江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆(隐形圆)问题学案

专题07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆（隐形圆）问题

知识点归纳：

一、圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心),(b a ，半径r 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x

当

04422>-+F

E D 时，才能表示圆，圆心)2,2(E D --，半径4

422F

E D r -+=

当

04

422=-+F

E D ，表示一个点)2,2(E D -- 当

04

422<-+F

E D ，不表示任何图形 二、直线与圆的位置关系

设圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，直线方程：0=++C By Ax

判别方法1：设圆心到直线的距离为d ，若r d >，直线与圆相离；若r d =，直线与圆相切；若r d <，直线与圆相交；

判别方法2：将直线与圆联立方程组消元得到一个关于x 或者y 的一元二次方程，若0>∆，直线与圆相交；若0=∆，直线与圆相切；若0<∆，直线与圆相离； 三、圆与圆的位置关系

设圆的方程0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 圆21,C C 的圆心距为d ，1C 的半径为1r ，2C 的半径为2r

若21r r d +>，两圆相外离；若21r r d +=，两圆相外切；若2121r r d r r +<<-，两圆相交； 若21r r d -=，两圆相内切；若21r r d -<，两圆相内含； 四、圆系方程

①设直线0=++C By Ax 与圆02

2=++++F Ey Dx y x 相交，则过两交点的圆的方程为

0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ

②设圆0:1112

2

1=++++F y E x D y x C ，圆0:2222

2

2=++++F y E x D y x C 相交，则过两交点的圆的方

程为022********=+++++++++）（F y E x D y x F y E x D y x λ

注：1-≠λ时，表示过两交点的圆；1-=λ时，表示过两交点的直线方程，即圆与圆的相交弦所在的直线方程

以),(b a A ，),(d c B 为直径端点的圆的方程0))(())((=--+--d y b y c x a x 五、阿波罗尼斯圆

动点P 到两定点B A ,的距离的比值为一定值，即PB PA λ=，且1≠λ的点的轨迹是圆. 当1=λ时，动点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线，将其称之为阿波罗尼斯圆

江苏高考中每年都会有圆的试题，填空题和解答题甚至应用题中都有可能出现，考点也不外乎上述的知识点总结，下面我们通过实例来看看每个知识点的考法。

例1、（2013江苏卷17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

考点：圆的切线方程，阿波罗尼斯圆，圆与圆的位置关系 解：（1）由⎩⎨

⎧-=-=1

4

2x y x y 得圆心C 为)2,3(，∵圆C 的半径为1

∴圆C 的方程为：1)2()3(22=-+-y x

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx

∴

11

3

232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43

-=k

∴所求圆C 的切线方程为：3=y 或者34

3

+-

=x y 即3=y 或者01243=-+y x （2）∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为)42,(-a a 则圆C 的方程为：[]1)42()(2

2=--+-a y a x

又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y ）则2

2222)3(y x y x +=-+整理得：4)1(22=++y x 设为圆D ∴

点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(122

2+≤---+≤

-a a

由08852

≥+-a a 得R x ∈

由01252

≤-a a 得5

120≤

≤x 终上所述，a 的取值范围为：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡512,

0 例2、（2016年江苏高考18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；

（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；

（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．

考点：圆的标准方程，直线与圆相交、相切

解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()22

26x y n n -+-=， 0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()2

2

6725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，

即圆N 的标准方程为()()22

611x y -+-=．

（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d =

=

，

则BC =BC =，

解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-．

例3、（2017江苏高考13）在平面直角坐标系xOy 中，)0,12(-A ，)6,0(B ，点P 在圆50:2

2

=+y x O 上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 考点：圆的轨迹，圆与圆相交交点

解：设),(y x P ，则),12(y x PA ---=，)6,(y x PB --=

因为20≤⋅，所以20)6()12(≤-++y y x x ，化简得65)3()6(2

2

≤-++y x 故P 点的轨迹表示为圆65)3()6(2

2

=-++y x 上的点和园内的所有点

圆50:2

2

=+y x O 与圆65)3()6(2

2

=-++y x 相交的交点横坐标通过联立两圆的方程解得交点横坐标为

5-=x 或1=x