一轮复习配套讲义：选修4-1 第2讲直线与圆

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高三数学一轮总复习几何证明选讲第二节直线与圆的位置关系课件选修4-1.ppt

理点的两条线段的□23
_积___相等
□22 __P_A_·P__B_＝__P_C__·P_D_ □24 _P_A_·P__B_＝__P_C__·P_D
11
从圆外一点引圆的一条割线和一条切切割线线，切线长是这点定理到割线与圆的两个交点的两条线段长
的□25 _比__例__中__项___
□26 _P_A_·P__B_＝__P_C__2 _
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4．如图，CD是⊙O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，若 ∠D＝20°，则∠DBE＝__________。
解析：连接CB。因为CD为圆的直径，则∠CBD＝90°，又因为∠D＝20°，所以∠DCB＝70°。又因为AE为圆的切线，所以∠DBE＝70°。答案：70°
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5．如图所示，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B点，CD切⊙O 于D点，交BA的延长线于E点，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为 __________。
□4 12∠AOB
O为圆心，A、B、C、 D为圆上任意四点，且∠CAD︵＝∠A︵CB，
则有□6 CD＝AB
6
半圆(或直径)所对
的圆周角等于□7
推 ____9_0_°____ 论 2
90°的圆周角所对的
弦为□9 _直__径_____
O为圆心，A、B、C 为圆上三点，且BC 为圆的直径，则有
∠BAC＝□8 90°
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课堂学案考点通关
考点例析通关特训
20
考点一
圆周角及弦切角的性质
【例1】 (1)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E。若AB＝6，ED＝2，求BC的长。
解析：由切割线定理，得ED2＝EA·EB，∴22＝EA(EA＋3)。即EA2＋3EA－4＝0，解得EA＝1(舍去负值)，∴EB＝4。 ∵CB切圆O于B点，CD切圆O于D点，AB是圆O的直径，∴CD＝CB，∠CBE＝ 90°。由勾股定理得CB2＋EB2＝CE2，即CB2＋42＝(2＋CB)2，解得CB＝3。 ∴BC的长为3。答案：3

高考数学大一轮复习第二节直线与圆的位置关系课件理(选修4-1)

所以圆 O 的面积为 π×12＝π.
答案：π
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11
圆内接四边形的性质与判定
1．性质定理 1：圆的内接四边形的对角互补． 2．性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
答案：13
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与圆有关的比例线段
1．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)推论： ①推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
② 推论 2 ：经过切点过圆心．
且垂直于切线的直线必经
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2．与圆有、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为
B、C，D 是优弧B︵C 上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC
＝________.
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8
解析：连接 OB、OC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC ＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.
选考部分
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1
选修4-1
几何证明选讲
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2
第二节直线与圆的位置关系
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3
主干知识·整合热点命题·突破
课堂实效·检测课时作业
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4
主干知识·整合 01
要点梳理追根求源
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5
圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理
1．圆周角定理及其推论
(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

高考数学总复习：选修4-1 第2讲直线与圆的位置关系

③
(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，
若PA· PB＝PC· PD，则它的四个顶点共圆．
以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．
抓住5个考点
突破3个考向
【训练3】如图，AB是⊙O的直径，G为AB
延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点 E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H. 求证：(1)C，D，F，E四点共圆； (2)GH2＝GE· GF. 证明 (1)如图，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°. 又∵∠EAG＝∠BAC，
抓住5个考点突破3个考向
(2)解
1 BE＝ BC＝4，∴OE＝ OB2－BE2＝3， 2
又∵∠AOP＝∠BOE，∴△OBE∽△OPA， BE OE 4 3 20 ∴AP ＝OA，即AP＝，∴AP＝ . 5 3
抓住5个考点
突破3个考向
考向二
弦切角定理及推论的应用
【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，
(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，
∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径， ∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，
抓住5个考点
①
②
突破3个考向
而∠QSP＝∠QRH，由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∵∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK， ∴QT＝TS. (1)四边形ABCD的对角线交于点P，若 PA· PC＝PB· PD，则它的四个顶点共圆．
抓住5个考点突破3个考向
【训练2】如图，已知圆上的弧与BA的延长线交于E点，证明：

高三总复习人教A版数学(理)配套课件：选修4-1 第2讲

7
• 1. 圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理 • (1)圆周角定理
• 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ________的一半．
• (2)圆心角定理 • 圆心角的度数等于它所对弧的________． • 推论1：同圆或等圆中同弧或等弧所对的
________相等，相等的________所对的弧也相等．
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• 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦BC与小圆相切于点A，若BC＝6，则由这两个同心圆所构成的圆环的面积为 ________．
16
• 4．直线与圆位置关系的有关定理
定理
内容
切割线从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到定理割线与圆交点的两条线段长的______
相交弦圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的定理 ________相等
• (2)如图，PE是⊙O的切线，PAB与PCD是 ⊙O的割线，PA＝AB＝1，则PE＝________， PC·PD＝________.
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• 1. 圆心角度数圆周角圆周角直角直径圆周角一半
• 想一想：提示：只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．
• 填一填：(1)100° (2)70°
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• 例1 [2011·辽宁高考]如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
• (1)证明：CD∥AB； • (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG， • 证明：A，B，G，F四点共圆．
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• [审题视点] (1)结合圆内接四边形对角互补可证CD∥AB.(2)证出四边形ABGF对角互补，即可证出四点共圆．
割线定从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线理与圆的交点的两条线段长的________相等

高考数学一轮总复习第2节直线与圆的位置关系课件(选修4-1)

形的四个顶点共圆
判定定理如果四边形的一个外角等于它的__内__角__的_对__角__，
的推论那么这个四边形的四个顶点共圆
圆的内接四边形的对角_互__补____ 性质定理圆内接四边形的外角等于它的内角的__对__角___
3. 圆的切线
定义、定理及推论
内容
定义
判定定理性质定理性质定理的推论
[答案]
3 2
5 ． (2013·重庆高考 ) 如图所示，在 △ ABC 中， ∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C 作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________.
[解析] 在△ABC 中，BC＝AB·sin 60°＝10 3，由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以 CD＝5 3，BD＝15，由切割线定理知，CD2＝DE·BD, 解得 DE＝5. [答案] 5
B．①②④
C．③⑤
D．①③⑤
[解析] ①错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系
不确定．②错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
才相等．③正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接
圆．④错误，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧
的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数
等于弦切角度数的2倍．⑤正确，圆内接四边形ABCD的对角互
思路点拨 (1)根据角平分线的性质和弦切角定理得到BE ＝CE，结合已知DB⊥BE，从而得到DE为直径，进而利用勾股定理证明两线段相等；
(2)根据圆的切线AB及(1)的结论可以确定△BCF的形状，从而确定其外接圆的直径，求其半径．
(1)证明：连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.

2017版高考一轮总复习数学课件：选修4-1 第2节直线与圆的位置关系

在 Rt△AEC 中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 连接 OE，则∠OBE＝∠OEB.
第十页，编辑于星期六：三点三十分。
又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE 是⊙O 的切线． (2)设 CE＝1，AE＝x，由已知得 AB＝2 3， BE＝ 12－x2. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以 x2＝ 12－x2，则 x4＝12－x2 ∴x2＝3，x＝ 3，因此 AE＝OA＝OE，所以∠ACB＝60°.
第十五页，编辑于星期六：三点三十分。
(2014·课标全国Ⅱ卷)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC＝2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明：
(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.
第十六页，编辑于星期六：三点三十分。
第三页，编辑于星期六：三点三十分。
证明：(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以∠D＝∠CBE. 由已知 CB＝CE， ∴∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
第四页，编辑于星期六：三点三十分。
(2)设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB＝MC 知 MN⊥BC，故 O 在直线 MN 上．
(2015·陕西卷)如图，AB 切⊙O 于点 B，直线 AO 交⊙O 于 D， E 两点，BC⊥DE，垂足为 C.
(1)证明：∠CBD＝∠DBA； (2)若 AD＝3DC，BC＝ 2，求⊙O 的直径．
第十三页，编辑于星期六：三点三十分。
(1)证明：因为 DE 为⊙O 直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又 BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED. 又 AB 切⊙O 于点 B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.

高中数学选修4-1(人教A版)第二讲直线与圆的位置2.1关系知识点总结含同步练习题及答案

P A = P D + DC =
1 C△PDE ＝6． 2
如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠C = 72∘ ，⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ，与 AC 交于点 D ，连接 BD ．若 BC = √5 − 1 ，则 AC = ______．
解：2 ．因为 AB = AC，∠C = 72∘ ，所以 ∠ABC = 72∘ ，∠A = 36∘ ，因为 BC 切 ⊙O 于点 B ，所以 ∠DBC = ∠A = 36∘ ，所以 ∠ABD = 36∘，∠BDC = 72∘ ，故 AD = BD = BC = √5 − 1，可证 △ABC ∽ △BDC，所以 BC 2 = CD ⋅ AC = (AC − AD) ⋅ AC = AC 2 − AD ⋅ AC，设 AC = x 则有 (√5 − 1)2 = x2 − (√5 − 1)x，解得 x1 = 2，x2 = √5 − 3 （不合题意，舍去），所以 AC = 2．如图所示，⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ，AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点
解：C．如图所示， CD 切 ⊙O 于B ，CO 的延长线交 ⊙O 与 A ，若 ∠C = 36∘ ，则 ∠ABD 的度数是（） A．72∘ B．63∘ C．54∘ D．36∘
解：B．连接 OB ，因为 CD 为 ⊙O 的切线，所以 ∠OBC = 90∘ ，因为 ∠C = 36∘ ，所以 ∠BOC = 54∘ ．又因为 ∠BOC = 2∠A，所以 ∠A = 27∘ ，故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63∘．
高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
务理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．二、知识清单

2021届新课标数学(理)一轮复习讲义_选修4-1_第2讲_直线与圆的位置关系

第2讲直线与圆的位置关系1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义如果一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)P A·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在P A、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC、PD(2)应用相似求AC、BD 切割线定理P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)P A、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC 切线长定理P A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P A，求PB(2)求角考点一__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__(1)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.(2)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O 的切线．[证明](1)因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D . 因此∠OCB ＝∠D . (2)连接BD .因为AD ⊥AB ，所以BD 是⊙O 的直径．因为AE ＝AF ，所以∠FBA ＝∠EBA . 又因为AB ＝AC ，所以∠FBA ＝∠C . 又因为∠C ＝∠D ，∠D ＋∠ABD ＝90°，所以∠FBA ＋∠ABD ＝90°，即∠FBD ＝90°，所以BF 是⊙O 的切线．[规律方法] (1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．1. 如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点．求证：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明：(1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ，根据弦切角定理知∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECA 等于AC ︵所对的圆周角，∠ACB 等于AB ︵所对的圆周角，所以∠ECB 等于CAB ︵所对的圆周角，故∠ECB ＝∠CDB ，又由(1)知∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC ，即BC 2＝BE ·CD .考点二__圆内接四边形的判定及性质____________如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[证明](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到一定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．2.如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD ＝∠AFE ，又∵∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)∵C ，D ，E ，F 四点共圆，∴GE ·GF ＝GC ·GD . ∵GH 是圆O 的切线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF ，又GH ＝8，GE ＝4，∴GF ＝16， ∴EF ＝GF －GE ＝12.考点三__与圆有关的比例线段__________________如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.[证明] (1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA . 因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ， ∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC . (2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.[规律方法] 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．3. 如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．解：设CB ＝AD ＝x ，则由割线定理得：CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)，化简得x 2＋6x －16＝0，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即CD ＝6，CE ＝12.连接AB (图略)，因为CA 为小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，即∠ABE ＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D ＝90°，则CD 2＋DE 2＝CE 2，所以62＋DE 2＝122，所以DE ＝6 3.1. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E .(1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．解：(1)证明：由题意知，AB 与圆D 和圆O 相切，切点分别为A 和B ，由切割线定理有：EA 2＝EF ·EC ＝EB 2，∴EA ＝EB ，即E 为AB 的中点． (2)由BC 为圆O 的直径，易得BF ⊥CE ， ∴S △BEC ＝12BF ·CE ＝12CB ·BE ，∴BF BE ＝CB CE ，∴BF ＝55a .2．如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F . (1)证明：A 、E 、F 、M 四点共圆； (2)若MF ＝4BF ＝4，求线段BC 的长．解：(1)证明：如图，连接AM ，由AB 为直径可知∠AMB ＝90°，又CD ⊥AB ，所以∠AEF ＝∠AMB ＝90°，因此A 、E 、F 、M 四点共圆．(2)连接AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，可知BF ·BM ＝BE ·BA ，在Rt △ABC 中，BC 2＝BE ·BA ，又由MF ＝4BF ＝4，知BF ＝1，BM ＝5，所以BC 2＝5，BC ＝ 5.3．如图所示，P A 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝10，PB ＝5，∠BAC 的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(1)求证：AB AC ＝P A PC ；(2)求AD ·AE 的值．解：(1)证明：∵P A 为圆O 的切线，∴∠P AB ＝∠ACP ，又∠P 为公共角， ∴△P AB ∽△PCA ，∴AB AC ＝P A PC.(2)∵P A 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴P A 2＝PB ·PC ， ∴PC ＝20，BC ＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225，又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12，∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.4. 如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．解：(1)证明：因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF ⊥FH .又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上．所以，B ，D ，F ，H 四点共圆． (2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ，即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1.又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝ADAF，得DH ＝ 2.连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 5．如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°，故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .6. 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BDBC ，BC 2＝BD ·BE .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2， ∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.1. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC . 又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ，又OE ＝OB ，OD ＝OD ，所以△ODE ≌△ODB . 所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．因为DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .2．已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长．解：(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，∴∠DOA ＝∠DCF ，∴∠POD ＝∠PCE .又∵∠DPO ＝∠EPC ，∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝PO PC，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直线AB 是弦DF 的垂直平分线，∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH .∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°.由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3，∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DE tan ∠DCE＝2， ∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.3. 如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D.(1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CD＝CA.证明：(1)连接PC，P A，PB，BO2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C、P、B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.4. 如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF并延长与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF＝EF；(2)求证：P A是⊙O的切线．证明：(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG＝CFCG，EFAG＝CFCG，∴BFDG＝EFAG，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG.∴BF＝EF.(2)如图，连接AO，AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。

2015高三人教版数学一轮复习课件：选修4-1 第2节直线与圆的位置关系

选修4-1 几何证明选讲
第二节直线与圆的位置关系
第一页，编辑于星期五：十二点六分。
选修4-1 几何证明选讲
[主干知识梳理] 一、圆周角定理 1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半． 2．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径．
点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹．角
第六页，编辑于星期五：十二点六分。
选修4-1 几何证明选讲
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)如图所示，在△ABC中，
∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________．解析连接CP，由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知， AC2＝AP·AB，∴AP＝3.6， ∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4
第二十二页，编辑于星期五：十二点六分。
选修4-1 几何证明选讲
(2)(2013·重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ 60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD， BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
第二十三页，编辑于星期五：十二点六分。
选修4-1 几何证明选讲
选修4-1 几何证明选讲
5．(2013·北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线， PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝ ________；AB＝________.

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件选修4-1 2圆与直线、圆与四边形

交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四
个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.
第十一页，编辑于星期日：六点二十六分。
则所有正确结论的序号是 ( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②④
第十二页，编辑于星期日：六点二十六分。
4.(2014·陕西高考)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交
AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=
.
第十八页，编辑于星期日：六点二十六分。
【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,
又AC=2AE,得AB=2AF,
所以 AF A且E ∠A1 =∠A得△AEF∽△ACB且相似比为1∶2,又BC=6,所以 EF=3.AB AC 2 答案:3
长线相交于点P,E为☉O上一点,
,DE交AB于点F.
AC AE
(1)证明:DF·EF=OF·FP. (2)当AB=2BP时,证明:OF=BF.
第三十八页，编辑于星期日：六点二十六分。
【解题提示】(1)证明△OFE∽△DFP后利用对应边成比例求解.
(2)利用相交弦定理化简证明.
第三十九页，编辑于星期日：六点二十六分。
周角所对的弧也_____.
相等
②推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是_____;90°的圆周角所对的
直角弧是_____.
半圆
第三页，编辑于星期日：六点二十六分。
2.圆的切线的判定和性质及弦切角定理 (1)切线的判定定理:经过半径的__外__端_并且__垂__直__于_这条半径的直
线是圆的切线.

2015高考数学一轮课件：选修4-1-2直线与圆的位置关系

第三十三页，编辑于星期五：十三点五十五分。
(2)延长 BO 交⊙O 于 D，则必有 AD＝AC， ∵∠BOA＝60°，OA＝OD， ∴∠D＝30°. 又∵∠C＝30°， ∴∠C＝∠D，得 AD＝AC. [方法·规律] 利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系，经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线，从而可转化为证明线线垂直．
第二十七页，编辑于星期五：十三点五十五分。
[解] (1)证明：连结 OP，OM，因为 AP 与⊙O 相切于点 P，所以 OP⊥AP，
因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点，所以 OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A，P，O，M 四点共圆．
第六页，编辑于星期五：十三点五十五分。
1.圆周角、弦切角和圆心角定理 (1)圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弧是半圆． (2)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数．
题型三圆的切线的性质及判定定理【例 3】 (2014·江西五校联考)已知弦 AB 与⊙O 半径相等，连结 OB 并延长使 BC＝OB. (1)问 AC 与⊙O 的位置关系是怎样的； (2)试在⊙O 上找一点 D，使 AD＝AC. [解] (1)∵AB 与⊙O 半径相等， ∴△OAB 为正三角形，∠OAB＝60°＝∠OBA，又∵BC＝OB＝AB.∴∠BAC＝30°，故∠OAC＝90°， ∴AC 与⊙O 相切．
第三十页，编辑于星期五：十三点五十五分。

一轮复习配套讲义：选修4-1 第2讲 直线与圆

高三数学一轮总复习 几何证明选讲 第二节 直线与圆的位置关系课件 选修4-1.ppt

高考数学大一轮复习 第二节 直线与圆的位置关系课件 理(选修4-1)

高考数学总复习：选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系