高中数学课时达标训练六数列的性质和递推公式含解析新人教A版必修5090428

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高中数学课时作业8数列的性质和递推公式新人教版必修5

高中数学课时作业8数列的性质和递推公式新人教版必修51．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案 B解析逐项验证可知B 选项合适．2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析由a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则a n >0，又a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n . 因此数列{a n }为递减数列． 3．已知数列{a n }的项满足a n ＋1＝nn ＋2a n ，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( ) A.2n ＋12B.2nn ＋1C.12n－1D.12n －1答案 B解析 a 1＝1＝21×2，∵a n ＋1＝n n ＋2a n ，∴a 2＝13＝22×3.同理a 3＝16＝23×4.猜想a n ＝2n n ＋1.4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 答案 C解析由题可得，a 2＝a 1＋a 1，所以a 1＝－3，a 10＝a 1＋a 9＝…＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝－30. 5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.259B.2516C.6116D.3115 答案 C6．在数列{a n }中，已知a n ＝n ＋cn ＋1(c ∈R )，则对于任意正整数n 有( ) A ．a n <a n ＋1B ．a n 与a n ＋1的大小关系和c 有关C ．a n >a n ＋1D ．a n 与a n ＋1的大小关系和n 有关答案 B 解析 ∵a n ＝n ＋c n ＋1＝n ＋1＋c －1n ＋1＝1＋c －1n ＋1， ∴a n －a n ＋1＝c －1n ＋1－c －1n ＋2＝c －1n ＋1n ＋2. 当c －1>0时，a n >a n ＋1；当c －1<0时，a n <a n ＋1；当c －1＝0时，a n ＝a n ＋1.7．下列叙述中正确的个数为( ) ①数列a n ＝2是常数列； ②数列{(－1)n·1n}是摆动数列；③数列{n2n ＋1}是递增数列；④若数列{a n }是递增数列，则数列{a n ·a n ＋1}也是递增数列． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．对于④，如a n 为－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中最大的项为第________项．答案 5解析 ∵f (n )＝－2n 2＋21n ＝－2(n －214)2＋4418(n ∈N *)，∴n ＝5或6时a n 最大．∵a 5＝55，a 6＝54，∴最大项为第5项．9．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 012＝________.答案解析由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2,1,5,2,1，…，故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2 012＝x 3×670＋2＝x 2＝1.10．已知数列{an }的通项公式是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－n ， n 是奇数，11＋n －2， n 是偶数.则它的前4项为________．答案 12，45，18，161711．数列{a n }中a 1＝1，a 2＝3，a 2n －a n －1·a n ＋1＝(－1)n －1(n ≥2)，那么a 4＝________.答案 33解析令n ＝2，得a 22－a 1·a 3＝－1，∴a 3＝10. 令n ＝3代入，得a 23－a 2a 4＝(－1)2，∴a 4＝33.12．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．解析 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33.可猜想a n ＝2n －1＋1.13．已知a n ＝a (12)n(a 为常数且a ≠0)，试判断{a n }的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．∵a n －a n －1＝a (12)n －a (12)n －1＝－a (12)n<0，∴{a n }是递减数列．解析这种解法误认为a >0，所以不对，对于非零实数a 应讨论a >0和a <0两种情况． ∵a n －a n －1＝－a (12)n(n ≥2)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.∴a n <a n －1.∴{a n }是递减数列；当a <0时，a n －a n －1>0， ∴a n >a n －1.∴{a n }是递增数列．14．已知数列{a n }：13，－12，35，－23， …(1)写出数列的通项公式； (2)计算a 10，a 15，a 2n ＋1；(3)证明：数列{|a n |} 是递增数列．解析 (1)原数列变形为：13，－24，35，－46，…，分别考查数列的分子，分母与项数n的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1nn ＋2.(2)当n ＝10，则a 10＝－1012＝－56；当n ＝15时，则a 15＝1517；将a n 中n 换成2n ＋1时，得a 2n ＋1＝2n ＋12n ＋3.(3)令b n ＝|a n |(n ∈N *)，则b n ＝|(－1)n ＋1n n ＋2|＝nn ＋2. ∵b n ＋1－b n ＝n ＋1n ＋1＋2－n n ＋2＝2n ＋3n ＋2>0.∴b n ＋1>b n .即对一切正整数n ，恒有|a n ＋1|>|a n |成立．因此数列{|a n |}为递增数列．讲评本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，a n ＝f (n )即为函数的解析式；a 10＝f (10)，即是函数在n ＝10的函数值；a 2n ＋1＝f (2n ＋1)即为函数代换，将函数中的变量n 换成了2n ＋1；当|a n ＋1|>|a n |时，则数列在n ∈N *时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n 当n ＋1>n ，都有|a n ＋1|>|a n |，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．15．数列{an }满足a 1＝1，且an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0. (1)写出数列{an }的前5项；(2)由(1)写出数列{an }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？解析 (1)∵a 1＝1，an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0， ∴a 2＋2a 1a 2－a 1＝0，解得a 2＝13.同理，可以解得a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.∴数列的前5项为1，13，15，17，19.(2)由以上可得an ＝12n －1. (3)令12n －1＝199，得n ＝50.即199是这个数列的第50项．►重点班·选作题 16．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30 答案 C17．根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解析图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求a n . 解析方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n.。

数列与数列递推公式的推导与应用

数列与数列递推公式的推导与应用数列是由一系列有规律的数字按照一定顺序排列而成的序列。

对于数列的研究，人们发现了数列的递推公式，它可以描述数列中的每一项与前几项之间的关系。

在本文中，我们将讨论数列的推导与应用。

一、数列的定义和基本性质在数学中，数列可以用一对大括号{}表示，其中包含一系列的数字，如{a₁, a₂, a₃, ...}。

其中，a₁, a₂, a₃表示数列的第1项、第2项和第3项，依此类推。

对于数列的研究，我们需要了解一些基本性质。

首先，数列可以是有限的，也可以是无限的。

当数列有限时，我们可以通过列举每一项来表示；而当数列无限时，我们通常通过递推公式来表示。

另外，数列也可以分为等差数列和等比数列。

等差数列中，每一项与前一项之间的差值都相等；而等比数列中，每一项与前一项之间的比值都相等。

二、数列推导的方法推导数列的递推公式需要根据数列的规律进行观察和总结。

下面将介绍几种常见的数列推导方法。

1. 公差法：对于等差数列，如果我们能够观察到数列中相邻两项之间的差值都相等，那么我们就可以确定这个数列的公差，从而得到递推公式。

例如，对于数列{2, 5, 8, 11, ...}，我们可以发现每一项与前一项之间的差值都为3，因此这个数列的递推公式可以写为aₙ = aₙ₋₁ + 3。

2. 公比法：对于等比数列，如果我们能够观察到数列中相邻两项之间的比值都相等，那么我们就可以确定这个数列的公比，从而得到递推公式。

例如，对于数列{2, 6, 18, 54, ...}，我们可以发现每一项与前一项之间的比值都为3，因此这个数列的递推公式可以写为aₙ = aₙ₋₁ × 3。

3. 通项法：有些数列的规律难以通过公差或公比来确定，这时我们可以通过观察整个数列的规律，找出每一项与项数之间的关系，从而得到递推公式。

例如，对于数列{1, 2, 4, 7, 11, ...}，我们可以发现每一项与项数之间的关系为aₙ = aₙ₋₁ + n - 1，因此这个数列的递推公式可以写为aₙ =aₙ₋₁ + (n - 1)。

(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(六)数列的通项公式与递推公式新人教A版必修5

课时跟踪检测（六）数列的通项公式与递推公式层级一学业水平达标C.（―汽 0）解析：选C •/｛a n ｝是递减数列, ••• a n +i — a n = k ( n + 1) — kn = k <0.2 _____________________3.数列｛a n ｝中，a 1= 1,对所有的n 》2,都有a 1• a 2 •空 .... a n = n ,则a s +a 5等于（）2 2解析：选C 由题意a 1a 2a s = 3 , aG = 2 ,2 2 aa 2a 3a 4a 5= 5 , a 1a 2a 3a 4=4 ,2 23 9 525 斗61则 a 3= 2= , a 5 = 2 =. 故 a 3 + a 5=.24' 416 164. 已知数列｛a n ｝满足要求 a 1 = 1, a n +1 = 2a n + 1,则 a 5等于( )A .15 B . 16C .31 D . 32解析：选 C •••数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 = 2a n +1,•- a 2 = 2x 1 + 1 = 3, a 3=2x 3+ 1 = 7, ◎= 2x 7+ 1 = 15, a 5= 2x 15+ 1 = 31.5.由1,3,5 ,…，2n — 1,…构成数列｛ ch ｝,数列｛ b n ｝满足b 1= 2,当n 》2时，b n = ab n — 1 , 则b 6的值是()A. 9 B . 17 C. 33D . 65解析：选 C T b n = ab n —1, • b 2= ab 1 = a 2= 3, b a = ab 2= a 3= 5, b 4= ab 3= a 5= 9, b 5= ab 4=a 9 = 17,b e = ab 5= ai 7= 33.A. 1 1 B .235C.4D.8解析：选B 由a 1= 1,1 1• a 2=尹计= 1,依此类推1 a 4=. 22.在递减数列｛a n ｝中, a n =kn （k 为常数），则实数 k 的取值范围是（ )1 .已知数列｛a n ｝的首项为a i = 1,且满足a n +1 = 2a n +扌，则此数列的第 A. RB . (0，+m)4项是（D . ( —a, 0]25 A©25 B.花61 316.已知数列｛a n｝满足a1 =彳,nan+1=n+1an,得a n=解析：由条件知= ，分别令n = 1,2,3，…，n — 1,代入上式得n — 1个等式,a n n +1a 2 a 3 a 4 a n 1 2 3 n — 1 a n 12 2■ • ■ • .. =—X —X — x (x)? —=—.又a 1 = ,「• a n = . a 1 a 2 a 3 a n —12 3 4 nan 3 3n答案：23n7.数列｛a n ｝的通项公式为a n = n 2— 6n ,则它最小项的值是 ___________ . 解析：a n = n 2— 6n = (n — 3)2— 9，二当 n = 3 时，a n 取得最小值—9. 答案：—9&已知数列｛a n ｝, a n = b + m ( b <0, n € N)，满足 a 1= 2, a 2= 4,贝U a s = ____________ .2= b + mb =— 1,解析：T 2二4= b + m ,m = 3.n3a n =( — 1) + 3，二 a 3= ( — 1) + 3 = 2.答案：29.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1) a 1= 0, a n +1 = a n + 2n —1(n € N*)；a n*⑵ a= 1, an +1 = an + n + 1(n€ N);(3) a 1 = 2, a 2= 3, a n +2 = 3a n +1 — 2a n (n € N). 解：(1) a 1= 0, a 2= 1, a 3= 4, a 4= 9.猜想 a n = (n — 1)2.34(2)a i = 1, a 2= 2, a 3=夕⑶ a 1= 2, a 2= 3, a 3= 5, a 4= 9.猜想 a n = 2+ 1.10.已知数列｛a n ｝中，a 1= 1,当n € N 且n 》2时，(2n + 1) a n = (2n — 3) a n -1,求通项公a 4= 5.猜想 a n =n +124 3 a - 一3 2 a - a 2 1 a - 一2n — 2n — 31・32n —2n +12n2n +a n a i32n — 1 2n + 1 32n — 12n + 1，当n = 1时符合上式, a n3 2n — 12n + 1,n € N.层级二应试能力达标4a n + 3 * —4 —(n € N)，且 a 1= 1,贝U a 仃=(1.若数列｛a n ｝满足a n +1 =A. 13 B . 14 D . 164 a n + 3 3解析：选 A 由 a n +1= 4—? a n +1 — a n = 4, a 仃=a 1+ (a 2— a" + (a 3— a ?) +…+ (a 仃一a 16) 3=1 + 4x 16= 13,故选 A.x — 1, x >1,€ N ，贝 U a 2 015 + a 2 016 等于(A. 4 7C.7 解析：选B4a3=f|1 1 5 =—+ —=— 32 6'C. 15 2. 在数列｛a n ｝中，a 1= 2, a +1 = a n + ig 1 1 +-nA. 2 + Ig n 2 + (n — 1)lg C. 2 + n ig n1 + n + ig解析：选A 由a n +1= a n + ig a n +1 — a n = ig那么 a n = a 1+ (a 2 — aj +…+ (a n — a n —1) = 2+ lg 2 + lg |+ lg43+…+ ig n ■一^=2+ ig23 2X 3X _Xn百=2+ ig n.23.已知数列{a n }, a n = — 2n +入n ,若该数列是递减数列,则实数入的取值范围是( A. ( —R, 3] ——oo4] C. ( —R, 5) ——R6)解析：选D 依题a n +1 — a n = — 2(2 n + 1) + 入<0, 即入＜2(2 n +1)对任意的n € N 恒成立.注意到当 n € N时,2(2 n + 1)的最小值是 6, 因此入＜6,即入的取值范围是(一R,6).4.已知函数f (x )=12x — 1, 2<x <1,若数列｛a n ｝满足 a 1 = £ a n +1 = f (a n ) , n115 a5=f 6a6= f3 = 2X3—1 =3；即从a s 开始数列｛a n ｝是以3为周期的周期数列.a 2 015 + a 2 016 = a 5+ a 3= 1.故选 B.5.若数列｛a n ｝满足(n — 1)a n = (n + 1)a n —1,且 a 1= 1，贝U a 00 =解析：由(n — 1) a n = (n + 1) a n — 1?a n — 110199= 5 050.答案：5 050a n■2，a n 为偶数，卄a n +1 =右 a 6 = 1,3a n + 1, ◎为奇数.则m 所有可能的取值为 _________解析：右a 5为奇数，则3a 5+ 1 = 1, a 5= 0（舍去）. a^若a 5为偶数，则—=1, a 5= 2.1若a 4为奇数，贝U 3a 4 +1 = 2, a 4=3（舍去）. 若a 4为偶数，贝U = 2, a 4= 4.若 a 3为奇数，则 3a 3 +1 = 4, a 3 = 1，贝U a 2= 2, a 1= 4. 若a 3为偶数，则a = 4, a 3= 8.7若a 2为奇数，贝U 3a 2 +1 = 8, a 2=3（舍去）. a?若a 2为偶数，则—=8, a 2= 16. 若 a 1 为奇数，则 3a 1 +1= 16, a = 5. 若a 1为偶数，则专=16, a 1= 32. 答案：4,5,322n *7.已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =歹（n € N ），则这个数列是否存在最大项？若存在,山a a 3 a100 3 4 ,贝 U a 100 = a 1 • • ---- ... • • ——1x - Xa 1 a2a99126•已知数列｛a n ｝满足：a 1= m （m 为正整数）， n + 1 n —1请求出最大项；若不存在，请说明理由.解：存在最大项.理由:1a1= 2,22a2=产1,32 98’42a4=〒=1,5225a5=〒= 32'9 又 T a 1 <a 3, a 2<a 3，二 a n < a 3=.8•••当n = 3时，a 3 = 8为这个数列的最大项.81--a n = （ n 》2）.n + 12, a n a n -1= a n — 1— a n （n 》2），求数列｛a n ｝的通项公式.1又n = 1时，a 1 = 2，符合上式，当n 》3时,a n + 1a nn + 1 2n +12 2n _ n +1 2_1 _x F = 2n^ = 21 + 1 2<1,n--a n +1<a n ，即 n 》3时，｛a n ｝是递减数列.1n + 1.&已知数列｛a n ｝满足a i角牛：• a n a n —i = a —i — a n ,1-丄=1.a n —11111=——+ —————— a na 1 a 2a i1 a 3— a ; +…+ =2+ 1+ 1 + •••n-1 个1 = n + 1.。

高中数学第二章数列2.1.2数列的性质与递推公式课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业8 数列的性质与递推公式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知数列{a n }，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1(n ≥2)，则a 6等于( C ) A ．7 B ．11 C ．16D ．17解析：由题可知a 6＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＝1＋1＋2＋3＋4＋5＝16.2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5等于( D ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19解析：由a n ＋1＝a n ＋2－a n ，得a n ＋2＝a n ＋1＋a n . 又a 1＝2，a 2＝5.∴a 3＝7，a 4＝12，a 5＝19.3．已知数列{a n }，a n －1＝ma n ＋1(n >1)，且a 2＝3，a 3＝5，则实数m 等于( B ) A ．0 B.25C ．2D ．5解析：由题意，得a 2＝ma 3＋1，即3＝5m ＋1，解得m ＝25.4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝－1a n －1(n ≥2)，则a 2 013等于( C )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：∵a n ＋2＝－1a n ＋1＝a n ，∴数列奇数项相同，偶数项相同．∴a 2 013＝a 1＝2.5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( A ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15 解析：记b n ＝3n －2，则b n ＋1－b n ＝3(n ＋1)－2－(3n －2)＝3，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.6．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( D ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：法一：构造法．由已知整理，得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二：累乘法．当n ≥2时，a n a n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，用累乘法，得a na 1＝n .∵a 1＝1，∴a n ＝n .二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n (n ∈N *)，且a 7＝12，则a 5＝1.解析：由已知得a 7＝2a 62＋a 6＝12，解得a 6＝23，而a 6＝2a 52＋a 5，所以2a 52＋a 5＝23，解得a 5＝1.8．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 014＝1.解析：x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2， x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1， x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4， x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5＝x 0，从而数列{x n }是周期为4的数列，于是x 2 014＝x 4×503＋2＝x 2＝1.9．已知数列{a n }，a n ＝nanb ＋c ，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列是递增数列．(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)解析：因为a n ＝anbn ＋c ，所以a n ＋1＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋c ，所以a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋c －anbn ＋c＝ac[b (n ＋1)＋c ](bn ＋c ).因为a ，b ，c 均为正数，所以ac [b (n ＋1)＋c ](bn ＋c )>0，即a n ＋1－a n >0，故此数列是递增数列．三、解答题10．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)．解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16， ∴a n ＝(n －1)2.(2)a 1＝1，a 2＝23，a 3＝12＝24，a 4＝25，a 5＝13＝26，∴a n ＝2n ＋1.11．已知数列{a n }中，a 4＝18，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)．(1)证明：1a n ＝1a n －1＋2(n ≥2)，并求出a 1的值；(2)求出数列{a n }的通项a n .解：(1)证明：∵a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)，∴1a n ＝2a n －1＋1a n －1，∴1a n ＝1a n －1＋2(n ≥2)， ∴1a 4＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 4－1a 3 ＝1a 1＋3×2＝8. ∴1a 1＝2，∴a 1＝12. (2)由(1)知1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1，∴1a n ＝2＋∴1a n ＝2n ，∴a n ＝12n，n ∈N ＋.——能力提升类——12．已知数列{a n }中，a n ＝nn 2＋156(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是( C )A ．a 12B ．a 13C ．a 12或a 13D ．不存在解析：a n ＝n n 2＋156＝1n ＋156n.由函数的单调性知，f (x )＝x ＋156x (x >0)的单调减区间是(0,239)，单调增区间是[239，＋∞)，故当x ＝239时，f (x )的值最小．∵n ∈N *,239在自然数12和13之间，且a 12＝a 13， ∴第12项或第13项是数列{a n }的最大项．13．已知数列{a n }，a 1＝1，ln a n ＋1－ln a n ＝1，则数列{a n }的通项公式是( C ) A ．a n ＝n B ．a n ＝1nC ．a n ＝e n －1D ．a n ＝1en －1解析：∵ln a n ＋1－ln a n ＝1，∴ln a n ＋1a n ＝1.∴a n ＋1a n＝e. 由累乘法可得a n ＝e n －1.14．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是－3. 解析：∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，即λ≥－(2n ＋1)对任意n ∈N *成立，∴λ≥－3. 15．已知数列{a n }满足a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .(1)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：a n ≥12对一切正整数恒成立．解：(1)数列{a n }是递增数列．理由如下：∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＝1(2n ＋1)(2n ＋2). 又n ∈N *，∴a n ＋1－a n >0. ∴数列{a n }是递增数列．(2)证明：由(1)知数列{a n }为递增数列，∴数列{a n }的最小项为a 1＝12.∴a n ≥a 1＝12，即a n ≥12对一切正整数恒成立．。

高中数学第二章数列第2课时数列的性质与递推公式学案含解析新人教A版必修

第2课时数列的性质与递推公式[目标] 1.理解递推公式的含义,能根据递推公式写出数列的前几项,并能归纳出数列的通项公式；2.体会递推公式是表示数列的一种方法；3.体会数列单调性的判断及简单应用．[重点] 利用递推公式求通项． [难点] 递推公式含义的理解．知识点一数列的递推公式[填一填]一个数列若满足以下两个条件： ①已知数列{a n }的第一项a 1(或前几项)．②从第二项(或某一项)开始的任意项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)(n ≥2,n ∈N *)间的关系可以用一个公式来表示．则此公式就叫做这个数列的递推公式．[答一答]1．递推公式也是表示数列的一种方法吗？提示：递推公式也是表示数列的一种重要方法． 2．所有的数列都有递推公式吗？提示：并不是所有的数列都有递推公式：例如2精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式．知识点二数列的单调性[填一填]判断一个数列的单调性,可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行,通常转化为判断一个数列{a n }的任意相邻两项之间的大小关系来确定．(1)若a n ＋1－a n >0恒成立,则数列{a n }是递增数列； (2)若a n ＋1－a n <0恒成立,则数列{a n }是递减数列； (3)若a n ＋1－a n ＝0恒成立,则数列{a n }是常数列．[答一答]3．数列{a n }满足a n ＝n － 2 014n － 2 015,若a p 最大,a q 最小,则p ＋q ＝89.解析：a n ＝n － 2 014n － 2 015＝1＋ 2 015－ 2 014n － 2 015.由于44< 2 015<45,则当n ≤44时, a n ＝1－2 015－ 2 0142 015－n<1且递减；当n ≥45时,a n ＝1＋2 015－ 2 014n － 2 015>1且递减．所以a 44最小,a 45最大,即p ＝45,q ＝44,故p ＋q ＝45＋44＝89.类型一根据数列的递推公式写出数列的项[例1] 已知数列{a n }的第1项是2,以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2,3,4,…)给出,写出这个数列的前5项,并归纳出数列{a n }的通项公式．[分析] 先写出前5项,再观察这5项,找出规律写出通项． [解] 可依次代入项数进行求值． a 1＝2,a 2＝21－2＝－2,a 3＝－21－(－2)＝－23,a 4＝－231－⎝⎛⎭⎫－23＝－25,a 5＝－251－⎝⎛⎭⎫－25＝－27.即数列{a n }的前5项为2,－2,－23,－25,－27.也可写为－2－1,－21,－23,－25,－27.即分子都是－2,分母依次加2,且都是奇数, 所以a n ＝－22n －3(n ∈N *)．数列的递推公式是数列规律的另一种表示形式.知道首项,就可求后面的各项；知道后面的项,也可求出前面的项.[变式训练1] (1)已知数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝1,a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *),则a 6＝8. 解析：因为a n ＋2＝a n ＋a n ＋1, 所以a 3＝a 1＋a 2＝2,a 4＝a 2＋a 3＝3,a 5＝a 3＋a 4＝5,a 6＝a 4＋a 5＝8.故填8.(2)数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝a 2n －1,则此数列的前4项的和为0. 解析：∵a 1＝1,∴a 2＝0,a 3＝－1,a 4＝0,∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0. 类型二由递推公式求通项公式 [例2] (1)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *),求通项a n .(2)设{a n }是首项为1的正项数列,且a n ＋1a n ＝nn ＋1,求它的通项公式．[分析] (1)将已知等式化简、整理,得1a n ＋1－1a n ＝12,用累加法可求1a n ,再求a n .(2)可用累乘法求通项．[解] (1)∵a n ＋1＝2a na n ＋2, ∴a n ＋1(a n ＋2)＝2a n .∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1. 两边同除以2a n ＋1a n ,得1a n ＋1－1a n ＝12. ∴1a 2－1a 1＝12,1a 3－1a 2＝12,…,1a n －1a n －1＝12. 把以上各式累加得1a n －1a 1＝n －12.又∵a 1＝1,∴a n ＝2n ＋1.故数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1 ＝12·23·34·45·…·n －1n ,∴a n a 1＝1n . 又∵a 1＝1,∴a n ＝1n a 1＝1n .在一个数列中,如果从第二项起,每一项与它前一项的差构成的数列能够相加,并求出和,就可用累加法求通项公式；若每一项与它前一项的商构成的数列能够相乘,并求出积,就可用累乘法求通项公式.[变式训练2] (1)已知数列{a n }中,a 1＝2,a n ＝a n －1＋2(n ≥2),则通项公式为( B ) A ．a n ＝3nB ．a n ＝2nC ．a n ＝nD ．a n ＝12n解析：由a n －a n －1＝2,累加法可得a n －a 1＝2(n －1),∴a n ＝2n . (2)已知{a n }中,a 1＝1,a n ＋1a n ＝12,则数列{a n }的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝12nC ．a n ＝12n －1D ．a n ＝1n2解析：由累乘法可得a n ＝12n －1,故选C.类型三数列的性质命题视角1：数列的单调性[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7.数列{a n }满足a n ＝f (n ),n ∈N *,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是________．[分析] 分段数列递增首先要确保各段递增,再使得两段相邻处满足一定的条件即可．[解析] 由题意知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7，因为数列{a n }递增,所以当n ≤7时,3－a >0,即a <3；当n >7时,a >1；且a 7<a 8,即(3－a )×7－3<a 8－6, 解得a >2或a <－9. 故a 的取值范围为2<a <3. [答案] 2<a <3分段数列单调与相应的分段函数单调不同,除了确保各段单调外,还要使得两段之间满足一定的条件,如本例中数列{a n }递增要满足a 7<a 8,而若函数f (x )递增则要满足f (7)≤a 7－6,二者有较大的区别.[变式训练3] 已知数列{a n },其通项公式为a n ＝3n 2－n (n ∈N *),判断数列{a n }的单调性．解：方法一：a n ＝3n 2－n ,a n ＋1＝3(n ＋1)2－(n ＋1),则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)2－(n ＋1)－(3n 2－n )＝6n ＋2>0,即a n ＋1>a n (n ∈N *),故数列{a n }是递增数列．方法二：a n ＝3n 2－n ,a n ＋1＝3(n ＋1)2－(n ＋1),则 a n ＋1a n ＝3(n ＋1)2－(n ＋1)3n 2－n ＝n ＋1n ·3n ＋23n －1>1. 又a n >0,故a n ＋1>a n ,即数列{a n }是递增数列．(注：这里务必要确定a n 的符号,否则无法判断a n ＋1与a n 的大小)方法三：令y ＝3x 2－x ,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为x ＝16<1,则函数y＝3x 2－x 在⎝⎛⎭⎫16，＋∞上单调递增,故数列{a n }是递增数列．命题视角2：数列的周期性[例4] 数列{a n }满足a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,求a 2 016.[分析] 此题的递推公式不易直接得到通项公式,故可由递推公式求出此数列的前几项,再观察其项与项之间的特点．[解] 由a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3,a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3,a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6,a 6＝a 5－a 4＝－6－(－3)＝－3,a 7＝a 6－a 5＝－3－(－6)＝3,a 8＝a 7－a 6＝3－(－3)＝6,….∴数列{a n }是以6为周期的数列, ∴a 2 016＝a 6×336＝a 6＝－3.(1)若一个数列{a n }中的项满足对任意n ∈N *,a n ＋T ＝a n 都成立(其中T ∈N *),则称数列{a n }为周期数列,T 为{a n }的一个周期.(2)要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期,主要方法是通过递推公式求出数列的前几项观察得到或由递推公式发现规律.[变式训练4] 在数列{a n }中,若a 1＝12,a n ＝11－a n －1(n ≥2,n ∈N *),则a 2 007的值为( A )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：a 1＝12,a 2＝2,a 3＝－1,a 4＝12,a 5＝2,a 6＝－1,…,归纳得a n ＋3＝a n .∴a 2 007＝a 3×669＝a 3＝－1.1．数列{a n }满足a 1＝1,a n ＝a n －1＋n (n ≥2),则a 5为( C ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2),得a n －a n －1＝n , 则a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,a 4－a 3＝4,a 5－a 4＝5, 把各项相加得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14, ∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.2．已知数列a n <0,且2a n ＋1＝a n ,则数列{a n }是( A ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．无法判断解析：∵a n <0,∴a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－12a n >0.∴数列{a n }是递增数列． 3．在数列{a n }中,a 1＝－2,a n ＋1＝1＋a n1－a n,则a 2 014＝( B ) A ．－2 B ．－13 C ．－12 D ．3解析：∵a 1＝－2,a n ＋1＝1＋a n1－a n ,∴a 2＝－13,a 3＝12,a 4＝3,a 5＝－2.∴该数列是周期数列,周期T ＝4. 又2 014＝503×4＋2, ∴a 2 014＝a 2＝－13.4．已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ,且a 2＝－6,则a 10＝－30. 解析：令p ＝q ＝2,则a 4＝2a 2＝－12. 再令p ＝4＝q ,则a 8＝2a 4＝－24. 再令p ＝8,q ＝2, 则a 10＝a 8＋a 2＝－30.5．在数列{a n }中,a 1＝a ,以后各项由递推公式a n ＋1＝2a n1＋a n给出,写出这个数列的前4项,并由此写出一个通项公式．解：由递推公式得a 2＝2a 11＋a 1＝2a1＋a, a 3＝2a 21＋a 2＝4a 1＋a ·1＋a 1＋3a ＝4a1＋3a , a 4＝2a 31＋a 3＝8a 1＋3a ·1＋3a 1＋7a ＝8a1＋7a. 观察各项特点,分子为2n －1a , 则分母为1＋(2n －1－1)a ,所以通项公式为a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a.——本课须掌握的三大问题1．递推公式与通项公式的对比不同点相同点(1)累加法当a n－a n－1＝f(n)满足一定条件时,常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加．(2)累乘法当a na n－1＝g(n)满足一定条件时,常用a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1累乘．3．函数单调性的判断方法数列的单调性往往是通过比较{a n}中任意相邻两项a n和a n＋1(n∈N*)的大小来判断的,还可以利用函数的思想加以解决．常用的方法有：定义法、作差法、作商法(各项符号相同)、函数图象法等．。

高中数学课时训练(六)数列的通项公式与递推公式新人教A版必修5(2021年整理)

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课时跟踪检测（六）数列的通项公式与递推公式层级一学业水平达标1．已知数列｛a n}的首项为a1＝1，且满足a n＋1＝错误!a n＋错误!，则此数列的第4项是（) A．1 B.错误!C.错误!D.错误!解析:选B 由a1＝1，∴a2＝错误!a1＋错误!＝1，依此类推a4＝错误!.2．在递减数列{a n}中，a n＝kn（k为常数),则实数k的取值范围是（)A．R B．（0,＋∞)C．(－∞，0） D．(－∞，0］解析：选C ∵｛a n}是递减数列，∴a n＋1－a n＝k(n＋1）－kn＝k<0.3．数列{a n｝中,a1＝1，对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，则a3＋a5等于（）A.错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析：选C 由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22,a 1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝错误!＝错误!,a5＝错误!＝错误!.故a3＋a5＝错误!。

4．已知数列｛a n}满足要求a1＝1，a n＋1＝2a n＋1,则a5等于（）A．15 B．16C．31 D．32解析：选C ∵数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1,∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15,a5＝2×15＋1＝31.5．由1,3，5，…，2n－1,…构成数列{a n｝,数列｛b n｝满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是( )A．9 B．17C．33 D．65解析:选C ∵b n＝a错误!,∴b2＝a错误!＝a2＝3，b3＝a错误!＝a3＝5，b4＝a错误!＝a5＝9，b5＝a错误!＝a9＝17，b6＝a错误!＝a17＝33。

高中数学人教A版必修5精题精练：数列的通项公式与递推公式含解析精品

数列的通项公式与递推公式【知识梳理】如果已知数列{a n}的第一项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【常考题型】题型一、数列的表示方法【例1】根据数列{a n}的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n≤5，且n ∈N*)．(1)a n＝(－1)n＋2；(2)a n＝n＋1 n.[解](1)数列{a n}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．(2)数列{a n}的前5项依次是2，32，43，54，65，图象如下图②所示．【类题通法】通项公式法、列表法与图象法表示数列优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．【对点训练】1．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：【例2】已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由公式a n＋1＝2a na n＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解]∵a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝2 3，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.【类题通法】根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【对点训练】2．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n＝a na n＋1构造一个新的数列{b n}，写出数列{b n}的前4项．解：(1)∵a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{a n}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.题型三、由递推公式归纳数列的通项公式【例3】已知数列{a n }的第1项是2，以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．[解] 可依次代入项数进行求值．a 1＝2，a 2＝21－2＝－2，a 3＝－21－(－2)＝－23，a 4＝－231－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－25， a 5＝－251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－27.即数列{a n }的前5项为2，－2，－23，－25，－27. 也可写为－2－1，－21，－23，－25，－27. 即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以a n ＝－22n －3(n ∈N *)．【类题通法】根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．【对点训练】3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．解：a 1＝1，a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95. 由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 【练习反馈】1．符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A ．1,2,3,4，… B ．1，2，2,22，… C.2，2，2，2，…D ．0，2，2,22，…解析：选B B 中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a n ＝2a n －1.2．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是( ) A ．a n ＝12n ＋1(n ∈N *)B.a n ＝12n (n ∈N *) C ．a n ＋1＝12a n (n ∈N *)D ．a n ＋1＝2a n (n ∈N *)解析：选C 数列从第二项起，后一项是前一项的12，故递推公式为a n ＋1＝12a n (n ∈N *)．3．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1得a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝85. 答案：854．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n＝13(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．解析：由已知a 1>0，a n ＋1＝13a n (n ∈N *)，得a n >0(n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝13a n －a n ＝－23a n <0，所以{a n }是递减数列．答案：递减5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋1，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．解：对于公式a n ＝n n 2＋1，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝12，a 2＝25，a 3＝310，a 4＝417，a 5＝526.而a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋1－nn 2＋1＝1－n 2－n [(n ＋1)2＋1](n 2＋1).因为n ∈N *，所以1－n 2－n ＜0，所以a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故该数列为递减数列．。

数列的递推公式和前n项和高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，
记作Sn，即
那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
问题1 数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
探究新知
问题2 已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2+2n，求{an}的通项公式。
例题讲解
1.根据数列的前n项和公式求通项公式
例 1 已知下列各数列{a n }的前 n 项和 Sn 的公式，求数列{a n }的通项公式．
(1)Sn ＝4n 2－2n；
(2)Sn ＝8n _8.
例题讲解
＋
例 2 已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn.若 Sn＝(－1)n 2n，求 a 4＋a 7 及 a n+1。
例题讲解
n －1
例 3 已知数列：a1＋3a2＋3 a3＋…＋3
求数列{an}的最大小项的方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求
数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调
性，以此求解最大项.
ak≥ak－1，
二是设 ak 是最大项，则有
对任意的 k∈N*且 k≥2 都
ak≥ak＋1，
成立，解不等式组即可.
探究新知
a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式
像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式
子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
探究新知
5.数列的递推公式：
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个
a1
n
n
例题讲解

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《数列的通项公式与递推公式》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《数列的通项公式与递推公式》一、选择题1.数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1n 为奇数，2n －2n 为偶数，则a 2a 3等于( ) A ．70 B ．28 C ．20 D ．82.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n n ∈N * B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋n n≥2，n ∈N * C.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n －1n≥2，n ∈N * D.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋n －1n ∈N *3.已知数列{a n }满足a 1=2，a n =na n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．240B ．120C ．60D ．304.若数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=a n 3a n ＋1，则数列{a n }的第4项是( ) A.116 B.117 C.110 D.1255.数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n －1(n ∈N *)，则a 1 000=( )A ．1B ．1 999C ．1 000D ．－16.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．729B ．387C ．604D ．8547.数列7,9,11，…中，2n －1是数列的第________项( )A ．n －3B ．n －2C ．n －1D ．n二、填空题8.数列{a n}中，a1=a2=1，a n＋2=a n＋1＋a n，则a4=________.9.已知数列{a n}满足：a4n－3=1，a4n－1=0，a2n=a n，n∈N*，则a2 017=________；a2 014=________.10.数列{a n}的通项公式a n=(－1)n·12n＋1，则a3=________，a10=________，a2n－1=________.11.已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q=a p＋a q，且a2=－6，则a10=________.12.已知数列{a n}，a1=－1，a2=2，a n=a n－1＋a n－2(n≥3)，则a7=________.三、解答题13.已知数列{a n}中，a1=2，a n＋1=3a n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n＋1=2a na n＋2(n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．15.在数列{a n}中，已知a1=1，S n=n2a n，求该数列的通项公式．16.已知数列{a n}满足lg(1＋a1＋a2＋…＋a n)=n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．答案解析1.答案为：C ；2.答案为：B ；解析：将数值代入选项验证即可．3.答案为：A ；解析：逐项代入可求．4.答案为：C ；解析：∵a 1=1，a n ＋1=a n 3a n ＋1， ∴a 2=a 13a 1＋1=13＋1=14，a 3=a 23a 2＋1=1434＋1=17，a 4=a 33a 3＋1=1737＋1=110，故选C.5.答案为：A ；解析：a 1=1，a 2=2×1－1=1，a 3=2×1－1=1，a 4=2×1－1=1，…，可知a n =1(n ∈N *)，∴a 1 000=1.6.答案为：C ；解析：a 6＋a 7＋a 8＋a 9=S 9－S 5=93－53=604，故选C.7.答案为：A ；解析：a n =2(n ＋3)－1，设2n －1是数列的第m 项，则2n －1=2(m ＋3)－1，解得m=n －3.8.答案为：3；解析：由a n ＋2=a n ＋1＋a n ，∴a 3=a 1＋a 2=2，a 4=a 2＋a 3=1＋2=3.9.答案为：1，0；解析：依题意得a 2 017=a 4×505－3=1，a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252－1=0.故分别填1,0.10.答案为：－17，121，－14n －1；解析：分别用3,10和2n －1去代换通项公式中的n ，得a 3=(－1)3·12×3＋1=－17，a 10=(－1)10·12×10＋1=121， a 2n －1=(－1)2n －1·122n －1＋1=－14n －1.11.答案为：－30；解析：∵a p ＋q =a p ＋a q ，∴a 4=2a 2=－12，a 8=2a 4=－24，a 10=a 2＋a 8=－30.12.答案为：11；解析：分别求出a 3，a 4，a 5，a 6，即可求a 7.13.解：由a n ＋1=3a n 得a n ＋1a n =3. 因此可得a 2a 1=3，a 3a 2=3，a 4a 3=3，…，a n a n －1=3(n≥2)．将上面的n －1个式子相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1=3n －1.即a n a 1=3n －1，所以a n =a 1·3n －1，又a 1=2，故a n =2·3n －1.当n=1时，a 1=2×30=2也满足，故a n =2·3n －1.14.解：法一：将n=1,2,3,4依次代入递推公式得a 2=23，a 3=24，a 4=25，又a 1=22， ∴可猜想a n =2n ＋1. 应有a n ＋1=2n ＋2，将其代入递推关系式验证成立， ∴a n =2n ＋1. 法二：∵a n ＋1=2a n a n ＋2，∴a n ＋1a n =2a n －2a n ＋1. 两边同除以2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n =12. ∴1a 2－1a 1=12，1a 3－1a 2=12，…，1a n －1a n －1=12. 把以上各式累加得1a n －1a 1=n －12. 又a 1=1，∴a n =2n ＋1. 故数列{a n }的通项公式为a n =2n ＋1(n ∈N *)．15.解：因为S n =n 2a n ，①所以S n －1=(n －1)2a n －1 (n≥2)．②①－②得a n =S n －S n －1=n 2a n －(n －1)2a n －1，可得(n 2－1)a n =(n －1)2a n －1，即(n ＋1)a n =(n －1)a n －1，故a n a n －1=n －1n ＋1. 所以a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·……·n －1n ＋1=1×13×24×…n －1n ＋1=2n n ＋1.16.解：∵S n=a1＋a2＋…＋a n，又lg(1＋a1＋a2＋…＋a n)=n，∴lg(1＋S n)=n.∴S n=10n－1.当n=1时，a1=S1=9；当n≥2时，a n=S n－S n－1=(10n－1)－(10n－1－1) =9×10n－1.∵当n=1时也满足上式，∴a n=9×10n－1.。

高中数学第二章数列 2.1.2 数列的通项公式与递推公式练习(含解析)新人教A版必修5(1)

2.1.2数列的通项公式与递推公式一、选择题：1．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0.若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝ ( )A ．22B ．23C ．24D ．25 【答案】A【解析】∵数列{a n }为等差数列，首项a 1＝0，公差d ≠0，∴a k ＝a 1＋(k －1)d ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 4＝21d .解得k ＝22.故选A.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 ( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 【答案】B【解析】 ∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，a 20＝a 4＋16d ＝33－32＝1. 故选B ．3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 2＋a 4＋a 6＝15，则a 3＋a 4＝ ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，∴a 3＝3；又a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝15，∴a 4＝5，∴a 3＋a 4＝8. 故选D ．4．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝ ( )A ．2B ．23C ．2D ．21 【答案】B【解析】由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }为首项a 1＝15，公差d ＝－23的等差数列，所以a n ＝15－23(n －1)＝－23n ＋473，则由a k ·a k ＋1<0得a k >0，a k ＋1<0，令a n ＝－23n ＋473＝0得n ＝472，所以a 23>0，a 24<0，所以k ＝23，故选B ．5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于 ( )A ．120B ．105C ．90D ．75 【答案】B【解析】∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5，又∵a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝16，即(a 2－d )(a 2＋d )＝16，∵d >0，∴d ＝3. 则a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝105. 故选B ．6．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于 ( C )A ．0B ．37C ．10D ．－37 【答案】C【解析】∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列．又∵a 1＋b 1＝100，a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }的公差为0，∴数列{a n ＋b n }的第37项为100. 故选C ． 7．下列命题中正确的个数是 ( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； (4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错．对于(2)，a ＝b ＝c ⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b ＝1c，(4)正确，综上选B ．点评; 等差数列的性质; (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝……(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有(3){a n }的公差为n n a n }为常数列． 8. 设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是 ( C )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 【答案】C【解析】先分析四个答案，A 举一反例a 1＝2，a 2＝－1，则a 3＝－4，a 1＋a 2>0，而a 2＋a 3<0，A 错误；B 举同样反例a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝－4，a 1＋a 3<0，而a 1＋a 2>0，B 错误；下面针对C 进行研究，{a n }是等差数列，若0<a 1<a 2，则a 1>0，设公差为d ，则d >0，数列各项均为正，由于a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝a 21＋2a 1d ＋d 2－a 21－2a 1d ＝d 2>0，则a 22>a 1a 3⇒a 2>a 1a 3，选C ．二、填空题：9．等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝ . 【答案】18【解析】解法1：根据题意，有(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36，∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.∴a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ＝18.解法2：根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18.10．已知等差数列{a n }中，a 3、a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝【答案】15【解析】 ∵a 3＋a 15＝6，又a 7＋a 11＝a 8＋a 10＝2a 9＝a 3＋a 15，∴a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝(2＋12)(a 3＋a 15)＝52×6＝15.11．若x ≠y ，两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝ . 【答案】54【解析】设两个等差数列的公差分别为d 1，d 2，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4d 1，y ＝x ＋5d 2，即⎩⎪⎨⎪⎧4d 1＝y －x ，5d 2＝y －x ，解得d 1d 2＝54，即a 2－a 1b 3－b 2＝d 1d 2＝54.12．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 . 【答案】15 3.【解析】设△ABC 的三边长为a －4，a ，a ＋4(a >4)，则a 2＋a －2－a ＋22a a －＝－12，解得a ＝10，三边长分别为6,10,14.所以S △ABC ＝12×6×10×32＝15 3.三、解答题13．已知等差数列{a n }的公差d >0，且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求{a n }的通项公式. 【答案】2n －12.【解析】由等差数列的性质，得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4，又∵a 3a 7＝－12，∴a 3、a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根．又∵d >0，∴a 3＝－6，a 7＝2. ∴a 7－a 3＝4d ＝8，∴d ＝2.∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.14．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数. 【答案】见解析【解析】设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.15．设数列{a n }是等差数列，b n ＝(12)a n 又b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求通项a n .【答案】见解析【解析】 ∵b 1b 2b 3＝18，又b n ＝(12)a n ，∴(12)a 1·(12)a 2·(12)a 3＝18.∴(12)a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3，又{a n }成等差数列∴a 2＝1，a 1＋a 3＝2， ∴b 1b 3＝14，b 1＋b 3＝178，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝2b 3＝18或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝18b 3＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1a 3＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a 3＝－1，∴a n ＝2n －3或a n ＝－2n ＋5.。

「精品」高中数学课时作业6数列的性质和递推公式新人教A版必修5

所以＝ .
又因为a1＝，所以an＝ .
14．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝－n.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)数列{an}有没有最小项？若有，求出这个最小项；若没有，请说明理由．
解析：(1)由题意，当n＝1时，a1＝－1＝－ .
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝－n，①
∴an＋4＝an，∴a2018＝a4×504＋2＝a2＝ .故选A.
答案：A
12．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，则实数λ的取值范围是________．
解析：方法一：因为an＝n2＋λn，其图象的对称轴为n＝－，显然，当－ ≤1，即λ≥－2时，数列{an}是单调递增数列．
又n∈N*，∴λ>－3，
即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
13．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝ an，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)因为a1＝1，an＋1－an＝2，
所以a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2.
答案：D
5．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，那么a2017＝()
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：由a1－(－1)＝2，a4＝1－＝，a2017＝a1＝ .
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝________.

高中数学第二章数列课时作业6数列的递推公式选学新人教B版必修01384

＝b，求数列 { f (n)} 的第 2 011 项．
解：∵ f(x＋ 2)＝ f (x＋1)－f(x)，且 f(1)＝ a， f (2)＝ b，
∴ f(3)＝ f (2)－ f (1)＝ b－ a，
f(4)＝ f (3)－ f(2)＝b－ a－b＝－ a，
f(5)＝ f (4)－ f(3)＝－ a－ b＋ a＝－ b，
a8＝
7，
a9＝
. 7
3 答案： 7
8．数列 { an} 中 a1＝ 1， a2＝3， a2n－ an－ 1·an＋1＝ (－ 1)n－ 1(n≥ 2)，那么 a4＝ ________. 解析：令 n＝ 2 得 a22－ a1·a3＝－ 1，∴ a3＝ 10. 令 n＝ 3 代入，得 a23－ a2a4＝(－ 1)2，∴ a4＝ 33.
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
(1)当 a＞ 1 时， lga＞0，①式为 n＜(n＋ 1)a 对一切 n∈ N *恒成立．
n
即
a＞
n＋
对一切 1
n∈ N * 恒成立，
n
1
由于数列
{
n＋
} 1
＝
{1
－
n＋
} 1
为递增数列
n
且
n＋
＜ 1
1，∴
a＞
答案： 1 5．已知数列 { an} 满足 a4n－3＝ 1， a4n－1＝ 0， a2n＝ 2an，n∈ N *，则 a2 013＝________； a2 014＝
________.
解析： a2 013＝ a504×4－3＝ 1， a2 014＝ 2a1 007＝ 2a4×252－1＝ 0.

人教A版高中数学必修五第二课时数列的性质和递推公式.docx

高中数学学习材料唐玲出品第二课时数列的性质和递推公式【选题明细表】知识点、方法题号递推公式的简单应用1、4、6利用递推公式求通项公式7、10数列的单调性2、8数列的周期性5数列的最大(小)项问题3、9基础达标1.已知数列{a n}满足a1=,a n=2a n-1+1(n>1),那么a4等于( B)(A)5 (B)11 (C)23 (D)8解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B.2.已知a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是( A)(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列(D)不能确定解析:a n+1-a n=3>0,故数列{a n}为递增数列,故选A.3.数列{a n}的通项公式a n=3n2-28n,则数列各项中最小项是( B)(A)第4项(B)第5项(C)第6项(D)第7项解析:a n=3(n-)2-.∴当n=时,a n最小,又由于n为正整数,∴n=5时,a n最小,故选B.4.数列{a n}中,a n+1=a n+2-a n,a1=2,a2=5,则a5为( D)(A)-3 (B)-11 (C)-5 (D)19解析:由a n+1=a n+2-a n得a n+2=a n+a n+1,于是a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19,故选D.(n>1),则a9等于( C)5.(2011年江西抚州高二检测)已知数列{a n}满足:a1=-,a n=1--(A)(B)(C)-(D)解析:由已知可得a1=-,a2=1-=3,a3=1-=,a4=1-=,a5=-=a1,a6=a2,….因此数列的项以4为周期重复出现,故a9=a1=-,选C.,则a4=.6.若a1=1,a n=a n-1+-解析:依题意a2=a1+=2,a3=a2+=,a4=a3+=.答案:7.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=a n-3,那么{a n}的通项公式为.解析:由a n+1=a n-3得a n+1-a n=-3,所以有a2-a1=-3,a3-a2=-3,a4-a3=-3,…,a n-a n-1=-3,将以上(n-1)个式子相加得a n-a1=-3(n-1),∴a n=a1-3(n-1),又a1=3,∴a n=3-3(n-1)=6-3n.答案:a n=6-3n能力提升8.(原创题)若数列{a n}的通项公式是a n=(p∈R),若{a n}是一个递增数列,则实数p的取值范围是. 解析:∵a n=,∴a n+1=,由{a n}是递增数列知a n+1-a n>0,∴-==>0,由于(n+2)(n+1)>0,∴1-p>0,故p<1.答案:(-∞,1)9.数列{-2n2+29n+5}中的最大项等于.解析:由已知得a n=-2n2+29n+5=-2(n-)2+110,由于n∈N*,所以当n=7时,a n取最大值为110.答案:11010.在数列{a n}中,已知a1=1,且na n=(n+1)a n-1,试求数列{a n}的通项公式.解:由na n=(n+1)a n-1可得=,-因此有=,=,=,…,=,-以上(n-1)个式子相乘可得=×××…×.···…·-所以=,又a1=1,∴a n=.即数列{a n}的通项公式是a n=.。

高中数学第二章数列2.1第2课时数列的通项公式与递推公式课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

数列的通项公式与递推公式[A 组学业达标]1．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A ．－163 B 、163 C ．－83 D 、83答案：B2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5D ．19 解析：∵a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12， a 5＝a 3＋a 4＝19、故选D 、答案：D3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8 解析：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3， a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5， a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8、答案：D4．已知在数列{a n }中，a 1＝b (b 为任意正数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，能使a n ＝b 的n 的数值可以是( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17解析：因为a 1＝b ，a n ＋1＝－1a n ＋1，所以a 2＝－1b ＋1，a 3＝－b ＋1b ，a 4＝b 、所以{a n }的项是以3为周期重复出现的．由于a 1＝a 4＝b ，所以a 7＝a 10＝a 13＝a 16＝b 、答案：C5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，则数列前4项依次为________．答案：6 8 8 6496．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)得a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，从而a n －a 1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ，∴a n ＝2－1n 、又当n ＝1时，也符合上式．故a n ＝2－1n 、答案：a n ＝2－1n7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3＝________、解析：根据题意a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，所以a 2·a 3＝20、答案：208．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解析：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3、因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3(n ≥2)．将上面的n －1个式子相乘可得 a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1、即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1、当n ＝1时，a 1＝2×30＝2也满足，故a n ＝2×3n －1、[B 组能力提升]9．已知数列{a n }的通项为a n ＝411－2n ，则满足a n ＋1＜a n 的n 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a n ＝411－2n ，a n ＋1＜a n ，所以411－2(n ＋1)＜411－2n ，化为：19－2n ＜111－2n、由9－2n ＞0,11－2n ＞0,11－2n ＜9－2n ，解得n ∈∅、由9－2n ＜0,11－2n ＞0，解得92＜n ＜112，取n ＝5、由9－2n ＜0,11－2n ＜0,11－2n ＜9－2n ，解得n ∈∅、因此满足a n ＋1＜a n 的n 的最大值为5、答案：C10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg(1＋1n )，则a n ＝( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n ＋lg n 解析：a n ＋1－a n ＝lg(n ＋1)－lg n ∴a 2－a 1＝lg 2－lg 1 a 3－a 2＝lg 3－lg 2 ⋮a n －a n －1＝lg n －lg(n －1)相加得a n －a 1＝lg n ，a 1＝2，∴a n ＝2＋lg n 、当n ＝1时，也符合上式．故a n ＝2＋lg n 、答案：A11．已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2，则a n ＝________、解析：当n ＝1时，a 1＝1、当n ≥2时，a 1a 2…a n －1＝(n －1)2， ∴a 1a 2…a n a 1a 2…a n －1＝n 2(n －1)2， ∴a n ＝n2(n －1)2，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1(n n －1)2n ≥2、答案：⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1(n n －1)2n ≥212．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，则a 10＝________、解析：∵a p ＋q ＝a p ＋a q ， ∴a 4＝2a 2＝－12， a 8＝2a 4＝－24， a 10＝a 2＋a 8＝－30、答案：－3013．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式．解析：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1，两边同除以2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝12，∴1a 2－1a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝12、把以上各式累加得1a n－1a1＝n－12，又a1＝1，∴a n＝2n＋1、故数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1(n∈N*)．14．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n、(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证：数列{a n}是递减数列．解析：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2a n)＝－2n，∴2log2a n－2－log2a n＝－2n，a n－1a n＝－2n，∴a2n＋2na n－1＝0，解得a n＝－n±n2＋1、∵a n＞0，∴a n＝n2＋1－n、(2)证明：a n＋1a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)＜1、即{a n}是递减数列．。

原创1：2.1.2 数列的递推公式

5
10 15 20 25
34
4
5
知识链接
（3）图象法：
新知探究
（一）数列的表示方法
问题1. 数列是特殊的函数，根据函数的表示方法，推理数列的
表示方法有哪些？
答：解析法，列表法，图象法.
例1. 对于数列 5，10，15，20， ⋯ ，你能否用上述几种方法表
示出来？
答：（1）解析法： = 5， ∈ N ∗ ；
项公式可以看成是数列的函数解析式，我们可以根据数列的通
项公式写出数列或数列的项.
新知探究
（二）数列的通项公式
例2. 已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为 = (−1) ， =
cos，请分别写出这两个数列，并指出它们是否表示同一个
数列？
【解析】数列{an}为：−1，1，−1，1，…，(−1) ，… ；
且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为 =
(−1)+1

新知探究
（二）数列的通项公式
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数
项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1.
【解题反思】如何由数列的若干项写出其通项公式？
答：求数列的通项公式，即寻找数列中的项an与相应的项数
之间的对应关系式，因而只需观察并分析数列中的项关于的
构成规律，然后将项表示为项数的函数关系式即可．
（二）数列的通项公式
新知探究
变式3. 分别写出下面两个数列的一个通项公式，数列的前4项
已给出．
(1)
1
2
1
6
，− ，
1
，
12
−
1
，⋯

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高中数学课时达标训练六数列的性质和递推公式含解析新人教A 版必修5090428课时达标训练(六) 数列的性质和递推公式[即时达标对点练]题组1 数列的函数性质1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：选A 法一：∵a n ＋1＝2（n ＋1）n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n （n ＋2）（n ＋1）（n ＋2）＝2（n ＋1）（n ＋2）>0， ∴{a n }是递增数列．法二：∵数列{a n }各项均为正，又a n ＋1＝2（n ＋1）n ＋2， ∴a n ＋1a n ＝2（n ＋1）n ＋22n n ＋1＝2（n ＋1）22n （n ＋2）＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n>1， ∴{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝13(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．解析：由已知a 1>0，a n ＋1＝13a n (n ∈N *)，得a n >0(n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝13a n －a n ＝－23a n <0，所以{a n }是递减数列．答案：递减3.如果数列{a n }为递增数列，且a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，则实数λ的取值范围为________．解析：因为{a n }为递增数列，所以a n ＋1>a n .即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn .∴λ>－2n －1.即λ>－3，故实数λ>－3.答案：(－3，＋∞)题组2 数列的最大(小)项4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103B ．10818C ．10318D ．108 解析：选D 根据题意结合二次函数的性质可得， a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋29×298. 所以n ＝7时，a n ＝108为最大值．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．解析：令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则0<n ≤11.∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴m ＝10或11.答案：10或11题组3 由递推公式求数列中的项6．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2解析：选B 逐项验证可知B 选项合适．7．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＋1＝0，则a 2 019＝( )A ．2 B.13 C ．－12D ．－3 解析：选C 由a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＋1＝0得a n ＋1＝a n －1a n ＋1，由a 1＝2得a 2＝2－12＋1＝13，a 3＝13－113＋1＝－12，a 4＝－12－1－12＋1＝－3，a 5＝－3－1－3＋1＝2，…， ∴{a n }是周期为4的数列，而2 019＝504×4＋3，∴a 2 019＝a 3＝－12.故选C. 8．已知数列{a n }的第1项是2，以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2，3，4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．解：可依次代入项数进行求值．a 1＝2，a 2＝21－2＝－2，a 3＝－21－（－2）＝－23，a 4＝－231－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－25，a 5＝－251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－27.即数列{a n }的前5项为2，－2，－23，－25，－27.也可写为－2－1，－21，－23，－25，－27.即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以a n ＝－22n －3(n ∈N *)．题组4 由递推公式求数列的通项公式9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋2B ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1解析：选C 因为a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，所以a n －a n －1＝3，a n －1－a n －2＝3，a n －2－a n －1＝3，…a 2－a 1＝3，以上各式相加，则有a n －a 1＝(n －1)×3，所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2ana n＋2(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式．解：法一：将n ＝1,2,3,4依次代入递推公式得a 2＝23，a 3＝24，a 4＝25. 又a 1＝22，∴可猜想a n ＝2n ＋1. 则有a n ＋1＝2n ＋2，将其代入递推关系式验证成立． ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．法二：∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1. 两边同除以2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n ＝12. ∴1a 2－1a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝12. 把以上各式累加得1a n －1a 1＝n －12. 又a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [能力提升综合练]1．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A ．－163 B.163 C ．－83 D.83解析：选B 对n 依次取2，3，4，5得a 2＝(－1)2·2×13＝23，a 3＝－43，a 4＝－83，a 5＝163. 2．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( )A ．2n B.n （n ＋1）2 C ．2n －1 D ．2n －1解析：选C 由a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，得a n －1＝a 0＋a 1＋…＋a n －2(n ≥2)，两式相减得，a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)，则a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·2n －1，又a 1＝a 0＝1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)．又∵a 1＝1也适合，∴a n ＝2n －1.3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，则a 10＝( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21解析：选C ∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴a 4＝2a 2＝－12，a 8＝2a 4＝－24，a 10＝a 2＋a 8＝－30.4．已知a n ＝n － 2 017n － 2 016(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 100B ．a 100，a 44C ．a 45，a 44D ．a 44，a 45 解析：选C a n ＝n － 2 017n － 2 016＝n － 2 016＋ 2 016－ 2 017n － 2 016＝1＋ 2 016－ 2 017n － 2 016(n ∈N *)．当n ≤44时，数列{a n }单调递增，且a n >1；当n ≥45时，数列{a n }单调递增，且a n <1.∴数列{a n }的前100项中最小项和最大项分别是a 45，a 44.故选C.5．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋m ，4＝a 2＋m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，m ＝3， ∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.答案：26．数列{a n }中，a 1＝7，a 9＝8，且(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3)，则a 2等于________．解析：由(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3)，得na n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，两式相减，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n .∴n ≥3时，na n ＋1＝na n ，即a n ＋1＝a n .又a 9＝8，∴a 3＝8.又2a 3＝a 1＋a 2，a 1＝7，∴a 2＝2a 3－a 1＝9.答案：97．设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，又知数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)试判断数列{a n }的增减性．解：(1)∵f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2a n )＝2n ， ∴log 22a n －log 2a n 4＝2n ，由换底公式，得log 22a n －log 24log 22a n＝2n ，即a n －2a n＝2n ， ∴a 2n －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±n 2＋2.①由0<x <1，有0<2a n <1，∴a n <0.②由①②得a n ＝n －n 2＋2，此即为数列{a n }的通项公式． (2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）－（n ＋1）2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2（n ＋1）＋（n ＋1）2＋2<1， ∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是单调递增数列．8．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，a ＝－7， ∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，并结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，∴5<2－a2<6，∴－10<a<－8，即a的取值范围为(－10，－8)．。