信号与系统教案第5章xin
信号与系统第五章(陈后金)1资料
例1 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入激 励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为
系统的频率响应由微分方程可得
1 X ( j ) j 3
~ x (t )
A
-T0
0
T0
t
解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为
A n0 Cn Sa T0 2
可得系统响应
y(t )
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0
A A n0 e jn0t y(t ) 2 Sa Re aT n 1 T 2 a jn0
非周期x(t)通过LTI系统的零状态响应 若信号x(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号 ejt(<t<)的线性组合表示，即
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2π
由系统的线性非时变特性，可推出信号x(t)作 用于系统的零状态响应yzs(t)。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域 分析
Yzs ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) a n ( j ) n a n1 ( j ) n1 a1 ( j ) a0
一、连续时间LTI系统的频率响应
1 1 H ( j ) F [h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
信号与系统课后习题答案第5章
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统 第五章
∞
∞ 0
n n 1 n2 n n 1 2 = {t } = {t} s s s s s n n 1 2 1 n n 1 2 1 1 = {ε (t )} = s s s s s s s s s n! = n +1 σ >0 s n! n σ> 0 即: t n + 1
s
n + s
n
n Kk Kk 1 1 1 } } = ∑ { ∴ f (t ) = { F ( s )} = {∑ s sk k =1 k =1 s sk
= ∑ K k e sk t ε (t )
k =1
n
这里是单边拉氏变换. 这里是单边拉氏变换.
例:求 F (s) =
4s 2 +11s +10 2s + 5s + 3
st
∞
称为复变量
则
F (s) =
∫
∞ ∞
f (t ) e
dt
称上式为信号 f (t ) 双边拉普拉斯变换的定义式 双边拉普拉斯变换的定义式 拉普拉斯变换 反变换: f ( t ) e σ t = 1 ∞ F ( s ) e j ω t d ω 反变换: 2π ∞ 1 ∞ ∴ f (t ) = F ( s ) e σ t e jω t d ω 2π ∫ ∞ 1 ∞ = F ( s ) e st d ω 2π ∫ ∞
∫
∞
0
t
n 1
e
st
n n 1 dt = {t } s
利用上述结果有: 利用上述结果有: 1 n =1 t 2 s 三,冲激函数 Aδ (t )
{ Aδ t )} = (
n=2
t
2 s3
∫
∞
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》课件第一章：信号与系统导论1.1 信号的概念与分类讲解信号的定义和特性介绍常见信号的分类，如连续信号、离散信号、模拟信号和数字信号等1.2 系统的概念与分类讲解系统的定义和特性介绍常见系统的分类，如线性系统、非线性系统、时不变系统等1.3 信号与系统的研究方法讲解信号与系统的研究方法，如数学分析、仿真实验等第二章：连续信号与系统2.1 连续信号的基本性质讲解连续信号的定义和特性，如连续性、周期性、对称性等2.2 连续信号的运算介绍连续信号的基本运算，如加法、乘法、积分等2.3 连续系统的基本性质讲解连续系统的基本性质，如线性、时不变性等第三章：离散信号与系统3.1 离散信号的基本性质讲解离散信号的定义和特性，如离散性、周期性、对称性等3.2 离散信号的运算介绍离散信号的基本运算，如加法、乘法、求和等3.3 离散系统的基本性质讲解离散系统的基本性质，如线性、时不变性等第四章：模拟信号处理4.1 模拟信号处理的基本方法讲解模拟信号处理的基本方法，如滤波、采样、量化等4.2 模拟滤波器的设计与分析介绍模拟滤波器的设计方法，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等讲解滤波器的频率响应、阶数等特性分析4.3 模拟信号处理的应用讲解模拟信号处理在实际应用中的案例，如音频处理、通信系统等第五章：数字信号处理5.1 数字信号处理的基本方法讲解数字信号处理的基本方法，如离散余弦变换、快速傅里叶变换等5.2 数字滤波器的设计与分析介绍数字滤波器的设计方法，如IIR滤波器、FIR滤波器等讲解滤波器的频率响应、阶数等特性分析5.3 数字信号处理的应用讲解数字信号处理在实际应用中的案例，如图像处理、语音识别等第六章：信号与系统的时域分析6.1 线性时不变系统的时域特性讲解线性时不变系统的时域特性，如叠加原理和时移特性6.2 常用时域分析方法介绍常用时域分析方法，如单位脉冲响应、零输入响应和零状态响应6.3 时域分析在实际应用中的案例讲解时域分析在实际应用中的案例，如信号的滤波、去噪等第七章：信号与系统的频域分析7.1 傅里叶级数与傅里叶变换讲解傅里叶级数的概念和性质介绍傅里叶变换的定义和性质，包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换7.2 频域分析方法介绍频域分析方法，如频谱分析、滤波器设计等7.3 频域分析在实际应用中的案例讲解频域分析在实际应用中的案例，如通信系统、音频处理等第八章：信号与系统的复频域分析8.1 拉普拉斯变换和Z变换讲解拉普拉斯变换的概念和性质介绍Z变换的定义和性质8.2 复频域分析方法介绍复频域分析方法，如系统函数分析、滤波器设计等8.3 复频域分析在实际应用中的案例讲解复频域分析在实际应用中的案例，如数字通信系统、信号的调制与解调等第九章：信号与系统的状态空间分析9.1 状态空间模型的概念和性质讲解状态空间模型的定义和性质，如状态向量、状态方程和输出方程等9.2 状态空间分析方法介绍状态空间分析方法，如状态预测、状态估计等9.3 状态空间分析在实际应用中的案例讲解状态空间分析在实际应用中的案例，如控制系统的设计和分析等第十章：信号与系统的应用案例分析10.1 通信系统中的应用讲解信号与系统在通信系统中的应用，如信号的调制与解调、信道编码与解码等10.2 音频处理中的应用讲解信号与系统在音频处理中的应用，如音频信号的滤波、均衡等10.3 图像处理中的应用讲解信号与系统在图像处理中的应用，如图像的滤波、边缘检测等重点解析信号与系统的基本概念及其分类信号与系统的研究方法连续信号与系统的性质和运算离散信号与系统的性质和运算模拟信号处理的基本方法和应用数字信号处理的基本方法和应用信号与系统的时域分析方法及其应用信号与系统的频域分析方法及其应用信号与系统的复频域分析方法及其应用信号与系统的状态空间分析方法及其应用信号与系统在不同领域中的应用案例分析难点解析信号与系统理论的数学基础和抽象概念的理解不同信号与系统分析方法的相互转换和应用信号与系统在实际工程应用中的复杂性和挑战高频信号处理和数字信号处理的算法优化和实现状态空间分析方法的数学推导和系统设计的实践应用。
信号与系统课件第五章(电子)
应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是 建立在LTI系统具有线性和时不变性的基础上的，只 是信号分解的基本信号不同。因此这两种变换，无论 在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类 似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变 换的一种特殊情况。
在频域分析中，我们以 e j t 为基本信号； 在复频域分析中，我们以 e s t 为基本信号；
e 对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当
选取 的值使 f t e t 当 t 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f t e t dt
例如 f t e2t t
e2t t dt e2t dt 不满足绝对可积的条件。
0
f t et e 2t t 只要 2
f t e j tdt 收敛
上述积分结果是 j的函数，令其为 Fb j 即：
Fb j
由傅立叶逆变换得：
f
t
e j t dt
f t e t 1
2
Fb
j
e j td
f t 1
2
Fb
j
e j td
Fb j
f
t
e j t dt
e2t et dt 满足绝对可积的条件。 0
又如 f t t t 也不满足绝对可积的条件。
f t et tet t 只要 0
t et dt 满足绝对可积的条件。
0
假设 f t et 满足绝对可积条件，则
ℱ f t e t f t e te j tdt
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
二、收敛域
符号表示
三、单边拉普拉斯变换
收敛域
常用信号的拉氏变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
《信号与系统》第五章讲稿
第五章傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与解调5.1 系统的频域分析一．系统响应的付氏变换解法利用卷积定理，可以分析信号在系统中的传输。
设输入信号为e(t),系统的冲激响应为h(t)，则系统的零状态响应为：r(t) = e(t) * h(t)令e(t) ⇔ E(ω)h(t)⇔ H(ω)由时域卷积定理得r(t)的付氏变换为：R(ω) = H(ω)⋅E(ω)1.系统函数在频域分析中，将激励用其频谱函数表示，系统用频率特性表示，则系统的输出信号频谱函数就是激励的频谱与系统频率特性的乘积。
系统的功能相当于一个频谱变换器。
H(ω)一般是ω的复函数，可以表示为：2. 系统函数的求法：a) h(t) ⇔ H(ω)b) 从微分方程求得对上式取付氏变换：c) 从电路模型直接写出H(ω)：A ： R i R (t)-u R (t)B ：C i C (t)+u C (t)C ： L i L (t)+ -u L (t)例5-1：如图5-1，求h(t)R+2(t)-图5-1解：将上图转换成付氏变换形式：(ω)例5-2：求阶跃信号作用于图5-2所示RC网络的零状态响应u R( t )--图5-2 RC网络从以上两个例子可以看出，利用傅里叶变换形式的系统函数H(jω)从频谱改变的观点解释了激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求解过程不如拉普拉斯变换方法简便。
引出H(jω)的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义以下两节研究这方面的问题。
这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。
3．传输函数H(jω)可实现的条件（1）在时域中必须满足当t < 0时，h( t ) = 0，即系统必须是因果系统。
（2）在频域中，其必要条件是∣ H(jω)∣≠ 0，即必须满足佩利—维纳准则：见书P2805.2 信号的无失真传输系统对于信号的作用是多种多样的，如放大、滤波、时延、移相等。
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统导论1.1 信号的定义与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数。
分类：连续信号、离散信号、模拟信号、数字信号等。
1.2 系统的定义与分类定义：系统是一个输入与输出之间的映射关系。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
1.3 信号与系统的研究方法数学方法：微分方程、差分方程、矩阵分析等。
图形方法：波形图、频谱图、相位图等。
第二章：连续信号与系统2.1 连续信号的性质连续时间：自变量为连续的实数。
有限能量：能量信号的能量有限。
有限带宽：带宽有限的信号。
2.2 连续系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
2.3 连续信号的运算叠加运算：两个连续信号的叠加仍然是连续信号。
齐次运算：连续信号的常数倍仍然是连续信号。
第三章：离散信号与系统3.1 离散信号的性质离散时间：自变量为离散的整数。
有限能量：能量信号的能量有限。
有限带宽：带宽有限的信号。
3.2 离散系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
3.3 离散信号的运算叠加运算：两个离散信号的叠加仍然是离散信号。
齐次运算：离散信号的常数倍仍然是离散信号。
第四章：模拟信号与系统4.1 模拟信号的定义与特点定义：模拟信号是连续时间、连续幅度、连续频率的信号。
特点：连续性、模拟性、无限可再生性。
4.2 模拟系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
4.3 模拟信号的处理方法模拟滤波器：根据频率特性对模拟信号进行滤波。
模拟调制：将信息信号与载波信号进行合成。
第五章：数字信号与系统5.1 数字信号的定义与特点定义：数字信号是离散时间、离散幅度、离散频率的信号。
特点：离散性、数字化、抗干扰性强。
5.2 数字系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
信号与系统教案
信号与系统教案第1次课2学时授课时间课题（章节）第一章绪论引言信号概述教学目的与要求：了解信号与常用信号，熟练掌握信号描述的各种方法。
教学重点、难点：对该课程的认识，强调该课的研究方法和要求，以及该课程在今后课程中的作用。
信号的表示方法。
教学方法及师生互动设计：以通信系统为例，导入信号与系统的教学任务，简单介绍通信系统的知识，让学生逐渐进入专业研究，领会该课程在今后专业研究中所发挥的作用。
板书与PPT演示相结合介绍常见信号，并通过若干例子进一步阐述所讲内容，深化理解信号的表示方法。
课堂练、作业：课后小结：按计划完成内容，通过通信系统实例讲解信号与系统课程作用，使学生对专业有进一步了解。
讲解常见信号，使学生能运用表达式、图形等来描述信号。
第2次课2学时授课时间课题（章节）2信号运算教学目的与要求：熟练掌握信号描述的各种方法，及信号的基本变换，能熟练进行信号的运算。
教学重点、难点：信号的变换及计算。
教学方法及师生互动设计：板书与PPT演示相结合渐渐引见信号的加、减、乘、除，和时移、反转等变更。
通过部分题例子来讲解信号是如何变更及计算的，最后布置题，让学生进一步加强对知识的理解，并通过题对其加深理解。
课堂练、作业：补充题课后小结：本节是重点内容，讲解稍慢。
通过多举题，提高学生解题能力。
与学生互动发现学生接收过程偏慢，其缘故原由是学生的基本计算能力还需求提高，应讲解更详尽更慢。
第3次课2学时授课时间课题（章节）3系统概述教学目的与要求：了解系统分类的思路，熟练掌握连续﹑动态﹑时不变线性系统的描述方法和数学模型，对算子法表示系统应能正确运用。
教学重点、难点：掌握线性时不变系统的辨别，强调线性、时不变性、因果性的独立。
教学方法及师生互动设计：先列举部分系统，导入LTI系统，然后列举题，让学生判别LTI系统。
板书与PPT演示相结合介绍其系统的描述方法和数学模型。
课堂练、作业：课后小结：此部分内容稍易，大多数同学在研究过程中思路清晰，理解较为容易。
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类定义：信号是反映随机过程或者确定过程的变量，在时间或空间上的函数。
分类：模拟信号、数字信号、离散信号等。
1.2 系统的概念与分类定义：系统是输入与输出之间存在某种关系的装置。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
1.3 信号与系统的处理方法信号处理：滤波、采样、量化、调制等。
系统处理：稳定性分析、频率响应分析、时间响应分析等。
第二章：连续信号及其运算2.1 连续信号的基本运算叠加原理：两个连续信号的叠加，其结果也是连续信号。
时移原理：连续信号的时间平移，其结果仍为连续信号。
2.2 连续信号的傅里叶变换傅里叶变换的定义与性质常用连续信号的傅里叶变换2.3 连续信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义与性质常用连续信号的拉普拉斯变换第三章：离散信号及其运算3.1 离散信号的基本运算叠加原理：两个离散信号的叠加，其结果也是离散信号。
时移原理：离散信号的时间平移，其结果仍为离散信号。
3.2 离散信号的傅里叶变换傅里叶变换的定义与性质常用离散信号的傅里叶变换3.3 离散信号的Z变换Z变换的定义与性质常用离散信号的Z变换第四章：信号与系统的时域分析4.1 系统的时域响应单位冲激响应：系统对单位冲激信号的响应。
单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号的响应。
4.2 信号的时域处理滤波器设计：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
信号的采样与恢复：采样定理、信号的恢复方法。
4.3 信号的时域分析方法傅里叶级数：信号的分解与合成。
拉普拉斯展开：信号的分解与合成。
第五章：信号与系统的频域分析5.1 系统的频域响应频率响应的定义与性质常用系统的频率响应分析5.2 信号的频域处理滤波器设计：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
信号的调制与解调：调幅、调频、调相等。
5.3 信号的频域分析方法傅里叶变换：信号的频谱分析。
离散傅里叶变换：信号的离散频谱分析。
信号与系统第五章-4
5.3.3 傅里叶逆变换
前面介绍了傅里叶变换的主要内容和方法。对给定信号或系 统进行分析时，有时需要在时域中进行，有时需要在变换域 (如频域)中进行。在频域中分析系统的性能比较方便，求解 系统的输出响应也比较简单，但频域中的系统输出响应不便 于理解，需要变换回时域中进行分析，这种从频域到时域的 变换就是傅里叶逆变换。 1. 傅里叶逆变换的定义 按照傅里叶变换及逆变换的定义，若已知某信号的傅里叶变 换为 F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt (5-115) 则其傅里叶逆变换的计算公式如下
(2) 部分分式展开法 如果系统在信号作用下的输出响应为 j 的有理分式，则可 将其按部分分式的方式进行展开(展开方法同拉普拉斯展开 法一样，只需将 j 换成即可。具体内容见“连续时间系统 的复频域分析”)，然后再对各项分别求其傅里叶逆变换即 可。在对部分分式进行展开和求其逆变换时，常常会用到以 下的傅里叶逆变换结果。 F 1[( j )n ] ( n) (t ) n 0,1, 2, L (5-120) 1 t n 1 t F 1 e u (t ) 0, n 0,1, 2, L (5-121) n ( j ) (n 1)! 【例5-13】 已知 2( j ) F ( j ) ( j 1)( j 3) 1 求 F (j ) 的傅里叶逆变换 F [ F ( j )] 。 解： F (j ) 可展开成以下的部分分式
2
∞
令 s j ，即可将其化为以下的复变函数积分
1 j∞ F ( s)e st ds f (t ) j2 j∞
(5-122) 利用复变函数积分的留数法即可对上述积分进行求解，具体 求解过程略。 葡京娱乐城官网
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0
1
t
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5.2
拉普拉斯变换性质
Signal & System
例5-2-3:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s) 解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s) f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
α
0
β
σ
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5.1
拉普拉斯变换
Signal & System
例5-1-4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t) f2(t)= – e -3t ε(–t) – e-2t ε(–t) f3(t)= e -3t ε(t) – e-2t ε(– t) 解
注意：线性组合后的变换如不存在收敛公共部分，则线性组合 后的拉式变换不存在。
例: f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ， 1 s 则f(at) ←→ F ( ) Re[s]>a0 a a
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5.1
拉普拉斯变换
Signal & System
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选 取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋近于0 ， 从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
j t
dt
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0<0，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅里叶变换存 在，并且 F(j)=F(s) s=j 如f(t)=e-2t (t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2； 则 F(j)=1/( j+2)
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5.1
拉普拉斯变换
Signal & System
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
F ( s) f (t ) e
0
st
dt
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
三、单边拉氏变换
F (s) f (t ) e
0
def
def
st
dt
1 j st f (t ) j F (s) e d s (t ) 2 j
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£ -1[F(s)] 或 f(t)←→ F(s)
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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5.1
拉普拉斯变换
Signal & System
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) f (t ) e st d t
0
Re[s]>0
F (j ) f (t ) e
Signal & System
例5-1-2 反因果信号f2(t)= etε (-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 ( s )t
e F2b (s) e e d t (s )
0
t st
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
Fb ( j ) e ( j )t d
令s = + j,d =ds/j，有
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5.1
Leabharlann 拉普拉斯变换Signal & System
Fb (s) f (t )e st d t
f (t ) 2 j j 1
5.2
拉普拉斯变换性质
Signal & System
e s s s 例5-2-1：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 2 (1 e s e ) s
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t) = 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s)
0 1 y(t ) 2 4 t f(t ) 1
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第五章 连续系统的s域分析
Signal & System
引言
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解 为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。 物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t ε(t) ; （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解 决这些问题。 本章引入复频率 s = ζ+jω,以复指数函数est为基本信号， 任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于 系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的 数学工具为拉普拉斯变换。
= () + 1/j
（3）0 >0，F(j)不存在。 例 f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) , >2；其傅里叶变 换不存在。
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5.2
拉普拉斯变换性质
Signal & System
一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
j
双边拉普拉斯变换对
Fb ( s) e st d s
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
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5.1
解
F1b (s) et e st
0
拉普拉斯变换
e ( s )t dt (s )
Signal & System
例5-1-1 因果信号f1(t)= et ，求其拉普拉斯变换。
0
1 ε(t) [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
st 0
T
2T
T
f T (t ) e d t .....
st n 0
( n 1)T
nT
f T (t ) e st d t
令t t nT
e
n 0
nsT
T
0
1 f T (t ) e d t 1 e sT
st
T
0
f T (t ) e st d t
1 s , Re[s ] 不定 ， 无界 ，
jω
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
α
σ
收敛边界
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收敛域
5.1
拉普拉斯变换
jω
, Re[s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
0
β
σ
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5.1
拉普拉斯变换
Signal & System
例5-1-3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
求其拉普拉斯变换。
解：其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
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5.1
拉普拉斯变换
Signal & System
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、ε(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数e-s0t
1 ←→ s s0
> -Re[s0]
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
1 a0 s s e F a a
0
t
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例5-2-2 :求如图信号的单边拉氏变换。
解：f1(t) = ε(t) –ε(t-1)，f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1)
1 F1(s)= (1 e s ) s F2(s)= F1(s)
8 e 2 s
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s