2012丰台一模试题及答案 数学理
数学2012年高三一模试题及答案整理(朝阳、海淀、丰台)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分 易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分 因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ， 所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥． 又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分 又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ． （题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得． （题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确． （题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<； ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ． 【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分） 椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值． 【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=， 所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。
【数学理】2012年北京市各区一模试题分类解析(12)：圆锥曲线 2
十二、圆锥曲线10（2012年海淀一模理10）过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 答案：43200x y --=。
7．（2012年门头沟一模理7）已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（ C ）A.3716B.115C.2D.313．（2012年东城一模理13）抛物线2y x =的准线方程为 ；此抛物线的焦点是F ，则经 过F 和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个． 答案：14x =-；2。
9．（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______． 答案：54.13．（2012年密云一模理13）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的两个焦点为12,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________． 答案：1<e≤2.9.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为2213xy -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .答案：3；113.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，则双曲线的离心率的取值范围是_______.答案：），（22。
19.（2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形A B C D 的面积S 的最大值. [来源:学.科.网]解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b ab+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c ==.所以 2222a b c =+=. 所以 椭圆G 的标准方程为2212xy +=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y.（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>， 1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以||AB ====同理||C D =因为 ||||AB CD =,所以=.因为 12m m ≠，所以 120m m +=.（ⅱ）解：由题意得四边形A B C D 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则d =.因为 120m m +=， 所以d =.所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=.（或S ==≤所以 当221212k m +=时， 四边形A B C D 的面积S取得最大值为.19.（2012年西城一模理19）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为3，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12M B M B ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由222222519a b b e aa-===-， 得23b a=.依题意△12M B B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =.所以椭圆C 的方程是22194xy+=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. [来源:学科网ZXXK] 所以 1221649my y m -+=+，1222049y y m -=+.若PF 平分APB ∠，则直线P A ，P B 的倾斜角互补，所以=+PB PA k k .设(,0)P a ，则有12120y y x ax a+=--.[来源:学|科|网Z|X|X|K]将 112x m y =+，222x m y =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)m y y a y y m y a m y a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0m y y a y y +-+=. 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得 (29)0a m -+⋅=.由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =.综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠.19．（2012年东城一模理19）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA的面积为离心率是12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以M N 为直径的圆与直线2P F 相切于点2F (2F 为椭圆C 的右焦点)． 解：（Ⅰ）由已知1.2ab c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2a =，b =．故所求椭圆方程为22143xy+=．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，设椭圆右焦点()21,0F ．设()()000,2P x y x ≠±，则22003412x y +=．于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062My y x =+；所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)．所以2F M = (3,0062y x +)，2F N = (3,0022y x -).所以 22F M F N ⋅= (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+- ()222203123129944x y x x -=+=+-- ()20209499904x x -=-=-=-．所以 22F M F N ⊥，点2F 在以M N 为直径的圆上． [来源:学科网] 设M N 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)．又2F E = (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =- 所以22F E F P ⋅= (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+- ()()()()()200020123131313104x xx x x x --=-+=---=-．[来源:]所以 22F E F P ⊥．因为2F E 是以M N 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以M N 为直径的圆与直线2P F 相切于右焦点．19. （2012年丰台一模理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x=4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111PQy y y y +=+．求证：直线l 过定点．解：（Ⅰ）依题意2a =，2c a=，所以c = …2分因为222a b c =+，所以b =．…3分椭圆方程为22142xy+=． …5分（Ⅱ）2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 得 222(21)4240k x km x m +++-=，0∆>． …6分 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 122421km x x k +=-+，21222421m x x k -=+． …7分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+…9分因为121111PQy y y y +=+，所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=．…10分所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，1212122()4()80kx x m x x k x x m ++-+-=，222224442()4()80212121m km km km k m k k k -+----=+++，所以288021k m k --=+，得 m k =-． ……13分则y kx k =-，故l 过定点(1,0)． …14分19.（2012年朝阳一模理19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F，20)F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线A N ，N P ，B N 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.解:（Ⅰ）依题意，c = 1b =，所以a ==.故椭圆C 的方程为2213xy +=. ……4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±.不妨设(1,3A，(1,3B -，因为132233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. …7分[来源:学§科§网]②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+,21223331k x x k -=+. …9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k kk k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126) 2.126k k +==+12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.……13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. …14分19.（2012年东城11校联考理19）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点1()2A m ，，A 点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设00(,)M x y 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦M P ,MQ ,求证：PQ 恒过定点00(2,)x y +-.（3）直线01=++my x 与抛物线交于E ,F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△N EF 为以EF 为斜边的直角三角形.解：（1）由题意可设抛物线的方程为22y px =，则由抛物线的定义可得1212=+p ，即1=p ，所以抛物线的方程为 x y 22=.……4分（2）由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设PQ 所在直线方程为中代入x yn my x 2,2=+=得 2220.y m y n --=1212,2,y y m y y n +==-所以其中12,,y y P Q 分别是的纵坐标,1.M P M Q M P M Qk k ⊥⋅=-因为，所以即102010201,y y y y x x x x --⋅=--- 所以1020()() 4.y y y y ++=-,04)(2002121=++++⋅y y y y y y [来源:学+科+网]0000(2)2240, 2.n m y x n m y x -+++==++即所以直线PQ 的方程为,200+++=x my my x即0000()2,(2,x m y y x x y =++++-它一定过定点）.…9分（3）假设N （01),2(,)2(,),0000=++-+my x y x y x 在直线点知则由为满足条件的点上，的解，消去x 得0244,06222≥-=∆=+-m my y N 所以存在点满足条件.……14分19.（2012年石景山一模理19）已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形O A B的面积为4，求直线AB 的方程．解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩--1分解得1a c ==.---2分 即：椭圆方程为.12322=+yx--3分（Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，4AB =，此时AOB S ∆=----4分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ----6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x kk x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ---7分所以221)23k AB k+=+. -----9分200002,210,(,)30y x x my x y x my ⎧=+-+=⎨-+=⎩所以是方程组原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==由224S k k =⇒=⇒= ---12分所以直线:0AB l y -+=或0AB l y ++=. ---13分19.（2012年房山一模19）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为36．（I ）求椭圆G 的方程；（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+yax ，则离心率为==ac e 36故3222=ac ，而12=b ，解得32=a ， ………4分故所求椭圆的方程为1322=+y x. ………5分（II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ， 直线与椭圆相交，()()()2226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① …7分23231M NP x x m k x k +∴==-+，从而231P P m y kx m k =+=+，（1）当0≠k 时21313P A P Py m k k x m k+++∴==-(0=m 不满足题目条件)∵,AM AN AP M N =∴⊥，则kmkkm 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② …………9分把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， ……10分由②得03122>-=m k ，解得21>m ．故221<<m ………11分（2）当0=k 时∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，∴11<<-m ……13分 综上，求得m 的取值范围是21<<-m ． …14分19．（2012年密云一模理19） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M （3，1）.平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点.（I ） 求椭圆的方程；（II ） 求m 的取值范围；（III ） 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.[来源:学。
【数学理】2012年北京市各区一模试题分类解析(3)：导数及其应用
三、导数及其应用12.（2012年海淀一模理12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . 答案：(10,20)。
18.（2012年海淀一模理18）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<.令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-? . 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-. 当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)k+∞，单调递减区间是(1,)k-. （Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， 令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.18.（2012年西城一模理18）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.解：（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-．由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． （Ⅱ）2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x++-'=，0x ≠． ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．18．（2012年东城一模理18）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；(Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）23e ()2e f x x x'=+-.由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）． 得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>． 故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． 故当0x >时，有()0f x ≥恒成立．解：(Ⅲ) 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则23e ()2e 2e a F x x x-=++≥，当且仅当x =时等号成立，故()F x 的最小值2e m =2e >，符合题意；当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围2(3e ,)+∞．18. （2012年丰台一模理18）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． …1分 因为(1)0f '=，(1)2f =-， …2分 所以切线方程为 2y =-． ……3分（Ⅱ）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当a>0时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x -++'=-++=(0)x >，4分令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===，所以12x =或1x a=． …5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是(1)2f =-； …6分 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意． …7分 综上可得 1a ≥． ……8分（Ⅲ）设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， ……9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； …11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥， 则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． …12分综上可得 08a ≤≤． …13分18.（2012年朝阳一模理18）设函数2e (),1axf x a x R =∈+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x af x ax x a x x -+'==-+++， …5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减.…6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a >；由()0f x '<得11x a a-+<<.所以函数()f x 单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. …10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得1x a +<,或1x a>.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +.……12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.18.（2012年东城11校联考理18）已知函数：)(ln )1()(R a x ax a x x f ∈-+-= ,x x xe e x x g -+=221)(（1） 当[]e x ,1∈时，求)(x f 的最小值；（2）当1<a 时，若存在[]21,e e x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，求a 的取值范围.解 ：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞, )())(1()(2'R a x a x x x f ∈--=当1≤a 时，[]()()x f x f e x .0,,1'≥∈为增函数，()()a f x f -==11m in当e a <<1时，[]()()x f x fa x .0,,1'≤∈为减函数，[]()()x f x f e a x .0,,'≥∈为增函数，()()()1ln 1min -+-==a a a a f x f当e a ≥时，[]()()x f x fe x .0,,1'≤∈为减函数，()()()eaa e e f x f -+-==1min ∴综上 当1≤a 时，()=m inx f a -1当e a <<1 时 ，()()1ln 1m in -+-=a a a x f 当e a ≥时，()()eaa e x f -+-=1m in ……6分(2) 若存在[]21,ee x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，即 m in2m in 1)()(x g x f <当1<a 时，由（1）可知，[]21,ee x ∈, ()xf 为增函数，∴()()()ea a e e f x f -+-==1min1，()x x x x e x e xe e x x g -=--+=1)(',当[]0,22-∈x 时()x g x g ,0)('≤为减函数，(),10)(m in 2==g x g∴,1)1(<-+-eaa e 122+->e e e a∴)1,12(2+-∈e ee a ………13分18.（2012年石景山一模理18）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. ……3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 5分（2）当0a <时'()f x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. ……8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，……9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …14分18.（2012年房山一模18）已知函数mx x x f -+=)1ln()(．（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间；（II ）求函数)(x f 的极值；（III ）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，∴1()11f x x'=-+ ………2分 由()0f x '<得1101x -<+，即01xx-<+解得0x >或1x <-， 又 1x >-，0x ∴>∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． ………4分（II ）m xx f -+='11)(，)1(->x （1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……6分（2）0>m 时，由于111->-m所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--11,1m 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11()(--=-=m m mf x f 极大值． …9分 （III ）由（II ）问显然可知，当0≤m 时，()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上为增函数，∴在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦不可能恰有两个零点． ………10分当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1(1)f m-， 又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点． ……11分∴若()f x 在20,1e ⎡⎤-⎣⎦恰有两个零点，只需22(1)01011f e e m ⎧-≤⎪⎨<-<-⎪⎩ 即222(1)011m e m e⎧--≤⎪⎨<<⎪⎩2211m e ∴≤<- ………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）18．（2012年密云一模理18）已知函数()2axf x x e=．（I ）当1a =时，求()f x 在()(1,1)f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求a 范围.解：（I ）当 1a =时，()2xf x x e =，()2222'()'()'2(2)x x x x x f x x e x e xe x e x x e =+=+=+()'13f e =，()1f e =，故切线方程为3(1)y e e x -=-，即320ex y e --= …4分 （II ）()222'()'()'2(2)ax ax ax ax ax f x x e x e xe ax e x ax e =+=+=+ …5分（1）当0a =时，()'2f x x =，当0x >时，()'0f x >，当0x <时，()'0f x <， 单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞ …6分当0a ≠时，令()'0f x =，得10x =或22x a =-…7分 （2）当0a >时，20a >-， 当2x a <-时，()'0f x >，当20x a-<<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >， 单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a- …9分 （3）当a<0时，0<a 2-，当x>a 2-时，f '(x)<0，当0<x<a2-时，f '(x)>0，当x<0时，f '(x)<0， ∴f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a 2-,+∞) …11分 综上：当0a =时，单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞当0a >时，单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a -当0a <时，f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a2-,+∞) （III ）由（II ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增，满足条件； 12分 当0a <时，单调增区间为(0, a2-)与f(x)在(1,+∞)单调递增不符…13分 综上：a ≥0 …14分18．（2012年门头沟一模理18）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-．（Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）2/2211(1)()a ax x a f x a x x x --+--=--= …2分 2[(1)](1)(0)ax a x x x ---=->令/()0f x = 得121,1a x x a-== ………3分 当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单减 ……4分 当102a <<时，11a a->， 在(0,1)和1(,)a a-+∞上，有()0f x '<，函数()f x 单减， 在1(1,)a a-上， ()0f x '>，函数()f x 单增 ……6分 （Ⅱ）当14a =时，13a a -=，13()ln 144f x x x x =-+- 由（Ⅰ）知，函数()f x 在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数()f x 在(0,2)的最小值为1(1)2f =-…………8分 若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f xg x ≥恒成立， 只需当[1,2]x ∈时，max 1()2g x ≤-即可 所以1(1)21(2)2g g ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，…………11分 代入解得 114b ≥ 所以实数b 的取值范围是11[,)4+∞． ……13分。
2012北京丰台区初三数学一模试卷及答案(WORD版)
北京市丰台区2011-2012学年度第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷学校 姓名一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．3的相反数是A ． 3±B ．3C ．-3D ．132．据统计，今年北京市中考报名确认考生人数是96 200人，用科学记数法表示96 200为 A ．49.6210⨯ B ． 50.96210⨯ C ．59.6210⨯ D ．396.210⨯3．下列图形中，是正方体的平面展开图的是A ．B ．C ．D ．4．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋 中任意摸出一个球，摸到红球的概率是A ． 47B ．37C ．31D ．145．如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，若 AB=8，OD=3，则⊙O 的半径等于A ．4B ．5C ．8D ．106．2012年4月21日8时北京市部分区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：区 县东城 西城 海淀 朝阳 丰台 大兴 延庆 昌平可吸入颗粒物（mg/m 3） 0.150.150.150.150.180.180.030.14则这8个区县该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是 A ．0.15和 0.14 B ．0.18和0.15 C ．0.15和0.15 D ． 0.18和0.14 7．若抛物线22y x x m =-+的最低点的纵坐标为n ，则m-n 的值是 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2FEACDB8．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点 （点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C’处；作∠BPC’的角平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ， 则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 如果若分式1x x+的值为0，那么x 的值等于 ． 10． 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ． 11． 分解因式：39a a -= ．12．在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：-1022cos30(π 3.14)12++-- ．14．解不等式组： 480,521 1.x x +>⎧⎨-->⎩（）15．已知2310x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值．16．已知：如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E 、F 在线段AD 上，且AF=DE ．求证：BE =CF ．A DCB E PC’A DBCO5yxO5y xOxy 5O5y x17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y=kx b +的图象经过点A (1，0)，与反比例函数m y x=(x >0)的图象相交于点B (2，1)． （1）求m 的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x >0时，不等式mkx b x+>的解集；18．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为4秒且∠APO =60°，∠BPO =45°． （1）求A 、B 之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在 ABCD 中，过点B 作BE ∥AC ，在BG 上取点E ，联结DE 交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DF =EF ；（2）如果AD =2，∠ADC =60°，AC ⊥DC 于点C ，AC =2CF ，求BE的长．20．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于点E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）如果AB =4，AE =2，求O 的半径．O A CEBD xyB AOOPB A 万丰FD CBA EGC B AD21．某学校为了解九年级学生的体育达标情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行体育测试，根据收集的数据绘制成如下统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题： （1）补全图1与图2；（2）若该学校九年级共有400名学生，根据统计结果可以估计九年级体育达标优秀和良好的学生共有___________名．九年级学生体育测试成绩条形统计图 九年级学生体育测试成绩扇形统计图22．将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三 角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD 中，分别取AD 、AB 、CD 的中点P 、E 、 F ，并沿直线PE 、PF 剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． （1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD 的顶点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD 剪拼后得到等腰三角形△PMN ，点P 在边AD 上（不与点A 、D 重合），点M 、N 在x 轴上（点M 在N 的左边）．如果点D 的坐标为(5,8)，直线PM 的解析式为=y kx b ，则所有满足条件的k 的值为 ．图1 图2 图3图4备用xyD A B C x y D A B C PE FDA B C人数成绩0481216202428323640不及格及格良好优秀不及格及格良好优秀% 5% % 20% PEFD AB C五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCB AEMM EABC D25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2，3）为圆心的圆与y 轴相切于 点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.。
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(18) 空间几何体 理
俯视图正视图十八、空间几何体 第一部分 三视图4.（2012年西城一模理4）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ A ） A ．2 B ．2 C ．28cm D ．24cm5．（2012年丰台一模理5）若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ B ）A.4B.4+4+10.（2012年朝阳一模理10） 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 答案：32正视图侧视图6.（2012年东城11校联考理6）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ B ） A ．112 B.80 C.72 D.647.（2012年石景山一模理7）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A ）A.83+B.83+C.83+D.323俯视图 侧视图10.（2012年房山一模10）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 答案：32。
11．（2012年密云一模理11）已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为 . 答案：32。
第第11题图 第12题图C3．（2012年门头沟一模理3）己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为（ B ） A.8 B.4 C.主视图 左视图俯视图第二部分 立体几何4.（2012年朝阳一模理4）已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.（2012年东城11校联考理3）已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是 （ D ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．,βm n m =⊥α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥4.（2012年石景山一模理4）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ D ）A.αα//,//,//n m n m 则若B.βαγβγα//,,则若⊥⊥C.n m n m //,//,//则若ααD.n m n m ⊥⊥则若,//,αα4.（2012年东城11校联考理4）甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线， 乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ A ） A.61 B. 92 C. 185 D. 318.（2012年海淀一模理8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为（ B ）A ．0B ．3C ．4D ．616.（2012年海淀一模理16）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQPB的值．A'B'C'D'ABCDPDCBA证明：（Ⅰ） 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m .（Ⅱ）：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C . 所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以 PQ PB λ=.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+.由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =.17.（2012年西城一模理17）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F A F C =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．证明：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点．又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． （Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． 解：（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O-． 所以 (3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ．易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ．由二面角B FC A --是锐角，得cos ,⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． 17．（2012年东城一模理17）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2） （Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.图1 图2证明：（Ⅰ）取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥. 所以1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角. 又二面角1A EF B --为直二面角， 所以1A E BE ⊥. 又因为BEEF E =,所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，,0)F 在图１中，连结DP . 因为12CF CP FA PB ==，所以PF∥BE，且12PF BE DE==.所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EF DP=.故点P的坐标为（10）. 图2所以1(2,0,1)A B=-，(BP=-，1(0,0,1)EA=.不妨设平面1A BP的法向量(,,)x y z=n，则10,0.A BBP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即20,0.x zx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y=(3,6)=n.所以111cos,||||14EAEAEA⋅<>===⨯nnn故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3π.16. （2012年丰台一模理16）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠B CD=60º，，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；（Ⅲ）若PQPCλ=，当PA // 平面DEQ时，求λ的值．证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，BD．因为 PA=PD，所以 PO⊥AD．…………1分ED CBAQPPQ因为 菱形ABCD 中，∠B CD =60º， 所以 AB=BD ，所以 BO ⊥AD ． …………2分 因为 BO ∩PO=O ， …………3分 所以 AD ⊥平面POB ．………4分 所以 AD ⊥PB ． …………5分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO ⊥AD ，PO ⊥AD ．因为 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且平面PAD ∩底面ABCD=AD ，所以PO ⊥底面ABCD ． ………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-……7分则(1,0,0)D -，(E -，(0,0,1)P ， (C -，因为Q 为PC 中点， 所以1()2Q -． ……8分 所以 DE =，1(0,)2DQ =， 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =． 因为 (DC =-，1(0,)2DQ =， 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z =， 则220,DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩0,10.22x y z ⎧-=+=⎪⎩ 令x =1y =，z =2(3,1,n =． …9分12121221cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==．由图可知，二面角E-DQ-C 为锐角，所以余弦值为7． …10分 （Ⅲ）因为PQPCλ=，所以 PQ PC λ=， 由（Ⅱ）知(1)PC =--，(1,0,1)PA =-，C若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-，由 PQ PC λ=，得21x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ中，DE =，(1,,)(12,1)DQ x y z λλ=+=--，所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--， …12分 又因为 PA // 平面DEQ ， 所以 10PA n ⋅=， ……13分 即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，PA // 平面DEQ ． …14分17.（2012年朝阳一模理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，CA F EBMD NCA F EBMD故EM//平面ADF. … 4分解法二：因为EB⊥平面ABD，AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz. ……1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x-y=0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n=. …3分又因为3(=3+0-3=02EM n⋅=⋅，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，所以//EM平面ADF. ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD，所以EB BD⊥.又因为AB BD⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一个法向量.所以1cos<=2BDBD,BDnnn⋅>=⋅，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60︒. …10分（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t≤≤，则=(3,-2,-),=PC AFt.所以2cos<2PC AFPC,AFPC AF⋅>==⋅，=，化简得35-=，解得0t=<.所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30︒.……14分17.（2012年东城11校联考理17）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2==AB DA ，12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（1）求证：CD PE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）试问线段PB 上是否存在点F ，使二面角C DE F --的余弦值为41?若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.证明：（1）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， 所以AD PE ⊥．又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥． 因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥． ……4分解：（2）由（1）知PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2==AB DA ，12BC AD =，可得1=BC ． 因为△PAB 是等边三角形，可求得3=PE ．所以332)21(213131=⨯⨯+⨯=⋅=-PE S V ABCD ABCD P ．……8分（3）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,0A E B C D P --则有，，，设000(,,),F x y z PF PB=λ,则)3,1,0()3,,(--=-λzyx(0,)F-λ所以.设(,,x y z=）n为平面DEF的法向量,(2,1,0),(0,),ED EF==-λ0,0,EDEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn200.x yy z+=⎧⎪⎨-λ+=⎪⎩，即）x1y2z⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，(1,=-所以n.设平面CDE的法向量为(0,0,1=）m．1cos,4m n==所以.化简得01232=-+λλ.解得311=-=λλ（舍）或.所以存在点F，且PBPF31= .………13分17.（2012年石景山一模理17）如图，三棱柱111CBAABC-中，1AA⊥面ABC，2,==⊥ACBCACBC，13AA=，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：11//BDCAB面；（Ⅱ）求二面角CBDC--1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA上是否存在点P，使得1BDCCP面⊥？请证明你的结论.B1 B证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1．∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． 解：（II ）如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，……5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-.…7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. ……8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. ……9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …12分解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. ……13分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …14分17.（2012年房山一模17）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明；(III)求二面角1M AB B --的余弦值.证明：(I)∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，∴C B BN 1⊥ …………1分BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCC B …………2分⊂C B 1平面11BCC B∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1 ……………3分 又B BG BN =∴⊥C B 1平面BNG …………4分（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………5分 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线 ∴GH ∥1BB ，121BB GH =………6分 ∵由已知条件，11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ，11BB CC = ∵M 为1CC 的中点，∴121CC CM =……7分 ∴MC ∥GH ，且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥HM又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面⊄⊂ ……8分 ∴CG //平面M AB 1 ………9分 解：(III) ∵ 直三棱柱111ABC A B C -且BC AB ⊥依题意，如图：以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -，…10分∴1(0,0,0)B ,(0,2,0)B ,)0,1,2(M ,(0,2,2)A ,1(2,0,0)C则1(0,2,2)B A =，)0,1,2(1=B 设平面1B AM 的法向量(,,)n x y z =，则1100n B A n B M ⋅=⋅⎧⎪=⎨⎪⎩,即00222x y z y ⎧⎨+=+=⎩，令1=x ，有)2,2,1(-=n ………12分 又平面1B AB 的法向量为11(2,0,0)BC =，∴11cos ,BC n <>=1111B C n B C n⋅⋅=31， ……13分设二面角1M AB B --的平面角为θ，且θ为锐角∴111cos cos ,3B C n θ=-=． ……14分16．（2012年密云一模理16）如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==，2NC =，M 是线段PA 上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值．证明：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ， ∴平面PAC ⊥平面NEF ； ……4分 解：（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，所以00n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m=，第16题图第16题图用心 爱心 专心∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ⋅=，即24440m+-=，解得3m =， 故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = ----8分（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为．----14分16．（2012年门头沟一模理16）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：//EH 平面FAC ；（Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角A FC B --的大小．证明：（Ⅰ）ACBD O =，连结HO ，FO因为ABCD 为正方形，所以O 是AC 中点，EDABCFH用心 爱心 专心 22又H 是AD 中点， 所以1//,2OH CD OH CD =，1//,2EF AB EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FAC ，EH ⊄平面FAC ． 所以//EH 平面FAC ．……………4分 证明：（Ⅱ）因为AE ED =，H 是AD 的中点， 所以EH AD ⊥……………6分又因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥ 又因为AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面AED ， 因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥，……………8分 所以EH ⊥平面ABCD ．……………9分解：（Ⅲ）AC ，BD ，OF 两两垂直，建立如图所示的坐标系，设1EF =， 则2AB =，B，(C ，(0,0,1)F …………10分设平面BCF 的法向量为1(,,)n x y z =， (2,2,0),(2,0,1)BC CF =--=，110,0n BC n CF ⋅=⋅=所以 1(1,1n =- …………11分 平面AFC 的法向量为2(0,1,0)n = ………12分1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅． ………13分二面角A FC B --为锐角，所以二面角A FC B --等于3π．……………14分。
2012北京丰台高考一模数学理(含解析)
俯视图正视图丰台区2012年第二学期统一练习（一）高三年级数学试卷（理科）2012．3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}21A x x =<，{}B a =，若A B =∅I ，则a 的取值范围是（ ）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．(,1][1,)-∞-+∞UC ．(1,1)-D ．[1,1]-2．若变量,x y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（ ）．A ．[3,)+∞B ．[8,3]-C ．(,9]-∞D ．[8,9]-3．6+的二项展开式中，常数项是（ ）． A ．10 B ．15 C ．20 D ．304．已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，(3,4)b =r ，若a b ⊥r r，则tan 2θ等于（ ）． A ．247B ．67C ．2425-D ．247-5．若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）．A ．4B ．4+C ．8D ．4+6．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法 共有（ ）．A ．224A 3⋅种B ．2243A A ⋅种C ．224C 3⋅种D ．2243C A ⋅种7．已知a b <，函数()=sin f x x ，()=cos g x x ．命题:()()0p f a f b ⋅<，命题:q 函数()g x 在区间(,)a b 内有最值．则命题p 是命题q 成立的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()+2f x f x =，当11x -<≤时，()3f x x =．若函数()()log a g x f x x =-恰有6个零点，则a （ ）．A ．5a =或15a =B ．1(0,)[5,)5a ∈+∞UC ．11[,][5,7]75a ∈UD ．11[,)[5,7)75a ∈U第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______．10．已知等比数列{}n a 的首项为1，若14a ，22a ，3a 成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为______．11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴 正方向极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是24cos 30ρρθ-+=．则圆心到直线的距离是_____．12．如图所示，Rt ABC △内接于圆，60ABC ∠=o ，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于E ，交圆于D ．若P A AE =，PD BD =AP = ，AC = ．EDPCBA13．执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为______．14．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-， 则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断ABC △的形状；（Ⅱ）若121()cos2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围．四棱锥P ABC D -中，底面ABC D 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABC D ，60BCD ∠=o ，PA PD ==，E 是BC 中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）若Q 是PC 中点，求二面角E DQ C -- 的余弦值；（Ⅲ）若PQPCλ=，当PA ∥平面DEQ 时，求λ的值．EDCBAQP某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X的分布列和数学期望．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2-，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值 范围．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接,MA MB ，并 延长交直线4x =于,P Q 两点，设,P Q y y 分别为点,P Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求证：直线l 过定点．已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若0b >，求证：111ni i i b b b =+<∑．丰台区2012年第二学期统一练习（一） 高三年级数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．54 10．3116 11．1212．， 13．6 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（Ⅰ）解：（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， …………………2分 所以sin()sin sin C B A B +=． ………………4分 因为在ABC △中，A B C ++=π，所以sin sin sin A A B =，又sin 0A ≠， ………………5分所以sin 1B =，2B π=． 所以ABC △为2B π=的直角三角形． ………………6分（法2）因为sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， ………4分即sin a B a =．因为0a ≠，所以sin 1B =． ……………………5分 所以在ABC △中，2B π=． 所以ABC △为2B π=的直角三角形． ………………6分 （Ⅱ）解：因为121()cos2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- ………8分=211(cos )39x --． ……………10分所以211()(cos )39f A A =--．因为ABC △是2B π=的直角三角形， 所以02A π<<，且0cos 1A <<， …………………11分 所以当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． ……………12分所以()f A 的取值范围是11[,)93-． …………………13分16．（Ⅰ）证明：取AD 中点O ，连结,,OP OB BD ．因为PA PD =，所以PO AD ⊥． ………………1分 因为菱形ABCD 中，060BCD ∠=， 所以AB BD =，所以BO AD ⊥． ………………2分 因为0BO PO =I ， ………………3分 所以AD ⊥平面POB ．………………4分 所以AD PB ⊥． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,BO AD PO AD ⊥⊥．因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且平面PAD I 底面ABCD AD =，所以PO ⊥底面ABCD ． …………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．…………7分则(1,0,0)D -，(E -，(0,0,1)P ，(C -，因为Q 为PC中点，所以1()2Q -． …………8分所以 DE =u u u r，1)2DQ =uuu r ， 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =u r．因为 (1DC =-u u u r，1)2DQ =uuu r ， 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，则220,0DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩uuu r u u r uuu r uur 0,10.2x y z ⎧-=+= OPQABCDEC令x 1y=，z =，即2,n =u u r． ……………9分121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=u r u u ru r u u r u r u u r ．由图可知，二面角E DQ C --． ………10分 （Ⅲ）解：因为PQPC λ=，所以 PQ PC λ=u u u r u u u r， 由（Ⅱ）知(1)PC =--u u u r ，(1,0,1)PA =-u u r，若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-u u u r，由PQ PC λ=u u u r u uu r ，得21x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ 中，DE =u u ur ，(1,,)(12,1)DQ x y z λλ=+=--u u u r， 所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--u r， ………………12分 又因为PA ∥平面DEQ ， 所以10PA n ⋅=uu r u r， ……………………13分 即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，PA ∥平面DEQ ． ……………14分17．（Ⅰ）解：根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以0.03a =． ………………2分（Ⅱ）解：学生成绩在[50,60)内的共有400.052⨯=人，在[60,70)内的共有400.2259⨯=人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． ………………4分设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ， …………5分则39311C 28()C 55P A ==． ……………………7分所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855．（Ⅲ）依题意，X 的可能取值是123，，． ………………8分 2129311C C 3(1)C 55P X ===； 1229311C C 24(2)C 55P X ===；28(3)()55P X P A ===． …………………10分 所以X 的分布列为分324282712355555511E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………13分 18．（Ⅰ）解：当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． ………1分因为(1)0f '=，(1)2f =-， …………2分所以切线方程为 2y =-． ………………3分 （Ⅱ）解：函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当0a >时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x-++'=-++=(0)x >，………………4分令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===， 所以12x =或1x a=． …………5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递增， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是(1)2f =-； …………6分 当11e a <<时，()f x 在[]1,e 上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以，()f x 在[]1,e 上的最小值是(e)(1)2f f <=-，不合题意． …7分 综上可得 1a ≥． ………8分 （Ⅲ）解：设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， …………9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……………10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； ……11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥，则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． ………………12分 综上可得 08a ≤≤． ………………13分 19．（Ⅰ）解：依题意2a =，c a=c ……………2分 因为222a b c=+，所以b =． ……………3分 椭圆方程为22142x y +=． ………………5分 （Ⅱ）证明：2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩消y 得222(21)4240k x kmx m +++-=，0∆>． …………6分 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122421km x x k +=-+，21222421m x x k -=+． ……………7分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+………9分 因为121111P Q y y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+，即121244066x x y y --+=． ………10分 所以1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，1212122()4()80kx x m x x k x x m ++-+-=，222224442()4()80212121m km km k m k m k k k -+----=+++， 所以288021k mk --=+，得m k =-． ………………13分 则y kx k =-，故l 过定点(1,0)． ………………14分20．（Ⅰ）解：因为2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-． …………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）证明：假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++． 所以22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ………………9分 （ⅱ）证明：10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以21n n n b b b +=-；所以211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为210n n n b b b +=->，所以1110n n n b b b b b +->>>>=>L ； 所以11122311*********()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b =+++=-+-++-=-<∑L ．……13分 （若用其他方法解题，请酌情给分）北京市丰台区高三一模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：当{}{}2|111A x x x =<=-<<，A B B =Q I B A ∴=R ð，即B =(,1][1,)-∞-+∞U ．故选B ．2．【答案】D【解析】解：由题可知,x y 满足的区域为如图 的阴影部分ABC ，易知当直线过点()1,1A --时，min 8z =-； 易已知当直线过点()3,0A 时，max 9z =． 故选D ．3．【答案】C【解析】解：由二项式的定理可知()633166C C 2kkk kk kk T x ---+==⎝⎭当3k =，为展开式的常数项346C 20T ==． 故选C ．4．【答案】A【解析】解：当a b ⊥r r时，()()sin ,cos 3,43sin 4cos 0a b θθθθ⋅=⋅=+=r r，即4tan 3θ=-，22tan 24tan 21tan 7θθθ==-．故选A ．5．【答案】B【解析】解：可知该几何体如图所示底面积11=2S ⨯，因为图形为正四棱锥，故1OE =且3OP =，所以ABP△的斜高EP故侧面积21=422S ⨯⨯所以棱锥表面积12=4S S S =++ 故选B ．6．【答案】C【解析】解：可采取分步计数法解决： 第一步，选出两个班去A 景区，共有24C 种； 第二步，剩余两班各有乙、丙、丁3种选择； 综上，共有24C 33⨯⨯种． 故选C ．7．【答案】A【解析】解：由题可知，sin sin 0a b ⋅<由零点存在定理一定存在(),c a b ∈，使得sin 0c =， 故cos 1c =或cos 1c =-，故函数cos x 在区间(),a b 内取得最值；当π4a =-，5π4b =，显然()π,a b ∈，函数cos x 取得最值， 但π5πsin sin 044⎛⎫-⋅> ⎪⎝⎭． 故选A ．8．【答案】D【解析】解：定义在R 上的函数()y f x =满足()()2f x f x +=， 所以()f x 的周期为2，当11x -<≤时，3()f x x =．可通过平移画出函数()f x 的图像．E PODCBA函数()()log a g x f x x =-恰有6个零点， 等价于()y f x =与log a y x =图像有6个交点． 画出()f x 与5log y x =，7log y x =知[)5,7a ∈时， ()y f x =与log a y x =图像有6个交点．画出()f x 与15log y x =，17log y x=知11,75a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()y f x =与log a y x =图像有6个交点．故选D ．二、 填空题 9．【答案】54【解析】解：由题可设双曲线方程为 ()222210.0x y a b a b-=>>，易知34b a =，所以54c e a ===．故答案为54． 10．【答案】3116【解析】解：由题可知2a q =，23a q =， 若14a ，22a ，3a 成等差数列，则244q q +=，故2q =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列，所以5511123111612S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-． 故答案为3116．11．【答案】12【解析】解：可知参数方程表示的直线方程为10x -=，极坐标表示的圆的方程()2221x y -+=， 其圆心为()2,0，故12d =． 故答案为12．12．【答案】，【解析】解：由切割线定理可知2AP PD PB AP =⋅⇒因为PA 是圆的切线，所以PA AB ⊥， 在直角ABP △中，6AB =，在直角ABC △中，60ABC ∠=o ， 所以6sin 606AC =⨯=⨯=o故答案为，13．【答案】6【解析】解：可列表故6i =．故答案为6．14．【答案】①④【解析】解：对于①()32f x x =+，'()3f x =，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-， 得'()3f ξ=，所以[]0,1ξ∈有无数个中值点．符合题意．对于②2()1f x x x =-+，'()21f x x =-，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-，得'()0f ξ=，1210,2ξξ-==只有一个中值点，不合题意． 对于 ③()ln(1)f x x =+，'1()1f x x =+，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-，得'()ln 2f ξ=，11ln 2,11ln 2ξξ==-+只有一个中值点，不合题意． 对于④31()()2f x x =-，'21()3()2f x x =-，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-，得'1()4f ξ=，2113()=24ξξ-，2个中值点．符合题意．故答案为①④．。
2012届北京市丰台区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习 2012.1高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x ∣x<4}，B={x ∣x2<4}，则(A) A ⊆B(B) B ⊆A(C) A ⊆R Bð(D) B ⊆R Að2．在复平面内，复数2i1+i 对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则(A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题 (C) 命题()p q ∨⌝是假命题(D) 命题()p q ∧⌝是真命题4．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) 23 (B) 43(C) 2 (D)65．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中Pn 为预测人口数，P0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 252(41)3-(B) 262(41)3-(C) 5021-(D) 5121-侧视图正视图7．若函数21()log ()f x x a x =+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是(A) 25(log ,1]2-- (B)25(1,log )2 (C)25(0,log )2 (D)25[1,log )28．如图，P 是正方体ABCD —A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S5= a8+5，S6= a7+ a9-5，则公差d 等于 ． 10．若过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为 ． 11．曲线y=3-3x2与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．12．已知平面向量(4,3)a = ，2(2,2)a b -=- ，则a 与b的夹角余弦值等于 ．1A13．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于4S的概率是 ． 14．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x x f x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x ；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小．17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自A B CA 1B 1C 1MN主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的． （Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）设函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．20.（本小题共13分） 若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列． （Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01 高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．5 10．8- 11．412．2425 13．12 14． ①②（只写出一个给2分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值． 解：（Ⅰ）因为()1cos f x x x =+ ……………………1分12cos()3x π=++， ……………………2分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………4分（Ⅱ）因为1()33f πα-=， 所以 112cos =3α+，即1c o s 3α=-． ……………………5分因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- ……………………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=， (10)分又因为α为第二象限角， 所以sin α=． ……………………11分所以原式1cos sin 13322cos 23ααα-++-===-． ……………………13分16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小． 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC ，所以CC1⊥BC ． ……………………1分 因为AC=BC=2，AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分 因为AC ∩CC1=C ，所以BC ⊥平面ACC1A1． ……………………3分 因为AM ⊂平面ACC1A1，所以BC ⊥AM ． ……………………4分（Ⅱ）连结A1B 交AB1于P ． ……………………5分 因为三棱柱ABC-A1B1C1， 所以P 是A1B 的中点．因为M ，N 分别是CC1，AB 的中点， 所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形， ……………………6分 所以CN//MP ． ……………………7分因为CN ⊄平面AB1M ，MP ⊂平面AB1M ， ………………8分 所以CN //平面AB1M ． ……………………9分 （Ⅲ）因为BC ⊥AC ，且CC1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．PN MC 1B 1A 1CBAABCA 1B 1C 1MN因为132C M =，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． (10)分设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅= ．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩， ……………………11分 令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以cos ,>=2||||n CA n CA n CA ⋅<=． ………………12分 由图可知二面角A-MB1-C 为锐角，所以二面角A-MB1-C 的大小为4π． (14)分17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A 社区医院”为事件A ，那么 ……………………1分111()339P A =⨯=． ……………………3分zM所以甲、乙两人都选择A 社区医院的概率为19． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B ，那么 ……………………5分111()3333P B =⨯⨯=， ……………………7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是2()1()3P B P B =-=． ……………………8分 （Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么 ……………………9分044216(0)()381P C ξ==⨯=； 1341232(1)()3381P C ξ==⨯⨯=； 22241224(2)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 334128(3)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 44411(4)()381P C ξ==⨯=． （错三个没分）所以ξ的分布列为……………………1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分（方法二）依题意1(4,)3B ξ , ……………………10分所以ξ的分布列为4444122()()()3381k k k k kP k C C ξ--==⨯⨯=⨯，0,1,2,3,4k =．即……………………所以14433E ξ=⨯=． ……………………13分18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点P的坐标为(,)P x y ，依题意，||1||2PM PN =， ……………………1分即= ……………………3分化简得224x y +=． 所以动点P 的轨迹W 的方程为224x y +=． ……………………5分（Ⅱ）因为直线l ：3y kx =+与曲线W 相交于A ，B 两点，所以2O l d -=<，所以k >或k <． ……………………7分假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+． ……………………8分因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形， 所以OQ与AB互相垂直且平分， ……………………9分 所以原点O 到直线l ：3y kx =+的距离为1||12d OQ ==． ……………………10分即1O l d -==，解得28k =，k =±，经验证满足条件． ……………………12分所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+． ……………………13分19.（本小题共14分）已知函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()1a bf x x x '=--， (2)分由(1)0f '= 得 a b -=1． ……………………3分 （Ⅱ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ……………………4分由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==．令()0f x '=，则11=x ，12-=a x ． (6)分因为1=x 是)(x f 的极值点， 所以21x x ≠，即2≠a ． ……………………7分所以当2>a 时，11>-a ，所以单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………8分当21<<a 时，110<-<a ，所以单调递增区间为)1,0(-a ，),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………9分（Ⅲ）当3>a 时，)(x f 在1[,1)2上为增函数，在(1,2]为减函数，所以)(x f 的最大值为02)1(<-=a f ． ……………………10分因为函数)(x g 在1[,2]2上是单调递增函数，所以)(x g 的最小值为0341)21(2>+=a g ． ……………………11分所以)()(x f x g >在1[,2]2上恒成立． ……………………12分要使存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，只需要9)1()21(<-f g ，即9)2(3412<--+a a ，所以48<<-a ． …………………13分又因为3>a ， 所以a 的取值范围是(3,4)a ∈． ……………………14分20.（本小题共13分） 若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列． （Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值．解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ……………………2分（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an ，当ma 为偶数时，1(2)2mm m a a a -=≥，或11m m a a -=-．因为12mm a a -≤ (2)m a ≥，所以在数列{an}中12mi a a ≤≤中i 的个数不多于11j m a a -≤≤中j 的个数，要使项数m 最小，只需 1(2)2mm m a a a -=≥． (5)分当am 为奇数时，必然有11(2)m m m a a a -=-≥，1m a -是偶数，可继续重复上面的操作．所以要使项数m 最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1． 因为312222+2lb b b b m a k ==+++ ，且1230lb b b b <<<< ≤，只需除以1b 次2，得到31121122+2l b b b b b b ---+++ 为奇数；减1，得到3112122+2l b b b b b b ---++ 为偶数，再除以21b b -次2，得到322122l b b b b --+++ ；再减1，得到32222l b b b b --++ 为偶数，…………， 最后得到12l l b b --为偶数，除以1l l b b --次2，得到1，即为1a ．所以121321()()+()(1)1l l m b b b b b b b l -=+-+-+-+-+ =l b l+． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学理)(6)：数列.pdf
8A Unit2 School life 第五课时Grammar（2）（新授课） 主备人：陈伯云 审核人： 何文静 班级：_________姓名：___________ 【学习目标】 学习副词的比较级 学习副词的最高级 【学习过程】 一、课前预习·导学 1.预习P28-30,试翻译下列短语。
(1)在比赛中得了第三名 come ________ in the _________ (2画得比其他任何学生好 draw ________ ________ other student (3)在我们班跳得最高 ________ ___________ in our class (4)游得快 _________ __________ (5在所有人中写字最快 write ______ _________ __________ 2.自主探究：请带着下面这个问题阅读教材。
“more…than” “fewer…than”和 “less…than”分别用来修饰什么词？ 二、课堂学习研讨 Explain 1. 和形容词一样，副词也有原级、比较级. 规则变化： 1. 单音节词， 加er （1）副词和形容词同形，单音节，在词尾加er fast ____________ hard ____________ loud—________________ （2）以字母“e”结尾的副词，加”r” late --- _____________ （3以辅音字母y结尾的副词，先变i,再加er early ______________ 2.双音节和多音节词，前面加more wonderfully more wonderfully most wonderfully politely more politely most politely slowly more slowly most slowly loudly more loudly softly more softly quickly? more quickly? most quickly strongly more strongly? ?most strongly ? carefully more carefully most carefully 3.不规则变化 well better badly- worse late later far---farther high—higher 2.同理，最高级也是一样。
【数学理】2012年北京市各区一模试题分类解析(6)：数列
六、数列2.（2012年海淀一模理2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（ B ）A ．116B ．18 C ．14 D ．127.（2012年西城一模理7）设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ A ）A ．(0,1]B ．(0,2)C ．[1,2) D．6．（2012年东城一模理6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为（ C ）A ．3-B ．3±C．-．±10．（2012年丰台一模理10）已知等比数列}{n a 的首项为1，若14a ，22a ，3a 成等差数 列，则数列1{}na 的前5项和为______． 答案：3116. 2．（2012年门头沟一模理2）在等差数列{}n a 中，13a =，32a =，则此数列的前10项之和10S 等于（ B ） A.55.5B.7.5C.75D.15-3.（2012年朝阳一模理3）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =（ B ）A. 16-B. 16C. 31D. 3210.（2012年石景山一模理10）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________． 答案：10。
2．（2012年密云一模理2）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ D ） A ．11 B ．5 C ．8- D ．11-20.（2012年丰台一模理20）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑． 解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列． 所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21n n a =-． ……4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=> ；所以11122311*********()()()nii i n n n b bb b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑ ．20.（2012年东城11校联考理20）直线2121:)21,0(1:21+=±≠≠-+=x y l k k k kx y l 与相交于点P .直线1l 与x 轴交于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，…，这样一直作下去，可得到一系列1122,,,P Q P Q ，…，点n P (1,2,)n = 的横坐标构成数列{}.n x （1）当2=k 时，求点123,,P P P 的坐标并猜出点n P 的坐标；（2）证明数列{}1-n x 是等比数列，并求出数列{}n x 的通项公式；（3）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小. 解：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1615,3231,43,87,0,21321P P P ,可猜得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22221212212,212n n n n n P .……4分（2）设点n P 的坐标是),(n n y x ，由已知条件得点1,n n Q P +的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由1n P +在直线1l 上，得 .121211k kx x n n -+=++所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 111(1),2n n x x n k*+-=-∈N所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.由题设知 ,011,1111≠-=--=kx k x从而 11111(),12(),.22n n n n x x n k k k -*-=-⨯=-⨯∈N 即 ……9分（3）由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以 ,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n n n n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k（i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k 1910>+=, 而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以（ii ）当)21,0()0,21(,21||0 -∈<<k k 即时，5||4212+PP k 1910<+=. 而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP k n n 故所以14分20.（2012年房山一模20）在直角坐标平面上有一点列),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．（I ）求点n P 的坐标；（II ）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c ,中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ ；（III ）设{}{}**N N ∈==∈==n y y y T n x x x S n n ,4|,,2|，等差数列{}n a 的任一项n a S T ∈ ，其中1a 是S T 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．解：（I ）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n ………2分 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴---- ………3分（II ）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y ……5分把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y . ……7分 322++='n x y当0=x 时，32+=n k n)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n n n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n=641101)32151(21+-=+-n n ……9分 （III ）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴= T 中最大数171-=a . ……10分设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-又20．（2012年门头沟一模理20）数列{}n a 满足21121,(1,2,)31n n n n a a a n a a +===-+ ．（Ⅰ）求2a ，3a ；(Ⅱ) 求证:n a a a +++ 2111121n n a a ++=--；（Ⅲ）求证: n n n a a a 2212312131211-<+++<-- ． 解：（Ⅰ）217a =，3143a =………2分 证明：（Ⅱ）由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a ． （1） 所以211,111n n n n n n na a aa a a a ++==---- 即 1111n n n n n a aa a a ++=---． ……5分 从而 n a a a +++ 211133222211111111++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a ． …7分 (Ⅲ) 证明n n n a a a 2212312131211-<+++<-- 等价于证明n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-，[来源:] 即 n n n n a a 21123131<-<++- ． （2） …8分 当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（2）成立．设)1(≥=k k n 时，（2）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-． 当1+=k n 时，由（1）知k k k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； ……11分又由（1）及311=a 知 )1(1≥-n a a n n 均为整数， 从而由k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即k k a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（2）对1+=k n 也成立． 所以（2）对1≥n 的正整数都成立， 即n n n a a a 2212312131211-<+++<-- 对1≥n 的正整数都成立．…13分。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学理)(15)算法初步
十五、算法初步
5.（2012年海淀一模理5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ B ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
2.（2012年西城一模理2）执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ D ） A ．2 B ．5 C ．11 D ．23
4．（2012年东城一模理4）右图给出的是计算100
1
...81614121+
++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ B ）
A ．50>i
B ．25>i
C ．50<i
D ．25<i
13．（2012年丰台一模理13）执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为______．
答案：6.
11.（2012年朝阳一模理11）执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是 .
答案：3 4
5.（2012年东城11校联考理5）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ B）
A.（30，42］
B.（42，56］
C.（56，72］
D.（30，72）
5.（2012年石景山一模理5）执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（ B ）
A.120
B.720
C.1440
D.5040
5．（2012年房山一模理5）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（ C ）
A.5
B.6
C.7
D.8 否是
4．（2012年密云一模理4）阅读右图所示的程序框图．若输入a＝6，b＝1，则输出的结果
是（ B ）
A．1 B．2
C．3 D．4。
2012北京市丰台区初三(一模)数 学
2012北京市丰台区初三（一模）数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．2．（4分）据统计，今年北京市中考报名确认考生人数是96200人，用科学记数法表示96200为（）A．9.62×104 B．0.962×105C．9.62×105D．96.2×1033．（4分）下列图形中，是正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．4．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，若AB=8，OD=3，则⊙O的半径等于（）A．4 B．5 C．8 D．106．（4分）2012年4月21日8时北京市部分区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：区县东城西城海淀朝阳丰台大兴延庆昌平可吸入颗粒物（mg/m3）0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.03 0.14则这8个区县该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（）A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.15和0.15 D．0.18和0.147．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD 沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）如果若分式的值为0，那么x的值等于．10．（4分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．11．（4分）分解因式：a3﹣9a=．12．（4分）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C，…，以此类推，跳动第10次到达的顶点是，跳动第2012次到达的顶点是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）解不等式组：．15．（5分）已知x2+3x﹣1=0，求代数式的值．16．（5分）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在线段AD上，且AF=DE．求证：BE=CF．17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x＞0时，不等式的解集．18．（5分）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：，）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，连接DE交AC的延长线于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．20．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．21．（5分）某学校为了解九年级学生的体育达标情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行体育测试，根据收集的数据绘制成如下统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全图1与图2；（2）若该学校九年级共有400名学生，根据统计结果可以估计九年级体育达标优秀和良好的学生共有名．22．（5分）将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、E、F，并沿直线PE、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN （如图2）．（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）．如果点D的坐标为（5，8），直线PM的解析式为y=kx+b，则所有满足条件的k的值为．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）已知：关于x的一元二次方程：x2﹣2mx+m2﹣4=0．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1，将图形C1向右平移一个单位，得到图形C2，当直线y=x+b（b＜1）与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围．24．（7分）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．25．（8分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．数学试题答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．【解答】根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．故选：A．2．【解答】96200=9.62×104．故选：A．3．【解答】A、折叠后缺少两个底面，故此选项错误；B、可以是一个正方体的平面展开图，故此选项正确；C、缺少一个侧面，故此选项错误；D、折叠后缺少一个底面，上面重合，故此选项错误；故选：B．4．【解答】∵一共有7球在袋中，其中4个红球，∴从口袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．故选A．5．【解答】∵AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，AB=8，∴AD=AB=×8=4，在Rt△AOD中，∵AD=4，OD=3，∴OA===5．故选B．6．【解答】在这一组数据中0.15是次数最多的，故众数是0.15；处于这组数据中间位置的数是0.15、0.15，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是0.15．故选C．7．【解答】∵y=x2﹣2x+m，∴==n，即m﹣1=n，∴m﹣n=1．故选C．8．【解答】如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，∴∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE=∠C′PE，∴∠EPC′+∠DPC′=×180°=90°，∴△DPE是直角三角形，∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，∴AE=AB﹣BE=3﹣y，CP=BC﹣BP=5﹣x，在Rt△BEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2，在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=（3﹣y）2+52，在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2=（5﹣x）2+32，在Rt△PDE中，DE2=PE2+PD2，则（3﹣y）2+52=x2+y2+（5﹣x）2+32，整理得，﹣6y=2x2﹣10x，所以y=﹣x2+x（0＜x＜5），纵观各选项，只有D选项符合．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】根据题意得：x+1=0，解得：x=﹣1．故答案是：﹣1．10．【解答】这个正多边形的边数：360°÷60°=6．故答案为：6．11．【解答】a3﹣9a=a（a2﹣32）=a（a+3）（a﹣3）．12．【解答】因为第一次是：A→D，第二次是：D→A→B，第三次是：B→A→D→C，第四次是：C→D→A→B→C，第五次是：C→B→A→D→C→B，第六次是：B→C→D→A→B→C→D，第七次是：D→C→B→A→D→C→B→A，第八次是：A→B→C→D→A→B→C→D→A，第九次是：A→D→C→B→A→D→C→B→A→D，…，每八次一个循环，第10次是：10÷8=1…2，所以跳动第10次到达的顶点是B，跳动第2012次到达的顶点是：2012÷8=251…4，是C点．故答案为：B，C．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=+2×+1﹣2=++1﹣2=﹣．14．【解答】，由①得x＞﹣2，由②得，5﹣2x+2＞1，解得x＜3，所以，原不等式组的解集为﹣2＜x＜3．15．【解答】原式=•﹣====，∵x2+3x﹣1=0，∴x2+3x=1，∴原式=﹣=﹣1．16．【解答】∵AF=DE，∴AF﹣EF=DE﹣EF，即AE=DF，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF．17．【解答】（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B（2，1），∴将B坐标代入反比例解析式得：m=1×2=2，∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0）、B（2，1）两点，∴将A和B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣1；（2）由图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集为x＞2．18．【解答】（1）在Rt△BOP中，∠BOP=90°，∵∠BPO=45°，OP=100，∴OB=OP=100．在Rt△AOP中，∠AOP=90°，∵∠APO=60°，∴AO=OP•tan∠APO．∴A0=100，AB=100（﹣1）（米）；（2）∵此车的速度==25（﹣1）≈25×0.73=18.25米/秒，70千米/小时=≈19.4米/秒，18.25米/秒＜19.4米/秒，∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵BG∥AF，∴DF=EF．（2）∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=2，∴AC=．∵OF是△DBE的中位线，∴BE=2OF．∵OF=OC+CF，∴BE=2OC+2CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC．∵AC=2CF，∴BE=2AC=．20．【解答】（1）证明：连接OA，∵OA=OD，∴∠1=∠2．∵DA平分∠BDE，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OA∥DE．∴∠OAE=∠4，∵AE⊥CD，∴∠4=90°．∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°．∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．∴，∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD=．∴⊙O半径为．21．【解答】（1）根据两种统计图知及格的有16人，占20%，故总人数为16÷20%=80人，不及格的有80×5%=4人，良好的有80﹣4﹣16﹣24=36人，优秀率为：24÷80×100%=30%良好率为36÷80×100%=45%良好的人数有：80﹣6﹣16﹣24=34人，如图：（2）∵优秀率和良好率分别为45%和30%，∴400×（45%+30%）=300．∴体育达标优秀和良好的学生共有300名．22．【解答】（1）如图1：沿AD、CD中点，BC、CD中点剪开，即可得到一个等腰△PMN；（2）取AB、CD的中点E、F．∵点D的坐标为（5，8），四边形ABCD是矩形，∴E（0，4），F（5，4）．①如图2，若PM=PN，则P（2.5，8）．将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得，解得，；②如图3，若PM=MN，则PM=MN=10，所以，EP=5，∵AE=4，∴在Rt△APE中，根据勾股定理知AP===3，∴P（3，8）．将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得，解得，；③如图4，若PN=MN，则PN=MN=10，所以，PF=5，∵DF=4，∴在Rt△PDF中，根据勾股定理知PD===3∴P（2，8）．将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得，解得，．综上所述，k=，或2；故答案是：，或2．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）证明∵△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）=16＞0．∴该方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，故﹣2m=0，解得m=0．∴此抛物线的解析式为y=x2﹣4．（3）如图，当直线y=x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，故可知y=x+b在y=x+1的下方，当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=﹣3，由图可知符合题意的b的取值范围为﹣3＜b＜1时，直线y=x+b；（b＜1）与此图象有两个公共点．24．【解答】（1）∵M是EC的中点，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DM=BM．∵M是EC的中点，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案为：BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°﹣∠5﹣∠7﹣∠1，∠7=180°﹣∠6﹣∠9，∴∠8=360°﹣45°﹣（180°﹣∠6﹣∠9）﹣（∠3+∠9），=360°﹣45°﹣180°+∠6+∠9﹣45°﹣∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．25．【解答】（1）如图1，连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，∵⊙P与y轴相切于点A，∴PA⊥y轴，∵P（2，），∴OG=AP=2，PG=OA=，∴PB=PC=2，∴BG=1，∴CG=1，BC=2．∴OB=1，OC=3．∴A（0，），B（1，0），C（3，0），根据题意设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），则，解得：a=．故二次函数的解析式为：．（2）∵点B（1，0），点P（2，），∴BP的解析式为：y=x﹣；则过点A平行于BP的直线解析式为：y=x+，过点C平行于BP的直线解析式为：y=x﹣3，从而可得①：x+=x2﹣x+，解得：x1=0，x2=7，从而可得满足题意的点M的坐标为（0，）、（7，8）；②x﹣3=x2﹣x+，解得：x1=3，x2=4，从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，）综上可得点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．（3）∵=，∴抛物线的顶点Q（2，）．如图2，作点P关于y轴的对称点P'，则P'（﹣2，）．连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P'Q=．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市丰台区2012届高三下学期3月月考
数 学 试 题（理）
注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔
填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将
各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在
试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项． 1．已知集合2
{|1},{}A x x B a =<=，若A B φ= ，则a 的取值范围是
（ ）
A ．(,1)(1,)-∞-+∞
B ．(][),11,-∞-+∞
C ．（-1，1）
D ．[-1，1]
2．若变量x ，y 满足条件0,
21,43,y x y x y ≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
则35z x y =+的取值范围是
（ ）
A ．[)3,+∞
B ．[8,3]-
C ．(],9-∞
D ．[8,9]-
3
．62
+
的二项展开式中，常数项是
（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．30
4．已知向量(sin ,cos ),(3,4)a b θθ==
，若a b ⊥ ，则tan 2θ等于
（ ）
A ．
247
B ．
67
C ．2425
-
D ．247
-
5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．4
B ．4+
C ．8
D ．4+6．学校组织一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区
中任选一个游览，则恰有2个班选择了甲景区的选法共有 （ ） A ．2
2
43A ⋅种 B ．22
43A A ⋅种
C ．2
243C ⋅种
D ．2
2
43C A ⋅种
7．已知a b <，函数()sin ,()cos .f x x g x x ==命题:()()0p f a f b ⋅<，命题
:()
(,q g x a b
在内有最值，则命题p 是命题q 成立的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3
()f x x =，
若函数()()log ||a g x f x x =-至少有6个零点，则a （ ）
A ．155
a a ==
或
B ．[)1
(0,)5,5a ∈+∞
C ．11
[,][5,7]75
a ∈
D ．11
[,][5,7]75
a ∈
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34
y x =
，则该双曲线的
离心率是 。
10．已知等比数列{}n a 的首项为1，若1234,2,a a a ，成等差数列，则数列1{
}n
a 的前5项和
为 。
11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是1,212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。
以O 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是2
4cos 30.ρρθ-+=则圆心到直线的距离是___ ．
12．如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠=︒，PA 是
圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于E ，交圆于D 。
若PA =AE ，
BD =，则AP= ，AC= 。
13．执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为 。
14．定义在区间[a ，b]上的连结函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得
()()'()(f b f a f b a ξ-
=-，则称ξ为区间[a ，b]上的“中值点”。
下列函数：
①()32;f x x =+②2
()1;f x x x =-+③()ln(1)f x x =+；④31()()2
f x x =-
中，在
区间[0，1]上“中值点”多于一个函数序号为 。
（写出所有．．满足条件的函数的序号）
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos .a B b C c B -= （I ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若121()cos 2cos 2
3
2
f x x x =
-
+
，求f （A ）的取值范围．
16．（本小题共14分） 四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，
60,BCD PA PD ∠=︒==
E 是BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上．
（I ）求证：AD ⊥PB ；
（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求二面角E —DQ —C 的余弦值； （Ⅲ）若
PQ PC
λ=，当PA//平面DEQ 时，求A 的值．
17．（本小题共13分） 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图
所示。
（I ）请根据图中所给数据，求出a 的值； （Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，
70）内的概率； （Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3
人的成绩进行分析，用X 表示所选学生成绩在[ 60，70）内的人数，求X 的分布列和数学期望．
18．（本小题共13分）
已知函数2
()(2)ln .f x ax a x x =-++．
（I ）当a=l 时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （l ））处的切线方程；
（Ⅱ）当a>0时，若f （x ）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，求a 的取值范围．
19．（本小题共14分） 已知椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>
的离心率为
2
，且经过点M （一2，0）．
（I ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，连接,MA MB 并延长交直线x=4于P ，Q 两点，设,P Q y y 分别为点P ，Q 的纵坐标，且1
2
1111P
Q
y y y y +
=
+
，
求证直线l 过定点。
20．（本小题共13分） 已知函数2
(),'()f x x x f x =+为函数()f x 的导函数。
（1）若数列{}n a 满足11'(),1n n a f a a +==且，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11,()n n b b b f b +==。
（i ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由。
（ii ）若0b >，求证：11
1.n
i i i b b b
=+<
∑。