莆田一中高一数学练习题4

莆田一中高一数学练习题4
1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )
A ．5
B ．8
C ．10
D ．14
2．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3 D.53
3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
4．已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }的公差为2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝( )
A ．0
B ．2－6
C ．2－2
D ．－4
5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )
A ．{5}
B ．{6}
C ．{5，6}
D ．{7}
6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝_____时，{a n }的前n 项和最大．
7．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．
9．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n
项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；
10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1
(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n
(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．
练习4解析：
1解析：选B.法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.
2解析：选B.在等差数列{a n }中，S 3＝3（a 1＋a 3）2＝3（a 1＋6）2
＝12，解得a 1＝2，又a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ＝6，解得d ＝2.
法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 3解析：选A.设等差数列的公差为d ，由等差数列的性质可得2d ＝a 3－a 1＝4，得d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，解得k ＝8.
4解析：选B.依题意得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8，
所以f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝2a
1＋a 2＋…＋a 10＝2
－6，故选B. 5解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10（a 1＋a 10）2
>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11（a 1＋a 11）2
＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6.
6解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.
7解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564
＝70.∵S n ＝210，S n ＝n （a 1＋a n ）2，∴210＝70n 2
，∴n ＝6. 8解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.
9解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2
－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)．
(2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n
＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.
10解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1
＝1a n 2a n ＋1
＝2a n ＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n ＝2.又b 1＝1a 1
＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1
. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1
.。