专题10 不等式的解法及应用

专题10 不等式的解法及应用★★★高考在考什么【考题回放】 1．不等式112x <的解集是（ D ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞ 2．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的（ A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件 3．已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( A )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定 4．不等式121>+-x x 的解集是1(1,)2- .5．已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 46．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为22221y x ab+=（0a b >>），半焦距为c, 则21||aM A a c=-,11||A F a c =-,由题意，得 22222()24a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得 2,1a b c ===故椭圆方程为22143yx+=（II ）设P(0,),||1m y m >, 当00y =时，120F P F ∠= 当00y ≠时, 12102F P F P F M π<∠<∠< ∴只需求12tan F P F ∠的最大值即可。

直线1P F 的斜率011y K m =+，直线2P F 的斜率02,1y K m =-0211222122||tan ||11y K K F P F K K m y -∴∠==+-+2||1y ≤=0||y 时，12F P F ∠最大，★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及不等式的性质；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法等证明不等式；二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法；不等式的应用．【热点透析】本专题热点主要体现在解含参数的分式不等式和绝对值不等式；不等式在函数、数列、导数、解析几何、三角函数等的广泛运用．★★★突破重难点【范例1】已知a 、b 、c 为不等正数，且abc=1，求证：cb ac b a 111++<++证法一：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc=1，∴baacbcc b a 111++=++cb a a bc ac b111211211211++=+++++<证法二：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc=1，222111babc caba cabc ab ca bc cb a +++++=++=++c b a c ab bc a abc ++=++>222【点晴】证明本题应灵活运用条件abc=1。

【文】解关于ｘ的不等式02<--ax a x （∈a Ｒ）.解：02<--ax a x ⇔（ｘ－a ）（ｘ－2a ）<０(1) 若a ＝０则a ＝2a ＝０，不等式变为ｘ2<0,解集为φ；(2) 若a ＝１则a ＝2a ＝１ 不等式变为0)1(2<-x ，解集为φ； (3) 当０<a <1时，a >2a 故解集为｛ｘ｜2a <ｘ<a ｝； (4) 当a <０或a >１时，2a >a 故解集为｛ｘ｜a <ｘ<2a ｝； 综上得：当a ＝０或a ＝１时解集为φ；当０<a <1时，解集为｛ｘ｜2a <ｘ<a ｝；当a <０或a >１时，解集为｛ｘ｜a <ｘ<2a ｝；【点晴】解各种不等式的基本思路是应用合适的性质把原不等式转化为整式不等式，再经过因式分解，用零点划分区间法求解，还应注意对不等式中字母进行分类讨论【范例2】例5、设a 1、a 2∈R +, a 1+a 2=1, λ1、λ2∈R +,求证：()()21221221122114λλλλλλλλ+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a a a a 证明：（法1）：左边=2121122221a a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++λλλλ =2121122212)(a a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++λλλλ=1+ ()2121221a a λλλλ- a 1、a 2∈R +, a 1+a 2=1,2121a a ≥∴, 4121≤a a 又()021221≥-λλλλ()=-+≤∴2122141λλλλ左边()212214λλλλ+（法2）左=()()21122211211a a a a λλλλλλ++≤()()22112221121]2[1a a a a λλλλλλ+++=()()2212121][41a a ++λλλλ=右边【点晴】原不等式从左边到右边如何消去a 1，a 2，要产生a 1+a 2. 【文】已知正数x,y 满足x+2y=1,求y x11+的最小值。

解：y x 11+)2(322y x xyyy x x y x ++=+++=223+≥，当且仅当yx xy =2解得221,12-=-=y x 时取等号，故所求最小值为223+。

【点睛】将yx 11+中的1用x+2y 进行代换，然后求yx11+的最小值，在使用基本不等式时一定要注意“一正，二定，三相等”。

【范例3】设)10(2122log)(2≠>++-=b b axx x x f b且，（1）求)(x f 的定义域；（2）当1>b 时，解不等式0)(>x f 。

解：（1）由于222+-x x 恒正，故所求定义域由021>+ax 确定， ① 当0>a 时，定义域为),21(+∞-a；② 当0=a 时，定义域为R ； ③ 当0<a 时，定义域为)21,(a--∞。

（2）当1>b 时，0)(>x f 121222>++-⇔axx x ax x x21222+>+-⇔01)1(22>++-⇔x a x，其判别式)2(44)1(42+=-+=∆a a a①当0<∆即02<<-a 时,01)1(22>++-x a x 恒成立，所求解集为)21,(a --∞；②当0=∆时，02=-=a a 或，若2-=a ，则01)1(22>++-x a x 变为0)1(2>+x 得1-≠x ，此时所求解集为}141|{-≠<x x x 且;若0=a ，则01)1(22>++-x a x 变为0)1(2>-x 得1≠x ，此时所求解集为}1|{≠∈x R x x 且；③当0>∆即20-<>a a 或时，01)1(22=++-x a x 的两根为：a aa x 2121+-+=，a aa x 2122+++=若0>a ，则ax x 21012->>>，此时所求解集为}212121|{22a aa x a aa x ax +++>+-+<<-或若2-<a ，则ax x 21021-<<<，此时所求解集为}212121|{22ax a aa a aa x x -<<++++-+<或【点睛】本题表面上涉及对数函数，但还是应转化为分式不等式进行处理。

对于含参数的不等式，要充分利用不等式的性质，对参数进行讨论，做到不重不漏。

【文】如果{x|2ax 2+（2-ab ）x-b>0}⊇{ x|x<-2或x>3}，其中b>0，求a 、b 的取值范围。

解：记A={x|2ax 2+（2-ab ）x-b>0}={x|（ax+1）（2x-b ）>0} 记B={ x|x<-2或x>3}①若a=0，则A={x>2b }，不可能有A ⊇B 。

②当a<0时，由（ax+1）（2x-b ）=2a （x+a1）（x-2b ）>0知（x+a1）（x-2b ）<0，此不等式的解介于-a1与2b 之间的有限区间，故不可能有A ⊇B 。

③当a>0时，A={x|x<-a1或x>2b }。

∵A ⊇B∴-a1≥-2且2b ≤3，∴21≥a 或0<b≤6【点睛】尽管①与②的情形都不可能使A ⊇B ，但在解题过程中必须讨论.【范例4】设a 为实数，设函数xx xa x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝xx -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a ) 解析：(Ⅰ)令t =要使有t 意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,∴22[2,4],t =+t≥0 ① t的取值范围是2].2112t =-∴m(t)=a(2112t -)+t=21,2]2a t t a t +-∈（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数21(),2]2m t a t t a t =+-∈的最大值。

注意到直线1t a=-是抛物线21()2m t a t t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论。

（1）当a>0时，函数y=m(t), 2]t ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由1t a=-<0知m(t)在2].上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, 2]t ∈,∴g(a)=2.(3)当a<0时,函数y=m(t), 2]t ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1t a =-∈，即2a ≤-()g a m ==若12]t a =-∈，即122a -<≤-则11()()2g a m a aa=-=--若1(2,)t a =-∈+∞，即102a -<<则()(2)2g a m a ==+综上有2,1(),2a g a a a ⎧+⎪⎪=--⎨121,222a a a >--<<-≤-【点睛】本题以函数为背景，考查分类讨论的数学思想方法，体现不等式的工具性.【文】已知函数()c x x x f +-=3，定义在[]1,0上，[]1,0,21∈x x 且21x x ≠证明：①()()10f f = ②()()12122x x x f x f -<- ③()()112<-x f x f 证明：① 略② ()()12121221212-++-=-x x x x x x x f x f . []1,0,21∈x x 且21x x ≠,112<-∴x x 211222121<-++<-x x x x ,()()12122x x x f x f -<-.③不妨设1021≤<≤x x 由②可得()()12122x x x f x f -<----------（1） 又()()()()()()()()()()1212120101x f f f x f x f f f x f x f x f -+-≤-+-=-()()()1212120212x x x x +-=-+-<---------（2）（1）+（2）得()()112<-x f x f【点睛】采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.★★★自我提升1．如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ A ） A.11a b<<C.22a b < D.||||a b >2．“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a+”的（ A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件3．设f (x )= 1232,2,lo g (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为（ C ）A.（1，2）⋃（3，+∞）B.（10，+∞）C.（1，2）⋃ （10 ，+∞）D.（1，2）4．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（ A ）A. B.3 C.25．不等式3)61(log2≤++xx 的解集为. {}(331x ∈---+⋃6．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是(,10]a ∈-∞7．已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。