§6.2 z变换性质
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信号与系统 62 Z变换的性质.
z z z
第
11 页
如果M＝0，即f(k)为因果序列，则
f (0 ) limF ( z ) f (1) lim[ z F ( z ) z f ( 0 )]
z z z
f (2 ) lim[ z 2 F ( z ) z 2 f ( 0 ) z f (1)]
板书例题
七、k域反转
f ( k ) F ( z ), z 1 1 1 z 则 f ( k ) F ( z ) ,
若
第
10 页
板书例题
八、部分和
若
f ( k ) F ( z ), z
k
z F ( z ) , max( ,1) z 则：g( k ) f ( i ) z 1 i
z 1
12 页
板书例题续
本节小结
• z变换的性质
• 线形、移位、z域尺度、卷积、序列乘k、序列除以k+m、k域反转、部分和、初值终值定理
第
13 页
作业： 6.5(1,4,5,9) 6.6(3,4) 6.7(1)
6.8(2,3)
6.13
第
三、序列乘ak( Z域尺度变化)
若：f ( k ) F ( z ), z
且有常数a≠0 ，则：
6 页
z a f ( k ) F ( ), a z a a
k
a
k
f ( k ) F (az ),
( 1) k
a a f ( k ) F ( z ), z
则：
ZT [ f ( k m )] z m F ( z ) f ( k m ) z k
第
11 页
如果M＝0，即f(k)为因果序列，则
f (0 ) limF ( z ) f (1) lim[ z F ( z ) z f ( 0 )]
z z z
f (2 ) lim[ z 2 F ( z ) z 2 f ( 0 ) z f (1)]
板书例题
七、k域反转
f ( k ) F ( z ), z 1 1 1 z 则 f ( k ) F ( z ) ,
若
第
10 页
板书例题
八、部分和
若
f ( k ) F ( z ), z
k
z F ( z ) , max( ,1) z 则：g( k ) f ( i ) z 1 i
z 1
12 页
板书例题续
本节小结
• z变换的性质
• 线形、移位、z域尺度、卷积、序列乘k、序列除以k+m、k域反转、部分和、初值终值定理
第
13 页
作业： 6.5(1,4,5,9) 6.6(3,4) 6.7(1)
6.8(2,3)
6.13
第
三、序列乘ak( Z域尺度变化)
若：f ( k ) F ( z ), z
且有常数a≠0 ，则：
6 页
z a f ( k ) F ( ), a z a a
k
a
k
f ( k ) F (az ),
( 1) k
a a f ( k ) F ( z ), z
则：
ZT [ f ( k m )] z m F ( z ) f ( k m ) z k
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
Z变换
n=−∞
n2
−n
−∞ ≤ n ≤ n
m n =m
2
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
16
∞
n
若：
lim n x ( −n ) z < 1
n n →∞
则：
lim
n →∞
n
x( −n ) < z
1
n
−1
收敛半径
z<
lim
n →∞
x( −n )
= Rx2
1. 有限序列：在有限区间内x(n)
X (z) = ∑x(n)z
n=n1
收敛域为
n2
−n
n1 ≤ n ≤ n2
0< z <∞
12
例如： n1 = −2, 则：
n2 = 3
收敛域
X ( z ) = ∑ x(n)z = ∑ x(n) z
−n n = n1 n = −2
1 2 z <∞ −1 −2 常数
n
逆变换
= ⎡ 2 ( 2 ) − 1⎤ u ( n ) ⎣ ⎦
40
6.5 Z变换的基本性质
•线性 •位移性 •序列线性加权（ Z 域微分） •序列指数加权（ Z 域尺度变 换） •初值定理和终值定理 •时域卷积和 Z 域卷积定理
41
基本性质
线性：表现为叠加性和均匀性
若：
Z [x ( n ) ] = X ( z )
1、 Z变换式的一般形式
b0 + b1 z + " br −1 z + br z X ( z) = k −1 k a0 + a1 z + " + ak −1 z + ak z
n2
−n
−∞ ≤ n ≤ n
m n =m
2
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
16
∞
n
若：
lim n x ( −n ) z < 1
n n →∞
则：
lim
n →∞
n
x( −n ) < z
1
n
−1
收敛半径
z<
lim
n →∞
x( −n )
= Rx2
1. 有限序列：在有限区间内x(n)
X (z) = ∑x(n)z
n=n1
收敛域为
n2
−n
n1 ≤ n ≤ n2
0< z <∞
12
例如： n1 = −2, 则：
n2 = 3
收敛域
X ( z ) = ∑ x(n)z = ∑ x(n) z
−n n = n1 n = −2
1 2 z <∞ −1 −2 常数
n
逆变换
= ⎡ 2 ( 2 ) − 1⎤ u ( n ) ⎣ ⎦
40
6.5 Z变换的基本性质
•线性 •位移性 •序列线性加权（ Z 域微分） •序列指数加权（ Z 域尺度变 换） •初值定理和终值定理 •时域卷积和 Z 域卷积定理
41
基本性质
线性：表现为叠加性和均匀性
若：
Z [x ( n ) ] = X ( z )
1、 Z变换式的一般形式
b0 + b1 z + " br −1 z + br z X ( z) = k −1 k a0 + a1 z + " + ak −1 z + ak z
§6.3 z变换的主要性质
信号与系统
§6.3 Z变换的主要性质
信号与系统
1、线性特性：表现为叠加性和齐次性
若
f1 (k ) F1 ( z)
R x1 Z R x 2
f 2 (k ) F2 ( z)
则
R y1 Z R y 2
C1 f1 (k ) C2 f 2 (k ) C1F1 ( z) C2 F2 ( z)
F ( x) 1 m f (k ) z m 1 dx z x k m
例:
求下列序列的Z变换。
1)
3)
f (k ) (k 1)U (k )
U (k 1) f (k ) (k 1) k
2)
4)
f (k ) k (k 1)U (k )
U (k ) f (k ) k 1
信号与系统 6、 时域部分和
k
若f(k) F(z)， <|z|<，则
z F ( z ) max{ a,1} z y (k ) f (i ) Y ( z ) z 1 i k z z z2 i 例： y (k ) a U (i ) Y ( z ) z 1 z a ( z 1)( z a) i 0 max{ a,1} z 7、卷和定理：
z sin 0 sin k0U (k ) 2 z 2 z cos0 1
求f (k ) k sin k0U (k )的z变换F ( z).
z sin 0
解： F ( z )
z z ( ) 2 2 cos 0 1
z sin 0 F ( z) 2 z 2z cos 0 2
信号与系统 4、 Z域微分性 若f(k) F(z)，则
§6.3 Z变换的主要性质
信号与系统
1、线性特性：表现为叠加性和齐次性
若
f1 (k ) F1 ( z)
R x1 Z R x 2
f 2 (k ) F2 ( z)
则
R y1 Z R y 2
C1 f1 (k ) C2 f 2 (k ) C1F1 ( z) C2 F2 ( z)
F ( x) 1 m f (k ) z m 1 dx z x k m
例:
求下列序列的Z变换。
1)
3)
f (k ) (k 1)U (k )
U (k 1) f (k ) (k 1) k
2)
4)
f (k ) k (k 1)U (k )
U (k ) f (k ) k 1
信号与系统 6、 时域部分和
k
若f(k) F(z)， <|z|<，则
z F ( z ) max{ a,1} z y (k ) f (i ) Y ( z ) z 1 i k z z z2 i 例： y (k ) a U (i ) Y ( z ) z 1 z a ( z 1)( z a) i 0 max{ a,1} z 7、卷和定理：
z sin 0 sin k0U (k ) 2 z 2 z cos0 1
求f (k ) k sin k0U (k )的z变换F ( z).
z sin 0
解： F ( z )
z z ( ) 2 2 cos 0 1
z sin 0 F ( z) 2 z 2z cos 0 2
信号与系统 4、 Z域微分性 若f(k) F(z)，则
第六章(2)Z变换的性质
6212已知九初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列如果序列在km时fk0它与象函数的关系为九初值定理和终值定理终值定理适用于右边序列如果序列在km上式是取的极限因此要求例6213某因果序列的z变换为设a为实数limlimz在z1处有极点所以在单位圆上不收敛fz在z1有一阶极点的极点为收敛域为
复习
z
z z a
f (2) lim[z2 z z2 az] a2 z z a
（2）由终值定理可得
0
lim
z1
z
1 z
z
z
a
1 0
0
a 1 a1 a 1 a 1
F(z)
Z[
f（k）]
Z
1
k
2
f1(k )
F1 (2 z )
(2z)2 4z2
3 | z | 2
2z 3 2z 3
四、 卷积定理
若
f1(k) F1(z), 1 z 1
f2(k) F2(z),
2
z
2
则
f1(k)* f2(k) F1(z)F2(z)
且有任意常数 a1 , a则2 ,
a1 f1(k) a2 f2(k) a1F1(z) a2F2(z)
其收敛域至少是 F1(与z) F收2(敛z)域的相交部分。
例 6.2-1 已知 f (k) ε(k) 3k ε(k 1)，求f(k)的
双边Z变换F(z)及其收敛域。
(k) z
f1(k )
F1 ( z )
(z
z 1)2
， 则有
f (k ) ak f1(k )
复习
z
z z a
f (2) lim[z2 z z2 az] a2 z z a
（2）由终值定理可得
0
lim
z1
z
1 z
z
z
a
1 0
0
a 1 a1 a 1 a 1
F(z)
Z[
f（k）]
Z
1
k
2
f1(k )
F1 (2 z )
(2z)2 4z2
3 | z | 2
2z 3 2z 3
四、 卷积定理
若
f1(k) F1(z), 1 z 1
f2(k) F2(z),
2
z
2
则
f1(k)* f2(k) F1(z)F2(z)
且有任意常数 a1 , a则2 ,
a1 f1(k) a2 f2(k) a1F1(z) a2F2(z)
其收敛域至少是 F1(与z) F收2(敛z)域的相交部分。
例 6.2-1 已知 f (k) ε(k) 3k ε(k 1)，求f(k)的
双边Z变换F(z)及其收敛域。
(k) z
f1(k )
F1 ( z )
(z
z 1)2
， 则有
f (k ) ak f1(k )
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
Z变换的基本性质教学总结
第 1 页
Z变换的基本性质
X
第
例1 求 cok sh 0(k)的 z变换（。 自学）
2 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
X(z)Y(z)1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
二．移序(移位)性质
第 5
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
1．双边z变换的移序性质
第 6
页
原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k2)
4
x(k2)
4
1O12 k 1O12
k
21O1 k
若序 xk的 列 双 z变:边 换
x(k) X (z)
z
x (k m ) z m X (z) z
X
2．单边z变换的移序性质
第 7
页
若x(k)为双边序列，其单边z变换为 Zx(k)(k)
x(k)(k)
x(k2)(k)
x(k2)(k)
4
4
4
1O1Biblioteka k 1O1k1O1
k
xkmk,xkmk比 xkk的长度有所 xkm,xkm只是位置x变 k的 化长 ，度 与一
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
x k m z m X (z)
x (k m )(k m ) z m X (z)
Z变换的基本性质
X
第
例1 求 cok sh 0(k)的 z变换（。 自学）
2 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
X(z)Y(z)1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
二．移序(移位)性质
第 5
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1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
1．双边z变换的移序性质
第 6
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原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k2)
4
x(k2)
4
1O12 k 1O12
k
21O1 k
若序 xk的 列 双 z变:边 换
x(k) X (z)
z
x (k m ) z m X (z) z
X
2．单边z变换的移序性质
第 7
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若x(k)为双边序列，其单边z变换为 Zx(k)(k)
x(k)(k)
x(k2)(k)
x(k2)(k)
4
4
4
1O1Biblioteka k 1O1k1O1
k
xkmk,xkmk比 xkk的长度有所 xkm,xkm只是位置x变 k的 化长 ，度 与一
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
x k m z m X (z)
x (k m )(k m ) z m X (z)
z变换的位移定理
z变换的位移定理引言：在信号与系统理论中，z变换是一种重要的数学工具，可用于分析离散时间信号和系统。
z变换的位移定理是z变换的重要性质之一，它描述了信号在时间域中的移位与频域中的变换关系。
本文将详细介绍z变换的位移定理及其应用。
一、z变换的概述z变换是一种将离散时间信号转换为复变量函数的数学工具。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换是对连续时间信号进行变换，而z 变换是对离散时间信号进行变换。
z变换的基本定义式如下：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)], n = -∞ to +∞其中，X(z)是z变换后的复变量函数，x(n)是离散时间信号，z是复变量。
二、z变换的位移定理z变换的位移定理描述了信号在时间域中的移位与频域中的变换关系。
具体表达式如下：如果x(n)的z变换为X(z)，则x(n-k)的z变换为z^(-k)X(z)。
这个定理告诉我们，如果在时间域中将信号x(n)向右移k个单位，则在频域中将对应的z变换X(z)乘以z^(-k)即可得到。
三、位移定理的应用位移定理在信号与系统分析中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 时延分析：位移定理可用于分析信号经过时延后的频谱变化。
通过将信号向右移动一定的单位，可以得到经过时延后的频域表示。
2. 卷积运算：由于卷积运算在时域中相当于乘法运算，在频域中相当于卷积运算。
位移定理可用于将时域中的卷积运算转换为频域中的乘法运算，从而简化运算过程。
3. 系统响应分析：位移定理可用于分析线性时不变系统的响应。
通过将输入信号向右移动一定的单位，可以得到输出信号的频域表示，进而分析系统的频率响应。
四、位移定理的证明位移定理可以通过z变换的线性性质和延迟定理来证明。
具体过程如下：假设x(n)的z变换为X(z)，则有：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)]令y(n) = x(n-k)，则有：Y(z) = ∑[y(n) * z^(-n)]= ∑[x(n-k) * z^(-n)]= ∑[x(n) * z^(-(n+k))]= z^(-k) * ∑[x(n) * z^(-n)]= z^(-k) * X(z)因此，x(n-k)的z变换为z^(-k)X(z)，即得到位移定理的结论。
Z变换的基本性质演示文稿
证明：
Z an x(n)
a n x(n)z n
x(n) z n X z
n0
n0
a
a
同理 a n x(n) X az
Rx1 az Rx2
1n x(n) X z
Rx1 z Rx2
五．初值定理
若x(n)为因果序列，已知 X z Zxn xnz n，
n0
则x(0) lim X (z)
Z变换的基本性质演示文稿
优选Z变换的基本性质ppt
主要内容
线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理
z域卷积定理（自阅）
一．线性 (表现为叠加性和均匀性）
若 Zx(n) X (z)
Rx1 z Rx2
Zy(n) Y (z)
Ry1 z Ry2
则 Zax(n) by(n) aX (z) bY (z) R1 z R2
例：anu(n), a 1，终值为0 (2)若极点位于单位圆上，只能位于 z 1 ，并且是一阶
极点。 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第 一条。
注意：对于因果序列n 0时，xn 0，则
Zx(n m)u(n) z m X (z)
而左移位序列的单边z变换不变。
三．序列线性加权
若 Zx(n) X (z)
则 nx(n) z d X (z)
推广
Z
n2 xn
dz
Zn nxn
z
d
Znxn
dz
z
d dz
z
d dz
X
z
z2
d
2 X z
dz2
x(n) 4
x(n 2) 4
Z变换定义与性质
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
第06讲_Z变换的性质及与其他变换的关系---精品资料
线性
满足齐次性（比例性）和可加性
若 则
Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx Z [ y( n)] Y ( z ) , R y z R y
Z [ax( n) by( n)] aX ( z ) bY ( z ), max( Rx , R y ) z min( Rx , R y )
2k Xa ( j ) T k
序列在单位圆上的Z变换为序列 的傅氏变换
z
终值定理
对于因果序列x(n)，且X(z)=Z[x(n)]的极点处于 单位圆|z|=1以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶 极点）则
lim x( n) lim[( z 1) X ( z )] Re s[ X ( z )]z 1
n z 1
有限项累加特性
对于因果序列 x( n)，且X ( z ) Z [ x( n)],
* * *
其中，x ( n)为x( n)的共轭序列。
*
翻褶序列
Z[ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
1 1 1 Z[ x( n)] X ( ) ; z z Rx Rx
初值定理
对于因果序列 x( n)，则x(0) lim X ( z )。
ze j T jT z re e e
sT
re
T
T
r 与σ的关系 (r e )
T
S平面
Z平面
j
0
0 0 0 0
0 0 0
ω与Ω的关系（ω=ΩT）
j]
T 3 T
Z变换和傅氏变换的关系
已知x( n) a u( n), h( n) b 求Y ( z ) Z [ x( n)h( n)]
《z变换的性质》课件
通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换性质.
3 k 0 f (kT ) Z 1[Y (z)] 7(1)k1 2k(1)k1 20(2)k1
k 1
7
例4：教材例3.15
F (z)
z (z 1)2 (z 2)
b1 (z 1)
b2 z (z 1)2
(z
c 2)
求得b2=b1=-1, c=2,代入 b1ak1 b2kak1 k 1
▼长除法; ▼部分分式法; ▼留数计算法
一.长除法
分母首一化，逐项相除； 给出各拍数值。
例1：求下式的Z反变换
Y
(z)
5z
2
12z 1.5z
0.5
z2
2.4z 0.3z 0.1
(演算)
3
MATLAB程序： v=[0 12 0 0 0 0 0 0] u=[5 -1.5 0.5] [q, r]=deconv(v, u) q=[0 2.4 0.72 –0.024 –0.0792 –0.0214]
傅里叶变换的性质拉普拉斯变换性质傅里叶变换性质z变换z变换的意义傅里叶变换基本性质二维傅里叶变换性质z变换的定义z变换表逆z变换
1
复习 1. Z变换的主要性质:
(1)平移定理（滞后定理）
Z[ y(kT nT )] znY (z)
(掌握)
(2)初值定理
y(0) lim y(kT ) limY (z)
i 1
注意：(1)一个重极点pj只有一个留数。 (2)若F(z)的分子中不含公因子z,则留数
计算法得出的f(kT)只适用于k>0情况，
k=0应通过初值定理求出。
(3)留数法可以求得Z反变换的解析式。
教材:例3.19(自学)
10
例：用留数法求Z的反变换
F
k 1
7
例4：教材例3.15
F (z)
z (z 1)2 (z 2)
b1 (z 1)
b2 z (z 1)2
(z
c 2)
求得b2=b1=-1, c=2,代入 b1ak1 b2kak1 k 1
▼长除法; ▼部分分式法; ▼留数计算法
一.长除法
分母首一化，逐项相除； 给出各拍数值。
例1：求下式的Z反变换
Y
(z)
5z
2
12z 1.5z
0.5
z2
2.4z 0.3z 0.1
(演算)
3
MATLAB程序： v=[0 12 0 0 0 0 0 0] u=[5 -1.5 0.5] [q, r]=deconv(v, u) q=[0 2.4 0.72 –0.024 –0.0792 –0.0214]
傅里叶变换的性质拉普拉斯变换性质傅里叶变换性质z变换z变换的意义傅里叶变换基本性质二维傅里叶变换性质z变换的定义z变换表逆z变换
1
复习 1. Z变换的主要性质:
(1)平移定理（滞后定理）
Z[ y(kT nT )] znY (z)
(掌握)
(2)初值定理
y(0) lim y(kT ) limY (z)
i 1
注意：(1)一个重极点pj只有一个留数。 (2)若F(z)的分子中不含公因子z,则留数
计算法得出的f(kT)只适用于k>0情况，
k=0应通过初值定理求出。
(3)留数法可以求得Z反变换的解析式。
教材:例3.19(自学)
10
例：用留数法求Z的反变换
F
Z变换的基本性质
数学上表示为：若x(n)的z变换为X(z) ，则x(n-k)的z变换仍为X(z)，其中k为 非负整数。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
第二节Z变换的性质
k 1
i
Z
1
1 a
Z 1
例12：求序列 a 的Z变换，其中a为实数 i 0 解：由题意得：
i
K
ai
i 0
K
i i
a (i ), a
i
K
k
k
Z , Z a Z a
a
i 0
K
Z Z , Z m ax a ,1 Z 1 Z a
(k )
Z , Z 1 Z 1
Z 1 Z Z 1, Z [k ( M 1)] Z ( M 1) , Z 1 Z 1 2 M 1
其中：m为
由移微特性得： (k M ) Z M
M 所以：Z [ P2 M 1 (k )] Z
Z Z Z 1 Z ( M 1) ,1 Z Z 1 Z 1 Z M 1
五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： f (k ) F (Z ), Z 则：kf (k ) Z d F ( Z )
dZ k m f (k ) [ Z d m ] F (Z ) dZ
例9：求序列 k 2 (k ), k (k 1) (k ), k (k 1) (k )的Z变换 2 Z 2 d Z Z ( Z 1) 2 ( k ) , Z 1 k (k ) Z [ ] ,Z 2 解：（1） Z 1 dZ ( Z 1) ( Z 1)3 （2）利用左移特性：
f (k ) F Z , a Z
九：初值定理和终值定理 1、初值定理：当1<k<m时，f(k)=0,且 lim Z m F ( Z ) 则：f (m) Z
i
Z
1
1 a
Z 1
例12：求序列 a 的Z变换，其中a为实数 i 0 解：由题意得：
i
K
ai
i 0
K
i i
a (i ), a
i
K
k
k
Z , Z a Z a
a
i 0
K
Z Z , Z m ax a ,1 Z 1 Z a
(k )
Z , Z 1 Z 1
Z 1 Z Z 1, Z [k ( M 1)] Z ( M 1) , Z 1 Z 1 2 M 1
其中：m为
由移微特性得： (k M ) Z M
M 所以：Z [ P2 M 1 (k )] Z
Z Z Z 1 Z ( M 1) ,1 Z Z 1 Z 1 Z M 1
五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： f (k ) F (Z ), Z 则：kf (k ) Z d F ( Z )
dZ k m f (k ) [ Z d m ] F (Z ) dZ
例9：求序列 k 2 (k ), k (k 1) (k ), k (k 1) (k )的Z变换 2 Z 2 d Z Z ( Z 1) 2 ( k ) , Z 1 k (k ) Z [ ] ,Z 2 解：（1） Z 1 dZ ( Z 1) ( Z 1)3 （2）利用左移特性：
f (k ) F Z , a Z
九：初值定理和终值定理 1、初值定理：当1<k<m时，f(k)=0,且 lim Z m F ( Z ) 则：f (m) Z
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五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf (k ) z F ( z ) , <z<
dz
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
z (k ) z 1
d z ( z 1) z z k (k ) z z 2 d z z 1 ( z 1) ( z 1) 2
含单位圆
z 1 f () lim f (k ) lim F ( z ) lim ( z 1) F ( z ) k z 1 z 1 z
▲
■
第 14 页
z
对因果序列f(k)， f (0) lim F ( z ) z
▲ ■ 第 12 页
证明
F ( z)
k
f (k ) z k
k M
f (k ) z k f ( M ) z M f ( M 1) z ( M 1) f ( M 2) z ( M 2 ) ...
3z 例： 2(k)+ 3(k) ←→ 2 + z 1
，z>1
▲
■
第 2页
二、移位特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
k
z F(z)= ( z 1) 2
▲ ■ 第 5页
三、序列乘ak(z域尺度变换)
若 f(k) ←→ F(z) , <z< ， 且有常数a0
则
akf(k) ←→ F(z/a) , a<z<a
证明： Z[akf(k)]= 例1：akε(k)
k
a
k
f (k ) z
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
z z 1 z z z 1 z 1 ( z 1) 2
▲ ■ 第 7页
F ( )
z
d
1 1 1 1 z (k ) z d z ( )d z ln( ) z z ln( ) z ( 1) 2 z 1 k 1 z 1
▲
■
第 9页
七、 k域反转 (仅适用双边z变换）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 f( –k) ←→ F(z-1) , 1/<z<1/
k
k
z f (k ) a
k
z F( ) a
←→
z za
例2：cos(k)ε(k) ←→? cos(k)ε(k)=0.5(ej k+ e-j k)ε(k) ←→
0.5 z z e
▲
j
0.5 z z e
■
j
第 6页
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
f (k m) z m F ( z ) f (k m) z k
k 0
▲ ■ 第 3页
m 1
前向移位
f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z
f (k m) z F ( z ) f (k ) z
▲
■
第 8页
六、序列除(k+m)(z域积分）
若 f(k) ←→F(z) , <z<，设有整数m，且k+m>0，
则
F ( ) f (k ) m z m1 d z km
, <z<
若m=0 ,且k>0，则 f (k )
k
1 (k ) 的z变换。 例：求序列 k 1 解 z (k ) z 1
m 0
(k mN ) z mN
m 0
1 zN N N 1 z z 1
z>1
例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z). 解 f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k)
z zF(z) – zf(0) = F(z) + z 1
f ( n) z z
n n 0
m
f ( k m) z k z m F ( z )
k 0
m 1
Hale Waihona Puke 特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→ z-mF(z)
▲ ■ 第 4页
例1：求周期为N的有始周期性单位序列
m 0
(k mN )
的z变换。 解
z 例：已知 a (k ) ，|z| >a za
k
求a –k( –k – 1)的z变换。 z 1 z 1 解 a k 1 (k 1) ，|z| >a z a z 1 1 k 1 a (k 1) 1 ，|z| < 1/a z a 乘a得 a k a (k 1) 1 ，|z| < 1/a z a
▲ ■ 第 10 页
八、部分和
若 f(k) ←→F(z) , <z<，则
z f (i) z 1 F ( z ) i
k
, max(,1)<z<
证明
f (k ) * (k )
i
f (i) (k i )
k
i
k
f (i )
m k 0
m 1
mk
证明： m 1 k k Z[f(k – m)]= f (k m) z f (k m) z f (k m) z ( k m) z m
k 0 k 0 k m
上式第二项令k – m=n
f ( k m) z
k 0 m 1 k
z F ( z) z 1
a i (k≥0)的z变换。 例：求序列(a为实数)
解
z z a i a (i) z 1 z a i 0
i i
k
k
i 0
，|z|>max(|a|,1)
▲ ■ 第 11 页
九、初值定理和终值定理
初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)时 f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值 f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。 初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)←→F(z) ，<z<∞ 则序列的初值 f (M ) lim z m F ( z)
f ( k m) z
k
nk m
n
f ( n) z n z m z m F ( z )
单边z变换的移位：后向移位 若 f(k) ←→ F(z), |z| > ，且有整数m>0, 则 f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1
§6.2
• 线性性质 • 移位特性
z变换的性质
• z域积分 • k域反转
• z域尺度变换
• 卷积定理
• 部分和
• 初值定理
• z域微分
• 终值定理
本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适 用于单边也适用于双边z变换。
■
第 1页
一、线性性质
f1(k)←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 对任意常数a1、a2，则 a1f1(k)+a2f2(k) ←→ a1F1(z)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1(z) 与F2(z)收敛域的相交部分。 若
两边乘zM得 zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+…
f (M ) lim z m F ( z )
z
▲
■
第 13 页
终值定理：
终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序 列的终值，而不必求得原序列。 如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k) ←→ F(z) ，<z< 且0<1 则序列的终值