2017-2018学年高中数学第三章直线与方程章末综合测评2(含解析)新人教A版必修2

(三) 直线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( ) A.12 B ．－12C ．－2D ．2【解析】 由－2－33－－＝m ＋212－3，得m ＝12.【答案】 A3．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB <0，BC <0，得－A B >0，－C B>0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．【答案】 D4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )A.213B.113C.126D.526【解析】 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126. 【答案】 C5．直线l 1：(3－a )x ＋(2a －1)y ＋7＝0与直线l 2：(2a ＋1)x ＋(a ＋5)y －6＝0互相垂直，则a 的值是( )A ．－13B.17C.12D.15【解析】 因为l 1⊥l 2，所以(3－a )(2a ＋1)＋(2a －1)(a ＋5)＝0，解得a ＝17.【答案】 B6．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1)【解析】 由kx －y ＋1－3k ＝0，得k (x －3)－(y －1)＝0， 由{ x ＝3，y ＝1，即过定点(3,1)． 【答案】 C7．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 k AB ＝4－32－3＝－1，故直线l 的斜率为1，AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，故l 的方程为y －72＝x －52，即x －y ＋1＝0. 【答案】 D8．已知直线l 过点(1,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．x ＋2y ＋5＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －5＝0D ．2x －y ＝0或x －2y ＋3＝0【解析】 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，把点(1,2)代入方程，得2＝k ，即k ＝2，所以直线的方程为2x －y ＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为x 2b ＋y b ＝1，把点(1,2)代入方程，得12b ＋2b ＝1，即b ＝52，所以直线的方程为x ＋2y －5＝0.故选C.【答案】 C9．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0,2]【解析】 直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2.所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．【答案】 A10．经过点(2,1)的直线l 到A (1,1)、B (3,5)两点的距离相等，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对【解析】 满足条件的直线l 有两种情况：①过线段AB 的中点；②与直线AB 平行． 由A (1,1)，B (3,5)可知线段AB 的中点坐标为(2,3)， 所以直线x ＝2满足条件．由题意知k AB ＝5－13－1＝2.所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0， 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或2x －y －3＝0，故选C. 【答案】 C11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)【解析】 设B 点坐标为(x ，y )， 根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，x －2＋y －2＝－2＋－2，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.【答案】 A12．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0【解析】 设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，1a ＋3b＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.∴x 2＋y6＝1.化为一般式为3x ＋y －6＝0. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________. 【解析】 令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝83.【答案】 8314．已知点(m,3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为________. 【解析】 由点到直线的距离得|m ＋3－4|2＝ 2.解得m ＝－1，或m ＝3. 【答案】 －1或315．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.【答案】 2x ＋3y －2＝016．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为__________．【解析】 依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.【答案】 3 2三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合．【解】 当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m ，得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)(1)已知直线y ＝33x －1的倾斜角为α，另一直线l 的倾斜角β＝2α，且过点M (2，－1)，求l 的方程．(2)已知直线l 过点P (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程． 【解】 (1)∵已知直线的斜率为33，即tan α＝33. ∴α＝30°.∴直线l 的斜率k ＝tan 2α＝tan 60°＝ 3.又l 过点M (2，－1)，∴l 的方程为y －(－1)＝3(x －2)，即3x －y －23－1＝0. (2)由题意知，直线l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l 的斜率为k ，则k ≠0，则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3； 令y ＝0，得x ＝－3k－2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －2＝4，即(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8，解得k ＝－12或k ＝－92.∴l 的方程为y －3＝－12(x ＋2)，或y －3＝－92(x ＋2)．即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.19．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a 、b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． 【解】 (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，a b＝1－a ， 即b ＝a1－a.故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋a －a＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.20．(本小题满分12分)如图1所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：图1(1)AD 边所在直线的方程； (2)DC 边所在直线的方程．【解】 (1)由题意知ABCD 为矩形，则AB ⊥AD ，又AB 边所在直线方程为x －3y －6＝0， ∴AD 边所在的直线的斜率k AD ＝－3， 而点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为3x ＋y ＋2＝0. (2)∵M 为矩形ABCD 两条对角线的交点， ∴点M 到直线AB 和直线DC 的距离相等． 又DC ∥AB ，∴可令DC 的直线方程为x －3y ＋m ＝0(m ≠－6)．而M 到直线AB 的距离d ＝410＝2510. ∴M 到直线DC 的距离为2510，即|2＋m |10＝2510⇒m ＝2或－6， 又m ≠－6，∴m ＝2，∴DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.21．(本小题满分12分)如图2，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．图2(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.22．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．【解】 设点B 的坐标为(4y 1－10，y 1)，则AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 1－72，y 1－12.∵AB 的中点在直线6x ＋10y －59＝0上，∴6×4y 1－72＋10×y 1－12－59＝0，解得y 1＝5，∴B (10,5)．设点A 关于直线x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4×y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3×14＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝7，即A ′(1,7)．而BC 边所在的直线经过点A ′，B ，∴BC 边所在直线的方程为y －75－7＝x －110－1，整理得2x ＋9y －65＝0.。