1-1全称量词与存在量词导学案

1.4 全称量词与存在量词
【学习目标】
通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及.判断其命题的真假性．
【重点】理解全称量词与存在量词的意义
【难点】全称命题和特称命题的改写及真假的判定的策略.
【学习过程】
一.引入提出问题
观察下列语句：
(1)2x是偶数；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
(3)所有的三角函数都是周期函数．
问题1：以上语句是命题吗？
问题2：上述命题中强调的是什么？
1.全称量词和全称命题
某种性质来说的.
观察下列语句：
(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；
(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
问题2：上述命题有什么特点？
2.存在量词和特称命题
性质来说的．
观察下列命题：
(1)有的函数是偶函数；
(2)三角形都有外接圆．
问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？
问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？
3.含有一个量词的命题的否定
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
二. 例题讲解
例1.判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
变式训练:用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，1
3
x2＋
1
2
x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
例2. 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使
1
x
－1
＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．
变式训练:判断下列命题的真假：
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{a n}的公比q≠0；
(3)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋3≤0.
例3. 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：∀x∈R，x2－x＋1
4
≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x20＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
变式训练:判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
例4. 若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
变式训练:若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，求实数a的取值范围．
当堂练习:
1.有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4＞0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；
③∃x0∈N，使x20≤x0；④∃x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则￢p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
3．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定为￢p：______________. 5．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．
6．已知命题“∃x0∈R,2x20＋(a－1)x0＋1
2
≤0”是假命题，则实数a的取值范围
是____ ____．。