第35讲：函数与方程(过关练习)
初一数学下册综合算式专项练习题函数与方程的联系
初一数学下册综合算式专项练习题函数与方程的联系初一数学下册综合算式专项练习题：函数与方程的联系在初一数学下册中，综合算式是一个重要的学习内容，其中涉及到函数与方程的联系。
函数与方程是数学中的两个概念，它们之间有着密切的联系。
本文将通过一些综合算式专项练习题的解答，来深入探讨函数与方程的联系。
练习题一：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，若函数的图象与直线f=f+1相交于点(2,3)，试求f、f、f的值。
解答：由于函数的图象与直线相交于点(2,3)，代入得方程3=2+1，解得方程f(2)=f(2)^2+f(2)+f=3，即4f+2f+f=3。
练习题二：求方程f^2−5f+4=0的根。
解答：将方程化为函数f(f)=f^2−5f+4=0，记为根函数f(f)。
则根函数的解为f(f)=0的f值，即f(f)=0的f值。
我们可以通过求解方程f(f)=0来求得根函数的解。
练习题三：已知函数f(f)=ff^3+ff^2+ff+f，若函数的图象与直线f=0相交于点(1,0)和点(−1,0)，求f、f、f、f的值。
解答：由于函数的图象与直线相交于点(1,0)和点(−1,0)，代入得方程0=f(1)^3+f(1)^2+f(1)+f=f+f+f+f=0，以及0=f(−1)^3+f(−1)^2+f(−1)+f=−f+f−f+f=0。
解这个方程组，可以得到f=0，f=0，f=0，f=0。
通过以上练习题的解答可以看出，函数与方程之间的联系十分紧密。
在练习题一中，通过函数与直线的交点来确定函数的参数；在练习题二中，我们将方程转化为函数来求解其根；在练习题三中，函数与直线的交点可以帮助我们求解函数的参数。
综合来说，函数与方程的联系体现在函数是方程的一种特殊形式，而方程是函数的解集。
函数通过方程来表示，在求解方程时，我们可以将它转化为函数的表达式，通过函数的性质来求解。
反过来，方程的解也是函数的零点，可以通过函数的图象与交点来求得。
如何运用数学思想解决中考题第35讲
第36讲：如何运用数学思想解决中考题数学思想是解决数学问题的灵魂，因此，也是中招考试的重点.初中最常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、运动变化思想等.一、转化思想： 将较抽象、复杂或较隐含的已知条件或结论转化为较直观、简单或较浅显的已知条件或结论的思想即为转化思想. 例1：已知5=a ，b 是a的小数部分，求ba 1-的值.解析：本题目中的“b 是a 的小数部分”一句话较抽象，按照常规的思路，即因为236.25==a ，所以b =0.236….显然这样是很难求解的.若能够把这句话转化理解为：因为b a +==25，所以25-=b ，则显然有225151-=--=-b a .转化思想是最常见的数学思想之一，我们做题过程本身就是问题的转化过程.我们平时做题时所用到的等量代换、比例式与乘积式的互化、换元法等等都是转化的手段.灵活运用转化思想，能够深入挖掘题目中的隐含条件，将复杂的问题简单化.二、数形结合思想： 数学家华罗庚说过；“数无形，少直观；形无数，难入微.”数和形是事物存在的两个方面，数形结合思想也是一种很重要的数学思想.有效的利用数形结合思想，便于我们深刻理解题意，也是化难为易的捷径.例2：（2007丽水）如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''，则点B '的坐标是（ ）A . （3，4）B . （4，5）C . （7，4）D . （7，3）解析：结合图形知，易求得OA=3,OB=4。
△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''后，O /A ⊥x 轴，O /B /∥x 轴，则点B '的横坐标=OA+OB=7, 点B '的纵坐标=OA=3，所以选择D 。
例3：（2006年重庆课改卷）如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P , 则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是解析：结合一次函数的图像，因为两个一次函数的图像的交点为（—4，—2），则方程组的解为⎩⎨⎧-=-=24y x .评注：此题的解法，把抽象的数（方程组的解）用直观的点（的坐标）来表示，充分运用了数形结合思想.三、方程思想：解答数学问题时，通过列方程的方法，把已知条件和某些未知的结论联系起来，从而达到求解的目的，这种思想就是方程思想. 例4：（2005年太原）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD 的面积等于（ ）FCD4题A16225 B15226 C17256 D16289解析：根据勾股定理的逆定理，易判断三角形AEF 为直角三角形， 则∠AEB+∠FEC=900,易判断△ABE ∽△ECF ，不放设BE=x,AB=y,则EC=y-x ，因为,34==EC AB EF AE 所以,34=-x y y 即,4,4222=+=y x x y ∴,16172=x ∴,174=x ∴,1716=y ∴172562==yS ，选C.评注：解决此题的关键就是利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理构造方程，从而达到了求解的目的.四、分类讨论思想： 分类讨论思想就是把事物可能出现的各种情况分类别并加以讨论的数学思想，例如去绝对值符号时要考虑数的正负，开平方时的两个平方根，不等式两边同乘以或除以一个代数式时应考虑其正负等，均为分类讨论思想.几何上如圆周角定理的证明也运用了分类讨论思想. 分类讨论思想能考查思维的周密性，若不能合理分类或分类不完整，就会导致解题时出现错误或漏解，尤其是在解决一些让自己画图的几何计算或证明题时，要把图形可能出现的各种情况都考虑在内. 例5：（2006年江苏盐城）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 . 解析：有两个2和—2.例6：（2005荆门）已知直角三角形两边x 、y 的长满足240x -+=，则第三边长为 ．分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．五、运动变换思想： 运动变换思想是研究某些几何图形的性质和某些函数问题的重要思想方法.运用运动变换思想解题时，既要用动态的观点去分析问题，解决问题，又要抓住问题的实质，分清在运动变化过程中哪些量、性质没有变，以不变应万变，使问题得以圆满解决.在特定的条件下（某个特殊时刻），把运动的点或者图形当作静态的点或者图形去研究是解决这类问题的根本方法.例7：（2007山东滨州）如图1所示，在A B C △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为B C的中点，动点E 在B A 边上自由移动，动点F 在A C 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，O E F △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出O E F △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设B E x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与A B 相切（如图2），试探究直线E F 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，O E F △能成为45E O F ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是：①E 是B A 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是A C 的中点．（2）在O E B △和FO C △中，135E O B F O C ∠+∠=°，135EO B O EB ∠+∠=°，F O C O E B ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，O E B F O C ∴△∽△．B E B O C OC F=∴．B E x =∵，CF y =，O B O C ===2(12)y x x=∴≤≤．（3）E F 与O 相切．O E B F O C∵△∽△，B E O E C OO F=∴．B E O E B OO F=∴．即B EB O O EO F=．又45B EO F ∠=∠=∵°，B E O O E F ∴△∽△．B E O O E F ∠=∠∴．∴点O 到A B 和E F 的距离相等．A B ∵与O 相切，∴点O 到E F 的距离等于O 的半径．E F ∴与O 相切．六、整体思想：即把方程、代数式里的某些项当作一个整体去看待，如解方程里的换元法等等就是整体思想. 例8：（2006年黄冈）已知x 2+x-1=0，求x 3+2x 2+2005的值.解析：x 3+2x 2+2005=(x 3+x 2)+(x 2-1)+2006=x 2(x+1)+(x-1)(x+1)+2006=(x+1)(x 2+x-1)+2006.∵x 2+x-1=0，∴原式=2006.另解：x 3+2x 2+2005=x 3+x 2+x 2+2005=x （x 2+x ）+x 2+2005=x+x 2+2005=2006例9：（2006年武汉）已知a+b+c=0，且a 、b 、c 互不相等，证明：.1222222222=+++++abc cca b bbc a a证明：∵a+b+c=0，∴a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b)，∴abc ccab bbca a+++++222222222ab c b a c ccab ac b bbca cb a a++-+++-+++-=)()()(222222))(())(())((222b c a c ca b c b bc a b a a--+--+--=))()(()()()(222a c cb b a b ac a c b c b a ----+-+--=图1A B图2A B.1))()(())()((=------=a c cb b a b a ac c b分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x 、y的长满足240x -+=，则第三边长为 ． （2005青湖北省荆门市中考题）分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．例2：⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是（ ） （A ）7㎝ （B ）8㎝ （C ）7㎝或1㎝ （D ）1㎝ （2005湖北省襄樊市中考题）分析与解答 因为弦AB 、CD 均小于于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB 和CD 的位置关系有两种可能： 一是位于圆心O 的同侧，二是位于圆珠笔心O 的异侧，如图2-4-1，过O 作EF ⊥CD ，分别交CD 、AB 于E 、F ， 则CE=4㎝，AF=3㎝．由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为OE+OF=7㎝．当AB 、CD 在圆心同侧时，距离为OF-OE=1㎝．选C ．例3：如图2-4-2，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似．图2-4-1（2005青海省西宁市中考题） 分析与解答 勾股定理可得当△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM 与BE 是对应边时，D M M N ABAE=，即15D M D M ==．（2）当DM 与AB 是对应边时，DM M N ABAE=，即25D M D M ==故DM55例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1） 设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2） 当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？（2005年湖北省中考改编）B ACQDPM分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12． ∵QB=16-t ，∴112(16)9662St t=⨯⨯-=-．（3） 由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ① 由图可知，PQ=BQ ． 在Rt △PMQ 中，2222222212.,12(16)PQ t PQ BQ t t =+=+=-由得，解得72t=．② 若PQ=BQ ．在Rt △PMB 中，22222222(16)12.,)12(16)BP t BQ t t =-+=+=-由BP 得(16-2，即23321440t t -+=，∵△=7040-<， ∴解得23321440t t -+=无解，∴B PB Q≠．图2-4-2E NMD CBA③若PB=PQ ．在Rt △PMB 中，，222222,12(162)12QP t t =+=-+由BP得．解得1216,163t t ==不合题意，舍去）．综合上面原讨论可知：当72t=秒或163t=秒时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形．说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝（2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目） 2．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．1或则（2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目）3．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O内作了长为AB ，连续PB ，则PB 的长为（2005年湖北省黄冈市中考题）5．在直角坐标系xoy 中，一次函数23y=+的图象与x 轴交于点A ，与y轴交于点B ．（1）苈以原点O 这圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5.（1）3()22（2）满足条件的点P 存在，它的坐标是0)(0)(40)(40)3----或或或第2讲 转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9．（1）求P 点坐标；（2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，•T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值．∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y=12x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2m n+=9…①又∵点P （m ，n ）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）． （2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC ∽△BRT ， 设BT=a ，RT=b ． 分类讨论： ①当24b a=…①又由P 点求出可确定反比例函数y=6x又∵R （m+a ，b ）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1M B+1N B的值；（2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2，过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形．（1）求m ，n ，t 的值；（2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ． （1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB²OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1²x2=1a，∴OB²OC=│x1│²│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1²x2<0），•∴OB²OC=-1a，又∵OA2=OB²OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD²FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184D F=，DF=2cm，∴BD2=16，∴DE=BD=4cm．3．（1）∵111N B M B A B M B =，即11N B M B M B =-，得MB+NB=MB ²NB ，两边同除以MB ²NB 得1M B+1N B=1．（2）12MB ²NB=52，即MB ²NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB ²NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 12x 22，∵MB<NB ，∴2，2（3）B 1M=3-2，EN=3-2，∴MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ²cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400x-x=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区． 5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1³t=t ，OP=1³t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12³•OP ³OQ=12³t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6）（2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3，∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6，当x=3时，y=92≠3，∴点C 不落在直线AB 上． （3）△POQ ∽△AOB 时， ①若O Q O P O BO A =，即6612tt-=，12-2t=t ，∴t=4．②若O Q O P O AO B=，即6126t t -=，6-t=2t ，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．考前热身训练 1．（1）开口向上，P （2，-m 2）．（2）设对称轴与x 轴交于点C ，令（x-2）2-m 2=0，得x 1=-m+2，x 2=m+2， ∴A （-m+2，0），B （•m+2，0）， ∴AC=│2-（-m+2）│=m ，（∵m>0）由抛物线对称性得PA 2=AC 2+PC 2=m 2+（-m 2）2． ∵∠APB=90°，∴易证AC=PC ，即│m │=│-m 2│，∴m 1=0，m 2=±1． ∵m>0，∴m=1，∴△ABC 的周长为2．（1）m=-2，．（2）L 1：y 2L 2：y=3．（3）过B 作BP 1⊥AC 于P 1，则P 1（32，2），过B 作BP 2⊥AB 于P 2，则P 2（-22）．3．（1）y=1x（． （2）2（3）若△AEP ∽△BEC ，则A E A P B EB C=，易知Rt △BAP ≌Rt △CBE ，BE=AP ．设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ， ∴11t t t-=，∴t=12-±，又∵0<t<1，∴t=12-，即P 点存在，且12+．第3讲 数形结合思想概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，•能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．典型例题精析例．以x 为自变量的二次函数y=-x 2+2x+m ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点．（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，•使得以B C Ay xPOA 、P 、Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等），若存在，请求出点P 、点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）∵y=-x 2+2x+m 与y 轴交于C （0，3），∴3=m ，代入y=-x 2+2x+m 得y=-x 2+2x+3， 令-x 2+2x+3=0，x 2-2x-3=0，x 1=-1，x 2=3． ∴A （-1，0），B （3，0），由y=-x 2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M （1，4）． （2）若存在这样的P 、Q 点，一定是∠PAQ=∠ACO ．∵若∠PAQ=∠CAO ，则△ACO ∽△AQP 不合题意，若∠PAB=90°=∠AOC ，显然P•点不在抛物线上． ∴分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况考虑．①当∠AOC=∠PQA ，∠ACO=∠PAQ 时，有△AOC ∽△PQA （如图1） 设Q （x 1，0），P （x 1，y 2）由A Q Q P O CA O=得11131x y +=，而y 1=-x 12+2x 1+3，∴x 1+1=3（-x 12+2x 1+3）， 3x 12-5x 1-8=0， x 1=83或x 1=-1（不合题意，舍去）把x 1=83代入y 1=-x 12+2x 1+3=119， ∴Q （83，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△PQA ．②∠APQ=∠COA=90°，且∠ACO=∠QAP 时，有△AOC ∽△APQ过P 作PN ⊥x 轴于N ，设Q （x ，0），P （，） 由△AOC ∽△APQ 得AC C O AQAP= 得231x =+ 解得8327， ∴Q （8327，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△APQ说明：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点．（2）第二种情况的P 点可以认为和第一种情况是同一点．（3）能够求出Q 、P 点坐标为存在，不能求出P 、Q 点坐标（即方程无解）为不存在．中考样题看台1．已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD•的长是关于x•的方程x 2-2mx+（m-12）+74=0的两个根．M OBCAy xQ P（1）当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由．（2）若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB<CD，求AB、CD的长；（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan•∠BDC和tan∠BCD．2．已知，如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙1和⊙2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC；（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求A BA C的值．3．在平面直角坐标系中，给定五点：A（-2，0），B（1，0），C（4，0）•，D（-2，92），E（0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，•请用约定的方法一一表示出来；（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线与直线的解析式；如果不存在，请说明理由．4．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，讨论如下：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能是正多边形，……（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；5．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染．（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，•所有禽类全部捕杀；离疫点3千米至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米．考前热身训练1．已知，在半径为r的半圆O中，半径OA⊥直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC•上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合．（1）求证：S四边形AEDF =12r2；（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）当S△OEF =518S△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及E、F之间的距离．A2．已知二次函数y=x2-（m2-4m+52）x-2（m2-4m+92）的图象与x轴的交点为A、B（点B•在点A的右边），与y轴的交点为C．（1）若△ABC为直角三角形，求m的值；（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连接AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA与OB的积．（1）求b的值；（2）若tan∠CAB=12，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB•的外接圆半径为134？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案中考样题看台1．（1）当m=2时，x2-4x+4=0，∴△=0，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．当m>2时，△=（-2m）2-4[（m-12）2+74]=m-2>0．又AB+CD=2m>0，AB ²CD=（m-12）2+74>0，∴AB ≠CD ，•∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是梯形．（2）∵AM=MD ，BN=NC ，AB ∥CD ，∴MN ∥AB ，MN ∥CD ， ∴AP=PC ，BQ=QD ，∴QD=12DC ，PN=12AB ，∵AB<CD ，PQ=1，∴12DC-12AB=1，∴DC-AB=2，由已知得AB+CD=2m ，AB ²CD=（m-12）2+74=m 2-m+2，∵（DC-AB ）2=（DC+AB ）2-4DC ²AB ， ∴22=（2m ）2-4（m 2-m+2），∴m=3， 当m=3时，x 2-6x+8=0，•∴x 1=2，x 2=4， ∵AB<CD ，∴AB=2，CD=4．（3）由（1）知，四边形ABCD 是梯形， ∵AD=BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，•过点B•作BE ∥AD ，交DC 于点E ， ∴ED=AB=2，∴CE=2，∴BC=BE=CE=2，∴△BEC 为等边三角形，•∴∠BCD=60°，∠BDC=30°， ∴tan ∠tan ∠BDC=3．∴所求方程为y 2-43y+1=0．2．（1）过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O ，∴OA=OB ，同理OA=OC ，∴OA=OB=OC ，•于是△BAC 是直角三角形，∠BAC=90°，所以AB ⊥AC ．（2）连结OO ，OO ，与AB 、AC 分别交于点E 、F ，∴O 1O ⊥AB ． 同理OO 2⊥AC ，根据（1）•的结论AB ⊥AC ， 可知四边形OEAF 是矩形，有∠EOF=90°， 连结O 1O 2，有OA ⊥O 1O 2，在Rt △O 1OO 2中，•有Rt △O 1AD ∽Rt △OAO 2，于是OA 2=OA·O 2A=r 1·r 2=2r 22，∴2，又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角，•∴∠ACB=∠AO 2O ， 在Rt △OAO 2中，tan ∠AO 2O=2O A O A∴A B A C=tan ∠ACB=tan ∠AO 2O=3．解：（1）符合条件的抛物线还有5条，分别如下：①抛物线AEC ；②抛物线CBE ；•③△DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC ．（2）在（1）中存在抛物线DBC ，它与直线AE 不相交， 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c ，将D（-2，92），B（1，0），C（4，0）三点坐标分别代入，得：9 4220 1640a b ca b ca b c⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组，得：a=14，b=54，c=1．∴抛物线DBC的解析式为y=14x2-54x+1．另法：设抛物线为y=a（x-1）（x-4），代入D（-2，92），得a=14也可．又设直线AE的解析式为y=mx+n．将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入，得：206m nn-+=⎧⎨=-⎩解这个方程组，得m=-3，n=-6，∴直线AE的解析式为y=-3x-6．4．解：（1）由图知∠AFC对ABC，因为AD=CF，而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC，所以∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相等．（2）因为∠A对BEG，∠B对CEA，又因为∠A=∠B，所以∠BEG=∠CEA．所以BC=AG，•同理AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG．所以，七边ABCDEFG是七边形．（3）猜想：当边数是奇数时（即当边数是3，5，7，9，……时），• 各内角相等的圆内接多边形是正多边形．5．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111．到第5天得禽流感病鸡数为1000+111=11111．到6天得禽流感病鸡数为100000+11111>800000．所以，到第6天所有鸡都会被感染．（2）过点O作OE⊥CD交CD于点E，连结OC、OA．∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2，在Rt•△OCE中，OE2=32-22=5．在Rt△OAE中，∴，∵AC=BC，∴．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．考前热身训练 1．（1）先证△BOE ≌△AOF ．∴S四边形AEOF=S △AOB =12OB ²12OA=r 2．（2）由∠EAF=90°且， ∵y=S △OEF =S 四边形AEOF-S △AEF ，∴y=12x 2-2rx+12r 2（）．（3）当S △OEF =518S △ABC 时，即y=518（12²2r ²r ）=518r 2∴12x 2-2rx+12r 2=518r 2．即12x 2-2rx+29r 2=0．解之得x 1=3r ，x 2=3r ．∴S △OEF =518S △ABC 时，A E A B=13，A F A C=23或A E A B=23，A F A C=13．当AE=3r 时，AF=3r ，3r ；当AE=3r 时，AF=3r ，EF=3r ．2．A （-2，0），B （m 2-4m+92，0），C[0，-2（m 2-4m+92）]．（1）m=2．（2）过A 作AD ⊥BC 于D ，sin ∠ACB=A D A C=45．（3）m=2时，S 最小值=54．3．解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），由题设可求得C 点的坐标为（0，c ），且x 1<0，x 2>0 ∵a<0，∴c>0由S △AOC -S △BOC =OA ³OB 得：-12x 1c-12x 2c=-x 1x 2得：12c（-ba）=ca，得：b=-2．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N．∵tan∠CAB=12，∴OA=2²OC=2c，∴A点的坐标为（-2c，0），∵A点在抛物线上．∴x=-2c，y=0，代入y=ax2-2x+c得a=-54c．又∵x1、x2为方程ax2-2x+c=0的两根，∴x1+x2=2a即：-2c+x2=2a=-85c．∴x=25c．∴B点的坐标为（25c，0）．∴顶点P的坐标为（-45c，95c）．由相交弦定理得：AM²BM=PM²MN．又∵AB=125c，∴AM=BM=65c，PM=95c，∴c=52，a=-12．∴所求抛物线的函数解析式是：y=-12x2-2x+52．第4讲方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，•几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，•两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知△ACD≌△AED ∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE ：ED=1：4，∴设CE=x ，则ED=4x ，由相交弦定理得 CE ²ED=AE ²EB ， 即x ²4x=2³2， 4x 2=4， x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ，a ，求△PMB 的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x ，则由PM 2=PB ²PA （方程出来了））2=x （x+2a ）， x 2+2ax-3a 2=0， （x+3a ）（x-a ）=0，∴x 1=a ，x 2=-3a （舍去）∴x=a ，即BP=a ，连结MO （常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a ，则MB 为Rt △OMP 的斜边上的中线，∴MB=12OP=a ．∴△MBP 的周长为．例4．如图，圆心在Rt △ABC 斜边AB 上的半圆切直角边AC 、BC 于M 、N ，•其中AC=•6，BC=8，求半圆的半径． 分析：设半径为R ，（一个未知数建立一个方程即可），连OM 、ON 、OC ，则OM=ON=R ，用面积，S △AOC +S △BOC =S △ABC ， 得6R+8R=6³8（一元一次方程） 14R=48，R=247．中考样题训练: 1．（2004，兰州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC 边上的一点，tan ∠ADC 是方程3（x 2+21x）-5（x+1x）=2的一个根，求CD 的长．B CAD2．（2003，武汉）如图，已知直线BC 切⊙O 于C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD•的延长线交于点A ，∠A=28°，∠B=26°，求∠PDC 的度数．3．（2003，黄冈）已知，如图，C 为半圆上一点，AC C E ，过C 作直径的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC ，CB 于点D ，F ．（1）求证：AD=CD ；（2）若DF=54，tan ∠ECB=34，求PB 的长．4．（2005，荆门）已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+14k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2时，求k 的值．5．（2005，常德市）如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O•的割线PDE•垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF²DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想： AB与 A F有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足532(12),13713.22k kk k->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，求sin2∠A的值．C。
(整理)(第35讲)导数的运算法则及基本公式应用.
题目 高中数学复习专题讲座 高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导 重难点归纳1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数xy∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xyx ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式)()()(lim )()(lim0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆ 2 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系 典型题例示范讲解例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω 命题意图 本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法 先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )例2利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,(n ∈N *)命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托 通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维 由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想技巧与方法 第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导 解 (1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n)′=(xx x n --+11)′即S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+(2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n xn －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1例3 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0,∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83)学生巩固练习1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1D 22 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x+y =0C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x－y =03 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y7 有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 1 4 m 时，梯子上端下滑的速度8 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *) 参考答案1 解析 y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1 答案 B2 解析 设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =x y , 另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x , 故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0 得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53), 从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251)515(42-=+-- , 由于切线过原点，故得切线l A :y =－x 或l B :y =25x 答案 A3 解析 根据导数的定义f ′(x 0)=k x f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f kx f k x f k x f k x f k k k答案 －14 解析 设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！ 答案 n !5 解 设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －46 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |),两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7 解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1 4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21(25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t-,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0 875(m/s)8 解 (1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1), 当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+, 两边同乘以x ,得x +2x 2+3x 2+…+nx n=221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++课前后备注。
函数与方程试题及解答
函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
所以f(2)的值为-1。
（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。
解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。
解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。
再将方程两边除以3，得到x = 5。
所以满足g(x) = 10的x的值为5。
2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。
解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。
再将方程两边除以3，得到x = 1。
所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。
（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。
解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。
将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。
计算得到-11 = 2x。
再将方程两边除以2，得到x = -5.5。
所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。
3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。
求这个数列的第10项。
解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。
所以这个数列的第10项为34。
4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。
已知该产品售价为20元时，销量为20000件。
问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。
根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。
将方程简化，得到20 - x = 40。
将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。
九年级数学函数与方程练习题及答案
九年级数学函数与方程练习题及答案1. 函数1.1 定义函数函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
我们用 f(x) 表示函数，其中 x 是输入变量，f(x) 是输出变量。
1.2 函数的性质函数具有以下性质：- 每个输入变量只有唯一对应的输出变量。
- 可以通过输入变量的值计算输出变量的值。
- 函数可以表示为一个表格、一条曲线或者一个方程。
2. 方程2.1 一次方程一次方程是指次数为1的等式，通常形式为ax + b = c，其中a、b、c 是已知常数，x 是未知数。
2.2 解一次方程的方法解一次方程的基本步骤如下：- 将方程移项，将未知数的项移到等式一边，已知常数的项移到等式的另一边。
- 合并同类项，将未知数的系数与未知数相乘，得到一个整数。
- 用求得的整数除以未知数的系数，得到未知数的值。
3. 习题及答案3.1 函数练习题1) 设有函数 f(x) = 3x + 2，求当 x = 4 时的函数值。
解: 将 x = 4 代入函数 f(x) = 3x + 2，得到 f(4) = 3(4) + 2 = 14。
2) 设有函数 g(x) = x^2 - 5x + 6，求当 x = 2 时的函数值。
解: 将 x = 2 代入函数 g(x) = x^2 - 5x + 6，得到 g(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0。
3.2 方程练习题1) 解方程 2x + 5 = 15。
解:将方程移项得 2x = 15 - 5 = 10，再将等式两边都除以 2 得 x = 10 / 2 = 5。
所以方程的解为 x = 5。
2) 解方程 3(x - 4) = 6 + 2x。
解:展开方程得 3x - 12 = 6 + 2x，移项得 3x - 2x = 6 + 12，合并同类项得 x = 18。
所以方程的解为 x = 18。
3) 解方程 2(3x - 1) + 5(x + 2) = 4(2x + 3) - 7。
第35讲动点问题专题PPT课件
④当x≥6时，y＝0.
②如答图2-35-5，作DH⊥AB于点H. 在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，
在Rt△BDH中， ∴矩形BDEF的面积为
∴当x=3时，y有最小值为
分层训练
A组
3.（202X衢州）如图2-35-3，正方形ABCD的边长为4,点
E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终
第35讲 动态专题(1) (动点问题)
近五年广东中考情况
2015年 202X年 202X年 202X年 202X年 （5分） （4分） （5分） （5分） （0分）
双动点问 题
动线问题
的运动中，一些图 形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用 的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、 转化思想等；常用的数学方法有分类讨论法、数形 结合法等.
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B， C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直 接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）在Rt△BOC中，OB=3，
设CO=4k，则BC=5k， ∵BC2=CO2+OB2，∴25k2=16k2+9， ∴k=1或-1（不符，舍去）.∴BC=5，OC=4. ∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=5.∴D（5，4）. （2）①如答图2-35-6，当0≤t≤2时，直线l扫过的图形 是四边形OCQP，S=4t.
②如图2-35-2②，当点E在OC的延长线上时， △DCE是等腰三角形，则只有CD=CE， ∠DBC=∠DEC=∠CDE= ∠ACO=15°， ∴∠ABD=∠ADB=75°.∴AB=AD= 综上所述，满足条件的AD的值为2或
高考数学复习函数与方程专项练习题(含答案)
2019-2019高考数学复习函数与方程专项练习题（含答案）用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
以下是函数与方程专项练习题，请考生及时练习。
一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.方程x- =0的实数解所在的区间是()A.(-,-1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(1,+)解析:令f(x)=x- ,则f(1)=0,f(-1)=0,只有B合适.答案:B2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除AB,因为AB不符合f(a)f(b)0.答案:C3.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是()A.0,2B.0,C.0, -D.2,-解析:由ax+b=0的根为2,得2a+b=0,b=-2a,则方程bx2-ax=0变为2ax2+ax=0.∵a0,2x2+x=0,x1=0,x2=-.答案:C4.(2019合肥模拟)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是()解析:设f(x)=x2+ax-2,∵f(0)=-20,由x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)0且f(5)0即可,解得- 1.答案:C5.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:x123456y-52812-5-10则函数y=f(x)在x[1,6]上的零点至少有()A.5个B.4个C.3个D.2个解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点.答案:D6.(2019浙江)已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0,f(x2)0C.f(x1)0,f(x2)0D.f(x1)0,f(x2)0解析:由于函数g(x)= 在(1,+)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+)上只有惟一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)0,在(x0,+)上f(x)0,故选B.答案:B二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)0的解集是________.解析:由于f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此 ,因此f(x)=x2-x-6,所以不等式af(-2x)0即-(4x2+2x-6)0,即2x2+x-30,解集为{x|-答案:{x|-8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?答案:49.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.解析:由题意知x0,∵xlg(x+2)=1,lg(x+2)= ,画出y=lg(x+2),y= 的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.答案:210.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a2,即a 的最小值为2.答案:2三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若ac且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;(2)若对x1、x2R且x1证明:(1)∵f(1)=0,a+b+c=0.又∵ac,a0,即ac0.又∵=b2-4ac0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,所以函数f(x)有两个零点.(2)令g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]∵f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)0.g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.12.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围. 解:依题意,方程22x+2xa+a+1=0有实数根.令2x=t(t0),则t2+at+a+1=0,13.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,m=4或m=-1.②解法一:设f(x)的两个零点分别为x1,x2.则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4.由题意,知-5故m的取值范围为(-5,-1).解法二:由题意,知-5m的取值范围为(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当04,即-4故a的取值范围为(-4,0).函数与方程专项练习题及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得更优异的成绩。
第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座35）—曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。
二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测07年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。
这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。
如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。
八年级数学一次函数与方程组知识点总结及相应练习题
八年级数学函数与方程组（不等式）的关系班别 姓名 学号一、学习目标：通过一次函数图象的交点理解函数与方程组（不等式）的联系。
二、学习过程：课前小测：1、函数y kx b =+的图象如图所示，当0x <时，函数值y的取值范围是 。
2、函数y kx b =+的图象如图所示，关于x 的不等式0kx b +<的解集是 。
3、当自变量x 的值满足 时，直线2+-=x y 上的点在x 轴的下方。
知识点一：例：思考如何求一次函数11+=x y 与一次函数32+-=x y 的交点坐标？方法一：在同一直角坐标系中画出直线11+=x y 和32+-=x y ，并写出两条直线的交点坐标。
∴由图象观察得，两直线交点坐标为（ ， ）。
小结：方程组⎩⎨⎧+-=+=31x y x y 的解⎩⎨⎧==y x 即是函数1+=x y 与函数3+-=x y 的交点坐标 x0 1 11+=x y32+-=x y 方法二：解方程组：13y x y x =+⎧⎨=-+⎩ 解：利用上题的函数图象，回答下列问题：（1）当x 时，函数值1y >函数值2y ，即不等式1+x >3+-x 的解集为（2）当x 时，函数值1y =函数值2y ，即方程1+x =3+-x 的解为（3）当x 时，函数值1y <函数值2y ，即不等式1+x <3+-x 的解集为课堂练习：1、方程⎩⎨⎧=+=+-31y x y x 的解集为⎩⎨⎧==21y x ，则一次函数1+=x y 与3+-=x y 的交点P 的坐标是2、已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则一次函数33y x =-与332y x =-+的 交点P 的坐标是 。
3、直线33-=x y 与直线72+-=x y 的交点坐标是4、直线1l ：123y x =-与直线2l ：26y x =-+的交点坐标是 。
5、直线b x y +=与直线3+=kx y 相交于点（1，2），则b = ，k =6、直线32-=x y 与直线6+=kx y 的交点的横坐标为1，则k =7、若直线4y kx =+与()41y x =-交点的纵坐标为0，则k 的值是 。
第35讲-简单的三角方程-基础
简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程． （2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。
（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。
（2）解集=+x k arctana πk Z ∈． （二）简单三角方程 类型1：sin()A x a ωϕ+=； 类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集： （1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）tan(50)1x +=； （3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意； 取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=； 取2k =时，4336x π=或4936x π=； 取3k =时，6736x π=； 当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程： （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-． 所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈． 因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=； （2）3sincos 102xx ++=． 解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=． 解得1cos cos 32x x ==-或（无解）． 因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）． 因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=． 所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈． 由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈． 所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=； （3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈． 所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ， 得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =． 所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或． （3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+． 即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或． 所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或． 课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________． （2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（ ）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（ ）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________． （2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________． （3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（ ） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（ ）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（ ）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（ ）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（ ）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或 （2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程； 对于无范围的要注意周期讨论K .。
数学课程函数与方程练习题及答案
数学课程函数与方程练习题及答案1. 函数与方程的基本概念在数学课程中，函数与方程是基础而重要的概念。
函数是描述两个变量之间关系的规则，通常表示为f(x)或y。
方程则是包含未知数的等式，我们需要找到使其成立的解。
2. 函数的分类函数可以分为线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等多种类型。
下面是一些函数与方程的练习题及答案：2.1 线性函数题目1：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解答：将x代入函数中，得到f(4) = 2*4 + 3 = 11。
题目2：已知函数g(x) = 5x - 2，求解方程g(x) = 3的解。
解答：将g(x)替换为3，得到5x - 2 = 3，解方程得x = 1。
2.2 二次函数题目3：已知函数h(x) = x^2 + 2x + 1，求h(3)的值。
解答：将x代入函数中，得到h(3) = 3^2 + 2*3 + 1 = 19。
题目4：已知函数k(x) = x^2 + 3x，求解方程k(x) = 0的解。
解答：将k(x)替换为0，得到x^2 + 3x = 0，解方程得x = 0或x = -3。
2.3 指数函数题目5：已知函数p(x) = 2^x，求p(2)的值。
解答：将x代入函数中，得到p(2) = 2^2 = 4。
题目6：已知函数q(x) = 3^x，求解方程q(x) = 9的解。
解答：将q(x)替换为9，得到3^x = 9，转化为指数运算得到x = 2。
2.4 对数函数题目7：已知函数r(x) = log2(x)，求r(8)的值。
解答：将x代入函数中，得到r(8) = log2(8) = 3。
题目8：已知函数s(x) = log5(x)，求解方程s(x) = 2的解。
解答：将s(x)替换为2，得到log5(x) = 2，转化为指数运算得到x = 25。
3. 总结通过上述练习题及答案，我们复习了函数与方程的基本概念，并对常见的函数类型进行了练习。
通过解答这些问题，我们可以更好地掌握并应用这些概念，提高数学的理解与运用能力。
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系课后篇巩固提升含解析新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系课后篇稳固提升合格考达标练1.如下图的四个函数图像,在区间(-∞,0)内,函数f i (x )(i=1,2,3,4)中有零点的是() A.f 1(x ) B.f 2(x ) C.f 3(x ) D.f 4(x ),f 2(x )在(-∞,0)内与x 轴有交点,故f 2(x )在(-∞,0)内有零点. 2.(多项选择题)函数f (x )=x 3-2x 2+3x-6的零点所在的区间可能是() A.0,52B.[52,4]C.[1,74] D.[74,52]f (0)<0,f (-2)<0,f (4)>0,f (1)<0,f (52)>0,f (74)<0,所以零点在区间[74,52],0,52内.3.函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )-g (x )=-x-3,根据所给数表,判断f (x )的一个零点所在的区间为()A.[-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[2,3]4.函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且图像是连续不断的,假设f (a )f (b )<0,那么方程f (x )=0在区间[a ,b ]上() A.至少有一个实数根 B.至多有一个实数根 C.没有实数根 D.必有唯一的实数根f (x )为连续函数,∵f (a )f (b )<0,∴函数f (x )在区间[a ,b ]上至少有一个零点,∵函数f (x )在区间[a ,b ]上是单调函数,∴函数f (x )在区间[a ,b ]上至多有一个零点,故函数f (x )在区间[a ,b ]上有且只有一个零点,即方程f (x )=0在区间[a ,b ]内必有唯一的实数根.应选D .5.假设函数f (x )在定义域{x|x ≠0}内是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,f (2)=0,那么函数f (x )的零点有 () A.一个 B.两个 C.至少两个D.无法判断函数f (x )在(0,+∞)内是减函数,f (2)=0,∴f (x )在(0,+∞)内的图像与x 轴只有一个交点, 又∵f (x )在定义域{x|x ≠0}上是偶函数,∴f (x )在(-∞,0)内的图像与x 轴也只有一个交点,即f (-2)=0.应选B .6.(2021福建高三学业考试)函数f (x )={x 2+x ,x <0,x 2-2x ,x ≥0,那么函数f (x )的零点个数为.x<0时,f (x )=x 2+x ,令f (x )=0,得x=-1或x=0(舍掉); 当x ≥0时,f (x )=x 2-2x , 令f (x )=0,得x=2或x=0. 所以函数f (x )的零点个数为3.7.二次函数f (x )=ax 2+bx+c (x ∈R )的局部对应值如下表:那么不等式ax 2+bx+c>0的解集是.x|x<-2或x>3}f (-2)=f (3)=0,且当x ∈(-2,3)时,f (x )<0,所以当x ∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax 2+bx+c>0. 8.假设方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围.f (x )=x 2+(k-2)x+2k-1,由题意知{f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0,即{2k -1>0,3k -2<0,4k -1>0,解得12<k<23,即实数k 的取值范围是12,23.9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的 线路发生了故障,这是一条10 km 长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?.如下图,他首先从中点C 查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC 段正常,断定故障在BC 段,再到BC 段中点D 查,这次发现BD 段正常,可见故障在CD 段,再到CD 中点E 来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m ~100m 之间,即一、二根电线杆附近.等级考提升练10.(多项选择题)假设函数f (x )的图像在R 上连续不断,且满足f (0)<0,f (1)>0,f (2)>0,那么以下说法正确的选项是()A.f (x )在区间(0,1)上一定有零点B.f (x )在区间(0,1)上一定没有零点C.f (x )在区间(1,2)上可能有零点D.f (x )在区间(1,2)上一定有零点f (0)<0,f (1)>0,f (2)>0,所以f (0)f (1)<0,因为函数f (x )的图像在R 上连续不断,由零点存在定理,可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点.又f (1)f (2)>0,因此无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点.应选AC . 11.假设方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,那么a 的取值范围是() A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.[0,1)f (x )=2ax 2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a ≠0时,假设Δ=0,即a=-18,此时x=-2,不符合题意;假设Δ>0,即a>-18,那么有f (0)f (1)=-1×(2a-2)<0,所以a>1.12.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的图像如下图,那么 ()A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c<0C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b<0,c<0(0,0),(-2,0),(1,0)三个点.由图像过原点(0,0),知d=0.由图像过另外两点,可知f (x )=ax (x+2)(x-1),即f (x )=ax 3+ax 2-2ax.又由图像,得f (2)=2a (2+2)×(2-1)>0,可得a>0.又f (x )=ax 3+bx 2+cx+d ,所以b=a>0,c=-2a<0.综上可知a>0,b>0,c<0.13.在R 上定义运算☉:A ☉B=A (1-B ),假设不等式(x-a )☉(x+a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,那么实数a 的取值范围为() A.(-1,1) B.(0,2)C.-12,32D.-32,12(x-a )☉(x+a )=(x-a )(1-x-a ),∴不等式(x-a )☉(x+a )<1,即(x-a )(1-x-a )<1对任意实数x 恒成立,即x 2-x-a 2+a+1>0对任意实数x 恒成立,所以Δ=1-4(-a 2+a+1)<0,解得-12<a<32,应选C . 14.函数f (x )=x 2-1x +1的零点个数为() A.0 B.1C.2D.3f (x )=0得x 2-1x+1=0,∴x 2+1=1x,作出函数y=x 2+1与y=1x的图像,由于两个函数的图像只有一个交点,所以零点个数为1.15.在用二分法求方程x 3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)上,那么下一步可判定该根所在区间为. (32,2)f (x )=x 3-2x-1,那么可得f (1)=13-2×1-1=-2<0,f (2)=23-2×2-1=3>0,又f (32)=(32)3-2×32-1=-58<0,那么下一步可判定该根所在区间为(32,2). 16.定义在R 上的偶函数y=f (x )在[0,+∞)内是减函数,函数f (x )的一个零点为12,求f (x 2-x )<0的解集.f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x )=f (|x|),又函数f (x )的一个零点为12,∴f (12)=0.由f (x )在[0,+∞)内是减函数,得f (x 2-x )=f (|x 2-x|)<0=f (12),可化为|x 2-x|>12,解得x<1-√32或x>1+√32.∴f (x 2-x )<0的解集为x x<1-√32或x>1+√32.17.关于x 的函数y=(m+6)x 2+2(m-1)x+m+1恒有零点. (1)求m 的范围;(2)假设函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m 的值.当m+6=0,即m=-6时,函数为y=-14x-5显然有零点, 当m+6≠0,即m ≠-6时,∵由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得m ≤-59. ∴当m ≤-59,且m ≠-6时,二次函数有零点.综上,m 的取值范围为-∞,-59.(2)设x 1,x 2是函数的两个零点,那么有 x 1+x 2=-2(m -1)m+6,x 1x 2=m+1m+6.∵1x 1+1x 2=-4,即x 1+x2x 1x2=-4, ∴-2(m -1)m+1=-4, 解得m=-3.当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意, ∴m 的值为-3.新情境创新练18.函数f (x )=2x 2-8x+m+3为R 上的连续函数.(1)假设函数f (x )在区间[-1,1]上存在零点,求实数m 的取值范围;(2)假设m=-4,判断f (x )在(-1,1)上是否存在零点?假设存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;假设不存在,请说明理由.易知函数f (x )在区间[-1,1]上单调递减,∵f (x )在区间[-1,1]上存在零点, ∴{f (-1)≥0,f (1)≤0,即{2+8+m +3≥0,2-8+m +3≤0,∴-13≤m ≤3,∴实数m 的取值范围是[-13,3].(2)存在.当m=-4时,f (x )=2x 2-8x-1,易求出f (-1)=9,f (1)=-7. ∵f (-1)·f (1)<0,f (x )在区间(-1,1)上单调递减, ∴函数f (x )在(-1,1)上存在唯一零点x 0. ∵f (0)=-1<0,∴f (-1)·f (0)<0, ∴x 0∈(-1,0). 此时0-(-1)=1>0.2, ∵f -12=72>0, ∴f -12·f (0)<0, ∴x 0∈-12,0. 此时0--12=12>0.2, ∵f -14=98>0,∴f -14·f (0)<0, ∴x 0∈-14,0. 此时0--14=14>0.2, ∵f -18=132>0, ∴f -18·f (0)<0,∴x0∈-18,0.此时|-18-0|=18<15=0.2,满足精确度,停止二分,∴所求区间为-18,0.。
数学课程函数与方程综合练习题及答案
数学课程函数与方程综合练习题及答案1. 问题描述：已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1= 3(4) - 4 + 1= 12 - 4 + 1= 9所以，f(2) = 9。
2. 问题描述：函数g(x)的图像在x轴上的截距为-4，求此函数的解析式。
解答：由题意可知，函数g(x)的图像在x轴上的截距为-4，即g(x) = 0时，x = -4。
设g(x) = ax + b，代入x = -4得到方程-4a + b = 0。
由于此函数没有其他已知条件，我们无法确定该函数的具体形式。
所以，函数g(x)的解析式可以是g(x) = ax - 4，其中a为任意实数，b = 4a。
3. 问题描述：已知函数h(x) = x^3 + 2x - 5，求h(-1)的值。
解答：将x = -1代入函数h(x)，得到h(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - 5= -1 - 2 - 5= -8所以，h(-1) = -8。
4. 问题描述：函数y = 4x^2 - 3x + 2的图像在y轴上的截距为2，求此函数的解析式。
解答：由题意可知，函数y = 4x^2 - 3x + 2的图像在y轴上的截距为2，即x = 0时，y = 2。
代入x = 0得到2 = 4(0)^2 - 3(0) + 2= 2所以，该函数的解析式为y = 4x^2 - 3x + 2。
5. 问题描述：已知函数k(x)满足k(3) = 4和k(5) = 6，求函数k(x)的解析式。
解答：设k(x) = ax^2 + bx + c，代入k(3) = 4得到9a + 3b + c = 4，代入k(5) = 6得到25a + 5b + c = 6。
解以上方程组，得到a = -1/2，b = 5，c = 3/2。
所以，函数k(x)的解析式为k(x) = -1/2x^2 + 5x + 3/2。
初二数学下册函数与方程的像练习题
初二数学下册函数与方程的像练习题函数与方程是初中数学下册的重要内容，它们是数学中必不可少的基础概念。
在学习函数与方程的过程中，我们需要通过练习题来巩固相关知识。
本文将为大家提供一些初二数学下册函数与方程的像练习题，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解析：将x = 4代入给定的函数中即可，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。
2. 已知函数g(x) = x^2 - 5x，求g(3)的值。
解析：将x = 3代入给定的函数中即可，得到g(3) = 3^2 - 5(3) = -6。
3. 已知函数h(x) = |x - 2|，求h(4)的值。
解析：将x = 4代入给定的函数中即可，得到h(4) = |4 - 2| = 2。
4. 已知函数j(x) = sqrt(x)，求j(9)的值。
解析：将x = 9代入给定的函数中即可，得到j(9) = sqrt(9) = 3。
5. 已知函数k(x) = 3x^2 - 2x + 1，求k(-1)的值。
解析：将x = -1代入给定的函数中即可，得到k(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。
通过以上练习题的解析，我们可以看到函数的值是通过给定的函数表达式和特定的自变量值进行计算得出的。
在求函数值时，我们只需要将自变量代入函数中进行计算即可。
接下来，我们将讨论一些关于方程的像的练习题。
1. 求解方程2x + 3 = 7。
解析：将方程两边同时减去3，得到2x = 4。
再将方程两边同时除以2，得到x = 2。
所以，方程的解为x = 2。
2. 求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。
解析：这是一个二次方程，可以通过因式分解或者配方法进行求解。
我们将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，得到x = 2或x = 3。
所以，方程的解为x = 2或x = 3。
3. 求解方程|x - 3| = 2。
数学课时过关检测(十二) 函数与方程
课时过关检测（十二） 函数与方程A 级——基础达标1．下列函数中是奇函数且有零点的是( ) A ．f (x )＝x ＋|x | B ．f (x )＝x －1＋x C ．f (x )＝1x ＋tan xD ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析：选C A 选项，因为f (x )＝x ＋|x |，所以f (－x )＝－x ＋|x |，而－f (x )＝－x －|x |，所以f (x )＝x ＋|x |不是奇函数，排除A ；B 选项，因为f (x )＝x －1＋x ，所以f (－x )＝－x －1－x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，但令f (x )＝0，可知方程无解，即f (x )没有零点，所以排除B ；D 选项，因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以f (－x )＝cos x ＝f (x )，即f (x )为偶函数，排除D ；C 选项，因为f (x )＝1x ＋tan x ，所以f (－x )＝－1x －tan x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，曲线y ＝－1x 与y ＝tan x 必然有交点，因此函数f (x )＝1x＋tan x 必有零点，故选C.2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B ∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1,2)．3．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 作出y ＝|x 2－2x |的图象如图，由图知y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，即方程有2个解．4．若函数f (x )＝|log a x |－2－x (a ＞0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn ＞1 C ．0＜mn ＜1 D ．以上都不对解析：选C 由题设可得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x，不妨设a ＞1，m ＜n ，画出函数y ＝|log a x |，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象如图所示，结合图象可知0＜m ＜1，n ＞1，且－log a m ＝⎝⎛⎭⎫12m ，log a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝⎛⎭⎫12n －⎝⎛⎭⎫12m ＜0，所以0＜mn ＜1，故选C.5．(多选)(2021·青岛模拟)某同学求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：f (2)≈－1.307 f (3)≈1.099 f (2.5)≈－0.084 f (2.75)≈0.512 f (2.625)≈0.215f (2.562 5)≈0.066则方程ln x ＋2x －6＝0的近似解(精确度0.1)可取为( ) A ．2.52 B ．2.56 C ．2.66D ．2.75 解析：选AB 由表格可知方程ln x ＋2x －6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)内，因此选项A 中2.52符合，选项B 中2.56也符合，故选A 、B.6．(多选)(2021·济宁模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x,0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．d ＜aB ．d ＞bC ．d ＞cD ．d ＜c解析：选ABD 由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ；②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．7．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0， 即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1； 当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2， 因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－19．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10； 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5,10)． 答案：[5,10)10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋ 311．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立且a ≠0，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．故m 的取值范围为(0,1)．B 级——综合应用13．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：选C 因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.14．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，下列是关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数的判断，其中正确的是( )A ．当k ＞0时，有3个零点B ．当k ＜0时，有2个零点C ．当k ＞0时，有4个零点D ．当k ＜0时，有1个零点解析：选CD 当k ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0的图象如图①，此时f [f (x )]＋1＝0，即f [f (x )]＝－1有f 1(x )∈(－∞，0)，f 2(x )＝12两种情况．又f (x )在(－∞，0)和(0,1)上的值域均有(－∞，0)的部分，所以f 1(x )∈(－∞，0)有两根，f 2(x )＝12也有两根，故f [f (x )]＋1＝0有4个零点．当k ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0的图象如图②，此时f [f (x )]＋1＝0，即f [f (x )]＝－1只有f (x )＝12一种情况，此时f (x )＝12仅有一个零点．故当k ＞0时，函数y ＝f [f (x )]＋1有4个零点；当k ＜0时，函数y ＝f [f (x )]＋1有1个零点．故选C 、D.15．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则有t ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1≤1，而原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图所示，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. C 级——迁移创新16．定义在D 上的函数f (x )，如果存在x ∈D ，使得f (x ＋a )＝f (x )＋f (a )，则称y ＝f (x )存在关于实数a 的“线性零点”．如：函数f (x )＝mx (m ∈R)存在关于任意实数a 的“线性零点”，而函数f (x )＝ln6x 2＋2存在关于－2的“线性零点”． (1)是否存在非零实数a ，使f (x )＝3x ＋2存在关于a 的“线性零点”？并说明理由； (2)求证：对任意实数b ，函数f (x )＝2x ＋bx 2都存在关于2的“线性零点”． 解：(1)不存在．理由：假设函数f (x )＝3x ＋2存在关于非零实数a 的“线性零点”，即存在x ∈R ，使得f (x ＋a )＝f (x )＋f (a )，即3(x ＋a )＋2＝3x ＋2＋3a ＋2⇔2＝4，显然不成立，故不存在非零实数a ，使f (x )＝3x ＋2存在关于a 的“线性零点”．(2)证明：当f (x )＝2x ＋bx 2时，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)⇔2x ＋2＋b (x ＋2)2＝2x ＋bx 2＋4＋4b ⇔3×2x ＋4bx －4＝0，令g (x )＝3×2x ＋4bx －4， 易知g (x )在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，g (0)＝－1<0，g (1)＝2＋4b >0，故g (x )在(0,1)内至少有一个零点． 当b <0时，g (0)＝－1<0，g ⎝⎛⎭⎫1b ＝3×21b >0，故g (x )在⎝⎛⎭⎫1b ，0内至少有一个零点． 故对任意的实数b ，g (x )在R 上都有零点，即方程f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)总有解， 所以对任意实数b ，函数f (x )＝2x ＋bx 2都存在关于2的“线性零点”．。
(完整版)函数与方程经典例题及答案
函数与方程典型例题习题例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++， 由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-．（2）令()0f x =得2x =或4-，∴零点是122,4x x ==-．（3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ D ））A .1B .0C .2或0D .22．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）A .1B .2C .3D .不确定3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B .0，41- C .41,21- D .0，41,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．答案：有解． 函数与方程测试题（时间45分钟）一、填空题（共计6小题，每题10分）1、函数f(x)=122--x x 在区间（2，3）上零点的个数为 .2、已知：f(x)=b a x +的图象如图所示，则a 与b 的值分别为3、设f （x ）x e +1，则f （x ）＝ .4、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为________元5、若不等式2x +ax+1≥0对于一切x ∈（０，21］成立，则a 的最小值是 . 6、如果y=mx x -2，[]1,1-∈x 的最小值为－４，则m 的值为 .二、解答题（共计2小题，每题20分）7、设集合P=｛x|224+-x x +a=0，x ∈R ｝.（１）若P 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合Q ；（２）若对于任意a ∈Q ，不等式x 2-6x<a （x-2）恒成立，求x 的取值范围.8、已知函数f （x ）=xa 11-（a>0，x>0）. （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f （x ）在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］（m≠n），求a 的取值范围.试题答案：1、根据求根公式得方程两根212,1±=x ，故答案为1个。
函数与方程的练习题
函数与方程的练习题函数与方程的练习题函数与方程是数学中非常重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数与方程的性质和运用。
本文将介绍一些常见的函数与方程的练习题，帮助读者更好地学习和应用这些概念。
一、函数的练习题1. 设函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。
解析：将 x = 4 代入函数 f(x) = 2x + 3，得到 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。
所以f(4) 的值为 11。
2. 已知函数 g(x) = x^2 - 4x + 4，求 g(2) 的值。
解析：将 x = 2 代入函数 g(x) = x^2 - 4x + 4，得到 g(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 -8 + 4 = 0。
所以 g(2) 的值为 0。
3. 设函数 h(x) = |x - 2|，求 h(3) 的值。
解析：将 x = 3 代入函数 h(x) = |x - 2|，得到 h(3) = |3 - 2| = 1。
所以 h(3) 的值为 1。
二、方程的练习题1. 求解方程 2x + 3 = 7。
解析：将方程 2x + 3 = 7 移项，得到 2x = 7 - 3 = 4。
再将 x 的系数化为 1，得到 x = 4/2 = 2。
所以方程 2x + 3 = 7 的解为 x = 2。
2. 求解方程 x^2 - 4x + 4 = 0。
解析：观察方程 x^2 - 4x + 4 = 0，发现它可以写成 (x - 2)^2 = 0。
根据平方根的性质，得到 x - 2 = 0，即 x = 2。
所以方程 x^2 - 4x + 4 = 0 的解为 x = 2。
3. 求解方程 |x - 2| = 3。
解析：根据绝对值的定义，方程 |x - 2| = 3 可以拆分为两个方程：x - 2 = 3 和 x - 2 = -3。
解得 x = 5 和 x = -1。
解决函数与方程的练习题
解决函数与方程的练习题在数学学习的过程中，函数和方程是重要的概念。
解决函数与方程的练习题有助于加深对数学知识的理解和应用能力的提升。
本文将给出一些函数与方程的练习题，并给出解答过程。
一、函数题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)和f(a+1)。
解答：将x = 4代入函数f(x) = 2x + 3，得f(4) = 2*4 + 3 = 11。
将x = a+1代入函数f(x) = 2x + 3，得f(a+1) = 2*(a+1) + 3 = 2a + 5。
2. 设函数g(x) = x^2 - 5x，求g(2)和g(a-1)。
解答：将x = 2代入函数g(x) = x^2 - 5x，得g(2) = 2^2 - 5*2 = -6。
将x = a-1代入函数g(x) = x^2 - 5x，得g(a-1) = (a-1)^2 - 5(a-1) = a^2 - 7a + 6。
二、方程题1. 解方程2x - 5 = 3。
解答：2x - 5 = 32x = 3 + 52x = 8x = 8/2x = 42. 解方程3x^2 - 2x = 0。
解答：3x^2 - 2x = 0x(3x - 2) = 0x = 0 或 3x - 2 = 0x = 0 或 3x = 2x = 0 或 x = 2/33. 解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
解答：x^2 + 5x + 6 = 0(x + 3)(x + 2) = 0x + 3 = 0 或 x + 2 = 0x = -3 或 x = -2综上所述，通过解决函数与方程的练习题，我们可以进一步巩固对函数和方程的理解和应用能力的提升。
在解题过程中，我们需要注意将已知条件代入函数或方程，并进行计算得出结果。
希望通过这些练习题，读者能够更加熟练地运用函数和方程的知识。
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第35讲 函数与方程 过关练习
1．方程sin2x ＝sin x 在区间(0，2π)内解的个数是 ( )
（A ） 1 （B ）2 (C )3 （D ） 4
2．已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［2
1，+∞)都有意义，则实数a 的取值范围是 ( )
（A ）(0，41] （B ）(0，41) （C ）［41，1) （D (41，2
1） 3．已知函数f (x ) = log a (x 2- 4x + 8)， x ∈[0，2]的最大值为 -2，则a 的值为( )
（A ）12 （B ）1
4 （C ） 2 （D ） 4
4．方程lg x ＋x ＝3的解所在的区间为 ( )
（A ）(0，1) （B ） (1，2) （C ）(2，3) （D ） (3，+∞)
5．等差数列{ n a }中，4a ＝84，前n 项和为n s ，已知9s >0，10s <0，则当n ＝______时，n s 最大．
6．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2+ px > 4x + p - 3成立的x 的取值范围是________．
7．已知()()R c b a c bx x ax x f ∈++-=,,23在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程()0=x f 有三个实根，它们分别是βα,2,．
(Ⅰ)求b 的值，并求实数a 的取值范围;
(Ⅱ)求证:αβ+52
≥．
8．有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（A ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（B ）．
（Ⅰ）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1；
（Ⅱ）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费
V 2>V1．
图（A）图（B）。