高中数学第三章不等式311不等关系与不等式课后训练新人教B版5.

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高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5

A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

2017-2018学年高中数学(人教B版)5名师讲义：第三章3.1 不等关系与不等式含答案

均值不等式（1）均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？（2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？（3）一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？［新知初探］1．均值定理如果a，b∈R＋,那么a＋b2≥错误!。

当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．对任意两个正实数a，b，数错误!称为a,b的算术平均值（平均数)，数错误!称为a,b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．[点睛］（1）“a＝b”是错误!≥错误!的等号成立的条件．若a≠b，预习课本P69~71，思考并完成以下问题则错误!≠错误!，即错误!＞错误!。

(2)均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同，前者a ＞0，b＞0,后者a∈R，b∈R.2．利用均值不等式求最值(1）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√",错误的打“×”）(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!均成立（)(2)若a≠0，则a＋错误!≥2错误!＝4（）（3)若a〉0,b〉0，则ab≤错误!2（）解析：(1)错误．任意a,b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2错误!成立．（2)错误．只有当a>0时,根据均值不等式,才有不等式a＋错误!≥2错误!＝4成立．（3)正确．因为错误!≤错误!,所以ab≤错误!2.答案：(1）×(2)×(3）√2．已知f（x)＝x＋错误!－2（x＞0)，则f(x）有（)A．最大值为0 B．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2答案：B 3．对于任意实数a ,b ，下列不等式一定成立的是( ）A ．a ＋b ≥2错误!B.错误!≥错误! C ．a 2＋b 2≥2abD.错误!＋错误!≥2答案：C4．已知0＜x ＜1，则函数y ＝x (1－x )的最大值是________．答案：14利用均值不等式比较大小［典例] (1）已知m ＝a ＋错误!(a 〉2)，n ＝22－b 2（b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ）A ．m 〉nB ．m 〈nC ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝错误!，Q ＝错误!(lg a ＋lg b ）,R ＝lg 错误!，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析］（1)因为a 〉2，所以a －2>0,又因为m ＝a ＋错误!＝(a －2)＋错误!＋2,所以m≥2错误!＋2＝4,由b≠0,得b2≠0,所以2－b2〈2,n＝22－b2<4，综上可知m>n.(2）因为a>b〉1，所以lg a〉lg b〉0，所以Q＝错误!(lg a＋lg b)>错误!＝P;Q＝错误!（lg a＋lg b）＝lg 错误!＋lg 错误!＝lg 错误!〈lg 错误!＝R.所以P〈Q〈R.[答案] （1）A （2)P<Q<R利用均值不等式比较实数大小的注意事项（1）利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式（和与积),同时要注意结合函数的性质（单调性）．(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式课后作业(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二

3.1 不等关系与不等式1.已知a<b,则下列不等式正确的是( )A. B.a2>b2C.2-a>2-bD.2a>2b答案:C2.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)<g(x)D.随x值变化而变化解析:f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴f(x)>g(x).答案:A3.若x<a<0,则一定成立的不等式是( )A.x2<ax<0B.x2>ax>a2C.x2<a2<0D.x2>a2>ax解析:取x=-2,a=-1,则x2=4,a2=1,ax=2,∴x2>ax,可排除A,显然C不正确.又a2=1,∴ax>a2.∴排除D,故选B.答案:B4.设α∈,β∈,则2α-的取值范围是( )A. B.C.(0,π)D.解析:∵0<2α<π,0≤,∴-≤-≤0.由同向不等式相加得到-<2α-<π. 答案:D5.若a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( )A.ab>acB.ac>bcC.a|b|>c|b|D.a2>b2>c2解析:由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c<0,又∵a>0,b>c,∴ab>ac.答案:A6.若x∈R,则的大小关系为.解析:∵≤0,∴.答案:7.给出四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.其中能推得成立的是.答案:①②④8.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围为.解析:若a>0,由ab2>a>ab得b2>1>b,∴b<-1;若a<0,由ab2>a>ab得b2<1<b,∵b>1,∴b2>1.所以上式不成立.所以b的取值范围是(-∞,-1).答案:(-∞,-1)9.已知12<a<60,15<b<36,求a-b,的取值范围.解:∵15<b<36,∴-36<-b<-15.∴12-36<a-b<60-15.∴-24<a-b<45.又,∴.∴<4.10.已知a>b>0,m>0,求证:.证明:=.∵a>b>0,m>0,∴b-a<0,a+m>0, ∴<0.∴.。

高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(1)课后训练新人教B版必修5

3.1 不等关系与不等式课后训练1．已知a ，b 分别对应数轴上的A ，B 两点，且A 在原点右侧，B 在原点左侧，则下列不等式成立的是( )．A ．a －b ≤0 B．a ＋b ＜0C ．|a |＞|b |D ．a －b ＞02．已知=3a3b，=10c -，那么下列各式正确的是( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b3．如图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y (万元)与销售量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，若该公司赢利，则销售量x 应满足( )．A ．x ＞aB ．x ＜aC ．x ≥aD ．0≤x ＜a4．x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系为( )．A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．不能确定5．已知－1＜a ＜1，则11a +与1－a 的大小关系为______． 6．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器与B 容器的容积相等．若前一个量用a 表示，后一个量用b 表示，则上述事实可表示为：______；______；______.7．121log 3______131log 2(选填“＞”、“＜”、“≤”或“≥”)． 8．已知a ，b 均为正数，n ∈N ＋，比较(a ＋b )(a n ＋b n )与2(an ＋1＋b n ＋1)的大小．实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1，且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小．参考答案1. 答案：D解析：由题意知，a ＞0，b ＜0.2. 答案：A解析：=30a <，30b >，c b >.∴a ＜b ＜c .3. 答案：A解析：该公司赢利时，销售收入应大于销售成本，即f (x )＞g (x )．4. 答案：C解析：x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－15＋8＝－7＜0，∴x ＜y .5. 答案：111a a ≥+－解析：22111111(1)1111a a a a a a a a a -(-)(+)-(-)===++++--.∵－1＜a ＜1，∴a ＋1＞0，a 2≥0，∴11a +－(1－a )≥0，即11a +≥1－a .6. 答案：a ＜b a ＞b a ＝b7. 答案：＞解析：22112311lg lg 11lg3lg2lg 3lg 232log log ==1132lg2lg3lg2lg3lg lg 23--=--＝lg3lg2lg3lg2lg2lg3(+)(-)＞0， ∴121log 3＞131log 2.8. 解：(a ＋b )(a n ＋b n )－2(a n ＋1＋b n ＋1)＝a n ＋1＋ab n ＋a n b ＋b n ＋1－2a n ＋1－2b n ＋1＝ab n ＋a n b －a n ＋1－b n ＋1＝a (b n －a n )＋b (a n －b n )＝(a －b )(b n －a n )，∵a ，b 为正数，n ∈N ＋且n ≥1，∴①当a ＞b ＞0时，a －b ＞0，b n ＜a n .∴(a －b )(b n －a n )＜0.②当b ＞a ＞0时，a －b ＜0，b n ＞a n .∴(a －b )(b n －a n )＜0.③当a ＝b ＞0时，a －b ＝0.所以(a －b )(b n －a n )＝0.综上所述，(a ＋b )(a n ＋b n )－2(a n ＋1＋b n ＋1)≤0.即(a ＋b )(a n ＋b n )≤2(a n ＋1＋b n ＋1)．9. 解：∵x 2－2x ＋y ＝z －1，∴z －y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴z ≥y .又x ＋y 2＋1＝0，∴y 2＝－(x ＋1)≥0，∴x ≤－1，且y =当=y时，x >，∴y ＞x ；当y y ≥0，x ≤－1，∴y ＞x .综上知，z ≥y ＞x .。

(新课标)高中数学第3章不等式 3.1 不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式课时作业新

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关系与不等式课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．实数m不超过错误!,是指错误!( D ）A．m〉错误!B．m≥错误!C．m<错误!D．m≤错误![解析]“不超过”就是“小于等于"，故选D．2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是错误!（ A )A．M>N B．M＝NC．M〈N D．与x有关［解析]M－N＝x2＋x＋1＝（x＋错误!）2＋错误!>0，∴M>N.3．已知a＝2－错误!，b＝错误!－2，c＝5－2错误!，那么下列各式正确的是错误!( A ）A．a<b〈c B．a〈c〈bC．b<a〈c D．c〈a〈b［解析]∵a〈0,b>0，∴a<b。

又∵c－b＝7－3错误!〉0，∴c>b，∴a〈b〈c.4。

如图，y＝f（x）反映了某公司的销售收入y万元与销量x之间的函数关系,y＝g(x）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x满足什么条件时,该公司赢利错误!( A ）A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a5．设M＝x＋1x＋2,N＝错误!，则M与N的大小关系为错误!( D )A．M<NB．M>NC．仅当x>0时，M〈ND．当x〉－2或x〈－4时，M<N[解析］M－N＝错误!－错误!＝错误!＝错误!，所以当（x＋2）（x＋4)>0，即x<－4或x>－2时,M－N<0,即M<N。

高中数学第三章不等式31不等关系与不等式311不等关系与不等式学案新人教B版必修5

3.1.1 不等关系与不等式1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．能用作差法比较大小．1．不等关系与不等式【做一做1】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h米满足关系为( )．A．h＜4.5 B．h＞4.5C．h≤4.5 D．h≥4.52．实数大小的比较(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系．①数轴上的任意两点中，____边点对应的实数比____边点对应的实数大．②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：【做一做2－)．A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0【做一做2－2】设a，b∈R＋，P＝a＋b，Q＝a＋b，则P与Q的大小关系是( )．A．P≥Q B．P≤QC．P＞Q D．P＜Q一、比较大小常用的方法剖析：证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法． (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决．①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与1进行比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较，例如，比较a a b b与(ab )a ＋b2的大小就可以使用作商法．③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法．要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．(2)要注意不等式与函数的结合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤其是函数的单调性．如：a ＞b ⇔a 3＞b 3，可根据幂函数y ＝x 3在R 上单调递增得到．利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时应做到不重不漏．二、教材中的“思考与讨论”已知a b ＝c d，如果c ＞d ，那么a ＞b 是否一定成立？请说明理由．剖析：不一定成立．如c ＝1，d ＝－1时，c ＞d ，此时若a ＝－1，b ＝1，也满足a b ＝c d，但不满足a ＞b .题型一用不等式(组)表示不等关系【例1】某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．分析：解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可．反思：本题易忽略甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误．导致错误的原因是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．题型二比较两数的大小【例2】当x ≥1时，比较x 3＋1与2x 2－2x ＋2的大小．分析：根据a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，只需比较所给两个式子的差值与0的大小即可．反思：利用作差法比较大小时关键在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，然后确定每个因式的符号，从而确定积的符号．变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法．题型三不等关系的实际应用【例3】商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯； (2)按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x 个，付款数为y (元)，试分别建立两种优惠办法的y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．分析：本题是一次函数问题，通过建立两种优惠办法的一次函数模型，然后利用作差法讨论选哪种优惠办法．反思：利用作差法比较两个代数式的大小时，如果不能直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类讨论．题型四易错辨析【例4】设a ＋b ＞0，n 为偶数，比较b n －1a n ＋a n －1b n 与1a ＋1b 的大小．错解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b＝a n －b na n －1－b n －1ab n.∵n 为偶数，∴(ab )n＞0. 又a n －b n 与a n －1－b n －1同号， ∴a n －b na n －1－b n －1ab n ＞0，即b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b＞0.∴b n －1a n ＋a n －1b n ＞1a ＋1b. 错因分析：n 为偶数时，a n－b n和a n －1－b n －1不一定同号，这里忽略了在题设条件a ＋b＞0且没有明确字母的具体值的情况下，要考虑分类讨论，即对a ＞0，b ＞0和a ，b 有一个负值的情况加以讨论．1下列不等式一定成立的是( )． A ．－3＜－4 B ．0≤0 C ．3≥4 D ．－5≤－62如果log a 3＞log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．1＜a ＜b D ．1＜b ＜a3若x ＞1＞y ，则下列不等式中不成立的是( )． A ．x －1＞1－y B ．x －1＞y －1 C ．x －y ＞1－y D ．1－x ＞y －x4已知a ＞b ，则a 3与b 3的大小关系是________． 5用“＞、＜、≥、≤”号填空．(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45；(2)a 2＋b 2________2(a －b －1)．答案：基础知识·梳理 1．(2)不等号【做一做1】C 2．(1)右左【做一做2－1】C【做一做2－2】C P 2＝(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，Q 2＝(a ＋b )2＝a ＋b .∵a ，b ∈R ＋，∴P 2＞Q 2.∴P ＞Q .典型例题·领悟【例1】解：设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .【例2】解：x 3＋1－(2x 2－2x ＋2)＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝x 3－x 2－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵x ≥1，∴x －1≥0，(x －12)2＋34＞0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]≥0.∴x 3＋1≥2x 2－2x ＋2.【例3】解：由优惠办法(1)得：y 1＝20×4＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4)，由优惠办法(2)得：y 2＝(5x ＋20×4)×92%＝4.6x ＋73.6(x ≥4)． y 1－y 2＝0.4x －13.6(x ≥4)，令y 1－y 2＝0，得x ＝34.当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x ＜34时，y 1＜y 2，优惠办法(1)省钱；当x ＞34时，y 1＞y 2，优惠办法(2)省钱．【例4】正解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n. (1)当a ＞0，b ＞0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n＞0，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n≥0，故b n －1a n ＋a n －1bn ≥1a ＋1b.(2)当a ，b 有一个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，且a ＋b ＞0，所以a ＞|b |.又n 为偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，且(ab )n＞0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n≥0，即b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b. 综合(1)(2)可知，b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b.随堂练习·巩固1．B 不等式a ≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a ＝b ”，不等式a ≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a ＝b ”，根据含义可知只有选项B 正确．2．A ∵a ＋b ＝1，a ，b ∈R ＋，∴0＜a ＜1,0＜b ＜1.∵log a 3＞log b 3，∴lg 3lg a ＞lg 3lg b.∴lg a ＜lg b ．∴0＜a ＜b ＜1. 3．A ∵x ＞1＞y ，∴x ＋(－1)＞y ＋(－1)，即选项B 正确； x ＋(－y )＞1＋(－y )，即选项C 正确； 1＋(－x )＞y ＋(－x )，即选项D 正确．故选A.4．a 3＞b 3 因为a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )[(a ＋b 2)2＋3b 24]＞0，所以a 3＞b 3.5．＜ ≥ (1)(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6＜0，所以(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45；(2)a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．。

人教新课标版数学高二数学必修五练习3-1不等关系与不等式

第三章不等式3.1 不等关系与不等式双基达标 (限时20分钟)1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >95y >380z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45 解析 “不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.答案 D2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )．A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b 解析由a ＋b >0知a >－b ，∴－a 0，∴a >－b >b >－a .答案 C3．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )． A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2.∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2.∴x 2>xa >a 2.答案 B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.答案 [－1,6]5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．答案 f (x )>g (x )6．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.上面两式相加得：－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4，∴－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0，故－π2≤α－β2<0.综合提高 (限时25分钟)7．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )． A ．ab >ac B ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2解析由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.答案 A8．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )．A ．a 0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .答案 C9．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．答案 a ＋m b ＋m >a b10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n . ∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .答案 A >B 11．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b . 证明 ∵b 2a ＋a 2b－a －b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab， ∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0. ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 12．(创新拓展)已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5.求f (3)的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2).得⎩⎨⎧ a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)． ∵－1≤f (2)≤5，∴－83≤83f (2)≤403. ∵－4≤f (1)≤－1，∴⎝⎛⎭⎫－53×(－1)≤－53f (1)≤⎝⎛⎭⎫－53×(－4)． ∴－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203，即－1≤f (3)≤20.即f (3)的取值范围是[－1,20]．。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教

3.1《不等关系与不等式》（第1课时）一、选择题：1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关【答案】A【解析】 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．若a 1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵－1b 2>0>b >－1，即b ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 【答案】C【解析】 ∵c 0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b【答案】B【解析】选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不等成立，故选B ．6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c b cD ．a d 0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bddc，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查．8．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 220，∴a 2＋b 22>ab ＝2sin60°×2sin61°＝3sin61°>2sin61°＝b ，故a 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C ．二、填空题：10．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________．【答案】x ＜y【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y . 11．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b成立的是________．【答案】①、②、④【解析】 1a ＜1b ⇔b －aab＜0，∴①、②、④能使它成立．12．a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________．【答案】M ＞N【解析】 ∵a ≠2，b ≠－1，∴M －N ＝a 2＋b 2－4a ＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2＞0，∴M >N . 三、解答题13．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【答案】见解析【解析】设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数． (2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：关系的不等式．【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.15．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．【答案】见解析【解析】根据同底数幂的运算法则．a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b>a b b a.。

_高中数学第三章不等式1不等关系与不等式2作业含解析新人教版必修

不等关系与不等式基础巩固一、选择题1．已知a 、b 、c 、d 均为实数，有下列命题 ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b＞0； ②若ab ＞0，c a －d b＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b＞0，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab＜0，又∵bc －ad ＞0∴1ab ·(bc －ad )＜0即c a －db＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b＞0， ∴ab (c a －d b)＞0，即：bc －ad ＞0， ∴②正确； ③∵c a －d b ＞0∴bc －adab＞0，又∵bc －ad ＞0∴ab ＞0∴③正确．2．若a 1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a 0，则( )A ．a 2<－ab 0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab －a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ．5．已知|a |<1，则1a ＋1与1－a 的大小关系为( ) A ．1a ＋1<1－a B ．1a ＋1>1－a C ．1a ＋1≥1－a D ．1a ＋1≤1－a [答案] C[解析] 解法一：检验法：令a ＝0，则1a ＋1＝1－a ，排除A 、B ；令a ＝12，则1a ＋1>1－a ，排除D ，故选C ．解法二：∵|a |<1，∴1＋a >0， ∴11＋a －(1－a )＝a 21＋a ≥0， ∴1a ＋1≥1－a . 6．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b>b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．二、填空题7．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③，⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②，⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可． [解析]c a >db⇒bc －adab＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc ＞ad ，若①成立，则bc ab ＞ad ab ，∴c a ＞db∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．8．实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件：①d >c ；②a ＋d c ，∴d －c >0，又∵a ＋d d －c >0， ∴b >a . 三、解答题9．(1)已知c ＞a ＞b ＞0.求证：ac －a ＞bc －b.(2)已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋mb ＋m ＞ab. [解析] (1)∵c ＞a ＞b ＞0∴c －a ＞0，c －b ＞0，⎭⎪⎬⎪⎫由a ＞b ＞0⇒1a ＜1b c ＞0⇒c a ＜c b⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a ＜c －bbc －a ＞0 c －b ＞0⇒a c －a ＞b c －b.(2)证法一：a ＋mb ＋m －a b ＝m b －ab b ＋m，∵0＜a ＜b ，m ＞0，∴m b －a b b ＋m ＞0，∴a ＋m b ＋m ＞ab.证法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －ab ＋m＞ 1－b －a b ＝a b. 证法三：∵a 、b 、m 均为正数，∴要证a ＋m b ＋m ＞ab，只需证(a ＋m )b ＞a (b ＋m )，只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ，只要证bm ＞am ，要证bm ＞am ，只需证b ＞a ，又已知b ＞a ， ∴原不等式成立．10．已知2<m <4,3<n <5，求下列各式的取值范围． (1)m ＋2n ； (2)m －n ； (3)mn ； (4)m n.[解析] (1)∵3<n <5，∴6<2n <10. 又∵2<m <4，∴8<m ＋2n <14. (2)∵3<n <5，∴－5<－n <－3. 又∵2<m <4，∴－3<m －n <1. (3)∵2<m <4,3<n <5， ∴6<mn <20.(4)∵3<n <5，∴15<1n <13.由2<m <4，可得25<m n <43.一、选择题1．已知a 、b 为非零实数，且a 12故A 错，对于B 要使ab 2<a 2b 成立，即ab (b －a )<0成立，而此时ab 的符号不确定，故B 错．对于D 要使b a <a b 成立，即b 2－a 2ab<0成立，ab 的符号也不确定．故D 错．2．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.3．已知函数f (x )＝x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3是单调递增函数，x 1<－x 2，x 2<－x 3，x 3<－x 1，∴f (x 1)<f (－x 2)，f (x 2)<f (－x 3)，f (x 3)<f (－x 1)，又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0，f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 3)＋f (x 1)<0 ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ∵1a ＜1b＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立；又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝a －b 2＋2ab ab ＝a －b 2ab＋2且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B ．二、填空题5．若a >0，b >0则a ＋b ________a ＋b (填上适当的等号或不等号)． [答案] >[解析] ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2>(a ＋b )2，即a ＋b >a ＋b . 6．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝a b ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋nb ＋n的大小顺序是________________．[答案] p ＜r ＜s ＜q[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝57，s ＝53则p ＜r ＜s ＜q (特值探路)．具体比较如下：p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝b －a ma a ＋m＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0， ∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋nb ＋n＞1，∴r ＜s . 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝b －a b ＋a ＋m ＋na ＋mb ＋n＜0. ∴r ＜s .s －q ＝a ＋nb ＋n －a b ＝b －a ·nb b ＋n＜0， ∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题7．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy的取值范围． [解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32； ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218. 8．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n＋b n与a n －1b ＋ab n －1的大小．[解析] (a n＋b n)－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)，(1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0， (2)当0＜a ＜b 时，an －1＜bn －1，∴(a －b )(an －1－bn －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(an －1－bn －1)＞0.∴a n＋b n＞an －1b ＋ab n －1.9. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45xn ，y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn＝14x －120xn ＝14x (1－n5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。

高中数学第三章不等式 3.1.1 不等关系与不等式课后训练新人教B版必修5

3.1.1 不等关系与不等式课后训练1．若ln22a=，ln33b=，ln55c=，则( )．A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c2．如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是( )．A．11a b< B．－a＜bC．a2＜b2 D．|a|＞|b|3．已知a＜b，则下列不等式正确的是( )．A．11a b> B．a2＞b2C．2－a＞2－b D．2a＞2b4．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )．A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－dC．ac＞bd D．a b d c >5．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系．(1)当销量x满足________时，该公司赢利；(2)当销量x满足________时，该公司亏损( )．①x＞a；②x＜a；③x≥a；④0≤x＜a.A．①② B．③④C．①④ D．②③6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为________．7．如果[x]表示不超过x的最大整数，a＝[－3.1]，b＝[m]，c＝[7.1]，且a≤b≤c，那么实数m的取值范围是________．8．在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，且a1≠a3，则a2______b2(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”)．9．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c三个实数的大小．10．船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？参考答案1. 答案：C 易知a ，b ，c 都是正数，2ln 33ln 2b a =＝log 89＞1，所以b ＞a ；5ln 22ln 5a c =＝log 2532＞1，所以a ＞c .所以b ＞a ＞c .2. 答案：A 如果a ＜0，b ＞0，那么10a <，10b >， ∴11a b<，故选A. 3. 答案：C4. 答案：A 可以取值代入检验，也可以作差进行比较，由条件易知a ＋c －(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )＞0，故选项A 正确．5. 答案：C 当销售收入f (x )大于销售成本g (x )时，该公司赢利；当销售收入f (x )小于销售成本g (x )时，该公司亏损．故选C.6. 答案：f (x )＞g (x ) f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋1－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，所以f (x )＞g (x )．7. 答案：－4≤m ＜8 根据定义，可知a ＝－4，c ＝7，所以－4≤b ≤7，再根据定义知，m 最小值为－4，最大值也不能达到8，因此m 的取值范围是－4≤m ＜8.8. 答案：＜设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，则a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ＝a 1＋2d .∵a 3＝b 3，∴a 1q 2＝a 1＋2d ，即2d ＝a 1(q 2－1)．∴d ＝12a 1(q 2－1)． ∵a 1≠a 3＝a 1q 2，∴q 2≠1.∴q ≠±1.∵a 2－b 2＝a 1q －(a 1＋d )＝a 1q －a 1－12a 1(q 2－1) ＝－12a 1(q －1)2＜0， ∴a 2＜b 2.9. 答案：解：b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0.所以b ≥c .由题意可得方程组22346,4 4.b c a a b c a a ⎧+=-+⎨-=-+⎩解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1.所以c －a ＝a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34＞0，所以c ＞a .故b ≥c ＞a .10. 答案：解：不相等．理由如下：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v ，水流速度为v ′(v ＞v ′＞0)，则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间222s s vs t v v v v v v =+=+'-'-'，∴平均速度222s v v v t v -'==，∴222v v vv v vv v-''-=-=-<.∴v v<.因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度．。

高中数学人教B版必修5 3.1 素材《3.1.1不等关系与不等式》提升训练(人教B)

提升训练
1.比较23x +与3x 的大小，其中x ∈R
解：()2222223333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0>，233x x ∴+>
方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：
第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号最后得出结论。

2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔。

已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设他所能
买的笔记本和钢笔的数量分别为x ,y ，则x ,y 应满足关系式2520,,.x y x N y N +≤⎧⎪∈⎨⎪∈⎩
3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的13
，白球与黑球的个数之和至少为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（,,x y z ∈N *）. 解：,3255.
x y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩。

人教B版人教B版高中数学必修五第3章+3.1不等关系与不等式+同步测试().docx

3.1 不等关系与不等式（数学人教B版必修5）9．(20分) 已知0<a<1，0<b<1，0<c<1.求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于14.10.（20分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：3.1 不等关系与不等式（数学人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.1 不等关系与不等式（数学人教B 版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：若a<b<0，则a 2>b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a >ab，故D 错；若ab>0，则a 2b<ab 2，故B 错.2.B 解析：∵ 1a <1b<0，∴ b<a<0，∴ a+b<0<ab ，|b|>|a|，∴ a 2b ，c 2+1>0，∴21a c +>21bc +. 4.C 解析：∵ c<a 且ac<0，∴ c<0<a.但b 的符号不确定，∴ 当b=0时，cb 2=ab 2=0，∴ cb 2<ab 2不一定成立.二、填空题5.-3＜α-|β|＜3 解析：∵ -4＜β＜2，∴ 0≤|β|＜4.∴ -4＜-|β|≤0.∴ -3＜α-|β|＜3.6. 3 解析：由bc-ad>0得bc>ad ，又ab>0，∴bc ab >adab，即c a >d b ，∴ c a -d b >0，故①正确；由ab>0，c a -d b >0，得ab （c a -d b ）>0，即bc-ad>0，故②正确；由c a -db>0，得bc adab->0，∵ bc-ad>0，∴ ab>0，故③正确. 三、解答题7. 解法1：整体代换.令f （3）=9a+b=m （a+b ）+n （4a+b ）=（m+4n ）a+（m+n ）b ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38,3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即f （3）=53-（a+b ）+83（4a+b ）.因为1≤a+b ≤2，2≤4a+b ≤3，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元.令a+b=x ，4a+b=y ，则a=3y x -，b=43x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3. 因为f （3）=9a+b=853y x-，6≤8y-5x ≤19，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法3：增元换元. 令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,3453t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩.因为0≤t ≤1，0≤s ≤1，且f （3）=9a+b=58143t s -+，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 8．解：=≥0，∴ c ≥b . 又由①-②，得，即.∵= ＞0，∴＞a ，∴ b ＞a ，∴ c ≥b ＞a . 9. 证明：假设（1-a ）b>14，（1-b ）c>14，（1-c ）a>14，2≥0，展开得(1)2a b-+>12.同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12. ∴(1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，互相矛盾.∴原结论成立.10. 证明：∵（b-c）2≥0，∴ b2+c2-2bc≥0，即b2+c2≥2bc.又a>0，∴ a（b2+c2）≥2abc.同理b（c2+a2）≥2abc，c（a2+b2）≥2abc.∵ a，b，c不全相等，∴以上三个式子中至少有一个式子取不到等号. 故。

人教B版人教B版高中数学必修五3.1不等关系与不等式(人教实验B版).docx

3.1不等关系与不等式（人教实验B 版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知a ，b 为非零实数，且a |b |；③a b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1b B.a 2>b 2 C.21a c +>21b c + D.a |c |>b |c | 4.如果c acB.c （b -a ）>0C.cb 2<ab 2D.ac （a -c ）<0二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与ab d-的大小关系是.6.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc -ad >0，则c a -db>0； ②若ab >0，c a -db>0，则bc -ad >0； ③若bc -ad >0，c a -db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是.三、解答题(共70分)7．（15分）已知f （x ）=ax 2+b ，若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.8.（20分）已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：a （b 2+c 2）+b （c 2+a 2）+c （a 2+b 2）>6abc .9.(15分)已知0<a<1，0<b<1，0<c<1.求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于14.10.（20分）若二次函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.3.1 不等关系与不等式（数学人教实验B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.3.1 不等关系与不等式（数学人教实验B版必修5）答案一、选择题1.C 解析：若a b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a >ab，故D 错；若ab >0，则a 2b <ab 2，故B 错. 2.B 解析：∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴a 2b ，c 2+1>0，∴21a c +>21bc +.4.C 解析：∵c <a 且ac <0，∴c <0<a .但b 的符号不确定，∴当b =0时，cb 2=ab 2=0，∴cb 2<ab 2不一定成立.二、填空题5.b ac -<a bd -解析：∵a >b >0，-c >-d >0，∴a -c >b -d >0，∴ 0<1a c -<1b d-. ∵a >b >0，∴b a c -<ab d-.6.3 解析：由bc -ad >0得bc >ad ，又ab >0，∴bc ab >ad ab ，即c a >d b ，∴c a -db>0，故①正确；由ab >0，c a -d b >0，得ab （c a -db ）>0，即bc -ad >0，故②正确；由c a -d b >0，得bc ad ab->0，又bc -ad >0，∴ab >0，故③正确. 三、解答题7. 解法一：整体代换.令f （3）=9a +b =m （a +b ）+n （4a +b ）=（m +4n ）a +（m +n ）b ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即f （3）=53-（a +b ）+83（4a +b ）.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元.令a +b =x ，4a +b =y ，则a =3y x -，b =43x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3. 因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y -5x ≤19，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].8.证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc . ∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三个式子中至少有一个式子取不到等号（这是在论证中极易忽略的）. 故a （b 2+c 2）+b （c 2+a 2）+c （a 2+b 2）>6abc .9.证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14，由（1a --b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12.同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴(1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾.∴原结论成立.10.解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），则f （1）=a+c ，f （2）=4a+c. 又∵f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4，∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32.∴ 14≤8f （2）-5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。