径， 连通 在无向图中 则说V 则说V和W是连通的 连通图——在无向图中，图中任意两个顶点都是连 在无向图中， 连通图 在无向图中 通的叫连通图 连通分量——在无向图中的极大连通子图叫连通分 在无向图中的极大连通子图叫连通分 连通分量 在无向图中 量 例 2 4 5 连通图 1 例 2 1 4 3 5 6 非连通图 连通分量 3 6
1 当顶点v 到顶点v 当顶点vi到顶点vj有边时 A[i, j]= 0 当顶点v 到顶点v 当顶点vi到顶点vj无边时 对于带权的图, 对于带权的图, 有 当顶点v 到顶点v 有边,且边的权为w wij 当顶点vi到顶点vj有边,且边的权为wij A[i, j]= oo 当顶点v 到顶点v 当顶点vi到顶点vj无边时
v1 v2 v4 v3
有向图——在一个图中，如果任意两个顶点 在一个图中， 有向图 在一个图中 构成的边（ vj） 是有序的， 构成的边（vi, vj）∈E是有序的，即顶点之 间的连线是有方向的，则称该图为有向图。 间的连线是有方向的，则称该图为有向图。 顶点的有序对，记为<v,w>，v,w是顶点 是顶点， 顶点的有序对，记为<v,w>，v,w是顶点， v为弧尾，w为弧头 为弧尾， 与边有关的数据称为权, 网(络) ——与边有关的数据称为权,边上带 与边有关的数据称为权 权的图称为网络。 权的图称为网络。
例 2 1 4 3 G1 例 1 3 5 2 G2 4 7 6 5 6
路径： ， ， ， ， ， 路径：1，2，3，5，6，3 路径长度： 路径长度：5 简单路径： ， ， ， 简单路径：1，2，3，5 回路： ， ， ， ， ， ， 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3 简单回路： ， ， ，
2.图的分类 2.图的分类
无向图——在一个图中，如果任意两个顶点 在一个图中， 无向图 在一个图中 构成的边（ vj） 是无序的， 构成的边（vi, vj）∈E是无序的，即顶点之 间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。 间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。 顶点的无序对，记为（v,w） w,v)， 顶点的无序对，记为（v,w）或（w,v)， 并且（ 并且（v,w)=(w,v)
例 3 例 2 1 4 3 5 6 非强连通图 5 强连通图 6
§ 生成树 ： 是连通图 的极小连通子图 ， 它含 生成树： 是连通图G的极小连通子图 的极小连通子图， 有其全部n 个顶点，包含且仅包含G的 条 有其全部 个顶点，包含且仅包含 的n-1条 边。
特点 ：在生成树中添加任意一条属于原图中的 边必定会产生回路， 边必定会产生回路，因为新添加的边使其所依附 的两个顶点之间有了第二条路径。 的两个顶点之间有了第二条路径。若生成树中减 少任意一条边，则必然成为非连通的。 少任意一条边，则必然成为非连通的。
例
7
A 3
5 8 6
B 4 D
E 1 C 2
构造过程： 构造过程： Ⅰ顶点和边的数量 5 8 0 顶点信息（数组存储） Ⅱ顶点信息（数组存储）
ABCDE
Ⅲ边的信息（构造前注意 边的信息（ 数组的初始化） 数组的初始化） A,B,5 A,E,3 A,C,7 B,E,8 C,E,1 B,D,4 D,E,6 p162creatgraphb.txt C,D,2
§ 有向树 如果一个有向图恰好有一个顶点的 有向树—如果一个有向图恰好有一个顶点的 入度为0 其余顶点的入度均为1 则称为~ 入度为0，其余顶点的入度均为1，则称为~
§7.2 图的存储结构 7.2
多重链表
V1 例 1 3 G1 例 1 3 4 G2 5 V4 ^ V3 V5 ^ 2 2 4 V4 ^ V3 V2 ^ ^ ^
第七章 图 7.1 图的定义和术语
1 、图 (Graph)—— 图是由非空的顶点集合和一个 图(Graph) 描述顶点之间关系―― ――边 或者弧） 描述顶点之间关系――边（或者弧）的集合组 其形式化定义为： 成，其形式化定义为： {E}） G＝（V，{E}） V＝{vi| vi∈dataobject} E ＝ {( vi,vj)| vi, vj ∈V ∧P(vi, vj)} 其中， 表示一个图， 其中，G表示一个图， 是图G中顶点的非空有限集 非空有限集， V是图G中顶点的非空有限集， 是图G中边的有限集合， 有限集合 E是图G中边的有限集合，边是顶点的无 序对或有序对
例
1 5 7
例
2 6 1 4 3 G1 5 6
3
2 G2
4
顶点5的度： 顶点 的度：3 的度 顶点2的度 的度： 顶点 的度：4
顶点2入度： 出度： 顶点 入度：1 出度：3 入度 顶点4入度 入度： 出度： 顶点 入度：1 出度：0
可以证明:对于具有 个顶点 条边的无向图 个顶点、 条边的无向图， 可以证明:对于具有n个顶点、e条边的无向图，顶 点vi的度 的度TD (vi)与顶点的个数以及边的数目满足关 与顶点的个数以及边的数目满足关 的度 n 系： e=(∑ TD(vi))/2 i=1 路径——路径是顶点的序列V={Vi0,Vi1,……Vin}，满 路径是顶点的序列V={V 路径 路径是顶点的序列 V E,(1<j≤ 足(V i，j-1,Vij)∈E 或 <V i，j-1,Vij>∈E,(1<j≤n) 路径长度——沿路径边的数目或沿路径各边权值之 路径长度 沿路径边的数目或沿路径各边权值之 和 简单路径——序列中顶点不重复出现的路径叫~ 序列中顶点不重复出现的路径叫~ 简单路径 序列中顶点不重复出现的路径叫 回路（ 回路（环）——第一个顶点和最后一个顶点相同的 第一个顶点和最后一个顶点相同的 路径叫~ 路径叫~ 简单回路——除了第一个顶点和最后一个顶点外， 除了第一个顶点和最后一个顶点外， 简单回路 除了第一个顶点和最后一个顶点外 其余顶点不重复出现的回路叫~ 其余顶点不重复出现的回路叫~
例1 2 1 4 3 5 6
G1 图G1中：V(G1)={1,2,3,4,5,6} 中 E(G1)={<1,2>, <2,1>, <2,3>, <2,4>, <3,5>, <5,6>, <6,3>} 例2 1 5 7 3 2 G2 图G2中：V(G2)={1,2,3,4,5,6,7} 中 E(G2)={(1,2), (1,3), (2,3), (2,4),(2,5), (5,6), (5,7)} 4 6
//最大顶点数设为 最大顶点数设为20 最大顶点数设为 //图的类型 图的类型