2020年全国高考数学第二轮复习 选修4—1 几何证明选讲 理

选修4—1 几何证明选讲

真题试做

1．(2020·北京高考，理5)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )．

A ．CE ·C

B ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·AB

C ．A

D ·AB ＝CD 2 D ．C

E ·EB ＝CD 2

2．(2020·天津高考，理13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB

＝1，EF ＝3

2

，则线段CD 的长为________．

3．(2020·课标全国高考，理22)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：

(1)CD ＝BC ；

(2)△BCD ∽△GBD . 考向分析

从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及其性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档．

预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视．

热点例析

热点一 相似三角形问题

【例１】如图，点P 是⊙O 的直径CB 的延长线上一点，PA 和⊙O 相切于点A ，若PA =15，

PB=5.

(1)求tan∠ABC 的值；

(2)若弦AD 使∠BAD =∠P ，求AD 的长．

规律方法 在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题： (1)应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形． (2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件． (3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线．

(4)如果有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决．

变式训练1 如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作一直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .

(1)证明OM ·OP =OA 2

；

(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K ，证明∠OKM ＝90°.

热点二 有关圆的切线、弦切角问题

【例２】如图，已知圆上的弧»

»AC BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：

(1)∠ACE ＝∠BCD ；

(2)BC 2

＝BE ·CD .

规律方法 与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：

(1)若两圆相切，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系．

(2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系． 变式训练2 如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．

求证：AB ∶AC 为定值．

热点三圆内接四边形的判定与性质

【例３】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB=1，

PD=3，则BC

AD

的值为__________.

规律方法有关圆内接四边形问题的处理思路：

(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系以及外角与其内对角的相等关系等．

(2)通常情况下先把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，再利用题设条件来解决问题．

(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成．

变式训练3 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

(1)证明：CD∥AB；

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

热点四有关与圆相关的比例线段问题

【例４】如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是∠CBD的角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O 是△BDE的外接圆．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)如果AD=6，AE BC的长．

规律方法与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析，当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节．

变式训练4 如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA ＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为__________．

1．如图，ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BC BM －

AB

BN

的值等于( )．

A ．12

B ．1

C ．32

D ．23 2．(原创题)如图，矩形ABCD 中，D

E ⊥AC 于点E ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．(2020·北京丰台区3月模拟，12)如图所示，Rt△ABC 内接于圆，∠ABC ＝60°，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆于点D .若PA ＝AE ，PD ＝3，BD ＝33，则AP ＝__________，AC ＝__________.

4．(2020·湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O 的直径为6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过点C 作圆的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝__________.

5．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则

BD

DA

__________.