§4.03 拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换和反变换
F (s)s(s2s 2 1 s 5 )1 5 [1 ss2 s 2 s3 5 ]
L 1 [(s 1 s ) 2 3 4 ] L 1 [(s ( 1 s ) 2 1 )4 ] L 1 [(s 1 4 )2 4 ]
0
s
t
L[ 0
t 0
f(t)dnt]s1nF(s)
第16页
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（7）初值定理
lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
f(0)lim sF(s) s
（8）终值定理
lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
f()lim sF(s)
Fssp1
Ns sp2 .......spn
k1 k2 .........kn
sp1 sp2
spn
其中 k i [F s(s p i)s ]p i
第23页
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例
F(s)s2
s1 5s6
解：（1）F（s）的极点
s25s60 s1 2 s2 3
Fs 的原函数；L是表示进行拉氏变换的
符号。
第2页
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F(s)L[f(t)]
f(t)L1[F(s)]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数
f t 变换为一个在复数域内与之等价的
复变函数 Fs。
第3页
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1）、 典型函数的拉氏变换
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
第20页
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拉普拉斯变换及反变换.
拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质表-1 拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z 变换表表-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=- （2）或iss i s A s B c ='=)()( （3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (4)（2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （6）。
拉普拉斯逆变换方法
拉普拉斯逆变换方法拉普拉斯逆变换是一种将函数从复平面变换回时间域的方法，它是拉普拉斯变换的逆运算。
这种方法在信号与系统分析中广泛应用，可以用于求解线性时不变系统的阶跃响应、单位脉冲响应等问题。
下面我将详细介绍拉普拉斯逆变换方法的原理和应用。
1.拉普拉斯逆变换的原理:f(t) = L^-1{F(s)} = 1/2πj∫{F(s)e^(st)}ds其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换操作符，t为时间，s为复变量。
2.拉普拉斯逆变换的求解方法:(1)部分分式展开法:当函数F(s)为有理函数时，可以通过部分分式展开的方法求解其拉普拉斯逆变换。
首先将F(s)分解为若干个较为简单的有理函数分式，再对每一个分式进行逆变换。
这一方法常用于分子次数小于等于分母次数的情况。
(2)留数法:当函数F(s)为解析函数时，可以通过留数法求解其拉普拉斯逆变换。
留数法基于复变函数论中留数的概念，通过计算F(s)在复平面上的留数来求解逆变换。
这种方法适用于函数F(s)在复平面上只有有限个极点和留数的情况。
(3)查表法:在实际计算过程中，常常使用拉普拉斯变换的表格，通过查表的方法快速求得逆变换。
拉普拉斯变换的表格中列举了许多常见函数的变换和逆变换对应关系，使用者只需根据具体情况查表即可。
3.拉普拉斯逆变换的应用:(1)求解线性时不变系统的阶跃响应:通过拉普拉斯变换和逆变换方法，可以求解线性时不变系统对阶跃信号的响应。
这对于分析和设计控制系统、滤波器等线性系统是非常有用的。
(2)求解线性时不变系统的单位脉冲响应:通过拉普拉斯变换和逆变换方法，可以求解线性时不变系统对单位脉冲信号的响应。
单位脉冲响应可以用于描述系统的传递特性、频率响应等重要信息。
(3)分析和设计滤波器:滤波器在信号处理中有着重要的应用，通过拉普拉斯逆变换方法可以求解滤波器的传递函数，从而分析其频率响应、稳定性等特性。
这对于滤波器的设计和优化是非常有帮助的。
(4)求解微分方程:总结:拉普拉斯逆变换是一种将复平面上的函数转换为时间域上的函数的方法。
拉普拉斯变换及反变换
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
机械工程控制基础 二、拉氏变换的优点
应用拉氏变换：
拉普拉斯变换及反变换
• （1）求解方程得到简化。 拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”
变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
• （2）初始条件自动包含在 变换式里。
机械工程控制基础 拉氏变换已考虑了初始条件
拉普拉斯变换及反变换
LT f (t) F(s)
t
f ( ) d
0
s L
t
0
f
( ) d
t 0
f
( )d积 分上限也应为0-
t 0
S L
t 0
f
(
)
d
∴
L
t
f
0
( ) d
1 s
L
f
(t )
例
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例1
u(t)t0
k2(2 ss1)52(s1)2S13 k1dds(2s5)S12
f(t)L1[F(s])2et3tet t0
例2
F(s)
s2 2s2 (s2)3
k1 (s2)
(s k22)2(s k32)3
等式两边乘 (s 2)3
F(s)(s 2)3 k1(s 2)2 k2 (s 2) k3
k3s2(s22 s)32(s2)3S22
lims11 s s
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i( 0 ) lis ( m 52) li(m 52) 3 s s 1s 2s 1 1 /s1 2 /s
例3
I(s)ℒ [1e-t]1 1 s s1
11 i(t)t ls i0m s(ss1)1
例4：已知F(s)= 1 ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换的基本性质表
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本性质
(1)
利用 ℒ
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
__
1
(s-1)2
二、拉普拉斯反变换
1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)]
（1）利用公式
f(t) 1 2πj
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
拉氏变换及反变换
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
n [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n ℒ [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换的基本性质表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
• 整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
( s b1 b0 ) E ( s ) ( s a1 ) r (0 )＋r (0 ) R(s ) s 2 a1 s a0
机械工程控制基础
三、积分定理
机械工程控制基础
六、初值定理和终值定理 初值定理
拉普拉斯变换及反变换
若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
t 0 s
则
f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且 lim f ( t )存在时
拉普拉斯变换及反变换
设 ℒ [ f (t )] F ( s)
则 ℒ [ 0
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算（12.1）称（(Laplace)0<时，（P 作（例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰ 2020][0p a e p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，∞=-=-+=→→1(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。
上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。
例12.4 求指数函数()atf t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]at at pt p a tL e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即)(1][a p a p e L at >-=类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
拉普拉斯反变换
N( p) N( p) = D( p) an ( p p1)( p p2 )( p pn )
k1 k2 kn = + ++ p p1 p p2 p pn
左右两边同乘以因子 ( p pi )再令 p = pi (i = 1,2,n)
2 3 1 3 2 = p 1+ 2 12 3 2 p + p +1 ( p+ ) +( ) 1 2 2 t 2 3
长除法
2 2 1 p +1 p p d 1 1 (3). 2 = ( 2 )+ 2 2= 2 2 ( p + 1) ( p +1) 2 dp p +1 p +1 d 1 d 1 sintε (t) p ( 2 ) [t sintε (t)] 2 dp p + 1 dt p +1 1 1 ∴ f (t) = [ t cos t + sint]ε (t) 2 2
3
e
2
sin
2
tε (t)
求拉氏反变换
e (1). p+2
p
2( p+2)
1 1 2 p 解： ∵ ε (t) e ε (t 2) p p
p ε (t) + ε (t 1) ε (t 3) ε (t 4) p 1+ e 3 p ε (t) + ε (t 1),1 e δ (t) δ (t 3) 或 p
2 4θ k11 = ( p + 2 j1) F( p) p=2+ j1 = e 4 π d 1 j2 k12 = [( p + 2 j1)2 F( p)] p=2+ j1 = e dp 4 1 2t π 1 2t π f (t ) = [ te cos(t ) + e cos(t + )]ε (t ) 4 2 2 2
§4.03 拉普拉斯反变换
2. 极点为共轭复数
F(s)
C1 C2 s p1 s p2
L
A1 A1 A2 s r1 s r1 s r2
A2 L s r2
其中 pi 为单实根，ri , ri 为共轭复根，各个系数 Ci , Ai , Ai
的求法和单实根一样， Ai , Ai是共轭复数。
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求系数A和B，
比如设 s 2，1得到
2
1 2
2
1 2
A
1 4
B
11 13
A B 13
A 3, B 8
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即
As B s2 4s
8
s2
3s 8 4s
8
3(s 2) (s 2)2
信号与系统
二．留数定理法
拉普拉斯反变换式
一阶极点的留数
f (t)
1
j
F (s)estds
2j j
n
n
f t L1Fs F(s)est的留数 ri
极点
i1
ri s pi F (s)est spi
k阶极点的留数
ri
1 dk1
k
1
!
dt
k
1
s pi
F
(s)e
4 (s 2)2
4te2t u(t )
4 4e2tu(t) s2
所以 f (t)=(4et -2t e2 2t 4te2t 4e2t )u(t)
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
拉普拉斯反变换公式
拉普拉斯反变换公式拉普拉斯反变换是数学中的重要技术之一，用于将函数从频域转换到时域。
它在控制论、信号处理、电路分析等领域中得到广泛应用。
拉普拉斯反变换的公式提供了一种有效的方法，可以将复杂的频域函数转换为相应的时域函数，从而更好地理解和分析系统的行为。
下面将介绍拉普拉斯反变换的公式及其相关内容。
拉普拉斯反变换的公式可以表示为：\[F(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} e^{st}F(s)ds\]这个公式说明了如何从复平面的s域转换到复平面的t域。
其中，\(\mathcal{L}\)表示拉普拉斯变换，\(F(t)\)表示时域函数，\(F(s)\)表示频域函数，\(s\)表示复变量，\(\sigma\)表示积分路径的实部，\(j\)表示虚数单位。
通过拉普拉斯反变换公式，我们可以将给定的频域函数\(F(s)\)转换为对应的时域函数\(F(t)\)。
这个过程可以被视为频域函数的“时域表达式”。
在实际应用中，有时需要先计算频域函数，再通过拉普拉斯反变换得到时域函数，以更好地理解和分析系统的性质。
拉普拉斯反变换公式的推导和证明是一门复杂而重要的数学技巧。
它涉及到复数积分、留数定理、柯西公式等数学工具，需要对复变函数的性质和变换技巧有深入的理解。
虽然在这里无法提供链接，但可以参考一些经典的数学教材和论文，如：- 《Mathematical Methods for Physicists》(George B. Arfken, Hans J. Weber 3rd Edition, Elsevier, 2012)- 《Complex Variables and Applications》(James Ward Brown, Ruel V. Churchill 9th Edition, McGraw-Hill Education, 2013)- 《Fundamentals of Applied Electromagnetics》(Fawwaz T. Ulaby, Umberto Ravaioli 7th Edition, Pearson, 2014)- 《Signals and Systems》(Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab 2nd Edition, Prentice Hall, 1996)除了以上的教材，还可以参考一些控制论、信号处理和电路分析的经典参考书籍，如《Control Systems Engineering》(Norman S. Nise 8th Edition, Wiley, 2021)、《Signals and Systems》(Simon Haykin, Barry Van Veen 2nd Edition, Wiley, 2003)以及《Microelectronic Circuits》(Adel S. Sedra, Kenneth C. Smith 7th Edition, Oxford University Press, 2015)等。
拉普拉斯反变换公式
拉普拉斯反变换公式拉普拉斯反变换是拉普拉斯变换的逆运算，用于将拉普拉斯域中的函数转换回时间域。
拉普拉斯变换在信号处理和控制理论中有广泛应用，因此理解拉普拉斯反变换的公式以及相关参考内容对于掌握这些领域的基础理论非常重要。
拉普拉斯反变换的公式如下：f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/(2πj) ∫[Re(s-a)-∞, Re(s-a)+∞] e^(st)F(s)ds这里，f(t)表示时间域中的函数，F(s)表示在拉普拉斯域中的函数，s是一个复变量，a是一个常数，∫表示对s的积分。
拉普拉斯反变换公式的推导和证明可以在很多高级数学和信号处理的教材中找到。
一些经典的参考书籍包括：1.《信号与系统分析》（Signal and System Analysis）- M.J. Roberts。
这本书是信号与系统分析的经典教材之一，其中详细介绍了拉普拉斯变换和反变换的理论基础，并提供了许多例子和习题来帮助读者理解和掌握这些概念。
2.《时间、频率和舍罕变换：一个工程数学手册》（Time-Frequency and Chirp Transforms: A Engineering Mathematical Handbook）- A. Yuan，也可以在该书中找到有关拉普拉斯反变换的详细讨论。
该书以工程应用为导向，旨在通过实际应用案例解释各种变换和反变换的概念和原理。
3.《线性系统与信号》（Linear Systems and Signals）- B.P. Lathi，该书是一本经典的信号与系统教材，可以在该书中找到详细的拉普拉斯反变换的定义和推导过程，以及相关的例子和练习。
除了这些书籍，还有许多在线教育平台和学术网站可以提供详细的拉普拉斯反变换公式和相关参考内容。
一些著名的学术网站包括IEEE Xplore、Mathematics Stack Exchange和ResearchGate等。
需要注意的是，拉普拉斯反变换是一项复杂的数学操作，需要一定的数学和信号处理基础才能正确定义和应用。
《拉普拉斯逆变换》课件
拉普拉斯逆变换的常见函数表
函数 单位阶跃函数 指数函数 正弦函数 余弦函数
拉普拉斯逆变换 1/s 1/(s - a) s/(s^2 + ω^2) s/(s^2 + ω^2)
拉普拉斯逆变换的求解方法
1
部分分式分解法
将复杂的函数表达式分解成简单的分式，再进行逆变换。
拉普拉斯逆变换
将复频域函数表达式转换回 连续时域函数表达式的操作。
复频域函数
描述信号在复平面上的频域 特性。
连续时域函数
描述信号在连时域与频域的关系
拉普拉斯逆变换使得我们能够在 时域和频域之间进行转换。
线性性质
拉普拉斯逆变换具有线性叠加的 性质。
时域缩放性质
2
拉普拉斯逆变换的表格法
利用常见函数表格，对复频域函数进行查表得到逆变换。
示例分析
单位阶跃函数的拉普拉斯逆变换
将单位阶跃函数在复频域进行逆变换，得到连续时 域表达式。
极点在左半平面的函数的拉普拉 斯逆变换
处理具有极点在左半平面的复频域函数，求取其相 应的时域表达式。
总结
拉普拉斯逆变换是信号与系统领域中重要的数学工具，通过逆变换操作，我 们可以从复频域回到连续时域，更好地理解和处理信号。
《拉普拉斯逆变换》PPT 课件
拉普拉斯逆变换是一个重要的数学工具，用于研究信号与系统。本课程将介 绍拉普拉斯逆变换的概念、性质、常见函数表和求解方法，以及通过示例分 析加深理解。
什么是拉普拉斯逆变换？
拉普拉斯逆变换是将复杂的连续时域函数表达式转换为复杂的复频域函数表达式的过程。
拉普拉斯逆变换的定义
拉普拉斯反变换公式
拉普拉斯反变换公式拉普拉斯反变换公式是拉普拉斯变换中的一个非常重要的定理，它是将拉普拉斯变换转化回时间域的关键。
通过拉普拉斯反变换公式，我们可以通过拉普拉斯变换得到的复数函数，获取到原始信号随时间所呈现的波形。
拉普拉斯反变换公式如下：$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s)e^{st} ds$其中，$f(t)$表示时域中的函数；$F(s)$表示频域中的函数，它是$f(t)$经过拉普拉斯变换后得到的复数函数；$s$是复平面上的变量，其实部为$\sigma$，虚部为$jw$；$j$是虚数单位，满足公式$j^2=-1$。
这个公式的意义是，从复平面上某一个起始点$\sigma-j\infty$开始，到一个结束点$\sigma+j\infty$结束时，对$F(s)$进行积分。
积分过程中，$s$在复平面中的轨迹，被称为积分路径。
在公式中，$e^{st}$表示时域中的复数因子，它在复平面上的轨迹是一个指向右上方的直线。
拉普拉斯反变换公式的使用方法，在于根据所给的$F(s)$，找到一个合适的积分路径，使得积分公示有意义，且可求。
一般而言，我们可以通过套用Look-Up表格来确定积分路径，以此找到正确的反变换。
当然，拉普拉斯反变换不同于傅里叶变换的反演公式，它比傅里叶反变换更加困难，也更加复杂。
因为在傅里叶变换中，频域和时域之间存在良好的对称关系，而且较为简单；而在拉普拉斯变换中，频域和时域之间的对称关系较为复杂，需要借助查表法或者解析法才能求解反变换。
不过，需要注意的是，虽然拉普拉斯反变换的计算较为困难，但是在实际应用中，它仍然是一种非常有用的数学工具。
它可以应用于多种领域，比如信号处理、微积分、电路理论等等。
同时，在应用中，我们可以根据情况采用不同的方法，如解析解法、分步积分法等等，以此来有效地求解反变换。
因此，拉普拉斯反变换公式是一种非常重要的数学工具。
拉普拉斯反变换的部分分式展开
s 1
=1
17
整理ppt
F(s) 1 s2 (s 1)3
K12
d ds
[(s
p1)3 F (s)]s p1
d1 ds s2 s1
2 s3 s1
=2
K13
1 2
d2 ds 2
1 s2
s 1
1 2
6 s4
s 1
=3
18
同理可求得
整理ppt
K21=1 K22=-3
所以
F (s)
s
3 1
(s
d ds
(s
p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
K12
d ds
[(s
p1)3 F (s)]s p1
14
3、K13的求法
整理ppt
用同样的方法可得
K13
1 2
d2 ds 2
[(s
p1 )3
F (s)]s p1
F (s)
K13 s p1
K12 (s p1)2
(s
K11 p1)3
n i2
Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi
6
整理ppt
例：求F(s)的原函数 F (s) 2s 1
s3 7s2 10s
解：
F(s)
2s 1 s3 7s2 10s
2s 1 s(s 2)(s 5)
D(s)=0的根为 p1=0 p2=-2
p3=-5
K1
2s 1
=0.1
(s 2)(s 5) s0
Ki (s pi )
f(t)=
K13e p1t
K12te
p1t
1 2
K11t 2e
拉普拉斯逆变换公式
《拉普拉斯逆变换公式》
拉普拉斯逆变换, LPF)是广义的拉普拉斯变换.在不考虑二阶项的情况下,若二阶连续可微函数在一点的拉普拉斯变换存在且有界则称函数f (x)在该点处可导或可微分.利用变换域内每个点处的拉普拉斯变换对应的函数值存在并且等于某实数,定义实数f (x)为拉普拉斯变换对该点的导数.由此得到,利用积分运算(求导,求积分)可以使高维问题转化成低维问题从而进行研究;也可把高维问题表示成一系列的二阶线性偏微分方程组.这就是拉普拉斯变换的重要应用之一--微分方程的求根公式.。
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i
的拉氏逆变换
(1)找极点 (2)展成部分分式
2s 2 3s 3 F ( s) ( s 1)( s 2)( s 3)
k3 k1 k2 F ( s) s 1 s 2 s 3
求系数
(3)逆变换
1 5 6 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3 1 t 根据 L e u (t ) sα t 2t 3t 得 : f (t ) e 5e 6e t 0
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j j
f t L 1F s F ( s)e st的留数 ri
一阶极点的留数
n
n
ri s pi F ( s )e st
极点
i 1
s pi
k阶极点的留数
1 d k 1 st ri k 1 s pi F (s )e k 1 ! dt s p
4
s 1
A0 [(s 2) F(s)] s 2
4 4 (s 1) s 2
d 4 3 A1 [( s 2) F ( s)] s 2 ds ( s 1) 2
4
s 2
1 d2 1 8 A2 [( s 2)3 F ( s)] s 2 2 ds 2 2 ( s 1)3
作长除法
s 2 s 3 3s 2 2s 2s 2 7 s 7 2s 2 6s 4 s3
s 5s 9 s 7 F ( s) s 2 3s 2
3 2
s 2 3s 2 s 3 5s 2 9s 7
s3 F ( s) s 2 s 2 F1 ( s ) s 1s 2 2 1 F1 ( s ) s1 s 2
所以 f1 (t ) L1 F1 ( s ) e t e 2t u (t )
所以 f t f1 t 2 e (t 2) e 2( t 2) u (t 2)
信号与系统
二．留数定理法
j
拉普拉斯反变换式
4
s 2
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
所以有
4 4 4 4 F( s ) 3 2 s 1 ( s 2) ( s 2) s2
4 2t 2 e 2t u(t ) ( s 2) 3
4 4e t u ( t ) s 1
4 4te2t u(t ) ( s 2) 2
p1 , p2 , p3 pn 是 B( s) 0
F ( s) 的极点
信号与系统
一．部分分式展开法
拉氏逆变换的过程 找出F(s)的极点
将F(s)展开成部分分式
查拉氏变换表求f(t)
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
1.单阶实数极点
A( s) F (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
p1 , p2 , p3 pn 为不同的实数根
kn k1 k2 F ( s) s p1 s p2 s pn
ki ( s pi ) F ( s ) s p
求出
i
k1 , k2 , k3 kn
即可将 F(s)展开成部分分式
信号与系统
例：求
2s 2 3s 3 F ( s) 3 s 6s 2 11s 6
所以
4 4e 2t u(t ) s2
f (t )=(4et -2t 2e2t 4te2t 4e2t )u(t )
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
F(s)两种特殊情况
非真分式—— 化为真分式＋多项式
含e 的非有理式 ——用时移性质
s
信号与系统
1.非真分式——真分式＋多项式s B F (s) 2 s s 1 s 4s 8
可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求系数A和B， 比如设 s 2，1 得到
1 1 1 2 2 2 2 A 4 B 11 A B 13 13
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
例：求 F ( s )
4 拉氏反变换 3 ( s 1)( s 2)
A0 C1 A1 A2 解：展成部分分式 F(s) 3 2 s 1 ( s 2) ( s 2) s2
C1 (s 1) F(s) s 1
3
4 ( s 4) 3
f t t 2 t 2 e t u(t ) e 2 t u(t )
信号与系统
2.含e-s的非有理式
e s 项不参加部分分式运算，求解时利用时移性质
e2 s F1 ( s) e2 s s 2 3s 2
1 1 F1 ( s) s 1 s 2
A 3, B 8
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即
As B 3s 8 3( s 2) 2 3( s 2) 2 2 2 2 2 s 4 s 8 s 4 s 8 ( s 2) 4 ( s 2) 4 ( s 2) 2 4
信号与系统
§ 4.3 拉普拉斯逆变换
信号与系统
一．部分分式展开法
通常F(s) 具有如下的有理分式形式：
A( s) am s m am1s m1 a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0
ai,bi为实数，m,n为正整数。 当 m n , F ( s) 是真分式
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
2. 极点为共轭复数
C1 C2 A1 A1 A2 A2 F ( s) s p1 s p2 s r1 s r1 s r2 s r2
其中
pi 为单实根， ri , ri
i
为共轭复根，各个系数
i
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
3. 有重根存在
bm s m bm1 s m1 b1 s b0 A0 Ak 1 C1 C2 A1 k k k 1 s p1 s p2 s pi a n ( s p1 )( s p2 )( s pi ) ( s pi ) ( s pi )
分解
A( s) am ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) F ( s) B( s) bn ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
零点
z1 , z2 , z3 zm
极点
是 A( s) 0 的根，称为 F ( s) 的零点 的根，称为
3( s 2) 3e2t cos(2t )u (t ) ( s 2)2 4
2 e2t sin(2t )u (t ) ( s 2)2 4
所以有：
f (t ) u(t ) 2e t u(t ) e 2t [3 cos 2t sin 2t ]u(t )
用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单
A0 (s pi ) k F(s) s p
i
d A1 [( s pi ) k F ( s)] s pi ds
对于非重根，系数的求法 和前面一样，对于重根则 需用求导的方法求系数
1 d2 A2 [( s pi ) k F ( s)] s pi 2! ds 2 1 d k-1 Ak 1 [( s pi ) k F ( s)] s pi k 1 ! ds k 1
Ci , Ai , Ai
的求法和单实根一样， A , A是共轭复数。
信号与系统
一．部分分式展开法(m<n)
2 s 3 8s 2 4 s 8 例：求 F ( s) s( s 1)( s 2 4s 8)
解：
的逆变换
C1 C2 2 s 3 8s 2 4 s 8 As B F (s) 2 2 s( s 1)( s 4s 8) s s 1 s 4s 8