(白)(北理工教材)Y-第1章5功和能

重力、弹性力、万有引力、静电力都具有) f dr ( L2 ) A B f dr A
即
A
L1
B
( L)

2. 沿任意闭合回路做功为 0. 即 B A
L2
f dr ( L1 )

A
f dr ( L2 ) f dr 0
AB 点
势能定义
W AB
B
A
f dr EPA E pB E p
(沿任意路径） 若选 B 为计算势能参考点, 取EpB = 0
E pA W AB

B （势能 0点）
A
f dr
(沿任意路径）
系统在任一位形时的势能等于它从此位形沿任意路径改 变至势能零点时保守力所做的功。
弹性势能
f x kx
WAB
xB
f
xB
f
x
dx
xA
(kx) dx
0
xA
xB
x
xA
WAB
1 1 2 2 kx A kxB 2 2 EP EPA E pB
选 XB=0处（弹簧自然伸长位置）为零势点,EpB=0 则
E p x kx
1 2
2
引力势能:
rB
f dr ( L )
m1,m2 两质点引力势能
m1m2 E p r G r
重力势能:
E pA E pB
E p h mgh
GmM GmM h h GmM GmM 2 R ( R h) R ( R h) R
g GM 选h=0 为零势点,EpB=0 R2
1-5
功和能

1.5.1 功
物体作直线运动，恒力做功
F r
W F cos r
dr
A
B

W F cos S
物体作曲线运动，变力做功
F
元功： dW F cos dr
W 总功： ( L )
A
dW F dr B B dW W ( L) A F dr ( L)
因为： v dv (dv ) v
2. 质点的动能定理
W合AB
1 2 1 2 EkB EkA Ek mv B mv A 2 2
合外力对质点所做的功（其它物体对它所做的总功）
等于质点动能的增量
3. 质点系的动能定理
对n个质点组成的质点系： 对每个质点分别使用动能定理 m 1: W W W E E
1kB 1kA
m 2:
W2合 W2外 W2内 E2 kB E2 kA Wn外 Wn内 EnkB EnkA
n n i 1 i 1
…………… Wn合 m n:
W
i 1
n
i外
Wi内 EkiB EkiA
i 1
n
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和 等于质点系总动能的增量。
一维保守力指向势能下降方向, 其大小正比于势能曲线的斜率. x2 x3 x4 x5 x
势能曲线
原子之间的相互作用力
-- 保守力，可用势能曲线表示:
E p r
E3
当 r < r1 时，势能急剧上升， 使原子间彼此不能进一步靠近. 0
r1
r0 r2 E2
r E1
当 r =r0 时
势能低谷或势阱（最低点） 势能 稳定平衡位置,
A A
0
两个质点间的“一对力”做功之和等于其中一个质点受的 力 沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。
作用力 f1
做功是否为0？
反作用力 f 2 做功是否为0？
做功之和是否为0？
光滑
f1
f2
光滑
f1 f2
不光滑
二
保守力与非保守力
h
以重力做功为例
h2
b
W mg dr a h2 mg dr cos
m1
f1 r21
f2
dr2
m2
r2
A2 A1
dW f 2 (dr2 dr1 ) f 2 d (r2 r1 ) f 2 dr21 B B r2 r1 r21 W AB dW f 2 dr21
b
L1
L2
dh
h1
mgdh
h1
h1 h2
' r
dr
dh | dr |

r
mgh2 mgh1
a
mg
mg
重力做功与路径无关

b
a
b mg dr mg dr ( 沿L1 ) a ( 沿L2 )
也可以写成 mg dr 0
B
沿任意回路做功为零的力 例:
或做功与具体路径无关的力都称为保守力
dV 例：F m dt
大多数定向力和有心力都是保守力 保守力: 具有时间反演不变
从对称性角度看
非保守力:
不具有时间反演不变
V V 当 F 不变时 F ma不变
t t
三 势能
保守力作功等于势能减少.
W ( L)
A
A F cos dr B F cos ds | dr | ds
B
质点同时受几个力作用时 F F1 F2 FN B B W F dr ( F1 F2 FN ) dr A A B B B B F dr F1 dr F2 dr FN dr
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
1.5.3 保守力与势能 一 一对力的功
作用力 f1 和反作用力 f 2
做功之和是否为0？ 相互作用的两个质点m1和m2
B1
dr 1
B2
dW f1 dr1 f 2 dr2
f1 f 2
r 1
一个质点系在运动中，当只有保守内力做功 (W外 0而且W非保内 0），时，系统的机械能保持不变 机械能守恒定律 一个保守系,总的机械能的增加,等于外力对它所作的功; 从某一惯性参考系看, 能不变. 外力作功为零, 则该系统的机械
1. 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动， A 、B 分别 为近地点和远地点， A 、B 距地心的距离分别为 r1 、 r2 。 设卫星的质量为 m ，地球的质量为M ，万有 引力常量为 G ，则卫星在A 、B 两点 处的万有引力 势能的差为多少？卫星在A 、B 两点 处的动能差为 多少？
解: 由万有引力势能公式得
E pB E pA
A 地心 r1 r2 B
Mm Mm r2 r1 G (G ) GMm r2 r1 r1r2
由机械能守恒
EkB EkA ( E pB E pA ) GMm r2 r1
r1r2
2. 弹簧原长为AB，劲度系数为k,下端固定在点A，上 端与一质量为m的木块相连，木块总靠在一半径为a的 半圆柱的光滑表面上。今沿半圆的切向用力F 拉木块 使其极缓慢地移过角度。求在这一过程中力F 的功。 解: 根据功能原理: 以 m, 弹簧, 地球为研究对象
因为 所以
W保内 E p W外 W非保内 ( Ek E p )
机械能
E Ek E p
质点系的功能原理 W外 W非保内 E
二
机械能守恒定律
根据质点系的功能原理
W外 W非保内 E
E EB EA 0
W外 W非保内 0 时
EB EA 恒量
A A A A
W1 AB W2 AB WNAB
合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和
*计算力对物体做功时，必须说明是哪个力对物体沿哪条
路径所做的功。 功率
dW P dt
F cos dr F cos v P dt
P F v
1.5.2
动能定理
B
W合AB F合 dr d (v v ) v dv (dv ) v A 2(dv ) v 由 F ma m dv 代入上式 合 dt B B B dr dv m (dv ) v W合AB m dr m dv A A A dt dt B1 1 m Bd (v 2 ) m d (v v ) A A 2 2 1 1 2 2 mv B mv A 2 2 p2 1 1. 质点动能 E k mv 2 或 E k 2m 2
动能
两个相对静止原子在此位置上结合在一起形成分子
总能量 E<E1<0 时，动能较小, 它们将绕平衡位置作小振动。
总能量 E>E3>0 时，动能足够大, 原子将自由地飞散。
1.5.4 机械能守恒
一 质点系的功能原理 机械能
由质点系动能定理
(前面讲过)
W外 W内 W外 W非保内 W保内 Ek
1合 1外 1内 1kB 1kA
m 2:
W2合 W2外 W2内 E2 kB E2 kA EnkB EnkA
…………… mn: Wn合 Wn外 Wn内
3. 质点系的动能定理
1合 1外 1内
对n个质点组成的质点系： 对每个质点分别使用动能定理 m1: W W W E E
重力势能: 弹性势能:
m1m2 E p r G r
选

处为零势点