回归分析
回归分析概述
2002 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
•
由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的
消费支出不完全相同；但由于调查的完备性，给定收入水平X
• 解释变量（Explanatory Variable）或自变量
（Independent Variable）。
• 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其 主要内容包括：
– （1）根据样本观察值对经济计量模型参数 进行估计，求得回归方程；
– （2）对回归方程、参数估计值进行显著性 检验；
– （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
统计依赖关系
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 回归分析 无因果关系 相关分析
• 注意 ①不线性相关并不意味着不相关。
②有相关关系并不意味着一定有因果关系。
③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个 （些）变量的统计依赖关系，但它们并不意 味着一定有因果关系。
共计
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
回归分析法
回归分析法分析某些原因能够对目标造成“多大程度”的影响。
回归分析法 1回归分析:确定两个或多个变量之间数量关系的统计分析方法。
•按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；•按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；•根据自变量和因变量之间的关系，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
相关分析研究现象是否相关，相关的方向和紧密程度，一般不区分自变量或因变量。
回归分析要分析现象之间相关的具体形式，确定它们之间的因果关系，用数学模型来表示它们之间的具体关系。
e.g.，从相关分析中可以得知“答疑效果”和“复购率”变量高度相关，但是这两个变量之间到底是哪个变量受哪个变量的影响，影响程度如何，则需要通过回归分析方法来确定。
回归分析法 2解决问题时，用分析的方法找出问题的原因。
在决策阶段，可以利用“回归分析”来计算出某个原因能够对目标造成“多大程度”的影响，从而合理分配资源。
e.g.，1.已知y（目标）的值，预测x（原因）的值。
课程的平均复购率（目标）在下半年里跌至约50%，公司决策层提出的要求是，在3个月以内平均复购率恢复到60%（目标）。
这时候就需要“回归分析”来计算出各种影响复购率的原因能够对复购率（目标）造成“多大程度”的影响，来预测需要投入多少到解决问题中。
1.已知x（原因）的值，预测y（目标）的值。
x是投入广告的费用，y是产生的收益，在推广前就可以利用回归分析，投入的成本（x，广告费用）能预期产生多少收益（y，产生的收益）。
当决策者有多种推广方案要选择的时候，可以根据回归分析知道，把有限的资源投入到哪里才能发挥出最好的效果。
回归分析法 3在回归分析中，把变量分为两类：•一类是因变量，它们通常是实际问题中所关心的一类指标，通常用Y表示；•而影响因变量取值的的另一类变量称为自变量，用X来表示。
回归分析研究的主要问题是：1）确定Y与X间的定量关系表达式，这种表达式称为回归方程；2）对求得的回归方程的可信度进行检验；3）判断自变量X对因变量Y有无影响；4)利用得到的回归方程进行预测和控制。
回归分析
回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归，多元回归 基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式，是否 是我们所要的，要看回归方程的显著性检验（F 检验）和回归系数b的显著性检验(T检验)，还要 看拟合程度R2 (相关系数的平方,一元回归用R Square，多元回归用Adjusted R Square)
(Prob(event) <0.5 预测事件将不会发生， > 0.5 预测事件将会发生）
补充：回归分析
以下的讲义是吴喜之教授有 关回归分析的讲义，很简单， 但很实用
定量变量的线性回归分析
对例1(highschoo.sav)的两个变量的数据进行线性回归， 就是要找到一条直线来最好地代表散点图中的那些点。
b0为常数项 b1、b2、…、称为y对应于x1、x2、…、xn的偏回归系数 用Adjusted R2调整判定系数判定一个多元线性回归方程的拟合程度：
用来说明用自变量解释因变量变异的程度（所占比例）
一元线性回归模型的确定:一般先做散点图(Graphs ->Scatter>Simple),以便进行简单地观测（如：Salary与Salbegin的关系) 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方程，若不呈线 性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳 方程式（曲线估计）
关系是否有线性特点
Graphs ->Scatter->Simple X Axis： Salbegin Y Axis： Salary
2. 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性回归模型
Analyze->Regression->Linear Dependent: Salary Independents: Salbegin,prevexp,jobtime,jobcat,edcu等变量 Method: Stepwise
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
回归分析
1
p
e1
e
e2
en
1 x11
X
1
x12
1 x1n
xp1
xp2
xpn
• 我们得到的是一组实测p个变量的样本，利用这 组样本（n次抽样）对上述回归模型进行估计， 得到的估计方程为多元线性回归方程，记为:
nb0
b
n i 1
xi
n i 1
yi
n
n
n
b0
i 1
xi
b
i 1
xi 2
i 1
xi
yi
（3）
（3）式称为求回归系数的标准方程组。
回归系数也可直接表示为：
b0 y bx
n
b
xi yi nxy
气温T 0.9 1.2 2.2 2.4 -0.5 2.5 -1.1 0 6.2 2.7 3.2 -1.1 2.5 1.2 1.8 0.6 2.4 2.5 1.2 -0.8
环流指标 32 25 20 26 27 24 28 24 15 16 24 30 22 30 24 33 26 20 32 35
气温T
• 方差分析表明，预报量y的变化可以看成由 前期因子x的变化所引起的，同时加上随机 因素e变化的影响，这种前期因子x的变化影 响可以用回归方差的大小来衡量。如果回 归方差大，表明用线性关系解释y与x的关系 比较符合实际情况，回归模型比较好。
(4)式两边同时乘以n变成各变量离差平方和的关系。
什么是回归分析？
什么是回归分析？
回归分析是一种统计学方法，用于探索和建立变量之间的关系。
它主要用于预测一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以
确定这些变量之间的线性关系，并利用这些关系进行预测和解释。
在回归分析中，自变量是独立变量，可以通过实验或观察进行
测量。
因变量则是依赖于自变量的变量。
回归分析的目标是通过对
自变量和因变量之间的关系进行建模，来预测和解释因变量的变化。
回归分析可以应用于各种领域和问题，例如经济学、金融学、
社会科学等。
它可以帮助研究人员了解不同变量之间的关系，并使
用这些关系进行预测和决策。
回归分析有多种方法，如简单线性回归、多元线性回归、逻辑
回归等。
每种方法都有自己的假设和计算方法。
研究人员需要根据
具体的问题和数据选择适当的方法进行分析。
总而言之，回归分析是一种重要的统计学工具，可以探索和建
立变量之间的关系，并利用这些关系进行预测和解释。
它在许多领
域中都有广泛的应用，可以帮助研究人员进行深入的数据分析和决策支持。
回归分析
回归分析回归分析（Regression Analysis ）是研究因变量y 和自变量x 之间数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述这种关系，进而确定一个或几个自变量的变化对因变量的影响程度。
简约地讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系，这个函数称为回归函数，在实际问题中称为经验公式。
回归分析所研究的主要问题就是如何利用变量X ，Y 的观察值（样本），对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
在SPSS 中的“Analyze ”菜单下的“Regression ”项是专门用于回归分析的过程组。
单击该项，将打开“Regression ”的右拉式菜单，菜单包含如下几项：1.Linear 线性回归。
2.Curve Estimation 曲线估计。
3.Binary Logistic 二元逻辑分析。
4.Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
5.Ordinal 序数分析。
6.Probit 概率分析。
7.Nonlinear 非线性估计。
8.Weight Estimation 加权估计。
9.2-Stage Least Squares 两段最小二乘法。
本课程将介绍其中的“Linear ”、“Curve Estimation ”和“Nonlinear ”项过程的应用。
一元回归分析在数学关系式中只描述了一个变量与另一个变量之间的数量变化关系，则称其为一元回归分析。
其回归模型为i i i bx a y ε++=，y 称为因变量，x 称为自变量，ε称为随机误差，a ,b 称为待估计的回归参数，下标i 表示第i 个观测值。
若给出a 和b 的估计量分别为b aˆ,ˆ则经验回归方程：ii x b a y ˆˆˆ+=，一般把i i i y y e ˆ-=称为残差， 残差i e 可视为扰动ε的“估计量”。
例：湖北省汉阳县历年越冬代二化螟发蛾盛期与当年三月上旬平均气温的数据如表1-1，分析三月上旬平均温度与越冬代二化螟发蛾盛期的关系。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度，以及预测因变量的值。
回归分析有多种方法和技术，本文将对几种常用的回归分析方法进行总结和介绍。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究单个自变量与因变量之间的关系。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且通过拟合一条直线来描述这种关系。
简单线性回归分析使用最小二乘法来估计直线的参数，最小化观测值与模型预测值之间的差异。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是回归分析的一种拓展形式，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它假设各个自变量与因变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来描述这种关系。
多元线性回归分析使用最小二乘法来估计模型的参数。
3. 逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于研究二分类变量与一系列自变量之间的关系。
它通过拟合一个Logistic函数来描述二分类变量与自变量之间的概率关系。
逻辑回归分析可以用于预测二分类变量的概率或进行分类。
4. 多项式回归分析多项式回归分析是回归分析的一种变体，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过引入自变量的高次项来拟合一个多项式模型，以描述非线性关系。
多项式回归分析可以帮助我们探索自变量与因变量之间的复杂关系。
5. 非线性回归分析非线性回归分析是回归分析的一种广义形式，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过拟合一个非线性模型来描述这种关系。
非线性回归分析可以用于分析复杂的现象或数据，但需要更复杂的参数估计方法。
6. 岭回归分析岭回归分析是回归分析的一种正则化方法，用于处理自变量之间存在共线性的情况。
共线性会导致参数估计不稳定或不准确，岭回归通过加入一个正则化项来缩小参数估计的方差。
岭回归分析可以帮助我们在共线性存在的情况下得到更可靠的结果。
7. 主成分回归分析主成分回归分析是回归分析的一种降维方法，用于处理高维数据或自变量之间存在相关性的情况。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究变量之间的作用关系。
它由一个或多个自变量和一个或多个因变量组成。
回归分析的目的是通过收集样本数据，探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
建立一个适当的数学模型来反映变量之间关系的统计分析方法称为回归方程。
回归分析可以分为一元回归分析和多元回归分析。
一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
回归方程的表现形式不同，可以分为线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归分析适用于变量之间是线性相关关系的情况，而非线性回归分析适用于变量之间是非线性相关关系的情况。
回归分析的主要内容包括建立相关关系的数学表达式、依据回归方程进行回归预测和计算估计标准误差。
建立适当的数学模型可以反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
依据回归方程进行回归预测可以估计出因变量可能发生相应变化的数值。
计算估计标准误差可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性。
一元线性回归分析是对一个因变量和一个自变量建立线性回归方程的方法。
它的特点是两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。
若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。
回归方程的估计值；n——样本容量。
在计算估计标准误差时，需要注意样本容量的大小，样本容量越大，估计标准误差越小，反之亦然。
5.检验回归方程的显著性建立回归方程后，需要对其进行显著性检验，以确定回归方程是否具有统计学意义。
常用的检验方法是F检验和t检验。
F检验是通过比较回归平方和与残差平方和的大小关系，来判断回归方程的显著性。
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为回归方程显著。
t检验则是通过对回归系数进行假设检验，来判断回归方程中各回归系数的显著性。
七种常见的回归分析
七种常见的回归分析什么是回归分析？回归分析是⼀种预测性的建模技术，它研究的是因变量（⽬标）和⾃变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常⽤于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究⽅法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要⼯具。
在这⾥，我们使⽤曲线/线来拟合这些数据点，在这种⽅式下，从曲线或线到数据点的距离差异最⼩。
我会在接下来的部分详细解释这⼀点。
我们为什么使⽤回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下⾯，让我们举⼀个简单的例⼦来理解它：⽐如说，在当前的经济条件下，你要估计⼀家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显⽰出销售额增长⼤约是经济增长的2.5倍。
那么使⽤回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使⽤回归分析的好处良多。
具体如下：1.它表明⾃变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个⾃变量对⼀个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去⽐较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究⼈员，数据分析⼈员以及数据科学家排除并估计出⼀组最佳的变量，⽤来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术⽤于预测。
这些技术主要有三个度量（⾃变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下⾯的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的⼈，如果你觉得有必要使⽤上⾯这些参数的⼀个组合，你甚⾄可以创造出⼀个没有被使⽤过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常⽤的回归⽅法：1. Linear Regression线性回归它是最为⼈熟知的建模技术之⼀。
线性回归通常是⼈们在学习预测模型时⾸选的技术之⼀。
在这种技术中，因变量是连续的，⾃变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
线性回归使⽤最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和⼀个或多个⾃变量（X）之间建⽴⼀种关系。
你应该要掌握的7种回归分析方法
你应该要掌握的7种回归分析方法回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，有许多不同的回归分析方法可供选择。
以下是应该掌握的7种回归分析方法：1. 简单线性回归分析(Simple Linear Regression)：简单线性回归是回归分析中最简单的方法之一、它是一种用于研究两个变量之间关系的方法，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
简单线性回归可以用来预测因变量的值，基于自变量的值。
2. 多元线性回归分析(Multiple Linear Regression)：多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法。
它可以用来研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元线性回归分析可以帮助我们确定哪些自变量对于因变量的解释最为重要。
3. 逻辑回归(Logistic Regression)：逻辑回归是一种用于预测二分类变量的回归分析方法。
逻辑回归可以用来预测一个事件发生的概率。
它的输出是一个介于0和1之间的概率值，可以使用阈值来进行分类。
4. 多项式回归(Polynomial Regression)：多项式回归是回归分析的一种扩展方法。
它可以用来研究变量之间的非线性关系。
多项式回归可以将自变量的幂次作为额外的变量添加到回归模型中。
5. 岭回归(Ridge Regression)：岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。
岭回归通过对回归系数进行惩罚来减少共线性的影响。
6. Lasso回归(Lasso Regression)：Lasso回归是另一种可以处理多重共线性问题的回归分析方法。
与岭回归不同的是，Lasso回归通过对回归系数进行惩罚，并使用L1正则化来选择最重要的自变量。
7. Elastic Net回归(Elastic Net Regression)：Elastic Net回归是岭回归和Lasso回归的结合方法。
回归分析
了的变量之间的相互依存的关系，以一种确定的函数关系去
近似替代比较复杂的相关关系。
河 南 工 业 大 学
试验设计与数据处理 shiyanshujuchulishiyongfangfa
弗兰西斯· 高尔顿于1822年生于英格兰， 与达尔文是表兄弟关系，他从小智力超 常、聪颖过人，被誉为神童，是著名的 优生学家、心理学家, 差异心理学之父， 也是心理测量学上生理计量法的创始人, 享年89岁。
(2) 几何图示
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
y
εi = y＾ i-yi
(xn , yn) ( x2 , y2 ) (x1 , y1)
｝
( x i , y i)
y a bx
x
河 南 工 业 大 学
试验设计与数据处理
用最小二乘法拟合出的这个线性方程(直线)来代表 X 与 Y 之间的关系与实际 数据的误差比其他任何直线都小。
河 南 工 业 大 学
引入记号:
Lx x x n ( x ) ,
i 1 2 i 2 n
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
Ly y y n ( y ) ,
ε 是是随机因素, 是不可观察的随机 变量, 是许多不可控制或不了解的随 机因素的总和，且满足
E( ) 0, D( )
2
任务：估计线性回归方程中的未知参数 因为具有显著相关关系 y 不仅受 x 影响, 还受 其它因素影响, 因此, x、y 形成的点不一定全在直 线上, 而是分在直线上下波动, 呈现线性相关的趋 势, 所以需要在这些分散的相关点之间配合一条最 合适的直线, 用来模拟两变量之间具体的变动关系
回 归 分 析
总的离差平方和及其分解：
（y －y）2＝（[ y －yˆ）＋（yˆ －y）]2
此项为0
＝（y －yˆ）2＋（yˆ －y）2＋2（y －yˆ）（yˆ －y）
（y －y）2 ＝（y －yˆ）2＋（yˆ －y）2
回归分析
三、拟合优度和估计标准误差 1、离差的分解
表8.3 企业研发费用与利润数据表
解：为了估计参数a、b的值，进行如下表计算：
表8.4 参数估计计算过程表
回归分析
【例8.3】
根据最小平方和原理得到的参数a、b求解公式，计算得到
截距项a和斜率b的值为：
b
n xy－ x y n x2－（ x）2
6× 1 000－30× 180 6× 200－302
参数的正规方程组或标准方程组，如下：
y na＋b x xy a x＋b x2
解此联立方程组，便可以求得参数a、b的解为：
b
n xy － x y n x2－（ x）2
a
y －b x
n
n
y－bx
回归分析
【例8.3】 某地区6个企业研发费用（x）和利润（y）资料 如表8.4所示，求y与x线性回归方程。
R2 SSR 1－SSE SST SST
可决系数用于衡量回归直线对样本数据拟合的优越程度。可
决系数是一个描述性非负统计量，0 ≤ R2 ≤1 ，R2 越大，即线性 回归直线拟合的效果越好。
在例8.3中，
SST=
SSR＝
（yi－y）2 ＝
y2－1（ n
（yˆ －y）2＝b2Lxx＝22 ×
y）2＝5
方程为 yˆ ＝20＋2x , 那么，回归系数是否显著大于零？
“回归分析”
“回归分析”回归（regression）：发生倒退或表现倒退；常指趋于接近或退回到中间状态。
在线性回归中，回归指各个观察值都围绕、靠近估计直线的现象。
多元回归模型（multiple regression model）：包含多个自变量的回归模型，用于分析一个因变量与多个自变量之间的关系。
它与一元回归模型的区别在于，多元回归模型体现了统计控制的思想。
因变量（dependent variable）：也称为依变量或结果变量，它随着自变量的变化而变化。
从试验设计角度来讲，因变量也就是被试的反应变量，它是自变量造成的结果，是主试观测或测量的行为变量。
自变量（independent variable）：在一项研究中被假定作为原因的变量，能够预测其他变量的值，并且在数值或属性上可以改变。
随机变量（random variable）：即随机事件的数量表现。
这种变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的。
连续变量（continuous variable）：在一定区间内可以任意取值的变量，其数值是连续不断的，相邻两个数值可作无限分割，即可取无限个数值，比如身高、体重等。
名义变量（nominal variable）：本身的编码不包含任何具有实际意义的数量关系，变量值之间不存在大小、加减或乘除的运算关系。
随机变量（random variable）：即随机事件的数量表现。
这种变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的。
截距（intercept）：函数与y坐标轴的相交点，即回归方程中的常数项。
斜率（slope）：即回归方程中各自变量的系数。
它表示自变量一个单位的变化所引起的因变量的变化量，如果是线性模型，则在坐标图上表现为两个变量拟合直线之斜率。
偏效应（partial effect）：在控制其他变量的情况下，或者说在其他条件相同的情况下，各自变量X对因变量Y的净效应（net effect）或独特效应（unique effect）。
什么是回归分析法
什么是回归分析法
“回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。
以下是店铺为您带来的关于什么是回归分析法，希望对您有所帮助。
回归分析法
此时，我们把因子变量称为“说明变量”，把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。
清楚了回归分析的目的后，下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法：
1.根据预测目标，确定自变量和因变量
明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。
2.建立回归预测模型
依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。
3.进行相关分析
回归分析是对具有因果关系的影响因素(自变量)和预测对象(因变量)所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。
4.检验回归预测模型，计算预测误差
回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。
回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。
5.计算并确定预测值
利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最后的预测值。
回归分析
拟合模型
回归分析是将相关的因素进行测定，确定其 因果关系，并以数学模型来表现其具体关系 式，从而进行的各类统计分析。分析 中所形成的这种关系式称为回归模型，其中以 一条直线方程表明两变量相关关系的模型叫 一元线性回归模型。其主要步骤有：建立回 归模型、求解回归模型中的参数、对回归模 型进行检验等。
达到最小。对Q 求关于a 和b 的偏导数，并令 其等于零，可得：
用R 做线性回归
例：一个人的最大心率和年龄的关系是由方程 MaxRate=220-Age来决定的。假设这是符合 经验数据的，有15 个来自不同年龄层的人接 受了最大心率测试，数据如下：Age（x）18 23 25 35 65 54 34 56 72 19 23 42 18 39 37， MaxRate（y）202 186 187 180 156 169 174 172 153 199 193 y 间有直线趋势存在，但并 不是一一对应的。每一例实测的y 值yi（i=1，2，…， n）与xi（i=1，2，…，n）经回归方程估计的$yi 值 （即直线上的点）或多或少存在一定的差距。这些差 距可以用(yi - y$i )来表示，称为估 计误差或残差（residual）。要使回归方程比较“理 想”，很自然地会想到应该使这些估计误差尽量小一 些。也就是使估计误差的平方和
回归分析
回归分析（Regression Analysis）是统计学家工具箱 中非常重要的一件。相关分析以现象之间是否相关、 相关的方向和密切程度等为主要研究内容，它不区别 自变量与因变量，对各变量的构成形式也不关心。其 主要分析方法有绘制相关图、计算相关系数和检验相 关系数。回归分析包括对现象间具体的相关形式的分 析，在回归分析中根据研究的目的，应区分出自变量 和因变量，并研究确定自变量和因变量之间的具体关 系的方程形式。
回归分析名词解释
回归分析名词解释回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它用于确定一个或多个自变量与一个因变量之间的关系模型，并通过此模型预测未知变量的值。
回归分析的目标是寻找自变量与因变量之间的最佳拟合线性关系。
在简单线性回归中，只有一个自变量和一个因变量，而多元线性回归则允许多个自变量和一个因变量。
回归分析包括以下几个关键概念：1. 自变量：自变量是研究者感兴趣的解释性变量。
它们被认为对因变量产生影响。
2. 因变量：因变量是研究者希望预测或解释的变量。
它们是回归分析的主要焦点。
3. 拟合线：拟合线表示自变量和因变量之间的关系。
回归分析试图找到一条最佳拟合线，以最好地表示数据。
4. 斜率：回归方程中的斜率表示因变量以自变量的单位变化时的变化量。
它反映了自变量对因变量的影响程度。
5. 截距：回归方程中的截距表示当自变量为零时，因变量的预测值。
它有助于解释因变量的基本水平。
回归分析的方法基于最小二乘法，试图最小化实际观测值与拟合线之间的误差。
通过计算残差（实际观测值与拟合线之间的差异）的平方和，回归分析可以确定最佳拟合线。
回归分析的应用广泛，可以用于各种领域中的数据分析和预测，如经济学、社会科学、医学等。
它可以帮助研究者了解变量之间的关系，并预测未来的观测值。
同时，回归分析的结果也可以用于制定决策、优化资源分配和评估政策效果。
然而，回归分析也有一些限制。
例如，它假设自变量和因变量之间的关系是线性的，而现实世界中的关系可能更为复杂。
此外，回归分析还要求数据符合一些假设，如正态分布和同方差性。
因此，在使用回归分析之前，研究者需要仔细检查数据的适用性和假设的满足程度。
综上所述，回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
通过寻找最佳拟合线性关系，回归分析可以帮助预测和解释因变量，并在各种领域中应用广泛。
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k 1
其中
( xki xi)( xkj x j ) xki xkj
k 1
n
n
lij lii l jj
回归分析
记 rij lij
正规方程组可表示为矩阵形式
R (rij ) RB R y C (R ) 1 B CR y
表示为矩阵形式
LB L y C L1 B L1L y CL y
bi cij l jy
j 1 j m
i 1,2, , m
b0 y b j x j
回归分析
标准化模型：对原数据进行标准化变换，而对变换后的数 WHY？量纲不同 据建立的回归模型。 yk y xki xi xki 标准化变换 y k σi σy
i 1
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归分析
二 多元回归效果检验
1. 回归方程的显著检验
原假设 H 0 : βi 0 i 1 ~ m l yy ( y k y ) 2 ( y k y ˆk )2 ( y ˆk y)2 Q U
U 2 ~ χ 2 (m) Q 2 ~ χ 2 (n m 1) U m ~ F (m, n m 1) F Q (n m 1) F Fα 拒绝H 0； F Fα 接受H 0
Q U Q: 残差平方和 剩余平方和 residual sum of squares U: 回归平方和 自变量变化引起 regression sum of squares
回归分析
1. 相关系数的检验
r 2 U l yy lxy 2 lxx l yy r lxy lxx l yy 0 r 1 r 大 y与x线性相关密切 r 小 y与x线性相关较弱 r 1 y与x完全线性相关 r 0 y与x毫无线性关系
回归平方和、剩余平方和的计算
U bi liy
i 1 m
Q l yy bi liy
i 1
m
剩余标准差 S y Q ( n m 1) 复相关系数 R U l yy
回归分析
2.
回归系数的显著性检验
偏回归平方和
1 p j U m U m j 1 Um :去除x j 后的回归平方和 j
j
回归分析
四 五种一元线性回归及其在天文上的应用
1. 五种线性回归方法
a. b. c. d. e. OLS(Y | X )：观测点和回归直线上同一 x 的 y 的差；
逆回归OLS(X | Y )：观测点和回归直线上同一 y 的 x
的差；
正交回归线OR ：观测点到回归线的垂直距离； 简化主轴回归RMA ：观测点对回归线在垂直、水平两
回归分析
lij
k 1 n
( xki xi )( xkj x j )
k 1
n
liy ( xki xi )( y k y ) l11b1 l12 b2 l1m bm l1 y l 21b1 l 22 b2 l 2 m bm l 2 y l m1b1 l m 2 b2 l mm bm l my
其中
σ y l yy
σ i lii
σ y 1 σ i 1 y 0 xi 0
新的正规方程组
l11 b1 l12 b2 l1m bm l1y l 21 b1 l 22 b2 l2 m bm l2 y 1b1 l m 2 b2 l mm bm l my l m
III
y eβ x eβ x
1 2
y 1 y β0 ln β0 y β 0 βx y ln y β ln β 0 0 x ln x y ln y
I、II进行变换，转化为线性回归；III泰勒级数展开，变为线性。
回归分析
§ 曲线回归分析 curvilinear regression
一 曲线回归类型的确定
1.
散点图
利用观测数据的散点图，对比已知函数形式的各种曲线，选择 最为接近的曲线作为回归函数
2.
多项式 y 0 1 x 2 x 2 m x m
二
曲线回归参数的确定
β的区间估计 (b tα 2 S y l xx , b tα 2 S y l xx )
未知
2
回归分析
3.
回归值的置信区间
定义残差 则
δi yi y ˆi E (δi ) E ( β0 βxi εi b0 bxi ) 0 D(δi ) D ( yi b0 bxi ) D[ yi y b( xi x )] ( x x )( xi x ) D yi y k yk 2 ( ) x x k j j 1 ( x x )( xi x ) D yi k y 2 k n (x j x) k j 2 ( xi x ) 2 1 1 σ n ( x j x )2 j
i 1 m
ε ~ N (0, σ 2 )
回归超平面 回归方程
Y βX ε
y ˆ b0 bi xi
i
E( y ˆ ) β0 βi xi
i
Q ( yk y ˆ k ) 2 min
k 1
n
Q b0 0 Q b j 0
j 1,2, , m
相关系数显著性检验 回归方程的F检验 即
r rα
F Fa (1, n 2)
证： U r 2 l yy
Q l yy U (1 r 2 )l yy
U ( n 2) ( n 2) r 2 F Q 1 r 2 F r ( n 2) F Fα (1, n 2) rα (n 2) Fα (1, n 2)
回归分析
E (b0 ) β0 E (b) β x2 1 D(b0 ) σ [ ] n ( xk x ) 2 1 ] D(b) σ 2 [ 2 ( xk x )
2
二 回归方程的显著性检验
( yk y ) 2 ( yk y ˆk y ˆk y)2 ( yk y ˆk )2 ( y ˆ k y ) 2 2 ( yk y ˆ k )( y ˆk y) ( yk y ˆk )2 ( y ˆk y)2
一 一元线性回归模型及参数估计
y k β0 βxk ε k 一元线性回归模型 εk ~ N (0, σ 2 ) E ( y k ) β 0 βx k 正态误差回归模型 D( yk ) 2
寻找0 , 的好的估计值，得到最能描述y和x关系的回归直线 y ˆ k b0 bxk 利用最小二乘法给出b0 , b的计算公式
r 0 b 0 正相关 r 0 b 0 负相关 r rα r在α水平上显著 l yy 2 ~ χ 2 (n 1) U 2 ~ χ 2 (1) Q 2 ~ χ 2 ( n 2)
2.
F检验（方差分析）
回归分析
U ( n 2) ~ Q
F (1, n 2)
F Fα (1, n 2) 拒绝域 回归方程显著
回归分析
三
regression coefficient 回归系数和回归值的精度估计 regression value
0、的区间估计 已知
1. 的置信区间
1)
E (b) β
D(b) σ 2 l xx
b ~ N ( β , σ 2 l xx )
b β l xx ~ N (0,1) σ P ( u α 2 b β l xx uα 2 ) 1 α σ l xx , b uα 2 σ l xx )
第三章 回归分析
处理变量与变量之间的统计相关关系
星系 氢含量、色指数、光度 太阳 耀斑、黑子、太阳射电辐射流量
统计相关关系
观测误差 深入了解
不完全确定
函数关系
完全确定 regression analysis
实质：概率统计＋最小二乘法
回归分析
§ 一元线性回归 single variable linear regression
三
曲线回归的有效性检验
相关指数 标准剩余差
R 1 Sy
( yi y ) 2 2 ( y y ) ˆ i i
n2
2 ( ) y y ˆ i i
回归分析
§ 多元线性回归 multiple linear regression
一 模型参数估计
y β0 βi xi ε
个方向测量的距离；
OLS平分线： OLS(Y | X )和OLS(X | Y )的平分线。 Y
c a b
d
O
X
回归分析
用五种回归方法测椭圆星系速度弥散 和光学光度之间的关系L ~ n
图：L和σ的对数散点图及它们的五种回归线：1. OLS(Y | X ) 2. OLS(X | Y ) 3. OLS平分线(点虚线) 4. OR(虚线) 5. RMA(点线)
β的区间估计 (b uα 2 σ
回归分析
2)
Sy σ ˆ 2 Q ( n 2) b β ~ t ( n 2) S y l xx b β Q 2 l xx ~ N (0,1) χ ~ ( n 2) 2 σ b β Q σ2 l xx ~ t ( n 2) σ n2 2 而 Sy Q n 2 b β 有 ~ t ( n 2) S y l xx b β P ( t α 2 ( n 2 ) tα 2 ( n 2)) 1 α S y l xx