radon变换
Radon变换知识讲解
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
Radon变换综述
Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。
当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。
,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。
这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。
Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。
但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。
由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。
因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。
首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。
对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。
现代信号处理方法2-1
第二章 Radon-Wignel 变换2.1 Radon 变换Radon 变换是Radon J .于1917年提出的，随着快速Fourier 变换广泛应用和改进，Radon 变换已成为医学成像和其它许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视，诸如医学上的X 射线层析成像（CT ）就是Radon 变换的应用之一。
1962年，Hough P .又从图形特征检测角度提出了Hough 变换。
由于以直线图形为特征的Radon 变换与Hough 变换相当，所以在有些文献里，把Radon 变换与Hough 变换视为等同概念。
Radon 变换是一种直线积分的投影变换。
如图2.1.1所示，将原直角坐标旋转α角得到新的直角坐标),(v u ，这时以不同的u 值平行于v 轴积分，所得的结果即为Radon 变换。
由图2.1.1可以看出，实际上Radon 变换相当于广义的边缘积分，也相当于一种投影积分（对u 积分投影）。
为在一般意义上讨论Radon 变换，设二维平面),(ωt 有一任意的二维函数（如非平稳信号的时－频分布）),(ωt f ，则其Radon 变换可写成⎰=线PQ dv t f u P ),()(ωα （2.1.1） 利用三角运算，可以得出),(ωt 与),(v u 两平面坐标之间的关系为: ⎩⎨⎧+=-=ααωααcos sin sin cos v u v u t （2.1.2）将（2.1.2）代入（2.1.1）得⎰+-=线PQ dv v u v u f u P )cos sin ,sin cos ()(ααααα （2.1.3） 由（2.1.3）可以看出Radon 变换)(u P α是关于α和u 的二维函数，通常用符号),(αu P f 表图2.1.1 Radon变换的几何关系 ωf示),(ωt f 的Radon 变换。
若用ℜ表示Radon 变换算子，则（2.1.3）可换写成 ⎰+-==ℜ线PQ f dv v u v u f u P t f )cos sin ,sin cos (),()],([αααααω ''''''')()cos sin ,sin cos (⎰⎰∞∞-∞∞--+-=dv du u u v u v u f δαααα （2.1.4）而Hough 变换是一种特征检测方法，它可以将平面（可以推广为空间）里符合某种特征的图形映射为另一个二维平面上的一个点。
Radon变换资料讲解
写成极坐标形式为：
f
x,
y
0
d
q
F
qt
exp
j
2qpdp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F 1 q F q tF 1 q F 1 F q t
• 上式等号右边的第二项等于Radon变换 Rf x,y
• 4、平移性
• 给定 R f x, y Rf p, cos ,sin ，则对任意的常数
a和b，f x a, y b的Radon变换可以如下计算：
R f x a, y b Rf p a cos bsin,t
• 5、微分
•
这里只考虑 到。
f x
，其他结果可以用相同的方法得
f
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
• 将 q 的1-D傅里叶反变换表示为：
F1
q
F
1 q
sgn
q
F
1j2q
F
1
sgn q
j2
• 利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一 个反变换表示为：
F -1 j2 p
• 利用柯西值 ，可将上式第2个等号右边的第2 个反变换表示为：
• 正变换：图像空间到其他空间 • 反变换：其他空间到图像空间
Radon变换与CT扫描技术
如何利用边界上的可测值来反 演源函数f(x,y)的分布
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22
二维椭圆型偏微分方程 f 中源函数
f(x,y)的Radon变换式实质上是某个特定函数
(
x,
y(x, x
y0
))
z(
x,
y0
)
在左右边界上的差值,
通过计算可方便求出.
第二章 现代数学的应用
Radon变换与CT扫描技术
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1
一 、背景
• 奥地利数学家Radon分别在1917年和1919年
分别提出了Radon变换和Radon逆变换；
• Radon积分——CT技术的物理过程; • Radon反变换——CT技术图像重建过程; • 1972年，英国EMI公司制作了第一幅CT图
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2.带线性
如果f (x, y) 0, x D / 2, y D / 2,
则g(s, ) 0, s D* 2 / 2
3.对称性
即 g(x, ) g(s, )
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4.周期性
g(x, ) g(s, 2 ), k为整数.
5.位移性
如果f(x,y)的Radon变换为 g(s, ) ,那么
Radon反变换揭示了CT技术中图象重 建的基本方法,即在CT投影数据的基础上 依次进行滤波操作和反投影操作,方便地 重建出原始数据的图象.
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三、 Radon变换特性:
1.线性.
如果 f1(x, y), f2(x, y) 的Radon变换分别为 g1(x, y), g2 (x, y) ,那么, a1 f1(x, y) a2 f2 (x, y) 的 Radon变换是 a1g1(x, y) a2g2 (x, y) .
Radon变换
f x, y
0
d q F qt exp j 2qp dp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F q F qt F q F F qt
R f ( p, ) f ( x, y) ( p x cos y sin )dxdy
- -
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出， 所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积 分。 Rf (p , ) 并不是定义在极坐标系统中的， 注意： 而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如 下：
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展 函数（PSF）和原始图像都恢复出来。 • 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
• 经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像 有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复， 但是点扩展函数 (PSF)的信息在实际中很难获取 或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验 知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS... 展开 在获取图像的过程中有许多因素会 导致图 像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气 扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的 模糊和变形。
R f ap, at
拉冬变换
图七 f-ρ域映射到F-X域的频谱图
图八 F-X域Radon变换后返回到t-x域
的信号图
模型测试与分析
为了更加明确的看到Radon变换前后信号是否相近，我们取Radon变换 前后t-x域中的第5道数据进行比较，如图九所示。
图九 F-X域Radon前后t-x域信号比较
模型测试与分析
从图九我们可以看到F-X域Radon变换前后两信号重叠， 同样，图四与图八、图五与图七也表明了F-X域Radon变 换前后信号的一致性，因此，返回到t-x域，保持了波 的形态，说明该算法是稳定的。
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
（，） d ( x, t x ) x （， =t- x） d '( x, t )
2.4
Radon变换原理
2.2 F_X域拉当变换的数学原理
由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算 时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为：
在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集 是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发 散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立 叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
拉冬变换数学基础
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
Radon变换
Radon变换Radon变换:又称为Hough Transform (数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37)考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。
则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。
通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。
在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线 y=2x-3;变换 -3=-2x+y; 其中：a=-2,b=-3 若有两个点在XY平面:（0，-3），（2，1），此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。
即：xcosθ+ysinθ=ρ基础补充：直角坐标系：xcosa+ycosa=0 （a为一个常角，特如45度，则明显是y= -x的直线）下面通过极坐标转换来更进一步说明其普遍性：因为直角坐标与极坐标变换公式为x=ρcosθ，y=ρsinθ，其中ρ是极半径，θ是极角。
代入所给的直线方程得ρcosθcosa+ρsinθsina=0，即ρcos(θ-a)=0，而ρ≠0，所以有cos(θ-a)=0，θ-a=π/2，即此直线方程为θ=a+π/2。
极坐标的参量：是角度和极半径（也等于弦长吗）设原点O到直线L的距离为p并且L的垂线OD的倾斜角为a，则L的方程为xcosa+ysina=p（a、p 为常数，a为与X轴夹角，P为直线与原点距离）D点的坐标：xd=pcos ayd=psin a直线L上任一点A的坐标设为：（x，y），根据两点式直线方程，可得出：（x-xd）/(yd-y)=tan a,即：(x-pcos a)/(psin a-y) = sin a / cos a,最后导出： xcos a+ysin a =p即所求 =45度，X`=-75左右。
意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。
2_3---radon变换
关于radon变换Radon变换，先是图像在某个方向上的投影后，将重叠在一起的像素的大小加在一起得到的一组数据。
比如如下的一个正方形：a=ones(100,100);%用上述的语句画一个正方形。
b=radon(a,0);%这句话表示在0度这个方向，也就是水平轴方向的投影后对重合的像素点进行求和，图像如下：45度的radon变换如下图所示：可以验证radon变换就是将图像投影到一个方向后，再对这个方向上的投影点重合在一起的所有像素点加在一起。
求所有角度的radon变换：Theta=0:179;c=radon(a,theta);imshow(c);colormap(jet);colorbar;上图中，x 轴上第一个点代表的东西是一个角度数，Y 轴上的一串点对应的就是上面在这个度数下的radon 变换数据，只不过用plot 画的时候，是在一维空间画的，现在画的是二维的空间。
从图中我们可以看出来，随着投影角度的越来越大，投影的长度也越来越大，中心值有大小 也越来越大，这些都可以验证radon 变换。
判定图像中的直线pic=imread('e:\test11.jpg'); figure(1); imshow(pic); title('彩色图像');figure(2); pic=rgb2gray(pic); imshow(pic); title('灰度图像');pic=edge(pic); figure(4);imshow(pic);title('边缘图像');figure(5);pic=double(pic); theta=0:179;r=radon(pic,theta);imshow(r,[]);colormap(hot);colorbar;从radon 变换图中，根据极值点，就可以判断出来原图中的直线了。
Radon变换ppt课件
形式为：
因 为 f x , y 可 用 F （ u , v ) 的 2 D 傅 里 叶 反 变 换 表 示 ， 写 成 极 坐 标
f ( x ,) y d [ q F ( q t ) e x p ( j 2)] q p d p
Radon变换
目录
1、Radon变换定义 2、Radon变换基本性质
3、Radon反变换
1、Radon变换定义
图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性 质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空 间以得到所需的效果。 正变换： 图像空间到其他空间 反变换： 其他空间到图像空间
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
[pt ,] f R f [ ]c o s x p
(6)卷积 这里用 表示1-D卷积，而用 表示2-D 卷积以示区别。对Radon变换的卷积定理可 ( x ,) yg ( x ,) y h ( x ,) y 如下表示：如果 f ，那么对
2、Radon变换基本性质
(5)微分 这里仅考虑 ，其他结果可用相同方法得到。
f x
e ) f fx [ ( , y ] fx (, y ) c o s i m e xl e 0 c o s
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ p e ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
radon变换构造频域算子
radon变换构造频域算子
Radon变换是一种用于图像处理和计算机视觉任务中的频域算子，它可以将图像从空域转换到频域，用于提取图像中的频域特征。
Radon变换的基本思想是将图像中的像素值在不同的角度上进行投影，然后对每个投影进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
这样可以得到一组频域投影数据，用于描述图像的频域特征。
具体的Radon变换可以按照以下步骤进行构造：
1. 选择一组角度值，例如0°、45°、90°、135°等。
2. 对于每个角度，将图像中的像素值沿该角度进行投影。
投影可以使用正弦和余弦函数来实现，计算每个像素在投影线上的位置和对应的像素值，并将其累加得到投影值。
3. 对每个投影值进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
4. 将得到的频域投影数据进行合并或处理，可以通过加权平均或选择特定频率范围的响应来提取图像的频域特征。
Radon变换可以用于图像恢复、图像分析、医学图像处理等领域，可以提取图像中的纹理信息、边缘信息等频域特征，对图像的处理和分析具有重要作用。
Radon变换图像重构
适用于需要从投影数据中重建出完整图像的场景，如CT成像、三 维重建等。
03 Radon变换的算法实现
离散Radon变换算法
离散Radon变换算法是一种将图像投影到一系列方向上的算法，通过在每个方向上 对图像进行投影，可以得到一组投影数据。
该算法通常使用快速傅里叶变换（FFT）来实现，可以在较短的时间内完成对大规模 图像的变换。
性质
Radon变换具有线性、可逆性和空间 不变性等性质，广泛应用于图像处理 和计算机视觉领域。
Radon变换的数学表达
数学表达式
Radon变换可以表示为将图像函数f(x, y)投影到射线θ=α，其中α是射线与x轴 的夹角，通过积分得到投影数据P(α, t)，即对每个角度进行积分运算。
逆变换
对于给定的投影数据，可以通过逆Radon变换重构原始图像。逆变换的过程是 通过对每个角度进行反投影运算，得到重构图像的像素值。
机器学习算法在Radon变换中的应用
利用机器学习算法对Radon变换进行改进，例如支持向量机、随机森林等，以提高图像重构的准确性和效率。
特征提取与分类
通过机器学习算法对Radon变换后的图像进行特征提取和分类，以实现更加精准的图像重构。
基于深度学习的Radon变换改进
深度学习模型在Radon变换中的应用
加鲜明。
细节提取
02
利用Radon变换的特性，可以从图像中提取出更多的细节信息，
提高图像的分辨率。
应用场景
03
适用于需要增强图像对比度和细节的场景，如安防监控、医学
影像分析等。
图像重建
逆Radon变换
通过逆Radon变换，可以从投影数据中重建出完整的图像。
投影数据获取
radon变换原理
radon变换原理Radon变换原理是一种常用于图像处理和分析的数学方法，它能够将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息。
通过对图像进行Radon变换，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。
Radon变换的基本原理是利用投影将二维图像转换为一维信号。
首先，将图像沿着一定方向进行投影，得到一系列的投影线。
然后，将每条投影线上的像素值相加，得到一维信号。
通过变换不同的方向，可以得到一系列的一维信号，从而提取出图像中的特征信息。
Radon变换的过程可以用数学公式来表示，但为了避免输出公式，下面通过描述来解释Radon变换的原理。
假设有一幅二维图像，其像素值可以表示为一个矩阵。
我们需要将这个矩阵转换为一维信号，首先选择一个方向，比如水平方向。
然后，将每一行的像素值相加，得到一个一维信号。
这个一维信号表示了图像在水平方向上的投影信息。
同样地，我们可以选择其他的方向，比如垂直方向、45度方向等，得到相应方向上的投影信息。
通过Radon变换，我们可以得到图像在不同方向上的投影信息，从而实现对图像的特征提取。
例如，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行适当的处理，可以实现边缘检测。
边缘是图像中像素值变化较大的区域，通过对投影信息进行分析，我们可以找到这些变化较大的区域，从而实现边缘检测。
除了边缘检测，Radon变换还可以应用于形状分析和图像重建等领域。
在形状分析中，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行分析，可以得到图像中不同形状的特征信息，从而实现对形状的识别和分类。
在图像重建中，可以利用Radon变换将图像进行投影，然后通过逆变换将投影信息转换回原始图像，从而实现图像的重建。
Radon变换是一种常用的图像处理方法，通过将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。
虽然Radon变换的原理可以用数学公式来表示，但通过描述也能够清晰地理解其基本原理和应用。
图像变换基础RadonHadamardFt
实现Hadamard变换的方法
定义： Hadamard变换 是一种离散变换， 用于将输入信号映 射到输出信号
实现步骤：通过迭 代的方式，对输入 信号进行逐级变换， 最终得到输出信号
算法复杂度：时间 复杂度和空间复杂 度均为O(nlogn)
应用场景：在图像 处理、信号处理等 领域广泛应用
实现Fourier变换的方法
01
添加目录项标题
02
Radon变换
Radon变换的定义
Radon变换是 图像处理中的一 种重要变换，用 于将图像从空间 域转换到 Radon域
它通过对图像中 的每个像素点进 行线性积分来计 算Radon变换
Radon变换在 图像处理中广泛 应用于图像增强、 图像恢复和图像 压缩等领域
通过对Radon 变换的逆变换操 作，可以将图像 从Radon域转 换回空间域
离散傅里叶变换（DFT）：对图像进行傅里叶变换，将图像从空间域转换到频率域。 快速傅里叶变换（FFT）：基于DFT的算法，通过减少计算量来提高变换速度。 傅里叶变换滤波器：在频率域对图像进行滤波处理，实现图像的增强和降噪。 傅里叶逆变换：将处理后的图像从频率域转换回空间域，得到最终的变换结果。
和通信领域
添加标题
优缺点比较：Radon 变换能够提供图像在 各个方向上的信息，
但计算量大； Hadamard变换具有 高效性，但在处理灰 度图像时可能会引入 误差；Fourier变换能 够揭示图像的频率成 分，但无法提供空间
信息
Radon-Hadamard-Fourier变换的优劣比较
添加标题
Radon变换：在图像处理中，Radon变换是一种重要的线性变换，能够将图像从空间域转换 到角度域，从而提取出图像中的方向信息。
radon变换公式
radon变换公式
Radon变换公式是一种用于图像处理和数据分析的数学公式，其主要作用是将一个n维函数f(x1, x2, …, xn)转换为一系列一维函数，表示该函数在不同方向上的积分，从而提供了有关该函数的更多信息。
具体而言，Radon变换公式可以写成：
Rf(θ, s) = ∫f(x cos θ + y sin θ, x sin θ - y cos θ) dx dy
其中，θ是方向角度，s是沿该方向的距离。
在实际应用中，该公式通常用于医学影像学、地球物理学、计算机视觉等领域，可以用于图像重建、物体检测、边缘检测、分割等任务。
Radon变换公式的提出不仅推动了相关领域的发展，也为数学和物理学的研究提供了新的思路和方法。
- 1 -。
Radon变换
(2)相似性 如果 ，则：
2、Radon变换基本性质
(3) 对称性 考虑如下等式(其中t=(cosӨ,sinӨ)为与l垂直方 向上的单位矢量。
2、Radon变换基本性质
常熟因子a可以从Delta函数中提出来，得到：
如果a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶 函数：
2、Radon变换基本性质
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ pe ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
R [p ,t] f f [ ]c o s x p
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
1、Radon变换定义
上述线积分可写为：
, , )l p R f(xyd
f
如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
( p , ) f ( x , yp ) ( x c o s ห้องสมุดไป่ตู้y s i n ) d x d y R
经 整 理 得 到 R a d o n 反 变 换 ：
1 1 1 ， fx ( ,) y 2 d [ ( p , t ) （ p ） ( ) ] 2 R f 0 2 2 p
1 ，
利 用 柯 西 主 值 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 2 个 反 变 换 表 示 为 ：
s g nq 1 1 { } = ( ) 2 F j2 2 p
1
Radon变换
• 2、Radon变换在排水线地质雷达探测图像处理中 的应用
• Radon变换对地下管线雷达资料成像处理非常有用, 它能够消除地质雷达资料成像中存在的各种干扰, 以得到真实的图像。利用Matlab中的 Radon变换 模块实现地质雷达图像的Radon变换与反变换。
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b
• 3、对称性
t cos ,sin
• 若考虑下面的等式（其中
）为与l垂
直方向上的单位矢量。
Rf ap, at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
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• 常熟因子Ra可f 以af从, aDtelta函a数1中R提f 取p,出t 来，得到：
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展函
数（PSF）和原始图像都恢复出来。
• 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
第12页，共
f x
lim e0
f，x其 他e结co果s可, 以y 用 相f x同, 的y方法得到。
e
lim • 对上R面式fx子 两c边os取 Read0onR变f 换p， 利e,t用e平R移f 性p,质t得到：
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•根据偏R微分fx的定义co得s到R
• 正变换：图像空间到其他空间 • 反变换：其他空间到图像空间
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，ｔ ｔ ｏｔ ｈ ｅＲ ａ ｄ ｏ ｎｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｈ ｅｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓａ ｒ ｅｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄｆ ｏ ｒｔ ｈ ｒ ｅ ｅｉ ｎ ｃ ｌ ｉ ｎ ｅ ｄ
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贡丽霞 ，白艳萍
中北大学 理学院 ，山西 太原 ０ （ ３ ０ ０ ５ １ ） 摘 要 ： 倾 斜 车 牌 图 像 的 校 正 是 车 牌 识 别 中 的 重 要 环 节 之 一 ．根 据 Ｒ 对三种倾斜方式提出 ａ ｄ ｏ ｎ变 换 思 想 ，
了相应的校正方法 ．用数学形态学的方法对车牌图像进行边缘检测 ；利用 Ｒ 对 ａ ｄ ｏ ｎ变换检测车牌倾斜角度 ， 对垂直方向进行双线性插值错位偏移校正 ． 实验结果表明该方法是快速有效的 ． 水平方向进行旋转无损校正 ， 关键词 ： Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换 ；倾斜校正 ；边缘检测 ；双线性插值 中图分类号 ： Ｔ ３ ９ １ Ｐ 文献标识码 ：Ａ
线 犱 由此可看出 ， 当 犱和 犤 固 ＝牨 ＋牪 ＝牨 ＋牪 ｃ ｏ ｓ犤 ｓ ｉ ｎ犤进行 ．图 ３显示了直线 犱 ｃ ｏ ｓ 犤 ｓ ｉ ｎ犤的 Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换 ， 定时 ， 直线 犱 反过来 ，牨 ＝牨 ＋牪 ｃ ｏ ｓ犤 ｓ ｉ ｎ犤是唯一确定的 ； 牪平面的任意直线都对应于 犱 犤平面的 一个点 ， 故 Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换将 牨 牪平面的一条直线映射为 犱 犤平面一个点 ．
文章编号 ：１ ６ ７ １ ７ ４ ４ ９ （ ２ ０ ０ ９ ） ０ ５ ０ ４ ５ ２ ０ ５
．Ｅ ａ ｎ ｄｂ ｉ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｏ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｏ ｆ ｆ ｓ ｅ ｔｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｉ ｓｍａ ｄ ｅａ ｌ ｏ ｎ ｇｔ ｈ ｅｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｉ ｎ ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓｓ ｈ ｏ ｗ
总第 ７ （ ７期 ）
贡丽霞等 ） Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换在倾斜车牌图像校正中的应用 （
４ ５ ３
的倾斜角 ， 它对边框明显的车牌效果很好 ， 校正精度较高 ， 但当牌照边框有磨损变形或牌照本身无边框时 ， 但要求实测图像的二值化图像非常精确 ；③ 投影法对投影图形状进行分析 ， 但是由于需要计算每个倾斜 角度的投影形状 ， 因此其计算量非常大 ． 本文利用 Ｒ 在水平方 向进 行旋 转无 损校 正 ， 垂直 方向 ａ ｄ ｏ ｎ变换思想提出倾 斜车牌 图像 的校正方法 ， 该方法简单实用 ， 对光照不敏感 ， 抗干扰性强 ． 进行双线性插值错位偏移校正 ．大量实验表明 ，
效果 较 差 ；② 用主成 份 分析法对 二值 化后 的车牌 图像 直接进行 数值 计算 ， 用 特征 向 量 的 方 法 进 行 校 正 ，
１ 数学形态学边缘检测
由于车牌里面内容丰富 ， 有汉字 、 英文字母和阿拉伯数字 ， 为了避免被车牌内容干扰 ， 所以对车牌进行 检测水平边和垂直边之前 ， 需要对车牌图像进行预处理 ． Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换 ， 数学形态学是一种非线性滤波方法 ， 可以用于抑制噪声 、 特征提取 、 边缘检测 、 图像分割等图像处理问 题 ．其基本的形态运算是腐蚀和膨胀 ， 并通过腐蚀与膨胀还可以构成开运算和闭运算 ． 许多常用的边缘检测算子通过计算图像中局部小区域的差分来工作 ， 它 们对 噪声 较敏 感且 常在 检测 设用 爛 表示图像 ，爜 表示结构元素 （ 最基本的形态学梯度定义如下 ， 爛 和 爜 均为集合 ） Ｇ ｒ ａ ｄ 爛 爜 ）－ （ 爛牷 爜 ） ． １＝ （ 较尖锐的边界可用如下等价定义的形态梯度获得
图 １ 数学形态学边缘检测结果 ． １ Ｔ ﹨ ｈ ｅｄ ｅ ｇ ｅｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓｏ ｆ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
２ 倾斜车牌校正算法
２ ． １ 车牌倾斜方式
一 般情况下 ， 可将倾 斜的车牌图 像近 似看成 一个 平行四 边形 ， 有三 种倾 斜方 式 ： 水 平倾 斜 （ 图 ２ （ ） ） 、 ａ 垂直倾斜 （ 图 ２ 图 ２ 车牌区域的主轴 牨 与图 （ ） ）和混合倾斜 （ （ ） ） ．水平倾斜时字符本身没有发生错切 ， ′ ｂ ｃ 像的水平轴 牨之间有一个倾斜角度 犜 只需求出 犜 把整个图像旋转 －犜即可 ．垂直倾斜图像的倾斜实际 ， ， 上是车牌区域同一行间像素的错位偏移 ．只要检测到垂直倾斜角度 犝进行错位偏移校正即可 ．混合倾斜 图像 ， 既存在水平倾斜又存在垂直倾斜 ， 在实际校正中 ， 先进行水平倾斜校正 ， 在此基础上再进行垂直倾斜 校正 ． ２ ． ２ Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换 对于图像而言 ， 考虑二维欧式空间的变换形式 Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换可以定义在任意维变量空间域 ， 爲 （ 犤 ， 犱 ）＝ 牊 （ 牨 ， 牪 ） 犠 （ 犱－ 牨 ｃ ｏ ｓ犤 －牪 ｓ ｉ ｎ犤 ） ｄ 牨 ｄ 牪 ，
（ ，Ｎｏ ，Ｔ ３ ０ ０ ５ １ ，Ｃ ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｒ ｔ ｈＵｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ０ ｈ ｉ ｎ ａ
： Ｉ ．Ａｃ ﹢ ┈ ┉ ┇ ┉ ｍａ ｇ ｅｓ ｋ ｅ ｗｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｉ ｓｏ ｎ ｅｏ ｆ ｔ ｈ ｅｋ ｅ ｙｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓｉ ｎ１ ｉ ｃ ｅ ｎ ｓ ｅｐ ｌ ａ ｔ ｅｒ ｅ ｃ ｏ ｇ ｎ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ
２ ０ ０ ９年 第 ２ ３卷 第 ５期 总第 期 （ ７ ７ ）
测
试
技
术
学
报
． ２ ３ Ｎｏ ． ５ ２ ０ ０ ９ Ｖｏ ｌ （ ． ７ ７ ） Ｓ ｕ ｍ Ｎｏ
﹢ ﹨ ﹦ ﹢ ﹥ ﹦ ﹢ ﹦ ﹦ ﹦ ﹤ ﹪ ﹩
Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换在倾斜车牌 图像校正中的应用
图 ２ 车牌的三种倾斜方式 ． ２ Ｔ ﹨ ｈ ｅｔ ｈ ｒ ｅ ｅｉ ｎ ｃ ｌ ｉ ｎ ｅ ｄｗ ａ ｙ ｓｏ ｆ Ｖｅ ｈ ｉ ｃ ｌ ｅＬ ｉ ｃ ｅ ｎ ｓ ｅＰ ｌ ａ ｔ ｅ
图 ３ Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换示意图 ． ３ Ｓ ﹨ ｋ ｅ ｔ ｃ ｈｍａ ｐｏ ｆ Ｒ ａ ｄ ｏ ｎｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ
０ 引
言
车牌自动识别过程包括图像获取 、 车牌定位 、 车牌校正 、 字符分割及字符识别 ， 其中图像的获取一般是 通过固定架设在通道上方及两旁的 Ｃ 由于受到采集镜头与车牌之间的距离 、汽车驾 Ｃ Ｄ 摄像机拍摄得到 ， 驶速度以及司机所挂车牌位置等的影响 ， 牌照总有一定的倾斜度 ．这就给字符分割带来不利影响 ， 造成误 分割和车牌识别率的下降 ．因此 ， 需要在字符分割之前进行车牌的倾斜校正 ． 目 前研究倾斜校正问题一般采用的方法有 ：① 用 Ｈｏ 进而确定车牌 ｕ ｇ ｈ变换法检测车牌的边框直线 ，
图 ４ Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变换 ． ４ Ｒ ﹨ ａ ｄ ｏ ｎｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ
２ ． ３ 倾斜角度的提取及校正 ２ ． ３ ． １ 水平倾斜角度检测及校正 将原始图像转化为二值边缘图像 ； Ｓ ｔ ｅ ｐ１ 通过数学形态学方法 ， ａ ｄ ｏ ｎ变换 ，如图 ４所示 ； Ｓ ｔ ｅ ｐ２ 计算边缘图像的 Ｒ 原图像中的直线段对应 Ｒ Ｓ ｔ ｅ ｐ３ 计 算 出 Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变 换 矩 阵 中 的 峰 值 ． Ｒ ａ ｄ ｏ ｎ变 换 后 ， ａ ｄ ｏ ｎ空 间 中 的 点， 且线段越长 ， 对应的点亮度越大 ， 所以应在 Ｒ 为测量得准确 ， 把所有峰 值点 ａ ｄ ｏ ｎ空间中找那些峰值点 ， 按降序排列 ， 取前几个峰值 ， 计算每列之和 ， 存放在矩阵 ┢中 ， 并执行如下命令 ＝２ ：ｌ （ ） ｆ ｏ ｒ 牏 ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ ┢ （ ） ＝牃 爲 （ ） ＋（ １ －牃 ） 爠 （ －１ ） ； 爠 牏 牏 牏 ｅ ｎ ｄ 得到新的矩阵 ┕ 求 爠 ， （ ）的最大值 ，犜 ＝燏 ９ ０ ° －牏 燏为车牌的水平旋转 牏 角度 ． 将图像旋转 ±犜 ．顺 时 针 旋 Ｓ ｔ ｅ ｐ４ 对 水 平方向 进行旋 转 无 损 校 正 ， 转时 犜 ＜０ ，逆时针时 犜 ＞０ ．