2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程综合测试课时作业含解析北师大版选修2_1

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2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程课时作业含解析北

课时作业16 双曲线及其标准方程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲⇒乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，点M 的轨迹才是双曲线．2．双曲线x 26－y 23＝1的焦距为( C )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：已知双曲线的方程为标准方程，可得a 2＝6，b 2＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，故焦距2c ＝6.3．在双曲线的标准方程中，若a ＝6，b ＝8，则其标准方程是( D ) A.y 236－x 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝1 D.x 236－y 264＝1或y 236－x 264＝1 解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，所以应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况进行讨论，显然选项D 符合要求．4．与圆C 1：x 2＋(y ＋1)2＝1及圆C 2：x 2＋(y －4)2＝4都外切的动圆的圆心在( C ) A ．一个圆上 B ．一个椭圆上 C ．双曲线的一支上 D ．一条抛物线上解析：由已知得，圆C 1的圆心为(0，－1)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为(0,4)，半径r 2＝2.设动圆的圆心为M ，半径为r ，则|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2，∴|MC 2|－|MC 1|＝1<|C 1C 2|＝5，由双曲线的定义可得，动圆的圆心在双曲线的一支上．5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( C )A.14B.35C.34D.45解析：依题意：a ＝b ＝2，∴c ＝2. 因|PF 1|＝2|PF 2|，则该|PF 2|＝m ， ∴|PF 1|＝2m ，又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，又|F 1F 2|＝4， ∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C. 6．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( C )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝6，由双曲线的定义，得 |PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝4＋6＝10，∴cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1||PF 2|＝56，故PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos∠F 1PF 2＝10×6×56＝50.7．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA | －|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( B ) A ．1 B.32 C ．2D ．4解析：如图，以AB 为x 轴，AB 中点O 为坐标原点建系．∵|PA |－|PB |＝3，∴P 点轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支．由图知|PO |最短为32.8．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( A )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.二、填空题9．已知双曲线的焦点为F 1(0，－6)，F 2(0,6)，且双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值等于8，则该双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.解析：∵双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意可知a ＝4，c ＝6， ∴b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.故该双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.10．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1||PF 2|＝32，则△PF 1F 2的面积为12.解析：设|PF 1|＝3x ，|PF 2|＝2x ，则|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2，则|PF 1|＝6，|PF 2|＝4，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝62＋42＝52＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×6×4＝12.11．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝4.解析：方法1：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎨⎧|m －n |＝2，222＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8.∴mn ＝4，即|PF 1|·|PF 2|＝4. 方法2：|PF 1|·|PF 2|＝2b 21－cos θ＝2×121－cos60°＝21－12＝4. 三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点为(0，－6)，(0,6)，且经过点(－5,6)； (2)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点(3,2)；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．解：(1)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点(－5,6)在双曲线上，所以点(－5,6)到两焦点的距离之差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.(2)由焦距是4可得c ＝2，又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由双曲线的定义知2a ＝|32＋2＋22－32＋2－22|＝2，即a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3.因此，所求双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1.(3)设所求的双曲线的标准方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由双曲线经过点(32，2)，得1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4，所以双曲线的标准方程为x 212－y28＝1.13．若点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0且为常数)为两个不同的定点，且动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a ≥0且a 为常数)．求动点M 的轨迹．解：若2a >2c >0，则点M 的轨迹不存在．若2a ＝2c >0，则点M 的轨迹是以F 2为端点，且与x 轴正方向同向的射线，方程为y ＝0(x ≥c )．若0<2a <2c ，则点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，其方程为x 2a 2－y 2c 2－a2＝1(x ≥a )．若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线，方程为x ＝0.——能力提升类——14．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为21，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”．下列曲线中存在“Ω点”的是( D )A.x 216＋y 215＝1 B.x 225＋y 224＝1 C ．x 2－y 215＝1D ．x 2－y 2＝1解析：不妨设曲线的焦点为F 1，F 2，由题意得|PF 1|＝2|PF 2|.若是椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|PF 2|＋|PF 2|＝3|PF 2|＝2a ，即|PF 1|＝4a 3，|PF 2|＝2a3；若是双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，即|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 可以验证，对于上述条件下的数量关系，选项A ，B ，C 中的点P 都不能构成满足条件的△PF 1F 2，只有选项D ，由于a ＝1，c ＝2，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝22，可构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是x 2－y 2＝1.15．已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值．解：(1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ.因|F 1F 2|＝2c ，则a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2. 即a 21－a 22＝b 21＋b 22.由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c22|PF 1|·|PF 2|＝a 1＋a 22＋a 1－a 22－2a 21－b 21－2a 22＋b 222a 21－a 22＝b 21－b 22a 21－a 22＝b 21－b 22b 21＋b 22. 所以sin θ＝2b 1b 2b 21＋b 22. 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ＝12(a 21－a 22)·2b 1b 2b 21＋b 22＝b 1b 2. (2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时，S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24，所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24.。

高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质课时作业(含解析)北师大版选修2-1-

课时作业15 抛物线的简单性质时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．顶点在原点，焦点为F (32，0)的抛物线的标准方程是( C )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：顶点在原点，焦点为F (32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px (p >0)，由题意知p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x . 2．过抛物线y 2＝16x 的焦点的最短弦长为( A ) A ．16 B ．8 C ．32D ．4解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p ＝16.3．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由焦点弦公式易知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM ||MN |＝( C )A ．2 5B ．1 2C ．15D ．1 3解析：如图，过M 作准线的垂线MH ，设∠FAO ＝∠MNH ＝α，则sin α＝|OF ||AF |＝|MH ||MN |＝|MF ||MN |＝15.5．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( C )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( B )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2解析：由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ，由题意得，p2＋2＝4，∴p ＝4，x2＝－8y .又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝16，k ＝±4.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( D )A.12B.22C. 2D ．2解析：抛物线y 2＝8x 焦点坐标为(2,0)，直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －2，得k 2(x －2)2＝8x ，即k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)，由MA →·MB →＝0得(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，将y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1·x 2＝4代入上式中，整理得(k －2)2＝0，∴k ＝2.8．等腰直角三角形ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( B )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：不妨设点A 在x 轴上方，则由抛物线的对称性及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，∴B (2p ，－2p )，|AB |＝4p . ∴S △ABO ＝12×4p ×2p ＝4p 2.二、填空题9．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝±8.解析：椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 10．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝±2 3.解析：设正三角形边长为x .363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23，当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.则该抛物线的方程为y 2＝8x .解析：易知直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p2＝0，则x 1＋x 2＝5p4①.由焦点弦长公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9 ②. 由①②解得p ＝4，从而抛物线的方程是y 2＝8x . 三、解答题12．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解：依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0，x 20＋y 20－9x 0＝0，∴x 20＋(2p －9)x 0＝0.①∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p 2－x 0＝－1，即2px 0x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 0＝－1.∴x 0＝52p .②把②代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，O 为C 的顶点，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．解：(1)∵焦点坐标为F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，与y 2＝4x 联立消去y 可得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，从而焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. (2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，与y 2＝4x 联立消去x 可得y 2－4ky －4＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＋y B ＝4k ，y A y B ＝－4.∴x A x B ＝(ky A ＋1)(ky B ＋1)＝k 2y A y B ＋k (y A ＋y B )＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1. ∴OA →·OB →＝x A x B ＋y A y B ＝1－4＝－3. 即OA →·OB →是一个定值．——能力提升类——14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一内接△OAB ，O 为坐标原点，OA →·OB →＝0，直线OA 的方程为y ＝2x ，且|AB |＝413，则抛物线的方程为y 2＝165x .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A (p2，p )．又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－12x ，与y 2＝2px 联立可得B (8p ，－4p )．∵|AB |＝413，∴(p2－8p )2＋(p ＋4p )2＝208，解得p ＝85.故抛物线的方程为y 2＝165x .15．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程．(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．解：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝322，解得c ＝1(负根舍去)， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ，P (x 0，y 0)，由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 12x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线l 1上， ∴y 0＝x 12x 0－y 1. ① 同理，y 0＝x 22x 0－y 2 . ②综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y .∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线 AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.。

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程课时作业含解析北师大版选修2_1

课时作业14 抛物线及其标准方程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( B ) A ．圆 B ．抛物线和一条射线 C ．椭圆D ．抛物线解析：设动圆圆心坐标为(x ，y )，由题意得y ＝0(x <0)或y 2＝20x (x ≠0)．故选B. 2．焦点在x 轴上，且经过点P (－1,2)的抛物线的标准方程是( C ) A ．y 2＝14xB ．y 2＝－14xC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y解析：根据抛物线焦点和点P (－1,2)的位置，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，把点的坐标代入抛物线方程得p ＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3．已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，316 B.⎝⎛⎭⎪⎫316，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：化为标准方程为x 2＝43y ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，故选D.4．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( D ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．1解析：抛物线的焦点为(2,0)，则点(2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝21＋3＝1，故选D.5．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.6．已知点P 是抛物线x ＝14y 2上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为( C )A ．2 B. 5 C.5－1D.5＋1解析：由抛物线x ＝14y 2可得y 2＝4x ，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．依题意可知点P到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到(0,2)与P 到该抛物线准线的距离的和的最小值减去1，也就是点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和的最小值减1，可得0－12＋2－02－1＝5－1.故选C.7．抛物线y ＝x 2上一点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是( B ) A ．(12，14)B ．(1,1)C ．(32，94)D ．(2,4)解析：设抛物线上任一点为(x ，y )，则由点到直线的距离公式得d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|x －12＋3|5＝x －12＋35≥35. 当x ＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．8．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( C )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x解析：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.二、填空题9．抛物线y 2＝－x 的焦点到它的准线的距离等于12.解析：由题意得p ＝12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，准线方程为x ＝14，所以焦点到它的准线的距离等于12. 10．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝2.解析：本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识．直线AB ：y ＝x －p2代入抛物线y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，∴p ＝2.11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的方程是y 2＝5x .解析：由题意得，线段OA 的垂直平分线方程为2x ＋y －52＝0，则与x 轴的交点为F (54，0)．所以p ＝52，即抛物线方程为y 2＝5x .三、解答题12．已知平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 满足的方程．解：方法1：设点P 的坐标为(x ，y )，则有x －12＋y 2＝|x |＋1.将两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ≥0，0x <0.∴动点P 满足的方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．方法2：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件，当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与点P 到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的集合是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 满足的方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．13．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口直径为12 m ，镜深2 m.(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点坐标；(2)若把盛水和食物的容器近似的看作点，试求每根钢筋的长度．解： (1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于镜口直径．由已知，得A 点坐标是(2,6)，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则36＝2p ×2，∴p ＝9.所以所求抛物线的标准方程是y 2＝18x . 焦点坐标是F (92，0)．(2)∵盛水的容器在焦点处，所以A 、F 两点间的距离即为每根钢筋长．|AF |＝2－922＋62＝6.5.故每根钢筋的长度是6.5 m.——能力提升类——14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝6.解析：因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.15．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px . ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ·1，得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB . ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1. ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．。

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2双曲线的简单性质课时作业含解析北师大版选修2_1

课时作业17 双曲线的简单性质时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( A ) A ．2 3 B ．2 2 C ．4 3D ．4 2解析：将方程3x 2－y 2＝9变形为x 23－y 29＝1，则a 2＝3，解得a ＝3，即2a ＝2 3.故选A.2．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为( D )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：由题意得实轴长为2a ，虚轴长为2，焦距长为2a 2＋1.因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，所以4＝2a ＋2a 2＋1，解得a ＝34，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±1a x ＝±43x . 3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( A ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由已知e ＝2，c ＝4，得a ＝2，得b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( B )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：∵e ＝32，c ＝3，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝5，即双曲线C 的标准方程为x 24－y 25＝1.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：∵e ＝c a ＝52，∴c 2a 2＝54，∴b 2＝54a 2－a 2＝a24，∴b a ＝12，即渐近线方程为y ＝±12x .6．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，比较y ＝±32x ，∴a ＝2.7．若双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的虚轴长是( A )A ．2B ．1 C.55D.255解析：由题意知双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为|bc |3＋b 2＝b .∵双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，∴b ＝14·2c ，即b ＝12c＝123＋b 2，解得b ＝1.∴该双曲线的虚轴长是2.故选A. 8．已知A ，B 分别为双曲线E 的左、右顶点，点M 在双曲线E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E 的离心率为( D )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，示意图如下图，|AB |＝|BM |，∠ABM＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N .在Rt △BMN 中，|BN |＝a ，|MN |＝3a ，故点M 的坐标为M (2a ，3a )，代入双曲线E 的方程得a 2＝b 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝ 2.故选D.二、填空题9．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为y ＝±34x .解析：由a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于9.解析：c a ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9. 11．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为102. 解析：设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝3x .则2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2x,2c ＝|AF 1|2＋|AF 2|2＝10x ，故离心率e ＝c a ＝10x 2x ＝102. 三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)与双曲线x 216－y 29＝1有公共顶点，且过点A (6，5)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，离心率为54.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，即λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵所求双曲线与双曲线x 216－y 29＝1有公共顶点，故可设所求双曲线的方程为x 216－y 2m＝1(m >0)．将点A (6，5)的坐标代入方程x 216－y 2m＝1，解得m ＝4.∴所求双曲线的方程为x 216－y 24＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)方法1：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9.∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 方法2：∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴可设双曲线的标准方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)．又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33.∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.13．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把点(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6. ∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∵M 点在双曲线上， ∴32－m 2＝6，m 2＝3. ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.——能力提升类——14．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )A.433B.233C ．3D ．2解析：方法1：(利用离心率的三角公式)在△F 1PF 2中，不妨设∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，α>β，则椭圆的离心率e 1＝sin60°sin α＋sin β，双曲线的离心率e 2＝sin60°sin α－sin β，于是1e 1＋1e 2＝2sin αsin60°＝433sin α≤433，当且仅当α＝90°时等号成立．方法2：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，且r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆与双曲线焦距的一半为c ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则由椭圆和双曲线的定义可得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，两边平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2 ①，4a 22＝r 21＋r 22－2r 1r 2 ②，联立①②可得r 21＋r 22＝2a 21＋2a 22 ③，r 1r 2＝a 21－a 22 ④，由余弦定理可得4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3 ⑤，联立③④⑤可得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.设1e 1＝2cos θ，3e 2＝2sin θ，则1e 1＋1e 2＝2cos θ＋23sin θ＝433sin(θ＋π3)，所以1e 1＋1e 2的最大值为433.方法3：同方法2得到1e 21＋3e 22＝4后，由柯西不等式得(1e 1＋1e 2)2＝(1e 1＋13·3e 2)2≤(1e 21＋3e 22)(1＋13)＝163(当且仅当1e 1·13＝3e 2·1，即e 2e 1＝3时等号成立)，所以1e 1＋1e 2≤433. 15．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)，(－1,0)到直线l 的距离分别为d 1＝b a －1a 2＋b 2，d 2＝b a ＋1a 2＋b 2. s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. 于是，得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.∵e >1，∴e 的取值范围是52≤e ≤ 5.。

北京师范大学附属中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试题(答案解析)

一、填空题1．已知动圆M 过定点()30A -,，并且内切于定圆()22:364B x y -+=，则动圆圆心M 的轨迹方程._______2．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．3．若椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：320x y -+=交于P ，Q 两点，则PQF △的周长为_______________.4．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．5．如图，过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________．6．已知A B 、为椭圆2214x y +=和双曲线2214x y -=的公共顶点， P Q 、分别为双曲线和椭圆上不同于两点A B 、的动点，且有()(),||1PA PB QA QBR λλλ+=+∈>，设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则1234 k k k k +++=______．7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.9．设12,F F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于__________．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与方向向量为(6,6)k =的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是_______.11．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y轴上，则12||||PF PF =______. 12．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，当123F PF π∠=时，则12PF F △的面积为________．13．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______. 二、解答题14．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为e = （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N 使得11FM F N =（1F 为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.16．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.17．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0)，直线330x y +-=经过椭圆的上顶点和右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点.若OAB 的面积为26，求直线l 的方程.18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若01260AF F ∠=，且 120AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b ==，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(0,2)A -，且椭圆C 的右顶点B 到直线20x y ++=的距离为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点()20P ，且与直线AB 平行的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，求OMN 的面积(O 为坐标原点)．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l (不过原点O )与椭圆C 交于两点A ､B ，M 为线段AB 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值；（ii ）求OAB 面积的最大值及此时l 的斜率.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3C 过点322⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.22．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB 长为425，求直线l 的倾斜角． 23．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =.（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若1260F PF ∠=︒求12F PF △的面积.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，||4AB =.过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,D E 两点，且||1DE =.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -，且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA 与PMB △的面积之比为λ，求实数λ的取值范围.25．求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y x =±，且过点(1)-.26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】由圆的标准方程有圆心为半径为8根据圆内切于定圆且过定点即有即知轨迹为椭圆写出轨迹方程即可【详解】由圆方程知：圆的圆心为半径为8∵圆过定点且内切于圆若设圆的圆心为∴由题意知：而故可知在以为焦点解析：221167x y += 【分析】由圆的标准方程有圆心为(3,0)B ，半径为8，根据圆M 内切于定圆B 且过定点()30A -,，即有||||8AM BM +=，||6AB =即知M 轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.【详解】由圆方程知：圆B 的圆心为(3,0)B ，半径为8，∵圆M 过定点()30A -,且内切于圆B ，若设圆M 的圆心为(,)M x y ， ∴由题意知：||||8AM BM +=，而||6AB =，故可知M 在以,A B 为焦点的椭圆上，∴2224,c 3,b 7a a c ===-=，即圆心M 的轨迹方程：221167x y +=.【点睛】关键点点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.2．【分析】作出图形设双曲线的右焦点为根据双曲线的定义可得可得出利用三点共线时取得最小值即可得解【详解】对于双曲线则如下图所示：设双曲线的右焦点为则由双曲线的定义可得则所以当且仅当三点共线时等号成立因此解析：9【分析】作出图形，设双曲线的右焦点为M ，根据双曲线的定义可得4PF PM =+，可得出4PF PA PM PA +=++，利用A 、P 、M 三点共线时PF PA +取得最小值即可得解. 【详解】对于双曲线221412x y -=，则2a =，23b =，4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，()()2244144049PF PA PM PA AM +=++≥+=-+-=，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.3．【分析】求出左焦点坐标利用直线经过椭圆的左焦点结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点所以直线经过左焦点的周长故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时如果遇到了焦半径要联想解析：2【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．【详解】由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-，所以直线:320l x -+=经过左焦点F '，PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，故答案为：2 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.4．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有解析：(3【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率211c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2b a 213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(3．故答案为：(3．【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．5．【分析】设椭圆的右焦点为连根据点的对称性和推出四边形为矩形所以设利用椭圆定义得到和根据勾股定理可得从而可得离心率【详解】设椭圆的右焦点为连如图：因为关于原点对称关于原点对称所以四边形为平行四边形又所解析：2 【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，根据点的对称性和1CF AB ⊥推出四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，利用椭圆定义得到2||AF 和1||BF ，根据勾股定理可得2a c =，从而可得离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，如图：因为,B C 关于原点对称，12,F F 关于原点对称，所以四边形12BF CF 为平行四边形，又1CF AB ⊥，所以四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，因为113CF AF =，所以1||3CFm =，所以2||3BF m =，22||AF a m =-，1||23BF a m =-，在直角三角形2ABF 中，由22222||||||AB BF AF +=得222(23)(3)(2)a m m m a m -++=-，化简得3a m =，所以1||BF a =， 2||BF a =，在直角三角形12BF F 中，由2221212||||||BF BF F F +=得2224a a c +=，即2a c =，所以椭圆E 的离心率e 22c a ==. 故答案为：22【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．6．0【分析】可根据题的已知条件设利用斜率公式得到；同理可得结合三点共线即可得出的值【详解】由题意可知三点共线设点在双曲线上则所以①又由点在椭圆上则同理可得②三点共线由①②得故答案为：0【点睛】本题考查解析：0 【分析】可根据题的已知条件，设()11,P x y 、()22,Q x y ，利用斜率公式得到11212x k k y +=；同理可得23422x k k y +=-，结合O P Q 、、三点共线即可得出1234k k k k +++的值．【详解】由题意，()(),||1PA PB QA QB R λλλ+=+∈>可知O P Q 、、三点共线．()2,0A -、()2,0B设()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在双曲线2214x y -=上，则221144x y -=．所以11111111222111112222442y y x y x y xk k x x x y y +=+===+--① 又由点Q 在椭圆2214x y +=上，则222242x y -=-．同理可得23422x k k y +=-②O P Q 、、三点共线．1212x x y y ∴=．由①、②得12340k k k k +++=．故答案为：0 【点睛】本题考查运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想．主要思路为结合曲线与点的位置关系、向量关系式，根据斜率公式，列相关关系式化简求解.7．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答解析：7 4【分析】取椭圆的右焦点F'，由直线l过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF'为平行四边形，由||3||PF QF=及椭圆的性质可得2aPF'=，32aPF=，120PFQ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F'，连接QF'，PF'，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF'为平行四边形，则PF QF'=，180********FPF PFQ∠='=-∠-=，||3||PF QF=3||PF'=，而||||2PF PF a'+=，所以2aPF'=，所以32aPF=，在PFF'中，2222222914||||58144cos32332222a a cPF PF FFFPF eaPF PF a+-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：74e=，故答案为：74.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2aPF'=，所以32aPF=，然后在PFF'中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的解析：3【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解.【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -，设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去），所以点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以125a QF QF =+==，即a =，所以椭圆的离心率5c e a ===【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.9．12【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度从而利用余弦定理求得于是可利用面积公式求得答案【详解】由于因此故由于即而所以所以因此【点睛】本题主要考查双曲线定义余弦定理面积公式的综合应用意在考查学生的分解析：12 【分析】通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于22154x y -=，因此a =3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF，而122PF PF a -==1PF，2PF ，222121212124cos 25PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121||||sin 122PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.10．【分析】设代入到双曲线的方程中运用点差法可求得可得答案【详解】设则且因为线段的中点为所以由题意可得直线的斜率为1所以即故双曲线的渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方解析：12y x =±【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得12b a =，可得答案. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以()()2221212221214b x x y y b x x a y y a+-==-+，由题意可得直线AB 的斜率为1，所以2241b a=，即12b a =，故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.11．【分析】先设P 点中点再求焦点再根据线段的中点在轴上求出P 点坐标再利用焦半径公式即可得的长则可解【详解】设中点由题意得由线段的中点在轴上则有代入中得P 点坐标为或根据焦半径公式可得∴故答案为：【点睛】考解析：239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解. 【详解】设(,)p p P x y，中点(0,)m n .由题意得12(7,0),(7,0)F F -，4a =，74e =由线段1PF 的中点在y 轴上，则有702p x +=，7p x =-，代入22=1169x y +中得P 点坐标为9(7,)4-或9(7,)4--根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==， ∴12||23||9PF PF =. 故答案为：239. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P 点坐标.12．【分析】由题意画出图形利用椭圆定义及余弦定理求得的值代入三角形面积公式得答案【详解】解：如图由椭圆得则由余弦定理可得：即的面积故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质考查椭圆定义的应用是中档题解析：33【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得12PF PF 的值，代入三角形面积公式得答案．【详解】解：如图，由椭圆2214x y +=，得2a =，1b =，则24a =，223c a b =-=1224PF PF a ∴+==，由余弦定理可得：2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，()22121243c PF PF PF PF ∴=+-，即1243PF PF =． 12F PF ∴的面积1211433sin 6022323S PF PF =︒=⨯⨯=．故答案为：33．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，13．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，写出圆的标准方程得答案．【详解】如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A为圆心，以22(2)20x y ++=．故答案为：22(2)20x y ++=．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．二、解答题14．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．15．（1）22162x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由离心率得2223c a =，由面积可得2ab =，结合222a b c =+即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）设出直线方程y x t =-+，联立直线与椭圆，利用判别式可得t -<<由11FM F N =可求得4t =-，即可判断. 【详解】（1）由ce a ==2223c a =，又因为四个顶点围成的四边形的面积为2ab =，由222a b c =+，得a =b =故椭圆C 的方程为：22162x y +=（2）不存在符合题意的直线.假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+，由22162x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得223()60x x t +-+-=，即2246360x tx t -+-=，由()222(6)163612960t t t ∆=---=-+>，解得t -<<设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1232t x x +=，212364t x x -=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，故111F E MNk k =-=，又1(2,0)F -，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，即3,44t t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以141324F E t k t==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<，所以不存在满足条件的直线l . 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.16．（1）221169y x +=；（2）()222413y x --=（1≥x ）. 【分析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c ，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a 的值，从而椭圆方程可求；（2）设(),M x y ，()00,B x y ，根据条件用M 点的坐标表示出B 点的坐标，再根据B 在双曲线上求解出,x y 满足的等式即为轨迹方程. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，由题2437c =+=，设椭圆方程22221y xa b+=（0a b >>）.∴1222212121924282PF PF PF PF c PF PF a⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∴216a =，∴2221679b a c =-=-=，∴2:C 221169y x +=；（2）由题点()0,4A .设双曲线右支上任意一点B 的坐标为()00,x y ，AB 中点M 的坐标为(),x y ，则00242x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴00224x xy y =⎧⎨=-⎩，又点B 在双曲线上，∴2200143x y -=∴()222413y x --=（1≥x ）.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2bθ（b为虚轴长度一半）.17．（1）2214xy+=；（2）0x y--=或0x y+=或20x--=或20x-=.【分析】（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出a、b的值，进而可求出椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为x my=，设点()11,A x y、()22,B x y，于是得出OAB的面积为1212OABS OF y y=⋅-，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，将韦达定理代入OAB的面积表达式可求出m的值，从而可得出直线l的方程．【详解】（1）由0x-=，令0x=可得1y=；令0y=可得x=因为直线0x+-=经过椭圆的上顶点和右焦点，所以半焦距为c=1b=，因此2a==，所以，椭圆C的方程为2214xy+=；（2）由（1）可得)2F，设过)2F的直线方程为x my=，由2214x myxy⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x，整理得()22410m y++-=，显然22124164280m m∆=++=+>.设12(,)A x x，12(,)B x x，则12y y+=，12214y ym-=+，从而1224y ym-=+.所以121122OABS OF y y=⋅-==，解得1m=±或2m=±所以直线l的方程为0x y-=或0x y+=，20x--=或20x-=.【点睛】思路点睛：求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可.18．（11；（2）最大值72；最小值1-. 【分析】（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=，所以12,AF c AF ==，所以1212212F F c c e a a AF AF =====+，（2）若1a b ==，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定理得2122412k x x k+=-+, 21222(1)12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B ⋅=22271791222(12)k k k -=-++，进而可求出其取值范围【详解】（1）120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥因为1260AF F ∠=。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程单元质量评估二习题含解析北师大版选修2_1

第三章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知两定点F 1(5,0)，F 2(－5,0)，曲线上的点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( A )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 225－y 236＝1 D.y 225－x 236＝1 解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝6<10＝|F 1F 2|，∴曲线为双曲线，且a ＝3，c ＝5，∴b ＝4，∴方程为x 29－y 216＝1. 3．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( C )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5解析：由椭圆过点(－2，3)，所以(－2)216＋(3)2b 2＝1，解得b 2＝4，因此c 2＝a 2－b 2＝12，所以c ＝23，2c ＝4 3.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝2，2c ＝23，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，因此双曲线的方程为x 22－y 2＝1，所以渐近线方程为y ＝±22x .5．在△ABC 中，|AB |＝2|BC |，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( A )A.1e 1－1e 2＝1 B.1e 1－1e 2＝2 C.1e 21－1e 22＝1 D.1e 21－1e 22＝2 解析：如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，焦距为2c ，则|AB |＝2c ，|BC |＝c ，∵C 在椭圆上，∴|AC |＋|BC |＝2a ⇒|AC |＝2a －c ，又∵C 在双曲线上，∴|AC |－|BC |＝2a ′，即2a －c －c ＝2a ′⇒a c －a ′c ＝1⇒1e 1－1e 2＝1.6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率可能等于( D )A.23或32 B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，所以设|PF 1|＝4x ，则|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ，即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c3x ＝c3×23c ＝12.若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ，所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c ＝32.所以选D.7．点A 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，点B (3,0)，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是( C ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1解析：设A (x ′，y ′)，P (x 0，y 0)，则x ′2＋y ′2＝1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′＋32，y 0＝y ′＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－3，y ′＝2y 0.∴(2x 0－3)2＋4y 20＝1，故选C. 8.如图，直线y ＝m 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则三角形ABF 的周长的取值范围是( B )A ．(2,4)B ．(4,6)C ．[2,4]D ．[4,6]解析：设B (x B ，y B )，则1≤x B ≤3.因为可以构成三角形ABF ，所以1<x B <3.因为圆的半径|BF |＝2，抛物线的准线方程为x ＝－1，利用抛物线定义，|AF |等于点A 到直线x ＝－1的距离d ，所以三角形ABF 的周长l ＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝|AF |＋|AB |＋2＝d ＋|AB |＋2＝x B －(－1)＋2＝x B ＋3，故4<l <6.9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( D )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 解析：由题意知，直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，又所成的角为60°，所以直线方程为y ＝±33x 或y ＝±3x .又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，所以渐近线斜率满足33<b a ≤3，解得233<e ≤2.故选A. 11．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( C )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：设直线F A 的倾斜角为θ，因为F (0,1)，A (2,0)，所以直线F A 的斜率为－12，即tan θ＝－12，过点M 作准线的垂线交准线于点Q ，由抛物线定义得|FM |＝|MQ |，在△MQN 中|MQ ||QN |＝12，可得|MQ ||MN |＝15，即|FM |∶|MN |＝1∶ 5.12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上．由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝(c －a )·|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2(c －a )<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )·(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<ba<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.解析：由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.14．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)为椭圆x 2a ＋y 2b ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则a ＋b 的值等于15.解析：当|PF 1|＝|PF 2|时，△F 1PF 2的面积最大．由∠F 1PF 2＝2π3，∴a ＝23，b ＝3，∴a ＋b ＝15.15．已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是①④(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.解析：由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1.①把y＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，∴直线与椭圆有两个交点，∴y ＝x ＋1是“A 型直线”． ②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1，并整理得19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32.解析：设点A 在点B 的左侧，抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝－b a x ，解得A ⎝⎛⎭⎫－2bp a ，2b 2p a 2；联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝b a x ，解得B ⎝⎛⎭⎫2bp a ，2b 2p a 2.∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2p a 2－p 2－2bp a·b a ＝－1，即4b 2＝5a 2，即4(c 2－a 2)＝5a 2，即c 2a 2＝94，∴e ＝c a ＝32. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线y 24－x 212＝1的焦点重合，它们的离心率之和为135，若椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的方程．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率为e ，焦距为2c ，双曲线y 24－x 212＝1的焦距为2c 1，离心率为e 1，则有c 21＝4＋12＝16，c 1＝4，∴e 1＝c 12＝2.∴e ＝135－2＝35，即ca ＝35. ①又b ＝c 1＝4，② a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③可得a 2＝25.∴所求椭圆方程为x 225＋y 216＝1. 18．(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线y ＝2x ＋1交于P ，Q 两点，|PQ |＝15，求抛物线的方程．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝－2或p ＝6.∴y 2＝－4x 或y 2＝12x . 19．(本小题12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程．(2)若直线y ＝k (x －1)与曲线C 交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变化时总有∠OTS ＝∠OTR ？若存在，请说明理由．解：(1)圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝R ＋r 1＋r 2－R ＝r 1＋r 2＝4>|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR .设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，其中Δ＝144(k 2＋1)>0恒成立，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，①由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0.②由R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)．代入②得k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ](x 1－t )(x 2－t )＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③将①代入③得8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －243＋4k2＝0，④要使得④与k 的取值无关，当且仅当t ＝4时成立．故存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .20．(本小题12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233，ab a 2＋b 2＝32，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1，②联立①②得m 2－4m >0，所以m <0或m >4，又3k 2＝4m ＋1>0，所以m >－14，因此－14<m <0或m >4.21．(本小题12分)已知点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(其中x 1<x 2)是曲线y 2＝4x (y ≥0)上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且|BC |＝2.(1)当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；(2)记△OAD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求证：S 1S 2<14.解：(1)因为B (1,0)，所以A (1，y 1)，代入y 2＝4x ，得到y 1＝2.又|BC |＝2，所以x 2－x 1＝2，所以x 2＝3.代入y 2＝4x ，得到y 2＝2 3.所以k AD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝23－22＝3－1.(2)证明：直线OD 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以点A 到直线OD 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|x 22＋y 22.又|OD |＝x 22＋y 22，所以S 1＝12|OD |d ＝12|x 1y 2－x 2y 1|.又S 2＝12(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝y 1＋y 2，所以S 1S 2＝12|x 1y 2－x 2y 1|(y 1＋y 2)＝|x 1y 2－x 2y 1|2(y 1＋y 2)＝⎪⎪⎪⎪y 214y 2－y 224y 12(y 1＋y 2)＝y 1y 2|y 1－y 2|8(y 1＋y 2)，因为⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 22－y 21＝4(x 2－x 1)＝8，所以S 1S 2＝y 1y 2|y 1－y 2|8(y 1＋y 2)＝y 1y 2|y 1－y 2|(y 22－y 21)(y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2，因为y 1＋y 2≥2y 1y 2，当且仅当y 1＝y 2时取等号，又y 1≠y 2，所以S 1S 2<y 1y 24y 1y 2＝14.22．(本小题12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形，所以由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①证明：由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D－1|＝x 0＋1.由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02，因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x 得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20＝1x 0.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)．由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16.当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

2020_2021学年高中数学第三章不等式综合测试课时作业含解析北师大版必修5

单元综合测试三(第三章)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a >b >c ，则一定成立的不等式是( C ) A ．a |c |>b |c | B ．ab >ac C ．a －|c |>b －|c |D.1a <1b <1c解析：∵a >b ，∴a －|c |>b －|c |.2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( B ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 3．不等式x －1x≥2的解集为( A ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：由x －1x ≥2得x ＋1x≤0， ∴其解集为{x |－1≤x <0}．4．已知x 2＋ax ＋b <0的解集为(2,3)，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( D ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由x 2＋ax ＋b <0的解集为(2,3)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根为2,3，所以－a ＝2＋3＝5，b ＝2×3＝6，即a ＝－5，b ＝6，故bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 5．若x >0，y >0且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( B ) A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析：取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D ，选B. 具体比较如下： ∵0<x ＋y ≤4，∴1x ＋y ≥14，故A 不对； ∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0<xy ≤4，∴1xy ≥14，∴D 不对．1x ＋1y＝x ＋y xy ≥2xy xy＝2xy，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为( D )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1解析：画出图形如图所示，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标(－2,2)，(a ，－a )，(a ，a ＋4)．∴S ＝12|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1(a ＝－5舍去)．故选D 项．7．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，则不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <g (x )max ，又g (x )max ＝g (4)＝－2，所以a <－2.8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5公里处B ．4公里处C ．3公里处D ．2公里处解析：由已知得y 1＝20x，y 2＝0.8x ，(x 为仓库与车站距离)费用之和y ＝y 1＋y 2＝20x＋0.8x ≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立，故选A.9．有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是( C )A ．4.7 mB ．4.8 mC ．4.9 mD ．5 m解析：设两个直角边为a ，b ，则ab ＝2，周长l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，则a 的最小值为( C )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：可利用一元二次不等式与二次函数之间的关系求解，也可分离变量化为y ＝x ＋1x型函数，利用其单调性求解．∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x . ∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，在x ＝12处取得最小值52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若a <b <0，则1a －b 与1a 的大小关系为1a －b <1a. 解析：∵1a －b －1a ＝a －(a －b )a (a －b )＝b a (a －b )<0.∴1a －b <1a. 12．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是a ≥15.解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤15，故a ≥15.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是(－1，2－1)．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．14．若x ，y ∈(0,2]，已知xy ＝2，且6－2x －y ≥a (2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围是a ≤1.解析：x ，y ∈(0,2]，①当x ＝2时，成立．②当x ≠2时，a ≤6－2x －y 8－2y －4x ＋2＝5－2x －y ＋110－2y －4x ＝12＋110－4x －4x ，而12＋110－4x －4x≥12＋110－24x ·4x＝12＋12＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．∴a ≤1.15．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1； ②a ＋b ≤2； ③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3； ⑤1a ＋1b≥2.解析：该题考查均值不等式及不等式的证明方法． ①ab ≤1，由均值不等式ab ≤(a ＋b2)2＝(22)2＝1， ∴正确．②a ＋b ≤2，分析法：要证原式成立．只需证a ＋b ＋2ab ≤2. ∵a ＋b ＝2，只需证2ab ≤0，上式显然不成立，故错误． ③a 2＋b 2≥2，∵a 2＋b 2≥2ab 且2ab ＝4－(a 2＋b 2)， ∴2(a 2＋b 2)≥4，a 2＋b 2≥2， ∴正确．④a 3＋b 3≥3，当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2不成立，举反例，∴错误．⑤1a ＋1b ≥2，分析法：1a ＋1b ≥a ＋b ，即a ＋b ab≥a ＋b ，∴即证1ab≥1.∵0<ab ≤1，∴1ab≥1，故正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z≥36.证明：∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x＋4x y＋z x＋9x z＋4z y＋9yz≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．17．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0. 解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 8<0. ①当－a 7<a8，即a >0时，－a 7<x <a8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅； ③当－a 7>a8，即a <0时，a 8<x <－a7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a 7<x <a8 ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 8<x <－a7 .18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2＋3x －18>0}，B ＝{x |(x －k )(x －k －1)≤0}，若A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．解：解法一：由x 2＋3x －18>0，得(x ＋6)(x －3)>0，所以x >3或x <－6，所以A ＝{x |x <－6或x >3}．由(x －k )(x －k －1)≤0，得k ≤x ≤k ＋1，所以B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}．如图，因为A ∩B ≠∅，所以k ＋1>3或k <－6，解得k <－6或k >2.故k 的取值范围是{k |k <－6或k >2}．解法二：先求使A ∩B ＝∅时的k 的取值范围．由解法一，得A ＝{x |x <－6或x >3}，B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}．若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤3，k ≥－6，所以－6≤k ≤2.故使A ∩B ≠∅的k 的取值范围是{k |k <－6或k >2}．19．(本小题满分12分)已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，分别求u＝4x －3y 的最大值和最小值．解：已知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥04x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0，在同一直角坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0，x ＋2y －3＝0，再根据不等式组确定可行域，如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝04x －3y －12＝0，解得点A 的坐标为(9,8)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝04x －3y －12＝0，得点C 的坐标为(3,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝0x ＋2y －3＝0，解得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，52.求u ＝4x －3y 的最值，相当于求直线y ＝43x －u 3中纵截距b ＝－u3的最值，显然，b 最大时u 最小，b 最小时u 最大．如图所示，当直线y ＝43x ＋b 与直线AC 重合时，截距b ＝－4为最小．∴u max ＝－3b ＝12；当直线y ＝43x ＋b 经过点B 时，截距b ＝316为最大，∴u min ＝－3b ＝－312.20．(本小题满分13分)某镇为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2010年该镇从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的23.根据测算，该镇从两个企业获得的利润达到2 000万元可以解决温饱问题，达到8 100万元可以达到小康水平．(1)若以2010年为第一年，则该镇从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？(2)试估算2018年底该镇能否达到小康水平？为什么？解：(1)若以2010年为第一年，则第n 年该镇从这两家企业获得的利润为y n ＝320×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ≥1)＝80[4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]≥2×80×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝2×80×6＝960，当且仅当4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即n ＝2时，等号成立，所以第二年(2011年)上交利润最少，利润为960万元．由2 000－960＝1 040(万元)，知还需另筹资金1 040万元可解决温饱问题．(2)2018年为第9年，该年可从两个企业获得利润y 9＝320×⎝ ⎛⎭⎪⎫328＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫238>320×⎝ ⎛⎭⎪⎫328＝320×81×8116×16＝20×81×8116>20×81×5＝8 100.所以该镇到2018年底可以达到小康水平．21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1，x ∈R .(1)若方程f (x )＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，求实数m 的取值范围． (2)解不等式f (x )<(m ＋2)x 2－2mx . 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，Δ＝(－4m )2－4(m ＋3)(2m －1)>0，x 1＋x 2＝4m m ＋3<0，x 1x 2＝2m －1m ＋3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m >32或m <1，－3<m <0，－3<m <12，解得－3<m <0，所以实数m 的取值范围是(－3,0)． (2)不等式可化为x 2－2mx ＋2m －1<0，即[x －(2m －1)](x －1)<0，①当m <1时，不等式的解集为{x |2m －1<x <1}； ②当m ＝1时，不等式的解集为∅；③当m >1时，不等式的解集为{x |1<x <2m －1}．。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程单元质量评估一习题含解析北师大版选修2_1

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,1) 解析：将椭圆方程变为x 22＋y 22k＝1，由题意，得2k>2，解得0<k <1.3．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( D )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，又P 为直角三角形的顶点，∴点P 不能与M ，N 两点重合，故x ≠±2.4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( A ) A.43 B.75 C.85D ．3解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( C )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当双曲线的顶点为(±4,0)时，a ＝4，由e ＝2知，c ＝8，b ＝43，双曲线的方程为x 216－y 248＝1；当双曲线的顶点为(0，±3)时，a ＝3，由e ＝2知，c ＝6，b ＝33，双曲线的方程为y 29－x 227＝1，故选C.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是双曲线x 25＋p －y 27＋p＝1的一个焦点，则p 的值为( D )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：抛物线的焦点为(p2，0)，双曲线的半焦距为c ＝12＋2p ，∴12＋2p ＝p 24，∴p ＝12(负值舍去)，故选D.7．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D ．2解析：离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.8．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图像上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( A )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A. 9．已知抛物线y 2＝4x的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( B )A.32B.12C.13D.14解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∵抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，∴椭圆的左焦点为(－1,0)，∴c ＝1.∵O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，∴12×2b 2a ×1＝32，∴b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理，得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，∴e ＝c a ＝12.故选B. 10．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( D )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 解析：因为Q 与P (x ，y )关于y 轴对称，所以Q (－x ，y )，由BP →＝2P A →，得A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )所以AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y . 从而由OQ →·AB →＝(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1，得32x 2＋3y 2＝1，其中x >0，y >0，故选D. 11．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( C ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.326 解析：设弦端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，∴x 21－x 22＝－2(y 21－y 22)，∴此弦的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋32.代入x 2＋2y 2＝4，整理，得3x 2－6x ＋1＝0，∴x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝2，∴|AB |＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝4－4×13·1＋14＝303.12．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，当|t |变化时，|AB |的最大值为( C )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.由Δ＝(8t )2－20(4t 2－4)＝－16t 2＋80>0，得t 2<5，∴－5<t < 5.此时|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－8t 52－4×4t 2－45＝25·80－16t 2. 当t ＝0∈(－5，5)时，|AB |max ＝1605＝4105. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为y ＝±34x .解析：由题意可得，a ＝4，b ＝3.又∵双曲线的焦点在x 轴上，∴y ＝±b a x ＝±34x .14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.解析：双曲线的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，离心率为 2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e ＝c a ＝22.因为c ＝1，所以a ＝ 2.所以b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 15．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 16．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为138.解析：由P (1，14)在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解：(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a 2＋0b 2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆过点P (3,0)，∴0a 2＋9b2＝1，∴b 2＝9，a 2＝81.∴椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 18．(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把点(4，－10)代入双曲线的方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线的方程为x 2－y 2＝6.∴c ＝23，不妨令F 1(－23，0)、F 2(23，0)．∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.19．(本小题12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，联立得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，联立得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2. 此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.21．(本小题12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ，①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.22．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2， ①因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，则t >0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1B C ．2D ．32．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞3．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠ 4．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（）A ．12B 1C ．2D 5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △内切圆的半径大于12，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A B C 1 D 17．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（）A．B．)+∞C．⎛ ⎝ D．8．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（） A．1,2⎛ ⎝⎦B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．(D．)+∞9．点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（） A ．14B ．12C ．2D ．410．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=11．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF2，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C．y x = D．y =二、填空题13．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．14．已知双曲线2219x y m -=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________15．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于3()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 16．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线()31y x =-对称，则a =_____.17．如图，圆O 与离心率为32的椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ，过点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2212d d +的最大值是__________．18．已知双曲线C ：22193x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________.19．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若||2OA b =，则该双曲线的渐近线方程为_____________.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,1P ，且离心率为32，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）求椭圆C 的方程;（2）若APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PM 长度的最小值．24．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211a b +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足3633e ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围． 25．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常数25.5（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 2．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3yx，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，所以>0∆，且3是方程的根，所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意，综上，a 的取值范围为[)1,1-，故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题3．D解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x y m+=上或椭圆内，可得选项. 【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x ym +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.4．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得1e =. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径3()r a c =-，然后根据312r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin120322a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得3()r a c =-，又312r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤ 则3c a ≥31112e ≤<．故选：C6．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率3131c e a -===+ 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.7．A解析：A 【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得232330e e --<，再结合1e >可解得结果. 【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以2323b ac <，所以22323c a ac -<，所以21323e e -<，即232330e e --<，解得333e -<<，又1e >，所以13e <<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式.8．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得62c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.9．B解析：B 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出12k k 的值，利用基本不等式可求得21221k k +的最小值. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=，由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-，所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-，而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k k k +=+≥==，当且仅当18k =±时，等号成立，因此，21221k k +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求得214AQ k k =-，进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.10．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.11．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.12．D解析：D 【分析】结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin12032m n a c m n mn mn a⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,3ba ab a=+=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.二、填空题13．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.14．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27 【分析】根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2∴2ca=，而222c a b =+ ∴27m =故答案为：27 【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值15．【分析】利用切线的性质和勾股定理可得利用椭圆的性质可得的最小值为由题意可得最小值为即可得出离心率满足的不等式再利用得联立两个不等式即可解出的取值范围【详解】因为所以当且仅当取得最小值时取得最小值而的解析：35⎡⎢⎣⎭【分析】利用切线的性质和勾股定理可得||)PT b c =>，利用椭圆的性质可得2PF 的最小值为a c -，由题意可得PT 最小值为()2a c -，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b c >，得222a c c ->，联立两个不等式即可解出e 的取值范围.【详解】因为||)PT b c =>，所以当且仅当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值.而2PF 的最小值为a c -，所以PT 23()2a c -，所以22()4()a cbc --，所以2()a c b c --，所以2a c b +，所以()222()4a c a c +-，所以225302c ac a +-≥，所以25230e e +-.①又b c >，所以22b c >，所以222a c c ->，所以221e <.② 联立①②，得3252e <.故答案为：3,52⎡⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，离心率的计算公式，圆的切线的性质，勾股定理，一元二次不等式的解法，属于基础题16．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)1y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)1y x =-对称，所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a，且MN 与直线垂直，0031y x a，联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去），3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.17．【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知：解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭解析：163【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程，设()00,P x y ，根据勾股定理和12l l ⊥得到()2222012201PMx d y d ==+-+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】由题知：2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，椭圆22:14xT y +=.设()00,P x y ，因为12l l ⊥，则()2222012201PMx d y d ==+-+又因为220014x y +=，即220044x y =-.所以()22222120001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭+-. 因为011y -≤≤，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163. 故答案为：163【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得解析：【分析】先由题意，得到渐近线方程为：y x =，右焦点()F ，OM MN ⊥或ON MN ⊥，分别讨论OM MN ⊥，ON MN ⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出结果. 【详解】因为双曲线22193x y -=的渐近线方程为：3y x =±，右焦点()F ，因此渐近线夹角为60，即60MON ∠=，因为OMN 为直角三角形，所以OM MN ⊥或ON MN ⊥，当OM MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以MN ==；当ON MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由3y x y x⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以MN ==综上，MN =故答案为：【点睛】本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.19．【分析】延长交于点连接由角平分线及垂直可知由双曲线的定义可知结合三角形的中位线性质可求出即进而可求渐近线的方程【详解】解：延长交于点连接由知由双曲线的定义知由可知则所以故答案为:【点睛】本题考查了双解析：12y x =±. 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA ，由角平分线及垂直可知，2PF PQ =，由双曲线的定义可知12FQ a =，结合三角形的中位线性质，可求出1224FQ a OA b ===，即2a b =，进而可求渐近线的方程.【详解】解：延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA .由2,QPA F PA PA PA ∠=∠=知2PF PQ =. 由双曲线的定义知，12112PF PF PF PQ QF a -=-==，由122,FO F O QA F A ==，可知1242FQ OA b a === 则2a b =，所以12b y x x a =±=±. 故答案为: 12y x =±.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线求解.难点在于构造辅助线，推出,a b 的关系.20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，3b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞．【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程；（2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=，124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 22．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y，根据条件得出0m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，0m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()2212223020130201,254254m m m m y y m m --+-++==--()()222230201321123342230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++ ()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值．【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 23．（1）22182x y +=；（2）5. 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率c a =,a b ，得出椭圆方程；（2）可得0PA PB k k +=，设出直线PA 方程，联立直线与椭圆，可得点A 坐标，同理得出点B 坐标，即可求出中点M 坐标，可判断M 在直线20x y +=上，即可求出最小值. 【详解】解：（1）因为椭圆经过点P所以2222211,2a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中222a b c =+，解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆方程为22182x y +=．（2）因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以0PA PB k k +=．设直线PA 的斜率为()0k k ≠，则直线PA 的方程为：()21y k x =-+，设()()1122,,,A x y B x y ，由()2221,1,82y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得()()22214812161640k x k k x k k ++-+--=．则21216164214k k x k--⨯=+，所以21288214k k x k --=+，代入得21244114k k y k--+=+．即2222882441,1414k k k k A k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，同理可得2222882441,1414k k k k B k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭．所以22228241,1414k k M k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭．则M 在直线20x y +=上，所以PM 的最小值为P 到直线20x y +=的距离．即5d ==，此时63,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内，所以PM【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解. 24．（1）12，（2）⎡⎣ 【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得222222()4(4)0a b x a x a b +-+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，又由OP OQ ⊥，得12120x x y y +=，化简可得1212(2)(2)0x x x x +--=，由根与系数的关系分析可得2222222(4)420a b a a b a b--+=++，化简即可得答案；（2）由离心率公式可得2212133b a ≤-≤，即221233b a ≤≤，又由（1）知22222a b a =-，所以22222b a a =-，化简变形即可得答案【详解】解：（1）由222212x y a by x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得222222()4(4)0a b x a x a b +-+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121222224(4),a a b x x x x a b a b-+==++，因为OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=，所以1212(2)(2)0x x x x +--=，化简得1212()20x x x x --+=，所以2222222(4)420a b a a b a b--+=++，化简得221112a b +=，（2）根据题意得，222221c b e a a==-，e ≤≤，所以2212133b a ≤-≤，所以221233b a ≤≤，又由（1）得，22222a b a =-，所以22222b a a =-，所以2122323a ≤≤-，解得258a ≤≤，a ≤2a ≤≤所以长轴长的取值范围为⎡⎣【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由e ≤≤，得221233b a ≤≤，而由221112a b +=得22222a b a =-，从而可得2122323a ≤≤-，进而可得结果 25．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y5=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =-由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键. 26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。

高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准方程课时作业(含解析)北师大版选修2-1-

课时作业12 椭圆及其标准方程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．平面直角坐标系中，已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝3，则动点P 的集合是( D )A ．线段F 1F 2B ．直线F 1F 2C ．以F 1，F 2为直径的圆D ．以F 1，F 2为焦点的椭圆解析：由题知，|F 1F 2|＝2，因为|PF 1|＋|PF 2|＝3>2，所以动点P 的集合是以F 1，F 2为焦点的椭圆．2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为( A )A ．5B ．6C ．4D ．1 解析：由椭圆的标准方程知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以点P 到另一个焦点的距离为10－5＝5.3．方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( D )A ．(3,7)B ．(3,5)∪(5,7)C ．(3,5)D ．(5,7)解析：m 满足⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m <m －3，解得5<m <7.4．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点是(0，－4)，则实数k 的值是( C ) A.18 B ．8 C.132 D ．32 解析：方程为x 212k ＋y21k ＝1，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1k >12k >0，1k －12k ＝16，解得k ＝132.5．已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为( A )A ．9或917B.34或32 C ．9或34D.917或32解析：方程化为标准方程为x 28a ＋y 28＝1，x 21009＋y 24＝1，则8a －8＝1009－4或8－8a ＝1009－4.∴a ＝917或a ＝9.6．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝4，故满足|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝|PF 1|2，故△PF 1F 2为直角三角形．7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12.又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.8．如图，椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上有一点P 到F 1的距离为6，线段PF 1的中点为E ，O 为坐标原点，则|EO |等于( A )A ．2B ．4C ．3D ．5解析：如图，连接PF 2，PE ＝EF 1，F 1O ＝OF 2，则|OE |＝12|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，且|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝4，∴|EO |＝2.二、填空题9．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是x 215＋y 210＝1.解析：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上，知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.10．若椭圆4x 2＋my 2＝4m 的焦距为2，则实数m ＝3或5.解析：由题意知m >0，椭圆方程4x 2＋my 2＝4m 可化为标准方程x 2m ＋y 24＝1.当焦点在x 轴上时，m －4＝1，得m ＝5；当焦点在y 轴上时，4－m ＝1，得m ＝3，所以m ＝3或5.11．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则Γ3解析：不妨设椭圆Γ的标准方程为x 24＋y 2b2＝1，C (x C ，y C )，于是可算得|x C |＝1，|y C |＝1，取C (1,1)，得b 2＝43，2c ＝463.三、解答题12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的标准方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，则a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos30°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(2＋3)|PF 1||PF 2|，∴4＝42－(2＋3)|PF 1||PF 2|＝16－(2＋3)|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12(2－3)， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin30°＝12×12(2－3)×12＝6－3 3. 13．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解析：(1)由已知得c ＝1，则a 2－b 2＝1.又3a 2＝4b 2，故a 2＝4，b 2＝3.所求椭圆方程为x 23＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝1，解得|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2，于是在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝254＋94－42×52×32＝35.——能力提升类——14．椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆周长为4π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则|y 2－y 1|的值为5.解析：由椭圆的定义可知△ABF 2的周长为4a ＝4×5＝20，由内切圆的周长为4π，得内切圆的半径r ＝2，所以S △ABF 2＝12×20×2＝20.又S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 2－y 1|，|F 1F 2|＝8，所以|y 2－y 1|＝5.15．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴为短轴的3倍，直线y ＝x 与椭圆交于A ，B 两点，点C 为椭圆的右顶点，OA →·OC →＝32，求椭圆方程．解：根据题意，得a ＝3b ，C (a,0)．设A (t ，t )(t >0)，则t 2a 2＋t 2b2＝1，∴t ＝32b ，∴OA →＝(32b ，32b )，OC →＝(a,0)． ∵OA →·OC →＝32ab ＝32b 2＝32，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.。

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质课时作业(含解析)北师大版选修2-1

课时作业13椭圆的简单性质时间：45分钟——基础巩固类—-一、选择题1．若椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!,则m的值是（ B )A．3 B．3或错误!C。

错误!D。

错误!或错误!解析：若焦点在x轴上，则a＝错误!，由错误!＝错误!得c＝错误!，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴错误!＝错误!,∴m＝错误!。

所以m的值为3或错误!。

2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0），离心率等于错误!,则C的方程是（ D ）A。

错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C。

错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1解析：由右焦点为F（1，0）可知c＝1,因为离心率等于错误!，即错误!＝错误!，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。

故选D。

3．已知点（m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是（ A ）A．［4－2错误!，4＋2错误!] B．［4－错误!,4＋错误!]C．［4－2错误!，4＋2错误!］D．［4－错误!，4＋错误!］解析：由8x2＋3y2＝24,得错误!＋错误!＝1.∴－错误!≤m≤错误!，4－2错误!≤2m＋4≤4＋2错误!。

4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为（ A ）A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析：依题意4b2＝4ac，∴错误!＝错误!,即1－e2＝e。

∵在椭圆中a2＝b2＋c2，∴e2＋e－1＝0。

∴e＝错误!（舍去负值）．5．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为错误!，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4错误!,则C的方程为（ A ) A。

错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋y2＝1C。

错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1解析：根据条件可知错误!＝错误!，且4a＝4错误!，∴a＝错误!，c＝1,b＝2，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.6．设F1，F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的左、右焦点，P为直线x＝错误!上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ) A。

2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质(一)课时作业北师大版选修2_1

椭圆的简单性质[根底达标]1.椭圆x 2＋8y 2＝1的短轴的端点坐标是( ) A ．(0，－24)，(0，24) B ．(－1，0)，(1，0) C ．(22，0)，(－22，0) D ．(0，22)，(0，－22)解析：选A.椭圆方程可化为x 2＋y 218＝1，焦点在x 轴，b 2＝18，b ＝24，故椭圆的短轴的端点坐标为(0，－24)，(0，24)． 2.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，那么焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D.由题意知焦点在y 轴上，a ＝13，b ＝10，∴c 2＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．3.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1 B ．－2－m mC.2mmD ．－21－m m －1解析：选C.将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m＝1，那么必有m >0. ∵m ＋1>m >0，∴1m ＋1<1m. ∴a 2＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2m m.4.假设椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，那么椭圆的标准方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B ．x 225＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 29＝1 解析：选B.2a ＋2b ＝18，即a ＋b ＝9，又c ＝3，∴9＝a 2－b 2，∴a －b ＝1，∴a ＝5，b ＝4，又焦点在x 轴，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.5.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，假设∠ABC ＝90°，那么该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B.5－1 C.2＋12D ．2＋1解析：选△AOB ∽Rt △BOC ，∴a b ＝b c，即b 2＝ac ，又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ，即c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，又e ∈(0，1)， ∴e ＝－1＋52.6.椭圆的长轴长为20，离心率为35，那么该椭圆的标准方程为________．解析：2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝35，∴c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64.故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝17.假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是________．解析：由题意2a ，2b ，2c 成等差数列，即a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ①，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )，∴a －c ＝b2②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b 4c ＝3b4，∴e ＝c a ＝35.答案：358.与椭圆y 24＋x 23＝1有一样的离心率且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长一样的椭圆的标准方程为________．解析：易求得椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为12，椭圆x 28＋y23＝1的长轴长为42，设所求椭圆的半长轴，半短轴，半焦距，离心率依次为a ，b ，c ，e 那么a ＝22，e ＝c a ＝12，∴c ＝12a＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝19.椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －mm ＋3＝m 〔m ＋2〕m ＋3>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m 〔m ＋2〕m ＋3.由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程的x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－32，0)，(32，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，12)．10.椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程．解：设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.[能力提升]1.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB的距离为2b ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B ．2－ 2 C.2－1D ．3－ 2解析：选C.A (a ，0)，直线BF 的方程为x －c ＋y b ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由题意得|ab ＋bc |b 2＋c 2＝2b ，即a ＋c a ＝2，1＋c a ＝2，ca＝2－1，∴e ＝2－1. 2.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .假设|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，那么椭圆C 的离心率e ＝________．解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8.所以∠BFA ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即ce ＝57.答案：573.求经过点M (1，2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有一样离心率的椭圆的标准方程．解：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故所求椭圆方程为x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即x29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.4．F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，那么m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·(m ＋n2)2＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12. 又0<e <1，∴e 的取值范围是[12，1)．(2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，∴S △F 1PF 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．。

2020高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质(二)课时作业北师大版选修2-1

3.2.2 抛物线的简单性质[基础达标]1.过点(－1，0)且与抛物线y 2＝x 有且仅有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.点(－1，0)在抛物线y 2＝x 的外部，过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条．其中两条切线，一条相交直线(平行x 轴)．2.过抛物线y ＝x 2上的点M (12，14)的切线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.由题意可设切线方程为y －14＝k (x －12)，代入y ＝x 2，化简得4x 2－4kx ＋2k －1＝0，由Δ＝16k2－16(2k －1)＝0，得k ＝1，∴切线的倾斜角为45°.3.抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18 B ．14 C.12D ．1解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1y ＝x 消去y 整理得ax 2－x ＋1＝0，由题意a ≠0，Δ＝(－1)2－4a ＝0.∴a ＝14.4.抛物线y ＝x 2上一点到直线2x －y －4＝0的距离最小的点的坐标是( ) A ．(12，14)B ．(1，1)C ．(32，94)D ．(2，4)解析：选B.令y ＝x 2的切线方程为2x －y ＋c ＝0，代入y ＝x 2整理得x 2－2x －c ＝0.由Δ＝(－2)2＋4c ＝0，∴c ＝－1，∴x ＝1，y ＝1.切点(1，1)到直线2x －y －4＝0的距离最小．5.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23D ．223解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，①∵|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|FA |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2.② 由①②得x 2＝1，∴B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.故选D.6.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：设切线为4x ＋3y ＋C ＝0，代入y ＝－x 2整理得3x 2－4x －C ＝0，由Δ＝(－4)2＋12C ＝0得，C ＝－43，故最小距离为8＋4342＋32＝2815. 答案：28157.设已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式作差，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝4y 1＋y 2＝44＝1，又直线l 过(2，2)，故l 的方程为y ＝x . 答案：y ＝x8.将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则n ＝________．解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y 轴，又过焦点与x 轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．答案：29.已知顶点在原点，焦点在x 轴的负半轴的抛物线截直线y ＝x ＋32所得的弦长|P 1P 2|＝42，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，把直线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋32，y 2＝－2px ，消元得x 2＋(3＋2p )x＋94＝0①，判别式Δ＝(3＋2p )2－9＝4p 2＋12p >0，解得p >0或p <－3(舍)，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则①中由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(3＋2p )，x 1·x 2＝94，代入弦长公式得1＋1·（3＋2p ）2－9＝42，解得p ＝1或p ＝－4(舍)，把p ＝1代入抛物线方程y 2＝－2px (p >0)中，得y 2＝－2x . 综上，所求抛物线方程为y 2＝－2x .10.A 、B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点．证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA ⊥OB ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0，A ，B 在抛物线上⇒y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1·y 2＝－4p 2x 1·x 2＝4p 2， l AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)，∴y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －y 212p )，∴y ＝2p y 1＋y 2·x －y 21y 1＋y 2＋y 1＝2p y 1＋y 2·x －4p 2y 1＋y 2 ＝2py 1＋y 2(x －2p )， ∴直线AB 过定点(2p ，0)．[能力提升]1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)有且只有一个公共点，则( ) A ．r ＝a ＝p B ．r ＝a ≤p C ．r <a ≤pD ．r <a ＝p解析：选B.当r <a 时，根据圆与抛物线的对称性可知，圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当r >a 时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当r ＝a 时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x －a )2＋2px ＝r 2(x ≥0)有且仅有一个解x ＝0，可得a ≤p .故选B.2.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0，即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（1－2a ）≥0，a 2－a ≥0，（1－2a ）2－4（a 2－a ）>0，解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)3.已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点，当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝8＋p 2，又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，由这三个表达式及p >0得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题意可设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4），得x 2－4kx －16k ＝0， ∴x 0＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，由Δ＝16k 2＋64k >0得k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．4．已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值.解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2| ＝82|x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t <0时，|MN |＝2 2（5t ＋35）2＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.。

2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2双曲线的简单性质课时作业北师大版选修2_1

双曲线的简单性质[根底达标]1．双曲线x 2－y 23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，那么双曲线方程为( ) A.x 28－y 224＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.焦点在x 轴上.b a＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2， ∴a 2＝4，b 2D.3.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，那么它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，那么以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B ．1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，那么 |AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，假设双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，那么实数a 的值为( )A.19 B ．14 C.13D ．12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4.∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a，由题意41＋a＝1a，∴a ＝19.6.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右〞四个区域(不含边界)，假设点(1，2)在“上〞区域内，那么双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝b a<2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(b a)2<5，又e >1，∴e ∈(1，5)．答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，那么|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，假设顶点到渐近线的距离为1，那么双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a |1＋〔3〕2＝1，∴a ＝2，又b a ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y 243＝1.答案：x 24－y 243＝1 9.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14.所以所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±ba x ，那么b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b2x 236－y 212＝1. 法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，那么另一条渐近线方程为x ＋3y＝0.双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2，所以λ＋λ3＝48，那么λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.10.中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝〔－62k 〕2＋36〔1－3k 2〕＝36〔1－k 2〕>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，那么x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，应选A.2.假设点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，那么OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，那么有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这说明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这说明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝〔－2km 〕2－4〔3－k 2〕〔－m 2－12〕>0.① x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2＝(1＋k2)·[(x1＋x2)2－4x1x2]＝24＋384k2〔k2－3〕2.当k＝0时，|PQ|2＝24＋384k2〔k2－3〕2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2>24，所以|OP|2＋|OQ|2的最小值是24.。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程课时跟踪训练含解析北师大版选

第三章圆锥曲线与方程[A 组基础巩固]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A2．已知△ABC 的两个顶点的坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析：顶点C 到两个定点A ，B 的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程．答案：D3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2，又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4.又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：C4．“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0m －5>07－m ≠m －5，解得5<m <7且m ≠6，所以“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.答案：C5．已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1交椭圆于另一点A ，则△PAF 2的周长为( )A ．10B ．16C ．20D ．40解析：设△PAF 2的周长为l ，则l ＝|PA |＋|PF 2|＋|AF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|AF 1|＋|AF 2|)＝2×10＋2×10＝40.答案：D6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝1 7．若方程x 2a2－y 2a＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值X 围是________；若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值X 围是________．解析：方程变形为x 2a 2＋y 2－a＝1，当焦点在y 轴上时，有－a >a 2，所以－1<a <0；当焦点在x 轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>－a ，－a >0，所以a <－1.答案：－1<a <0 a <－18．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程．(2)焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点M (3，－26)．解析：(1)由焦点在y 轴上，故设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1.∵点(1,23)和(2,0)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＋12a2＝1，4b 2＋0a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝4.故所求的椭圆方程为x 24＋y 216＝1.(2)由焦点在x 轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c ＝2.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(3＋2)2＋(－26)2＋(3－2)2＋(－26)2＝12，所以a ＝6.所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32.因此，所求椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1. 10．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解析：(1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.[B 组能力提升]1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)中，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，相加得|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－|AF 1|－|BF 1|＝4－|AB |.∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |，∴|AB |＝43.答案：C2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6.答案：A3．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |·sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.所以点P 的坐标为(c2，32c )，即(1，3)，所以1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3.答案：234．设P 是椭圆 x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝6. 答案：65．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍．解析：原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即{(x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧ x ＝－154y ＝347或⎩⎨⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为(－154，347)或(－154，－347)．6．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且点P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k PA ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k PA ＝yx ＋5，k PB ＝yx －5.所以k PA ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×(1－x 225)＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k PA ·k PB ＝y 2x 2－25，得k PA ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k PA ·k PB 为定值，这个定值是－1625.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)

一、选择题1．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（）A ．12B 1C D 2．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 3．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D 4．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB p =（） A ．1B ．32C ．2D ．36．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（） A ．23- B ．21- C ．21+D ．23+7．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为3a ，则离心率e 的取值范围是（）A ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．71,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭8．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆9．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4310．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF 23a ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)16．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.17．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.18．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．19．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.20．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，一条准线方程为x （1）求椭圆C 的方程；（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH 的面积为5，求OG 的斜率. 22．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.23．已知椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .（1）若e ＝2，求椭圆的方程；（2）设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2<e ≤2，求k 的取值范围. 24．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右顶点，AB =2e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．B解析：B 【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，()222222222222224114a c b a c ab AB a b a b a b -⎛⎫∴=+-⋅= ⎪+++⎝⎭，212222M x x a cx a b +==+，直线PM 的斜率为1-，P MPM x x c a b ∴=-=+3||4||AB PM =，即222434aba b c a b ⨯=++，解得3c e a ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.3．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.4．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PFPF =，∴1230PF F ∠=，又212PFPF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．5．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2p x =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =，即2212b a+=，则3b a =， A ，B 两点的纵坐标分别是32=±py ，又AOB 的面积为3，可得1··3322=p p ，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．6．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.7．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b ka<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：e >故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.8．B解析：B 【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线. 【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆；当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆；当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆；当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.9．B解析：B 【分析】由2POF2=.c把(P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF2= 解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛= ⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．D解析：D 【分析】结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin1202m n a c m n mn mn ⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,ba ab a=+=所以双曲线的渐近线方程为y =. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得2222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)4y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.16．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：23⎛- ⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可.【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得122323,y y ==，故33m =-.易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为23⎛- ⎝⎭. 故答案为：23⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.17．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：333【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(12121232S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为3P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.18．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =，由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=，即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =，所以2c e a ===【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.19．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①221x y +≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤221x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点22(,22A ，22()22B -，22(22C --，22(22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在2C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.20．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故解析：22198x y【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．【详解】解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切， 12||||156MM MM R R ∴+=++-=， 1212||||||MM MM M M +>，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =，解得3a =， ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为：22198x y ，故答案为：22198x y ．【点睛】本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．三、解答题21．（1）22193x y += （2）k =k =【分析】（1）由离心率可得c a =2a c ，结合222b a c =-可得答案.（2）设直线OG 的方程为y kx =，则0k >，可得出点G 的坐标，求出OG 的长度，由OG OH ⊥，则1OHk k=-，从而可得OH 的长度,由12GOHS OH OG =⨯⨯=建立方程可得答案. 【详解】（1）由离心率c e a ==，一条准线方程为x =2a c两式相乘可得23c a a a c ⨯===，所以c则222963b a c =-=-=所以椭圆C 的方程为：22193x y +=（2）由G 在第一象限，设直线OG 的方程为y kx =，则0k >由22193y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22931x k =+，则222931k y k =+所以OG == 由OG OH ⊥，则1OHk k =-，所以OH ==所以2119225GOHSOH OG =⨯⨯=⨯=化简得4231030k k -+=，解得23k =或213k =所以直线OG 的斜率为k =k =【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据三角形面积求直线斜率，解答本题的关键是设出直线OG 的方程为y kx=，表示出OG =OH =的长度，由12GOHSOH OG =⨯⨯=建立方程，属于中档题. 22．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=-所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=，所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±.（2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =，所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y +所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以0074x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1(274M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,274M N ⎛ ⎝⎭- 所以直线l的斜率为k =，所以直线l的方程为4)y x =+②002N M MN x x x =-=+-=【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 23．（1）221123x y +=；（2）(,)-∞⋃+∞【分析】(1) 根据右焦点为F 2(3，0)，以及c a =a ，b ，c 即可. (2)联立22221y kxx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，根据M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，且坐标原点O 在以MN为直径的圆上，易得OM ⊥ON ，则四边形OMF 2N 为矩形，从而AF 2⊥BF 2，然后由22F A F B ⋅=0，结合韦达定理求解.【详解】(1)由题意得c ＝3，c a =所以a =又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为221123x y +=.(2)由22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝22222a b b a k-+ ，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为2F A =(x 1－3，y 1)，2F B = (x 2－3，y 2)，所以22F A F B ⋅= (x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即()222222(9)190(9)a a k a k a --++=+-，将其整理为k 2＝4242188118a a a a -+-+ ＝－1－428118a a -.因为2<e≤2，所以a12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k∈(,)-∞⋃+∞ 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由O 在以MN 为直径的圆上，即OM ⊥ON ，得到四边形OMF 2N 为矩形，推出AF 2⊥BF 2，结合韦达定理得出斜率k 与离心率e 的关系. 24．（1）24y x =；（2）2. 【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，则2p =，因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴，所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k-+++++===，所以MF NF ⋅的值为2. 【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.25．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. 【详解】（1）2AB=2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率2e =2c a ∴=，1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-+--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭21312mm y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-+++⎣⎦=⎡⎤-+++⎣⎦((()(213121m m y⎡⎤-+-+++=()221121m m y⎡⎤--++=(213==+3=+2x = 此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭P 横坐标为定值，即可求解. 26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证；（2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解.【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---，即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立，得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△ 故有122S S =【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。

2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课时作业含解析北师大版选修2_1

课时作业18 曲线与方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( C )A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：方程x2＋xy＝x可变形为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，因此方程x2＋xy＝x表示的曲线是两条直线．2．下列说法正确的是( B )①x＋42＋y2－x－42＋y2＝0；②x＋42＋y2＋x－42＋y2＝14；③|x＋42＋y2－x－42＋y2|＝6；④|x＋42＋y2－x－42＋y2|＝18.A．①表示无轨迹，②的轨迹是射线B．②的轨迹是椭圆，③的轨迹是双曲线C．①的轨迹是射线，④的轨迹是直线D．②④均表示无轨迹解析：x＋42＋y2－x－42＋y2表示点(x，y)到点(－4,0)与到点(4,0)的距离的差，因此①的轨迹是连接点(－4,0)和(4,0)的线段的垂直平分线；x＋42＋y2＋x－42＋y2表示点(x，y)到点(－4,0)与到点(4,0)的距离的和，因此②的轨迹是椭圆；③的轨迹是双曲线；④表示无轨迹．3．到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是( B )A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝3B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9C．(x－1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y－2)2＝9解析：轨迹是以(－1，－2)为圆心，以3为半径的圆．4．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( B )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y＝|x|的曲线如图(2)．∴“点M 在曲线y ＝|x |上”⇒“点M 到两坐标轴距离相等”．故选B.5．已知mn ≠0，则方程mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系下的图形可能是( A )解析：方程mx ＋ny 2＝0即y 2＝－m nx ，表示抛物线；方程mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)表示椭圆或双曲线或不表示任何图形．当m 和n 同号且为正时，抛物线开口向左，方程mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)表示椭圆，无符合条件的选项．当m 和n 异号时，抛物线开口向右，方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线．6．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( A )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析：因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.又因为焦点在x 轴上，所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．7．已知A ，B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，则M 点的轨迹方程是( D )A.x225＋y21009＝1B.x225＋y21009＝1(x≠±5)C.x22554＋y225＝1D.x22554＋y225＝1(x≠0)解析：设M点的坐标为(x，y)，则k MA＝y＋5x，k MB＝y－5x.由题知y＋5x·y－5x＝－49(x≠0)，整理，得x22254＋y225＝1(x≠0)．故选D.8．已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，P为曲线|x|5＋|y|4＝1上任意一点，则( B ) A．|PF1|＋|PF2|≥10B．|PF1|＋|PF2|≤10C．|PF1|＋|PF2|>10D．|PF1|＋|PF2|<10解析：∵F1(－3,0)，F2(3,0)，∴满足|PF1|＋|PF2|＝10的点在以点F1，F2为焦点，2a ＝10的椭圆上，可得椭圆的方程为x225＋y216＝1.∵曲线|x|5＋|y|4＝1表示的图形是以A(－5,0)，B(0,4)，C(5,0)，D(0，－4)为顶点的菱形，如下图，∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线|x|5＋|y|4＝1上的点P必定满足|PF1＋|PF2|≤10.二、填空题9．已知方程mx2＋ny2－4＝0经过点A(1，－2)，B(－2,1)，则m＝45，n＝45.解析：将两点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4n －4＝0，4m ＋n －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝45.10．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.解析：由题意，OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)，则OP →·OA →＝x ＋2y ，由题设可得x ＋2y ＝4，即x ＋2y －4＝0.即点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.11．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0.由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是x ＝32.解析：由⊙O ：x 2＋y 2＝2，⊙O ′：(x －4)2＋y 2＝6知两圆相离，记切点分别为T 、Q ，则|PT |＝|PQ |.如图：而|PT |2＝|PO |2－2，|PQ |2＝|PO ′|2－6.∴|PO |2－2＝|PO ′|2－6.设P (x ，y )，则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6.即8x ＝12，即x ＝32.三、解答题12．曲线上的点P (x ，y )到定点A (0，－2)的距离和到定直线y ＝－8的距离之比为12，求曲线方程．解：设d 是点P 到直线y ＝－8的距离，则d ＝|y ＋8|.由题意知，曲线上的点P 满足|PA |d ＝12，由此得x 2＋y ＋22|y ＋8|＝12，化简整理得4x 2＋3y 2＝48，即所求曲线方程为y 216＋x 212＝1.13．半径为R 的圆过原点O ，圆与x 轴的另一个交点为A ，构造▱OABC ，其中BC 为圆在x 轴上方的一条切线，C 为切点，当圆心运动时，求B 点的轨迹方程．解：设圆心为M (x 0，y 0)，B (x ，y )，A (2x 0,0)，C (x 0，y 0＋R )，∵|OA |＝|CB |，∴x ＝3x 0. 又BC 为圆的切线，得y ＝y 0＋R . ∴x 0＝x3，y 0＝y －R .∵|OM |＝R ， ∴x 20＋y 20＝R 2.∴x 29＋(y －R )2＝R 2(x ≠0)． ——能力提升类——14．关于曲线C ：x 4＋y 2＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y ＝x 对称； ③曲线C 围成的面积大于π； ④曲线C 围成的面积小于π. 上述命题中，真命题的序号为①③.解析：对于①，将方程中的x 换成－x ，y 换成－y ，方程不变，所以曲线C 关于原点对称，故①是真命题．对于②，将方程中的x 换为y ，y 换为x ，方程变为y 4＋x 2＝1与原方程不同，故②是假命题．对于③，在曲线C 上任取一点M (x 0，y 0)，则x 40＋y 20＝1，∵|x 0|≤1，∴x 40≤x 20，∴x 20＋y 20≥x 40＋y 20＝1，即点M 在圆x 2＋y 2＝1上或圆外，故③是真命题，④是假命题．15．两直线分别绕点A (a,0)和点B (－a,0)旋转，它们在y 轴上的截距分别为b ，b 1，且bb 1＝a 2(a 为非零常数)，试求：两直线交点的轨迹方程．解：设M (x ，y )是两直线的交点，则M (x ，y )满足两直线所确定的方程y ＝－b a (x －a )，y ＝b 1a(x ＋a )．将上面两个方程相乘，得y 2＝－bb 1a2(x 2－a 2) ①.将bb 1＝a 2代入①，得y 2＝－x 2＋a 2，即x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．故两直线交点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．。