第7章-空间分析

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空间分析

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Hale Waihona Puke 何中心的计算XG X
i
i
n
YG
Y
i
i
n
X,Y 分别是多边形顶点坐标；n 为顶点数； XG,YG 为多边形的重心，也称质心。注意重心不一定在多边型内。
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7.3 空间数据的查询分析
空间数据的查询是GIS最基本、最重要的功能之一。空间数据查询的实质是找出满足属性约束条件和空间约束条件的地理对象。通常属性约束条件用带有比较运算符的逻辑表达式描述。 GIS中用户的很多问题可通过查询解决，查询还能派生新数据。空间数据的查询涉及到空间数据模型、空间数据拓扑关系、空间索引等。
3
2、按空间数据特征看GIS空间分析分类
1) 空间数据的空间特性分析空间位置分析：指通过空间坐标系中坐标值来确定空间物体的地理位置。空间分布分析：空间分布反映了同类空间物体的群体定位信息。空间形态分析：空间形态反映了空间物体的几何特征，包括形态表示和形态计算两个方面。前者如走向、连通性等，后者如面积、周长、坡度。空间关系分析：空间关系反映空间物体之间的各种关系，如方位关系、距离关系、拓扑关系、相似关系等。 2) 空间数据的非空间特性分析主要是基于数据库的统计分析。
根据点在多边形内的条件,判别每个点在哪个多边形内形成和多边形联合的属性表
点 1 2 3 属性多边形 A B C 属性1 属性2
*1 *2 *4
*3
4
D
点 1 2 3 4 多边形 A D C B
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点属性面属性1 面属性2
A B
D C
这一功能常用于城市中各种服务设施分布情况的分析。
1）点与多边形的叠合
空间数据的叠置在图层间进行，叠置图层其投影方式、比例尺必需一致、进行配准，使同一地区的轮廓线必需相同。

第七章物流空间效益分析

（二）优化物流路径的原则
1.靠近的站点群安排行车路线 2.从距仓库最远的站点开始设计路线 3.各条行车路线之间没有交叉 4.使用最大的车辆进行运送 5.送货取货应该混合安排 6.对特殊情况采取灵活多样运送方式 7.避免时间窗口过短
（三）优化物流路径方法
扫描法和节约法节约法的目标：使所有车辆行驶的总里程最短，并使为所有站点提供服务的车辆数最少。节约法按最大节约原则将站点归入某条线路之前，还要考虑路线规划问题。在实现和提升物流空间效益方面有潜力。物流路径优化原则没有最优解，但是配送路线的设计速度比节约法快捷
一、采购优化
1.采购点的优化
物流空间效益来源于不同区域间经济资源的流动以及经济利益的产生，流动的起点就是采购与专业物流公司合作，考虑采购点的综合经济性，注意劳动力资源供应商批发折扣，购买者低价、降低运输、交易成本，增加仓储、库存成本
2.采购批量的优化
二、优化网络
（一）优化网络的意义
1.企业可以较低成本采购最适合的原材料 2.有利于企业成长和发展 3.有利于抵制竞争者 4.有利于现有网络体系的撤并、扩建合作利用
（三）基于中间集散所创造的空间效益
中间集散地：在市场交易过程中，为了解决信息不对称带来的交易双方交易的困难，而出现的并不以最终消费为目的，而主要以中间集散为目的的集中交易市场。中间交易平台
（四）基于弥合生产需求分散所创造的空间效益
生产与需求的空间差，消费者需求的多样化大生产造成的供应分散，自然地理、产业集群、社会发展因素造成的产品生产分散
三、空间效用的内容
（一）基于集中生产所创造的空间效益
集中生产不仅能通过规模化获得竞争优势，还可以通过产业集群的形式提升市场竞争力集中生产、需求市场分散，产品从产地到需求地

第七章_空间数据的统计分析_3_本

摆动，这个极限值称为基台值C+C0。
24
变异函数模型拟合及其评价
通常，一个区域化变量的取值z由大尺度趋势、微尺度空间相关变异r和纯随机变异三部分构成，即z= + r + 。
期望(或平均值) 即是一种趋势表示。微尺度空间相关变异r为去除趋势后具有内在空间(自)相关性
的残余值纯随机变异为不存在空间(自)相关性的独立噪声(如测量误
10
变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）
定义：设Z(x)为一随机变量，表示在空间位置x处专题变量取值是随机的，区域化变量是区域化随机变量的简称。 Z(X)={Z(x), xX}表示区域X中所有空间位置x处随机变量Z(x) 的集合(簇)，又称为随机场，随机场也可看作若干空间样本（空间函数）的集合。
各向同性为各向异性的特例。协方差函数和变异函数的各向异性可以分解为几何各向异性
和带状各向异性。基台相同，变程随方向不同的各向异性称为几何各向异性。不能通过伸缩比例变换为各向同性的各向异性称为带状各向
异性。
21
变异函数的定义和非负定性条件
通常，把360度方向离散划分为几个大的方向组，在某一角度区间范围(角度容许范围)内不同方向的样本点(对)都用来计算该区间中心方向的变异函数值。
通过对变异函数、克里金估计以及随机模拟方法的深入扩展，地统计学(Geostatistics)已经成为空间统计学的核心内容，其理论体系的深度和方法扩展宽度是其它空间统计方法无法比拟的。
4
地统计分析概述
国内的地统计工作主要集中于地质勘探建模和地理(环境)空间数据分析应用方面。
国际上，地统计不仅是地质领域数学地质的主要分支，同时也逐渐成为数学领域应用统计的一个新分支。

第七章空间数据的统计分析方法

第七章空间数据的统计分析方法空间数据的统计分析方法是指利用统计学的方法对空间数据进行分析和解释的技术和方法。

在空间数据分析中，空间自相关性分析、空间插值、空间聚类以及地图分析等都是常见的统计分析方法。

本章将介绍空间数据的统计分析方法。

1. 空间自相关性分析：空间自相关性是指空间上相邻区域之间的相似程度。

空间自相关性分析可以通过计算空间数据的空间自相关指标来评估空间数据的空间分布特征。

常用的空间自相关指标包括Moran's I指数和Geary's C指数等。

Moran's I指数可以衡量空间数据的聚集程度和离散程度，范围为-1到1，正值表示正相关，负值表示负相关，0表示无相关。

Geary's C指数则可以衡量空间数据的相似度，范围也为0到1，值越接近1表示越相似。

2.空间插值：空间插值是指根据已知的地点数据推断未知地点数据的值。

在地理信息系统中，常见的空间插值方法有逆距离加权插值、克里金插值和样条插值等。

逆距离加权插值是一种简单的插值方法，它假设周围数据点对未知点的影响程度与距离的倒数成正比。

克里金插值则更加复杂，它通过拟合半变异函数来估计未知点的值。

样条插值是一种基于局部多项式拟合的插值方法，它可以生成平滑的曲面。

3.空间聚类：空间聚类是指根据空间数据的相似性将地理区域分组的过程。

常见的空间聚类方法有基于网格的聚类、基于密度的聚类和基于层次的聚类等。

基于网格的聚类将地理空间划分为网格单元，然后根据网格单元内部的数据特征进行聚类。

基于密度的聚类则将地理空间划分为高密度区域和低密度区域，根据区域内部的数据分布进行聚类。

基于层次的聚类则是根据距离或相似度对地理区域进行分层聚类。

4.地图分析：地图分析是指利用地图和空间数据进行分析的方法。

在地图分析中，常见的方法包括热点分析、缓冲区分析和网络分析等。

热点分析可以用来识别具有显著高于或低于平均值的区域，帮助分析空间数据的高度聚集性。

ArcGIS地理信息系统空间分析实验教程PPT-第7章《矢量数据的空间分析》

图7.6 原始面状要素
一、缓冲区分析
Inside and outside
only outside
only inside
Outside and include inside
图7.7 四种不同的面状要素的缓冲区
一、缓冲区分析
除此之外，缓冲区还可以利用距离制图的方法来获得，但是距离制图方法是基于栅格数据形式来进行缓冲区的建立，它的过程和结果都是栅格数据，与矢量的缓冲区建立的方法有着本质的区别
P {x d(x, A) r}
（d一般是指欧式距离，也可以是其它的距离，其中r为邻域半径或缓冲区建立的条件）
一、缓冲区分析
点状要素缓冲区
线状要素缓冲区
图7.1 缓冲区示意图
面状要素缓冲区
一、缓冲区分析
2. 缓冲区的建立
点状要素：直接以其为圆心，以要求的缓冲区距离大小为半径绘圆，所包容的区域即为所要求区域。
图7.11 均匀插值操作
二、叠置分析
5）图层合并（Union）
图层合并是通过把两个图层的区域范围联合起来而保持来自输入地图和叠加地图的所有地图要素。在布尔运算上用的是or关键字，即输入图层or叠加图层，因此输出的图层应该对应于输入图层或叠加图层或两者的叠加的范围。从数学角度来表示就是：
{x x AUB}
第七章矢量数据的空间分析
主要内容
• 缓冲区分析 • 叠置分析 • 网络分析
一、缓冲区分析
1. 缓冲区的基础
缓冲区是地理空间，目标的一种影响范围或服务范围在尺度上的表现，是给定空间对象或集合后获得的它们的领域，而邻域的大小由邻域的半径或缓冲区建立条件来决定，因此对于一个给定的对象A，它的缓冲区可以定义为：

第七章弹性力学空间问题解答

§7-1 空间问题的基本方程 1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
5. 边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿 x，y，z方向给定位移为，则
应力边界条件：给定表面上的面力为
• 求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函数法三种方法。
§7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
• 一. 柱坐标系下的基本方程
直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐标系下，空间一点M的位置由（r, q, z）表示。两坐标间的关系为：
在柱坐标系下的应力分量为
应变分量为位移分量为
柱坐标表示的基本方程 • 1. 平衡方程
（7-1）
• 2. 几何方程
（7-6）
(2)几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
（7-7）
(3)物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得
（7-8）
(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程
空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求解更方便。将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得
（7-9）
• 将式（7-9）代入平衡方程（7-6），化简后得
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方
程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。

空间分析要点

空间分析要点(参考)第一章1空间对象的属性大致可分为两类：一是空间要素属性是指与空间(时间)位置相关的属性，主要包括：空间对象的位置、大小、形状、速度、事件发生的时间。

二是非空间要素属性，也称描述属性，是指与空间位置无关或无直接关系的属性：如颜色、密度、质地等等。

2、空间分析的目的就是根据空间对象的属性进行分析，探求空间对象的时空分布规律、发生原因及发展规律。

3、空间对象的类型：按空间维数分类，大致可分为四类0维空间对象：有位置无长度的对象，如：居民点、地图中的城市、地震的震中位置。

1维空间对象：有长度的对象，一般由两个或多个0维目标组成，如：道路、河流。

2维空间对象：有面积的空间对象，如土地使用的类型、湖泊。

3维空间对象：具有体积的空间对象，如地下的矿体、大坝、隧道等。

根据空间对象的连续性，可分为两类：连续型的空间对象：在空间中连续分布的对象，如：某区域的地球化学元素分布，大气污染物浓度、海水的盐度。

离散型的空间对象：在空间中不连续分布的对象，女口：城市中商业网点的分布，道路与河流，建筑物。

4、空间实体之间存在复杂的空间关系，主要可包括：距离关系、方位关系、拓扑关系、空间相关、空间关联、空间配置、空间过程、空间尺度5、空间要素模型：前GIS系统中数据组织的基本方式。

点要素，线要素，面要素。

6、空间的主要内容：空间位置空间分布：同类空间对象的群体定位信息，包括分布、趋势、对比等内容空间形态：空间对象的几何形态空间距离：空间物体的接近程度空间关系：空间对象的相关关系，包括拓扑、方位、相似、相关等空间过程7、空间的主要方法：(1)基于地图的空间图形分析，如GIS中的缓冲区、叠加分析、数字高程模型、数字地面模型等；(2)空间动力学分析，有城市扩张模型(驱动力等)、空间价格竞争模型(区位优势)、空间择位模型(中心地等)；(3)空间信息分析，是指根据数据或统计方法建立的模型，如空间聚_________ 模型等。

高等数学第七章向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何

它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2P2 Q Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2 M 2 x2
标式来表示向量M1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 O A 4,1,5与O B 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动到点M2,以S 表示位移M1M 2,则力F 所做的功
C (2， 4， 7)，求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第

第七章度量空间和赋范线性空间

1
5.p次幂可和数列空间l p , d(x, y) ( yk xk p ) p .
k 1
§3 连续映射
回忆数学分析中连续函数的定义 : 0, 0,当x x0 时,有 f (x) f (x0) .
如同数学分析中的海涅(Heine)定理，可以证明如下结论。
：由T在x0 X连续, 对 0, 0,当d (x, x0 ) 时,有
证明：对 {x(k )} Rn为柯西点列 , x(k ) (x1(k ) , x2(k ) , , xn(k ) ),
n
则对 0, N ,当k, j N , 有d (x(k) , x( j) ) (
1
k) i
x( j) i
2
)2
.
i 1
即对每个i,当k, j N,有 xi(k) xi( j) . 故{xi(k)}是R1中柯西列 ,
xm (t)在[a,b]上收敛于一函数 x(t). 在(*)式中令n ,
当m
N时, 有 max at b
xm (t)
x(t)
,
即xm (t)在[a,b]上一致收敛于 x(t).
定理1.完备度量空间 X的子空间 M是完备空间的充要条件为 M是X中的闭子空间 .
定理2.设( X , d )是度量空间 , Bn Bn (xn , rn ), (n 1,2, )是X中一列闭球 ,则X是完备的度量空间的充要条件是若 Bn Bn1,
d~(Tx,Tx0) 0.
取
1 n
,
则有xn
,
使d
(
xn
,
x0
)
1 n
,
但d~(Txn
,
Tx0
)
0.
这与已知矛盾.

第七章矢量数据的空间分析

第七章矢量数据的空间分析矢量数据的空间分析是GIS 空间分析的主要内容之一。

由于其一定的复杂性和多样性特点，一般不存在模式化的分析处理方法，主要是基于点、线、面三种基本形式。

在ArcGIS 中，矢量数据的空间分析主要集中于缓冲区分析、叠置分析和网络分析。

本章就这三种分析类型简单介绍其原理和实现。

7.1 缓冲区分析缓冲区分析(Buffer)是对选中的一组或一类地图要素（点、线或面）按设定的距离条件，围绕其要素而形成一定缓冲区多边形实体，从而实现数据在二维空间得以扩展的信息分析方法。

缓冲区应用的实例有如：污染源对其周围的污染量随距离而减小，确定污染的区域；为失火建筑找到距其500米范围内所有的消防水管等。

下面着重介绍缓冲区原理及其在ArcGIS 中的实现。

7.1.1 缓冲区的基础缓冲区是地理空间，目标的一种影响范围或服务范围在尺度上的表现。

它是一种因变量，由所研究的要素的形态而发生改变。

从数学的角度来看，缓冲区是给定空间对象或集合后获得的它们的领域，而邻域的大小由邻域的半径或缓冲区建立条件来决定，因此对于一个给定的对象A，它的缓冲区可以定义为：（d 一般是指欧式距离，也可以是其它的距离，其中r 为邻域半径或缓冲区建立的条件）{(,)}P x d x A r =≤缓冲区建立的形态多种多样，这是根据缓冲区建立的条件来确定的，常用的对于点状要素有圆形，也有三角形、矩形和环形等；对于线状要素有双侧对称、双侧不对称或单侧缓冲区；对于面状要素有内侧和外侧缓冲区，虽然这些形体各异，但是可以适合不同的应点状要素的缓冲线状要素的缓冲区面状要素的缓冲区图7.1 点、线和面状要素的缓冲区用要求，建立的原理都是一样的。

点状要素，线状要素和面状要素的缓冲区示意图如图7.1。

7.1.2 缓冲区的建立从原理上来说，缓冲区的建立相当的简单，对点状要素直接以其为圆心，以要求的缓冲区距离大小为半径绘圆，所包容的区域即为所要求区域，对点状要素因为是在一维区域里所以较为简单；而线状要素和面状要素则比较复杂，它们缓冲区的建立是以线状要素或面状要素的边线为参考线，来做其平行线，并考虑其端点处建立的原则，即可建立缓冲区，但是在实际中处理起来要复杂的多。

(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。

在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量，问 t 取何值时，向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。

地理信息系统的空间分析

3)扩展的SQL查询
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一、空间查询
3)扩展的SQL查询
MapInfo提供的扩展的SQL查询图形操作符： •Contains •Contain Part •Contain Entire •Within •Partly Within •Entirely Within •Intersects
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第七章地理信息系统的空间分析
§7-1 空间查询
§7-2 叠置分析 §7-3 缓冲区分析
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第七章地理信息系统的空间分析
空间分析早已成为地理信息系统的核心功能之一，它特有的对地理信息（特别是隐含信息）的提取、表现和传输功能，是地理信息系统区别于一般信息系统的主要功能特征。空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在提取和传输空间信息。本章介绍 GIS 中实现空间分析的基本功能，包括空间查询，缓冲区分析、叠加分析、路径分析、空间统计分类分析等，并描述了相关的算法，以及其中的计算公式。
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§7-2 叠置分析
1、点与多边形叠加
点与多边形叠加，实际上是计算多边形对点的包含关系。矢量结构的GIS能够通过计算每个点相对于多边形线段的位置，进行点是否在一个多边形中的空间关系判断。在完成点与多边形的几何关系计算后，还要进行属性信息处理。最简单的方式是将多边形属性信息叠加到其中的点上。当然也可以将点的属性叠加到多边形上，用于标识该多边形，如果有多个点分布在一个多边形内的情形时，则要采用一些特殊规则，如将点的数目或各点属性的总和等信息叠加到多边形上。
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§7-2 叠置分析
3、多边形叠加
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一、空间查询

李建松《地理信息系统原理》第2版笔记和课后习题(含考研真题)详解-第七章至第八章【圣才出品】

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c．在计算时，可能仅知道某个位置的值，对其进行处理； d．这些处理都是基于栅格单元一个一个被独立处理的，需要计算每个单元的值； e．一些算子和函数允许重新定义邻域的大小。（2）运算符和函数 ①局部函数处理单个栅格单元位置的值，输出生成一个新的栅格数据层，每个栅格单元的值是与这个位置相关的一个或多个其他栅格数据层数值的函数。局部运算函数有 4 种类型： a．数学函数运算； b．分类函数； c．选择函数； d．统计函数。 ②焦函数或邻域函数处理邻域内栅格单元的值，根据近邻的栅格大圆计算输出值。 ③分区函数处理分区内栅格单元的值，是基于邻域的思想的。 ④块函数处理移动窗口内的单元值。 ⑤全局函数处理栅格数据集的所有栅格单元的值。 ⑥执行一个特定的应用分析如水文分析函数等。（3）栅格单元分析的几个问题
图 7-1 水平和垂直成本距离计算
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图 7-2 对角线成本距离计算 5．栅格数据的提取方法（1）通过属性提取：根据设置的属性值，提取大于、小于或等于该值的栅格单元。（2）通过形状提取：根据设定的图形形状，提取位于图形内的栅格单元。（3）通过掩膜栅格数据提取：以掩膜栅格单元的值与源栅格数据的值做逻辑运算，真值提取出来，将原值赋给该栅格；非真的其他栅格赋给无值。 6．栅格数据的概括分析栅格数据的概括分析的目的是清理栅格数据中小的错误，或对数据进行综合，去掉小的不必要的细节，获得概括的数据。 7．水文分析（1）汇流盆地的概念汇流盆地是水流和其他物质共同出口的一个区域。
（2）问题分解
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通过将问题分解为一系列的目标，发现为实现分析目的需要的一系列必要的处理步骤。

第7章向量代数与空间解析几何

第7章向量代数与空间解析几何7.1 向量及其线性运算7.1.1 基本要求1. 理解向量的概念.2. 掌握向量的线性运算.3. 理解向量的几何表示.7.1.2 答疑解惑1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？解答在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头，若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ，v ，F ，12M M 等都可表示向量.2. 向量的起点都在坐标原点吗？解答本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？解答不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量叫做相等的向量. 在这里由于AB 与BA 平行移动后，它们的方向总是不同的，所以它们不相等.4. 向量在轴上的投影是不是向量？解答向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负，而不是一个向量.7.1.3 经典例题解析例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b . 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 5(13)112⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭a b 522=--a b . 例2 设向量a 和b 都为非零向量，a 和b 的夹角平分线为l ，求与l 平行的向量.解设0,a 0b 分别表示向量a , b 的单位向量，则0=a a a ，0=b b b. 因为以0,a 0b 为邻边第7章向量代数与空间解析几何 2 的平行四边形为菱形，所以这个平行四边形的对角线平分顶角，又00+=+=a b a b a b +b a a ba b ，于是与l 平行的向量为λ+b a a ba b ，其中λ为实数.注以上求解过程中应用了向量的加法运算和菱形的对角线平分对角的性质. 例3 在平行四边形ABCD 中，设AB = a ，AD = b . 试用a 和b 表示向量MA ，MB ，MC ，MD ，其中M 是平行四边形对角线的交点. 分析根据平行四边形的对角线互相平分的性质和向量运算的三角形法则进行计算. 解如图7-1所示，因为平行四边形的对角线互相平分，所以 +=a b 22,AC AM M A ==- 于是MA = 1()2-+a b ，MC MA =-= 1()2+a b . 又因为2BD MD -+==a b ，所以MD = 1()2-b a ，MB MD =-= 1()2-a b . 例4 在四边形ABCD 中，AB = 2+a b ，BC = 4--a b ，CD = 53--a b ，证明四边形ABCD 为梯形．分析利用向量关系证明四边形ABCD 中的一组对边互相平行，则可知四边形ABCD 为梯形.证明因为四边形ABCD 中， AD AB BC CD =++= (2)(4)(53)82++--+--=--a b a b a b a b 2BC = ，所以向量AD ∥BC ，即四边形ABCD 中的一组对边AD 和BC 互相平行，于是四边形ABCD 为梯形．例5 设一直线上三点A ，B ，P 满足AP ＝PB λ (其中λ是实数且1λ≠-)，O 是空间任意一点，求证： OP ＝1OA OB λλ++ . 证明如图7-2所示，因为AP OP OA =- ，PB OB OP =- ，所以()OP OA OB OP λ-=- ，也就是(1)OP OA OB λλ+=+ ，从而OP = 1OA OB λλ++ . 7.1.4 习题全解1. 设,,A B C 为三角形的三个顶点，求AB BC CA ++ . 解 AB BC CA AC CA ++=+= 0.2. 设2=-+u a b c ,3=-+-v a b c , 试用,,a b c 表示23-u v .解 232(2)3(3)5117-=-+--+-=-+u v a b c a b c a b c .3. 设向量a 的模为4，它与轴u 的夹角为60 ，求a 在轴u 上的投影.图7-1 图 7-27.2 空间直角坐标系与向量的坐标3 解 a 在轴u 上的投影为Prj u 1cos60422==⨯=a a °. 4. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 解如图 7-1 所示，四边形ABCD 中，令点M 为对角线AC 与BD 的交点，则AM MC = , BM MD = ,因为AB AM MB MC DM DC =+=+= ,所以//AB DC 且AB DC = ,即四边形ABCD 中的一组对边AB 和DC 互相平行且相等，于是四边形ABCD 是平行四边形.7.2 空间直角坐标系与向量的坐标7.2.1 基本要求1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.2. 掌握空间两点间的距离公式.3. 掌握向量的坐标表示法.4. 掌握向量的模、单位向量及方向余弦的坐标表达式.7.2.2 答疑解惑1. 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是任意的吗？解答空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是遵循右手规则的，即以右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向以π2的角度转向y 轴的正向时，竖起大拇指的指向就是z 轴的正向.画的时候，一般z 轴向上，y 轴向右，x 轴向左下方.2. 引入向量的坐标对向量的运算有什么作用？解答引入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便． 3. 向量的坐标是如何建立的？解答在空间直角坐标系中，向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例如，设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(,,)x y z ，点N 的坐标为222(,,)x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为21x x -，21y y -, 21z z -, 于是向量212121{,,}MN x x y y z z =--- †.7.2.3 经典例题解析例1已知两点1M 和2(3,0,2)M ，求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 解由1M 和2M 两点的坐标可知12{1,}M M =- ，于是12M M =2=, 与12M M同方向的单位向量为121211,,222M M M M ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭，方向余弦____________________________________________________________† 本书沿用主教材中的花括号形式表示向量，而用圆括号形式表示点的坐标.第7章向量代数与空间解析几何411cos ,cos ,cos 222αβγ=-==, 方向角α=23π, β=34π, γ=3π. 例2 已知,,A B C 三个点的坐标如下：（1）在平面直角坐标系下，(0,1),(2,2),(2,4)A B C --；（2）在空间直角坐标系下，(0,1,0),(1,0,2),(2,3,4)A B C ---.判别,,A B C 三点是否共线？解（1）因为向量{2,3},{2,3}AB AC =-=- ，所以AB AC =- ，即向量AB 和AC 平行，又这两个向量有共同的起点，于是,,A B C 三点共线；（2）因为向量{1,1,2},{2,2,4}AB AC =---=- ，不存在实数λ使得AB AC λ= ，所以向量AB 和AC 不平行，于是,,A B C 三点不共线.例3 在空间直角坐标系Oxyz 中，画出点(0,0,1)A ，(2,1,0)B ，(1,2,3)C ．解根据点A 的坐标可知，A 点在z 轴上，B 点在xOy 坐标面上．画点C 时，先在x 轴的正方向上取1个单位的点，y 轴的正方向上取2个单位的点，过这两点在xOy 坐标面上分别作y 轴与x 轴的平行线，交于点M ，过M 作z 轴的平行线MN ，在直线MN 上，点M 的上方取3个单位便得到点C ，如图7-3所示.例4 求点(3,2,1)A 关于各坐标面对称的点的坐标．解点(3,2,1)A 关于xOy 坐标面对称的点的坐标为1(3,2,1)A -，关于yOz 坐标面对称的点的坐标为2(3,2,1)A -，关于zOx 坐标面对称的点的坐标为3(3,2,1)A -．例5 求点(4,2,3)A -到xOy 坐标面及y 轴的距离．解点A 到xOy 坐标面的距离即为点A 的竖坐标的绝对值，即点A 到xOy 坐标面的距离为3；过点A 作垂直于xOy 坐标面的直线AB ，垂足为点B ，过点B 再作垂直于y 轴的直线BC ，垂足为点C ，于是直线AC 垂直于y 轴，即线段AC 的长度为点A 到y 轴的距离，而在直角三角形ABC 中，AC ==5=，于是点A 到y 轴的距离为5．例6 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．解因为所求的点M 在z 轴上，所以可设M 点的坐标为(0,0,)z ，又因为MA MB =，=27z =，即所求的点为20,0,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.2.4 习题全解1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,3,1)A -，(7,1,2)B --，(2,3,C -- 1)-，(1,2,3)D --.图 7-37.2 空间直角坐标系与向量的坐标5 解 (2,3,1)A -在第Ⅳ卦限，(7,1,2)B --在第Ⅷ卦限，(2,3,1)C ---在第Ⅶ卦限，(1,2,3)D --在第Ⅵ卦限.2. 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴：(1,2,0)A -，(0,2,3)B -，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -. 解 (1,2,0)A -在xOy 坐标面上，(0,2,3)B -在yOz 坐标面上，(1,0,0)C 在x 轴上，(0,1,0)D -在y 轴上.3. 求点(2,3,5)--分别关于下列条件的对称点的坐标：（1）xOy 坐标面；（2）y 轴；（3）坐标原点.解（1）点(2,3,5)--关于xOy 坐标面对称点的坐标为(2,3,5)-；（2）点(2,3,5)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3,5)；（3）点(2,3,5)--关于坐标原点对称点的坐标为(2,3,5)-.4. 求点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O ，z 轴及zOx 坐标面的距离.解点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O =；点(4,3,5)A -到z 5=；点(4,3,5)A -到zOx 坐标面的距离为3.5. 在yOz 坐标面上，求与(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点等距离的点.解因为所求点在yOz 坐标面上，所以可设它的坐标为(0,,)M y z . 又因为该点到(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点的距离相等，所以AM CM =，BM CM =，即=，=由以上两等式解得1,2y z ==-，于是所求点的坐标为(0,1,2)-.6. 已知(1,0,2)A ，(4,5,10)B ，(0,3,1)C ，(2,1,6)D -和54=+-m i j k ，求：（1）向量=a 43AB CD +- m 在三个坐标轴上的投影及分向量；（2）a 的模；（3）a 的方向余弦；（4）与a 平行的两个单位向量. 解（1）由已知，得{}{}3,5,8,2,4,5AB CD ==- ,所以向量a 的坐标表示为 {}{}{}4343,5,832,4,5{5,1,4}13,7,51AB CD =+-=+---=a m ，可得向量a 在三个坐标轴上的投影分别为13,7,51x y z a a a ===；向量a 在三个坐标轴上的分向量分别为x a i 13=i ，y a j 7=j ，z a k 51=k .（2）向量a 的模为=a ==（3）向量a 的方向余弦为 cos α=1a x a =, cos β=1a y a =, cos γ=1a z a =. （4）与向量a 平行的两个单位向量为}013,7,51=±=a a a . 7. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos 0α=；（2）cos 1β=；（3）cos cos 0βγ==.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos 0α=可知，该向量与x 轴夹角为π2，即垂直于x 轴，并且平行于yOz 坐标面；第7章向量代数与空间解析几何 6（2）由cos 1β=可知，该向量与y 轴夹角为0，于是该向量的指向与y 轴正向一致，并且垂直于xOz 坐标面；（3）由cos cos 0βγ==可知，该向量与y 轴和z 轴夹角均为2π，于是该向量平行于x 轴，并且垂直于yOz 坐标面. 8. 已知(2,1,7)A -，(4,5,2)B -，线段AB 交xOy 坐标面于点P ，且AP PB λ= ，求λ的值. 解由于点P 在xOy 坐标面上，可设点P 的坐标为(,,0)x y ，则{}2,1,7AP x y =-+- ，{}4,5,2PB x y =--- ,又因为AP PB λ= ，即217452x y x y λ-+-===---，于是72λ=. 9. 一个向量的终点在点(2,1,7)B -，且其在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标.解设此向量的起点A 的坐标为(,,)x y z ，则向量{}2,1,7AB x y z =---- ,于是向量AB 在三个坐标轴上的投影分别为Pr j x 24AB x =-= ，Pr j y 14AB y =--=- ，Pr j z AB = 77z -=，由这三个等式解得2x =-,3y =,0z =，所以A 点的坐标为(2,3,0)-. 10. 从点(2,4,7)A 沿8912=+-a i j k 方向取||34AB = ，求点B 的坐标. 解设点B 的坐标为(,,)x y z ,则向量{}2,4,7AB x y z =--- ，又8912=+-a i j k 的一个方向向量为{}8,9,12=-s ，于是向量AB 和向量s 互相平行，可得2478912x y z ---==-，令2478912x y z k ---===-，则34AB === ，解得2k =，于是8218x k =+=，9422y k =+=，12717z k =-+=-，所以B 点的坐标为(18,22,17)-.7.3 向量的数量积向量积7.3.1 基本要求1. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.2. 掌握两个向量夹角的求法.3. 熟练掌握两个向量互相垂直和平行的条件.7.3.2 答疑解惑1. 给出向量a 和b ，如何求以向量a 和b 为邻边的平行四边形的面积？解答以向量 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积为 sin(,)=⨯a b a b a b ，这也是向量积的模的几何意义；同时可知，以向量a 和b 为邻边的三角形的面积为 11sin(,)22=⨯a b a b a b .7.3 向量的数量积向量积7 2. 向量的数量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的余弦，向量的向量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，这两种说法正确吗？解答第一种说法是正确的；第二种说法是不正确的，因为向量的向量积的结果是一个向量，这个向量的模是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，方向与这两个向量都垂直.3. 在空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别表示沿x 轴，y 轴，z 轴正向的单位向量，它们的坐标表示式分别为i = {}1,0,0，j ={}0,1,0，k ={}0,0,1，为什么⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0，而⋅=⋅=⋅=i i j j k k 1？解答两种乘法的意义不一样. 因为sin 00⨯==i i i i ，所以⨯=i i 0，同理⨯=j j ⨯=k k 0；而2cos01⋅===i i i i i ，同理1⋅=⋅=j j k k .4. 向量的乘法有几种？解答向量的乘法主要有如下四种：（1）向量与数的乘法；（2）向量与向量的数量积，两个向量的数量积是一个数，满足交换律和结合律；（3）向量与向量的向量积，两个向量的向量积仍然是一个向量，满足结合律但不满足交换律；（4）三个向量的混合积，先作两个向量的向量积，把得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量的混合积.注意，向量没有除法运算！5.（1）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（2）若向量≠a 0，且⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（3）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c , 为什么？解答（1）不能推出=b c . 这是因为，当≠a 0时，由已知条件⋅=⋅a b a c ，可得0⋅-=()a b c ，即⊥-a b c ()，这里的向量-b c 不一定是零向量. 例如，当a ={1,0,0}, b ={0,1,0}和c ={0,0,1}时，0⋅=⋅=a b a c ，但是≠b c ;（2）不能推出=b c . 这是因为，当≠0a 时，由已知条件⨯=⨯a b a c ，可得⨯-=()0a b c .即-//()a b c ，这里的向量-b c 不一定是零向量.例如，当a ={1,0,0}, b ={1,1,0}和c ={2,1,0}时，{0,0,1}⨯=⨯=a b a c , 但是≠b c ; （3）可以推得=b c . 这是因为⋅=⋅a b a c ，所以0⋅-=()a b c ，即a 垂直于-b c . 又因为⨯=⨯a b a c ，所以⨯-=()0a b c ，即a 平行于-b c ，这样，a 既垂直于-b c ，a 又平行于-b c ，且≠0a ，只有-=0b c ，即=b c 成立.由（1）和（2）可知，向量的数量积和向量积运算不同于数的运算，不满足消去律.7.3.3 经典例题解析例1 下列各命题是否正确？（1）⨯=⨯a b b a ；（2）若0⋅=a b ，则=a 0或=b 0，若⨯=a b 0，则=a 0或=b 0.解（1）不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是⨯=-⨯a b b a ，这是因为按右第7章向量代数与空间解析几何 8手规则从a 转向b 定出的方向恰好与按右手规则从b 转向a 定出的方向相反；（2）不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律，即0⋅=a b 不能推出=0a 或者=0b ，⨯=0a b 不能推出=0a 或者=0b .例如，令{}1,0,0=a ，{}0,1,0=b ，此时0⋅=a b ，但是,≠≠00a b ；又令{}1,0,0=a ，{}2,0,0=b ，此时⨯=0a b ，但是,≠≠00a b .例2 设,,a b c 为单位向量，且++=0a b c ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a .解因为1===a b c 且++=0a b c ，所以向量,,a b c 首尾相接构成一个边长为1的正三角形，故cos 3π⎛⎫⋅=π-= ⎪⎝⎭a b a b 21cos 32π=-，同理可得12⋅=-b c ，12⋅=-c a ，所以 ⋅+⋅+⋅=a b b c c a 32-. 例3 已知2=||a , 5=||b , 7=||c , 并且++=0a b c ，计算⋅+⋅+⋅a b b c c a 和⨯+⨯a b b +⨯c c a 的值．解因为++=0a b c , 所以+=-a b c ，又因为+==-=+a b c c a b ，所以向量a 与向量b 同向，向量a 与向量c 反向，向量b 与向量c 反向，于是⋅+⋅+⋅a b b c c a 25cos057cos 72cos =⨯+⨯π+⨯π103514=--39=-，并且sin00⨯==a b a b ，sin 0⨯=π=b c b c ，sin 0⨯=π=c a c a ，因此⨯=⨯=⨯a b b c c =0a ，即⨯+⨯+⨯=0a b b c c a .例4 已知||3⋅=a b , ||4⨯=a b , 求||||a b ．解由已知可得cos 3θ⋅==a b a b ，sin 4θ⨯==a b a b ，将上述两式平方后相加得()225=a b ，所以5=a b .例5 已知向量{}1,0,0=a ，{}0,1,2=-b ，{}2,2,1=-c ，求一单位向量n 0，使得n 0垂直于c ，并且向量0,n a 和b 共面.解设向量n 0{},,x y z =，因为n 0是单位向量，所以2221x y z ++=. 又因为向量n 0垂直于c ，所以00⋅=n c ，即220x y z -+=，又因为向量0,n a 和b 共面，所以向量n 0垂直于⨯a b ，即0()0⋅⨯=n a b ，又100{0,2,1}012⨯==-i j ka b ，于是{,,}{0,2,1}20x y z y z ⋅=+=.联立方程组2221,220,20,x y z x y z y z ⎧++=⎪-+=⎨⎪+=⎩解得212,,333x y z ===-或212,,333x y z =-=-=，于是所求单位向量0=n 212,,333⎧⎫±-⎨⎬⎩⎭. 例6 已知向量b 和{}1,5,2=-a 共线，且满足3⋅=a b , 求向量b 的坐标．解设向量b 的坐标为{},,x y z ，由a //b , 得152x y z ==-, 令152x y z k ===-，得,x k = 5,2.y k z k ==-7.3 向量的数量积向量积9 将它们代入到523x y z +-=中，得到2543k k k ++=, 即1.10k =所以1,10x = 1,2y = 15z =-，即向量=b 111,,1025⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 例7112233a b a b a b ++，其中i a , i b（i =1，2，3）为实数，并指出等号成立的条件.分析将{}123,,a a a 和{}123,,b b b 分别看作向量a 和b 的坐标，由⋅≤a b a b 可得结论.证明令=a {}123,,a a a ，=b {}123,,b b b ，因为 cos(,)⋅=a b a b a b ，所以⋅≤a b a b ，即112233a b a b a b ++. 当且仅当 cos(,)1=a b 时，上述不等式中等号成立，此时 (,)0=a b 或 (,)=πa b ,即//a b . 因此，当且仅当312123a a ab b b ==时，有112233a b a b a b ++=.例8 若1=a ，4=b 且()3⨯⨯=-a b a b a ，问向量a 和b 的夹角θ等于多少？解因为向量()⨯⨯a b a 与向量a 垂直，所以[()]0⨯⨯⋅=a b a a ，于是[()](3)3⨯⨯⋅=-⋅=⋅-⋅a b a a b a a b a a a =0，即23⋅=b a a ，亦即2cos 3θ=b a a ，从而233cos 4θ==a a b ，即3arccos 4θ=. 例9若=a ，1=b ，且a 和b 的夹角θ=6π，求：（1）向量+a b 和-a b 的夹角；（2）以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解（1）设向量+a b 和-a b 的夹角为α，则()()cos α+⋅-=+-a b a b a b a b，在以向量a , b 和+a b 为边的三角形中应用余弦定理得2222cos 76π⎛⎫+=+-π-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，即+=a b ，在以向量a ,b 和-a b 为边的三角形中应用余弦定理得22-=+a b a22cos 16π-=b a b ，即1-=a b ，又因为22()()2+⋅-=⋅-⋅=-=a b a b a a b b a b，所以cos α=α=；（2）以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积为(2)(3)5()55sin 62π+⨯-=-⨯=⨯==a b a b a b a b a b . 注平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的，在这里向量积(2)+⨯a b (3)-a b 的模|(2)(3)|+⨯-a b a b 表示以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.第7章向量代数与空间解析几何 107.3.4 习题全解1. 求向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b 上的投影.解向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b上的投影为Prj 2.b ⋅=a b a b 2. 设32=--a i j k ，2=+-b i j k ，求：（1）⋅a b 及⨯a b ；（2）(2)3-⋅a b 及2⨯a b ；（3）a 与b 夹角的余弦. 解（1）⋅a b ()()()3112213=⨯+-⨯+-⨯-=，⨯a b 12323131257211112121----=--=-+=++---i j k i j k i j k ；（2）(2)3(624)(363)(6)3264(3)18-⋅=-++⋅+-=-⨯+⨯+⨯-=-a b i j k i j k ，2(32)(242)31224212323110214;422224⨯=--⨯+-=-------=-+=++--i j ka b i j k i j k i j k i j k（3）a 和b 夹角的余弦为cos(,)⋅==a b a b a b 3. 已知OA = 3+i k ，OB = 3+j k ，求三角形OAB 的面积. 解法一根据向量积的定义可知，三角形OAB 的面积为()11sin ,22OAB S OA OB OA OB OA OB ==⨯ △，又因为OA OB ⨯= 10333013=--+i j k i j k ，所以2OAB S ==△ 解法二在三角形OAB 中，{}1,0,3OA = 与{}0,1,3OB = 的夹角余弦为()9cos ,10OA OB OA OB OA OB ⋅===，于是 ()sin ,OA OB =，所以三角形OAB 的面积为()1sin ,2102OAB S OA OB OA OB === △. 4. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.。

现代控制理论基础第7章状态空间分析法在工程中的应用

h2
特征多项式
1 0
0 1
1
w
0
u
h02 h1 h0h1 h2
y
11 0 1 h0h2 11h1
h0
x1
w
h1
y
h2
I (A11 hA21) 3 h02 (11 h1) (11h0 h2 )
期望极点-3, -2+j, -2-j;期望特征方程
g0 9, g1 42, g2 148, g3 492
状态反馈
12
五、降维观测器设计
由于小车位移z可测，无需估计，可用降维观测器进行设计。重新排列系统状态变量次序，把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开，则状态方程和输出方程为
d dt
•
z
•
--z--
0 1 0 0
第七章状态空间分析法在工程中的应用
第一节单倒置摆系统的状态空间设计第二节大型桥式吊车行车系统的状态空间设计第三节液压伺服电机最优控制系统
1
线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空间综合方法，也就是状态反馈与状态观测器的相关理论与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析方法的具体应用。
3
若不给小车施加控制力，是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直
流电动机使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
4
一、倒置摆的状态空间描述
根据牛顿定律
M d 2z m d 2 (z l sin ) u
dt 2
dt 2
由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有
(6-3) (6-4)
联立求解
..