2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 16正态分布含解析

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人教版B版高中数学选修2-3(B版)正态分布

事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验，事件A恰好发生k次的概率
P(X＝k)＝
.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，
并称p为成功概率．
4．总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分
A．3 B．4 C．5 D．3或4
解析：采取特殊值法．
∵P(ξ＝3)＝
，P(ξ＝4)＝
，P(ξ＝5)＝
从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．
答案：D
4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3 人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01) 解析：由已知p＝0.80，则P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.94. 答案：0.94
解法二：至少有1人击中包括3种情况：①1人击中；②2人击中；③3人都击中． ∵射击1次，∴以上3种情况互斥．∴敌机被击落的概率是： P＝
＝
变式1.在如右图所示的电路中，开关a，b，c开或关的概率都为，且相互独立，求灯亮的概率．
解答：解法一：设事件A、B、C分别表示开关a，b，c关闭，则a，b同时关合或c 关合时灯亮，即A·B· ，A·B·C，或 ·B·C，A· ·C，
【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－2σ，μ＋2σ)；
F(μ－3σ，μ＋3σ)．
解答：F(μ＋σ)＝Φ(
)＝Φ(1)＝0.841 3
F(μ－σ)＝Φ(
)＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841 3＝0.158 7
F(μ－σ，μ＋σ)＝F(μ＋σ)－F(μ－σ)＝0.8413－0.1587＝0.682 6

2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 18回归分析含解析

解析：法一：特殊值法．令x1＝1得 1＝0.254＋0.321.
令x2＝1＋1＝2得 2＝2×0.254＋0.321， 2－ 1＝0.254.
法二：由 1＝0.254x1＋0.321， 2＝0.254(x1＋1)＋0.321，则 2－ 1＝0.254.
答案：0.254
8．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：
解析：因为＝0.25x－2.58，＝lny.
所以y＝e0.25x－2.58.
答案：y＝e0.25x－2.58
4．某工厂为了对新研发一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量Y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝ x＋，其中＝－20，＝－ .
∴ ＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
∴回归方程为＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.
答案：B
6．已知x，Y取值如下表：
x
2
3
4
5
Y
2.2
3.8
5.5
6.5
从散点图分析，Y与x线性相关，且回归直线方程为＝1.42x＋，则取值为________．
解析：由已知得＝＝3.5，＝4.5.
课时训练18回归分析
(限时：10分钟)
1．下列是x和Y之间一组数据，
x
0
1
2
3
Y

2018年高中数学北师大版选修2-3课件：§6 正态分布

2. 正态分布密度函数的性质正态分布密度函数满足以下性质：直线x＝μ对称 (1)函数图像关于 (2) σ(σ>0)的大小 (3)如下图所示，
；
决定函数图像的“胖”“瘦”；
P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.
[针对训练] 1. 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函 1 数的最大值为 . 4 2π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
[解]
(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所在其图像关于y轴对称，即μ＝0. 1 1 由＝，得σ＝4. σ 2π 2π· 4 故该正态分布的概率密度函数的解析式是
§6
正态分布
01课前自主学习
1. 正态分布如果一个连续型随机变量X的分布密度函数为
x－μ2t;＋∞ σ 2π
，
其中exp{g(x)}＝eg(x)，那么称X服从参数为μ和σ2的正态分
2 X ～ N ( μ ， σ ) 布，通常记作
．
正态分布的两个重要参数：均值μ和方差σ2(σ>0)．当μ和σ2 给定后，就是一个具体的正态分布．不同的μ和σ对应着不同的分布密度曲线，如下图所示．
正态分布密度曲线如图所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态
分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[思路分析] 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x 1 ＝20，最大值为，因此，μ＝20，由＝可求得σ的 2 π 2 π σ 2π 值． 1 1
[完美作答] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是 1 2 π ，所以μ＝20.

2018版数学新导学同步人教A版选修2-3：第二章章末检测卷含解析

答案：A
10．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()
A. B.
C. D.
解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝ × ＝ .在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)＝＝＝ .
A．100B．200
C．300D．400
解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，
∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为2·E(ξ)＝200.
答案：B
7．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为()
A．3B．5
C．10D．15
解析：由已知X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，
∴P(1≤x≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，
∴n＝15.
答案：D
9．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列：
A．0.960B．0.864
C．0.720D．0.576
解析：由已知P＝P(K 1A2)＋P(K 2A1)＋P(KA1A2)＝0.9×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.8＝0.864.故选B.

高二数学(选修2-3人教B版)-正态分布

例：当 0, 1 时，正态变量（这时称它为标准正态变量）
(2,2) ，(3,3) 内取值的概率分别是 68.3%，95.4%，
在区间 (1,1) ，
99.7%.
典型例题
练习：设有一正态变量，它的概率密度曲线是函数
的图象，且
，则这个正态变量的均值与
标准差分别是(
A．10与8
答案： B
典型例题
例：某工厂生产的圆柱形零件的外直径 X (单位：mm）
2
服从正态分布 N (4,0.5 )，质检人员从该厂生产的1000个
零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7mm，试判
断该厂生产的这批零件是否合格？
典型例题
分析：
解题一定要将所求问题向 P( , ) ,P( 2 , 2 )
( 3 , 3 ) 这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
典型例题
例：某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分
2
布N (70,10 )，该年级有2000名学生，如果规定低于60分
为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？
2
解：设学生的得分为随机变量 X ，
X N (70,10 ) ，则
的概率只有0.0026，而 5.7 (2.5,5.5) ，这说明在一次试
验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以
认为该批零件是不合格的．
典型例题
规律方法总结：
求正态变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定 , 的值；
(2)将待求问题向( , ), ( 2 , 2 ),
（1）曲线在 x轴的上方，与x 轴不相交.

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《正态分布》教案1

2.4 正态分布【教学目标】①了解什么叫正态曲线和正态分布认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义； ②会根据正态曲线的性质求随机变量在某一范围内的概率。

【教学重点】正态曲线的性质。

【教学难点】对正态分布的理解及应用。

一、课前预习1.正态变量：服从_______的_________叫做正态随机变量，简称________。

2.正态曲线：（1）概念：正态变量的概率密度函数的图象叫做____________，它与x 轴一起围成的面积是______。

其函数表达式为R x e x f x ∈⋅=--,21)(222)(σμσπ其中σμ,是参数，且0,σμ>-∞<<+∞。

μ和σ分别为正态变量的________和______。

正态分布通常记作：______。

其中1,0==σμ的正态分布叫做______。

（2）性质：①曲线在x 轴的______，并且关于直线_____对称；②曲线在______时处于最高点，并且由此出向左右两边延伸时，曲线逐渐_______，呈现_________________的形状；③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越______，σ越小，曲线越_______。

3.正态变量在三个特殊区间)3,3(),2,2(),,(σμσμσμσμσμσμ+-+-+-内取值的概率值分别为：__________________________。

二、课上学习例1、已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则(4)_____P X >=。

例2、在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，及)100,90(~N X 。

（1）试求考试成绩X 位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？三、课后练习1.已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__________。

2018版数学新导学同步人教A版选修2-3作业及测试模块提升卷 Word版含解析

()在上表中的空白处填上相应的数据；
()是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？
解析：()填表如下：
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
()根据列联表数据可得的观测值
＝≈>，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．
．(分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)．质量的分组区间为(]，(]，…，(]，由此得到样本的频率分布直方图，如下图．
．
解析：从个球中任取个球共有种取法，其中有个红球，个白球的情况有·＝(种)，所以＝＝.
答案：
．已知ξ的分布列为：
ξ
则(ξ)的值为()
解析：(ξ)＝×＋×＋×＋×＝，
(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.
故选.
答案：
．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立检验法抽取人，计算发现＝，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是()
所以＝，的通项
＋＝()－＝(－)－.
当＝时，展开式中的项的系数最大，即＝.
当＝或时，展开式中的项的系数最小，即＝－，＝－.
．(分)为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的名学生进行调查．得到如下的统计表：
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
已知在全部名学生中随机抽取人对创建工作满意的概率为.
即展开式中的系数为＝.
答案：
．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为＝＋，那么表中的值为()

2018版高中数学第二章概率第16课时正态分布课件新人教B版选修2_3

2 新视点· 名师博客类型一正态曲线的图象的应用【例 1】如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
解析：从正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对称，最 1 大值为， 2 π 1 1 所以 μ＝20，＝，∴σ＝ 2. 2πσ 2 π 1 x 420 于是 φμ，σ(x)＝ · e ， 2 π x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
类型三正态分布的应用【例 3】据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位： cm)服从正态分布 N(174,9)．若该市共有高二男生 3 000 人，试估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
点评 1.本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转化求值． 2.解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述区间的哪一个.
知识点二正态分布如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) b ＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布．
a
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．讲重点对正态分布的理解
2．正态曲线的性质 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； 1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值； 2πσ ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

数学人教B版选修2-3知识点总结(含例题)

数学人教B版选修2-3知识点总结(含例题).doc 数学人教B版选修2-3知识点总结（含例题）封面文档标题：数学人教B版选修2-3知识点总结（含例题）作者姓名学校/学院名称完成日期目录自动生成目录，方便阅读引言简述数学选修2-3课程的重要性阐述知识点总结的目的和意义第一章：计数原理与概率知识点基本计数原理排列组合的概念和计算方法二项式定理及其应用例题排列组合的典型例题二项式定理的应用题第二章：统计与概率知识点数据的收集、整理与描述统计图表的绘制与解读概率的基本概念和计算例题数据整理与描述的例题统计图表绘制的例题概率计算的典型例题第三章：极限与导数知识点极限的概念和性质导数的定义和计算方法基本导数公式和应用例题极限概念的例题导数计算的例题导数应用的典型例题第四章：复数与多项式知识点复数的概念和运算多项式的基本概念多项式的因式分解例题复数运算的例题多项式基本概念的例题多项式因式分解的例题第五章：空间几何知识点空间直线与平面的位置关系空间几何体的表面积和体积空间向量及其应用例题空间直线与平面位置关系的例题空间几何体表面积和体积的例题空间向量应用的例题第六章：解析几何知识点圆锥曲线的性质和方程参数方程和极坐标方程曲线的切线和法线例题圆锥曲线性质的例题参数方程和极坐标方程的例题曲线切线和法线的例题结语总结数学选修2-3课程的主要内容强调知识点总结对学习的帮助附录知识点梳理表重要公式汇总例题答案解析。

高中数学新导学同步人教A版选修2-3检测及作业：课时作业 16正态分布含解析

＝，，曲线最高点的纵坐标为
在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖
③
服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)
2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.
分，共20分)
．在一次测试中，测量结果X服从正态分布，画出示意图，
，)
2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.
P(0<X<4)]
如图所示，下列结论中正确的是()
≥μ1)
≤σ1)
P(X≥t)≥P(Y≥t)
P(X≤t)≥P(Y≤t)
名男生中属于正常情况的人数约为________．
依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X
6，从而属于正常情况的人数为
写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
求此地农民工年均收入在8 000～8 500
设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式
＝，
(2)∵P(7 500<ξ≤8 500)
＝P(8 000－500<ξ≤8 000
＝0.682 6.
∴此地农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数百分比为34.13%.。

数学人教B版选修2-3课后导练 2.4正态分布含解析精品

课后导练基础达标1．若设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P （ξ≤c ）=P(ξ>c),则c 的值为（） A.0 B.μ C.-μ D.σ解析：由正态曲线知：曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，其概率为图象与x 轴以及垂直于x 轴的直线所围成的图形的面积，如图可得c=μ,答案为B 项. 答案：B2.利用标准正态分布表，求标准正态总体N （0，1）在（-0.5,1.5）内取值的概率（） A.0.624 7 B.0.375 3 C.0.246 7 D.1 解析：P （-0.5<x<1.5）=Φ(1.5)-Φ(-0.5)-［1-Φ(0.5)］=Φ(1.5)+Φ(0.5)-1=0.933 2+0.691 5-1=0.624 7.故选A 项. 答案：A3．若随机变量X~N （5，22）则P （3<X≤7）=___________,P(X≤3)= ___________,P(X>7)= ___________. 解析：∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(3<X≤7)=P(5-2<X≤5+2)=0.682 6, 结合图象P （X≤3）=P （X>7）, ∴P(X≤3)=P(X>7)=21［1-P （3<X≤7）］=0.1577. 答案：0.682 6 0.157 7 0.157 74．灯泡厂生产的白炽灯泡寿命为ξ(单位：小时)，已知ξ~N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在___________小时以上. 解析：∵ξ~N(1 000,302), ∴ξ在（1 000-3×30,1 000+3×30）,即（910，1 090）内取值的概率为0.997，故应将灯泡的寿命控制在910小时以上. 答案：9105.某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N （100，102），求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.解析：P （X>120）=1-P(X≤120)=1-［Ｐ（８０）+P(X<80)］, 又P （X>120）=P(X<80), ∴P(X>120)=21［1-P （80≤X≤120）］=21 (1-所以，此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28%.6.设ξ~N(3,22)，借助于Φ（x ）表示，求：（1）P （-2<ξ<7）;(2)确定C 的值，使得P （ξ>C ）=P(ξ≤C). 解析：（1）P （-2<ξ<7）=Φ(237-)-Φ(232--)=Φ(2)-Φ(-2.5)=Φ(2)-［1-Φ(2.5)］=0.977 2-［1-0.993 8］=0.971 0.(2)∵P(ξ>C)=1-P(ξ≤C),又P(ξ>C)=P(ξ≤C), ∴P(ξ≤C)=0.5,而P （ξ≤C)=Φ(23-C )=0.5, 查Φ(x)表，得Φ（0）=0.5.故23-C =0,∴C=3. 7.随机变量ξ~N(μ,σ2),而且已知P （ξ<0.5）=0.079 3,P(ξ>1.5)=0.761 1,求μ与σ2. 解析：∵ξ~N （μ,σ2）, ∴P(ξ<0.5)=Φ(σμ-5.0)=0.079 3,即1-Φ(σμ-5.0)=0.920 7.∴Φ(σμ-5.0)=0.920 7,查表得σμ-5.0=1.41.又P （ξ>1.5)=1-P （ξ≤1.5)=1-Φ(σμ-5.1)=0.761 1.∴Φ(σμ5.1-)=0.761 1.查表得σμ5.1-=0.71.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-71.05.1,41.15.0σμσμ得⎩⎨⎧==.43.1,515.2σμ∴μ=2.515,σ2=2.044 9.8.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N （50，102）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N （60，42）. （1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？（2）若只有65分钟可用，又应走哪条路线？解析：设ξ为行车时间.（1）走第一条路线，及时赶到的概率为 P （0<ξ≤70）=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.977 2; 走第二条路线及时赶到的概率为 P （0<ξ≤70）≈Φ(105065-)=Φ(2.5)=0.993 8, 因此在这种情况下应走第二条路线. （2）走第一条路线及时赶到的概率为 P(0<ξ≤65)≈Φ(105065-)=Φ(1.25)=0.933 2; 走第二条路线及时赶到的概率为P （0<ξ≤65）≈Φ(105065-)=Φ(1.25)=0.894 4, 因此在这种情况下应走第一条路线.9.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=2221x e-π,x ∈R .(1)证明f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于任意的x ∈R, f(-x)=2)(222x e--π=2221x e-π=f(x).所以f(x)是偶函数.（2）令z=22x .当x=0时，z=0,e x =1;当x≠0时，z>0,e z >1.由于e z 是关于z 的增函数，所以当x=0(即z=0)时，22x e =e z 取得最小值，所以当x=0时，f(x)= 2221x e-π取得最大值π21. 综合运用10．某正态总体的概率密度是偶函数，而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间（-∞,0.2）及（-1.2,0.2）之内的概率. 解析：正态分布的概率密度函数f(x)=22)(21σμσπ--x e(x ∈R )是偶函数，说明μ=0.f(x)的最大值为f(x)max =f(μ)=σπ21,所以σ=1，这个正态分布就是标准正态分布. 查标准正态分布表得：在区间（-∞,0.2）中的概率P 1=0.579 3，设区间（-∞,-1.2）中的概率为P 2，则在区间（-1.2,0.2）中的概率为P 1-P 2.设P 3为总体落在（-∞,0）内的概率，易知P 3=0.5,P 4是总体落在（-1.2，0）内的概率，由正态曲线的对称性知它等于总体落在（0,1.2）内的概率，也就是等于总体落在（-∞,1.2）内的概率减去总体落在（-∞,0）内的概率：0.884 9-0.5=0.384 9. 所以P 2=0.5-0.384 9=0.115 1.所以所求总体在（-1.2,0.2）中的概率为P 1-P 2=0.579 3-0.115 1=0.464 2. 11．设ξ~N(1,22),试求：（1）P （ξ>2）,P(0≤ξ≤2);(2)求常数c ，使P （ξ>c ）=4P(ξ≤c).（参考数据：Φ（0.5）=0.691 5,Φ=(0.84)=0.800 0)解析：（1）P （ξ>2)=1-P(ξ≤2)=1-Φ(212-)=1-Φ(0.5)=0.308 5. P(0≤ξ≤2)=Φ(212-)-Φ(210-)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=Φ(0.5)-［1-Φ(0.5)］=0.383 0. (2)由P （ξ>c)=4P （ξ≤c),得1-P （ξ≤c ）=4P(ξ≤c),P(ξ≤c)= 51=0.2.∴Φ(21-c )=0.2,∴Φ(21c -)=1-Φ(21-c )=0.8.则21c -=0.84,c=0.68.12．生产工艺工程中产品的尺寸偏差ξ(mm)~N(0,22),如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过3 mm 的为合格品，求生产的5件产品的合格率不小于80%的概率. 解析：由题意，ξ~N(0,22) ∴P(|ξ|≤3)=Φ(23)-Φ(-23)=Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1=0.866 4. 设η表示5件产品中合格品数.∴η~B(5,P)(其中P=P （|ξ|≤3）),∴P(η≥5×0.8)=P(η≥4)=45C ×(0.866 4)4×0.133 6+(0.866 4)5≈0.376 4+0.488 19≈0.865.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.865. 13．分别求正态总体N （μ,σ2）在区间（μ-σ,μ+σ）、(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率. 解析：F （μ+σ）=Φ［σμσμ)(+］=Φ(1),F(μ-σ)=Φ［σμσμ)(-］=Φ(-1),所以正态总体N （μ,σ2）在（μ-σ,μ+σ）内取值的概率是F （μ+σ）-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］ =2Φ(1)-1=2×0.841 3-1≈0.683;同理，正态总体N （μ,σ2）在（μ-2σ,μ+2σ）内取值的概率是 F （μ+2σ）-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2)≈0.954. 拓展探究14．已知总体服从正态分布N （120，3.62）,求满足下列条件的个体在总体中所占的比例. （1）数值不大于129；（2）数值大于108；（3）数值在112.8与123.6之间.解析：由正态分布N （120，3.62）得总体平均数μ=120,σ=3.6. (1)F （129）=Φ(6.3120129-)=Φ(2.5)≈0.993 8.即数值不大于129的个体在总体中所占的比例为0.993 8. (2)F(108)=Φ(6.3120108-)=Φ(-3.33)=1-Φ(3.33).∴1-F(108)≈Φ(3.33)≈0.999 6,即数值大于108的个体在总体中所占的比例为0.999 6.(3)F(112.8)=Φ(6.31208.112-)=Φ(-2)=1-Φ(2).F=(123.6)=Φ(6.31208.112-)=Φ(1).∴F(123.6)-F(112.8)=Φ(1)+Φ(2)--1=0.818 6. 即数值在112.8与123.6之间的个体在总体中所占的比例为0.818 6.。

2018版数学新导学同步人教A版选修2-3第三章章末检测卷含解析精品

画出散点图如图所示，则应去掉第3
．如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上，那么残差平方和与相关系数的绝对值分别为()
0.43,0.57
如果所有的样本点均在同一直线上，
初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
个曲线类型：①y＝bx＋a；②y＝c x＋d；
＝c1x2＋c2，则较适宜作为年销售量y
)
．②③
．③⑤
从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线
上部分)的附近，所以y＝c x＋d或y＝p＋
散点图如图所示：
根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；根据以上数据完成如表所示的2×2列联表
主食蔬菜主食肉
类
总计
岁以
散点图与直线y ^＝78＋4.2x 的图形如图，，有
94.8，103.2,111.6,120,120,124.2,132.6
∑i ＝1
10
(y i －y ^i )2＝170. (3)比较可知，(2)中求出的∑i ＝1
10
(y i －y ^i )2较小．。

高中数学选修2-3：第八讲正态分布含解析精品

第八讲正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=22()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ． 9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________．【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________．【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=．又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=，所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。

2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 17独立性检验含解析

课时训练 17 独立性检验(限时：10分钟)1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：男女合计爱好 40 20 60 不爱好20 30 50 合计 60 50 110 由χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.则有______把握认为“爱好该项运动与性别有关”．解析：因为χ2≈7.8≥6.635，所以根据独立性检验的定义可知有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：99%2．考察棉花种子经过处理与得病之间的关系得到如下表数据：种子处理种子未处理合计得病32 101 133 不得病61 213 274合计93 314 407 根据以上数据，则( )A ．种子经过处理与是否生病有关的是()A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%解析：由题意可知根据χ2≈3.918≥3.841，因此说明了有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，B，C，D不对．答案：A4．某小学对232名小学生调查发现：180名男生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验的方法判断多动症与性别________(填“有关”或“无关”)．解析：由题目数据列出如下列联表：多动症无多动症合计男生9882180女生25052合计100132232 由表中数据可得到χ2＝232×(98×50－82×2)2180×52×100×132≈42.117＞6.635.所以，有99%的把握认为多动症与性别有关系．答案：有关(限时：30分钟)1．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有()A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤解析：独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．答案：B2．变量X和Y的列联表如下，则下列说法中正确的是()y1y2合计x1 a b a＋bx2 c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c答案：C3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确解析：A、B是对χ2的误解，99%的把握认为吸烟和患肺病有关，是指通过大量的观察实验得出的一个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能这100个人全健康．答案：C4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系”的可信度，如果χ2>6.635，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()A．0.05 B．0.95C．0.01 D．0.99解析：通过查表确定临界值χ0. 当χ2>χ0＝6.635时，推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过0.01.故选C.答案：C5．下列说法正确的个数为()①事件A与B独立，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据；④若判定两事件A与B女7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到随机变量χ2的值：χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．解析：根据χ2≈4.844>3.841，可判断有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．故有5%的可能性出错．答案：5%8．若两个分类变量X 与Y 的列联表为：y 1 y 2 总计 x 1 10 15 25 x 2 40 16 56 总计 50 31 81则“X 与Y 之间有关系”这个结论出错的概率为________．解析：由列联表的数据，可求得随机变量K 2的观测值k ＝81×(10×16－40×15)225×56×50×31≈7.227＞6.635.因为P (K 2≥6.635)≈0.01，所以“X 与Y 之间有关系”出错的概率仅为0.01.答案：0.019．在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，画出列联表，试用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关．你所得到的结论在什么范围内有效？解析：(1)根据题目所给的数据作出如下的列联表：赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

2018年高二数学北师大版选修2-3同步备课指导练习：2.6 正态分布 Word版含解析

第二章 §6 6.11．下列图像可以作为正态分布密度曲线的是( )答案：D2．下列函数中是正态分布密度函数的是( )A ．f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，μ和σ (σ＞0)都是实数 B ．f (x )＝2π2πe －x 22C ．f (x )＝122πe －(x －1)24 D ．f (x )＝12πe x 22解析：根据正态分布密度函数f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2进行判断．答案：B3．已知X ～N (0,62)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.8解析：由正态分布曲线的性质知P (0≤X ≤2)＝0.4，∴P (－2≤X ≤2)＝0.8.∴P (X ＞2)＝12(1－0.8)＝0.1．答案：A4．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x ＝μ对称且在x ＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2．答案：0.25．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2 m，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？解：由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2 m的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．。

人教b版选修2-3高中数学24《正态分布》word课时作业(含解析)高三数学试题试卷.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学2. 4正态分布课时作业新人教B 版选修2-3一、选择题1.已知随机变量§服从正态分布艸（4, 。

2）,若A 08） =0.4,则A <<0） = （） A. 0.3C- 0.6［答案］B［解析］・・•随机变量§服从正态分布M4, /）, 〃=4,尸（08）=0.4,・・・戶（弘0）=尸（§>8） = 0.4,故选 B. 2•总体密度|11|线是函数-2。

2 ，圧R 的图象的止态总体有以卜命题:（1）正态曲线关于直线U 对称；（2）正态曲线关于直线。

对称；（3）正态曲线与/轴一定不相交；（4）正态|11|线与x 轴一定相交.其屮止确的命题是（）A. (2) (4)B. (1) (4)C. (1) (3)D. (2) (3) ［答案］0［解析］由正态函数图象的基本特征知（1）（3）正确.故选C.3. （2015 •湖北理，4）设卅），心川（〃2,比），这两个正态分布密度曲线如图所A. B. 。

（辰 o2）W/VWs ）C. 对任意正数匕PgbAPgi ）D. 对任意正数龍基础巩B. 0.4 I). 0.7 示•下列结论中正确的是（［答案］C［解析1由正态分布的对称性及意义可知选C.4.（2015 •大兴高二检测）设随机变量X〜N5代且PO>2）=Q,则P（0*l）的值为（）1A. ~pB. \—p1C・ 1一2/? D. ~p［答案］D［解析］由正态曲线的对称性和P（衣1）=*,知〃=1,即正态曲线关于直线x=l对称，于是，PCK0）=PQ>2）,所以户（0〈从1）=户（*1） -AX0）=戶（从1） -PQ>2） =£-p5.某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，如图所示，则下列说法中正确的一个是（）A.乙科总体的标准差及平均数不相同B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C.丙科总体的平均数最小D.川科总体的标准差最小［答案］D［解析］由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，6/ Me/乙〈。

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课时训练 16 正态分布
(限时：10分钟)
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( ) A ．f (x )＝ B ．f (x )＝
C ．f (x )＝
D ．f (x )＝答案：A
2．如果随机变量ξ～N (－1，σ2)，且P (－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P (ξ≥1)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 答案：A
3．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N (100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )
A ．22.8%
B ．45.6%
C ．95.44%
D ．97.22% 答案：C 4．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ＞a －1)，则实数a 的值为__________．解析：因为随机变量X ～N (1,52)，所以正态曲线关于x ＝1对称，因为P (X ≤0)
＝P (X ＞a －1)，所以0与a －1关于x ＝1对称，所以1
2×(0＋a －1)＝1，所以a ＝3.
答案：3
5．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X 服从正态分布，其概率密度函数是
f (x )＝162π
e 2
20972
x (-)
-，x ∈R .试求光通量在下列范围内的白炽灯的个数．
(1)(209－6,209＋6)． (2)(209－18,209＋18)．
解析：由于X 的概率密度函数为
f (x )＝1
62πe ，
所以μ＝209，σ＝6.
所以μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.
μ－3σ＝209－6×3＝209－18，
μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.
因此光通量X的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.
(1)光通量X在(209－6,209＋6)范围内的白炽灯个数大约是10 000×0.682 6＝6 826.
(2)光通量X在(209－18,209＋18)范围内的白炽灯个数大约是10 000×0.997 4＝9 974.
(限时：30分钟)
一、选择题
1．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()
A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0
B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3
C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0
D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3
解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝1
2π
e
2
2
x
.在x＝0时，取最大值1
2π
，故
σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.
答案：D
2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ＞c)，则c的值为()
A．0 B．μ
C．－μD．σ2
解析：由正态分布密度曲线的性质知：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ.
答案：B
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ≥c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝() A．1 B．2
C．3 D．4
解析：方法一：由P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)可知
2＝(c ＋1)＋(c －1)2，解得c ＝2. 方法二：∵P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，
∴正态曲线关于x ＝c 对称，又N (2,9)，∴c ＝2. 答案：B
4．正态总体N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则( ) A ．P 1＞P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＝P 2 D ．不确定
解析：根据正态曲线的特点，关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等．
答案：C 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2
解析：∵ξ服从正态分布N (2，σ2)，∴P (ξ＜2)＝1
2.
∴P (2＜ξ＜4)＝0.8－1
2＝0.3.∴P (0＜ξ＜2)＝0.3. 答案：C 二、填空题
6．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝__________.
解析：P (－1＜ξ＜0)＝1
2P (－1＜ξ＜1) ＝12[1－2P (ξ＞1)]＝1
2－P (ξ＞1) ＝12－p .
答案：12－p
7．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为__________．
解析：由X ～N (1，σ2)(σ＞0)，知正态曲线的对称轴为x ＝1，从而由图像可知P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，所以P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.
答案：0.8
8．某人从某城市的A 地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率是__________．
解析：∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P (30＜X ≤70)＝P (50－20＜X ≤50＋20)＝0.954 4. 答案：0.954 4
三、解答题
9．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N (70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．
解析：由题意得：μ＝70，σ＝10，
P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.
(1)P (ξ＜60)＝12－1
2P (60＜ξ≤80) ＝12－1
2×0.682 6 ＝0.158 7.
(2)P (ξ≥90)＝12－1
2P (50＜ξ≤90) ＝12－1
2×0.954 4 ＝0.022 8.
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.
10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N (8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？
解析：由于X ～N (8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，据此质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．
11．某批待出口的水果罐头，每罐净重X (g )服从正态分布N (184,2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g 的概率；
(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g 小于等于189 g 的概率．
解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5.
(1)易知P (X ＞186.5)＝P (X ＜181.5)，又P (181.5≤X ≤186.5)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6，
所以P (X ＞186.5)＝1
2[1－P (181.5≤X ≤186.5)] ＝1
2(1－0.682 6)＝0.158 7.
(2)P (179＜X ≤189)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.。

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