一元二次方程专题1
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程典型例题整理版
一元二次方程典型例题整理版一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）2.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）3.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a²-l=0的一个根是。
则a的值为( )4.若方程(m-1)x²+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
5.关于x的方程(a+a-2)x+a·x+b=0是一元二次方程的条件是（）专题二：一元二次方程的解典例分析：1.关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a²-4=0的一个根为-2，则a的值为。
2.已知方程x²+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-8.3.已知a是x²-3x+1=0的根，则2a²-6a+3=0.4.若方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是1和-1.5.方程(a-b)x²+(b-c)x+c-a=0的一个根为1，则另一个根为-b/c。
课堂练：1.已知一元二次方程x²+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为-2-m。
2.已知x=1是一元二次方程x²+bx+5=0的一个解，则b=-6，另一个根为-5.3.已知2y²+y-3=2，则4y²+2y+1=11/2，xy=-3/2.4.已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为1.专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：1.直接开平方法：(1-x)²-9=0，解得x=-2或4.2.配方法：x²-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。
难度训练：1.如果二次三项式x²-(2m+1)x+16是一个完全平方式，那么m的值是1.2.试用配方法说明x²-2x+3的XXX大于2.3.已知x²+y²+4x-6y+13=0，x、y为实数，求xy的值。
一元二次方程典型例题整理版
一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2±=mB ．m=2C ．2-≠mD ．2±≠m3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。
则a 的值为( )A 、 1B 、－lC 、 1 或－1D 、 124、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
5、关于x 的方程0)2(22=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ）A 、a ≠1B 、a ≠－2C 、a ≠1且a ≠－2D 、a ≠1或a ≠－2专题二：一元二次方程的解典例分析：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -课堂练习：1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根．3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
第21章 一元二次方程 章末专题练习题 2021-2022学年人教版九年级上册
第21章 一元二次方程 章末专题练习题 2021-2022学年人教版九年级上册专题一 运用十字相乘法分解因式解一元二次方程1.阅读下列材料：,(1)将x 2＋2x －35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x 2＝x ·x ，－35＝(－5)×(＋7).②交叉相乘，验中项：⇒7x －5x ＝2x.③横向写出两因式：x 2＋2x －35＝(x ＋7)(x －5).我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.(2)根据乘法原理：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x 2－5x ＋6＝0.(2)x 2－2x －3＝0.（3）解方程：2x 2＋x －6＝0.（4）解方程：3x 2－8x －3＝0.2.如果分式1x 8-x 7-x 2 的值为0，则x ＝______. 3.已知x 2－15xy ＋50y 2＝0(xy ≠0)，则yx 的值是______.专题二 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法1.用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0.(2)2(x ＋1)2－8＝0.类型2 配方法2.用配方法解下列方程：(1)x 2－2 3 x ＋1＝0.(2)14x 2－6x ＋3＝0.类型3 因式分解法3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x ＝0.(2)(x －3)2－9＝0.(3)2(t －1)2＋8t ＝0.(4)5x(x －3)＝6－2x.(5)2x 2－5x ＋3＝0.类型4 公式法4.用公式法解下列方程：(1)3x 2＋x －5＝0.(2)x 2－2 3 x ＋2＝0.类型5 选择合适的方法解一元二次方程5.用适当的方法解下列方程：(1)(x ＋1)2－81＝0.(2)x 2－4x －95＝0.(3)3(x －2)2＝4－2x.(4)(2x －5)2＝(x －2)2.(5)(x －3)2＝2x －3.类型6 换元法6.阅读下面的材料：解方程x 4－7x 2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，则x 4＝y 2.∴原方程可化为y 2－7y ＋12＝0.∴a ＝1，b ＝－7，c ＝12.∴Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×12＝1.∴y ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－（－7）±12. 解得y 1＝3，y 2＝4.当y ＝3时，x 2＝3，x ＝± 3 .当y ＝4时，x 2＝4，x ＝±2.∴原方程有四个根是：x1＝ 3 ，x2＝－ 3 ，x3＝2，x4＝－2.以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想.请你运用上述方法解答下列问题.(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0.(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值.专题三根的判别式及根与系数的关系的综合1.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋m2－3m＋3＝0的两根互为倒数，则m的值等于( )A.1B.2C.1或2D.02.已知关于x的方程x2－(2k2－3)x＋k＋7＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＝5－x2，则k的值为______.3.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根α，β.(1)求m的取值范围.(2)若1α＋1β＝－1，求m的值.4.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.(1)求m的取值范围.(2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值.5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根.(1)若(x1－1)(x2－1)＝19，求m的值.(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.参考答案第21章一元二次方程章末专题练习题 2021-2022学年人教版九年级上册专题一运用十字相乘法分解因式解一元二次方程1.阅读下列材料：,(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7).②交叉相乘，验中项：⇒7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5).我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x2－5x＋6＝0.解：∵x2－5x＋6＝0，,∴(x－2)(x－3)＝0，则x－2＝0或x－3＝0，解得x1＝2，x2＝3.(2)x2－2x－3＝0.解：原方程可以变形为(x－3)(x＋1)＝0，则x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.（3）解方程：2x2＋x－6＝0.解：(2x－3)(x＋2)＝0，x 1＝23，x 2＝－2. （4）解方程：3x 2－8x －3＝0.解：(3x ＋1)(x －3)＝0，x 1＝－31，x 2＝3. 2.如果分式1x 8-x 7-x 2 的值为0，则x ＝8. 3.已知x 2－15xy ＋50y 2＝0(xy ≠0)，则yx 的值是5或10.专题二 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法1.用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0.解：3x 2＝27，x 2＝9，x ＝±3，∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(x ＋1)2－8＝0.解：2(x ＋1)2＝8，(x ＋1)2＝4，∴x 1＝－3或x 2＝1.类型2 配方法2.用配方法解下列方程：(1)x 2－2 3 x ＋1＝0.解：x 2－2 3 x ＝－1，x 2－2 3 x ＋3＝2，(x － 3 )2＝2，x － 3 ＝± 2 ，∴x 1＝ 3 ＋ 2 ，x 2＝ 3 － 2 .(2)14x 2－6x ＋3＝0. 解：x 2－24x ＋12＝0，(x －12)2＝132，x －12＝±233 ，∴x 1＝233 ＋12，x 2＝－233 ＋12.类型3 因式分解法3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x ＝0.解：x(x －3)＝0，∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.(2)(x －3)2－9＝0.解：∵(x －3)2－32＝0，∴(x －3＋3)(x －3－3)＝0，即x(x －6)＝0.∴x ＝0或x －6＝0.∴x 1＝0，x 2＝6.(3)2(t －1)2＋8t ＝0.解：原方程可化为2t 2＋4t ＋2＝0.∴2(t ＋1)2＝0.∴(t ＋1)2＝0.∴t 1＝t 2＝－1.(4)5x(x －3)＝6－2x.解：5x(x －3)＝－2(x －3)，∴5x(x －3)＋2(x －3)＝0.∴(5x ＋2)(x －3)＝0.∴5x ＋2＝0或x －3＝0.∴x 1＝－25，x 2＝3.(5)2x 2－5x ＋3＝0.解：(2x －3)(x －1)＝0，∴2x －3＝0或x －1＝0.解得x 1＝32，x 2＝1.类型4 公式法4.用公式法解下列方程：(1)3x 2＋x －5＝0.解：a ＝3，b ＝1，c ＝－5，∴Δ＝b 2－4ac ＝12－4×3×(－5)＝61＞0.∴x ＝－1±616. ∴x 1＝－1＋616 ，x 2＝－1－616.(2)x 2－2 3 x ＋2＝0.解：∵a ＝1，b ＝－2 3 ，c ＝2，Δ＝b 2－4ac ＝(－2 3 )2－4×1×2＝4，∴x ＝－（－23）±42×1＝ 3 ±1. ∴x 1＝ 3 －1，x 2＝ 3 ＋1.类型5 选择合适的方法解一元二次方程5.用适当的方法解下列方程：(1)(x ＋1)2－81＝0.解：(x ＋1)2＝81.x ＋1＝±9.x ＝－1±9.x 1＝8，x 2＝－10.(2)x 2－4x －95＝0.解：x 2－4x ＝95.x 2－4x ＋4＝99.(x －2)2＝99.x －2＝±311 .x 1＝2＋311 ，x 2＝2－311 .(3)3(x －2)2＝4－2x.解：3(x －2)2＋2(x －2)＝0.(x －2)[3(x －2)＋2]＝0.(x －2)(3x －4)＝0.x 1＝2，x 2＝43. (4)(2x －5)2＝(x －2)2.解：∵(2x －5)2＝(x －2)2，∴2x －5＝x －2或2x －5＝－x ＋2.∴x 1＝3，x 2＝73.(5)(x －3)2＝2x －3.解：x 2－6x ＋9－2x ＋3＝0.x 2－8x ＋12＝0.(x －2)(x －6)＝0.x 1＝2，x 2＝6.类型6 换元法6.阅读下面的材料：解方程x 4－7x 2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，则x 4＝y 2.∴原方程可化为y 2－7y ＋12＝0.∴a ＝1，b ＝－7，c ＝12.∴Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×12＝1.∴y ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－（－7）±12. 解得y 1＝3，y 2＝4.当y ＝3时，x 2＝3，x ＝± 3 .当y ＝4时，x 2＝4，x ＝±2.∴原方程有四个根是：x 1＝ 3 ，x 2＝－ 3 ，x 3＝2，x 4＝－2.以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想.请你运用上述方法解答下列问题.(1)解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0.(2)已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－3(a 2＋b 2)－10＝0，试求a 2＋b 2的值.解：(1)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0，整理，得(y －1)(y －4)＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52. 当y ＝x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52 ，x 3＝－1＋172 ，x 4＝－1－172. (2)设x ＝a 2＋b 2，则x 2－3x －10＝0，且x>0.整理，得(x －5)(x ＋2)＝0，解得x 1＝5，x 2＝－2(舍去).故a 2＋b 2＝5.专题三 根的判别式及根与系数的关系的综合1.若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B)A.1B.2C.1或2D.0 2.已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2.3.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围.(2)若1α ＋1β＝－1，求m 的值. 解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2. ∵1α ＋1β ＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2 ＝－1. 变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解.由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去. ∴m 的值为3.4.已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围.(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值.解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2， ∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m ＋4.∴m ＝4，满足m ≤5.当x 2＜0时，有3x 1＝－x 2＋2④，联立①④，解得x 1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去).∴m 的值为4.5.已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根.(1)若(x1－1)(x2－1)＝19，求m的值.(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.解：(1)根据题意，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.(x1－1)(x2－1)＝19整理，得x1x2－(x1＋x2)＋1＝19.把x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5代入x1x2－(x1＋x2)＋1＝19，得m2＋5－2(m＋1)＋1＝19.整理，得m2－2m－15＝0.解得m1＝－3，m2＝5.∵由Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，得m≥2，∴m1＝－3不合题意，应舍去.∴m的值为5.(2)若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m1＝4，m2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意).若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去).若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝8m－16＝0，解得m＝2.原方程为x2－6x＋9＝0.解得x1＝x2＝3.△ABC三边为3，3，7(不合题意，舍去).综上可知：△ABC三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.。
中考一轮数学《一元二次方程及应用》专题复习(1)含答案
河北省沧州市献县2016届中考一轮数学专题复习：一元二次方程及应用测试题1．（来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A ． 试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．2．（贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 【答案】B ．试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．3．（钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ ）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x += 【答案】A ．试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．4．（成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠ 【答案】D ．试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．5．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； ∴等腰三角形的底为1，腰为3； ∴三角形的周长为1+3+3=7． 故选B ．6．（达州）方程21(2)304m x mx --+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．试题分析：根据题意得：220301(34(2)04m m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=---⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．7．（南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C ．8．（佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．9．（安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（ ）象限． A ．四 B ．三 C ．二 D ．一 【答案】D ．试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．10．（山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．11．（枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 【答案】A ．12．（烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ．13．（甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 ． 【答案】5．试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 的对角线长是：2234+=5．故答案为：5．14．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ． 【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．15．（广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x =-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________． 【答案】2-．试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根； 将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根． 故m=2-．故答案为：2-．16．（毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L ． 【答案】20．试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．17．（日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++= ． 【答案】2026．考点：根与系数的关系．18．（自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．19．（崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，市政府共3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．（1）求每年市政府的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．试题分析：（1）设每年市政府的增长率为x．根据6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：建设了18万平方米廉租房．对应练习1．一元二次方程x2＝2x的根是( C )A．x＝2 B．x＝0C．x1＝0, x2＝2 D．x1＝0, x2＝－22．方程x2－4＝0的根是( C )A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝43．方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( D )A．x＝0 B．x＝3C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝04．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( D )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝235．一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( A ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( D ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．37．当m 满足m <4.5时，关于x 的方程x 2－4x ＋m －12＝0有两个不相等的实数根．8．方程2x 2＋5x －3＝0的解是x 1＝－3，x 2＝12.9．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝1，另一根是－3.10．(四川宜宾)某城市居民每月最低生活保障在是240元，经过连续两年的增加，到提高到345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是20%.11．(山东滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为289(1－x )2＝256.12．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0. 解：(x －3)2＋4x (x －3)＝0， (x －3)(x －3＋4x )＝0， (x －3)(5x －3)＝0.于是得x －3＝0或5x －3＝0，x 1＝3，x 2＝35.13．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D ) A ．－1 B ．2C ．1和2D ．－1和214．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p 、q 的值分别是( A )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,315．关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( B ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种16．已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于－1.17．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a 、b ，则1a ＋1b 的值是－65. 18．如图X2－1－4，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是 1或2m(可利用的围墙长度超过6 m)．图X2－1－4 C 级 拔尖题19．三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，且该三角形不是等边三角形，求三角形的周长．解：解方程x 2－6x ＋8＝0得x ＝2，x ＝4， ∴三角形的三条边的长只能是4,4,2， ∴周长是10.20．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14 000元/m 2下降到5月份的12 600元/m 2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10 000元/m 2？请说明理由．(参考数据：0.9≈0.95)解：(1)设4,5月份平均每月降价的百分率为x ，根据题意得14 000(1－x )2＝12 600， 化简得(1－x )2＝0.9，解得x 1≈0.05，x 2≈1.95(不合题意，舍去)． 因此4,5月份平均每月降低的百分率约为5%.(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12 600(1－x )2＝12 600×0.9＝11 340>10 000，因此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10 000元/m 2. 21．关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 解：(1)方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k )＞0，即4k >－9，解得k >－94.(2)若k 是负整数，k 只能为－1或－2. 如果k ＝－1，原方程为x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52.如果k ＝－2，原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.22．如图X2－1－5，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm.动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向B 移动，一直到点B 为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．(1)P、Q两点从出发开始多长时间，四边形PBCQ的面积是33 cm2；(2)P、Q两点从出发开始多长时间，点P与点Q间的距离是10 cm.图X2－1－5解：(1)设P、Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2，则AP＝3x cm，PB＝(16－3x) cm，CQ＝2x cm，由梯形的面积公式，得[2x＋(16－3x)]×6÷2＝33，解得x＝5.所以P、Q两点从出发开始5 s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2.(2)过点Q作QH⊥AB，则HB＝BC＝6，HB＝QC＝2x，所以PH＝16－5x，在Rt△PHQ中，PQ2＝PH2＋HQ2＝(16－5x)2＋62＝102，即(16－5x)2＝64，解得x1＝1.6，x2＝4.8.当x＝4.8时，16－5x＝－8，不符题意，舍去．所以P、Q两点从出发1.6s时，点P与点Q间的距离是10 cm.。
4. 勤学早九年级数学(上)第21章《一元二次方程》专题一点通(一)(二)
4. 勤学早九年级数学（上）第21章《一元二次方程》专题一点通（一）（二）勤学早九年级数学（上）第21章《一元二次方程》专题一点通（一）解一元二次方程1．选择适当方法解方程(1)(x+1)2=16 （2）5x 2+3x=0（3）x 2-5x-6=0 （4）3x （x-2）-2（2-x ）=0(5)2x 2-6x 十l=0 (6) x 2-6= -2(x + l)（7）3x 2+5（2x+1）=0 （8）（3x-2）2=（2x-3）2解：（1）1x =3 2x = - 5 （2）1x = 35- 2x =0 （3）1x = 6 2x = -1 （4）1x =23- 2x =2 （5）1x2x= （6）1x2x（7）1x=2x= （8）1x = 1 2x = -1 二、根的判别式、根与系数的关系：2. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.解：∵△=4+4a ＞0，∴a ＞-13. 已知关于x 的一元二次方程(m-l) x 2+x+l=0有实数根，求m 的取值范围. （m ≤54且m ≠1）4. 已知方程x 2-3x+l=0的两根为1x ，2x ，且1x ＞2x ，不解方程，求下列各式的值：(1)（1x - 1）（2x -1）； (2) 1x 22x +1x 2x 2； (3) 11x +21x ； (4） 1x 2+2x 2 ；（5）21x x 十12x x ； (6)（11x +1）（21x +1）； 解：（1）-1 （2）3 （3）3 （4）7 （5）7 （6）5三、根的判别式、根与系数关系综台应用5. 关于x 的元二次方程x 2+2x+k+l=0的实数解是1x 和2x .（1）求k 的取值范围；(2) 如果1x +2x -1x 2x < -1且k 为整数，求k 的值.解：（1）△=22-4（k+1）≥0，∴k ≤0（2）∵1x +2x = -2，1x 2x =k+1，∴k ＞-2，∴-2＜k ≤0，∵k 为整数，∴k= -1,06. 已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+2k -2=0的两实根的平方和等于11，求k 的值.解：∵1x +2x = -（2k+1），1x 2x =2k -2，又（2k+1）2-4（2k -2）=4k+9≥0， ∴k ≥94-. ∵1x 2+2x 2=11，∴（2k+1）2-2（2k -2）=11，∴k=1或-3； ∵k ≥94-，∴k=17. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m-l)x+2m =0有两个实数根1x 和2x ．(1) 求实数m 的取值范围；(2) 当1x 2-2x 2=0时，求m 的值.解：（1）m ≤14（2）由1x 2-2x 2=0得：（1x +2x ）（1x -2x ）=0，若1x +2x =0，即-（2m-1）=0，∴m=12，∵12＞14，∴m=12舍去；若1x -2x =0，即1x =2x ，由（1）知m=14； 故当1x 2-2x 2=0时，m=14.勤学早九年级数学（上）第21章《一元二次方程》专题一点通（二）一元二次方程的实际应用（一）握手、礼品、球赛、传染问题和树干问题及其它问题l. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？解：设有x 人参加聚会，则()x x 12-=10，∴1x = -4（舍），2x =52. 要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？解：应邀请x 个球队参加比赛，则x （x-1）=90，∴1x = -9（舍），2x =103. 新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠进一张贺年卡，则全组送贺年卡共72次，求此小组的人数.解：设此小组有x 人，则x （x-1）=72，∴1x = -8（舍），2x =94. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：1+x+ x 2=91，∴1x = -10（舍），2x =95.（2013襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x 人，l+ x+ x(x+1)=64，∴1x = -9（舍），2x =7(2)64×7=448(人)（二）增长率问题6. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2015年底三年共累计投资9. 5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若过两年内的建设成本不变，求到2015年底共建设了多少万平方米廉租房？解：(1)设每年市政府投资的增长率为x ，则2+2(1+x)+2（1+x ）2=9. 5，整理的：x 2+3x-1.75=0，∴1x = -3. 5（舍），2x =0. 5(2)38（三）边框与面积问题7. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等. 设甬道的宽为x 米.（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积为_____平方米；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽.解：（1）150x.(2)依题意得：2×80x+150x-22x =18×'1201802×80，整理的：2x -155x+750=0， ∴1x = 150（舍），2x = 5，∴甬道的宽为5米.8.（2016改编题）在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／秒的速度移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动. 如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于82cm ？(2)当t=1.5时，判断△DPQ 的形状；(3)计算四边形DPBQ 的面积，井探索一个与计算结果有关的结论.解：(1)设经过x 秒，△PBQ 面积等于82cm ，则BP=6-t ，BQ=2t ，∴△PBQ 面积=12(6-t ）×2t ，即2t -6t+8=0，可得：t=2或4． 即经过2秒或4秒，△PBQ 面积等于82cm ．(2)当t=1.5时，AP=1.5，BP =4.5，CQ=9，∴DP 2=146.25，PQ 2= 29. 25，2DQ =117，∴PQ 2+ 2DQ = DP 2，∴△DPQ 为Rt △. （3）四边形DPBQ 面积=6×1 2-12t ×12-12×6（12-2t ）=72-36=36， ∴四边形DPBQ 面积是固定值36。
计算专题一元二次方程解法分类训练专题
一元二次方程分类训练专题一、直接开平方法1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．2．解方程：（x﹣2）2＝18．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝05．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．二、配方法9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．三、公式法17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．20．解方程：．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．四、因式分解法25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．五、换元法35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．参考答案与试题解析一．解答题（共38小题）1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣6．2．解方程：（x﹣2）2＝18．【答案】．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容5．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．【答案】a≤﹣1时，方程没有实数解；a＞﹣1时，x1＝﹣，x2＝．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝5，x2＝﹣7．（3）x1＝，x2＝．9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】，．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．【答案】x1＝，x2＝2．20．解方程：．【答案】，．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．【答案】x1＝，．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．【答案】x1＝1，x2＝﹣3．25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x1＝5，x2＝7．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣；（2）x1＝3，x2＝．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）【答案】x1＝，x2＝﹣2．32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；（2）x1＝﹣，x2＝4．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．【答案】（1）x1＝2.5，x2＝2；（2）x1＝4，x2＝﹣．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【答案】x1＝，x2＝．35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【答案】见试题解答内容36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x ＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x ＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【答案】，．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x ＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．【答案】（1）x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．（2）4．第11页（共11页）。
专题1.13解一元二次方程(精选100题)(全章专项练习)1「含答案」
专题1.13 解一元二次方程（精选100题）（全章专项练习）1．用适当的方法解下列方程．(1)()2224x x +=+(2)2314x x-=2．解下列方程：(1)267x x -=；(2)23520x x -+=．3．解方程：(1)2430x x ++=；(2)()()()21332x x x --+=．4．解方程：(1)()()628x x x -=-(2)()()221230x x +--=5．解方程：(1)()22250x +-=(2)2420x x --=6．解方程：(1)2340x x -=；(2)2313162x x -=--．7．解下列方程：(1)231x x =-；(2)2430x x -+=．8．解方程：(1)2680x x ++=；(2)3(1)22x x x -=-．9．解方程：(1)2412x x =(2)22430x x +-=10．解方程：(1)2360x x -=(2)2420y y ++=11．（1）解方程：()()439239x x x +=+．（2）解分式方程：26124x x x -=--；12．（1）解方程：()230x x -=；（2）用配方法解方程：2240x x --=．13．解方程：(1)2410x x -=+(2)()()221230x x +--=14．解方程：(1)()294x x x -+=；(2)226x x +=．15．解方程：(1)22410x x -+=；(2)()()3424x x x +=+．16．选择合适的方法解方程．(1)2572x x=-(2)()()3121x x x -=-17．解方程：(1)2210x x --=；(2)()()()23213x x x -+=-．18．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2213x x +=19．解方程：(1)2410x x -+=(2)2(3)2(3)0x x x -+-=20．解方程：(1)20x x -=．(2)22350x x --=．21．用配方法解下列方程：(1)2440x x ++=；(2)22320x x -+=．22．解方程(1)2240x x --=(2)()()2232x x -=-．23．解方程(1)()428x x x-=-(2)23210x x --=24．解方程：(1)22530x x +-=（用配方法）(2)22390x x --=25．解方程：(1)2220x x +-=；（配方法）(2)()236x x x -=-．26．解下列方程：(1)280x x +=；(2)22460x x --=．27．解方程：(1)(41)3(41)x x x -=-；(2)24120x x --=．28．解方程：(1)()()2233x x x +=+；(2)2521x x +=29．解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．30．解方程：(1)2430x x -+=；(2)()()()3111x x x +=-+．31．解下列方程：(1)20x -=(2)257311x x x ++=+32．解方程：(1)2280x -=；(2)24320x x --=．33．解下列方程：(1)()220x x x -+-=(2)2430x x -+=34．解下列方程：(1)250x x +=(2)2240x x --=35．解下列方程．(1)()()3121x x x -=-(2)22610x x -+=36．解一元二次方程：(1)()2214x -=；(2)2410x x --=．37．用适当的方法解方程：(1)2250x x --=(2)()()23492230x x ---=38．解下列方程(1)22125x x -+=；(2)2100x ++=39．解一元二次方程：(1)()5133x x x +=+(2)23640x x +-=40．解方程：(1)()()135x x ++=；(2)2267x x +=．41．用适当的方法解下列方程．(1)223x +=；(2)()()22132120y y ++++=．42．解方程：(1)4(3)3-=-x x x ；(2)22860x x -+=（配方法）．43．（1）解方程：2230x x --=；（2）解方程：228122-=--x x x x．44．解下列一元二次方程：(1)2470x x --=(2)2531x x x -=+45．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2178x x-=46．用适当的方法解下列方程：(1)2410x x -+=(2)(1)(2)2(2)x x x -+=+47．解方程：(1)260x x -=；(2)1(3)623x x x -=-．48．用适当的方法解方程(1)()2516x -=(2)2510x x --=49．解方程：(1)220x x -=；(2)2720x x -+=．50．解方程：(1)2280x -=(2)()2240x x -+=1．(1)10x =，22x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）()2224x x +=+24424x x x ++=+220x x +=()20x x +=∴0x =或20x +=解得10x =，22x =-；（2）2314x x-=23410x x --=3a =，4b =-，1c =-()()22Δ44431280b ac =-=--´´-=>∴x ==解得x ，．2．(1)127,1x x ==-(2)1221,3x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）运用因式分解法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：267x x -=2670x x --=()()710x x -+=70x -=或10x +=\127,1x x ==-；（2）解：23520x x -+=()()1320x x --=10x -=或320x -=\1221,3x x ==．3．(1)1213x x =-=-，(2)12121x x =-=，【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2430x x ++=，()()130x x \++=，∴10x +=或30x +=，∴1213x x =-=-，；（2）()()()23=213x x x --+，整理得：211120x x +-=，∴()()1210x x +-=，120x \+=或10x -=，12121x x =-\=，．4．(1)124x x ==；(2)12243x x ==，．【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法．（1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】（1）解：()()628x x x -=-Q ，26216x x x \-=-，则28160x x -+=，即2(4)0x -=，124x x \==；（2）解：∵()()221230x x +--=．∴()()1231230x x x x ++-+-+=，∴1230x x ++-=或1230x x +-+= ∴12243x x ==，．5．(1)13x =，27x =-(2)1222x x =+=【分析】本题考查一元二次方程的解法．（1）先移项，然后直接开平方即可；（2）利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：()22250x +-=，()2225x \+=，25x \+=±，25x \+=或25x +=-，13x \=，27x =-；（2）2420x x --=，242x x \-=，24424x x \-+=+，()226x \-=，2x \-=1222x x \==．6．(1)10x =，243x =(2)分式方程的根为0.5x =【分析】（1）用因式分解法解二元一元方程．（2）按照解分式方程的步骤解方程即可．【详解】（1）解：∵2340x x -=，∴()340x x -=，则0x =或340x -=，解得10x =，243x =；（2）2313162x x -=--两边都乘以()231x -，得：()42313x --=，解得：0.5x =，检验：当0.5x =时，()2310x -¹，∴x =7．(1)1x =2x =(2)13x =，21x =【分析】本题主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：231x x =-整理得：2310x x -+=2D ，x =，∴1x （2）2430x x -+=()3(1)0x x --=，30x -=或10x -=，解得：13x =，21x =．8．(1)12x =-，24x =-；(2)11x =，223x =-．【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（1）利用十字相乘法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2680x x ++=，()()240x x ++=，20,40x x \+=+=，12x \=-，24x =-．（2）解：3(1)22x x x -=-，3(1)2(1)0x x x -+-=，(1)(32)0x x -+=，10x \-=或320x +=，11x \=，223x =-．9．(1)10x =，23x =(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）2412x x=24120x x -=()430x x -=∴40x =或30x -=解得10x =，23x =；（2）22430x x +-=2a =，4b =，3c =-()2244423400b ac D =-=-´´-=>∴x =∴1x 10．(1)10x =，22x =(2)12y =-22y =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）2360x x -=()320x x -=∴30x =或20x -=解得10x =，22x =；（2）2420y y ++=2442y y ++=()222y +=2y +=解得12y =-22y =-11．（1）12x =，23x =-；（2）1x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）()()439239x x x +=+()()4392390x x x +-+=(()42)390x x -+=∴420x -=或390x +=，解得：12x =，23x =-．（2）26124x x x -=--去分母得，()()()2226x x x x +-+-=解得1x =检验：将1x =代入()()220x x +-¹∴原方程的解为1x =．12．（1）10x =，23x =；（2）11x =21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练其解法是解题的关键．（1）由()230x x -=得，20x =或30x -=，即可求解；（2）将2240x x --=，配方得2215x x -+=，即()215x -=，开方后即可求解；【详解】解：（1）()230x x -=，20x \=或30x -=，解得：10x =，23x =；（2）2240x x --=，配方得：2215x x -+=，即()215x -=，开方得：1x -=，解得：11x =21x =-13．(1)12x =，22x =(2)123x =，24x =【分析】本题考查了用配方法与因式分解法解一元二次方程；根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：配方得：2445x x ++=，即()225x +=，两边开平方得：2x +=即12x =-，22x =；（2）解：分解因式得：()()3240x x --+=，即320x -=或40x -+=，故123x =，24x =．14．(1)123x x ==(2)11=-x 21=-x ．【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程．（1）用直接开平方法，即可求解；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()294x x x -+=，整理得：2690x x -+=，即()230x -=，∴123x x ==．（2）226x x +=整理得：2260x x +-=，()24446280b ac D =-=-´-=>，∴x ==∴11=-+x 21=-x ．15．(1)11x =21x =(2)14x =-，223x =【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：22410x x -+=，移项，得：2122x x -=-，配方，得：212112x x -+=-+，即()2112x -=，开方，得1x -=，∴11x =21x =；（2）()()3424x x x +=+，移项，得：()()34240x x x +-+=，因式分解，得()()4320x x +-=，∴40x +=或320x -=，∴14x =-，223x =．16．(1)12715x x =-=(2)12213x x =-=，【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再进行因式分解，得()()5710x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先移项，提公因式得()()3210x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：2572x x=-25270x x +-=()()5710x x +-=解得12715x x =-=，（2）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=()()31210x x x -+-=()()3210x x +-=解得12213x x =-=，17．(1)1211x x ==(2)1234x x ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2210x x --=，∴221x x -=，∴22111x x -+=+，∴2(1)2x -=，∴1x -=解得：1211x x ==；（2）()()()23213x x x -+=-，∴20()3)((21)3x x x -+--=，∴0(3213)()x x x -+-+=，∴(3)(4)0x x -+=，∴30x -=或40x +=，解得：1234x x ==-，18．(1)121,2x x =-=(2)121,0.5x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解．【详解】（1）∵()220x x x -+-=∴()()210x x -+=∴20x -=或10x +=∴121,2x x =-=（2）∵2213x x+=∴22310x x -+=∴()()2110x x --=∴10x -=或210x -=∴121,0.5x x ==19．(1)12x =22x =(2)13x =，21x =【分析】（1）根据配方法得到2(2)3x -=，再开平方即可解答；（2）根据因式分解法得到(3)(32)0x x x --+=，进而可得30x -=或320x x -+=即可解答．本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2410x x -+=，∴241x x -=-，∴2443x x -+=，∴2(2)3x -=，∴2=x∴12x =22x =（2）解：∵2(3)2(3)0x x x -+-=，∴(3)(32)0x x x --+=，∴30x -=或320x x -+=，∴13x =，21x =．20．(1)10x =，21x =(2)152x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：20x x -=，∴()10x x -=，∴0x =或10x -=，解得：10x =，21x =；（2）解：22350x x --=，则2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490D =--´´-=>，∴x 解得：152x =，21x =-．21．(1)122x x ==-(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得244x x +=-，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2232x x -=-，则有2312x x -=-，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得244x x +=-，配方，得2224242x x ++=-+，即2(2)0x +=，122x x \==-．（2）解：移项，得2232x x -=-．二次项系数化为1，得2312x x -=-．配方，得2223331244x x æöæö-+-=-+-ç÷ç÷èøèø，即237416x æö-=-ç÷èø．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．22．(1)1211x x ==(2)122,5x x ==【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：224x x -=Q ，22141x x \-+=+，即2(1)5x -=，则1x -=，1x \=±\1211x x =+=；（2）解：2(2)3(2)0x x ---=Q ，()()2230x x \---=，(2)(5)0x x \--=，则20x -=或50x -=，\122,5x x ==．23．(1)1222x x =-+=-(2)12113x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；、（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．【详解】（1）解：∵()428x x x -=-，∴2482x x x -+=，∴242x x +=，∴2446x x ++=，∴()226x +=，∴2x +=，解得1222x x =-=-（2）解：∵23210x x --=，∴()()3110x x +-=，∴310x +=或10x -=，解得12113x x =-=，．24．(1)21132x x ==-，(2)12332x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵22530x x +-=，∴2253x x +=，∴25322x x +=，∴25254921616x x ++=，∴2549416x æö+=ç÷èø，∴5744x +=±，解得21132x x ==-；（2）解；∵22390x x --=，∴()()2330x x +-=，∴230x +=或30x -=，解得1x =25．(1)1x 2x =(2)1232x x ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2220x x +-=，222x x \+=，2112x x \+=，2111121616x x \++=+，2117416x æö\+=ç÷èø，x \，1x \， 2x =（2）解：()236x x x -=-，()()232x x x \-=-，()()2320x x x \---=，()()230x x \--=，2030x x \-=-=，，1232x x \==，．26．(1)10x =，28x =-(2)11x =-，23x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵280x x +=，∴()80x x +=，∴0x =或80+=x ，解得10x =，28x =-；（2）解：∵22460x x --=，∴2230x x --=，∴()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得11x =-，23x =．27．(1)1213,4x x ==(2)126,2x x ==-【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：(41)3(41)x x x -=-(41)3(41)0x x x ---=方程可化为()()3410x x --=，30x \-=或410x -=，解得1213,4x x ==．（2）解：24120x x --=，得()()620x x -+=，60x \-=或20x +=，解得126,2x x ==-．28．(1)13x =-，26x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二方程即可；（2）利用公式法直接解方程即可 ．【详解】（1）解：()()2233x x x +=+，∴()()3260x x x ++-=，∴()()360x x ++=，则30x +=或60x +=，∴13x =-，26x =-；（2）解：2521x x +=，原方程可变为25210x x +-=，这里5a =，2b =，1c =-．∵()2242451240b ac -=-´´-=>，∴x 即1x 29．(1)17x =，25x =-(2)13x =-，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：22350x x --=，因式分解得()()750x x -+=，即70x -=或50x +=，解得17x =，25x =-．（2）解：()2326x x +=+，移项得()()23230x x +-+=，因式分解得()()3320x x ++-=，即30x +=或320x +-=，解得13x =-，21x =-．30．(1)13x =，21x =(2)11x =-，24x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2430x x -+=，∴()()310x x --=，∴30x -=或10x -=，∴13x =，21x =；（2）解：()()()3111x x x +=-+，∴()()()31110x x x +--+=，∴()()1310x x +-+=，∴()()140x x +-=，∴10x +=或40x -=，∴11x =-，24x =．31．(1)10x =，2x =(2)11x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：(0x x -=10x =，2x =（2）解：整理得：224x x +=22141x x ++=+()215x +=1x +=11x =，21x =32．(1)122,2x x ==-(2)124,8x x =-=【分析】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．（1）将方程的常数项移到右边，方程两边同时除以2，开方后即可得到方程的解；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：2280x -=移项得，228x =，系数化为1得，24x =，直接开平方得，2x =±，122,2x x \==-；（2）24320x x --=()()480x x +-=，40x +=或80x -=，\124,8x x =-=．33．(1)12x =，21x =-；(2)121,3x x ==【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解： ()220x x x -+-=(2)(1)0x x -+=，20x -=或10x +=，12x \=，21x =-；（2）解：2430x x -+=，()()130x x --=，121,3x x \==．34．(1)1250x x =-=，(2)1211x x ==+【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：∵250x x +=，∴()50x x +=，∴0x =或50x +=，解得1250x x =-=，；（2）解：∵2240x x --=，∴224x x -=，∴2215x x -+=，∴()215x -=，∴1x -=，解得1211x x ==+35．(1)11x =，2x =(2)1x =2x 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题关键．（1（2）根据求根公式x =即可求解．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=，∴()()1320x x --=，解得11x =，223x =；（2）解：22610x x -+=∴2a =，6b =-，1c =，∴()224642128b ac -=--´´=，∵x =∴x =，解得36．(1)1231,22x x ==-(2)1222x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．（1）运用直接开平方即可求得x 的值；（2）运用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：()2214x -=212x -=或212x -=-，解得1231,22x x ==-；（2）解：2410x x --=24414x x -+=+()225x -=2x -=2x -=37．(1)11x =21x =；(2)132x =，276x =-；【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键.（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可.【详解】（1）2250x x --=由题意得，1,2,5a b c ==-=-，则()()22Δ4241524b ac =-=--´´-=，∴1x ===即11x =21x =；（2）()()23492230x x ---=则()()()323232230x x x +---=∴()()2332320x x éù-+-=ëû()()23670x x -+=∴230x -=或670x +=∴132x =，276x =-38．(1)16x =，24x =-(2)原方程无解．【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）首先计算判别式得到(2244110200b ac D =-=-´´=-<，进而得到原方程无解．【详解】（1）22125x x -+=()2125x -=15x -=±解得16x =，24x =-；（2）2100x ++=1a =，b =10c =(2244110200b ac D =-=-´´=-<∴原方程无解．39．(1)11x =-，235x =(2)1x =2x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用公式法解答，即可求解．【详解】（1）解：()5133x x x +=+()()51310x x x +-+=，∴()()5310x x -+=，∴530,10x x -=+=，解得：11x =-，235x =；（2）解：23640x x +-=，∵3,6,4a b c ===-，∴()2246434840b ac D =-=-´´-=>，∴x =，2x =40．(1)12x =-+22x =-(2)12x =，232x =．【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）解：将原方程化简可得：2420x x +-=，∴()2441224D =-´´-=∴1222x x ==-==-（2）解：移项可得：22760x x -+=，∴()()2320x x --=∴12x =，2x41．(1)1x =2x =(2)11y =-，2 1.5y =-【分析】本题主要考查了用适当的方法解一元二次方程．（1）用公式法解一元二次方程即可．（2）设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，用因式分解法解出11x =-，22x =-，再把11x =-，22x =-代入21y x +=，解两个一元一次方程即可得到原方程的解．【详解】（1）解：原方程化为：2230x +-=，2a =，b =3c =-，()224423270b ac D =-=-´´-=>，x ==即（2）解：设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，分解因式得：()()120x x ++=，解得：11x =-，22x =-，当211y +=-时，11y =-，当212y +=-时，2 1.5y =-，∴原方程的解为：11y =-，2 1.5y =-．42．(1)114x =，23x =(2)13x =，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）先移项，再用因式分解法求解；（2）先变形、移项，得到243x x -=-，再通过配方求解．【详解】（1）解：()433x x x -=-4(3)(3)0x x x ---=()()4130x x --=，410x -=或30x -=，114x \=，23x =；（2）解：（2）22860x x -+=方程变形得：243x x -=-，配方得：2441x x -+=，即2(2)1x -=，解得：13x =，21x =．43．（1）11x =-，23x =；（2）4x =-【分析】题目主要考查解一元二次方程及分式方程．（1）利用因式分解法求解即可；（2）先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可．【详解】解：（1）2230x x --=()()130x x +-=10x +=，30x -=，∴11x =-，23x =；（2）解：2812(2)x x x x -=--228(2)x x x -=-，2280x x +-=，解得124,2=-=x x ，经检验，2x =是增根，应舍去．故原方程的解为4x =-．44．(1)12x =，22x =(2)115x =-，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用公式法求解；（2）先化成一般形式，再利用因式分解法求解．【详解】（1）解：2470x x --=，Q 1a =，4b =-，7c =-，\()()224441744b ac D =-=--´´-=，\2x ==±，\12x =+，22x =；（2）解：2531x x x -=+，25410x x --=，()()5110x x +-=，510x +=或10x -=，解得115x =-，21x =．45．(1)1221x x ==-，(2)1244x x ==【分析】本题考查了因式分解法或公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先提公因式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先化为一般式，再运用公式法解方程，即可作答．【详解】（1）解：()220x x x -+-=()()210x x -+=∴2010x x -=+=，解得1221x x ==-，（2）解：2178x x-=∴28170x x --=则()246441176468132b ac D =-=-´´-=+=∴4x ===±1244x x ==46．(1)1222x x ==(2)122,3x x =-=【分析】本题考查解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程；（2）先将方程整理成右边为0的等式，再结合因式分解法解题．【详解】（1）解：2410x x -+=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，∴2x -=解得：1222x x ==；（2）解：(1)(2)2(2)x x x -+=+，∴()()()12220x x x -+-+=，∴()()2120x x +--=，∴20x +=或30x -=，解得：122,3x x =-=．47．(1)10x =，26x =；(2)13x =，26x =-．【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．（1）提公因式分解因式解方程即可（2）移项后，提公因式，利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：260x x -=，(6)0x x -=，0x \=或60x -=，∴10x =，26x =；（2）解：1(3)623x x x -=-，(3)6(3)x x x -=--，(3)(6)0x x -+=，30x \-=或60x +=，∴13x =，26x =-．48．(1)19x =，21x =；(2)1x 2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法和公式法是解题的关键．（1）根据平方根的定义可得54x -=±，解方程就可以解决问题；（2）先求得290D =>，再利用公式法求出方程的解即可．【详解】（1）解：()2516x -=，∴54x -=±，∴19x =，21x =；（2）解：2510x x --=，1a =，=5b -，1c =-，()()2Δ5411290=--´´-=>，∴x =，∴1x 2x 49．(1)10x =，212x =(2)1x =，2x 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据因式分解法求出解；对于（2），根据公式法即可得出方程的解．【详解】（1）220x x -=，解：因式分解，得(21)0x x -=，即0x =或210x -=，∴10x =，212x =；（2）2720x x -+=，解：由1a =，7b =-，2c =，则()2247412410b ac -=--´´=>，∴x =，∴1x ，2x 50．(1)122,2x x =-=(2)124,2x x ==-【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2280x -=∴228x =∴24x =解得：122,2x x =-=（2）解：()2240x x -+=∴228=0x x --∴()()420x x -+=解得：124,2x x ==-，。
一元二次方程根与系数的关系专题训练
11
x12
x
2 2
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (x21－x22)2
2
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29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列式子的值： x1－x2
A.3x2－2x+3=0
B.3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0
D.3x2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是
()
A.x2+2x－3=0
B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为
，
3 1 3 1
以 2 ， 2 为根的一元二次方程为
(1)(2x1－3)(2x2－3)；
(2)x13x2+x1x23。
79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m=
，另一个根为
81、已知m2+m－4=0，
1 n2
1 n
4
0
m
，m，n为实数，且
1 n
m
，则
1 n
=
4
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《一元二次方程根与系数的关系》专题训练（二）
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c 的值。
专题-一元二次方程
专题-一元二次方程一元二次方程专题一．解答题（共15小题）1．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．3．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．6．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．7．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？8．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？9．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？11．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为R t△ACB面积的一半？13．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？14．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．，，求△ABC15．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．2．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．，【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，∵△=b2﹣4ac=（2m ）2﹣4〓1〓（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m〓3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量〓（1+增长率），2019年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2019年的基础上再增长x ，就是2019年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2019年该地区将投入教育经费．【解答】解：设增长率为x ，根据题意2019年为2500（1+x）万元，2019年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025〓（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费3327.5万元．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量〓（1+年平均增长率）年数=增长后的量．4．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【考点】根与系数的关系；根的判别式．的值；【分析】（1）由方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．的值就为一定值．（3）只要满足△＞0（或用k 的取值范围表示）【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k ，∴（3）由（1）可知，k ＞﹣1时，的值与k 无关． =，【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m 的取值范围即可；（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m 的值，根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．【解答】解：（1）由又∵m≠0∴m的取值范围为m ＞﹣1且m≠0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m ．（6分），得m ＞﹣1设方程两根为x 1，x 2则，解得m=﹣2，此时△＜0．∴原方程无解，故不存在．（12分）【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m 的取值范围．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x 元，则每件所得利润为（40﹣x ）元，但每天多售出2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x ）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，根据题意得（40﹣x ）（20+2x）=1200，整理得2x 2﹣60x+400=0解得x 1=20，x 2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y 元，则y=（20+2x）（40﹣x ）=﹣2x 2+60x+800=﹣2（x 2﹣30x ﹣400）=﹣2[（x ﹣15）2﹣625]=﹣2（x ﹣15）2+1250．∴当x=15时，y 取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）〓10=1000﹣10x ，利润=（1000﹣10x ）（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，求出x 的值即可；（2）﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x 2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系．8．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为〓6〓8，△PCQ的面积为（8﹣x ）（6﹣x ），设出t 秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可．【解答】解：设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半，则：=12，解得x 1=12（舍去），x 2=2．答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半．【点评】本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系．9．创新题：如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】本题可设时间为x 分钟，依题意得CF=x，BE=2x，周长为40km ，边长为10km ，CE=10﹣2x ，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x 分钟后两车相距2km ，此时甲运动到F 点，乙运动到E 点，可知：FC=x，EC=10﹣2x在Rt△ECF中，x 2+（10﹣2X ）2=（2解得：x 1=2，x 2=6 ）2，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去答：2分钟后，两车相距2km ．【点评】根据路程=速度〓时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．10．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）先计算判别式得到△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=，x 2=﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=∴x1=，x 2=﹣1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．11．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 300+100〓只粽子，利润为（1﹣m ）（300+100〓），元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题；压轴题．【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【解答】解：（1）300+100〓（1﹣m ）（300+100〓）．，（2）令（1﹣m ）（300+100〓化简得，100m 2﹣70m+12=0．即，m 2﹣0.7m+0.12=0．）=420．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．12．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x 2+5（2）证明：根据题意，得△=（c ）2﹣4ab=2c2﹣4ab x+4=0；∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a 2+b2）﹣4ab=2（a ﹣b ）2≥0即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a ﹣c+b=0，即a+b=∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1． c 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．13．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】（1）先解方程有“邻近根”；得到x 1=，x 2=1，则满足，所以可判断方程（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，利用求根公式解得x 1=1，或若x 1=1，，x 2=1，则m ＜0，然后讨论：，则，是关于m 的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m 的取值范围．【解答】解：（1）方程∵∴（x ﹣1）（x ﹣∵x1＞x 2，∴x1=，x 2=1，，）=0，，有“邻近根”．理由如下：这时x 1＞0，x 2＞0，且∵∴满足∴方程，，有“邻近根”；（2）由已知m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，∴∴当m ＞﹣1时，x 1=1，当m ＜﹣1时，，x 2=1，∵一元二次方程ax 2+bx+c=0有“邻近根”，∴x1、x 2均为正数，∴m＜0若x 1=1，∵﹣1＜0，∴随m 的增大而减小．，则，是关于m 的正比例函数，当1＜﹣m ＜2时，∴﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，∵﹣1＜0，∴在第二象限，当∴随m 的增大而增大．时，．…（9分）．综上，m 的取值范围是﹣2＜m ＜﹣1或【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．14．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k ﹣4）=20﹣8k ＞0，解得：k ＜；（2）由k 为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1〒，∵方程的解为整数，∴5﹣2k 为完全平方数，则k 的值为2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．15．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．【分析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a 2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2．，故不能构成三角形，不合题意，舍去．，故能构成三角形．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+，c=2，c=2）〓时，因时，因=．＜＞S △ABC=〓（2综上，△ABC的面积为1或【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。
专题训练一：一元二次方程
解：等式变形为 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0， 即(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0， c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即 a2＋b2＝c2， ∴△ABC 为直角三角形
解：(1)不符合．设小路宽度均为x m，根据题意得(16－2x)(12－2x) 1 ＝ ×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍 2 去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m
(2)答案不唯一，略
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁 由A以2 cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿 OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与 O点组成的三角形面积等于 450 cm2?
三、几何图形问题 解：分两种情况讨论：(1)当由A 点出发的蚂蚁到达 O点之前，设 离开A点t s后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据 题意得 (50 － 2t)·3t ＝ 450 ， 整理得 t2 － 25t ＋ 150 ＝ 0 ， 解得 t1 ＝ 15 ， t2 ＝ 10 ； (2) 当由 A 点出发的蚂蚁爬完 OA 这段距离用了＝ 25(s) 后 ， 开 始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形 面积等于450 cm2，根据题意得·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x －150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋ 25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30 s．综上可知，分别在10 s，15 s，30 s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2
1元2次方程题型
1元2次方程题型题型一：利润问题【常用公式】【例题】某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【解析】假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20+2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。
解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40- x）（20+2x）=1200解得X1=10，X2=20。
因尽快减少库存，故取x =20答：每件应降价20元。
题型二：利息问题【常用公式】【例题】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。
若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元。
求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）？【解析】假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1+x）元，支取1000元后，还剩[2000（1+x）－1000]元。
将所剩[2000（1+x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元。
根据本息和=本金×（1+利率）等量关系可列出方程。
解：设这种存款方式的年利率为x。
根据题意得，[2000（1+x）－1000]（1+ x）=1320整理可得：2000x2+3000x－320=0解得：x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10%答：这种存款方式的年利率为10%。
题型三：与几何图形的面积问题①几何图形的面积问题【等量关系】面积公式是此类问题的等量关系。
【例题】如图1-1所示，某小区规划在一个“长为40m，宽为26m”的矩矩形场地A B C D上修建三条同样宽的道路，使其中两条与A B平行，另一条与A D平行，其余部分种草。
一元二次方程应用题专题(含答案)
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得：x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元要找准关系式2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？解：设增加x(8+x)(12+x)=96+69x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝元,而>时且-=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间?4解：（0+10)除2为平均增加为5（0+5a）除2乘a5解：2.5*8=20 100-20=80 80/8=10100/【（0+10a）/2】=10解方程为264/【（0+2a)/2】=a解方程为86.一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？（过程）解：设第一次倒出x升，则第二次为x（20-x）/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数则20-x-x(20-x)/20=5解得x=106.1一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。
小专题(一) 一元二次方程的解法
专题(一)一元二次方程的解法1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－16＝0；(2)3x2－27＝0；(3)(x－2)2＝9；(4)(2y－3)2＝16.2．用配方法解下列方程：(1)x2－4x－1＝0；(2)2x2－4x－8＝0；(3)3x2－6x＋4＝0；(4)2x2＋7x＋3＝0.3．用公式法解下列方程：(1)x2－23x＋3＝0；(2)－3x2＋5x＋2＝0；(3)4x2＋3x－2＝0；(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．4．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；(2)(x－3)2－9＝0；(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；(4)2(t－1)2＋8t＝0；(5)3x＋15＝－2x2－10x；(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(2)5(x－3)2＝x2－9；(3)t 2－22t ＋18＝0.参考答案1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4.(2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3.(3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1.(4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12. 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．(4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516.直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，∴x ＝3±1122＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 4.(1)x(x －3)＝0，∴x ＝0或x －3＝0，∴x 1＝0，x 2＝3.(2)∵(x －3)2－32＝0，∴(x －3＋3)(x －3－3)＝0.∴x(x －6)＝0.∴x ＝0或x －6＝0.∴x 1＝0，x 2＝6.(3)原方程可化为(3x －2)2－(3x －2)＝0，∴(3x －2)(3x －2－1)＝0.∴3x －2＝0或3x －3＝0，∴x 1＝23，x 2＝1. (4)原方程可化为2t 2＋4t ＋2＝0.∴t 2－2t ＋1＝0.∴(t －1)2＝0，∴t 1＝t 2＝1.(5)移项，得3x ＋15＋(2x 2＋10x)＝0，∴3(x ＋5)＋2x(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3＋2x)＝0.∴x ＋5＝0或3＋2x ＝0.∴x 1＝－5，x 2＝－32. (6)原方程可化为x(x －3)＝(2－x)(x －3)．移项，得x(x －3)－(2－x)(x －3)＝0.∴(x －3)(2x －2)＝0.∴x －3＝0或2x －2＝0.∴x 1＝3，x 2＝1.5.(1)变形为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝167，x 2＝43.0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92. (3)方程两边都乘以8，得8t 2－42t ＋1＝0，∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0.∴t ＝－（－42）±02×8＝24.∴t 1＝t 2＝24.。
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一元二次方程 专题一
考点解析：
一、一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 都是常数，a ≠0），其中c
x ax 、、b 2
分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别为二次项系数和一次项系数。
三、一元二次方程的解法：：
1、 直接开平方法：形如c b ax =+2)(（c ≥0）的方程可以用直接开平方法。
2、 因式分解法：对于一元二次方程，当一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，
利用0b 00==⇒=或a ab ，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元一次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做分解因式法。
3、 配方法：
（1） 化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数。
（2） 移项：把常数项移到右边。
（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成c b ax =+2)(的形式。
4、 公式法：a
ac b b x 242-±-= 四、一元二次方程的根的判别式：⊿=ac b 42-
当⊿=042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；
当⊿=042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；
当⊿=042<-ac b 时，方程没有实数根；
考点训练：
一、一元二次方程的概念：
1、 已知033)3(|1|=-+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m=
2、 关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a=
二、一元二次方程的解法：
1、解方程：（直接开平方法）
（1）4
12=
x （2）25)12(2=-x
2、解方程（分解因式法）
（1）0962=+-x x （2）062=--x x
3、 解方程（配方法）
（1）0999642=--x x （2）01422=--x x
4、解方程（公式法）
（1）02532=--x x （2）0232
12=+--
x x
三、一元二次方程的根的判别式：
1、已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，问当k 取何值时，
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根；
2、关于x 的一元二次方程02)1(2=+--m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围
五、能力提高题：
1、 已知a 是方程0232=+-x x 的根，试求代数式4223+--a a a 的值
2、 若1722-+=x x y ，当x 取何值时，y 的值与4x+1的值相等？当x 取何值时，y 的值
与192-x 的值互为相反数？
3、 已知实数x 、y 满足054222=+-+-y y x x ，求2
)(y x -的值
4、 当x 为何值时，代数式5632++x x 有最小值？最小值是多少？
5、 已知c 为实数，并且方程032=++c x x 的一根的相反数是方程032
=-+c x x 的一根，
求方程032=-+c x x 的根和c 的值
6、已知R t △ABC 的两直角边a 、b 满足24)2)((2222=-++b a b a ，且22=+b a ，求此三角形的斜边长及面积。