2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第一部分 专题6 三角函数的图象与性质

成立．同理②③成立时，①④成立．
答案：①③⇒②④；②③⇒①④
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5．(2012· 江苏命题专家原创卷)已知函数f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－ cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的 π 两条对称轴之间的最小距离为 2，则f(x)的解析式为_____． π 解析：f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin ωx＋φ－6 ，
7π π 2，周期为4×12－3＝π，所以ω＝
解析：由图象可得A＝
7π 2.将12，－
7π 3 代入得2× ＋φ＝2kπ＋ 2 12 2
π，即φ＝2kπ＋
π π 6 3，所以f(0)＝ 2sin φ＝ 2sin3＝ 2 .
6 答案： 2
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2．(2012· 南京第二次模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋
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π π 解：(1)y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移 6个单位得y＝sin 2x－6
即y＝sin
π 2x－ 3
，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大
π 到原来的2倍得y＝sinx－3. π ∴f(x)＝sinx－3.
π π π (2)由2kπ－2≤x－3≤2kπ＋2，k∈Z， π 5π 解得2kπ－6≤x≤2kπ＋ 6 ，k∈Z.
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[解析]
(1)y＝sin x
π ④，y＝sinx＋3②，
x π y＝sin2＋3，或y＝sin
x
1 ②，y＝sin2x⑥，
x π 2π 1 y＝sin2x＋ 3 ＝sin2＋3. π 2π π (2)T＝2(7－3)＝8，ω＝ 8 ＝ 4 ，A＝3，f(x)＝3sin 4x＋φ ， 3π π 将(3,0)代入得 4 ＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋ 4 .又φ∈[0,2π)，所以 π φ＝4.
正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则f(x)的单调减区间为________． ωπ π ωπ [解析] (1)由题意得 3 ＋φ＝kπ＋ 2 ，又 12 ＋φ＝k1π，所以
ωπ π 4 ＝k′π＋2，即ω＝4k′＋2，又ω>0，所以ω的最小值为2.
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(2)∵f(x)＝ π ＋2(k∈Z)，
π 2π π 2sin ωx＋φ＋4 ，由题意知 ω ＝π，且φ＋ 4 ＝kπ
π 2π π 由题意得 ω ＝2× 2 ，所以ω＝2.则f(x)＝2sin 2x＋φ－6 .因为 π π π φ－ ＝± f(x)为偶函数，所以f(0)＝2sin 2，φ－ 6 ＝kπ＋ 2 (k 6 π π π ∈Z)，又因为0<φ<π，故φ－ 6 ＝ 2 ，即f(x)＝2sin 2x＋2 ，所
π π π ＝sin3－cos2＋1＋cos6 3 3 ＝ 2 －0＋1＋ 2 ＝ 3＋1.
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π π (2)∵f(x)＝sin2x＋6－cos2x＋3＋2cos2x
π π π π ＝sin 2xcos6＋cos 2xsin6－cos 2xcos3＋sin 2xsin3＋cos 2x＋1 ＝ 3sin 2x＋cos
(1)填空题依然是考查三角函数图象与性质，随着题目设置
的顺序，难度不一. (2)在解答题中，三角函数的化简以及三角函数的性质依然 是解答题第一题的考查点，也可能与解三角形或平面向量结合 命题.
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1. (2011· 江苏高考) 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象 如图所示，则f(0)的值是________．
7π ，π. 8 3π 0， 8
和
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三角函数性质的研究，关键是三角函数的化简，本题所给函 数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再 π 观察角分别为2x－ 3 与2x，还需要用和差角公式进行统一，最终 化归为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，即可将ωx＋φ看做整体，研 究函数的性质．
π 5π ∴函数y＝f(x)的单调递增区间是2kπ－6，2kπ＋ 6 (k∈Z)．
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[典例2] π (1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝ 3 对
π 称，且f12＝0，则ω的最小值为________． π (2)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|<2 的最小
[解]
(1)f(x)＝
2
＋
2
1 ＋2sin 2x
π 1 2 ＝1＋2(sin 2x－cos 2x)＝ 2 sin2x－4＋1. π π 3π 当2x－4＝2kπ＋2，即x＝kπ＋ 8 ，k∈Z时，
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2 f(x)取得最大值为 2 ＋1. π π π (2)由2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2， π 3π 得kπ－8≤x≤kπ＋ 8 ，k∈Z. 又因为0≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的增区间为
π 解得ω＝2，φ＝kπ＋4(k∈Z)． π π 又∵|φ|<2，∴φ＝4. ∴f(x)＝
π 2sin2x＋2＝
2cos 2x.
π 令2kπ≤2x≤2kπ＋π，得kπ≤x≤kπ＋2，
π 故f(x)的单调减区间为kπ，kπ＋2(k∈Z)． π [答案] (1)2 (2)kπ，kπ＋2(k∈Z)
2
3 2 sin x＝－2(舍去)，故P1P2＝sin x＝3. 2 答案：3
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4．设函数 断：
π π f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－2<φ<2，给出以下四个论
π ①它的图象关于直线 x＝12对称；
π ②它的图象关于点3，0对称；
③它的周期为 π；
π ④在区间－6，0上是增函数．
π φ)A>0，ω>0，|φ|<2的部分图象如图所示，
则ω的值为______．
解析：由图可知函数的最大值为2，故A＝2.由f(0)＝ 2，可
π 2 π π 得sin φ＝ 2 ，而|φ|<2，故φ＝4；再由f12＝2可得 ωπ π ωπ π π T π π ＋4＝1，故 ＋ ＝ ＋2kπ，又 > ，即T> ，故 sin 12 12 4 2 4 12 3
0<ω<6，故ω＝3.
答案：3
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π 3．定义在区间0，2上的函数y＝6cos
x的图象与y＝5tan x的图
象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________． 解析：画出函数的图象，如图所示，
由y＝6cos x与y＝5tan x联立成方程组得： 5sin x 6cos x＝5tan x，即6cos x＝ cos x ，也即 2 6sin x＋5sin x－6＝0，解得sin x＝3或
[答案]
(1)④②或②⑥(填出其中一种即可)
π (2)4
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(1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变 换与先平移变换后伸缩变换的差异． (2)A，ω，φ这三个值求解以φ最困难，其中如果图象上没 有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分 对待，如点(3,0)在减区间内，则3ω＋φ＝2kπ＋π，如点(7,0)在
π 2x＋1＝2sin2x＋6＋1，
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回顾2008～2012年的考题，2008年第1题考查了三角函数的
周期性，2009年第4题考查了函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和周期， 2010年第10题考查了三角函数的图象和性质，2011年第9题考查 了函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质，2012年没有考查. 预测在2013年的高考题中：
增区间内，则7ω＋φ＝2kπ.本题也可由对称性得到最低点坐标(5，
－3)，代入函数式求φ.
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[演练1] 使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到 1 π 原来的 2 ，然后再将其图象沿x轴向左平移 6 个单位，得到的曲 线与y＝sin 2x相同． (1)求f(x)的表达式； (2)求y＝f(x)的单调递增区间．
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(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于ω，φ的 二元方程． (2)由周期性可确定ω的值，由f(－x)＝f(x)可求出φ的值， 确定解析式后，即可求出三角函数的性质．
[演练2] (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)对任意实数t，都有 f
π t＋ 3 π －t＋ 3 π 3
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请用上述变换中的两种变换，将函数 y＝sin x 的图象变换到 函数
x π y＝sin2＋3 的图象， 那么这两种变换的序号依次是________
(填上一种你认为正确的答案即可)． (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0， φ∈[0,2π))的图象如图所示， 则 φ＝________.
＝f
.记g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，则g
＝
________.
π 4π ωx＋ ＋2的图象向右平移 (2)设ω>0，函数y＝sin 3 3 个单位后
与原图象重合，则ω的最小值是________．
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π π 解析：(1)由于任意实数t，函数f(x)有f t＋3 ＝f －t＋3 成立， π π 故f(x)的图象关于直线x＝ 3 对称，即sin 3ω＋φ ＝± 1，从而 π π cos3ω＋φ＝0，故g3＝－1.
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认 为正确的两个命题： (1)________________；(2)________________．