第4课时向量和复数生

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高三数学第四章第4课时好课件

－i1＋i 1－i 1 1 ＝＝＝－ i. 2 2 2 1－i1＋i
目录
考点3
复数的几何意义
10i (2012· 高考北京卷)在复平面内，复数对应的例3 3＋i 点的坐标为( ) A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1)
【解析】
10i3－i 101＋3i 10i 由＝＝＝1＋3i 得，该 10 3＋i 3＋i3－i
解析：z1·2＝(2－i)· z (a＋bi)＝(2a＋b)＋(2b－a)i＝1， 2 a＝ 5 2a＋b＝1 ∴ ，∴ . 1 2b－a＝0 b＝ 5

2 1 2 1 ∴ z2 ＝＋ i，∴ z 2 ＝－ i，其在复平面内对应的点为 5 5 5 5
2，－1 ，位于第四象限． 5 5
目录
内容复平面复数的模
意义建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴 → 向量OZ的模 r 叫作复数 z＝a＋bi 的模
备注实轴上的点都表示实原点数；除了______外，虚轴上的点都表示纯虚数
a2＋b2 |z|＝|a＋bi|＝_________
第4课时
数系的扩充与复数的引入
2014高考导航
考纲展示 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示形式及其几何意义． 4.会进行复数代数形式的四则运算． 5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义. 备考指南 1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数代数形式的运算是高考的热点，几乎每套高考试卷都有一个小题，并且一般在前三题的位置上． 2.从考查形式来看，主要以选择题、填空题为主，难度不大，属容易题.

高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数

A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课前双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基础知识
1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.

数学北师大版选修1-2 第4章 1.2 复数的有关概念(2)

1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案 A解析由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求参数答案 B解析因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 3解析复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 B解析若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 C解析由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4，又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案 A解析因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案 D解析设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 5解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案 (x －2)2＋y 2＝8解析由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 2解析由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0，解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。

备战2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)第4讲平面向量与复数

第4讲平面向量与复数一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C2．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（） A ．32m n - B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n +【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．3．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠， ∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.6．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +. 【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D8．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））若1z =-，则1zzz =-（）A ．1- B ．1-C ．13-+D ．13-【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-+-故选：C 10．（2022·全国·高考真题（文））若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z + 故选：D.11．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A12．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.13．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.14．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【答案】B 【解析】【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.15．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C 【解析】【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z . 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.16．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 二、多选题17．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α==，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 三、双空题18．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】 1 1120【解析】【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.19．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】 0 3【解析】【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=. 故答案为：0；3. 四、填空题20．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11 【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．21．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75-【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.22．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP⋅的最小值为________ 【答案】78【解析】【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()22,,0,222M C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0P x ，22x -≤≤，则(2,11MP CP x x x x x ⎛⎛⋅=⋅=+=+ ⎝⎭⎝⎭，当x =时，()2min718MP CP ⋅=+=⎝⎭故答案为：78.23．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92- 【解析】【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-.24．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==， 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．25．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-=∴32b =.故答案为： 26．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-. 【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】 ()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+, (),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=. 27．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=. 故答案为：85.。

高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）

解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的数；除了原点外，虚轴
复平面平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为

2022年pep五年级上册英语第一单元教案第4课时

第四课时一、课时内容教科书第8页：B. Let’s learn Match and say二、课时分析本课时是义务教育灵通版（pep）小学英语教科书五年级上册的第一单元第四课时,围绕“What’s he like?”这个话题展开内容。

包括Let’s learn和Match and say两个板块。

Learn是基础板块,呈现了五幅图片、五个单词和一组问答句型。

这五幅情景图分别是怀特女士和三名学生（陈杰、迈克、约翰）见面时打招呼,赛若帮助弟弟系鞋带,另一位男孩害羞地在门后面向外探头观看,吴斌斌正在刻苦学习,张鹏正在思考问题。

五个单词分别是：polite（有礼貌的；客气的）,helpful（有用的；愿意帮忙的）,shy（羞怯的；腼腆的；怕生的）,hard-working（工作努力的；勤劳的）,clever（聪明的；聪颖的）。

一组问答句型：What’s Wu Binbin like?（吴斌斌什么样？）,He’s hard-working.（他学习很努力。

）Match and say是拓展训练板块,呈现了五幅图、一组问答和四个陈述句。

中间一幅图是奥利弗与陈杰正在进行问答对话,下面有四个陈述句：He is polite.（他很有礼貌。

）She is shy. （她很害羞。

）They are helpful. （他们很有帮助。

）They are hard-working.（他么学习很刻苦）。

左边是两幅图,分别是一位小女孩躲在妈妈的身后,好像是害怕见生人的样子,另一幅是三位学生正在打扫教室,迈克在擦玻璃,陈杰在擦黑板,张鹏在扫地板。

右边有两幅图,分别是一位男学生见到老师鞠躬问好,另一幅图是陈杰、迈克、张鹏等学生正坐在教室里认真地读书。

这个板块是学生们通过对Let’s learn部分内容的学习,在理解句子内容的基础上,将句子与对应的图片连线,这种图文并茂的训练方式,非常受学生们的欢迎与青睐,通过这种训练,可以帮助学生在趣味横生的情境中巩固了新学的重点知识。

数学第十册教案第4课时

第4课时
教学内容：巩固练习，完成练习一第12～16题。

教学目的：使学生加深对小数加减法的认识，能够正确地进行计算。

教学过程：
一、复习
指名学生说一说小数加减法计算时要注意什么？
二、巩固练习
做练习一第12～16题。

1、第12题。

指名学生口算。

然后在书上写得数。

2、第13题。

出示5元6角2分＋3元零9分用小数计算
教师先引导学生把复名数改写成单名数后再计算。

然后让学生完成其余的题目，对个别有困难的学生进行辅导。

3、第14题。

把式题出示在黑板上。

分别指名6个学生板演，做完后集体纠正总结。

4、第15题。

告诉学生小数的连加、连减计算方法和整数连加、连减是一样的。

再让学生独立完成。

5、第16题。

让学生看清运算符号在计算。

三、作业
练习一第14、15题。

2024届新高考一轮复习北师大版第5章第4节复数课件(50张)

大一轮复习讲义数学（BSD）
第五章平面向量、复数第四节复数
内夯实·主干知识容探究·核心考点索引课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋－ii ＝i；11－＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.

高中数学-平面向量与复数课时训练

第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算一、填空题1. 下列命题中正确的是________．(填序号) ① 单位向量的模都相等;② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量; ③ 若a ,b 满足|a|＞|b|且a 与b 同向,则a ＞b ; ④ 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ⑤ 对任意非零向量a ,b ,必有|a ＋b|≤|a|＋|b|. 答案：①④⑤解析：单位向量的模均为1,故①正确;共线包括同向和反向,故②不正确;向量不能比较大小,故③不正确;根据向量的表示,知④正确;由向量加法的三角形法则知⑤正确．2. 若菱形ABCD 的边长为2,则|AB →－CB →＋CD →|＝________．答案：2解析：|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.3. 已知AB →＝2e 1＋k e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2.若A,B,D 三点共线,则k ＝________. 答案：－8解析：若A,B,D 三点共线,则AB →∥BD →,设AB →＝λBD →.因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2,所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2,所以λ＝2,k ＝－4λ,所以k ＝－8.4. 在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB ＝3DC,设AB →＝a ,AD →＝b ,E 为BC 的中点,则AE →＝________．(用a ,b 表示)答案：23a ＋12b解析：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →,AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →＝23a ＋12b .5. 如图,在正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝________．答案：CF →解析：由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.6. (泰州模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点,AD →＝－13AB →＋43AC →,若BC →＝λDC →(λ∈R ),则λ＝________．答案：－3解析：由AD →＝－13AB →＋43AC →,可得3AD →＝－AB →＋4AC →,即4AD →－4AC →＝AD →－AB →,则4CD →＝BD →,即BD →＝－4DC →,可得BD→＋DC →＝－3DC →,故BC →＝－3DC →,则λ＝－3.7. 若两个非零向量a ,b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a|,则向量a ＋b 与a －b 的夹角为__________．答案：2π3解析：由|a ＋b|＝|a －b|可知a⊥b .设AB →＝b ,AD →＝a ,作矩形ABCD,可知AC →＝a ＋b ,BD →＝a －b .设AC 与BD的交点为O,结合题意可知OA ＝OD ＝AD,∴ ∠AOD ＝π3,∴ ∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD→的夹角,故所求夹角为2π3.8. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,且CD →＝13CA →＋λCB →,则实数λ＝__________．答案：23解析：如图,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F, 则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →,所以CE →＝13CA →,CF →＝λCB →.由△ADE∽△ABC ,得DE BC ＝AE AC ＝23,所以ED →＝CF →＝23CB →,故λ＝23.9. 在▱ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ,BD →＝b ,则AF →＝____________．(用a ,b 表示)答案：23a ＋13b解析：如图,∵ △DEF ∽△BEA,∴ DF ∶BA ＝DE∶BE＝1∶3,过点F 作FG∥BD 交AC 于点G,∴ FG ∶DO ＝2∶3,CG ∶CO ＝2∶3,∴ GF →＝13b .∵ AG →＝AO →＋OG →＝23AC →＝23a ,∴ AF →＝AG →＋GF →＝23a ＋13b .10. 向量e 1,e 2不共线,AB →＝3(e 1＋e 2),CB →＝e 2－e 1,CD →＝2e 1＋e 2,给出下列结论：① A ,B,C 共线;② A ,B,D 共线;③ B ,C,D 共线;④ A ,C,D 共线．其中所有正确的结论是________．(填序号)答案：④解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →,e 1＋e 2不共线,得AB →与CB →不共线,A,C,D 共线,且B 不在此直线上．11. 已知O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|,λ∈[0,＋∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的________．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”)答案：内心解析：作∠BAC 的平分线AD.∵ OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴ AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0,＋∞)),∴ AP →＝λ′|AD →|·AD →,∴ AP →∥AD →.∴ P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、解答题12. 如图,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线MN 与边AB,AC 分别交于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,求x ＋y 的最小值．解：由点G 是△ABC 的重心,知GA →＋GB →＋GC →＝0,得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0,则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M,N,G 三点共线(A 不在直线MN 上),于是存在λ,μ∈R ,使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1),则AG →＝λx AB →＋μyAC →＝13(AB →＋AC →),所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy＝13，于是得1x ＋1y ＝3.又由题意x ＞0,y ＞0,所以x ＋y ＝13(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥43(当且仅当y x ＝x y ,即x ＝y 时,等号成立),即x ＋y 的最小值为43.13. 如图,已知△OCB 中,点C 是点B 关于点A 的对称点,D 是将OB →分为2∶1的一个内分点,DC 和OA 交于点E.设OA →＝a ,OB →＝b .(1) 用a 和b 表示向量OC →,DC →;(2) 若OE →＝λOA →,求实数λ的值．解：(1) 由题意知,A 是BC 的中点,且OD →＝23OB →.由平行四边形法则,得OB →＋OC →＝2OA →. ∴ OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ,∴ DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b.(2) 如题图,EC →∥DC →.∵ EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ,DC →＝2a －53b ,∴ 2－λ2＝－1－53,∴ λ＝45.第2课时平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1. 已知在▱ABCD 中,AD →＝(2,8),AB →＝(－3,4),则AC →＝____________. 答案：(－1,12)解析：因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)．2. 若e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中不能看作基底的是________．(填序号)① e 1＋e 2和e 1－e 2;② 3e 1－2e 2和4e 2－6e 1;③ e 1＋3e 2和e 2＋3e 1;④ e 2和e 1＋e 2. 答案：②解析：∵ 3e 1－2e 2＝－12(4e 2－6e 1), ∴ 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线．3. (苏北四市联考)已知点A(1,3),B(4,－1),则与AB →同方向的单位向量是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4,－1)－(1,3)＝(3,－4),∴ 与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4. 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案：(3,3)解析：(解法1)由O,P,B 三点共线,可设OP →＝λOB →＝(4λ,4λ),则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC→－OA →＝(－2,6),由AP →与AC →共线,得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0,解得λ＝34,所以OP →＝34OB →＝(3,3),所以点P的坐标为(3,3)．(解法2)设点P(x,y),则OP →＝(x,y),因为OB →＝(4,4),且OP →与OB →共线,所以x 4＝y 4,即x ＝y.又AP →＝(x －4,y),AC →＝(－2,6),且AP →与AC →共线,所以(x －4)×6－y×(－2)＝0,解得x ＝y ＝3,所以点P 的坐标为(3,3)．5. 若三点A(1,－5),B(a,－2),C(－2,－1)共线,则实数a 的值为________．答案：－54解析：∵ AB →＝(a －1,3),AC →＝(－3,4),根据题意AB →∥AC →,∴ 4(a －1)－3×(－3)＝0,即4a ＝－5,∴ a ＝－54.6. (衡水中学月考)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD →＝2DB →,CD →＝rAB →＋sAC →,则r ＋s ＝________．答案：0解析：因为CD →＝2DB →,所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →,则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0.7. 设向量a ＝(1,－3),b ＝(－2,4),c ＝(－1,－2)．若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d ＝____________．答案：(－2,－6) 解析：设d ＝(x,y),由题意知4a ＝(4,－12),4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4,－2),又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0,解得x ＝－2,y ＝－6,所以d ＝(－2,－6)．8. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 交AF 于H.记AB →,BC →分别为a ,b ,则AH →＝__________．(用a ,b 表示)答案：25a ＋45b解析：设AH →＝λAF →,DH →＝μDE →.而DH ＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此μ⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .由于a ,b 不共线,因此由平面向量的基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝λ－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b . 9. 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b )(ab≠0)共线,则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2,－2),AC →＝(－2,b －2),依题意,有(a －2)(b －2)－4＝0,即ab －2a －2b ＝0,所以1a ＋1b ＝12. 10. 如图,|OA →|＝|OB →|＝1,OA →与OB →的夹角为120°,OC →与OA →的夹角为30°.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ,μ∈R ),则λμ＝____________.答案：2解析：过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D.由题意可知,∠COD ＝30°,∠OCD ＝90°,∴ OD ＝2CD.∵ OD →＝λOA →,DC →＝μOB →,∴ λ|OA →|＝2μ|OB →|,即λ＝2μ,故λμ＝2.11. 在平面直角坐标系中,若O 为坐标原点,则A,B,C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ,使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立,此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1),P 2(－1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1,－1)共线,则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为________．答案：－1解析：设P 3(x,y),由条件易得P 1P 2→＝(－4,2),P 2P 3→＝(x ＋1,y －3);由P 1,P 2,P 3三点共线,得12－4y ＝2x ＋2;由OP 3→与向量a ＝(1,－1)共线,得x ＋y ＝0.联立方程组解得x ＝－5,y ＝5. 由OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→,解得λ＝－1.12. (苏北四市期末)已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m),m ∈R ,则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m),由a∥(a ＋b ),得－1×(2＋m)＝2×2,所以m ＝－6,则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件．二、解答题13. 如图,已知△ABC 的面积为14,D,E 分别为边AB,BC 上的点,且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1,AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →,PD →＝μCD →,AB →＝a ,BC →＝b .(1) 求λ及μ;(2) 用a ,b 表示BP →; (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ,BC →＝b ,则AE →＝a ＋23b ,DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ,DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ,AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →,即23a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b . ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3) ∵ S △PAB ：S △CAB ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47,∴ S △PAB ＝47S △ABC ＝8.∵ S △PBC ：S △ABC ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17,S △PBC ＝17S △ABC ＝2,∴ S △PAC ＝4.第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例一、填空题1. 已知向量a ＝(3,1),b ＝(0,1),c ＝(k,3)．若a ＋2b 与c 垂直,则k ＝________．答案：－3解析：由已知得a ＋2b ＝(3,3),故(a ＋2b )·c ＝(3,3)·(k ,3)＝3k ＋33＝0,解得k ＝－3. 2. (南京、盐城模拟)已知向量a ,b ,其中|a |＝3,|b |＝2,且(a －b )⊥a ,则向量a 和b 的夹角是________．答案：π6解析：因为(a －b )⊥a ,所以(a －b )·a ＝|a|2－|a||b|·cos 〈a ,b 〉＝3－23×cos 〈a ,b 〉＝0,解得cos 〈a ,b 〉＝32.由〈a ,b 〉∈[0,π],则向量a ,b 的夹角为π6.3. (南京模拟)设向量|a ＋b |＝20,a ·b ＝4,则|a －b |＝________.答案：2解析：|a －b|＝|a ＋b|2－4a·b ＝20－4×4＝2.4. 在四边形ABCD 中,AC →＝(1,2),BD →＝(－4,2),则该四边形的面积为____________．答案：55. 在Rt △ABC 中,∠C ＝π2,AC ＝3,取点D 使BD →＝2DA →,那么CD →·CA →＝________．答案：6解析：如图,CD →＝CB →＋BD →.∵ BD →＝2DA →, ∴ CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →),即CD →＝23CA →＋13CB →.∵ ∠C ＝π2,∴ CA →·CB →＝0,∴ CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＝23CA → 2＋13CB →·CA →＝6.(本题还可建立平面直角坐标系利用向量的坐标求解)6. (扬州中学质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →,则∠BAC＝________．答案：60°解析：取BC 的中点D,连结AD,则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →,∴ AD 为BC 的中线,且O 为重心．又O 为外心,∴ △ABC 为正三角形,∴ ∠BAC ＝60°.7. (苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ,sin θ),向量b ＝(3,－1),则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6,则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4],所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.8. 如图,平行四边形ABCD 中,AB ＝2,AD ＝1,∠A ＝60°,点M 在AB 边上,且AM ＝13AB,则DM →·DB →＝________．答案：1解析：因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →,DB →＝DA →＋AB →,所以DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos60°＝73－43×1×2×12＝1.9. (第二次全国大联考江苏卷)A,B,C 为单位圆上三个不同的点,若∠ABC＝π4,OB →＝mOA →＋nOC →(m,n ∈R ),则m ＋n 的最小值为________．答案：－ 2解析：因为∠ABC＝π4,所以∠AOC ＝π2.不妨设A(1,0),C(0,1),B(cos θ,sin θ),θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π,则cos θ＝m,sin θ＝n ⇒m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≥－2,当且仅当θ＝5π4时取等号． 10. (苏州调研)在梯形ABCD 中,AB →＝2DC →,|BC →|＝6,P 为梯形ABCD 所在平面上一点,且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0,DA →·CB →＝|DA →||DP →|,Q 为边AD 上的一个动点,则|PQ →|的最小值为________．答案：423解析：设AB 中点为E,则四边形BCDE 为平行四边形,且AP →＋BP →＝2EP →,所以PE →＝2DP →,D,E,P 三点共线,|DE→|＝6,|DP →|＝2.又DA →·CB →＝DA →·DE →＝3DA →·DP →＝3|DA →||DP →|cos ∠ADE ＝|DA →||DP →|,所以cos ∠ADE ＝13,sin ∠ADE＝232. 要使|PQ →|最小,即PQ⊥AD.此时|PQ →|＝|DP →|sin ∠ADE ＝423.二、解答题11. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ; (2) 求|a ＋b|;(3) 若AB →＝a ,BC →＝b ,求△ABC 的面积．解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61,∴ 4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.又|a|＝4,|b|＝3,∴ 64－4a·b －27＝61,∴ a ·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π,∴ θ＝2π3.(2) |a ＋b|2＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13,∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3,∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4,|BC →|＝|b |＝3,∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.12. 如图,在平面直角坐标系xOy 上,点A(1,0),点B 在单位圆上,∠AOB ＝θ(0＜θ＜π)．(1) 若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,求tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值; (2) 若OA →＋OB →＝OC →,OB →·OC →＝1813,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.解：(1) 由于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,∠AOB ＝θ,所以cos θ＝－35,sin θ＝45,所以tan θ＝－43,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－17. (2) 由于OA →＝(1,0),OB →＝(cos θ,sin θ),所以OC →＝OA →＋OB →＝(1＋cos θ,sin θ),OC →·OB →＝cos θ×(1＋cos θ)＋sin 2 θ＝cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝1813.所以cos θ＝513,所以sin θ＝1213,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝cos π3cos θ＋sin π3sin θ＝5＋12326.13. (如皋中学调研)如图所示,矩形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含坐标原点)上滑动,其中AD ＝4,AB ＝2.(1) 若∠DAO＝π4,求|OC →＋OD →|;(2) 求OB →·OC →的最大值．解：(1) 由题意可知,点A(22,0),D(0,22),B(32,2),C(2,32),所以|OC →＋OD →|＝|(2,52)|＝213.(2) 过点B 作BM⊥AO ,垂足为M,过点C 作CN⊥OD ,垂足为N,设∠DAO＝θ,则∠CDN＝θ,∠ABM ＝θ, 所以点A(4cos θ,0),D(0,4sin θ),B(4cos θ＋2sin θ,2cos θ),C(2sin θ,4sin θ＋2cos θ), 则OB →·OC →＝(4cos θ＋2sin θ,2cos θ)·(2sin θ,4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin 2θ＋4cos 2θ＝4＋8sin 2θ.∵ θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,∴( OB →·OC →)max ＝12.第4课时复数一、填空题 1. (第二次全国大联考江苏卷)已知复数z ＝(1－2i)(2＋i),其中i 为虚数单位,则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．答案：四解析：因为z ＝(1－2i)(2＋i)＝4－3i,对应点为(4,－3),位于第四象限．2. 已知2＋3ii＝a ＋bi(a,b ∈R ,i 为虚数单位),则a ＋b ＝__________．答案：1解析：2＋3i ＝ai －b,则a ＝3,b ＝－2,a ＋b ＝1.3. (2016·苏北三市二模)已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数是________．答案：1－3i解析：z ＝10i3＋i＝1＋3i,z 的共轭复数是1－3i.4. 记复数z ＝a ＋bi(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －bi(a,b ∈R )．已知z ＝2＋i,则z 2＝________．答案：3－4i解析：z 2＝3＋4i,则z 2＝3－4i.5. (镇江一模)已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i),其中i 为虚数单位,则|z|＝________．答案：5 2解析：z ＝(1－2i)(3＋i)⇒|z|＝5·10＝5 2.6. 设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位),则2z＋z 2＝________．答案：1＋i解析：∵ z＝1＋i,∴ 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.7. (第三次全国大联考江苏卷)已知复数z 1＝2＋ai(a>0),z 2＝3－i,其中i 为虚数单位．若|z 1|＝|z 2|,则z 1＝________．答案：2－6i解析：∵ 4＋a 2＝9＋1,∴ a 2＝6.∵ a>0,∴ a ＝6,z 1＝2－6i.8. 已知复数z ＝ai1＋2i(a ＜0),其中i 为虚数单位,|z|＝5,则a 的值为________．答案：－5解析：z ＝2a 5＋a 5i,|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 52＝5,则a ＝－5.9. (南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知复数z ＝3－i1＋i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的模是________．答案： 5解析：因为z ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i 2＝1－2i,所以|z|＝12＋（－2）2＝ 5.10. 若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ,则|z|的最大值为________．答案：2解析：∵ z－1＝cos θ＋isin θ,∴ z ＝(1＋cos θ)＋isin θ,∴ |z|＝（1＋cos θ）2＋sin 2θ＝2（1＋cos θ）≤2×2＝2.11. 复数z 1,z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i,z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m,λ,θ∈R ),并且z 1＝z 2,则λ的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ,由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.因为sin θ∈[－1,1],所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.二、解答题12. 设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ.(1) 当θ＝4π3时,求|z|的值;(2) 若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上,求2cos 2θ2－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．解：(1) ∵ θ＝4π3,∴ z ＝－3cos 4π3＋2isin 4π3＝32－3i,∴ |z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（－3）2＝212. (2) 由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0,∴ tan θ＝12.∴原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝23.13. 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根． (1) 试求b,c 的值;(2) 1－2i 是否是所给方程的根,试给出判断．解：(1) 由于1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根,则(1＋2i)2＋b(1＋2i)＋c＝0,整理得(b ＋c －1)＋(22＋2b)i ＝0,则⎩⎨⎧22＋2b ＝0，b ＋c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3，即b ＝－2,c ＝3.(2) 由(1)得方程为x 2－2x ＋3＝0,把1－2i 代入方程左边得(1－2i)2－2(1－2i)＋3＝1－22i ＋2i 2－2＋22i ＋3＝1－2－2＋3＝0,即1－2i 满足方程x 2－2x ＋3＝0,所以1－2i 是所给方程的根．。

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第四章+平面向量与复数第2节平面向量的基本定理及坐标运算

第二十五页，编辑于星期五：十一点五十七分。
变式训练 3 (1)(2013·皖南八校高三第三次联考)已知向
量 a＝(－1,2)，b＝(2,0)、c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，
则实数 λ 为( )
A．－2
B．－1
C．－13
D．－23
(2)若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，
－3)＝－ 3×(－1， 3)，故向量 c 可以是(－1， 3)
【答案】 D
第二十二页，编辑于星期五：十一点五十七分。
考向 3 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C
＝(m，m＋1)，若A→B∥O→C，则实数 m 的值为( )
A．－32
4．(2013·辽宁高考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量
A→B同方向的单位向量为( )
A.35，－45
B.45，－35
C.－35，45
D.－45，35
【解析】 A→B＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e
＝|AA→→BB|＝15(3，－4)＝35，－45. 【答案】 A
第二十九页，编辑于星期五：十一点五十七分。
三个结论 1.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的基底中一定不含零向量．
B．－14
1 C.2
3 D.2
(2)(2012·重庆高考改编)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝
(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.

高考调研数学目录

第12页
目录
第九章解析几何
第1课时直线方程题组层级快练（五十九）（word）第2课时两直线的位置关系题组层级快练（六十）（word）第3课时圆的方程题组层级快练（六十一）（word）第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系题组层级快练（六十二）（word）第5课时椭圆(一) 题组层级快练（六十三）（word）第6课时椭圆(二) 题组层级快练（六十四）（word）第7课时双曲线(一) 题组层级快练（六十五）（word）
目录
第5课时三角函数的图像题组层级快练（二十四）（word）第6课时三角函数的性质题组层级快练（二十五）（word）专题研究三角函数的值域与最值专题层级快练（二十六）（word）第7课时正、余弦定理题组层级快练（二十七）（word）专题研究正、余弦定理应用举例专题层级快练（二十八）（word）
第7页
目录
第五章平面向量与复数
第1课时向量的概念及线性运算题组层级快练（二十九）（word）第2课时平面向量基本定理及坐标运算题组层级快练（三十）（word）第3课时平面向量的数量积题组层级快练（三十一）（word）专题研究平面向量的综合应用专题层级快练（三十二）（word）第4课时复数题组层级快练（三十三）（word）
第10页
目录
第八章立体几何
第1课时空间几何体的结构、三视图、直观图题组层级快练（四十八）（word）第2课时空间几何体的表面积、体积题组层级快练（四十九）（word）专题研究球与几何体的切接问题专题层级快练（五十）（word）第3课时空间点、线、面间位置关系题组层级快练（五十一）（word）第4课时直线、平面平行的判定及性质题组层级快练（五十二）（word）第5课时直线、平面垂直的判定及性质题组层级快练（五十三）（word）

第四节复数的概念及其运算(知识梳理)

第四节复数的概念及其运算复习目标学法指导1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 理解复数的有关概念是基础,解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化,因此要用类比的思想学习复数的运算问题.一、复数的有关概念1.复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位).2.复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)()()()()=0=0baba⎧⎪⎪⎧⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).5.复数的模向量OZ u u u r的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22a b+(r≥0,r,a,b∈R).二、复数的几何意义1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数的几何表示复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ u u u r.三、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:12z z =i i a b c d ++=()()()()i i i i a b c d c d c d +-+-=22ac bd c d +++ 22bc adc d-+i(c+di ≠0). 2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 四、与复数运算有关的结论 1.(1±i)2=±2i.2.1i 1i +-=i,1i 1i-+=-i. 3.(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2. 4.(a ±bi)2=a 2-b 2±2abi. 5.i i a b +=b-ai.概念理解(1)复数的代数形式z=a+bi(a,b ∈R),虚部是b 而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b ≠0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等. (4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等. (5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi 的点Z 的坐标为(a,b),而不是(a,bi). 五、复数的模 1.复数的模的相关结论设z 1,z 2是任意两个复数, (1)|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|,|12z z |=12z z (|z 2|≠0).(2)|1n z |=|z 1|n (n ∈N *).(3)||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线;②当||z 1|-|z 2||=|z 1+z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|-|z 2||≤|z 1-z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线;②||z 1|-|z 2||=|z 1-z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线. 2.复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的距离.(2)若复数z=a+bi,z 0=a 0+b 0i,则|z-z 0|表示复平面内两点(a,b)与(a 0,b 0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.六、与复数概念有关的结论1.实数集R 与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即R ∪{虚数}=C,R ∩{虚数}= .2.z=a+bi=0⇔a=b=0.3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.4.i 2=-1.5.i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0.6.共轭复数的性质设z=a+bi,z=a-bi(a,b∈R),则(1)z+z=2a,z-z=2bi;(2)z=z;(3)|z|=|z|=22+,z·z=a2+b2=|z|2=|z|2;a b(4)z∈R⇔z=z;(5)z与z在复平面内所对应的点关于实轴对称.1.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则z等于( D )(A)1+2i (B)-1+2i(C)1-2i (D)-1-2i解析:z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i,故选D.2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为( C )(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)±2或0解析:21a+41+,则a=±2.故选C.3.(2018·杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为( B )(A)2-2i (B)2+2i(C)-2+2i (D)-2-2i解析:方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可化为x2+4x+4+i(x+a)=0,由复数相等的意义得2440,0,x x x a ⎧++=⎨+=⎩解得x=-2,a=2,方程x 2+(4+i)x+4+ai=0(a ∈R)有实根b,故b=-2, 所以复数z=2-2i,所以复数z 的共轭复数为2+2i. 故选B.4.(2019·杭州市第二学期高三教学质量检测)已知复数z=1+i(i 是虚数单位),则211z z -+等于( A )(A)i (B)-i (C)1+i(D)1-i解析:211z z -+= 12i 2i -++=(12i)(2i)5-+-=5i5=i.故选A.考点一复数的概念及分类 [例1] 复数z=(m 2+m-6)i+27123mm m -++为纯虚数,则实数m 的值为( )(A)2 (B)-3 (C)4 (D)3或4解析:由227120,30,60,m m m m m ⎧-+=⎪+≠⎨⎪+-≠⎩得m=3或m=4.故选D.处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题转化为实数问题来解决.1.若复数m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则实数m 的值为( C ) (A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 解析:因为m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则()220,320,m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩解得m=0.故选C. 2.复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( C )(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:因为z=(3-2i)i=2+3i, 所以z =2-3i.故选C. 考点二复数的几何意义[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z=-3+2i,则在复平面内z 对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若复数z 满足z=()2i2i -- (i 是虚数单位),则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )(A)(425,325) (B)(-425,325) (C)(425,-325) (D)(-425,-325)解析:(1)由z=-3+2i,得z =-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故选C. 解析: (2)z=()2i2i --=i 44i 1+-=i 34i +=()i 34i 25-=425+325i, 所以在复平面内,z 对应的点的坐标是(425,325).故选A.判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b ∈R)的形式,其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限及坐标.1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB 的中点C 对应的复数为( D )(A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B 的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB 的中点C 的坐标为(2,-1),所以线段AB 的中点C 对应的复数为2-i,故选D.2.(2019·宁波高三上期末考试题)设i 为虚数单位,给定复数z=2(1i)1i-+,则z 的虚部为 ,模为 .解析:z=2(1i)1i-+=2i 1i -+=2i(1i)2--=-1-i, 故z 的虚部为-1,模为2.答案:-123.若复数z 满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5表示以(0,3)为圆心,以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为5+13,最小值为5-13.考点三复数代数形式的运算[例3] (1)i 是虚数单位,复数7i34i ++等于( )(A)1-i (B)-1+i(C)1725+3125i (D)-177+257i (2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( )(A)-4 (B)-45 (C)4 (D)45解析:(1)复数7i 34i ++=()()()()7i 34i 34i 34i +-+-=2525i 25-=1-i.故选A.解析:(2)z=43i 34i +-=534i- =()()()534i 34i 34i +-+=()534i 25++=35+45i,所以复数z 的虚部是45,故选D.(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i 的幂化成最简形式.(2)将所求复数z 分离出来,利用复数运算法则求解.1.已知z=1i 1i+-,其中i 是虚数单位,则z+z 2+z 3+…+z 2 017的值为( C ) (A)1+i (B)1-i (C)i (D)-i解析:由于z=1i 1i+-=i, 所以z+z 2+z 3+…+z 2 017=504(i+i 2+i 3+i 4)+i=i, 故选C.2.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,z 1·z 2是实数,求z 2.解:由(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 因为z 1·z 2是实数,所以a=4⇒z 2=4+2i.。

人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿

人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿一、引言在高中数学中，复数是一个非常重要的概念。

复数的引入不仅拓宽了数的域，使得我们可以解决更多的数学问题，同时也具有深刻的几何意义。

本课程旨在通过学习《复数的几何意义》，让学生了解并体会复数的几何意义，从而帮助他们更好地理解复数及其在数学中的应用。

二、教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下教学目标： 1. 理解复数的几何意义及其在平面内表示； 2. 能够用向量表示复数，并进行复数相加、相减、相乘的运算； 3. 能够解决与复数相关的几何问题。

三、教学内容1. 复数的引入及定义首先，我们将回顾复数的引入，描述复数的定义及其表示方法。

复数是由实部和虚部组成的，可以用a+bi来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 复数的几何意义接下来，我们将讲解复数的几何意义。

复数可以用向量表示，实部对应向量在实轴上的投影，虚部对应向量在虚轴上的投影。

我们可以直观地理解复数在平面内的表示，并通过几个例子演示。

3. 复数的运算然后，我们将学习关于复数的运算。

复数的加法减法可以通过向量的相加减来完成。

复数的乘法可以通过向量乘法和极坐标形式来理解。

我们将通过具体的例题进行讲解和练习，帮助学生掌握复数的运算规则。

4. 解决几何问题最后，我们将应用所学的复数知识解决几何问题。

例如，平面上的旋转、缩放等问题都可以通过复数的运算来表示和解决。

我们将带领学生分析和解决一些实际问题，培养他们运用复数解决几何问题的能力。

四、教学方法1.探究方法：通过引导学生提出问题，思考并探索复数的几何意义和运算规律，培养他们的自主学习和解决问题的能力。

2.演示法：通过具体的几何图形演示复数的表示和运算，帮助学生直观地理解和记忆。

3.实践方法：通过解决实际问题，培养学生应用复数解决几何问题的能力。

五、教学步骤步骤一：复习导入1.复习上节课所学的复数的引入和定义。

2.引导学生思考：复数在平面内的几何意义是什么？步骤二：讲解复数的几何意义1.通过一些例子，让学生感受复数在平面内的表示。

理科数学目录

第3课时
平面向量的数量积
目录
专题研究
高三数学新课标版· 理
平面向量的综合应用
第4课时
第五章
复数
单元测试卷（word）
目录
第六章
第1课时
高三数学新课标版· 理
数列
数列的基本概念
第2课时
第3课时
等差数列
等比数列
专题研究一数列求和
专题研究二数列的综合应用
第六章
单元测试卷（word）
目录
第七章
第八章
第1课时第2课时
高三数学新课标版· 理
立体几何
空间几何体的结构、三视图、直观图空间几何体的表面积、体积
第3课时
第4课时
空间点、线、面间位置关系
直线、平面平行的判定及性质
目录
第5课时
高三数学新课标版· 理
直线、平面垂直的判定及性质
第6课时
第7课时
空间向量及运算
空间向量的应用(一) 平行与垂直
第3课时
导数的应用(二)——极值与最值
目录
专题研究
高三数学新课标版· 理
导数的应用
第4课时
第三章
定积分与微积分基本定理
单元测试卷（word）
目录
第四章
第1课时第2课时
高三数学新课标版· 理
三角函数
三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系式及诱导公式
第3课时
第4课时
两角和与差的三角函数
简单的三角恒等变换
第2课时
第3课时第4课时第5课时
排列、组合
二项式定理随机事件的概率古典概型
目录
第6课时几何概型

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章平面向量与复数第4课时复数

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章平面向量与复数第4课时复数1. (课本改编题)复数z ＝2＋i 的共轭复数为________．答案：2－i解析：∵ z＝2＋i ，∴ z －＝2－i. 2. (课本改编题)已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝________．答案：1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. (课本改编题)已知i 是虚数单位，则（2＋i ）23－4i ＝________．答案：－725＋2425i解析：（2＋i ）23－4i ＝（3＋4i ）（3＋4i ）25＝－7＋24i 25＝－725＋2425i.4. (课本改编题)设(1＋2i)z －＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案： 5解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，即5|z －|＝5，∴ |z|＝|z －|＝ 5.5. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 对应的复数为________．答案：5－3i解析：BC →对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，AD →对应复数为z D －(3＋3i)，平行四边形ABCD 中，AD →＝BC →，则z D －(3＋3i)＝2－6i ，即z D ＝5－3i.1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i 2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R )，其中a 叫实部，b 叫虚部． 2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b∈R )中，z 是实数Û b ＝0，z 是虚数 b ≠0， z 是纯虚数Û a ＝0，b≠0．3. a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R )互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R ) Ûa ＝c 且b ＝d. 特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b∈R ) Ûa ＝0且b ＝0.5. 设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.6. 运算法则z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d∈R )． (1) z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2) z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(3) z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc －ad c ＋d i. [备课札记]题型1 复数的概念例1 已知复数z ＝m 2－7m ＋6m 2－1＋(m 2－5m －6)i (m∈R )，试求实数m 分别取什么值时，z分别为：(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数．解：(1) 当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6＝0，m 2－1≠0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝6，m ≠±1，所以m ＝6，即m ＝6时，z 为实数．(2) 当z 为虚数时，则有m 2－5m －6≠0且m 2－7m ＋6m 2－1有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3) 当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6≠0，m 2－7m ＋6m －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1且m≠6，m ＝6且m≠±1.故不存在实数m 使z 为纯虚数．变式训练已知m∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时．(1) z∈R ； (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数．解：(1) 由z∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2) 由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3) 由z 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.题型2 复数相等的条件例2 若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，求点P(a ，b)到原点的距离．解：由已知ai ＋2＝b －i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴ 点P(－1，2)到原点距离|OP|＝ 5.备选变式（教师专享）设复数i －11＋i ＝a ＋bi(a 、b∈R )，则a ＋b ＝________．答案：1解析：由i －11＋i ＝－（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，得a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1.题型3 复数代数形式的运算例3 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵ z 1·z 2∈R ，∴ a ＝4.∴ z 2＝4＋2i. 备选变式（教师专享）设i 是虚数单位，若z ＝11＋i＋ai 是实数，则实数a ＝________．答案：12解析：z ＝11＋i ＋ai ＝1－i 2＋ai ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12i ∈R ，所以a －12＝0，a ＝12.题型4 复数的几何意义例4 已知O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i (a∈R )，若z －1＋z 2是实数．(1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的面积．解：(1) ∵ z －1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i 是实数，∴ a 2＋2a －15＝0. ∴ a ＝3，a ＝－5(舍)．(2) 由(1)知，z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，∴ OZ 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ 2→＝(－1，1)，∴ |OZ 1→|＝738，|OZ 2→|＝2，cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝－38＋1738×2＝5146.∴ sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝1－25146＝11146，∴ S ＝|OZ 1→||OZ 2→|sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝738×2×11146＝118.∴ 平行四边形的面积为118.备选变式（教师专享）如图所示，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求： (1) AO →、BC →所表示的复数； (2) 对角线CA →所表示的复数；(3) 求B 点对应的复数．[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．解：(1) AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.(2) CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3) OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.1. (2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．答案：5解析：z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，|z|＝32＋（－4）2＝5.2. 若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为________．答案：0解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 3. 设a 、b∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．答案：8解析：由a ＋bi ＝11－7i 1－2i ，得a ＋bi ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.4. (2013·南通二模)设复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．答案：12解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )．∵ 复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，解得a ＝12.∴ 复数z 的实部为12.1. (2013·重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．答案： 5解析：z ＝5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）5＝2＋i |z|＝ 5.2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于________．答案：第四象限解析：(2－i)2＝3－4i 对应的点为(3，－4)位于第四象限．3. (2013·上海卷)设m∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．答案：－2解析：由m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0Þ m ＝－2.4. m 取何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．解：(1) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m ＋3≠0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5或m ＝－3，m ≠－3时， ∴当m ＝5时，z 是实数．(2) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠5且m≠－3，m ≠－3时，∴当m≠5且m≠－3时，z 是虚数．(3) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－2，m ≠－3，m ≠5且m≠－3时，∴当m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．5. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R )．求z 的值和|z －ω|的取值范围．解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i.∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12， ∴z＝32＋12i.|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1，∴0≤2－2sin -6p q （）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．请使用课时训练(B)第4课时(见活页)．。

2012年金版新学案新编高三总复习第四章第4课时

z2＋z1 ， z2 、 z3 ∈ C，有 z1 ＋ z2＝ _______，(z1 ＋ z2)＋z3 ＝，＋ z1＋(z2＋z3) ． _____________．
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点．在复平面内，复数＝＋对应的点位于( ) 位于 A．第一 B．第二象限．． C．第三象限 D．第四象限．．
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
计算：【变式训练】 2.计算：变式训练】计算 )(2＋ ) (－1＋i)( ＋i) ＋ )( (1＋2i)2＋3(1－i) ＋ ) ( －) (1) . ；(2) 3 i 2＋i ＋
)(2＋ ) (－1＋i)( ＋i) －3＋i ＋ )( ＋解析：＝－1－解析： (1) ＝＝－－3i. i3 －i (1＋2i)2＋3(1－i) －3＋4i＋3－3i ＋ ) ( －) ＋＋－ i (2) ＝＝ 2＋i 2＋i 2＋i ＋＋＋ i(2－i) ( －) ＝ 5 1 2 ＝5＋5i.
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
4＋2i ＋解析：解析： (1) －(1－i)2＝－ 1－2i － )(1＋ ) (4＋2i)( ＋2i) ＋ )( ＋2i )(1＋ ) (1－2i)( ＋2i) － )( 10i ＝ 5 ＋2i＝4i. ＝ 1＋2i ＋ (2)∵ ∵ ＝1＋i，＋， a＋bi ＋ )(1－ ) 1＋2i (1＋2i)( －i) 3＋i ＋ )( ＋＋＝＝ 2 ， ∴a＋bi＝＋＝ )(1－ ) 1＋i (1＋i)( －i) ＋ )( ＋ 3 1 ∴a＝2，b＝2. ＝＝答案：答案： (1)D (2)A

2021一轮数学教师用书目录

目录课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1第2课时集合的基本运算4第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词8第二章函数与导数第1课时函数及其表示13第2课时函数的定义域和值域18第3课时函数的单调性22第4课时函数的奇偶性及周期性26第5课时函数的图象31第6课时二次函数36第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)40第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)44第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)48第10课时函数与方程53第11课时导数的概念与运算57第12课时导数在研究函数中的应用61第13课时函数模型及其应用68第14课时函数的综合应用75第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数81第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式86第3课时三角函数的图象和性质90第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式97第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式102第6课时简单的三角恒等变换106第7课时正弦定理和余弦定理110第8课时解三角形应用举例114第9课时三角函数的综合应用120第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算126第2课时平面向量的基本定理及坐标表示131第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例135第4课时复数140第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法144第2课时等差数列148第3课时等比数列152第4课时数列的求和157第5课时数列的简单应用161第6课时数列的综合应用167第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法172第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划177 第3课时基本不等式182第4课时不等式的综合应用186第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理190第2课时直接证明与间接证明195第3课时数学归纳法(理科专用)199第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系204第2课时直线与平面的位置关系(1)208第3课时直线与平面的位置关系(2)213第4课时平面与平面的位置关系218第5课时空间几何体的表面积和体积224第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)228第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率236第2课时直线的方程239第3课时直线与直线的位置关系243第4课时圆的方程247第5课时直线与圆的位置关系252第6课时椭圆(1)258第7课时椭圆(2)263第8课时双曲线269第9课时抛物线273第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)277第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)282第十章算法、统计与概率第1课时算法290第2课时统计初步(1)295第3课时统计初步(2)298第4课时古典概型(1)303第5课时古典概型(2)307第6课时几何概型与互斥事件311第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)316第2课时排列与组合(理科专用)320第3课时二项式定理(理科专用)324第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)328第5课时独立性及二项分布(理科专用)334第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)340选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)346第2课时圆的进一步认识(理科专用)351选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)357第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)362选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)366第2课时参数方程(理科专用)370选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)375第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)379课时训练第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念383第2课时集合的基本运算384第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词385第二章函数与导数第1课时函数及其表示387第2课时函数的定义域和值域388第3课时函数的单调性390第4课时函数的奇偶性及周期性391第5课时函数的图象393第6课时二次函数395第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)396第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)397第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)399第10课时函数与方程400第11课时导数的概念与运算402第12课时导数在研究函数中的应用403第13课时函数模型及其应用405第14课时函数的综合应用407第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数410第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式411第3课时三角函数的图象和性质413第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式415第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式417第6课时简单的三角恒等变换418第7课时正弦定理和余弦定理420第8课时解三角形应用举例421第9课时三角函数的综合应用425第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算428第2课时平面向量的基本定理及坐标表示430第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例431第4课时复数433第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法435第2课时等差数列436第3课时等比数列437第4课时数列的求和439第5课时数列的简单应用441第6课时数列的综合应用442第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法445第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划446第3课时基本不等式448第4课时不等式的综合应用450第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理452第2课时直接证明与间接证明454第3课时数学归纳法(理科专用)455第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系458第2课时直线与平面的位置关系(1)460第3课时直线与平面的位置关系(2)461第4课时平面与平面的位置关系463第5课时空间几何体的表面积和体积465第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)467第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率470第2课时直线的方程471第3课时直线与直线的位置关系474第4课时圆的方程476第5课时直线与圆的位置关系477第6课时椭圆(1)480第7课时椭圆(2)482第8课时双曲线484第9课时抛物线486第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)488第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)490第十章算法、统计与概率第1课时算法493第2课时统计初步(1)495第3课时统计初步(2)496第4课时古典概型(1)498第5课时古典概型(2)500第6课时几何概型与互斥事件501第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)504第2课时排列与组合(理科专用)505第3课时二项式定理(理科专用)507第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)508第5课时独立性及二项分布(理科专用)510第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)512选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)515第2课时圆的进一步认识(理科专用)517选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)520第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)522选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)525第2课时参数方程(理科专用)526选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)529第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)530。

新课程2021高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件

平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1.(2019·厦门外国语学校模拟)已知点 A(－1,1)，B(0,2)，若向量A→C＝(－
2,3)，则向量B→C＝( )
答案 B
解析对于 A，e1∥e2，不能作为基底；对于 B，－1×7－2×5≠0，所以 e1 与 e2 不共线，可以作为基底；对于 C，e2＝2e1，所以 e1∥e2，不能作为基底；对于 D，e1＝4e2，所以 e1∥e2，不能作为基底．
(3)如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若A→E＝λA→B＋μA→C，则 λ
121A→C，则实数
m
3 的值为____1_1___.
解析设B→P＝λB→N， ∵P 是 BN 上的一点，A→N＝13N→C，则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋λB→N ＝A→B＋λ(A→N－A→B)＝(1－λ)A→B＋λA→N ＝(1－λ)A→B＋4λA→C＝mA→B＋121A→C. ∴m＝1－λ，4λ＝121，解得 λ＝181，m＝131.
2．平面向量的坐标运算
□ 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ 01 (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝
□ □ 02 (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ 03 (λx1，λy1)
，|a|＝ x21＋y21，|a＋b|＝
x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示
a∥b,0<α<π2，
则 α＝____6____.
解析因为 a∥b，所以 sin2α＝cosα，即 cosα(2sinα－1)＝0，又 0<α<π2，所以 cosα>0，所以 sinα＝12，解得 α＝π6.

复数及向量

复数的向量表示法
面上的点( x , y ) 表示.
复数 z x iy 还可以用复平面上的向量oz 表示.
y
该复数和向量也有一一对应关系
z x iy
z ( x, y )
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
x
x
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3、向量的概念及运算
日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完全表示，比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类，这一类质量称为数量（或标量）；另一类量，除了要用一个数以外，还要指明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类，这一类的量称为向量（或矢量）。向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方向，它的长度称为向量的模。零向量的方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向量。两个向量的方向相同、模相等时，称它们是相等的向量, 因此，一个向量经过平移后与原向量相等。与的模相同而方向相反的向量叫做的负向量
( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即： zz x y .
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2、复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平面. 复数 z x iy 可以用复平
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2