高考数学复习 数列求和的基本方法和技巧
(完整版)数列求和常见的7种方法
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16]已知数列{an}： 的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝
提高练习：
1．已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，
⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列；
⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；
2．设二次方程 x - +1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
∴ 原等式成立
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∴ ＝
＝ ＝
∴当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
数列求和常见的7种方法
精心整理数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和法， 1、2⎩3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.（利列.[例{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项②122+-n n[例nn n n n（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②得题1已知函数 （1）证明：；（2）求的值（2所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）)13(nn -2)13(nn + [例k nk ∑=12)1(22+n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n[例[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121(211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nS n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例n tan （裂]}答案：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cos n n --=（找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝ 0[例2002a +(1+a [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++= 由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++[例（找 （分＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ )4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞∞∞+-+-=-+111(8)11(4))(1(n n a a n （分组、裂项 1．是等比数列；2．．3⑵设。
高考数列求和的八种重要方法与例题
1 1 11
1
因为bn+1＝a2n+1－
1
4
=
2
a2n－ 4 = 2
(a2n－1－4
)
= 2 bn, (n∈N*)
1
1
所以{bn}是首项为a－ 4 , 公比为 2 的等比数列
深化数列中的数学思想方法：
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
1 2 an
an 1
数列求和
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法.
2.错位相减法.
3 . 法 ： . 4 . 裂
倒序相加法:
如果一个数列{an}，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值），可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法.
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
5.拆项分组求和法 6.并项求和法
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
1 2 an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
记
bn
a2n1
1 4
，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
T （III）求 n b1 b2 b3 L bn ．
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
a1
1,故b1
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
数列求和1-2-3【精选】
数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。
一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。
二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。
三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。
Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。
四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。
递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。
例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。
五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。
斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。
六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。
设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。
七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。
高中数学数列求和方法
高中数学数列求和方法数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数所构成的集合。
数列求和是数列中的重要问题之一，可分为等差数列和等比数列求和两类。
一、等差数列求和1.表达式法对于等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。
若已知数列的首项、末项和项数，则可以根据求和公式Sn=n(a1+an)/2来求和，其中Sn表示数列的和。
这种方法适用于已知数列的前n项求和。
2.规律法有些等差数列存在规律，可通过分组进行求和。
例如，对于等差数列1,4,7,…,97，可将其分解为(1+97)+(4+94)+(7+91)+…+(49+49)，共有25组，每组的和都是98、因此，该数列的和等于25×98=2450。
3.差分法等差数列的求和还可以利用差分法进行求解。
首先将数列的前n项依次相减得到一个新的数列，然后再对新数列进行求和，即可得到原数列的和。
例如，对于等差数列1,2,3,…,100的和，首先得到的差分数列为1,1,1,…,1，接着对差分数列进行求和，得到的和等于100。
二、等比数列求和1.通项公式法等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，其中a1表示首项，q表示公比。
已知数列的首项、末项和项数时，可以利用求和公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)来求和。
这种方法适用于已知数列的前n项求和。
2.等比中项法对于等比数列，若首项和第三项已知，则可以求出公比q=(第3项/首项)^(1/2)，从而求得数列的和。
这种方法适用于已知数列的首项和第三项求和。
3.分组求和法对于一些等比数列，可以通过合理的分组求和来得到数列的和。
例如，对于等比数列1,3,9,…,6561，可以发现这个数列可以分解为(1+3)+(3+9)+(9+27)+…+(2187+6561)，共有10组，每组的和为4、因此，该数列的和等于10×4=40。
三、求和公式的推导1.等差数列求和公式的推导我们将等差数列的前n项分别记作a1,a2,…,an。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中常见的问题，解决数列求和问题有很多方法。
下面将介绍数列求和的8种常用方法。
1.直接相加法：这是最基本的方法，实际上就是将数列中的所有项相加。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以直接相加得到1+3+5+7+9=252.偶数项和与奇数项和之和法：对于一些数列，可以将其分解为偶数项和与奇数项和，然后再求和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以分解为偶数项和4+8和奇数项和1+3+5+7+9，再相加得到(4+8)+(1+3+5+7+9)=373.首项与末项和的乘法法：对于等差数列，可以利用首项与末项之和的公式来求和。
首项与末项之和等于和的平均数乘以项数。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，首项与末项之和等于(1+9)*(项数/2)=10*5/2=254.首项与公差与项数的乘法法：对于等差数列，可以利用首项、公差和项数的乘积来求和。
等差数列的和等于首项乘以项数，再加上项数与公差之积的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，和等于1*5+(5*4)/2=10+10=20。
5.平均数法：对于一些特殊的数列，可以利用平均数的性质来求和。
平均数等于数列中的第一项与最后一项的平均值。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，平均数等于(1+9)/2=5，然后将平均数乘以项数，得到5*5=256.高斯求和法：高斯求和法是一种数学推导方法，用于求等差数列的和。
首先将数列化为由首项和末项构成的和，然后将数列顺序颠倒，再将之前的和与颠倒后的和相加，得到的结果就是等差数列的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，将其化为(1+9)+(3+7)+5，然后将数列颠倒得到5+(7+3)+9，再相加得到257. telescopage法（消去法）：telescopage法是一种利用抵消的思想来求和的方法。
可以将数列中相邻的两项之差相消为0，最终得到一个简单的表达式，然后再求值。
例如，对于数列1, 2, 3, 4, 5，可以将(2-1) + (3-2) + (4-3) + (5-4)相加，得到1 + 1 + 1 + 1 = 48.更一般的求和方法：对于一些复杂的数列，可能需要应用更一般的数学方法来求解。
数列求和方法总结
数列求和方法总结数列求和是数学中一个非常常见且重要的问题，它出现在各个领域的数学问题中，并且在高中数学及以上的学习中经常遇到。
在解决数列求和问题时，我们可以通过多种方法，其中包括代入法、消元法、几何法、差分法、数学归纳法等等。
下面我将对这些方法进行详细的总结与说明。
1. 代入法：代入法是一种常见的求和方法。
我们可以通过代入来求和项的个数和具体数值。
首先，我们需要确定数列的通项公式，然后将要求和的项数具体代入到通项公式中，求出每一项的数值，最后再将这些数值相加即可得到所求的数列的和。
例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以先找到通项公式为an=2n-1，然后代入每一项的数值，得到1、3、5、7、9，最后相加得到的和为(1+9)*5/2=25。
2. 消元法：消元法是一种常用的数学方法，在求和问题中也有广泛应用。
通过对求和式进行变形，我们可以通过消除多项式的常数项、控制变量项或者引入新的变量来简化求和的步骤，从而得到更简单的表达式。
例如，要求等差数列1、2、3、4、5的前n项和，我们可以通过对求和式进行变形，得到Sn=(n+1)*n/2。
3. 几何法：几何法是一种求解数列求和的常见方法，它通常适用于等比数列求和问题。
当数列的各项之间的比值存在规律时，我们可以通过将数列的各项代入到几何模型中来计算求和的方法。
例如，要求等比数列1、2、4、8、16的前n项和，我们可以将这些数列代入等比数列的几何模型中，即1、2、2^2、2^3、2^4，可见，这是一个以2为公比的等比数列。
根据等比数列的求和公式Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入数值可得到所求的和。
4. 差分法：差分法是一种通过对数列进行差分来求和的方法。
它通常适用于数列之间的差为常数或规律的数列，通过对数列进行差分可以简化求和的过程。
例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以通过差分法来解决，即将数列进行差分得到2、2、2、2，可以发现这是一个公差为2的等差数列。
高考数学 题型全归纳 数列求和的若干常用方法
数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。
本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例1．数列{an}的前n 项和12-=n n a S ，数列{bn}满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n 项和Tn 。
解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b aΛ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b b Λn T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--ΛΛ=.12222121-+=+--n n n n已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：.242n a a a +++Λ解析：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则：6223221)21(232)222(322323)1(1224221--⋅=---=-+++=+++∴-⋅=⇒-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n ΛΛ二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。
数列求和常见的7种方法
数列求和常见的7种方法数列求和常见的7种方法一、总论:数列求和7种方法:利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.。
高考数学-数列求和的方法总结(有答案)
两式相加得： 2S 9 f
1 10
9 9 f 9 ，所以 S . 2 10
2
例 5.求和： S n 2 3 5 解： S n 2 3 5
1
4 3 5 6 3 5
n(n 1) 2 ，1+3+5+„„+(2n-1)= n ， 2
2
n(n 1)(2n 1) n(n 1) 3 3 3 3 1 2 3 ……+n = ， 1 2 3 ……+n = 等。 6 2
2 2 2 2
2.错位相减法： 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到， 即数列是一个 “差比数列” ， 则采用错位相减法。错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以“差比”数列中等比数列 的公比 q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前 n 项和的公式求和。 3.裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正 负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。该
c an an 1 方法适用于类似 的数列，其中 an 是各项不为零的等差数列，c 为常数。用裂项相消
法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
1 1 1 1 11 1 n n 1 n n 1 nn k k n n k ① ，特别地当 k 1 时， ；
﹣ ）+ （ ﹣ ﹣ ）
） ． ﹣ ） + ﹣ +…+ ﹣ ） ）+ （ ﹣ ）
）]= ．
=
．
故答案为：
高考数列求和知识点总结
高考数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中经常考察的内容之一。
掌握了数列求和的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。
下面将对数列求和的相关知识进行总结和归纳。
一、等差数列的求和等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和公式为Sn = n* (a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n 项。
例题1：已知某等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。
解题思路：首先根据等差数列的公式an = a1 + (n - 1) * d，计算出第10项的值为2 + (10 - 1) * 3 = 29。
然后利用等差数列的求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入n=10，a1=2，an=29，计算出前10项的和为10 * (2 + 29) / 2 = 155。
二、等比数列的求和等比数列是高中数学中另一个重要的数列，求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
例题2：已知某等比数列的首项为1，公比为2，求前5项的和。
解题思路：首先根据等比数列的公式an = a1 * q^(n - 1)，计算出第5项的值为1 * 2^(5 - 1) = 16。
然后利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入n=5，a1=1，q=2，计算出前5项的和为1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。
三、一般数列的求和对于一般的数列，如果找不到明显的规律或者确定不了数列的类型，可以采用递推法求和。
例题3：已知数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2，求前5项的和。
解题思路：根据数列的递推关系an = an-1 + 2，可以得出第2项a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3，第3项a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，以此类推，可以求得前5项依次为1，3，5，7，9。
高考数学数列求和的8种常用方法（最全）
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法(定义法):i.等差数列求和公式：特别地，当前〃项的个数为奇数时，S2灯|=(2&+1).%1，即前〃项和为中间项乘以项数。
这个公 式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：(1) q = 1, S n =叫:。
1(1-矿)(2)S n =—~，特别要注意对公比的讨论:3. 可转化为等差、等比数列的数列；4. 常用公式：(2)1» = l + 2 + 3+L +〃=_〃(〃+1)：22 = ]2 + 22 + 32 +L + / =项〃 +1 )(2〃 +1 )=项〃 + '(〃 +1 )：4-1 63 2(3)£(2Sl)=l + 3+5+L +(2〃-1)=片.▲■I例 1 已知 log3X= T ,求x+x 2+x 3 + ...+x n 的前〃项和.log? 3解：由 log3 x = —zl_ => log 3 x = -log 3 2 n x = 5= x + x 2 + x 3 +L +y*n J = 1(1-1)A2(4)log 2 3由等比数列求和公式得x(l —x 1-X1&例 2 设S “=l + 2+3+ • +〃，解：易知 S =]_〃(〃+1), "2S..2"，求_/•(〃)=— 的最大值.(〃 + 32)S tS . =!(〃+1)(〃+2)jt+i 2n .・'(〃)-(〃 + 32)s* — / + 34〃+ 64= ]_________1_______ 1〃 +34+丝 一(V ；-_L)2+50 - 50n JnQ1・•・当而-如即〃 =8时,f(n) =_.V82 50二.倒序相加法:如果一个数列{%},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法。
如：等差数列的前〃项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到〃个（0+4）.例3求sii?1°+sin22°+sin23° +-+sin288°+sin289°的值解：设S=sin2l°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°........①将①式右边反序得S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°........②(反序)又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1①得(反序相加)2S=(sin21°+cos2l°)+(sin22°+cos22。
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111n n a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式: （1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=. 例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
数列求和的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对数列的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
下面是小编整理的数列求和的基本方法和技巧，供参考。
更多相关信息请关注相应栏目！一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.六.并项求和法一个数列的前n项和中,若可两两结合求解,则称之为并项求和法.形如类型,可采用两项合并求解.数列知识整合1、在掌握等差数列、等比数列的定义、*质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
2、在解决综合题和探索*问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。
数列求和的8种常用方法(最全)
数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。
解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。
本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。
尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。
二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。
分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。
解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。
2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。
分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。
解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。
3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。
分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。
数列求和的方法
数列求和的基本方法技巧数列求和是数列的重要内容之一，培养学生从有限到无限的思维能力，在高考中占有重要的地位。
在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。
对于这种非常规数列的求和问题，现归结为以下几种方法。
一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
例1. 已知lg xy =a （）,n n-1n-22n n =lg x +lgx y +lg x y +lg y S ⋅⋅⋅（）（）+，求n S 。
解：nn-1n-22n n =lg x +lgx y +lg x y +lg y S ⋅⋅⋅（）（）+ ① 把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：n n-1n-22n n =lg y +lg y x +lg y x +lg x S ⋅⋅⋅（）（）+②把①②两式相加得nn 2=n+1lg xy =n n+1lg xy=a n n+1S g （）（）（）（）).1n (n 2aS n +⋅=∴此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列23na 2a a na ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，3，，，的前n 项和。
解：设23nn S =a+2a +a ++na ⋅⋅⋅3当1a =时，n n+1)S =1+2+++n=2⋅⋅⋅n(3 当1a ≠时，23nn S =a+2a +a ++na ⋅⋅⋅3①①式两边同时乘以公比a ，得234n+1n aS =a +2a +a ++na ⋅⋅⋅3②①、②两式相减得234n n+1n 1-a S =a+a +a +a ++a -na ⋅⋅⋅（） ()()n+2n+1n 2na -n+1a +a=1-a S ∴这种方法主要用于求数列{}n n a b g 的前n 项和，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列。
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{ } 所以
an n
是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以 an＝n2.
从而 bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
设
…………………………………①
位） ①－②得
………………………………②
（设制错
（错位相减）
∴
2
2.求和：
3.设数列
满足
（Ⅰ）求数列
的通项； （Ⅱ）设
解 (I)
，
．
，求数列
的前 项和
验证 (II)
时也满足上式， ，
①
②
①
-②
：
，
3
4.(2014·江西卷)已知首项都是 1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足 anbn＋1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝(－1)n－1an4ann＋1，求数列{bn}的前 n项和 Tn. 解 (1)因为 S1＝a1，S2＝2a1＋2×21×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×23×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，
解得 a1＝1，
所以 an＝2n－1.
以 Sn＝(n－1)3n＋1.
5.数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
{ } (1)证明：数列
an n
是等差数列；
(2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n项和 Sn.
(1)证明 由已知可得na＋n＋11＝ann＋1，
即na＋n＋11－ann＝1.
∵ ∴
， ．
{ } 6.已知等差数列{an}的前
n项和为
Sn，a5＝5，S5＝15，则数列
1 anan＋1
的前
100项和
6
为( )
解析 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.
{ { ∵a5＝5，S5＝15，∴
a1＋4d＝5， 5a1＋5×（52－1）d＝15，∴
a1＝1， d＝1，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令 cn＝abnn，求数列{cn}的通项公式； (2)若 bn＝3n－1，求数列{an}的前 n项和 Sn. 解 (1)因为 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)， 所以abnn＋＋1 1－abnn＝2，即 cn＋1－cn＝2. 所以数列{cn}是以首项 c1＝1，公差 d＝2的等差数列，故 cn＝2n－1. (2)由 bn＝3n－1知 an＝cnbn＝(2n－1)3n－1， 于是数列{an}前 n项和 Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1， 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n， 相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所
（利用常用公式）
＝
＝
＝1－
1
2.设 Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求
的最大值.Байду номын сангаас
解：由等差数列求和公式得 ∴
， ＝
＝
＝
（利用常用公式）
∴当
，即 n＝8时，
适用于数列
的通项公式
二、错位相减法求和
，其中
为等差数列，
为等比数列
1.求数列
前 n项的和.
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积
( ) ( ) ( ) ( ) Tn＝ 1＋13－ 13＋15＋…－ 2n1－3＋2n1－1＋ 2n1－1＋2n1＋1＝1＋2n1＋1＝
22nn＋＋21.
7
{所以 Tn＝
22nn＋＋21，n为奇数， 2n2＋n1，n为偶数.
( ) 或Tn＝2n＋12＋n＋（－11）n－1
数列
的通项公式
四、分组求和
（3）
（5） (6)
1. 求 数 列
的前 n项和
2.求数列
解
：
（裂项）
则
5
的前 n项和. 设
（裂项求和）
＝ ＝
3.在数列{an}中，
，又
解： ∵ ∴ ∴ 数列{bn}的前 n项和
＝
＝
4.求和
思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解
，求数列{bn}的前 n项的和. （裂项）
（裂项求和）
:
5.求和：
∴ana1n＋1＝n（n＋11）＝n1－n＋11，
{ } ( ) ( ) ( ) ∴数列
1 anan＋1
的前
100项和为
1－12＋
12－13＋…＋
1100－1101＝1－1101＝
110001.
7.(2014·山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2，前 n项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等
比数列．
(2)bn＝(－1)n－1an4ann＋1＝(－1)n－1（2n－1）4n（2n＋1）
( ) ＝(－1)n－12n1－1＋2n1＋1.
当 n为偶数时，
( ) ( ) ( ) ( ) Tn＝ 1＋13－ 13＋15＋…＋ 2n1－3＋2n1－1－ 2n1－1＋2n1＋1＝1－2n1＋1＝
2n2＋n1. 当 n为奇数时，
＝3·（11－－33n）－n·3n＋1＝（1－2n）2·3n＋1－3.
4
所以 Sn＝（2n－1）4·3n＋1＋3.
三、裂项相消 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项） 分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
，其中
、
为等差数列或者等比数列；
1.求数列 分析：此数列的通项公式是 用分组求和法求解． 解：
2.求数列的前 n项和：
， 的前 项和 ．
，而数列
是一个等差数列，数列
是一个等比数列，故采
．
，…
解：设 将其每一项拆开再重新组合得
（3）裂项相消：适用于数列
的通项公式：
（其中 k为常数）型；
（4）分组求和：适用于数列
的通项公式
，其中
、
为等差数列或者等比
数列； （5）倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.
（6）分段求和：数列
的通项公式为分段形式
一.公式法求和：
1.已知
，求
的前 n项和.
解：由 由等比数列求和公式得
数列求和的基本方法和技巧
[最新考纲] 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
数列求和常见的几种方法：
（1）公式法：等差数列的求和公式：
等比数列的求和公式
（切记：公比含参数时一定要讨论）
（2）错位相减：适用于数列
的通项公式
，其中
为等差数列，
为等比数列；