第十章三角形的有关证明单元检测

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八年级数学下册《三角形的证明》单元测试卷(附答案解析)

八年级数学下册《三角形的证明》单元测试卷(附答案解析)一、选择题（共15小题）1. 关于等边三角形，下列说法错误的是( )A. 等边三角形中，各边都相等B. 等腰三角形是特殊的等边三角形C. 两个角都等于60∘的三角形是等边三角形D. 有一个角为60∘的等腰三角形是等边三角形2. 若△ABC内一点O到△ABC的三个顶点距离都相等，则O点是( )A. 三角形内角平分线的交点B. 三角形三边上中线的交点C. 三角形三条高的交点D. 三条边垂直平分线的交点3. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60∘”时，应先假设( )A. 有一个内角小于60∘B. 每一个内角都小于60∘C. 有一个内角大于60∘D. 每一个内角都大于60∘4. 下列语句正确的是( )A. 有一边对应相等，且有一个角为30∘的两个等腰三角形全等B. 有一个角为40∘，且腰长相等的两个等腰三角形全等C. 底边对应相等的两个等腰三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( )A. 72∘B. 60∘C. 58∘D. 50∘6. 某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x−1，则该三角形的周长为( )A. 11B. 11或8C. 11或8或5D. 与x的取值有关7. 如图，下列说法中正确的是( )A. 若AC=BC，则CD是线段AB的垂直平分线B. 若AD=DB，则AC=BCC. 若CD是线段AB的垂直平分线，则AC=BCD. 若CD⊥AB，则AC=BC8. 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在线段CD上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD，BC的距离相等；③PD=PC．其中正确的为( )A. ①②③B. ①②C. ①D. ②9. 有下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=90∘−∠B；∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的有( )④∠A=∠B=12A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( )A. △AOB≌△BOCB. △BOC≌△EODC. △AOD≌△EODD. △AOD≌△BOC11. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为( )A. 8B. 11C. 16D. 1712. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图1：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 以上均不正确13. 用三个不等式a>b，ab>0，1a <1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 314. 如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为( )A. 4.5cmB. 5.5cmC. 6.5cmD. 7cm15. 如图所示，已知△ABC(AC<AB＜<BC)，用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是( )A. B.C. D.二、填空题（共6小题）16. 已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法：①若∠C=90∘，则a2+b2=c2；②若∠B=90∘，则a2+c2=b2；③若∠A=90∘则b2+c2=a2；④总有a2+b2=c2．其中正确的有（填序号）．17. 如图，在△ABC中，∠ABC=60∘，∠C=45∘，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形个．18. 阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说："小亮的作法正确．"请你回答：小亮的作图依据是19. 如图，若点P为△ABC三边中垂线交点，则PA PB PC．20. 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．21. 写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：．这个命题是命题（填入“真”或“假”）．三、解答题（共6小题）22. 如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26∘．求∠B和∠C的度数．23. 如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F分别是垂足，AE=CF，求证：AB∥CD．24. 如图，以线段BC为一边画等腰直角三角形ABC，这样的三角形可以画出几个?25. 如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．（1）求证：BC=BE；（2）若∠DBF=∠BAC=30∘，AC=2，求AD的长．26. 已知，如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB=5cm，BD=3cm，求BE的长．27. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为D．如果∠EDF=54∘，求∠A的度数．参考答案与解析1. B【解析】等边三角形是特殊的等腰三角形，不能说成等腰三角形是特殊的等边三角形，故选项B中说法错误．2. D3. B 【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60∘”时，第一步应先假设每一个内角都小于60∘．4. D5. D6. B7. C8. A【解析】如图，作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180∘，∵AP 平分 ∠DAB ，BP 平分 ∠ABC ，∴∠PAB =12∠DAB ，∠PBA =12∠ABC ，∴∠PAB +∠PBA =12∠DAB +12∠ABC =12(∠DAB +∠ABC)=12×180∘=90∘， ∴∠APB =90∘，即 AP ⊥BP ，①正确；∵AP 平分 ∠DAB ，PE ⊥AD ，PG ⊥AB ，∴PE =PG ，同理，PF =PG ，∴PE =PF ，即点 P 到直线 AD ，BC 的距离相等，②正确；由题意及作图可得 △DPE ≌△CPF ，∴PD =PC ，③正确．故选A ．9. D10. A【解析】∵AD =DE ，DO ∥AB ，∴OD 为 △ABE 的中位线，∴OD =OC ，∵ 在 Rt △AOD 和 Rt △EOD 中，{AD =ED,OD =OD∴△AOD ≌△EOD （HL ）；∵ 在 Rt △AOD 和 Rt △BOC 中，{AB =BC,OD =OC∴△AOD ≌△BOC （HL ）；∵△AOD ≌△EOD ，∴△BOC ≌△EOD ；故B 、C 、D 均正确．11. B12. A13. D【解析】命题①，如果 a >b ，ab >0，那么 1a <1b ．∵a >b,ab >0，∴a −b >0．∴a−b ab >0. 整理得 1a <1b ．∴命题①是真命题．命题②，如果a>b，1a <1b，那么ab>0．∵1a <1b，∴1a−1b<0．∴b−aab<0．∵a>b，∴b−a<0，∴ab>0．∴命题②是真命题．命题③，如果ab>0，1a <1b，那么a>b．∵1a <1b，∴1a−1b<0．∴b−aab<0，∵ab>0，∴b−a<0，∴b<a．∴命题③为真命题．综上，真命题的个数为3．14. A【解析】∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R 落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=RN．∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，∴NQ=MN−MQ=4−2.5=1.5(cm)，则线段QR的长为RN+NQ=3+1.5=4.5(cm)．15. D【解析】∵PA+PC=BC=PB+PC，∴PA=PB，P在AB的垂直平分线上．16. ①②③17. 318. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；两条直线交于一点19. =，=20. 4【解析】∵货物中转站要到三条公路的距离都相等，∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴ 货物中转站可供选择的地址有 4 处．21. 两个内角相等的三角形是等腰三角形，真22. ∵AB =AD ，∴∠B =∠ADB ．∵∠B +∠ADB =180∘−∠BAD =180∘−26∘=154∘，∴∠B =∠ADB =12×154∘=77∘．∴∠C +∠DAC =∠ADB =77∘．又 ∵AD =DC ，∴∠C =∠DAC =12×77∘=38.5∘．故 ∠B =77∘，∠C =38.5∘．23. ∵AE =CF ，∴AE +EF =CF +EF ，即 AF =EC ．又 ∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠AFB =∠CED =90∘．在 Rt △ABF 与 Rt △CDE 中，{AB =CD,AF =CE,∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL )，∴∠C =∠A ，∴AB ∥CD ．24. 共 6 个．25. （1） ∵AD ，AF 分别是钝角 △ABC 和钝角 △ABE 的高，且 AC =AE ，AD =AF ， ∴Rt △ADC ≌Rt △AFE （HL ）．∴CD =EF ．∵AB =AB ，AD =AF ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF （HL ）．∴BD =BF ．∴BD −CD =BF −EF ，即 BC =BE ．（2） ∵AD ，AF 分别是钝角 △ABC 和钝角 △ABE 的高，AD =AF ， ∴BA 平分 ∠DBF ，∴∠ABC =12∠DBF =15∘，∴∠ACD =∠ABC +∠BAC =45∘，∴AD=CD．在Rt△ACD中，AC=2，AC2=AD2+CD2，∴AD=√2．26. ∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC，又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=EC，∴AB=AC=CE=5，∵BD=CD=3，∴BE=BD+CD+CE=3+3+5=11(cm)．27. ∠A=72∘．第11 页共11 页。

八年级数学三角形的证明单元测试题 (含答案)

三角形的证明测试题1．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝()A．40° B．50°C．60° D．75°2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是()A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A3．下列说法中，正确的是()A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a、b、c，则满足a2－b2＝c2C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形4．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为()A．2 B．3C．4 D．55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A．3 B．4C．5 D．66．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为() A．2 B．2 3C．4 D．4 37．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：.8．已知直角三角形的两直角边a、b满足a－5＋|b－12|＝0，则斜边c上的中线长为.9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为.10．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是.11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD－BE＝DE.正确的是(将你认为正确的答案序号都写上)．12．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且DE ＝DC.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)若∠A ＝36°，求∠DBC 的度数．13．如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ⊥AB 于D.求证：AD ＝14AB.14．如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD.(1)求证：AB ＝AD ；(2)请你探究∠EAF 、∠BAE 、∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．15．(1)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF；(2)如图2，在(1)的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM＋AN＝2AF，请加以证明；(3)如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC 于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．答案1---6 BBDCC C7. BC＝EF8.1329. 610. 411. ①②④12. (1)证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC；(2)解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝27°.13. 证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝12AB，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB－∠DCB＝90°－60°＝30°，在Rt△ACD中，AD＝12AC，则AD＝14AB.14. 解：(1)证明：连接AC，∵点E是BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵点F是CD的中点，AF⊥CD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；(2)∠EAF ＝∠BAE ＋∠DAF.证明：∵由(1)知AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．∵AE ⊥BC(已知)，∴∠BAE ＝∠EAC(等腰三角形的三线合一)，同理，∠CAF ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠EAC ＋∠FAC ＝∠BAE ＋∠DAF.15. 解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，在△ADE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠CAD ∠AED ＝∠AFD ＝90°AD ＝AD，∴△ADE ≌△ADF(AAS)，∴DE ＝DF ，AE ＝AF ；(2)AM ＋AN ＝2AF ；证明如下：由(1)得DE ＝DF ，∵∠MDN ＝∠EDF ，∴∠MDE ＝∠NDF ，在△MDE 和△NDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MDE ＝∠NDF DE ＝DF∠DEM ＝∠DFN ＝90°，∴△MDE ≌△NDF(ASA)，∴ME ＝NF ，∴AM ＋AN ＝(AE ＋ME)＋(AF －NF)＝AE ＋AF ＝2AF ；(3)由(2)可知AM ＋AN ＝2AC ＝2×6＝12，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，∵ND ∥AB ，∴∠ADN ＝∠BAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠ADN ，∴AN ＝DN ，在Rt △CDN 中，DN ＝2CN ，∵AC ＝6，∴DN ＝AN ＝21＋2×6＝4，∵∠BAC ＝60°，∠MDN ＝120°，∴∠CDE ＝∠MDN ，∴DM ＋DN ＝4，∴四边形AMDN 的周长＝12＋4×2＝20.。

鲁教版七年级下《第十章三角形的有关证明》单元测试有答案(数学)

第十章三角形的有关证明单元测试一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，那么这个直角三角形的斜边长为（） A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 24 cm2.如图1，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA +PC ＝BC ，则下列选项正确的是（）3.如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°4.如图3，在△ABC 中，AC ＝4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，则BC 的长为（）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m 6.下列命题中，其逆命题为真命题的是（）A. 若a ＝b ，则a 2＝b 2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等7.如图5，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为（）D. 28.如图6，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积为（）A. 10B. 7C. 5D. 49.如图7，△ABC 和△DCE 都是边长为2的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（）10.如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8图4 D CB A E 图2 A BCD 图1 C B A C B A P C B A P C B A P P C B A N C B A M图3 E C B A D 图5 DC B A E 图6 图7D CB A E PC. 3.8D. 5二、填空题（每小题4分，共32分）11.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12.若一个三角形的三边长分别为3 m ，4 m ，5 m ，那么这个三角形的面积为＿＿＿.13.如图9，点D ，C ，A 在同一条直线上，在△ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝3∶5∶10，若△EDC ≌△ABC ，则∠BCE 的度数为＿＿＿.14.如图10，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，若CD ＝1，则BD＝＿＿＿.15.如图11，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿＿＿＿个真命题．16.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为＿＿＿米.（结果精确到0.1米，参1.41 1.73）17.如图13，在△ABC 中，AB ＝4，AC＝3，AD是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是＿＿＿.18.如图14，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……依次画下去，直到得到第n 条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n ＝＿＿.三、解答题（共58分）19.（6分）如图15，A D 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，那么△ACE 是等腰三角形吗？请证明你的结论.20.（8分）如图16，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，试求CD 的长.21.（8分）如图17，在△ABC 中，AB=AC=10 cm，∠B=15°，CD 是AB 边上的高，求CD 的长．22.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .图18所示四边形ABCD 是一个筝形，其中AB ＝CB ，AD ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F .求证：OE ＝OF .E B C D A图9 D C B A 图10 图12 图11 O A 1 AA 3 A 2 A 4BC 图14D C BA O E F 图18 108 AD A图13 DC B A 图17 图15 ECB A D图1623.（12分）如图19，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BD 是△ABC 的角平分线，点O 在BD 上，分别过点O 作OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足为E ，F ，且OE=OF.（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；（2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长.24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图20，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，延长BC ，使CE ＝CD ，连接DE ，求证：BC +DC ＝AC .思路点拨：（1）由已知条件AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 是＿＿＿三角形.同理由已知条件∠BCD ＝120°得到∠DCE ＝＿＿＿，且CE ＝CD ，可知＿＿＿；（2）要证BC +DC ＝AC ，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿. 请写出完整的证明过程.附加题（15分，不计入总分）25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.参考答案一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A二、11. 面积相等的三角形全等 12. 6 m 213. 20° 14. 2 15. 2 16. 2.9 17. 4∶3 18. 9 三、19. 解：△ACE 是等腰三角形．证明：因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠BAD =∠CAD ．因为CE∥AD，所以∠BAD =∠E，∠CAD =∠ACE.所以∠E=∠ACE. 所以AE=AC ，即△ACE 是等腰三角形．20. 解：因为DE 是AC 的垂直平分线，所以CD ＝AD .所以AB ＝BD +AD ＝BD +CD.设CD ＝x ，则BD ＝5－x.在Rt△BCD 中，由勾股定理，得 CD 2＝BC 2+BD 2，即x 2＝32+(5－x )2，解得x ＝3.4.故CD 的长为3.4.21. 解：在△ABC 中，因为AB=AC=10 cm ，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°. 所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD 是AB 边上的高，所以∠D=90°.所以CD=12AC=12×10=5（cm ），即CD 的长是5 cm ．22. 证明：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CBD . 所以∠ABD ＝∠CBD .所以BD 平分∠ABC . 又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，所以OE ＝OF . 23. 证明：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M .因为BD 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E ，所以OM ＝OE . 又OE=OF ，所以OM=OF.所以点O 在∠BAC 的平分线上.（2）连接OC.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，根据勾股定理，得AB ＝13. 因为S △ABO +S △BCO +S △ACO =S △ABC ，所以12×13·OM+12×12·OE+12×5·OF=12×5×12. 由（1）知OM=OE=OF ，所以15OE=30，解得OE ＝2.24. 解：（1）等边 60° △DCE 是等边三角形（2）AC BE（3）△BED ≌△ACD证明过程如下：连接AC ，BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 是等边三角形.所以AD ＝BD ，∠ADB ＝60°. 因为∠BCD ＝120°，所以∠DCE ＝180°－∠BCD ＝180°－120°＝60°. 因为CE ＝CD ，所以△DCE 是等边三角形.所以CD ＝DE ，∠CDE ＝60°. 所以∠ADB +∠BDC ＝∠CDE +∠BDC ，即∠ADC ＝∠BDE .在△ADC 和△BDE 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，DC ＝DE ，所以△ADC ≌△BDE .所以AC ＝BE ＝BC +CE=BC+DC .25. 解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为1-②：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x 2＝(x +6)2，解得x ＝73，所以拼成的等腰三角形的周长为2×763⎛⎫+⎪⎝⎭+10＝803；如图1-④：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8＝36.① 4 10 8 6 ② 10 6 10 8 6 ③ x +6 x 10 8 6 8图1。

鲁教版七年级下册数学第10章三角形的有关证明单元检测(含答案)

第10章三角形的有关证明一、选择题1.下列判断不正确的是（）A. 形状相同的图形是全等图形B. 能够完全重合的两个三角形全等C. 全等图形的形状和大小都相同D. 全等三角形的对应角相等2.已知某等腰三角形两边长长分别为1，2，则周长为（）A. 3B. 4C. 5D. 4或53.如图所示，八年级某同学书上的图形（三角形）不小心被墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识，画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形全等的依据是（）A. SSSB. SASC. ASAD. AAS4.如图，∠C=∠D，DE=EC，则以下说法错误的是（）A.AD=BCB.OA=ACC.∠OAD=∠OBCD.△OAD≌△OBC5.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E 不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C 到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（）A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①②③④6.如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为（）A. 75°B. 65°C. 63°D. 61°7.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（）A.3B.4C.5D.68.下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长，面积分别相等；⑤所有的等边三角形都是全等三角形．其中正确的说法有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 1个9.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个10.如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 611.已知△ABC与△DEF全等，BC=EF=4cm，△ABC的面积是12cm2，则EF边上的高是（）A.3cmB.4cmC.6cmD.无法确定12.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个直接到达A和B的点C，连接AC 并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．我们可以证明出△ABC≌△DEC，进而得出AB=DE，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS二、填空题（共10题；共20分）13.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=________时，△AOP为等边三角形．14.如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．15.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________.16.如图5，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为________cm。

北师大版八年级数学下册三角形的证明单元测试卷(含答案)

北师大版八年级数学下册三角形的证明单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝( )A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是( )A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△AB C中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中( )A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是( )A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝( )A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是( )A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为km.18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 .19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是 .20.如图，在等腰△A BC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.(1)判断△CED的形状，并说明理由；(2)若OC＝3，求CD的长.25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.参考答案一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15号选D A C B A A C B C D B A C B D项1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝(D)A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(A)A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(B)A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为(A)A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(C)A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是(B)A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为(C)A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中(D)A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是(A)A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是(C)A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝(B)A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(D)A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是68__°.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1__000km.18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7.19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是33.20.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是108__°.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC＝30°，BC ＝2.5 cm ，BD ＝13 cm ，AD ＝12 cm ，求△ABD 的面积.解：∵Rt△ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ， ∴AB ＝2BC ＝5 cm. ∵52＋122＝132，即AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴△AB D 是直角三角形.∴S △ABD ＝12AB·AD ＝12×5×12＝30(cm 2).22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA 和OB 交会于O 点，在图中∠AOB 的内部有蔬菜基地C 和D ，现要修建一个蔬菜转运站P ，使转运站P 到两条公路OA ，OB 的距离相等，且到两个蔬菜基地C ，D 的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P 的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)解：如图所示.23.(本题10分)如图，点P 为△ABC 的BC 边上一点，且PC ＝2PB ，∠AB C ＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD ，求∠ABD 的度数.解：∵∠APC ＝60 °，CD⊥AP，∴∠PCD ＝90 °－∠APC ＝90 °－60 °＝30 °. ∴PC ＝2PD.∵PC ＝2PB ，∴PB ＝PD. ∴∠PBD ＝∠PDB.又∵∠APC ＝∠PBD ＋∠PDB，∴∠PBD ＝12∠APC ＝12×60 °＝30 °.∵∠ABC ＝45 °，∴∠ABD ＝∠ABC －∠PBD ＝45 °－30 °＝15 °.24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC 平分∠AOB，C 为角平分线上一点，过点C 作CD⊥OC，垂足为C ，交OB 于点D ，CE∥OA 交OB 于点E.(1)判断△CED 的形状，并说明理由； (2)若OC ＝3，求CD 的长.解：(1)△CED 是等边三角形.理由如下：∵OC 平分∠AOB，∠AOB ＝60 °，∴∠AOC ＝∠COE ＝30 °. ∵CE∥OA，∴∠AOC ＝∠COE ＝∠OCE ＝30 °，∠CED ＝60 °. ∵CD⊥OC，∴∠OCD ＝90 °. ∴∠EDC ＝60 °.∴△CED 是等边三角形.(2)∵△CED 是等边三角形，∴C D ＝CE ＝ED. 又∵∠COE ＝∠OCE，∴OE ＝EC. ∴CD ＝ED ＝OE.设CD ＝x ，则OD ＝2x.在Rt△OCD 中，根据勾股定理得：x 2＋9＝4x 2，解得x ＝ 3. 则CD ＝ 3.25.(本题12分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于点P ，PD⊥AB 于D ，PE⊥AC 于E. (1)求证：BD ＝CE ；(2)若AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，求AD 的长.解：(1)证明：连接BP ，CP.∵点P 在BC 的垂直平分线上，∴BP ＝CP. ∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt△BDP 和Rt△CEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CP ，DP ＝EP ，∴Rt△BDP≌Rt△CEP (HL )，∴BD ＝CE.(2)在Rt△ADP 和Rt△AEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，DP ＝EP ，∴Rt△ADP≌Rt△AEP (HL )，∴AD ＝AE.∵AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，∴6＋AD ＝10－AE ，即6＋AD ＝10－AD.解得AD ＝2 cm.26.(本题14分)如图，在△ABC 中，MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC. (1)若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长；(2)若AB ＝AC ，∠BAC＝110°，试求∠PAO 的度数；(3)在(2)中，若无AB ＝AC 的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：(1)∵MP，NO 分别垂直平分AB ，AC ， ∴AP ＝BP ，AO ＝CO.∴△PAO 的周长为AP ＋PO ＋AO ＝BO ＋PO ＋OC ＝BC. ∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm.(2)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝110 °，∴∠B ＝∠C ＝12×(180 °－110 °)＝35 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO.∴∠BAP ＝∠B ＝35 °，∠CAO ＝∠C ＝35 °.∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝110 °－35 °－35 °＝40 °. (3)能.理由如下：∵∠BAC ＝110 °，∴∠B ＋∠C ＝180 °－110 °＝70 °. 由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO. ∴∠BAP ＝∠B，∠CAO ＝∠C.∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110 °－70 °＝40 °.27.(本题16分)如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，现有两点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1 cm /s ，点N 的速度为2 cm /s .当点N 第一次到达点B 时，M ，N 同时停止运动. (1)点M ，N 运动几秒后，M ，N 两点重合？(2)点M ，N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求出此时M ，N 运动的时间.解：(1)设点M ，N 运动x 秒后，M ，N 两点重合， x×1＋12＝2x ，解得x ＝12.(2)设点M ，N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1， AM ＝t×1＝t ，AN ＝AB －BN ＝12－2t.∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝12－2t ，解得t ＝4. ∴点M ，N 运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形.由(1)知，12秒时M ，N 两点重合，恰好在C 处.如图2，假设△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形，∴AN ＝AM.∴∠AMN ＝∠ANM.∴∠AMC ＝∠ANB .∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形.∴∠C ＝∠B.在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B，∠AMC ＝∠ANB，AC ＝AB ，∴△ACM≌△ABN (AAS ).∴CM ＝BN.设当点M ，N 在BC 边上运动时，M ，N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形.∴CM ＝y －12，NB ＝36－2y ，由CM ＝NB ，得y －12＝36－2y ，解得y ＝16.故假设成立.∴当点M ，N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M ，N 运动的时间为16秒.。

初中数学-三角形的证明单元测试题(有答案)

初中数学•三角形的证明单元测试一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1.如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A.①B.②C.③D.①和②图 12.下列说法中，正确的是（）.A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.面积相等的两个三角形全等3.如图2ABLCD^ABD.△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm.BE=3cm,那么AC长为（）.A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. V34 cm4.如图3,在等边/XABC中,分别是BC,AC±.的点，且BD = CE.AD与BE相交于点P,则Z1 + Z2的度数是（）.A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°5.如图4,在AABC中.AB=AC,匕4 = 36°,BD和CE分别是ZABC和匕4C8的平分线，且相交于点P.在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个6.如图表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.7.如图6.A、C、E三点在同一条直线上,ADAC和AEBC都是等边三角形.AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①左ACE竺△DCB；②CM=CN：③AC = DN・其中，正确结论的个数是（）・A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C.D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A.C.E在同一条直线上（如图7），可以证明^ABC^NEDC,得ED=AB.因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定4ABC # AEDC的条件是（）.C. SSSD. HLA. ASAB. SAS9.如图8,将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置,BE交AD于点F.求证：重叠部分（即ABDF ）是等腰三角形.证明：.••四边形ABCD是长方形，.••AD〃BC又油DE与NBDC关于BD对称,AZ2 = Z3. ：.^BDF是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.®Z1 = Z2：®Z1 = Z3： @Z3 = Z4；®ABDC = ABDEA. ®®B. ®@C. ®®D.③④® 810.如图9,己知线段/?作等腰zMBC,使AB=AC,且BC=u, BC边上的高AD=h.张红的作法是：（1）作线段BC=m （2）作线段8C的垂直平分线MN, MN与BC相交于点。

七下数学第十章单元检测卷

第十章单元检测卷一、选择题(每小题3分,共36分)1.用反证法证明“a≥b”,对于第一步的假设,下列正确的是(C)A.a≤bB.a≠bC.a<bD.a=b2.如图所示,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt △DCF,则还需要添加一个条件是(D)第2题图A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,∠B=30°,则∠DAC 等于(D)第3题图A.30°B.40°C.50°D.60°4.已知下列命题:①若|x|=3,则x=3;②全等三角形的三组对应角相等;③直角三角形中30°的角所对直角边等于斜边的一半;④有理数与数轴上的点一一对应.其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图所示,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断正确的是(B)第5题图A.底与腰不相等的等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状6.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(D)A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为βB.两个角是β,它们的夹边为4C.三条边长分别是4,5,5D.两条边长是5,一个角是β7.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若△ABC的周长为26 cm,△AEC的周长为17 cm,则AB的长为(B) A.16 cm B.9 cm C.10 cm D.7 cm第7题图8.如图所示,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,AD⊥BC于点D,则AD的长为(B)第8题图A.√2B.2C.√5D.39.如图所示,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.下列结论不正确的是(B)第9题图A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°10.如图所示,△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4,6,8,其三个内角的平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC等于(A)第10题图A.2∶3∶4B.1∶1∶1C.1∶2∶3D.4∶3∶211.如图所示,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有(D)第11题图A.1个B.2个C.3个D.3个以上12.如图所示△ABC为等边三角形,点E为边AB的中点,点Q为边BC 上一动点,以EQ为边作等边三角形EQF(点F在EQ的右侧),连接AF,FC,点P在射线CB上,且满足PE=EQ,有以下四个结论:①∠FQC=∠QEB;②FQ=FC;③PB+QC=AE;④当AF⊥AB时,BC=4PB.其中正确结论的个数是(C)第12题图A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题3分,共18分)13.命题“若m=n,则m2=n2”的逆命题为若m2=n2,则m=n .14.如图所示,AD是△ABC的角平分线,若AB∶AC=4∶3,则S△ABD∶S△ACD= 4∶3 .第14题图15.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=18.分别以A,B为圆心,AB的长为半径作弧,过弧的交点作直线,分别交AB,AC于点D,E,大于12连接BE.若EC=5,则△BEC的面积为30 .第15题图16.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC边上,连接AD,BE交于点F,AF=AE,∠AEB=3∠ABE,连接CF,∠BAD=∠ACF,若CE=8,AE=18,则线段AB= 44 .第16题图17.如图所示,AD垂直平分BC,垂足为D,∠BAC=45°,CE⊥AB于点E,交AD于点F,BD=2,则AF等于 4 .第17题图18.如图所示,在正方形网格中,A,B,C,D,E均为格点,则∠BAC-∠DAE= 45°.第18题图三、解答题(共46分)19.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于点D且BD⊥AC,AF⊥AB交BE于点F.BF=8,求DF的长.解:∵BD平分∠ABC且BD⊥AC,∴AB=BC.∵AB=AC,∴三角形ABC是等边三角形.∴∠ABF=30°.∵AF⊥AB,BF=8,∴∠BFA=60°,AF=4.∵BD⊥AC,∠BFA=60°,∴∠DAF=30°.在Rt△ADF中,∠DAF=30°,∴DF=2.20.(8分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN,求证:(1)△APM是等腰三角形;(2)PC=AN.证明:(1)∵BA⊥AM,MN⊥AC,∴∠BAM=∠ANM=90°.∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°.∴∠PAQ=∠AMN.∵PQ⊥AB,MN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°.在△PQA 和△ANM 中.∵∠PAQ=∠AMN,AQ=MN,∠AQP=∠ANM,∴△PQA ≌△ANM.∴AP=AM.∴△APM 是等腰三角形.(2)由(1),知△PQA ≌△ANM,∴AN=PQ,AM=AP.∴∠AMB=∠APM. ∵∠APM=∠BPC,∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC.∴BP 平分∠ABC.∵PQ ⊥AB,PC ⊥BC,∴PQ=PC.∴PC=AN.21.(10分)如图(1)所示,C,F 分别为线段AD 上的两个动点,BC ⊥AD,垂足为C,EF ⊥AD,垂足为F,且AB=DE,AF=CD,点G 是AD 与BE 的交点.(1)求证:EG=BG.(2)当C,F 两点移动到如图(2)所示的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.(1)证明:∵BC ⊥AD,EF ⊥AD,∴∠ACB=∠DFE=90°.∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC.∴AC=DF.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,{AB =DE ,AC =DF ,∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL).∴EF=BC.在Rt △EFG 和Rt △BCG 中,{∠EFG =∠BCG ,∠FGE =∠CGB ,EF =BC ,∴△EFG ≌△BCG(AAS).∴EG=BG.(2)解:上述结论能成立.理由如下:∵BC ⊥AD,EF ⊥AD,∴∠ACB=∠DFE=90°.∵AF=CD,∴AF-FC=CD-FC.∴AC=DF.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,{AB =DE ,AC =DF ,∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL).∴BC=EF.在Rt △EFG 和Rt △BCG 中,{∠EFG =∠BCG ,∠FGE =∠CGB ,EF =BC ,∴△EFG ≌△BCG(AAS).∴EG=BG.22.(10分)在△ABC 中,DE 垂直平分AB,分别交AB,BC 于点D,E,MN 垂直平分AC,分别交AC,BC 于点M,N,连接AE,AN.(1)如图(1)所示,若∠BAC=110°,求∠EAN 的度数;(2)如图(2)所示,若∠BAC=80°,求∠EAN 的度数;(3)若∠BAC=α(α≠90°),直接写出用α表示∠EAN 大小的代数式.解:(1)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C,∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C).在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=70°.∴∠EAN=110°-70°=40°.(2)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C,∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=100°.∴∠EAN=100°-80°=20°.(3)当0°<α<90°时,∠EAN=180°-2α;当90°<α<180°时,∠EAN=2α-180°.23.(12分)在△ABC中,BC=AC,∠BCA=90°,P为直线AC上一点,过点A 作AD⊥BP交直线BP于点D,交直线BC于点Q.(1)如图(1)所示,当点P在线段AC上时,求证:AQ=BP;(2)当点P在线段AC的延长线上时,请在图(2)中画出图形,并求∠CPQ 的度数;(3)如图(3)所示,当点P在线段CA的延长线上,∠DBA=∠时, AQ=2BD,并说明理由.(1)证明:∵AD⊥BP,∴∠ADB=90°.∵∠BCA=90°,∴∠ADB=∠BCA.又∵∠APD=∠BPC,∴∠DAP=∠CBP.在△ACQ和△BCP中,∵∠QCA=∠PCB,CA=CB,∠CAQ=∠CBP,∴△ACQ≌△BCP(ASA).∴AQ=BP.(2)解:根据题意画出图形如图所示,连接PQ.∵∠ACQ=∠BDQ=90°,∠AQC=∠BQD,∴∠CAQ=∠DBQ.在△AQC和△BPC中,∵∠ACQ=∠BCP,CA=CB,∠CAQ=∠CBP,∴△AQC≌△BPC(ASA).∴CQ=CP.∵∠PCQ=90°,∴∠CPQ=∠CQP=45°.(3)解:∠DBA=∠P时,AQ=2BD.理由如下: ∵∠DBA=∠P,∴AP=AB.∵AD⊥BP,∴BD=DP.∴BP=2BD.∵∠ACQ=∠ADP=90°,∠PAD=∠QAC,∴∠P=∠Q.在△ACQ和△BCP中,∵∠QCA=∠PCB,∠Q=∠P,CA=CB,∴△ACQ≌△BCP(AAS).∴AQ=BP.∴AQ=BP=2BD.。

初中数学鲁教版(五四制)七年级下册第十章三角形的有关证明5 角平分线-章节测试习题(5)

章节测试题1.【答题】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D. 如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4cmB. 2cmC. 3cmD. 1cm【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.选C.2.【答题】三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是（）．A. 60°B. 90°C. 45°D. 135°【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】如图，BD平分∠ABF，BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠ABF，∠ABE=∠ABC，∴∠DBE=∠DBA+∠ABE=∠ABF+∠ABC=（∠ABF+∠ABC）=90°.选B.3.【答题】如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A. OA=OCB. 点O到AB、CD的距离相等C. ∠BDA=∠BDCD. 点O到CB、CD的距离相等【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC，∴∠DCA=∠BCA，∴点O到CB、CD的距离相等.选D.4.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A. mnB. mnC. 2mnD. mn【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】作DE⊥AB交AB于点E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴CD=DE=n，∴S△ABD=AB·DE=mn.选B.5.【答题】如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）A. TQ＝PQB. ∠MQT＝∠MQPC. ∠QTN＝90°D. ∠NQT＝∠MQT【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵MQ为△MNP的角平分线，∴∠PMQ=∠QMT，∵在△PMQ和△TMQ中，,∴△PMQ≌△TMQ，∴TQ=PQ，∠P=∠QTM=90°，∠MQT＝∠MQP，故A、B、C选项正确，D选项错误.选D.6.【答题】三角形中到三边距离相等的点是（）A. 三条边的中垂线交点B. 三条高交点C. 三条中线交点D. 三条角平分线的交点【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】由角平分线的性质不难得出三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.选D.7.【答题】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】如图A、B、C、D为三条直线组成的三角形内角和外角的角平分线的交点，由角平分线上的点到角两边距离相等可得在这四点处，货物中转站到三条公路距离相等.选D.8.【答题】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD=5cm，CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A. 5cmB. 4cmC. 3cmD. 2cm【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵点D到AB的距离是DE，∴DE⊥AB，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴把Rt△BDC沿BD翻折后，点C在线段AB上的点E处，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm.选C.9.【答题】如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则AD与DE的关系为（）A. AD>DEB. AD=DEC. AD<DED. 不确定【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，∴AD、DE的大小不确定.选D.10.【答题】如图，已知△ABC，∠C＝90°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）：①作∠B的平分线，与AC相交于点D；②在AB边上取一点E，使BE＝BC；③连结ED.根据所作图形，可以得到：（）A. AD=BDB. ∠A=∠CBDC. △EBD≌△CBDD. AD=BC【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】本题作完之后的图形为：根据作图，有∠EBD=∠CBD，BC=BE，又BD=BD∴△EBD≌△CBD故选C.11.【答题】如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°【答案】D【分析】根据角的平分线的判定解答即可．【解答】∵PE⊥AB，PF⊥BD，PF=PE，∴PB平分∠ABD，∴∠PBD=∠ABD，同理∠PDB=∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴2∠PBD+2∠PDB=180°，∴∠PBD+∠PDB=90°，∴∠BPD=180°-∠PBD-∠PDB=90°.选D.12.【答题】如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A. PD＝PEB. OD＝OEC. ∠DPO＝∠EPOD. PD＝OP【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE≌Rt△POD，则OD=OE，∠DPO=∠EPO.13.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3，则点D到AB的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3.选C.14.【答题】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC等于（）A. 10B. 20C. 15D. 25【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，∴CD=6∵BD：DC=3：2，∴BD=CD=×6=9，∴BC=6+9=15选C.15.【答题】如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长是（）A. 6cmB. 4cmC. 10cmD. 以上都不对【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：∵CA=CB，∠C=90°，AD平分∠CAB，∴△ACB为等腰直角三角形，BC=AC=AE，∴△ACD≌△AED，∴CD=DE，又∵DE⊥AB于点E，∴△EDB为等腰直角三角形，DE=DB=CD，∴△DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6，∴周长为6.选A.16.【答题】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：如图：过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．选C.17.【答题】如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B。

北师大版八年级数学下册《三角形的证明》单元测试卷及答案解析

北师大版八年级数学下册《三角形的证明》单元测试卷一、选择题1、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（）A．、、7 B．5、4、8 C．、2、1 D．、3、2、如图：在△ABC中，若AB=10．BC=8．AC=12．边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．16 B．20 C．18 D．12（第2题图）（第4题图）（第5题图）3、下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有( )个A．1 B．2 C．3 D．44、如图，在Rt⊿ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为( )．A．40°B．20°C．50°D．10°5、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠BAC．则S△ACD：S△ABD=（）A. 3：4B. 3：5C. 4：5D. 1：16、如图，在D ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，D ABD的周长为12cm，D ABC的周长为（）cm．A．15 B．16C．17 D．18（第6题图）（第8题图）7、下列几组数中，能作为直角三角形三边的是（）A．32，42，52B．3，4，4 C．2，3，5 D．，，8、如图所示，△ABC中，AB=AC=10，AB的垂直平分线交AC于E，△BEC的周长为17，那么底边BC的长为（）A．5 B．7 C．10 D．不定长二、填空题9、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=7cm，BD=4cm，则点D到AB的距离为_____cm．10、如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是_____cm．（第9题图）（第10题图）（第11题图）（第12题图）11、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，∠A=30°，则∠DCB的度数为________.12、如图，在中，，，垂直平分斜边，交于，是垂足，连接，若，则的长是__________．13、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=______．（第13题图）（第14题图）（第15题图）（第16题图）14、如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是______cm．15、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，那么∠A=__度．16、如图，OC平分∠AOB，过OC上一点P作PD⊥OA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是____．三、解答题17、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=12，求BC长．18、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，D为EC中点．（1）求∠CAE的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．19、如图AB//CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E,则AD//BC请说明理由。

完整版北师大版八年级数学下册三角形的证明单元测试1含答案

单元测试)分一、选择题(每题3分,共30 = 75°，则∠A的度数为（）平分∠ABC1、△ABC中，AB = AC，BD交AC边于点D，∠BDCA 35°B 40°C 70°D 110°1）∠C、适合条件∠A =∠B =的三角形一定是（23A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形3、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A ①②④B ②④C ①④D ②③④cm60 的周长分别是D，△ABC和△DBC，AB的垂直平分线交AC于4、已知△ABC中，AB＝AC cm，则△ABC的腰和底边长分别为38 ( ) 和cmcmcmcm 22 和12 和 B 16 A 24cmcmcmcm 16 和16 和C 20 D 22l经过点C，则＝BC，直线 ( )中，5、如图，△ABCAC lll垂直平分AB D 不能确定平分AB C A 垂直AB B6、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 等腰三角形7、已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( )A 9㎝B 12㎝C 12㎝或者15㎝D 15㎝8、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，）ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（1∠ＡＢ 90°－Ａ90°－∠Ａ21 180°－∠Ａ 45°－∠ＡＤＣ25.6 cm、一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为9 ）和13.2 cm，则这个正方形的面积为（２２ 64 cm Ｂ 48 cm Ａ２２Ｃ 36 cm Ｄ 24 cm- 1 -，相交于点PBD=CE10、如图，等边△ABC中，，AD与BE ）则∠APE的度数是（ A 45° B55° C 60° D 75°分）二、填空题（每小题3分，共30、“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平”的方逆定理是12，面积等于、等腰三角形的腰长为1cm2cm .2，则它的顶角的度数为MN、如图，在3Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线 .的度数是与AB相交于D点，则∠BCD a . 30°，腰长为则其底边上的高是，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为4、a、正三角形的边长为．，则它的面积为 5则∠NBC ，于N在△ABC、中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC6= . 30°，而斜边与较小直角边的和、在直角三角形中，如果一个锐角为7 ．为12，那么斜边长为．于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ D已知：8、如图，AB＝AC，FD⊥BC 于，DE⊥ABDE⊥AB，DF⊥AC，则，D是BC上一点，作，9、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5BC=6．DE+DF=重合，与B10、如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A3．∠B=30°，AC= ，则折痕DE等于)60三、解答题(本题共8个小题，共分l、点ABCABC、1（7分）已知：如图，等腰三角形中，AC＝，∠ACB＝90°，直线C(经过点lll E、．求证：△ADC≌△CEB.D)B都在直线的同侧，AD⊥，BE⊥，垂足分别为、（27分）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角． - 2 -．是中线，DC=BE，DG⊥CE于G83、（分）如图，在△ABC中，AD是高，CE 的中点．求证：①G 是CE ②∠B=2∠BCE．AE GC BD1），AD（AB＝作CE⊥AB于E，且AE＋平分∠BAD，过4、（7分）在四边形ABCD中，ACC2求∠ABC＋∠ADC的度数．D CBAE，DAD于E边上的中点，DE⊥BC于，交∠BAC的平分线分）如图，△ABC5、（7中，E是BC CN．N 于，试证明：BM＝D过作DM⊥AB于M，作DN⊥AC AM ECBND的中点，CE⊥AD，BCD是中，∠ACB=90°，7分）已知：如图，在Rt△ABCAC=BC，点、（6 F．BF//AC交CE的延长线于点E垂足为点，C．求证：AC=2BFD E ABF- 3 -＝CE．上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝7、（7分）在△ABC中，ABAC，D是AB EM．求证：DM＝ADCBE折叠这个三BERt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线8、（10分）已知：如图，在边上的一点D重合．AB角形，使C点与写出一个你认为适当的条件，并利用的中点?D(1)当∠A满足什么条件时，点恰为AB 的中点；为此条件证明DAB 1，求△ABC的面积．DE(2)在(1)的条件下，若＝- 4 -参考答案一、选择题1、B2、B3、A4、D5、D6、B7、D8、B9、A 10、C二、填空题1、如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形3a 150° 3、10° 4、、3°、30°或 5、22424 10、 6 8、55°9、1 7、5三、解答题(本题共8个小题，共60分)1、略2、略3、提示：连结DE，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半易证．1（AB+AD）的延长线的垂线，垂足为F．利用角平分线的性质和AE=4、提示：过C点作AD2，再由△CDF≌CBE可知BE=DF，CF=CE即得． 5、提示：连结BD、CD利用角平分线和中垂线的性质证△BDM≌CDN．、提示：证△ACD≌CBF．6 的平行线）利用三角形全等可证．点作点作7、提示：过DAC的平行线（或者过EAB 8、（1）∠A = 30°；证明略33．（ 2的面积为）△ABC 2- 5 -。

三角形的证明单元测试(北师版)(含答案)

三角形的证明单元测试（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AD=AC，AD与BC相交于点E，∠CAD=30°，则∠BCD 的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°答案：D解题思路：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠CAD=30°，AD=AC，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝30°．故选D试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是( )A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠EAH＋∠B＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，∴∠B＝∠AHE，∵∠AEH＝∠CEB＝90°，EH＝EB＝3，∴△AEH≌△CEB，∴CE＝AE＝4，∴CH＝CE－EH＝1．故选A试题难度：三颗星知识点：三角形全等性质与判定3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝2，那么BD等于( )A.6B.4C.3D.2答案：B解题思路：过点D作DE⊥AB于点E．∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝CD＝2，∵∠DEB＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝4．故选B试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离之和为( )A.5B.6C.4D.答案：D解题思路：结合题意画出符合题意的图形．其中，DE⊥AB，DF⊥AC，G为BC的中点，题干所求即DE＋DF的值，根据等面积法可得，DE＋DF的值是等腰三角形腰上的高，∵G为BC中点，AB＝AC，∴CG＝BG＝3，AG⊥BC，∵AC＝5，∴AG＝4，设腰上高为h，则，解得：，即：点D到AB与AC的距离之和为．故选D试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质5.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为( )A.45°B.55°C.60°D.75°答案：C解题思路：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C，∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD＋∠ABP，∴∠APE＝∠CBE＋∠ABP＝∠ABC＝60°．故选C试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质6.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD＝62°，则∠AEB的度数为( )A.112°B.122°C.132°D.128°答案：B解题思路：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB－∠ECB＝∠ECD－∠ECB，即：∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠EBD＝∠CBD＋∠EBC＝62°，∴∠EBD＝∠CAE＋∠EBC＝62°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAB＋∠ABC－(∠CAE＋∠EBC)＝58°，∴∠AEB＝122°．故选B试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质7.如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，正确结论的个数是( )A.3个B.2个C.1个D.0个答案：B解题思路：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即：∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB，即①对；∴∠CAM＝∠CDN，∵A，C，B三点在同一条直线上，∴∠DCN＝∠ACD＝60°，∴△ACM≌△DCN，∴CM＝CN，即②对；若AC＝DN，则CD＝DN，∵∠DCN＝60°，∴△DCN是等边三角形，∴∠CDN＝60°＝∠ACD，∴AC∥DN，与图形不符，∴AC≠DN，即③错．故选B试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质8.下列命题中，其逆命题不成立的是( )A.同旁内角互补，两直线平行B.线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离相等C.如果两个实数相等，那么它们的平方相等D.角平分线上的点到角两边的距离相等答案：C解题思路：A选项逆命题：“两直线平行，同旁内角互补”，正确；B选项逆命题：“到一个线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，正确；C选项逆命题：“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，因为互为相反数的两个实数的平方相等，所以这两个实数也可能互为相反数，故这个逆命题错误；D选项逆命题：“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平方线上”，正确．故选C试题难度：三颗星知识点：命题与定理9.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设( )A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°答案：D解题思路：∵“至少有一个锐角不大于45°”的反面是“每一个锐角都大于45°”，∴我们应假设“每一个锐角都大于45°”．故选D试题难度：三颗星知识点：反证法10.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，且．则( )A.BC＝AC＋AEB.BE＝AC＋AEC.BC＝AC＋ADD.BE＝AC＋AD答案：B解题思路：过点D作DG⊥AC交AC于点G，连接BD，CD．∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠BAG，DE⊥AB，DG⊥AC，∴DE＝DG，∵AD＝AD，∴Rt△ADG≌Rt△ADE，∴AG＝AE，∵∠BED＝∠CGD＝90°，∴Rt△BED≌Rt△CGD，∴BE＝CG＝AC＋AG＝AC＋AE．故选B试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质。

八年级数学下册《三角形的证明》单元测试1(含答案)

八年级数学下册《三角形的证明》单元测试1（含答案）单元测试一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是_________.图1 图24.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.图3 图46.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=___ cm.7.如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.图5 图68.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为2，则它的边长为（）A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）A. B.90－C. D.90°－n °14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=，c=C.a=9，b=12，c=15D.a=，b=2，c=15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 的长是（）A.5 cmB.6 cmC. cmD.8 cm18.等腰△ABC 中，AC=2BC ，周长为60，则BC 的长为（）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（）A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）A.aB. aC.aD.a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，则AD等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）图8A.8B.5C.3D.三、解答题29.已知：如图10，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.图1030.已知：如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB.图1131.已知三角形的三边分别是n2+n，n+和n2+n+ (n＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图12，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.图12参考答案一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4. 1∶3 5.16 cm 6.67.75° 8.或 9.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15°②35°③AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐角等于∠A的一半④不需要修改。

三角形的证明综合测试(北师版)(含答案)

三角形的证明综合测试（北师版）一、单选题(共7道，每道10分)1.在三角形内部，到三角形各边距离相等的点是这个三角形( )A.各内角平分线的交点B.各边上高线的交点C.各边垂直平分线的交点D.各边上中线的交点答案：A解题思路：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.故选A.试题难度：三颗星知识点：角平分线的判定定理2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则AC与DC的关系是( )A.AC=2DCB.AC=3DCC. D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1，b>1，则a+b>2；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；④直角三角形两锐角互余.其中逆命题正确的有( )A.③④B.①③④C.②③④D.①②③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：逆命题4.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( )A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C.一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角答案：A解题思路：由反证法的定义知，反证法就是从结论的反面出发进行假设，∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设一个三角形中至少有两个钝角．故选A．试题难度：三颗星知识点：反证法5.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，则下图中阴影直角三角形满足一条直角边等于斜边的一半的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：30°角所对的直角边等于斜边的一半6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD的长( )A. B.5C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的是( )A.①②③B.①②③④C.①③D.①答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线加平行会出现等腰三角形二、填空题(共3道，每道10分)8.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为____.答案：14解题思路：试题难度：知识点：等腰三角形三线合一9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=____度.答案：45解题思路：试题难度：知识点：垂直平分线性质定理10.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG等于____度．答案：30解题思路：试题难度：知识点：全等三角形的判定定理。

鲁教版七下十章三角形的有关证明单元检测题

第十章三角形的有关证明检测题〔时间: 总分值:100分〕一、精心选一选〔每题3分，共24分〕 1.在Rt △ABC 中，∠B=90º，假设∠C 比∠A 大20º，那么∠A 的度数是〔〕2.如图1，在△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，假设BD=4 cm ，∠B=30º，那么CD 的长为〔〕A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm3.如图2，在△ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，∠C=40º，那么∠BAD 的度数为〔〕 A.34º B.35º C.4.如图3，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的周长为6，OB 在x 轴的正半轴上，那么点A 的坐标为〔〕A.〔2，1〕B.〔1，2〕C. 〔1，3〕D.〔3，1〕5.△ABC 的三边长分别是2cm ，4cm ，32cm ，那么这个三角形是〔〕 A.等腰三角形 B.6.如图4，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N ，那么以下结论不一定正确的选项是〔〕A.AN=BNB.∠A=∠ABNC.△BCN 的周长=AC+BCD.AN=BC 所示是由5个大小一样的正方形组成的图形，那么AB ∶AC 的值为〔〕A.2∶2B.3∶2C.3∶4D.1∶18. 如图6，P 是等边三角形ABC 内的点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，那么以下结论：①BP=PQ ；②△PCQ 是直角三角形；③∠APB=150º. 其中正确的结论有〔〕A. 仅①②B. 仅①③C. 仅②③D.①②③ 二、细心填一填〔每题4分，共28分〕“方程2x+1=5的解是x=2〞的逆命题是_______. 10.如图7，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=42º，D 是BC 的中点，连接AD ，那么∠BAD 的度数是______.11.假设等边三角形的边长为10cm ，那么它一边上的中线长为________cm. 12.如图8，在Rt △ABC 中，∠C=90º，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E.假设BD=5，BC=8，图1图2AD CB图3图4图5图6图7图8那么AC 的长为_________.13.假设边长为a 的正方形的面积等于长为b+c ，宽为b-c 的长方形的面积，那么以a ，b ，c 为三边长的三角形是________三角形.14.如图9，在△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.假设BD=6，BC=10，AB=22，那么△ABD 的面积为_________.15.如图10，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD=CE ，∠A=60º，那么△ABC 是________三角形.三、耐心解一解〔共48分〕16.〔10分〕如图12，AC 为∠BAD 的平分线，AB=AD ，E ，F 两点分别在AB ，AD 上，且AE=DF ，试说明△BCE 的面积与△ACF 的面积相等.17.〔10分〕如图13，在△ABC 中，AB=AC=12cm ，∠BAC=120º，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F.〔1〕求证：△ADF 是等腰三角形；〔2〕求DF 的长. 18.〔14分〕如图14，D 是∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线DE 的交点，DG ⊥AB 于点G ，DH ⊥AC 交AC 的延长线于点H.〔1〕求证：BG=CH ；〔2〕假设AB=12，AC=6，求BG 的长.19.〔14分〕如图15，在△ABC 和△EFC 中，AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=90º，E 为AB 上一点.〔1〕试判断线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；〔2〕试猜测AE 2，BE 2，EF 2之间的数量关系，并证明你的猜测.参考答案一、 1.A 2.B 3.B 4.C 5二、3图12ADCBFE图13图14图10 图9 ABCE F图1515.等边三、16.证明：如图1所示，分别作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AD 于点H. 因为AC 是∠BAD 的平分线，所以CG=CH. 因为AB=AD ，AE=DF ，所以BE=AF. 由S △BCE =21BE·CG ，S △ACF =21AF·CH ，所以S △BCE =S △ACF . 17.〔1〕证明：因为AE 是∠BAD 的平分线，所以∠BAE=∠DAE.因为DF ∥AB ，所以∠BAE=∠F.所以∠DAF=∠F.所以AD=DF.所以△ADF 是等腰三角形. （2）解：因为AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，所以AD ⊥BC. 因为∠BAC=120º，所以∠B=∠C=30º.所以AD=21AC=21×12=6〔cm 〕.所以DF=6cm. 18.解：〔1〕如图2所示，连接BD 和DC.因为AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DH ⊥AH ，所以DG=DH. 因为DE 垂直平分BC ，所以BD=CD.在Rt △BDG 和Rt △CDH 中，BD=CD ，DG=DH ，所以Rt △BDG ≌Rt △CDH 〔HL 〕.所以BG=CH.（2）因为AD=AD ，∠AGD=∠AHD=90º，DG=DH ，所以Rt △ADG ≌Rt △ADH.所以AG=AH.所以AB-AC=AG+BG-〔AH-CH 〕=AG+BG-AH+CH=2BG.因为AB=12，AC=6，所以12-6=2BG ，即BG =3.19.解：〔1〕AE=BF.证明：因为∠ACB=∠ECF=90º，所以∠ACE=∠BCF.因为AC=BC ，CE=CF ，所以△ACE ≌△BCF.所以AE=BF.〔2〕AE 2+BF 2=EF 2.证明：因为A C=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=90º，所以∠CAE=∠ABC=45º.因为△ACE ≌△BCF ，所以∠CBF=∠CAE=45º.所以∠EBF=∠ABC+∠CBF=45º+45º=90º.所以△EBF 为直角三角形.根据勾股定理，得BE 2+BF 2=EF 2.又AE=BF ，所以BE 2+AE 2=EF 2.图1图2。

三角形的证明单元检测1(含解析)

三角形单元检测1一、单选题1.如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A ．1，，2B．1，3，4 C ．2，3，6 D ．4，5，62.已知等腰三角形的周长为17cm ，一边长为4cm ，则它的腰长为（）A.4cmB.6.5cmC.6.5cm 或9cmD.4cm 或6.5cm3.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是( )A.18°B.24°C.30°D.36°第3题第4题第5题第6题4.如图，等边三角形ABC 与互相平行的直线a,b 相交，若∠1=25°，则∠2的大小为（）A.25°B.35°C.45°D.55°5.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ．如果∠A=30°，AE=8cm ，那么CE 等于（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm6.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（）A.4cmB.6cmC.10cmD.不能确定7.如图，在锐角三角形ABC 中，AD,CE 分别是边BC,AB 上的高，垂足分别是D,E ，AD,CE 相交于点O ，若∠B=60°，则∠AOE 的度数是( ) A.50° B.60° C.70° D.80°第7题第8题8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　）A ．在AC ，BC 两边高线的交点处B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处3DCAE B9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是( )A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC第9题第10题第11题10.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD.有下列结论：①∠C=2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③S △BCD =S △BOD .其中正确的选项是( )A.①③B.②③C.①②③D.①②11.在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，，则下列说法错误的是 A ．和是等腰三角形 B ．为中点C ．的周长是8D ．12.如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(4,0),B(0,3)，点D 在x 轴上，若在线段AB （包括两个端点）上找点P ，使得点A,D,P 构成等腰三角形的点P 恰好只有1个．下列选项中满足上述条件的点D 坐标不可以是（）A.(-3，0)B.(1，0)C.(5，0)D.(9,0)第12题第14题第16题二、填空题13.已知等腰三角形的底角是30°，腰长为，则它的周长是____________．14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC,点D 在AC 上,且BD ＝BC ＝AD,则∠A ＝______度.15．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于E ，交BC 于F ．若FC=3 cm ，则BF=_________．16.如图，Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△DEC ，连接AD ，若∠BAC=25°，则∠ADE=________．ABC ∆ABC ∠ACB ∠I I //DE BC BA D AC E 5AB =3AC =50A ∠=︒()DBI ∆EIC ∆I DE ADE ∆115BIC ∠=︒17.如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，DE ∥AB,FD ∥AC ，如果BC=6，则△DEF 周长为________．第17题第18题第19题18.如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为．19.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为__________________．20.如图,将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC 绕点A 逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF,若AB ＝3,AC ＝2,且α+β＝∠B,则EF ＝________.21.如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．22.已知△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为________________ .23.△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与直线AC 相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为_____________.24.有一三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是__________．ABC 80A ∠=︒D AC BD C ∠三、解答题25.已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数26.如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．27.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE // BC，交AC于点E．(1)求证：DE=CE．(2)若∠CDE=35∘，求∠A的度数．28.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，∠BAC =30∘，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连结AD ，CD ．（1）求证：△ADE ≅△CDB ；（2）若BC =3，在AC 边上找一点H ，使得BH +EH 最小，并求出这个最小值．29.我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，已知PA=PB 且，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．AB PD 21三角形单元检测11.A ．2.B3.A4.B5.D6.B7.B8.C9.C 10.D 11.B 12.B13. 14.16 15．6cm 16.20° 17.6 18.34° 19.9 2021.（﹣2，﹣2）．22.22cm 和16cm 23.50°或130° 24.或或．25.已知：如图，在△ABC中，MN 是边AB 的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B ，求∠B 的度数∵MN 是边AB 的中垂线，∴AM=BM ，∴∠BAM=∠B.设∠B=x ，则∠BAM=x ，∵∠C=3∠B ，∴∠C=3x ，在△ABC 中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°．26.如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意可知：BC ＝1.5×40＝60米，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝30°=∠CAD ，∴∠ABC ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ＝60米．在Rt △ACD 中，CD ＝AC ＝＝30（米）,AD==30．答：这条河的宽度为30米．27.如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE // BC ，交AC 于点E ．(1)求证：DE =CE ．(2)若∠CDE =35∘，求∠A 的度数．6+25︒40︒10︒2122CD AC -(1)证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD =∠ECD ．∵DE // BC ，∴∠EDC =∠BCD ，∴∠EDC =∠ECD ，∴DE =CE ．(2)解：∵∠ECD =∠EDC =35∘，∴∠ACB =2∠ECD =70∘．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =70∘，∴∠A =180∘−70∘−70∘=40∘．28.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，∠BAC =30∘，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连结AD ，CD ．（1）求证：△ADE ≅△CDB ；（2）若BC =3，在AC 边上找一点H ，使得BH +EH 最小，并求出这个最小值．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠BAC =30∘，E 为AB 边的中点，∴BC =EA ，∠ABC =60∘．∵△DEB 为等边三角形，∴DB =DE ，∠DEB =∠DBE =60∘，∴∠DEA =120∘，∠DBC =120∘，∴∠DEA =∠DBC ，∴△ADE ≅△CDB(SAS)．（2）解：如解图，作点E 关于直线AC 对称点E ′，连结BE ′交AC 于点H ．则点H 即为符合条件的点，连结AE ′．由作图可知：EH +BH =BE ′，AE ′=AE ，∠E ′AC =∠BAC =30∘．∴∠EAE ′=60∘，∴△EAE ′为等边三角形，∴EE ′=EA =12AB ，∴∠AE ′B =90∘，在Rt △ABC 中，∠BAC =30∘，BC =3，∴AB =23，AE ′=AE =3，∴在Rt △ABE ′中，由勾股定理得BE ′=AB 2−AE ′2=3，∴BH +EH 的最小值为3．29.我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，已知PA=PB 且，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；AB PD 21探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =BC 2−AB 2=52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2，∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．。