第四节 重积分的应用
高等数学 第九章 重积分 第四节 重积分应用
∫∫∫Ω xd xd y d z ∫∫∫Ω
V zd x d y d z V
∫∫∫Ω yd xd y d z
V
,
( V = ∫∫∫ d x d y d z为Ω的体积 ) Ω
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若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片 其面密度 的平面薄片, 若物体为占有 则它的质心坐标 质心坐标为 则它的质心坐标为
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三、物体的质心
设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 mk ( k =1, 2, L, n ) ,由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知,
∑xk mk
为
n
x=
k =1 n
∑yk mk
, y=
k =1 n
n
∑zk mk
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面S
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为： 曲面面积公式为： Dxy
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小结 1. 设曲面 S 的方程为：z = f ( x , y ) 的方程为：
设曲面的方程为： ３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 则曲面面积公式为： 则曲面面积公式为： A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
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例 4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
重积分的应用
3
计算复杂几何形状的表面积
对于复杂的几何形状，可以通过将其分割成小的 部分，然后对每一部分进行重积分，最后求和得 到总表面积。
03
重积分在概率论中的应用
概描述随机变量在各个取值上的概率分布情况，通过重积分计算随机变量
的概率分布。
02
离散型随机变量的概率密度函数
对于离散型随机变量，概率密度函数表示随机变量取各个可能值的概率，
对于离散型随机变量，期望值表示所有可能取值的加权平均，通过重积分计算离散型随 机变量的期望值。
连续型随机变量的期望值
对于连续型随机变量，期望值表示在各个实数区间上的概率密度函数的积分，通过重积 分计算连续型随机变量的期望值。
随机变量的方差
随机变量的方差
表示随机变量取值与其期望值的 偏离程度，通过重积分计算随机 变量的方差。
02
重积分的几何应用
计算面积
计算平面图形的面积
计算参数曲线的长度
通过重积分可以计算平面图形的面积， 例如矩形、圆形、三角形等。
对于参数曲线，重积分可以用来计算 其长度。
计算曲面面积
重积分也可以用来计算曲面在某个平 面上的投影面积，这在工程和物理中 非常有用。
计算体积
计算三维物体的体积
重积分可以用来计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体、圆锥体 等。
计算期权价格
期权定价模型
重积分在期权定价模型中有重要应用， 通过重积分可以计算出期权的合理价格 。
VS
隐含波动率
利用重积分，还可以计算出期权的隐含波 动率，为投资者提供更加全面的信息。
05
重积分在工程设计中的应用
优化设计参数
结构优化
重积分被广泛应用于结构优化设计，通过计算不同设计方 案下结构的应力、应变等参数，选择最优的设计方案，降 低结构重量并提高其承载能力。
经典高等数学课件D10-4重积分的应用
x 2 y 2 a 2 .由
z x , x a2 x2 y2
得 1 (
z y , 2 2 2 y a x y
z 2 z 2 a ) ( ) . x y a2 x2 y2
12
A上
D
a a x y a
2 2 2
dxdy D : x 2 y 2 a 2 .
设曲面S的方程为z 如图， 设小区域
z
z f ( x, y )
f ( x, y ),
M
o
曲面S在xoy面上的投影为区 域D，
sS d
d
( x, y)
点(x,y) d， d D， 以 为S上过点M(x,y,z)的切平面， d
的边界为准线， 母线平行于z轴的 截切平面 小柱面， 截曲面S为 dS， 为 dA， 则有 dA dS.
C2 D
7 所求质心是(0, ). 3
o
x
17
推广： 占有空间有界闭区域, 在点( x, y, z )处的密度为 ( x, y, z )
(假定 ( x, y, z )在上连续)的物体的质心坐标(x , y , z )为：
1 x x ( x, y, z )dv , M 1 y y ( x, y, z )dv , M 1 z z ( x, y, z )dv , M
D
D
y
( x, y)
又M ( x , y )d , 则薄片的质心坐标为：
D
o
d
x
m yi x ( x , yxi mi )d i y ( x, y )d M xM i 1 y M M i 1 y ，， y x n D y n x x D . MM M M ( x , m)d m y i i ( x, y )d
重积分应用与计算
重积分应用与计算重积分是微积分中一项重要的概念，它广泛应用于各个科学领域，特别是物理学、工程学和经济学等。
重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，通过对多元函数进行积分，可以解决许多实际问题。
本文将介绍重积分的应用，并重点讨论其计算方法。
一、重积分的应用1. 质量和质心重积分可以用于计算物体的质量和质心。
对于一个二维物体，其质量可以通过计算其面积的重积分来得到。
例如，一个有界闭区域D的质量可以表示为：m = ∬D ρ(x,y) dA其中，ρ(x,y)表示单位面积上的密度函数。
质心的坐标可以由下式给出：(x_c, y_c) = (∬D xρ(x,y) dA, ∬D yρ(x,y) dA)类似地，对于一个三维物体，质量和质心的计算也可以通过重积分来实现。
2. 总量和平均值重积分可以用于计算一个区域内某个量的总量和平均值。
例如，在物理学中，可以通过对速度场进行重积分来计算液体或气体的总质量流量。
在经济学中，可以通过对产量或消费量的重积分来计算总产量或总消费量。
对于一个二维区域D，某个量f(x,y)的总量可以表示为：Q = ∬D f(x,y) dA平均值可以表示为：f_avg = (1/area(D)) * ∬D f(x,y) dA其中，area(D)表示D的面积。
3. 概率和期望值在概率论中，重积分可以用于计算概率和期望值。
对于一个二维区域D上的离散随机变量，其概率函数可以表示为p(x,y)，概率p(x,y)在区域D上的积分即为该随机变量落在D内的概率。
期望值可以表示为：E[f(x,y)] = ∬D f(x,y) * p(x,y) dA其中，f(x,y)是随机变量的函数。
二、重积分的计算方法1. 二重积分二重积分用于计算平面二维区域上的积分。
常用的计算方法包括直角坐标系下的面积法和极坐标系下的极坐标法。
面积法：设D为平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的连续函数。
则D上f的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dx dy其中，[a,b]和[c,d]分别为D在x轴和y轴上的投影区间。
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
重积分应用案例
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
THANKS
感谢观看
其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
激发学习兴趣和动力
通过介绍有趣的重积分应用案例，激发读者对重积分学习的兴趣和动力，提高 学习效果。
D84重积分的应用-PPT文档资料
A Dyz
x x2 2 1 ( ) ( )d y d z y z
则有 h ( z , x ) , ( z , x ) D , 若光滑曲面方程为 y z x
A Dzx
y y2 2 1 ( ) ( )d z d x z x
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8.4.1 重积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
d .
D
2 2 所围图形的面积. 例1 求曲线 r 2 a cos 2
解 曲线为一双纽线,图形关于极轴和极点都对称. y 因此曲线所围成图形的面积
A 4 d 4 4d
D
0
0 0
a2 cos 2
2acos 2 r dr 0
M
2
3 3 16 a 4 a 3 4 cos sin d ( 1 cos ) 3 0 3
0
d
0 sin d
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2 2 例4. 用三重积分计算由曲面 x y z2 5 及 x2 y2 4z 所围成的立体的体积.
D : 0 r 2 a cos , 0
2 2 V 4 4 a r r d r d D
D
0
2 2 2 4 a x y dxdy
2
o
2a
D
y
x
y 2 ax x2
4
2
d
0
2 a cos
4 a rr d r
2
2
y
32 3 2 3 a ( 1 sin ) d 3 0 323 2 a( ) 3 2 3
4 重积分的应用
| cos( n, z ) | = | cos γ i | =
1 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,η i )
.
因为 Ai 在 xy 平面上的投影为 σ i , 所以
σ i Ai = = 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,ηi ) σ i . cos γ i
20
由
∫∫∫ z dxdydz =
V
π
4
abc 2 ,
故得
z=
π
4
abc
2
3c 2π abc = , 3 8
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 2
平面 π i , 并在 π i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 σ i
z S : z = f ( x, y)
(见图). 见图).
在点 M i 附
近用切平面 Ai 代替小 代替小 曲面片 Si , 从而当 T 充分小时, 充分小时, 有
i =1
Hale Waihona Puke n的面积. 作为 S 的面积. 现在按照上述曲面面积的概念, 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 计算公式. 为此首先计算 Ai 的面积 由于切平面 π i 的法向量就 的面积. 是曲面 是曲面 S 在点 M i (ξ i ,η i , i ) 处的法向量 n, 记它与 z 轴的夹角为 γ i , 则
y = f ( x ), x ∈ [a , b] ( f ( x ) ≥ 0).
求证此曲线绕 x 轴旋转一周得到的旋转面的面积为
重积分的应用
z
设从卫星中心到地面的距离
为 h ,地球半径为 R 。
的方程： x R sin cos
y
R
sin
sin
z R cos
y
, 为参数。
OR
x
2020/3/20
x Rsinsin Ex2y2z2
x Rcoscos R2 sin2
y Rsincos y Rcossin
z 0
Gx2y2z2 R 2
O
x
2020/3/20
y
(d )
(x, y)
(x, y)
D xy
d
cos 1
dA d
1
f
S dA
1 fx2 fy2 d z
(x,y, f(x,y))
n
dA
(x,y, f(x,y))
O
y
x
2020/3/20
(x, y)
(d )
D xy
d
(x, y)
z S dA
(x,y, f(x,y))
)2dxdy
a2 x2 y2
a2 x2 y2
D xy
a
a2 x2 y2 dxdy
z
被积函数
a a2 x2 y2
z a2x2y2 在积分区域 D xy 上
是无界的
此积分不是二重积分
y 因而，不能直接用
x
2020/3/20
D xy x2y2 a2
曲面面积公式来求。
设 0ba ，作一个小闭区域 D b :x2y2b2 分布在 D b 上的那部分球面面积为
O
曲面 S的面积
A dA
D xy
1 fx2 fy2 d
D xy
D10_4重积分的应用
MATH YTU1第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用MATH YTU21. 曲顶柱体的顶为曲面),,(y x f z =则其体积为∫∫=Dyx y x f V d d ),(,),(D y x ∈2. 空间有界域Ω的体积为∫∫∫Ω=zy x V d d d 一、立体体积例1MATH YTU3例1. 求由解：计算第一卦限部分体积22224x y z a ++=与柱面所围立体的体积(含在柱面内的).222x y ax +=21:0,0,2.D x y y ax x ≥≥≤−投影区域为顶面为球面2224()z a x y =−+oxyza2MATH YTU4122214D V a x y dxdy =−−∫∫31164(34).9V V a π==− 注意：被积函数和区域的对称性.第一卦限部分体积22202cos 4a d a r rdrπθθ=−∫∫21:0,0,2.D x y y ax x ≥≥≤−Doy x23308(1sin )d 3a πθθ=−∫382()323a π=−面积MATH YTU5γMAd zσd nx yz So 设光滑曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:则面积A 可看成曲面上各点),,(z y x M 处小切平面的面积d A 无限积累而成.设它在D 上的投影为d σ,Ad cos d ⋅=γσ),(),(11cos 22y x f y x f y x ++=γσd ),(),(1d 22y x f y x f A y x ++=(称为面积元素)则γγMnG σd 二、曲面的面积MATH YTU6故有曲面面积公式σd ),(),(122∫∫++=Dy x y x f y x f A yx y z xz A Dd d )()(122∫∫∂∂+∂∂+=若光滑曲面方程为zy z x y x A d d )()(122∂∂+∂∂+=∫∫,),(,),(z y D z y z y g x ∈=则有zy D 即MATH YTU7xz x y zyA d d )()(122∂∂+∂∂+=∫∫若光滑曲面方程为,),(,),(x z D x z x z h y ∈=若光滑曲面方程为隐式,0),,(=z y x F 则则有yx z yz x D y x F F y zF F x z ∈−=∂∂−=∂∂),(,,∫∫=∴A yx D xz D zzy x F F F F 222++,0≠z F 且yx d d 例2MATH YTU8y x z =被柱面222R y x =+解: 曲面在xoy 面上投影为,:222R y x D ≤+则y x z z A D y x d d 122∫∫++=yx y x Dd d 122∫∫++=rr r Rd 1d 0220∫∫+=πθ])1)1([32232−+=R π所截出的面积A .例2. 计算双曲抛物面质心MATH YTU9设平面有n 个质点,(,),k k x y 其质量分别,),,2,1(n k m k "=该质点系关于y 轴和x 轴1ny k kk M x m ==∑1nx k kk M y m ==∑分别位于为三、物体的质心的静力矩分别为：MATH YTU10(,),x y 该质点系的质心坐标设为11,n nk y k k k k x m M x m ==⋅==∑∑根据质心定义，可导出质心公式11,nnk x k k k k y m M y m ==⋅==∑∑11,nk ky k nkk x mM x Mm====∑∑11,nk kx k nkk y mM y Mm====∑∑MATH YTU11若物体为占有xOy 面上区域D 的平面薄片，其,),(y x μ为面密度该物体位于(x , y ) 处的微元d σxDyod σ(,)x y 关于y 轴和x 轴的静力矩分别为：d (,)y M x x y d μσ=⋅d (,)x M y x y d μσ=⋅MATH YTU12则平面薄片D 关于y 轴和x 轴的静力矩分别为：(,)d d Dy M x x y x yμ=∫∫(,)d d DM x y x yμ=∫∫则它的质心坐标为d (,)y M x x y d μσ=⋅d (,)x M y x y d μσ=⋅(,)d d Dx M y x y x yμ=∫∫注意平面薄片D 的质量为,y M x M=x M y M=MATH YTU13yx y x y x y x x x D D ∫∫∫∫=d d ),(d d ),(μμy x y x y x y x y y D D ∫∫∫∫=d d ),(d d ),(μμ,c μ=,d d Ayx x x D ∫∫=Ayx y y D ∫∫=d d (A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则质心坐标为MM y =MM x =x M y M —对x 轴的静矩—对y 轴的静矩MATH YTU14设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),,(z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元(,,)d x x y z vρ⋅d yz M =xΩyo zd v关于yOz 平面的静矩为：d v注意Ω的质量为(,,)d (,,)d d d M x y z v x y z x y zρρΩΩ==∫∫∫∫∫∫MATH YTU15(,,)d d d (,,)d d d x x y z x y zx y z x y zρρΩΩ=∫∫∫∫∫∫(,,),x y z 质心坐标设为根据质心定义，yz M x M=同理可得，(,,)d d d (,,)d d d zx y x y z x y z M y Mx y z x y zρρΩΩ==∫∫∫∫∫∫MATH YTU16(,,)d d d (,,)d d d xy z x y z x y z M z Mx y z x y zρρΩΩ==∫∫∫∫∫∫,),,(常数时当≡z y x ρ则得形心坐标：,d d d Vz y x x x ∫∫∫Ω=,d d d Vzy x y y ∫∫∫Ω=Vz y x z z ∫∫∫Ω=d d d ()的体积为Ω=∫∫∫Ωz y x V d d d 通式MATH YTU17()V ρ其中V 是可以是平面薄片或空间立体，相应的积分(,,),x y z 质心坐标设为或(,),x y 则()d ,()d V Vx V vV vρρ∫∫x =()d ,()d VVy V vV vρρ∫∫y =()d ()d V Vz V vV vρρ∫∫z =对应二重积分或三重积分；d v 相应的分别为平面面积元素或空间体积元素；相应的即是面密度或是体密度。
重积分的应用
令 h( t ) 0 , 得 t 100 (小时) 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需 的时间为100小时.
36
重积分的应用
作业(信息类)
习题9-4(116页)
2.
3.
37
作业(工科)
习题9-3(p127) 2. 3.
38
a
曲面方程 z a 2 x 2 y 2 于是,曲面面积元素为
O
a x
a y
x 2 y 2 ax
y
1 z z dxdy a dxdy 2 2 2 a x y
2 x 2 y
D1
O
a
a 2
x
6
重积分的应用
a dxdy 1 z z dxdy 2 2 2 a x y
1 2 Dz : x y [ h ( t ) h( t ) z ] 2
2 2
O
x
y
34
重积分的应用
V
4
h (t )
3
2( x y ) z h( t ) h( t )
2 2
z
D
O
y
1 D : x 2 y 2 h2 ( t ) 2
h( t ) 1 2 d 2 h2 (t ) 16 2 d 0 h(t ) 0
O
y
x
13
重积分的应用
面积元素是
z a R x y
2 2
2
1 z z dxdy
2 x 2 y
R dxdy 2 2 2 R x y
x 2 y 2 ( z a )2 R 2 2a 2 R 2 又由 z 2 2 2 2 2a x y z a
第四节(2) 重积分的物理应用
z
a a
z
zdv zdv Ω dv
Ω
1dv
Ω
Ω
,
o
y
zdv
2 3 πa , 3
xa
zdv
Ω
0 dz zdxdy
Dz
Dz
a
先二后一
a
0
zdz dxdy (a 2 z 2 )
2 2 2 32
d
D: x y a
2
2
2
G0h
D
1 ( h )
2
a 2 0
2
2 32
dd
1 d
0 a . 0 2
G0 h d
0
( h )
a
2 32
h 1 2πG0 (1 ). G0h 2 2 2 2 h2 a h 0
n
mi
i 1
M y , M x为质点系对 y 轴和 x 轴的静矩.
2. 平面薄片的质心
在典型小区域d中取一点( x, y ).
y
( x, y)
x
(x, y) D
则小薄片d 的质量为
m ( x, y )d
O
d y x
将 d 近似看成质点 可得平面薄片的静矩元 , 素
dM x y( x, y)d , dM y x( x, y)d .
F ( Fx , Fy , Fz )
z P (x , y ,z ) 0 0 0 0
Fx
Ω
G ( x, y, z )( x x0 ) r
第四节重积分的应用
见P167---例1
例6. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2 , 则
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
0
0
2
[ (1
R
2
)
第四节 重积分的应用
一、重积分的几何应用 *二、重积分的物理应用 三、利用对称性化简重积分 四、小结
几何应用和物理应用
• 求平面区域面积 • 求空间区域体积 • 求曲面的面积
• 求物体质量 • 求物体质心 • 求转动惯量 • 求引力
一、重积分的几何应用
1、平面区域面积：
为D 的面积, 则
D1 d D d
f(x,y)关于y 的奇偶性可类似定义，则有以下重要结论：
(1) 若D 关于 x=0(y 轴)对称(如图),
则
D
f
(x,
y) d
y
2 D1
f
0，f (x, y)关于x为奇函数，
(x, y)d，f (x, y)关于x为偶函数，
D1
ox
其中，D1为D的右半部分。
(2) 若D 关于y=0 (x 轴)对称(如图),则
例 2 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
a b 分 别 为 、 ， 求 这 三 角 形 对 其 中 任 一 直 角 边 的
转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在
y
x轴和y 轴上，如图
b
第四节 重积分的应用
1 = 3
1 故质心为 ( 0, 0, ) 3
三、平面薄片的转动惯量
个质点， 设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x 2 , y 2 )， , ( x n , y n )处，质量分别为 m1 , m 2 , , m n ． 则该质点系对于 x 轴和 y 轴的
D1
π 2
a dxdy 2 2 2 a x y
a cos θ 0 0
= 4 a ∫ dθ ∫
2
1 rdr 2 2 a r
= 2 πa 4 a .
2
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积.
x2 + y2
解
x 2 + y 2 = az , 解方程组 2 2 z = 2a x + y
b
y a ( 1 b )
x 2dx = 1 a 3bρ .
12
同理： 同理：对 x 轴的转动惯量为
I x = ρ ∫∫ y 2dxdy = 1 ab 3 ρ .
D
12
例6 求密度为ρ的均匀球体对于过 球心的一条轴l的转动惯量 的转动惯量. 球心的一条轴 的转动惯量. 取球心为坐标原点, 轴与轴 轴与轴l重 解 取球心为坐标原点, z轴与轴 重 又设球的半径为a. 合, 又设球的半径为 . 球体所占空间闭区域可表示为 ={(x, , = , y, z)| x2+y2+z2≤a2}. . 所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量 z , 所求转动惯量即球体对于 轴的转动惯量I 轴的转动惯量
∫∫∫ zρ ( x , y, z )dv , z= ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dv
8.4 重积分的应用
第四节 重积分的应用
(Application of Multiple Integrals)
—— 曲面的面积
2019年6月29日星期六
1
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一、曲面的面积 (Area of Surface)
设光滑曲面
z
n
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S M
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , za Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
h(t )
2 h(t)
2
0
h2 (t) 16r 2 rd r 13 h2 (t)
12
2019年6月29日星期六
7
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V h3(t) , S 13 h2 (t)
4
12
由题意知 dV 0.9S dt
令 h(t) 0, 得 t 100 (小时)
a ,
a2 x2 y2
a
A 2
D
1
z
2 x
zy2 dxdy
2
D
dxdy a2 x2 y2
2
a
2a d
1
rdr
0
0 a2 r2
4a2.
高等数学 第四节 重积分的应用
d A d xy Fx2 Fy2 Fz2 d xy .
cos
Fz
曲面 z f ( x , y ) , n ( fx , f y , 1) ,
cos
1
1
f
2 x
f
2 y
d A dxy cos
1
f
2 x
f
2 y
d xy
.
2
圆柱面
xy
a a
cos sin
z z
x2 y2 a2
0 2 0
A R2 sin d d
cos R
Rh
R2 2 0
d
0
sin
d
R2 2 (1 cos )
所求比值
三颗同步卫星
k
R2
2 (1 cos 4 R2
)
可覆盖除两极外的 地球全表面 .
1 cos h
2
2(R h)
42.5%
用投影方法计算 卫星覆盖面积见 P1089 .
2. 球坐标 f ( x, y, z)dv
f (r sin cos , r sin sin , r cos) r 2 sin dr d d
的质量, 重心坐标, 转动惯量 . 27
曲面的面积
d A d xy cos
z f (x, y)
dA
1
f
2 x
f
2 y
d
A
1
f
2 x
f
2 y
d
x a cos
b
dx
2(x)
a 1( x)
f
( x,
y)dy
2 画 D图,向Y 轴投影,
c y d
D 1( y) x 2( y)
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即
x 2 y 2 z 2 2az ,
而在球面坐标下的方程为 r 2a cos.
因此该立体所占区域 可表示为
0 r 2a cos ,0 ,0 2 ,
于是所求立体的体积为
V dxdydz r 2 sin drd d
解：根据圆盘的对称性及质量分布的均匀性 知 Fx Fy =0 ，故所求引力沿 z 轴的分量为
G (0 a) Fz 2 d 2 2 3/2 [ x y (0 a) ] D
d Ga 2 ( x y 2 a 2 )3/2 D
( 2 a 2 )3/2 1 1 2 Ga . 2 2 a R a
y 轴的转动惯量依次为
I x yi2 mi , I y xi2 mi .
i 1 i 1
n
n
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭 区域 D ，在点 ( x, y ) 处的面密度为 ( x, y ) ， 假定 ( x, y ) 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴 和 y 轴的转动惯量分别为：
因为 d 为 dA 在 xoy 面上的投影,
所以 d dA cos ,
cos 1
2 2 1 fx f y
,
dA 1 f x2 f y2 d ---曲面 S 的面积元素
A 1 f x2 f y2 d ,
D
曲面面积公式为： 1 ( z ) 2 ( z ) 2 dxdy A
将 dFx、dFy、dFz 在 上 分 别 积 分 ， 即 可 得
Fx、Fy、Fz ，从而得 F =(Fx ,Fy ,Fz ) .
平面薄片对质点的引力可以类似考虑。
例 5 求半径为 R 的均匀圆盘 x 2 y 2 R 2 , z 0 （面密度常数为 ）对位于点 M 0 (0,0, a) 处单 位质点的引力．
d d
0 0
2
2 a cos
0
r 2 sin dr r 2 dr
2 sin d
0
2 a cos
0
16 a 3 cos3 sin d 3 0 4 a 3 4 (1 cos ). 3
2、曲面的面积
设曲面的方程为：z f ( x , y )
dF (dFx , dFy , dFz )
(G
( x, y, z )( x x0 )
r3
dv, G
( x, y, z )( y y0 )
r3
dv, G
( x, y, z )( z z0 )
r3
dv)
dF (dFx , dFy , dFz )
(G
( x, y, z )( x x0 )
在 xoy 面上的投影区域为 D,
z
如图， 设小区域 d D,
点 ( x, y ) d ,
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y )) 的切平面.
x
M
o
s dA
d
( x, y)
y
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小柱面， 截曲面 S 为 dS；截切平面 为 dA，则有dA dS .
y ( x , y )d
D
( x , y )d
D
.
当薄片是均匀的，质心称为形心.
D
1 1 x xd , y yd . A D A D
D
其中 A d 是闭区域 D 的面积。
例 3 设平面薄板由 轴围成，它的面密度
， ，求质心坐标．
与
解:先求区域 D 的面积 A ，
I y x dxdy dy
2
b
y a (1 b )
b
o
a
x
D
0
0
1 3 x dx a b . 12
2
同理：对 x 轴的转动惯量为
I x y 2dxdy
D
1 3 ab . 12
3、引力
设物体占有空间有界闭区域 它在点
( x, y, z ) 处的密度为 ( x, y, z ) 并假定 ( x, y, z ) 在
r3
dv, G
( x, y, z )( y y0 )
r3
dv, G
( x, y, z )( z z0 )
r3
dv)
其中 dFx、dFy、dFz 为引力元素 dF 在三个坐标轴 上的分量 G 为引力常数，且
r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
z y
2
dxdy
Dxy
a a x y
2 2
dxdy
D
a a2 2
d d
a
2
0
d
a cos
1 a2 2
0
2a 2 4a 2 . d
4.2 物理应用
1、质心
设 平面上有 个质点，它们分别位于
x a
y( x) 1 1 2 a y ydxdy dx ydy 0 AD A 0 2 a 1 a 2 [ y ( x)] dx 2 0 6 a 6
2
0
[1 cos t ]3 dt 5 .
6
所求质心坐标为
.
2、转动惯量
设 xoy 平面上有 个质点，它们分别 位于 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xn , yn ) 处，质量分 别为 m1 , m2 ,, mn ． 则该质点系对于 x 轴和
xoy ，
，
n ．
处，质量分别为
则该质点系的质心的坐标为
( x 2 , y2 )
，
,
( x n , yn )
．
设有一平面薄片，占有 面上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ，假定 在 上连续，平面薄片的质心
由元素法 x Biblioteka ( x , y )dD
( x , y )d
D
, y
第八章 重积分
由银俊成制作
第四节 重积分的应用
4.1 几何应用 4.2 物理应用
4.1 几何应用
1、立体的体积 例 1 求半径为 a 的球面与半顶角为 的内接锥面
所围成的立体的体积．
解 设球面通过原点 O ，球心在 z 轴上，又内接 锥面的顶点在原点 O ，其轴与 z 轴重合，则半径 为 a 的球面的直角方程为
Dxy
x
y
同理可得 若曲面的方程为：
x g( y , z )
2 x 1 x dydz; z y 2
曲面面积公式为： A
Dyz
若曲面的方程为：
y h( z , x )
曲面面积公式为：A
Dzx
y y 1 dzdx. z x
上连续．在物体内任取一点 ( x, y, z ) 及包含该点 的一直径很小的闭区域为 dv (其体积也记为 把这一小块物体的质量 dv 近似地看作集 dv )． 中 在 点 ( x, y , z ) 处 这 一 小 块 物 体 对 位 于
P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的单位质量的质点的引力近似为
0 0
Ga d
2
R
d
小结
几何应用：立体的体积、曲面的面积
物理应用：质心、转动惯量、引力 （注意审题，熟悉相关物理知识）
2 2
例2
求球面 x 2 y 2 z 2 a 2 含在圆柱体
x 2 y 2 ax 内部的那部分面积.
解:设第一卦限部分的面积为 A1 ， 则由对称性，所求的面积为
A 4 A1,
曲面方程
1 z z x y a ,
薄片对于x 轴的转动惯量
I x y 2 ( x, y )d ,
D
薄片对于y 轴的转动惯量
I y x 2 ( x, y )d .
D
例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边 长分别为 a 、 b ，求这三角形对其中任一直 角边的转动惯量. y
解： 设三角形的两直角边分别在 x 轴和 y 轴上，如图 对 y 轴的转动惯量为
y(x )
0 t 2 ，
0 x 2a
D
A
2 0 2
2 a
0
y ( x)dx
a
2a
a(1 cos t )d[a(t sin t )] a 2 (1 cos t ) 2 dt 3a 2 . 0
由于区域关于直线
所以质心在
对称 ，
即 上， ,
2 2
,
z a2 x2 y2 z
a
o
a
a x y
2 2
a
2
y
x
y
Dxy ： x 2 y 2 ax
( x , y 0)
D
a cos
极坐标系下表示：
0 , 2
o
a
x
0 a cos .
A1 1 z x D
xy
2
2