2014上苏教版8年级数学第二章(轴对称图形)讲义及答案

2014上苏教版8年级数学第二章(轴对称图形)讲义及答案8年级上学期数学讲义04 ( 第二章轴对称图形)单元测试1．（3分）有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线．其中轴对称图形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC 的三条中线的交点B．△ABC 三边的中垂线的交点C．△ABC 三条角平分线的交点D．△ABC 三条高所在直线的交点3．（3分）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（）A．4B．5C．6D．84．（3分）（2012•抚顺一模）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4B．3C．2D．15．（3分）（2008•南宁）如图，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（）A．60°B．67.5°C．72°D．756．（3分）如图，已知AD=AB=BC，若设∠1=x，∠2=y，那么x与y的关系是（）则符合条件的点C有_________ 个．16．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图1，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等；（2）若点A、B分别表示2个居民小区，直线l表示公交通道，欲在其旁建1个公交车站，且使从该站到2个小区的总路程最短，应如何确定车站的位置？请在图2中画出来．17．利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB=QC．18．如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE．BD和CE有怎样的关系？请说明理由．19．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．20．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．21．如图，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．试说明：EC平分∠DEF．22．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）如图1，写出图中所有的等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出EF与BE、CF关系，并说明理由．第二单元测试1，解：根据轴对称图形的定义可知：（1）两个点其对称轴是两点连线的垂直平分线，（2）线段其对称轴是其垂直平分线，（3）一个角其对称轴是该角的角平分线所在的直线；（4）一个长方形有2条对称轴，为对边中点的连线，（5）相交的两条直线，也是轴对称图形，对称轴为两对对顶角的平分线，（6）两条平行线，也是轴对称图形，故共有6个轴对称图形．故选：D．2，解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选C．3，解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，，∴△APO≌△COD（AAS），∴AP=CO，∵CO=AC﹣AO=6，∴AP=6．故选C．4，解：连BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故选B．5，解：第一次折叠后，∠EAD=45°，∠AEC=135°；第二次折叠后，∠AEF=67.5°，∠FAE=45°；故由三角形内角和定理知，∠AFE=67.5度．故选B．6，解：∵AB=BC，∴∠B=∠D，∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵∠1=∠2+∠D=∠2+∠B=∠2+（180°﹣2∠1），∴3∠1﹣∠2=180°，即3x﹣y=180°．故选A．7，解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，此选项正确；②一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，此选项正确；③两个能重合的图形全等，但不一定关于某条直线对称，此选项错误；④两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，此选项错误．故正确的有：①②．故答案为：①②．8，解：如图，连接OP，∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2（∠BOP+∠AOP）=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴∠P1OP2=2×45°=90°，∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．9，解：∵△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，∴∠ACB=∠ABC=36°，∠BAC=108°，∵∠BAD=∠DAE=∠EAC，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=∠ACB=∠ABC，∴△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD都是等腰三角形．故图中等腰三角形有6个．10，解：（1）∵DE垂直平分AB交AC于E，∴AE=BE，∵BC=5cm，AB=AC=12cm，∴△BCE的周长是：BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=5+12=17（cm）；（2）∵在△ABC中，AB=AC=12cm，∴∠ABE=∠C=70°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°，∵AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=70°﹣40°=30°；（3）设∠A=x°，∵AE=BE，∴∠ABE=∠A=x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==（90﹣）°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=[（90﹣）﹣x]°，∵∠EBC=20°，∴（90﹣）﹣x=20，解得：x=，∴∠A=（）°．故答案为：（1）17，（2）30，（3）（）．11，解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AC⊥AD，∴∠CAD=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠D==15°，∴∠BEC=∠ABD+∠BAC=15°+60°=75°．故答案为：75°．12，解：如右图，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10，∵CD是△ABC的中线，∴DC=AB=5，∵S△ABC=AB•CE=AC•BC，∴CE=4.8．∴DE==，故答案为：．13，解：（1）①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．（2）如图，①顶角是钝角时，∠B=90°﹣50°=40°，则顶角=180°﹣2×40°=100°，是钝角，符合；②顶角是锐角时，∠B=90°﹣50°=40°，∠A=180°﹣2×40°=100°，是钝角，不符合．故答案为：40°或140°；100°．14，解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，即x+x﹣（x+5）=3解得：x=8；当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，即5+x﹣（x+x）=3解得：x=2（不符合三边关系，舍去）．故腰长是8cm．故答案为：8cm．15，解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：8．16，解：（1）如图1所示：点P就是所求．（2）如图2所示：点P就是所求．17，解：如图，点P就是所要求作的到AB和AC的距离相等的点，点Q就是所要求作的使QB=QC的点．18，证明：法1：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角），又∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE（等量代换），在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）；法2：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），同理可证，DH=EH，∴BH﹣DH=CH﹣EH，∴BD=CE．19，解：∵AB=AD=CD∴∠ABD=∠ADB∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠DBC∴BD为∠B的平分线∵AD∥BC，AB=AD=CD∴梯形ABCD为等腰梯形∴∠B=∠C∵BD⊥CD∴∠C+∠C=90°∴∠C=60°20，解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形．21，证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ACD与△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=ED，∴∠DEC=∠DCE，∵EF∥BC，∴∠FEC=∠DCE，∴∠DEC=∠FEC，∴CE平分∠DEF．22，解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，组题人：斌老师日期：2013/9/23 姓名：∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，理由是：∵BE=OE，CF=OF，∴EF=BE+CF．（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE﹣CF，理由是：∵BE=OE，CF=OF，∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．11。