北京大学量子力学课件_第14讲

iE t / n ( r , t ) c u e nabc nabc n , a , b , c
* c u ( r ) ( r , 0 ) d r nabc nabc
ˆ2 , L ˆ z 完全集相应的本征函数为 Y ( , ) L lm
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，
1 2 ˆ ˆ ˆ F F ( x x ) F ( x x ) ( x ) ( x ) ( x ) 2 !
V 12 F x F ( x ) ( x ) x 2 ! 2 当场随空间变化非常缓慢，且 很小
x
时，我们有不等式
3 V 1 V x 2 x x 3 x 2 ! x
V V ( x ) F ( x ) x x
这样，量子力学中粒子运动与经典力学规 律相似。经典运动是一好的近似。 当然，根据测不准关系，
2 px 2 4x
2
2 因此，当 x 较小时， p x 比较大。 所以要有
2
2 d x V ˆ m F x 2 x dt

d x V ( x ) cl cl m 2 F ( x ) x cl x dt cl
2
要有两个条件： ★ 势随空间作缓慢变化： 3 V 1 V x 2 x x 3 x 2 !
2 ˆ ˆ 因[ ，它们有共同本征函数组。 L,L z]0
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] L z
ˆ, ˆ] ˆ [ L L L z
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
L
ˆ 2 的本征值为
l ( l 1 )
2
ˆ z 的本征值为 m L
ˆ A 1 * * ˆ ˆ
1 * ˆ ˆ ( t ) ( t ) d r ( t ) A H ( t ) d r H ( t )) ( t ) A ( t ) d r t i i
ˆ [A ˆ,H ˆ] d A A dt t i
lm lm 1 L Y ( l m )( l m 1 ) Y ˆ
ˆ L Y ( l m )( l m 1 ) Y lm lm 1
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量 子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
1 p 1 ˆ ˆ [ r , ] p r [ p , V ( r )] i 2 m i
ˆ p
2
2 ˆ
m
r V (r)
ˆ r 2 T V (r)
(x ,y ,z ) 是x,y,z的n次齐次函数，则 若V
ˆ nV 2T (r)
例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数
m
m l l m l
1 ( 2 l 1 ) ( l m )! 1 d l m2 l P (cos ) ( 1 ) ( ) sin m 2 l ! 4 ( l m )! sin d cos
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
ˆ ,B ˆ] i[A 2
A B
例1 所以，
ˆ x ， B ˆ p A ˆx
ˆ ˆ ˆ [ A , B ] [ x , p ] i x
x px 2
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
例2
1 但在特殊态 Y00 时 4
L Ly 0 x 0
( , )。 定，那就唯一地确定了本征函数 Y lm 其性质： 1. 正交归一
2 ˆ l , m 当 给定，也就是 L , L z 的本征值给

* Y ( , ) Y ( , ) d m m lm l m l l
2．封闭性
1 * Y ( , ) Y ( , ) ( ) ( ) lm lm sin l 0 m l
ˆ H
V (r) 2m
2 ˆ ˆ ˆ 都是运动常数，但 ˆ ˆ ˆ ˆ L ,L Lx, Ly, Lz x,L y,L z 彼此不对易，不能同时取确定值。 （2） Vivial Theorem 维里定理 不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无 关。
ˆ] ˆ ˆ d rp [ rp ,H 0 , dt i 2 ˆ ˆ ˆ [ r p , H ] 1 p 1 ˆ ˆ [ r p , ] [ r p , V ( r )] i i 2 m i
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式 如果， 1 , 2 是任意两个平方可积的波函 数，则

2 , , , 1 1 2 2 1 2



(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关
系： 如令
ˆ ( A A ) 1
ˆ ( B B ) 2
ˆ V(r) T
例：库仑势是x,y,z的 –1 次齐次函数
ˆ V(r) 2T
(3) 能量-时间测不准关系
由算符的“涨落”关系，有 1 ˆˆ ˆ ˆ A B i [ A ,B ] 2 ˆ H ˆ ，则有 如 B
1 ˆ ˆ A E i [ A ,H ] 2 ˆ 是不显含时间的算符，则有 若 A
l m l
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。 B. 本征函数
已求得
2 ˆ L , Lz 的共同本征函数组-球谐函数
( 2 l 1 )( l m )! m im Y ( 1 ) P ) e lm l (cos 4 ( l m )!
( b ) ( b ) 1 1 ˆ B v b v a 1 a
( b ) ( b ) 2 2 ˆ B v b v a 2 a
( b ) ( i )( ( i )( 1 ) 2 ) i v a u a u a a a 1 2
b b 11 b 21
b 12 b 22b
0
ˆ 可求得 B 的本征值。 ˆ ˆ 若 b 1 b 2 ，则 A , B 一起就唯一地决定 函数 (b i ) va
(3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组 正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ˆ ,B ˆ] 0 。 ˆ ， ˆ 必对易 ，[A A B 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
ˆ A ( ( t ), A ( t ))
* ˆ ( t ) A ( t ) * * ˆ ˆ A ( t ) d r ( t ) ( t ) d r ( t ) Ad r t t t
它随时间演化为 d A d * ˆ ( t ), A ( t ) d r dt dt
(1) ˆ ˆ 的本征态。但一般而言 尽管 Bu a 也是 A
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ˆ B u b u b u a 11 a 21 a
( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ˆ B u b u b u a 12 a 22 a
( 1 ) b u 11 a ˆ B (( ) ( 2 ) b u 12 a ( 1 ) b 21 u a )(( ) 2 ) b 22 u a
ˆ ,H ˆ] dA [A dt i
取
A A dA dt
则有
τ A ΔE 2
这即为能量和时间的测不准关系。
（4）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）
以 x
⋆
ˆ x 的平均值。 , p x 表示 x, p
ˆ x A
ˆx dx p dt m
体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值 。
ˆ 不显含t，则 若A
ˆ ,H ˆ] dA [A dt i
ˆ ,H ˆ ]0 ，则 Aˆ （对体系任何态）不随t变。 当 [A 2 c 而取 A s 的几率 ns 也不随 t 变。
n
ˆ 对易的不显含时间的力学量算 我们称与体系 H 符为体系的运动常数。
dA 0 dt
运动常数并不都能同时取确定值。因尽 ˆ 对易，但它们之间可能不对易。 管它们都与 H 2 如 p
⋆
ˆ p ˆx A
ˆx ˆ dp F x dt
体系动量算符平均值的时间导数等于作用力 的平均值。 于是有 2 d x V m 2 x dt
称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看 起来非常相似。
dxcl pxcl dt m
2
dp V xcl cl dt xcl
ˆ ,B ˆ 是力学量所对应的算符，并且对易 设： A
ˆ 的本征函数。 如 ua (x) 是 A
ˆ 的本征函数不简并，则 ⋆ A
ˆu B bu a a
ˆ 的本征值是两重简并。那问题就不 ⋆ 当 A
一样了。 ˆ 取值 测量 A 可能为
a 时，并不知处于那一态，
( 1 ) ( 2 ) α u α u 1 a 2 a
d xcl V m cl xcl dt2
但决不能无条件地认为
x x cl
如果这样，即得
d x V ( r ) m 2 x dt