2020届高三理科数学大题专项练习7

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2020年高考数学(理)重难点专练07 选考系列(解析版)

2020年高考数学（理）重难点07 选考系列（参数方程与不等式）【高考考试趋势】选考系列主要包含参数方程极坐标，以及不等式是高考中二选一的一道解答题，属于相对比较简单的题目，共10分，是高考大题中分值最小的一道题目.对于参数方程与极坐标，一般均是简单一点的解析几何.对于不等式部分，主要还是以绝对值不等式为主.本专题中主要介绍几种高考中常见的选做题类型，以及在后面【点睛】处有此类题型的解决方法.通过本专题的讲解与练习之后，在高考中，此类题型就能够迎刃而解.拿到满分.【知识点分析以及满分技巧】对于参数方程与极坐标系方程属于简单一点的解析几何.需要搞清楚极坐标系与直角坐标系之间的等量转化，相对于要学会将极坐标系转化成直角坐标去运算，同理将直角坐标系转化成极坐标系去运算.对于绝对值不等式的求解，一般采用三段法，将绝对值不等式分成三段，从而进行分段讨论运算，应注意计算技巧，计算是本类题目的易错点.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、解答题1．（2020·广东高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()1,A ρϕ，2,6B πρϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()3123,,06,C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭都在曲线M 上. （1123ρρ=+；（2）若过B ，C两点直线的参数方程为2212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求四边形OBAC 的面积.【答案】（1）详见解析；（2 【解析】【分析】（1）将()12,,,,6B πρϕρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭ 3123,(,,0)6C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭代入极坐标方程ρ2cos θ=，求出123ρρρ、、，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭，则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ=.四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+，化简可得结果. 【详解】（1）由122cos ,2cos ,6πρϕρϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭ 32cos 6πρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则232cos 2cos 66ππρρϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1ϕ==；（2）由曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC 的参数方程得：20t =解得120,t t ==()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ=即四边形面积为121311sin sin 26264OBAC S ππρρρρ=+=为所求. 【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.2．（2020·湖南浏阳一中高三月考（理））己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值．【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2. 【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程.由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程.（2）直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），由t 的几何意义求值. 【详解】()1直线l 的参数方程为1(t 32x ty t=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =，()2直线的参数方程改写为13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2y 16x =，24t t 7055--=，12t t +=，1235t t 4=-，1212t t 11PA PB t t -+==．【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化.3．（2020·四川高三期末（理））在平面角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将曲线C 向左平移2个单位长度得到曲线D . （1）求曲线D 的参数方程；（2）已知P 为曲线D 上的动点，,A B两点的极坐标分别为)6π，求AP BP ⋅u u u r u u u r的最大值.【答案】（1）曲线D 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）13-【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线C 的极坐标方程，把它变形为24cos ρρθ=后利用222,cos x y x ρρθ==+把后者化为()2224x y -+=，向左平移2个单位长度后得到曲线D ，其方程为224x y +=，其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）.（2）,A B 两点的直角坐标为()(3,0,，利用（1）算出的曲线D的参数方程计算·1312cos AP BP αα=--u u u v u u u v ，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）2224cos ,4cos ,4x y x ρθρρθ=∴=∴+=Q ,则曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，易知曲线C 为圆心是()2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D 的直角坐标方程为224x y += ，故曲线D 的参数方程为 ()2cos 2sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数. （2）,A B 两点的直角坐标分别为()(3,03，，依题意可设()2cos ,2sin P αα ，则 ()(2cos 3,2sin ,2cos 3,2sin AP BP αααα=-=-u u u v u u u v ，()(22cos 32sin 2sin 412cos 9AP BP a a ααα∴⋅=-+=--+u u u v u u u v()13αφ=-+，故AP BP ⋅u u u r u u u r的最大值为13-4．（2020·江苏高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）求圆1C 的普通方程和圆2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）判断圆1C 与圆2C 的位置关系.【答案】（Ⅰ）()2224x y +-=；()()22112x y -++=（Ⅰ）见解析【分析】（Ⅰ）消去参数，即可得到曲线1C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可化简得到曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）由圆心距d =()()2221212r r d r r +>>-可得两圆相交. 【详解】（Ⅰ）圆1C 的参数方程为222x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩，(α为参数)，可得222x cos y sin αα=⎧⎨-=⎩，平方相加转换为直角坐标方程为：()2224x y +-=．由圆2C 的极坐标方程4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭可得2=2cos 2sin ρρθρθ-转换为直角坐标方程为：2222x y x y +=-，即：()()22112x y -++=（Ⅰ）由（Ⅰ）知圆1C 的的半径1=2r ，圆心坐标为()0,2．圆2C 的的半径2r 圆心坐标为()1,1-则圆心距d ==()()2221212610r r d r r +=+>=>-所以，圆1C 与圆2C 相交．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．（2020·河北承德第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2. 【分析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设N α，sinα），αⅠ[0，2π）．先求出点P 到直线l的距离d =再求最大值. 【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设Nα，sinα），αⅠ[0，2π）．点M的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l的距离d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l．【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．（2019·山东高考模拟（文））已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -. （1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}x x -<<（2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8Ⅰ2228x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++，所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<. （2）因为0a >，0b >，0c >，所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当()() 0a x xb -+≥等号成立；因为()f x 的最小值为1，所以1a bc ++=，所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立所以()22222212223a b c ab ac bc a b c =+++++≤++，所以22213a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．7．（2019·湖南长郡中学高三月考（理））已知定义在R 上的函数()*2f x x m x m N =--∈，，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,10,13f f αβαβ∈∈+=，，，求证：4118αβ+≥.【答案】（1）1m =；（2）见解析. 【分析】(1)由题得24x m x --<恒成立，即|2m|＜4即得m 的值.(2)由题得12αβ+=，再利用基本不等式求()41412αβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭的最小值，即不等式得证.【详解】（1）Ⅰ222x m x x m x m --≤--=,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又Ⅰ*m N ∈，Ⅰ1m =.（2）Ⅰ()()0,10,1αβ∈∈，，.Ⅰ()()22223f f αβαβ+=-+-=，即12αβ+=，Ⅰ()414142251518βααβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即13α=，16β=时取等号，故4118αβ+≥. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．（2018·全国衡水中学高考模拟（理））选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =11x x x -+++. (1)求关于x 的不等式()6f x <的解集； (2) 0,0x R x ∀∈∃>,使得200()(0)af x x a x ≥+>成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) (2,2)-(2)【分析】（1）根据分类讨论的方法将绝对值不等式转化为不等式组求解．（2）由题意将问题转化为()20min0min a f x x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭．由（1）可得()min 2f x =，然后根据基本不等式可得200min a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2≥，解不等式可得所求．【详解】(1)由题意得()1f x x =-+ 31210120131x x x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<<⎪++=⎨+≤<⎪⎪≥⎩，，，，，，，，不等式()6f x <可化为136x x ≤-⎧⎨-<⎩，，或1026x x -<<⎧⎨-+<⎩，，或0126x x ≤<⎧⎨+<⎩，，或136x x ≥⎧⎨<⎩，，解得22x -<<．所以不等式()6f x <的解集为()22-，． (2) 00x R x ∀∈∃>，，使得()200(0)af x x a x ≥+>成立，等价于()20min 0min a f x x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.由(1)知()min 2f x =，当00x >时，220000022a a a x x x x x +=++≥= 当且仅当2002ax x =，即当0x =所以2≥，解得a ≤又0a >，所以09a <≤．故实数a的取值范围为0⎛ ⎝⎦．【点睛】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．第 11 页共 11 页。

2020届新课标Ⅲ高考数学理科模拟试题有答案(Word版)

普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41izz =-（） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量13(,)2BA =uu v ,31(,),2BC =uu u v 则∠ABC=（） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（）(A) 各月的平均最低气温都在00C以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （）（A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）185+（B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π （11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

2020届河南省大联考高三阶段性测试(七)数学(理)试题(解析版)

2020届河南省大联考高三阶段性测试（七）数学（理）试题一、单选题1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B【解析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==；第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2．函数()()2cos ln1f x x x x =⋅+-在[1,1]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 【详解】因为()()2cos()ln()1f x x x x =-=-⋅-+)2cos ln1x x x ⋅+22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x=⋅=-+=-+-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos1ln(21)0f =⋅-<，排除A. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.3．已知集合20x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（） A ．{}0x x < B ．{}3x x <C ．{}23x x << D ．{}230x x x <<<或【答案】D 【解析】【详解】【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．因为{}02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}230A B x x x ⋂=<<<或． 4．若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】【详解】【命题意图】本题考查复数的运算．因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4．5．已知双曲线()2221016x y b b-=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（） A ．4 B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】【详解】【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 6．下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为0.5y t a =-+，则a =（）A ．2.2B ．4.2C ．6.2D ．6.4【答案】C 【解析】【详解】本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++==， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.74.27y ++++++==，所以4.20.54a =-⨯+，所以 6.2a =.7．若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．21B ．16C ．13D ．11【答案】B【解析】【详解】【命题意图】本题考查线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x y x -=⎧⎨=⎩解得()7,9A ．观察可知，当直线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．8．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（） A ．第10日 B ．第11日C ．第12日D ．第60日【答案】A 【解析】【详解】本题考查等差数列的性质以及数学文化. 依题意，可知良马第()*n n ∈N 日行程为()155********nan n =+-=+，同理，可得驽马第()*n n ∈N日行程为1022n b n =-，令()()1130002n n a a n b b n +++=，整理可得2506000n n +-=，所以10n =. 9．已知函数()()23sin cos 12sin 2f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 3【答案】B 【解析】【详解】【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质．由题可知()13sin 2cos2sin 2223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误．函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确．函数()f x 的最大值为1，故D 错误．10．已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ⋅的取值范围是（） A ．[]4,4- B ．[]8,9-C ．[]4,8-D ．[]0,12【答案】C 【解析】【详解】本题考查平面向量的数量积.以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+，所以()[]214,8BC BA x ⋅=+∈-.11．已知点P 为抛物线()2:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值范围是（）A ．330,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ B ．33⎡⎢⎣⎦ C ．2222⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦D ．2,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】【详解】本题考查直线与抛物线的综合问题.设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然00y ≠，由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y p y OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得020023263OM y k y p y ppy p ==++.当00y >时，2OM k ≤=，当00y <时，00222OM k y p p y =-≥=---，故0,22OM k ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦. 12．若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．42,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【详解】本题考查利用导数研究函数极值.由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xx a e +=.函数()f x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2x x a e +=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x xy e +=的图象在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个交点.令()1ln x x g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=.令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =.所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在()1,e 上为减函数，所以()()max 11eg x g ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e 2e e g =，所以212e a e e <<，所以e 11e 2e a <<.二、填空题13．若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.【答案】【解析】【详解】本题考查圆台的几何特征.设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 6R r h π-=，即2h =h =14．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________. 【答案】1172【解析】【详解】本题考查概率的计算.甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⋅⎝. 15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则20192020a a +=_________.【答案】4或0 【解析】【详解】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质.设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+.若120n n a a +++=，则1q =-，此时()121n n a -=⨯-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以20192020224a a +=+=或者20192020220a a +=-=.16．已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则Rr的值为________. 【答案】23+ 【解析】【详解】本题考查空间几何体与球的相切问题.如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O .取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE .可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上.因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =.又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =.因为233323a a BE =⋅=，AB a ，所以3sin 3BAE ∠=.所以13AO R =，23AO r =.又1212AO AO O O =+，所以33r r R R ++=，所以3142323231R r ++===+-.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）若3a =2c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）23【解析】【详解】（1）由3cos sin 3b a C C ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭，及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又()sin sin B A C =+，所以3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C +=+，即3cos sin sin sin A C A C =. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠. 所以tan 3A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=.由余弦定理得22221412cos 224b c a b A bc b+-+-===. 所以2280b b --=. 所以4b =.所以ABC 的面积113sin 422322S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.（1）求证：//CM 平面PAD ；（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒. 【解析】【详解】（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM . 则12PN PM NA MB ==，所以MN AB 且13MN AB =. 又DC AB ∥且13DC AB =, 所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面ABCD .所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C .所以2122,,3333CM CB BM CB BP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,0,0.0y m AB x y z m AP ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩取1x =，得()1,0,1m =. 所以2cos ,CM m CM m CM m⋅〈〉==所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°. 19．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．【答案】（1）见解析（2）需要，见解析【解析】（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；（2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250, 若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-；若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且13AFO π∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==，1AF a ==，13AFO π∠=，16OAF π∠=，1122a AF OF ∴===，b ∴==因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=，且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，1211k k k =-，1212k k k k∴=+，1212=，∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()()(()2212122130kk x x k m x x m -+-++-+=，化简得((23m m -=，3m ≠，(3m ∴=-，m ∴=+，直线:3MN y kx =++MN 过定点3⎛- ⎝. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>.（1）证明：函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<，则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；（2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.【答案】（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=，所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为232132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得2340233t --=，483392ME MF -∴⋅==，因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.【答案】（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案

（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
机密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试

2020届河南省大联考高三阶段性测试(七)数学(理)试题解析

2020届河南省大联考高三阶段性测试（七）数学（理）试题一、单选题1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．128答案：B列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 解：第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==；第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 点评：本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2．函数()()2cos ln1f x x x x =⋅+-在[1,1]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：B由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 解：因为()()2cos()ln()1f x x x x =-=-⋅-+)2cos ln1x x x ⋅+22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x=⋅=-+=-+-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos1ln(21)0f =⋅<，排除A. 故选：B. 点评：本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.3．已知集合20x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（） A ．{}0x x < B ．{}3x x <C ．{}23x x << D ．{}230x x x <<<或答案：D 解：【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．因为{}02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}230A B x x x ⋂=<<<或． 4．若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：B 解：【命题意图】本题考查复数的运算．因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4．5．已知双曲线()2221016x y b b-=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（） A ．4 B ．5C ．8D ．10答案：D 解：【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 6．下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为0.5y t a =-+，则a =（）A ．2.2B ．4.2C ．6.2D ．6.4答案：C 解：本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++==， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.74.27y ++++++==，所以4.20.54a =-⨯+，所以 6.2a =.7．若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．21B ．16C ．13D ．11答案：B解：【命题意图】本题考查线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x y x -=⎧⎨=⎩解得()7,9A ．观察可知，当直线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．8．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（） A ．第10日 B ．第11日C ．第12日D ．第60日答案：A 解：本题考查等差数列的性质以及数学文化. 依题意，可知良马第()*n n ∈N 日行程为()155********nan n =+-=+，同理，可得驽马第()*n n ∈N日行程为1022n b n =-，令()()1130002n n a a n b b n +++=，整理可得2506000n n +-=，所以10n =. 9．已知函数())23sin cos 12sin f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 3答案：B 解：【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质．由题可知()13sin 2cos2sin 2223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误．函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确．函数()f x 的最大值为1，故D 错误．10．已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ⋅的取值范围是（） A ．[]4,4- B ．[]8,9-C ．[]4,8-D ．[]0,12答案：C 解：本题考查平面向量的数量积.以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+，所以()[]214,8BC BA x ⋅=+∈-.11．已知点P 为抛物线()2:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值范围是（）A ．330,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ B ．33⎡⎢⎣⎦ C ．220,22⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦D ．22⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：C 解：本题考查直线与抛物线的综合问题.设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然00y ≠，由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y p y OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得020023263OM y k y p y ppy p ==++.当00y >时，2OM k ≤=，当00y <时，00222OM k y p p y =-≥=---，故0,22OM k ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦. 12．若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．42,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D 解：本题考查利用导数研究函数极值.由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xxa e+=.函数()f x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2x x a e +=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x xy e +=的图象在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个交点.令()1ln x x g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=.令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =.所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在()1,e 上为减函数，所以()()max 11eg x g ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e 2e e g =，所以212e a e e <<，所以e 11e 2e a <<.二、填空题13．若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.答案：解：本题考查圆台的几何特征.设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 6R r h π-=，即23h =，所以h =14．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________. 答案：1172解：本题考查概率的计算.甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⋅⎝. 15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则20192020a a +=_________.答案：4或0 解：本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质.设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+.若120n n a a +++=，则1q =-，此时()121n n a -=⨯-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以20192020224a a +=+=或者20192020220a a +=-=.16．已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则Rr的值为________. 答案：23+ 解：本题考查空间几何体与球的相切问题.如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O .取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE .可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上.因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =.又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =.因为233323a aBE =⋅=，AB a ，所以3sin 3BAE ∠=.所以13AO R =，23AO r =.又1212AO AO O O =+，所以33r r R R ++=，所以314232331R r ++===+-.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）若23a =2c =，求ABC 的面积. 答案：（1）3π；（2）23解：（1）由3cos sin 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又()sin sin B A C =+，所以3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C +=+，即3cos sin sin sin A C A C =. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠. 所以tan 3A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=.由余弦定理得22221412cos 224b c a b A bc b+-+-===. 所以2280b b --=. 所以4b =.所以ABC 的面积113sin 4223222S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.（1）求证：//CM 平面PAD ；（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角. 答案：（1）证明见解析；（2）45︒. 解：（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM .则12PN PM NA MB ==，所以MNAB 且13MN AB =. 又DC AB ∥且13DC AB =, 所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面ABCD .所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C .所以2122,,3333CM CB BM CB BP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,0,0.0y m AB x y z m AP ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩取1x =，得()1,0,1m =. 所以2cos ,2CM m CM m CM m⋅〈〉==，所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°.19．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．答案：（1）见解析（2）需要，见解析（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；（2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 解：（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250, 若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-；若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 点评：本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且13AFO π∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点. 答案：（1）22143x y +=；（2）见解析. （1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 解：（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==，1AF a ==，13AFO π∠=，16OAF π∠=，1122a AF OF ∴===，b ∴==因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=，且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+， 1211k k k =-，1212k k kk ∴=+，1212=，∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()()(()2212122130kk x x k m x x m -+-++-+=，化简得((23m m -=，3m ≠，(3m ∴=-，m ∴=+，直线:MN y kx =+MN 过定点3⎛- ⎝. 点评：本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 答案：（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 解：（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x a f x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<，则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 点评：本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；（2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.答案：（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=，所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）由（1）得MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为232132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得234023t -=，483392ME MF -∴⋅==，因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 点评：本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.答案：（1）[1,)+∞；（2）49．（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值．解：（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49．点评：本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第七卷(5页)

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第七卷3月一模精选基础卷（第7卷）1.已知{}1{||42x x A x y B x +===<，则A B =I （）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．RD ．∅2.已知复数122i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为（）A ．1B ．12C ．D ．12-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知151015192a a a a a ---+=，则19S 的值为（） A ．38B ．-19C ．-38D ．194.设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2-B ．12C ．4-D ．145.函数()()sin 0,0,02y A x A ωϕωϕπ=+>><<一个周期的图像如图所示，则ϕ=（）A ．4π B ．34π C ．54π D ．4π或54π6.五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（） A ．360B ．240C ．150D ．907.l 、m 、n 表示空间中三条不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（） A ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n B ．若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβC ．若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，则αβ⊥8.设e 是椭圆2218x yk+=的离心率，且1e ,12⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（）A ．(0,6)B ．32(0,6),3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U C ．16(0,3),3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．(0,2)9.已知向量(1,1)a =r ，||b =r (2)2a b a +⋅=rr r ，则||a b -=r r __________.10.已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为__________.11.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且向量()2,cos n a c C =-r 与向量(),cos m b B =r共线．（1）求角B 的大小；（2）若2BD DC =u u u ru u u r，且1CD =，AD =ABC 的面积．12.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0,R θθρ=∈. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于不同的两点12,P P ，指出0θ的范围，并求1211||||OP OP +的取值范围.14.已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23+的取值范围.。

2020年高三理科数学考前大题强化精练卷5份合集附答案解析

2020年高三理科数学考前大题强化精练汇集一卷一17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．18．互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、(注：图中(1,i i =2，7)(单位：小时)代表分组为[1,i -i 的情况)()1求饼图中a 的值；()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)()3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由19．如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，⊥DAF＝⊥ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，SC SD==，B，E分别为AF，SA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面SCF（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值20．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为24y=-上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CDx y=，点P，Q在直线l：1()1当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD⊥时，点P，Q在什么位置时，PQ取得最小值？21．已知函数()1a f x alnx a R x+=+∈，．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0随着a 的增大而增大．22．已知曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()1求曲线E 的直角坐标方程；()2设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围23．()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．（答案解析）17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．解：()41133n n S a =-，可得1114133a S a ==-，解得11a =， 2n ≥时，1141413333n n n n n a S S a a --=-=--+，即有114n n a a -=，故数列{}n a 是以11a =为首项，以14为公比的等比数列，则11()4n n a -=；()2证明：2111221()22n n n b log a log n +===， ()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 12231111111111142231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ()()1122141n n n n b b n n +==⋅++，则1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=． 18．互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、(注：图中(1,i i =2，7)(单位：小时)代表分组为[1,i -i 的情况)()1求饼图中a 的值；()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)()3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由解：()1由饼图得：()16%9%27%12%14%3%29%a =-+++++=．()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．()3Q 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．如图，已知在四棱锥S ﹣AFCD 中，平面SCD ⊥平面AFCD ，⊥DAF ＝⊥ADC ＝90°，AD ＝1，AF ＝2DC ＝4，SC SD ==，B ，E 分别为AF ，SA 的中点．（1）求证：平面BDE ⊥平面SCF（2）求二面角A ﹣SC ﹣B 的余弦值（1）证明：⊥⊥DAF ＝⊥ADC ＝90°，⊥DC ⊥AF ，又B 为AF 的中点，⊥四边形BFCD 是平行四边形，⊥CF ⊥BD ，⊥BD ⊥平面BDE ，CF ⊥平面BDE ，⊥CF ⊥平面BDE ，⊥B ，E 分别是AF ，SA 的中点，⊥SF ⊥BE ，⊥BE ⊥平面BDE ，SF ⊥平面BDE ，⊥SF ⊥平面BDE ，又CF ∩SF ＝F ，⊥平面BDE ⊥平面SCF ．（2）取CD 的中点O ，连结SO ，⊥⊥SCD 是等腰三角形，O 是CD 中点，⊥SO ⊥CD ，又平面SCD ⊥平面AFCD ，平面SCD ∩平面AFCD ＝CD ，⊥SO ⊥平面AFCD ，取AB 的中点H ，连结OH ，由题设知四边形ABCD 是矩形，⊥OH ⊥CD ，SO ⊥OH ，以O 为原点，OH 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，﹣1，0），B （1，1，0），C （0，1，0），S （0，0，1），⊥CA =u u u r （1，﹣2，0），CS =u u u r （0，﹣1，1），CB u u u r =（1，0，0），设平面ASC 的法向量m =u r（x ，y ，z ），则200m CA x y m CS y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取y ＝1，得m =u r （2，1，1），设平面BSC 的法向量n =r （x ，y ，z ），则00n CB x n CS y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取y ＝1，得n =r （0，1，1）， ⊥cos m n m n m n⋅===⋅u r r u r r u r r ＜，＞由图知二面角A ﹣SC ﹣B 的平面角为锐角，⊥二面角A ﹣SC ﹣B的余弦值为3．20．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？解：()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，则2114x y =，2224x y =，抛物线的方程可变形为214y x =，则'2xy =，∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x x k y ===，∴直线PA 的方程()1112x y y x x -=-，化简()112x x y y =+，同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩，∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{01x y ==是方程的解，∴直线AB 经过定点()0,1．()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由()1可知2PAB x k =，2QCD x k =，AB CD ⊥Q ，14P QAB CD xx k k ∴⋅==-，即4P Q x x =-，P x ∴，Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q Px x =-，44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号，即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值421．已知函数()1a f x alnx a R x +=+∈，．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0随着a 的增大而增大．解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）；()()2211'ax a a a f x x x x -++=-=；⊥当a ＝0时，()21'0f x x =-＜，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥当a ＞0时，()21'a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=，而10a a+＞；则f （x ）在10a a +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增；⊥当﹣1≤a ＜0时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥当a ＜﹣1时，f （x ）在10a a +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；综上，当a ＜﹣1时，f （x ）在10a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；当﹣1≤a ≤0时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，f （x ）在10a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增；（2）由（1）得当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥f （x ）至多有一个零点；又﹣1＜a ＜0； ⊥11a -＞，f （1）＝a +1＞0，()11f a a ln a a ⎛⎫⎡⎤-=---- ⎪⎣⎦⎝⎭；令g （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，则()11'1x g x x x -=-=；⊥g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；g （x ）≥g （1）＝0，即x ﹣1﹣lnx ≥0，当且仅当x ＝1时取等号； ⊥()110f a a ln a a ⎛⎫⎡⎤-=---- ⎪⎣⎦⎝⎭＜；⊥f （x ）存在唯一得零点011x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，；由f （x 0）＝0，得0010a alnx x ++=，即00011a lnx x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⊥x 0⊥（1，+∞），0010lnx x +＞； ⊥00011x a lnx x -=+，即a 是x 0的函数；设()11x h x lnx x -=+，x ⊥（1，+∞），则()221'01()lnx h x x lnx x+=+＞； ⊥h （x ）为（1，+∞）上的增函数；⊥a 随0x 增大而增大，反之亦成立.⊥x 0随着a 的增大而增大．22．已知曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()1求曲线E 的直角坐标方程；()2设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围解：()1曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，转换为直角坐标方程为：22143x y +=． ()2设点A的坐标为()2cos αα，()B α，()2,2D cos α，所以；3232AB cos cos αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，所以矩形的周长的取值范围为10.⎡-+⎣23．()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．解：()1原不等式等价于()()x 22x 1x 23≤-⎧---+≥⎨⎩或()()1222123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪--++≥⎩或()()122123x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩，解得：x 2≤-或2x 0-<≤或2x 3≥，故原不等式的解集是][2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭； ()2证明：22b c 2bc +≥Q ，c 0>，abc 1=，()22a b c 2abc 2∴+≥=，同理()22b c a 2abc 2+≥=，()22c a b 2abc 2+≥=，又a ，b ，c 0>且不全相等，故上述三式至少有1个不取“=”，故()()()222a b c b c a c a b +++++222222a b a c b c b a c a c b =+++++()()()222222a b c b c a c a b 6=+++++>．考前大题强化二17．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）；（2）证明：当1x >时，()()f x g x <.22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C 经过点(1)2P π.（1）求圆C 的普通方程；（2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解析17．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=. （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为2n x -==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==，又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.解：（1）证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz .由题意知(0,A B D 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =u u u r u u u r，所以00331,4442Q x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭因为点M 为AD的中点，故M 又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，(0,0,2),0DA DA PQ =⋅=u u u r u u u r u u u r 所以DA PQ ⊥.（2）解：设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量由()00,1CM x y =--u u u u r，BM =u u u u r知)0000x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩取1y =-，得00y m x ⎛+=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是|||1|cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===即2003y x ⎛+= ⎝⎭.① 又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=u u u r u u u r，故()()0000,,0,00x y x y -⋅--= 即22002x y +=.②联立①②，解得000x y =⎧⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以tan ||BDC ∠== 又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξK ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+L ,且检验总次数12m ξξξξ=+++L ,()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =① 将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（），由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++）由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++=由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意；当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)，综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）；（2）证明：当1x >时，()()f x g x <.解：（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->,∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3 （2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln x x h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe-++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <. 22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C经过点(1)2P π.（1）求圆C 的普通方程；（2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解：（1）∵4C π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1，12P π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,1，∴ 圆C的半径为PC = 圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=.（2）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入圆C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-=，得()()221cos 1sin 3t t αα+++=，即()2210t t cos sin αα++-=，∴ ()12122,1t t cos sin t t αα+=-⋅+=-，∴12||MA MB AB t t +====- ∵0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，∴ 20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴||||MA MB ≤+<即弦长MA MB +的取值范围是⎡⎣.考前大题强化三17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++-. （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）把函数()y f x =图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =图像，若a =求使()0g x …成立的x 的取值集合.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=. （1）证明：2(2)[()]2f x g x =+；（2）当[1,2]x ∈时，不等式(2)()10f x ag x ++…恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈.（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值、最小值.20．已知数列{}n a 中，19a =，23a =，且*2(12cos)2sin ,()22n n n n a a n N ππ+=+-∈. （1）判断数列{}2n a 足否为等比数列，并说明理由；（2）若21211n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .‘21．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角C ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且AD =ABC ∆的周长.22．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈ (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.答案解析17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++-. （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）把函数()y f x =图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =图像，若a =求使()0g x …成立的x 的取值集合.解：（1）⊥()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++⊥min()22f x a =-+=，⊥4a =（2）⊥()()2sin(2)66g x f x x ππ=-=--由()0g x …知sin(2)6x π-， ⊥2222,363k x k k πππππ+-+∈Z 剟解得，5,412k x k k ππππ++∈Z 剟⊥满足()0g x …的x 取值的集合为5,412x k x k k ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=. （1）证明：2(2)[()]2f x g x =+；（2）当[1,2]x ∈时，不等式(2)()10f x ag x ++…恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）依题意1()()2x f x g x ++=⊥，又()f x 为偶函数，()g x 为奇函数⊥1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-=⊥ ⊥由⊥⊥得()22x x f x -=+，()22x x g x -=-⊥2222(2)22(22)2[()]2x x x x f x g x --=+=-+=+得证；（2）原不等式可化为2[()]()30g x ag x ++… ⊥当[1,2]x ∈时，3()()a g x g x -+…成立，其中315()[,]24g x ∈⊥当[1,2]x ∈时，min 3(())()g x g x +=当且仅当()g x =⊥a -…⊥a -….19．已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈. （1）求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值、最小值.解：（1）2()626()3a f x x ax x x '=-=- 当0a =时，2()60f x x '=…，⊥()f x 在R 上是单调增函数，故()f x 无极值. 当0a >，此时03a >，当0x <或3ax >时，()0f x '> 03ax <<时，()0f x '< ⊥(0)1()f x f ==极大值，3()()1327a a f x f ==-极小值当0a <时，03a<，当3a x <或0x >，()0f x '> 03ax <<，()0f x '< ⊥3()()1327a a f x f =-=极大值，()(0)1f x f ==极小值综上，当0a =时，()f x 无极值，当0a >时，()1f x =极大值，3()127a f x =-极小值，当0a <时，3()127a f x =-极大值，()1f x =极小值（2）若()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点由（1）知，0a >且()()03a f x f ==极小值即31027a -=，⊥3a =⊥32()231f x x x =-+又当[2,2]x ∈-时，(0)1()f x f ==极大值，()(1)0f x f ==极小值，⊥(2)5(0)1f f =>=， (2)27(1)0f f -=-<=故()f x 在[2,2]-上的最大值为(2)5f =，最小值为(2)27f -=-.20．已知数列{}n a 中，19a =，23a =，且*2(12cos)2sin ,()22n n n n a a n N ππ+=+-∈. （1）判断数列{}2n a 足否为等比数列，并说明理由；（2）若21211n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）{}2n a 是等比数列依题意知当n 为偶数时，23n n a a += ⊥2223n n a a +=，又230a =≠ ⊥数列{}2n a 为公比是3的等比数列（2）当n 为奇数时22n n a a +=-，所以数列{}21n a -是以19a =为首项，以2-为公差的等差数列⊥2192(1)211n a n n -=--=-+⊥11111()(211)(29)(29)(211)221129n n n n n b n n ===--+-+----⊥121111111()2977521129n n S b b b n n =+++=-+-++-------L L11111()292918418n n =--=----.21．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角C ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且AD =ABC ∆的周长.解：（1）⊥tan b a B =，⊥sin sin sin cos A BB B⋅=，又(0,)B π∈，⊥sin 0B >，⊥sin cos A B =又A 为钝角，⊥A π-为锐角，sin()sin()2A B ππ-=-⊥2A B ππ-=-即2A B π=+又32sin 2sin cos 2C B A =+，⊥32sin()2sin cos 2A B B A +=+⊥32(sin cos cos sin )2sin cos 2A B A B B A +=+，⊥3sin cos 4A B =⊥2A B π=+，⊥B 为锐角，故3sin()cos 24B B π+=，⊥23cos 4B =，cos B =⊥6B π=，23A π=，⊥6C π=（2）⊥6B C π==，⊥b c =，又23A π=，由余弦定理知22222cos 3a b c bc A b =+-=，⊥a ，⊥2BD DC =u u u r u u u r法一：⊥1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r⊥22222121441||()||||||3393AD AB AC AB AB AC AC AB =+=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r⊥22||3||6AB AD ==u u u r u u u r 即|c AD ==u u u r⊥a =⊥ABC ∆的周长为法二：⊥6B C π==，⊥b c =，又23A π=，由余弦定理得 22222cos 3a b c bc A b =+-=，⊥a ⊥在ABD ∆中，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅⊥22222()2()33c a c a =+-⋅联立⊥⊥得a =，b c ==故ABC ∆的周长为22．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.解：（1）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =++=++'+（⊥）0a ≥时，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <；当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >，所以f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增；（⊥）0a <时若12a e=-，则1()(1)()x f x x e e -=-'+，所以f (x )在(,)-∞+∞单调递增；②若12a e>-，则ln(2)1a -<-，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞时，'()0f x >，(ln(2),1)x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减；③若12a e<-，则ln(2)1a ->-，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞，'()0f x >， (1,ln(2))x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；综上：0a ≥时，f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增；12a e=-时，f (x )在(,)-∞+∞单调递增； 12a e >-时，f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减； 12a e <-时，f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；（2）（⊥）当a >0,则由（1）知f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，又1(1)0e f -=-<，(0)0f a =>，取b 满足1b <-，且2ln 2ab -<，则223(2)(2)(1)()022a fb b a b a b b ->-+-=->，所以f (x )有两个零点（⊥）当a =0,则()xf x xe =，所以f (x )只有一个零点（⊥）当a <0,①若12a e ≥-,则由（1）知，f (x )在(1,)-+∞单调递增．又当1x ≤-时，()0f x <，故f (x )不存在两个零点 ②12a e<-，则由（1）知，f (x )在(1,ln(2))a --单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增，又当1x ≤-，f (x )<0,故f (x )不存在两个零点综上，a 的取值范围为(0,)+∞.考前强化练四17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πb 2acos C 3⎛⎫=-⎪⎝⎭． ()1求A ； ()2若b =，且ABC V面积a 的值．18．在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围.20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域⊥）设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角42EAF ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域⊥）和休闲区（区域⊥），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？21．已知函数4()f x x m m x=+-+.(1)当0m =时求函数()f x 的最小值；(2)若函数()5f x ≤在[1,4]x ∈上恒成立求实数m 的取值范围.22．已知函数()()()32111323a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数.答案解析17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πb 2acos C 3⎛⎫=-⎪⎝⎭． ()1求A ； ()2若b =，且ABC V面积a 的值．解：（1）⊥23b cos C a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，⊥b=2a （cosCcosπ3+sinCsin π3），可得：，由正弦定理可得：，可得：sin （A+C ），可得：sinA ，可得： ⊥A⊥（0，π），⊥A=π6（2）⊥b =，且⊥ABC面积12bcsinA=12⨯12， ⊥解得：c=2，⊥由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2-2bccosA=48+4-2×，解得：18．在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.解：（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v。

2020届高考冲刺数学(理)“小题精练”(7)含详细解答

,k 6
+ ，k 3
z
B. k
,k
，k z
3
3
C. k
,k
，k z
3
6
D. k
,k
，k z
6
6
2
2
5. 双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一个焦点为 F (c, 0) ，若 a 、 b 、 c 成等比数列，则该双
曲线的离率 e （）
A. 1 3 2
B. 1 5 2
C. 5 1 2
D. 2 1
PF 5 ，则 △MPF 的面积为 _____．
【答案】 10
【解析】由抛物线的定义可知 |PF|+|PM|=5, 并且点 P 到准线的距离
5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，
重 2 斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（
）
A. 6 斤
B. 7 斤
C. 9 斤
D. 15 斤
4. 函数 y 2sin( x )( 0,0
区间为（
）
) 的部分图象如图所示．则函数 f x 的单调递增
轾
A.
犏犏臌k -
2
12. 已知函数 f (x)
log5(1 x) ( x 2)2 2
( x 1) ，则关于 x 的方程 f
( x 1)
x
1 x
2
a 的实根个
数不可能为（
）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
【答案】 A
【解析】∵函数 f x
log 5 1 x , x 1

2020届高三理科数学大题精练 14套含答案

没有，请说明理由
(2) 当 AB ⊥ CD 时，点 P，Q 在什么位置时， PQ 取得最小值？解： (1) 设 A( x1, y1 ) ， B ( x2, y2 ) ， P ( x0, −1) ，
则 x12 = 4 y1 ， x22 = 4 y2 ，
10 读万卷书行万里路
抛物线的方程可变形为 y = 1 x2 ，则 y' = x ，
uuur
∴ CA = （1，﹣2，0）， CS = （0，﹣1，1）， CB = （1，0，0），
ur 设平面 ASC 的法向量 m = （x，y，z），
则
mv mv
⋅ ⋅
uuuv CuuAuv CS
= =
x −
− y
2 +
y z
= =
0 0
，取
y＝1，得
ur m
=
（2，1，1），
r 设平面 BSC 的法向量 n = （x，y，z），
解： (1) 由饼图得： a = 1− (6% + 9% + 27% +12% +14% + 3%) = 29% ． (2) 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平
均使用手机的平均时间在第 4 组．
7 读万卷书行万里路
旗开得胜
(3)Q样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机
旗开得胜
20．过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已
知抛物线为 x2 = 4 y ，点 P，Q 在直线 l：y = −1上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，
CD

2020高考数学(理)全真模拟卷7(解析版)

备战2020高考全真模拟卷7数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}(,)2M x y x y =+=,{}(,)2N x y x y =-=,则集合M N =I （） A ．{}2,0 B ．()2,0 C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】集合{(,)|2}M x y x y =+=，{(,)|2}N x y x y =-=，则集合{(M N x =I ，2)|}{(2x y y x x y +=⎧=⎨-=⎩，{}2)|}(2,0)0x y y =⎧=⎨=⎩．故选：D ．2．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（）．A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】B【解析】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴22112||222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ． 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。

根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0．67x ＋54．9。

2020年高考数学(理数)大题专项练习立体几何9题(含答案)

2020年高考数学(理数)大题专项练习立体几何9题1.如系，--减性M3匚中.班ffeAAtr 底面Ain二足总K为二打正二m唯.已知出0 4足H方rX十就.1口东一,麻用坨AC旧的大小；㈠求冲击宜税M 5承’的距离.门)直携4A 上是否。

花点。

.使DC/平面感a C?若存在.清确定点心的性黄土若不存在谙意可用由，2.如图,在矩形期⑶,NH =二】.廿为C。

上的点，以LW为石痕把折起，使点不到达点P 的位置，耳平面乩甘尸i平面ABCD.连接PB,PC、羔N为网的中点.巾CN#平面AMP.(1 )求线段Gf的《事(II )求平向同尸与平曲BCP所成锐二面角的余荥值，3.如图.在四棱如S - AHCD中.侧面30)为惋角三角形艮垂百于底面钻CD,8 =即小V是口的中点，由中Bg上A配= )*.4B=4D{1 )求证■平胤SC”⑵若骏苑与底面TBCD听成的角为60,求平面M3D 与平面SAC所成的锐二面角的余弦值.4.用国.四幢惟F ■用方匚。

中.忸1植FJJ.面目BCD，AB = AC-4M在找蜀HD 上, IL2AM = MD > X 为PE 的中题.AD/JSC. MN"面PCD-U>求9c的长।门口若为1=2,求：面希M—广材一办的余帮富，B5.如图T在二棹抨£8。

一乩80中.上HC8 =/aCB = 90，匕工4(? = 60, 0,芯分金二1 4」.1 卜II 片「：口："」・Il JJ = .4('=81，([)求证：4£"平面SC；D；门口求T面BC0与平而17?「所成错.面角的余强囿6.刎四-在四桎箫P A3+33正面是进枪-2的正川乱尸月=FH= /IT. E为PA中心*"?-自™六门£f |干扣内。

.，”在J乂班M纵L. I H"九N『M J- li. IL 卜H I.( “ 卜叫: 以/■■- f ilir『HLf；i力此点汇1找苣件「i.*若_曲曲砰一”\一只为〜一*求HN m氏度•第2页共14页7.8.如用，长方体阻上口一小瓦a仇的侧面匕他马是正方形. (X)证明:W平面孙i(2)若,蚯=2, A£=4t求二面用用的余弦值9.加图.在风冏体力/。

2020年高考数学(理)大题分解专题07选考内容(含答案)

即 ( x a)( x 1) 0 ，显然恒成立；所以 a 1 满足题意；
2( x a), a x 1
当 a 1 时， f ( x)
，
2( x a)(1 x), x a
因为 a x 1时， f (x) 0 显然不能成立，所以 a 1 不满足题意；
综上， a 的取值范围是 [1, ) .
2. （ 2020 甘肃省天水市一中高三一轮复习第一次模拟）已知函数
【肢解 1】当 a 2 时，求不等式 f ( x) 2 的解集；
【解析】（ 1）①当 x 2 时， f (x) x 2 2( x 2) x 6 2 ，解得 x 4 ，
②当 2 x 2 时， f ( x)
x 2 2( x 2)
3x 2 2 ，解得 4 x 2 ， 3
③当 x 2 时， f ( x) x 2 2( x 2) x 6 2 解得 x 2 ，
（ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 AB 的值 .
【肢解 1】求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程 . 【肢解 2】设直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 AB 的值 .
【肢解 1】求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程 .
3
【解析】由 x 3y 得 y
x ，所以 l 的极坐标方程为
综上知，不等式 f ( x) 2 的解集为 (
4 , 4) U ( ,
).
3Hale Waihona Puke 【肢解 2】当 x [ 2, 2] 时不等式 f (x) x 恒成立，求 a 的取值范围 .
【解析】解法 1：当 x [ 2, 2] 时， f (x) 2 x a(x 2) ( a 1)x 2(1 a) ，
设 g( x) f (x) x ，则 x [ 2, 2] ， g ( x) (a 2) x 2(1 a) 0 恒成立，

2020年高考模拟试卷7(理科)

阿拉宇试卷
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
阿拉宇试卷
密★启用前
2020 年高考模拟试卷 7【新课标】
数学（理科）命题人：张宇第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
1
1.已知全集 U＝R，A＝{x|－4<x< }，B＝{x|x≤－3)，C＝{x|x≥ }，则集合 C＝
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980～1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生。 A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为 5 个劳动小组，该校共有 A，B，C，D 四个区域要清扫，其中 A，B，C 三个区域各安排一个小组，D 区域安排 2 个小组，则不同的安排方法共有
所成锐二面角的余弦值。
19.(12 分)
已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝
1 2n
(n∈N*)。
(1)设 bn＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2n，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)记 T2n 为{an}的前 2n 项的和，求 T2n。
阿拉宇试卷
20.(12 分)
ln x
已知函数 f(x)＝ x a 2 ，其中 a 为常数。
阿拉宇试卷
面，当θ＝45°时，这个椭圆的离心率为
1
2
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2020-2021学年最新高考总复习数学（理）高三第七次模拟试题及答案解析

2020-2021学年最新⾼考总复习数学（理）⾼三第七次模拟试题及答案解析最新级⾼三第七次模拟考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试⽤时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．注意事项：１. 第Ⅰ卷每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的⽆效．２. 第Ⅱ卷必须⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使⽤涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案⽆效．第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合要求的．1、已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B =I ( ) A ．{|01}x x << B ．{|0}x x >C ．{|1}x x >D ．{|1}x x <2. 复数=-+i i123（） A ．i 2521+ B ．i 2521- C ．i 2521+- D ．i 521--3. 某⼏何体的三视图如图所⽰，其俯视图是由⼀个半圆与其直径组成的图形，则此⼏何体的体积是（） A ．20π3 B ．6πC ．10π3 D ．16π3 4.设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（）①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到⼀个偶函数的图象；④()f x 的最⼩正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B .②④ C. ①③④D .③5. 甲⼄两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所⽰，1x ，2x 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A ．1212,x x s s >< B ． 1212,x x s s == C ．1212,x x s s =6.函数cos ln xy x=的图象是（） 3275538712455698210⼄甲7.若在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最⼩值时的常数项为（） A ．1352- B ． 135- C ．1352 D ．1358．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ?，若边1MF 的中点在双曲线上，则此双曲线的离⼼率是 ( )A ．423+ B.31- C.312+ D.31+ 9.已知实数y x ,满⾜??≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（）A ． ]31,1[- B.)1,21[-C.]31,21[-D. ),21[+∞- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()() 0.30.333a f =?，()()log 3log 3b f ππ=?，3311log log 99c f ?=，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是（）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第II 卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题5分，共25分． 11．若等⽐数列}{n a 的⾸项是32，且dx x a )21(414+?=，则公⽐等于． 12．执⾏右边的程序框图，输出的结果是．13．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o，点E 为线段CD 上的任意⼀点，则AE BD ?u u u r u u u r的最⼤值为．14. 已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(1x f -,且有，8)()(11=?--b f a f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最⼩值为．15. 给出下列四个命题：①命题“2,13x R x x ?∈+>”的否定是“2,13x R x x ?∈+≤”；② “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；④关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是.三、解答题：本⼤题共6⼩题，共75分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤． 16（本题满分12分）已知函数n m x f ?=)(,且(sin cos ,3cos )m x x x ωωω=+u r, (cos sin ,2sin )n x x x ωωω=-r ,其中0>ω,若函数)(x f 相邻两对称轴的距离⼤于等于2π.（1）求ω的取值范围；（2）在锐⾓三⾓形ABC ?中，c b a ,,分别是⾓C B A ,,的对边，当ω最⼤时，1)(=A f ，且3=a ，求b +c 的取值范围．17（本题满分12分）为增强市民的节能环保意识,某市⾯向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直⽅图如图所⽰,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直⽅图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的⼈数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采⽤分层抽样的⽅法抽取20名参加中⼼⼴场的宣传活动,再从这20名中采⽤简单随机抽样⽅法选取3名志愿者担任主要负责⼈.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的⼈数为X ,求X 的分布列及数学期望. 18（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底⾯ABCD 是菱形，ο60=∠ABC ，2==PC AB ,2==PD PA ．（I ）求证：ABCD PAD 平⾯平⾯⊥；（II ）求⼆⾯⾓A PC B --的余弦值．19. （本题满分12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，111()12n n n f n a a a n=++++++…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<． 20（本题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离⼼率为21，长轴12A A ,短轴12B B ,四边形1122A B A B 的⾯积为43．（1）求椭圆的⽅程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于P Q 、,直线12,A P A Q M 与交于12AQ A P N 与交于．(i) 证明：MN x ⊥轴，并求直线MN 的⽅程；（ii ）证明：以MN 为直径的圆过右焦点F ．21（本题满分14分）已知函数()()ln 1x f x x +=．（1）当0x >时，求证： ()22f x x >+；（2）当10x x >-≠且时，()11kxf x x+<+恒成⽴，求实数k 的值．三、解答题16、解析：（1）x x x x n m x f ωωωωcos sin 32sin cos)(22+-=?= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x ……………………2分22π≥T Θπ≥∴T 10≤<∴ω…………………………4分（2）当ω最⼤时，即1=ω，此时)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分1)(=A f Θ1)62sin(2=+∴πA 3π=∴A …………………………7分由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πC c B b A a B b sin 2=∴,C c sin 2=B C b c sin 2sin 2+=+∴B C B B sin 3cos 3sin 2)32sin(2+=+-=π)6sin(32π+=B …………………………9分B在锐⾓三⾓形ABC ?中,<<<<2020ππC B 即<-<<<232020πππB B 得26ππ<<B …………10分3263πππ<+<∴B 1)6sin(23≤+<∴πB 32)6sin(323≤+<∴πB c b +∴的取值范围为]32,3(…………………………12分17、解:(I)∵⼩矩形的⾯积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x ………………2分500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的⼈数为150500506.0=??(⼈). …………4分(II)⽤分层抽样的⽅法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的⼈有12名, “年龄不低于35岁”的⼈有8名. ……………………6分故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , ………………10分故X 所以5739529512850?+?+?+?=EX 18、解：（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO 0,60PA PD ABCD ABC =∠=为菱形， ,ABC ACD ??都是正三⾓形,PO AD CO AD ⊥⊥------------2分 POC ∠是⼆⾯⾓P AD C --的平⾯⾓21,PA PD AD AC CD PO =====∴=Q 222PC PO OC PO OC =+∴⊥，090AOD ∠= 所以，PAD ABCD ⊥⾯平⾯-------------------5分（2）建系 {,,}OC OD OP u u u r u u u r u u u r,所以 ()())()0,1,0,0,1,0,,0,0,1A D C P - ()()(0,2,0,1,0CP BC AD CA ====-u u u r u u u r u u u r u u u r设平⾯APC 的法向量为()1,,n x y z =u r()1301,3,330x z n x y ?-+=??=-?--=??u r……………………8分设平⾯BPC 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2301,0,320x z n y ?-+=??=?=??u ur ,-------------------------------------------10分设⼆⾯⾓A PC B --的⼤⼩为θ，1227cos |cos ,|27n n θ=<>==u r u u r -----12分（3）111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++ (111)1n n n n<+++=1442443项………………………………9分由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++ 故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分综上可知7()112f n ≤<……………………12分 20、解（1）22133,24b b e a =∴==Q 即11224323A B A B S ab ==------------------------------------2分2,3a b ==，椭圆⽅程为22143x y +=----------------------3分同理可得:4N x =,MN x ⊥轴，直线MN 的⽅程为4x =………………10分 (ii)1212664, ,4,22y y M N x x ?++()()()()121212123636992233y y y y FM FN x x my my ?=+=+++++u u u u r u u u r()212221212222229363634999639393434369909182736y y m m m m y y m y y m m m m m m -?+=+=+--+++++++?=-=--++………………12分 FM FN ⊥,以MN 为直径的圆过定点F .……………………13分21、解：（1）0x >， ()()22ln 122x f x x x x >?+>++--------------1分()()()()()()222214ln 1'021212x x g x x g x x x x x x =+-∴=-=>+++++-------3分 ()g x 递增，所以()()00g x g >=，所以()2ln 12xx x +>+-------------------4分（2）当10x -<<不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++->+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，因为110,011,11x x x -<<<+<∴>+ 若1212k k ≤≤即，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h <=()h x ↓，()()00h x h >=----------------------------------------------7分若21k >，存在()01,0x ∈-，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()0,0x x ∈，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h <=这与()()21ln 1x x x kx ++->⽭盾-------------9分当0x >不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++-<+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，10,11,011x x x >+>∴<<+若1212k k ≥≥即，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=，所以不等式成⽴---------------------------12分若21k <，存在()00,x ∈+∞，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()00,x x ∈，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h >=这与()()21ln 1x x x kx ++-<⽭盾综上所述：()()111110,;0,1212kx kx x f x k x f x k x x ++-<<<≥>2k =----------------------14分。

2020届高三数学(理)“大题精练”7

2020届高三数学（理）“大题精练”717．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 34a Bb A ==. （1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10S =，求ABC ∆的周长L .18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ====（1）证明：1BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的余弦值.19．已知函数()()ln f x x a x a R =-∈ （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）谈论函数()f x 的零点个数20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点(0,A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.21．心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛. （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin sin sin A B C 、、，记、、A B C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+22．选修4-4：坐标系与参数方程已知动点,P Q都在曲线2cos:{2sinx tCy t==（β为参数）上，对应参数分别为tα=与()202tααπ=<<，M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．23．设函数1()|(0) f x x x a aa=++-（1）证明：()2f x≥；（2）若(3)5f<，求a的取值范围．2020届高三数学（理）“大题精练”7（答案解析）17．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 34a Bb A ==. （1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10S =，求ABC ∆的周长L .解：解：（1）3cos sin 34a Bb A ==sin 4b A ∴=过C 作CD AB ⊥于D ，则由sin 4CD b A ==，cos 3BD a B ==∴在Rt BCD ∆中，5a BC ==（2）由面积公式得1141022S AB CD AB =⨯⨯=⨯⨯=得5AB =，又cos 3a B =，得3cos 5B =，由余弦定理得：b == ABC ∆的周长5510l =++=+18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，1AA AC CB AB ====（1）证明：1BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的余弦值.证明：证明：连接1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊂平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由1AA AC CB AB ====2AB =，即222AC BC AB += 所以AC BC ⊥又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,0)222C A D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、，()1222,0,2,,,0,0,2,222CA CD CE ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则0n CD ⋅=且10n CA ⋅=，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为()1,1,1n =--，同理可得平面1A CE 的一个法向量为()2,1,2m =-，则3cos ,3n m <>=所以二面角1D A C E --19．已知函数()()ln f x x a x a R =-∈ （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）谈论函数()f x 的零点个数解：（1）∵()()ln ,0,f x x a x x =-∈+∞，故()1a x afx x x'-=-=， ∵0a >∵()0,x a ∈时，()0f x '<，故()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 单调递增，所以，0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞ （2）由（1）知，当0a >时，()f x 在x a =处取最小值()()ln 1ln f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()1ln 0a a ->，()f x 在其定义域内无零点当a e =时，()1ln 0a a -=，()f x 在其定义域内恰有一个零点当a e >时，最小值()()1ln 0f a a a =-<，因为()110f =>，且()f x 在()0,a 单调递减，故函数()f x 在()0,a 上有一个零点，因为a e >，2a e a a >>，()2ln 0aaa a f eea e e a =-=->，又()f x 在(),a +∞上单调递增，故函数()f x 在(),a +∞上有一个零点，故()f x 在其定义域内有两个零点；当0a =时，()f x x =在定义域()0,∞+内无零点；当0a <时，令()0f x =，可得ln x a x =，分别画出y x =与ln y a x =，易得它们的图象有唯一交点，即此时()f x 在其定义域内恰有一个零点综上，0a e ≤<时，()f x 在其定义域内无零点；a e =或0a <时，()f x 在其定义域内恰有一个零点；a e >时，()f x 在其定义域内有两个零点；【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点(0,A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=，又因为椭圆C过点(P ，所以22421a b +=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x，则(0,AE x =-，(,D AD x =-，再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=.由于000x y ≠，故08D x x =-，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=.∵从而002QG x k y =-，故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵将∵代入椭圆C 方程，得()222200021664160nxy x x x y +-+-=∵再将∵代入∵，化简得：220020x x x x -+=解得0x x =，0y y =，即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.21．心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛. （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为13；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到12；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为14，求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin sin sin A B C 、、，记、、A B C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+解：（1）依题意，可知X 可取：0,1,2,3∵()21190113424P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1111111118111111132434234424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111115211132232434224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11123232224P X P X ====⨯⨯=∵随机变量X 的分布列为：∵()0852123124242424E X =+⨯+⨯+⨯=. （2）∵ABC ∆是锐角三角形，∵0sin 1,0sin 1,0sin 1A B C <<<<<<，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：()1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B A C B C A B C≥=++---+由概率的定义可知：()11P X ≥<，故有：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C +---+<+22．选修4-4：坐标系与参数方程已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（β为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）由题，得()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，则()cos cos2,sin sin 2M αααα++，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得M 点到坐标原点的距离为，由此M 的轨迹过坐标原点．试题解析：（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．解：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥. （2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-52a +<<.。

2020高三数学下学期模拟卷七理含解析

【答案】
【解析】
【分析】
结合已知函数解析式及函数的周期进行转化即可求解．
【详解】解：由函数的最小正周期为1可得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求解函数值，属于基础题．
14。已知点在圆上，点的坐标为，点为坐标原点,则的最大值为______________.
【答案】
【解析】
，为中点， ,
又平面平面 , 平面 ,平面平面，
平面，
则，，， ,
，，
，．
（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立空间直角坐标系,则，，
，，
设平面的法向量为，由可得，令可得。
同理可得平面的一个法向量为。。
由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为。
8。运行如图所示的程序，输出的结果为（）
A. 12B. 10C。 9D。 8
【答案】D
【解析】
列表得出S，的值如下：
S
0
1
4
13
40
121
364
1093
3280
k
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
据此可得:输出值为：。
本题选择D选项.
9.已知某函数在上的图象如图所示,则该函数的解析式可能是（ )
16。过抛物线的焦点作直线与，若直线与抛物线交于，直线与抛物线交于，且的中点为的中点为，则直线与轴的交点坐标为______________.
【答案】
【解析】
【分析】