2010 年剑桥 O 水准高数试卷分析
2010数学高考试题分析
（2）从一套试卷看，试题的综合主要体现
在一个主干知识在多个题目中交汇
以不等式为例，不等式是解决数学问题的重要工具，在试卷 中，单独出现不等式的题目并不多见，但是，它却多次出现 在与其它知识交汇的题目中。
四．考查实践能力，贴近生活， 背景公平
概率与统计应用题
这一试题设计，有以下几点好处： (1) 考查了解决实际问题的能力和数学建模能力等实践能力; (2) 考查了必然与或然的数学思想; (3) 体现了新课程标准的理念; (4) 控制了试卷的难度.
4. 对解法选择的思辨
例9． ①（2010天津理10）如图，用四种不同颜色给图中的A，
B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每
条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 ）
教学启示：
基础知识复习与学科能力培养
问题：一个现象是（由于学生学习基础弱、学习自觉性不够、知识遗忘严 重）过于强调知识性的基础复习，以记忆性的解题练习为主；另一个现象
例 11．①（2009 宁夏理 3）对变量 x，y 有观测数据理力争(x 1，y1)
（i=1，2，„，10） ，得散点图 1；对变量 u，v 有观测数据(u 1， v1) （i=1， „， ， （ ） 2， 10） 得散点图 2.由这两个散点图可以判断
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
1
1
0
f ( x ) dx 的近似值为
． N 1/ N
0 | lg x | ， x 10， 例 4． （2010 全国新课标理 11 文 12）已知函数 f( x) = 1 若 a，b，c 2 x 6， x 10 .
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海理科数学试题及答案
2010年高考上海理科数学试题及答案一、填空题（共13小题；共65分）1. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．2. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．3. 行列式 \（\begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．4. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．5. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．6. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．7. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．9. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．10. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．11. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．12. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．13. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）14. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−216. 若x0是方程12x=x13的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1217. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．20. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．21. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．22. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．2. y2=8x【解析】由定义知P的轨迹是以F2,0为焦点的抛物线，故p=4，所以其方程为y2=8x．3. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．4. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=22=3．5. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．6. S←S+a7. 0,−28. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．9. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．10. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．11. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．12. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．13. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分14. A 【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．15. C【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．16. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．17. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分18. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.19. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．20. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 21. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．22. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。
2010届高考数学分析
一、函数模块在高考中的考查分析
函数概念是高中数学的核心概念之一，函数知识是高中数学内容的主干内容，函数的思想方
法贯穿于整个高中课程的始终，其基础知识在现实生活、社会、经济及其其他学科中有广泛的应
用，运用函数的基础知识和思想方法又是进一步学习数学和许多其他学科的重要基础，因此，对
函数的图 函数的零 指数与对 导数的几
象与性质 点
6，16，2
1
8
6
8
10
5
9
14
20
4
12
数函数 何意义
10
3
10
2010 年考纲要求变化的考点：1.分段函数能简单应用；2.体会导数在解决实际问题中的作用；
3.反函数不作要求；
纵观 2009 年各课改试验区的高考数学试题，函数的考查呈现如下特征：
1、围绕函数的主干知识，从数学知识的内在联系上进行函数基本知识和基本技能的考查。
得： 2 a 1。答案为 C
命题立意：本小题考查分段函数及其图象，函数的单调性以及解一元二次不等式的能力，考 查函数，方程，不等式三者之间的联系，体现了化归思想。
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2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会 发发力刚国和十靠的社主 展展，刚的实大教概会义 才要发建第践关坚育括主本 是求展立一的系2持。，义质 硬、，生，要基》以人一，理 道发大产还务本重发才方从论 理展力力没是成要展资面而把 ，才促，有由果讲社的源强为我 把是进消完中，话会办是调中四们 发（硬先灭全国抓中主法第必国、对 展2道进剥建共住提三义解一）须的科社 生理生削立产“出、经决资采解社学会 产，产，党什（代济前源取放会技主 力是力消还的么1表基进。从和主术义 作）对的除不执是中础科低发义是1的 为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认 社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识 会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提 主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高 义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到 建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了 设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一 的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个 根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新 本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的 任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科 务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学 ，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水 符会一起总持前.和展。律”关社 国个领我始度放发、地主平 合阶要来结社列资才”认这于会 社公域们终形和展社提题。 马级务为。会，本是1识个总主 会有也党是式发更会9出变社 克二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化会 思6、系国义持道3深本线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要本 基.主变事所平化向业1也，整度 制，大要小国家的享本9义。质 本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理 原6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务论 理第质同务题进与本会一党揭.述立 确共，。出社主社和社主基的 ，二理时的行社体主、实示：， 立同确苏“会义会目会3义本提 是节论，基关改会现义社现了.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛出 巩、的我本键造主和改会其社中当 使裕了二会明就会义。义、造盾， 固对重国方是。义根造之所会华代 占，中十主程是主基建中的和为 和第社要针这改本基一承主人中 世这国大义度在义本设国基两进 发一会意。靠不造要本本担义民国 界是共以财的国基制内成特本类一 展节主义的（自仅同求完质的本共一 人我产后富重家本度涵果色完矛步 社、义主2己保时。成理历质和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推 会中本要的证并，论史，国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的进 主国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学改 义特理盾展2社。志五提需是立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革 制色论也。会实着章）出要对，步 一持人出，和理立中够会建国，取开 度社的发的践中把。马到奠 的民要社支经，国社充经设强积放 的会提生稳证国解克社定 东民“会配济是历会分济道调极和 必主出了定明历放思会了 方主以下建4广史主体制路要引社 然义变，.史和主主把制 大专苏义的设大上义现度初严导会 要二建化而党上发义义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、主 求设。且坚长展的改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义 。确道人极持达生重造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度 会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的 ，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建 这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立 是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极 世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大 界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地 社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提 会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高 主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了 义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工 运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人 动、届 业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶 史新社二 的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级 上民会中 社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和 又主全 会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人 性理历中 ，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民 的论史国 党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国义导矛际产在走社束状设家步现社的极改分体。任食积 大以验稳 政社；致步资业殖阶其们平社革。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民级力吐对1会命有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地和的出社第必制中（，发以包义会间强
2010年高考数学试题评价
第 4题图三、2010年高考数学试题评价1．已知集合 {|||2 A x x =£ ， } x R Î ， {|4 B x x =£ ， } x Z Î ，则A B = I （ ）A ．(0，2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}命制意图与评析：考查集合的基本概念与集合运算，同时考查了数集的特定符号，这几 年考查集合概念与运算题型稳定，但难度有所上升． 2．已知复数 23 (13)z + =- i i ，z 是z 的共轭复数，则z z = g （ ）A ．1 4 B ． 12C ．1D ．2命制意图与评析：考查复数的乘除运算，共轭复数的概念与性质，前几年都考查复数的 简单运算，多属于复数概念和分母实数化，2010 年对复数的考查难度明显加大，增加了对复数的平方运算和共轭复数的性质 2z z z = g 考查． 3．曲线 2xy x =+ 在点(1 - ， 1) - 处切线方程为（ ） A ． 21 y x =+ B ． 21 y x =- C ． 23 y x =-- D ． 22y x =-- 命制意图与评析：考查商数的导数运算，导数的几何意义和点斜式方程，属于常见的 基础题，这几年曲线的切线问题出现的机率较高，多数出现在小题中，有时出现在大题中， 如 2008 年就出现在大题中，应该说对多数考生难度是不大的，但要注意区分在某点处和过 某点的曲线的切线问题．4．如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为0 (2 P ， 2) - ，角速度为 1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（） （注意曲线画的有点误差！）A ．B ．C ． D．命制意图与评析：考查三角函数的图像、性质及物理学上圆周匀速运动的概念，同时考 查考生识图像能力，利用特别赋值排除选项的能力．教学中要向考生渗透数形结合思想．题 再往下发展就是要考虑质点在x 轴和 y 轴方向的速度，就得自用导数解决问题了．5．已知命题 1 p ：函数 22 x x y - =- 在R 上为增函数， 2 p ：函数 22 x xy - =+ 在R 上为减函数，第 7 题图 则在命题 1 q ： 12 p p Ú ， 2 q ： 12 p p Ù ， 3 q ： 12 () p p ØÚ 和 4 q ： 12 () p p ÙØ中，真命题是（ ） A ． 1 q ， 3q B ． 2 q ， 3q C ． 1 q ， 4q D ． 2 q ， 4q 命制意图与评析：考查简单逻辑用语中“与” （一假则假，都真则真） 、 “或” （一真则 真，都假则假） 、 “非” （真假相对）运算性质，事实还考查了函数 ( ) ( ) f x f x -- 是奇函数，( ) ( ) f x f x +- 是偶函数这个性质．回顾简单逻辑用语命题规律，07 年特称命题的否定，08年的充要条件，09 年以三角函数为背景的命题真假判断，2010 年考查“与” 、 “或” 、 “非” 运算性质是在预料之中的事，未来试题走向就不好判断了．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补 种 2 粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．400命制意图与评析：考查了二项分布列及数学期望，同时考查了离散变量的线性关系的数 学期望公式 () E a b aE b x x +=+ ．由于在大题中没考查离散变量的分布列，作为整体考虑就 设计了这个小题，这道应是常见的基础题． 7．如果执行如图所示的框图，输入 N =5， 则输出的数等于（ ）A ．5 4 B ．45 C ．6 5 D ．5 6命制意图与评析：考查了简单的循环结构，并且把简单合 情推理结合起来了，事实上，对于k =1，2，3，…，时，一组数列是： 1 2 ， 2 3 ， 34，…关键要找到终止条件．这几年一直再考查程序框图，多数是在考查循环结构与数列结合的情 境，试题的走向比较稳定，从数学逻辑思维上去掌握框图．8．设偶函数 ( ) f x 满足 ( ) 38 f x x =- （ 0 x ³ ），则 ( ) { } |20 x f x ->=（）A ．{|2 x x <- 或 4} x >B ．{|0 x x < 或 4} x >C ．{|0 x x < 或 6} x >D ．{|2 x x <- 或 2}x > 命制意图与评析：考查了函数的奇偶性，函数图像及数形结合思想，属于考查综合能力的试题，考生平时养成勤作函数草图，理解不等式的含义，采用数形结合方法解决问题也是 比较简单的． 这几年考查函数的图像与性质的题目不多， 考生复习中容易忽视这方面的内容．9．若 4 cos 5 a =- ，a 是第三象限的角，则1tan2 1tan 2aa + - =（ ）A ． 1 2 - B． 1 2C．2 D． 2- 命制意图与评析：考查同角的三角函数关系式和半角的万能公式，也可以考查两角和的 正切公式的逆向思维和半角的公式， 应该说新课程对半角公式和同角关系式的要求降的很低了，现行教材考查这些东西相对有一定的难度，半角的万能公式属于考生了解的内容，平时 训练这类问题不多．三角函数中学对图像及性质，两角的和与差公式和欧拉变换平时训练的 较多，考生掌握的较好，从考试走向来看，今后要加强三角变换训练．10．设三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱的长度都为a ，顶点都在球面上，则该球的表面积 为（ ）A． 2a p B ． 2 7 3 a p C． 2 11 3a p D． 2 5 ap 命制意图与评析：考查考生三棱柱内接于球的情形，考查考生分析球心所在的位置，事 实上考查了正三角形的中心到顶点的关系，要分析球心在两底中心连线的中点，各个顶点到 中心的距离都是球的半径，也考查了球的表面积公式．这几年考查球内接长方体情形较多， 考查球内接三棱柱不多，立体几何喜欢考查球内多面体的问题．11． 已知函数 ( ) |lg |,010 1 6,10 2x x f x x x <£ ì ï= í -+> ï î ， 若a ，b ，c 互不相等， 且 ( ) f a ( ) f b = ( ) f c = ，则abc 的取值范围是（ ）A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)命制意图与评析：考查函数的图像与性质，图像的关键点的找出与利用，考查估算与预 测能力，利用函数图像解决问题．平时绘画草图对解函数题在平时复习中应引起注意． 12．已知双曲线E 的中心为原点， ( ) 3,0 F 是E 的焦点，过点F 的直线l 与E 相交于 A ，B 两点，且AB 的中心为 (12,15) N -- ，则E 的方程为（）A． 22 1 36 x y -= B ． 22145 x y -= C ． 22 1 63 x y -= D ． 22154x y -= 命制意图与评析：综合考查直线方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的应用 及待定系数的思想方法，如果按提供的数据把草图画的规范可以直接看出结果．13．设 ( ) y f x = 为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 ( ) 01 f x ££ ，可以用随机模拟方法近 似计算积分 ( ) 10 f x dx ò ，先产生两组（每组N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 1 x ， 2 x ，…，N x 和 1 y ， 2 y ， …， N y 由此得到N 个点(,) i i x y （1 i = ，2， …，N ） ． 再数出其满足 ( ) i i y f x £ （ 1 i = ，2，…，N ）的点数 1 N ，那么由随机模拟方法可得积分 () 10 f x dx ò 的近似值为 1N N命制意图与评析：考查几何概型、积分的概念及教材中的随机模拟估计面积例题，考查 考生对数学概念与模拟实验的本质的理解，只要理解了题的含义，推断出结果并不难．试题 在选择题上面走向是向传统教材靠拢，但对必修三、选修 23教材的考查与挖掘的力度还是 很大．14．正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）命制意图与评析：开放性考查考生对空间几何的认识，考查考生识图与视图能力，考查考生的空间想象能力．考查三个视图轮廓线的概念．15．过点 ( ) 4,1 A 的圆C 与直线 10 x y --= 相切于点 (2,1) B ，则圆C 的方程为命制意图与评析：直线与圆相切的性质，圆的切线的性质及圆的方程，考查对基础知识 与基础概念的掌握．16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点， 1 2BD DC = ， 120 ADB Ð= o， 2 AD = ．若△ADC的面积为33 - ，则 BAC Ð=命制意图与评析：考查了解斜角三角形的二大内容：三角形面积公式和余弦定理，也 考查了考生的转化思想和处理几何信息的能力．17．设数列{ } n a 满足 1 2 a = ， 211 32 n n n a a - + -= g． （Ⅰ）求数列{ } n a 的通项公式；（Ⅱ）令 n n b na = ，求数列{ } n b 的前n 项和 n S ．解：（Ⅰ）由 21 1 32 n n n a a - + -= g，令 1 n = ，2，…， 1 n - ， 得 1 21 32 a a -= g ，3 32 32 a a -= g ， 5 43 32 a a -= g ，………………231 32 n n n a a - - -= g ，上述 1 n - 个式相加，得351 3(222 n a a =++++ (23)2) n - + 1 2(14) 23 14n - - =+´ - 21 2 n - = ；（Ⅱ） n n b na = 1 4 2 n n = g，则 21 11 4(1424 22n k n k S k = ==++ å g g ... 4) n n + g 令 2 1424 n T =++ g g ... 4 n n + g .........，则 23 41424 n T =++ g g (1)(1)44 n n n n + +-+ ………②②—①得， 2 3(44 n T -=++ (1)4)4 n n n + +- 14(14) 4 14n n n + - =- - g ，所以， 44 (14)4 93 n n n n T =-+ g 44 (31)4 99 n n =+- g ， 因此， 22 (31)4 99nn S n =+- g ．命制意图与评析：考查数列的递推关系，等比数列前n 的求和公式，用叠加法求通项公 式，用错位相减的求和公式，这些都是数列的通性通法，但难度较大，错位相加考生学习 过程并不困难，但真正被考生掌握是特别困难的，新课程背景下的考生运算能力极差，是 中学数学教育中无法回避的短板，也是考生很难跨过的一道坎．18．如图，已知四棱锥P ABCD - 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC BD ^ ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． （Ⅰ）证明：PE BC ^ ； （Ⅱ）若 60 APB ADB Ð=Ð= o ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值． 解法一：（Ⅰ）延长EH 交BC 于F ，在△CAB 和△DBA 中， ∵ ABCD 为等腰梯形， ∴CB DA = ， CBA DAB Ð=Ð ， AB BA = ，∴△CAB ≌△DBA ， ∴ 35 Ð=Ð ，又∵EH 是直角三角形AHD 斜边的中线 ∴ AE EH = ， ∴ 12 Ð=Ð 4 =Ð ，在直角三角形AHD 中，1390 Ð+Ð= o ，即 4590 Ð+Ð= o ，∴ 90 HFC Ð= o ，即EH BC ^ ，又∵PH ^平面 ABCD ，BC Ì平面ABCD ， ∴PH BC ^ 图，又∵PH ，EH 是平面PEH 内两相交直线， ∴BC ^ 平面PEH ， 又∵ PE Ì平面PEH ∴ PE BC ^ ；（Ⅱ）由于△AHB 是等腰直角三角形，则 45 HAB Ð= o ，又因为 60 ADB = o ，则 130 Ð= o ，设 AB AP a == ，则 sin 45sin 60 AD AB = o o，得 6 3 AD a = ， 66EH a = ，设PH h = ，则 22 22() 22h a a a =-= ，作AK 垂直HE 延长线于K ，则AK ^平面PEH ， 则 2 sin 2 4 AK AH a =Ð=，所以， 2sin 4AK APK AP Ð== ， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是 24．解法二：易知AC ，BD ，PH 两两垂直，建立空间直角坐标系H xyz - （如图），由于ABCD 为等腰梯形，设 AH BH m == ，CH DH n == （n m < ） ，HP h = ， 则 (,0,0) A m ， (0,,0) B m ， (,0,0) C n - ， (0,,0) D n - ， ( ) 0,0, P h ，由于E 是 AD 中点，则 (,,0) 22 m nE - ，3 分 （Ⅰ）∵ (,,) 22m nEP h =- uuu r ，∵ (,,0) BC n m =-- uuu r，∴ ()()00 22m n EP BC n m h =-´-+´-+´= uuu r uuu r g （此算式1 分，没有扣 1 分），∴ EP BC ^ uuu r uuu r，即PB BC ^ ；（Ⅱ）∵ (,0,) PA m h =- uuu r ， (0,,) PB m h =- uuu r ，∵ 60 APB = o，∴ 2 22221 cos60 2hm h m h == +´+ o，即 2222h m h =+ ，………①∵ (,,0) DA m n =-- uuu r ，∵ (0,,0) DB n m =-- uuu r ，∴ 2222 ()1cos 60 2 ()n n m nm n n m m n+ === +´++ o ，即 3 m n = ，………② 由①、②得， 3 m n = ， 3 h n = ，因为z 轴Ì平面PEH ，所以平面PEH 的法向量可设 (,1,0) x = n ，由于 (,,0) 22 m nHE =- uuu r ，所以， 00 22 m n HE x =-+= n uuu r g ，解之 n x m = ，即 3 (,1,0) 3= n ，所以， (3,0,3) AP n n =- uuu r，设线PA 与平面PEH 所成角是q ，则sin AP AP q = nnuuu rg uuu r 46 3n n =g2 4=， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是2 4．（1 分） 命制意图与评析：以四棱锥为背景来考查空间几何线线垂直、直线与平面成角、平面 几何中等腰梯形的性质及空间向量应用中平面法向量的设置和用公理体系中直面成角的定 义与角的找法．应该说难倒考生道不空间几何问题， 而是平面几何问题和考生的分析问题与 解决问题的能力．中学数学教育中另一短板是学生的平面几何知识学的很不扎实，其原因除 课标因素外，另一个原因是中考的命题，初中不是基础教育的最终学段，中考中有相当多的 内容不列入考试， 致使很多内容初中没有学． 按新课标之理念， 初中有对称图形对折叠问题， 高中有合情推理问题， 命题者怎么不能想到考生中百分之九十的人不会用等腰梯形对角线的 对称性（AH =BH ，CH =DH ） ．在立体几何中设未知数问题本来几年前外省考试中已经是一种趋 势，但对于见到未知量就怕的新课标下的考生确是又是迈不过的一道坎．19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男 女 需要 40 30 不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）是否有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿 者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：2 ()P K k ³ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．635 10．828( )( )( )( )22()n ad bc k a b c d a c b d - =++++ 解：（Ⅰ）该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为 304014% 500+ = ；（Ⅱ） 22500(4027016030)70430200300k ´-´ = ´´´ 9.967 = 6.635 > ，所以有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （Ⅲ）由（Ⅱ）知有99%把握认为老年人是否需要提供帮助与性别有关，抽样时按老年人的性别抽样，其中需要提供帮助男老年人的比例是 1408% 500P == ； 需要提供帮助女老年人的比例是 2 306% 500P == ．命制意图与评析：考查独立检验的 2×2 列联表，抽样调查方法，设计抽样方法搜集数 据和用样本估计总体等知识．试题难度不大，但对于这类问题中学教学中注意不够，是容易 被忽视的内容．这几年高考把课标 23 新增加的内容都已经考了，对于概率与统计离散数学 试题的走向不好判断了，应该回归过程事件分析中．20．设 1 F ， 2 F 分别是椭圆E ： 22221 x y a b+= （ 0 a b >> ）的左、右焦点，过 1 F 斜率为1的 直线l 与E 相交于A ，B 两点，且 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列．（Ⅰ）求E 的离心率；（Ⅱ）设点 (0,1) P - 满足 PA PB = ，求E 的方程． 解（Ⅰ）由 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列得，2 AF + 2 BF 2 = AB ，由椭圆定义 2 AF + AB + 2 BF 4a = ，所以， 43AB a = ，设 11 (,) A x y ， 22 (,) B x y ，直线 AB ： y x c =+ ，联立 2222220 b x a y a b y x c ì +-= í =+ î，得 2222222()2()0 b a x a cx a c b +++-= ，2 12 22 2a c x x b a +=- + ， 22212 22() a c b x x b a- = + （或△ 22222 4() a b b c a =-+ 248a b = ） 2121212 ()4 x x x x x x -=+- （弱智公式）（或 212 222222ab x x b a b a-== ++ V ）， 2 2 12 224 11|| ab AB x x b a =+-= + 4 3 a = ，即 2222222 a b a c ==- ，解之 2 2e = ； （或用焦半径公式： 12 ||2() AB a e x x =++ 2 222 2 c a a b a =- + 43a = ， 22 2 a c = ） （Ⅱ）设椭圆E ： 2222 1 2 x y b b += （ 0 b > ），由于 PA PB = ，则点 (0,1) P - 在线段 AB 的中垂线上 ， 设 AB 中点 00(,) M x y ， 联立 222220x y b y x bì +-= í =+ î ， 2 340 x bx += ， 120 2 23 x x b x + ==- ， 0 2 33 b b y b =-+= ， 线段AB 的中垂线： 2 () 33b y x b -=-+ ， 将点 (0,1) P - 代入得， 2 1 33 b b --=- ，解之 3 b = ，故椭圆E ： 221 189x y += ．命制意图与评析：考查直线方程和直线与圆锥曲线的关系，利用方程思想分析位置关系， 同时考查了等差数列的定义，都属于传统平面解析试题．如果使用焦半径公式做可能更简捷 些，命题者往往喜欢在新增内容和减弱处命题，但解答绝对是不超纲的，对数学试题而言超 不超纲，学问全在做答案上．平时命制试题要说让课标和考纲去见鬼吧！ 21．设函数 ( ) 2 1 x f x e x ax =--- ．（Ⅰ）若 0 a = ，求 ( ) f x 的单调性区间； （Ⅱ）若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）若 0 a = 时， ( ) 1 x f x e x =-- 的定义域为(,) -¥+¥ ，( ) 1 x f x e ¢ =- ，令 ( ) 0 f x ¢ = ，得 0 x = ，作出 ( ) f x ¢ 的根轴图：（或当 (,0) x Î-¥ 时， ( ) 0 f x ¢ < ，当(0,) x Î+¥ 时， ( ) 0 f x ¢ > ），所以， ( ) f x 的减函数区间是(,0) -¥ ；增函数区间是(0,) +¥ ．（Ⅱ）（i ） 若 0 a > 时， ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- 由于 1 x e x ³+ ， ( ) 2(12) f x x ax a x ¢ ³-=- ，(12)0 a x -= ，得 0 x = ，（i ）若120 a -³ ，即 1 2a £ 时，当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ，而 (0)0 f = ，于是， 有 ( ) (0)0 f x f ³= ；（ii ） 若 12a > 时， 由于 0 x ¹ 时， 1 x e x >+ ， 可得 1 x e x - >- ，1 x e x - ->- ，所以， 22(1) xax a e - -<- ， ( ) 12(1)(1)(2) x x x x x f x e a e e e e a -- ¢ <-+-=-- ，当 (0,ln 2) x a Î 时， ( ) 0 f x ¢ < ，而 ( ) 00 f = ，于是存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) (0)0 f x f <= ，即 12 a > 时， ( ) 0 f x ³ 在[0,) +¥ 不恒成立，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．（Ⅱ）（另解：）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 2 1 x e x g x x -- = ，由（Ⅰ）知1 xe x ³+ （仅 0 x = 等号成立）， 所以 ( ) 2 (1) 0 x e x g x x -+ => ， ( ) 3(1)2(1) x x e x e x g x x---- ¢ = ， 即 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1)x x e x e x+-- = 因为 0 x > ，要 ( ) 0 g x ¢ > ，只需(1)2(1)0 x x e x e +--> ，现在设 ()(1)2(1) x x h x e x e =+-- ，即只需 ()22 x x h x xe e x =-++ 0 > （x 0 > ）， 又 (0)0 h = ，则只需 ()0 h x ¢ > （x 0 > ）， （1）当 1 x ³ 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ (1)(1)1 x x >+-+ （ 1 x e x ³+ ）当 1 x ³ 时 2 0x => 即 () h x ¢ 0 > （2）当 0<x<1 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ 此时，令 ()(1)1 x t x e x =-+ ，则 () x t x xe ¢ = >0，所以 ()(0)0 t x t >= ， 综上所述： () h x (0)0h >= 所以 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 0 > ， 则 ( ) g x 在区间(0,) +¥ 上是增函数，因此， 0 lim () x a g x ® £ 2 0 1 limx x e x x ® -- = 0 1 lim 2 x x e x ® - = 0 1lim 22x x e ® == ， 综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．解法：令 ( ) 12 x g x e ax =-- （ 0 x ³ ），则 ( ) 2 x g x e a ¢ =- ，由于 0 x ³ ，则 1 x e ³ ，则 12a £ 时， ( ) 0 g x ¢ ³ ，所以 ( ) g x 在(0,) +¥ 是增函数，即在[0,) +¥ 是增函数，所以 ( ) ( ) 00 g x g >= ，所以，当 12 a £ 时， [0,) x Î+¥ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ， ( ) ( ) 00 f x f ³= ；当 12a > 时，存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) 0 g x ¢ < ，则 ( ) g x 在[0,ln 2) a 是减函数，所以存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) ()00 f x f <= ，所以 12a > 时， 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ 不恒成立，综上所述实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．命制意图与评析：考查了用导数解决函数的单调性问题，不等式成立的充分必要条件，分 类讨论思想．从解题机理分析，实际上是在考查问题的充分性和必要性．但解答不是中学数 学教育中的通性通法，中学教师和考生对解答的接受有一定的难度．附：一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法海南华侨中学 李红庆（570206）2010年全国统一招生考试理科 （新课标） 数学试卷的第21题： 设函数 ( ) 21 x f x e x ax =--- ．（Ⅰ）若 0 a = ，求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围．这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（Ⅱ）问，命题者给出的答案 非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法， 该解法中学教师 和中学生接受都有点困难． 基于此， 本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一下看法．先看命题者给予的解答（记为方法 1）： 方法 1：（Ⅱ） ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- ，由于 1 x e x ³+ ， ( ) 2(12) f x x ax a x ¢ ³-=- ，（i ）若120 a -³ ，即 12 a £ 时，当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ，而 (0)0 f = ，于是，有 ( ) (0)0 f x f ³= ；（ii ）若 12a > 时，由于 0 x ¹ 时， 1 x e x >+ ，可得 1 x e x - >- ， 1 x e x - ->- ，所以，22(1) xax a e - -<- ， ( ) 12(1)(1)(2) x x x x x f x e a e e e e a -- ¢ <-+-=-- ，当 (0,ln 2) x a Î 时， ( ) 0 f x ¢ < ，而 ( ) 00 f = ，于是存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) (0)0 f x f <= ，即 12a > 时， ( ) 0 f x ³ 在[0,) +¥ 不恒成立，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．1、解题机理分析：从命题的逻辑关系来看，所谓的“若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围． ”实际上是 求“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充要条件，解答中对参量a 的分类讨论“ （i ）若 12a £时，任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ¢ ³ ，所以当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ” ，即“ 12a £ ”就是“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充分条件， 并非是必要条件， “ （ii ） 若 12a > 时，存在 (0,ln 2)x a Î 时， ( ) 0 f x < ， ”是求的“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的必要条件，即“若 x "Î[0,) +¥ ，( ) 0 f x ³ ，则 1 2 a £ ”等价于“若 12a > 时，则存在 [0,) x Î+¥ ， ( ) 0 f x < ” ．从同一解题思想方法出发， 还可以选择两次求导数的方法来求 “任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ” 的充要条件．方法 1：（Ⅱ） ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- ，令 ( ) ( ) g x f x ¢ = ，则 ( ) 2 x g x e a ¢ =- ，由于 0 x ³ 时，1 x e ³ ，若 12a £ 时， ( ) 0 g x ¢ ³ （等号仅当 0 x = 时成立），所以， ( ) g x 在[0,) +¥ 上单调递增，且 ( ) 00 g = ，因此，当 0 x ³ 时， ( ) ( ) 00 g x g ³= ，即 ( ) 0 f x ¢ ³ ，且 ( ) 00 f = ，所以， ( ) ( ) 00 f x f ³= ；由于 ( ) 0 g x ¢ ³ 只是“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充分条 件，同方法1 一样也要求“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的必要条件，以下同方法一． 方法 1、方法 2分别利用了若 0 x ³ ，则 1 x e x ³+ 1 ³ 的结论，事实上，对于 0 x ³ ，有更精确的结论是 2 11 2x e x x ³++ ，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充要条件． 2、本题的通性通法：方法 3（参变量分离法）： （Ⅱ）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 21 x e x g x x -- = ，令 21 ()1 2x K x e x x =--- ， ( ) 1 x K x e x ¢ =-- ，由于 1 x e x ³+ ， ( ) 0 K x ¢ ³ ，() K x 在(0,) +¥ 上是增函数，即在[0,) +¥ 上是增函数，且 (0)0 K = ， ()(0)0 K x K ³= ，即 2 1 1 2 xe x x ³++ ，而 ( ) 2 1 xe x g x x -- = 221 12 2xx >= ， 即 1 2 a £ ，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．方法 4（化归思想）：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 0 x ³ 时， 1 x e x ³+ ，令 ( ) 211 2x h x e x x =--- （ 0 x ³ ），则 ( ) 10 x h x e x ¢ =--³ ，则 ( ) h x 在区间[0,) +¥ 上是增函数，且 ( ) 00 h = ，所以， ( ) 2 1 1 2 x h x e x x =--- 0 ³ ，即 2 11 2x e x x ³++ ，所以， ( ) 2(1) x f x e x ax =-+- 222 11 (12) 22 x ax a x ³-=- ，由于 ( ) 0 f x ³ 在 0 x ³ 时恒成立，即 21 (12)02 a x -³ 恒成立，则120 a -³ ，解之 1 2a £ ，故实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．方法 3 和方法 4 都利用了 0 x ³ 时， 2 11 2x e x x ³++ 这个结论，事实上已经触及这个问题的底线，也就是泰勒（Taylor ）公式： 21 12 xe x x =+++… 1 !(1)!n n x x x e n n q + +++ ，01 q << ． 3、构造函数利用极限思想方法 5：（Ⅱ）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 21 x e x g x x -- = ，由（Ⅰ）知 1 xe x ³+ （仅 0 x = 等号成立），所以 ( ) 2 (1) 0 x e x g x x -+ => ， ( ) g x ¢ 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 因为 0 x > ，要 ( ) 0 g x ¢ > ，只需(1)2(1)0 x x e x e +--> ，现在设 ()(1)2(1) x x h x e x e =+-- ，即只需 ()22 x x h x xe e x =-++ 0 > （x 0 > ），又 (0)0 h = ，则只需 ()0 h x ¢ > （x 0 > ）， （1）当 1 x ³ 时，因为 ()21 x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1 x e x =-+ (1)(1)1 x x >+-+ 2 0 x => ， 即 () h x ¢ 0 > （2）当 0<x<1 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ 此时，令 ()(1)1 x t x e x =-+ ，则 () x t x xe ¢ = >0， 所以 ()(0)0 t x t >= ， 综上所述： () h x (0)0h >= 所以 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 0 > ， 则 ( ) g x 在区间(0,) +¥ 上是增函数，因此， 0 lim () x a g x ® £ 2 0 1 limx x e x x ® -- = 0 1 lim 2 x x e x ® - = 0 1lim 22x x e ® == ， 综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．选考试题命题走向分析：选修 41：几何证明选讲试题命题走向主要考查圆内接四边形、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相似三角形、弧与弦 的关系．试题分两问，难度不大，图形比较简单，可以考作辅助线，但必须很简单，08 年 图形过于复杂了， 考生心理产生恐惧， 几何证明选讲， 主要把教材例题与习题落实了就行了． 选修 44：坐标系与参数方程命题走向试题命题分坐标系与参数方程轮换进行，就坐标系而言，主要考查图形的伸缩变换，极 坐标系与直角坐标系的坐标和方程的互化，在极坐标系下的点与线，线与圆的位置关系；就 参数方程而言，主要考查参数方程与普通方程的互化，圆、椭圆、直线参数的几何意义，直 线的参数方程在直线与圆锥曲线的位置关系中，弦长、割线长的计算问题．今年应该考坐标 系．选修 45：不等式选讲试题命题走向这几年几乎都在考绝对值不等式问题，也可以考查基本不等式，辽宁省试题就开始考查 3 个正数的基本不等式，由于参与新课标试题的省份参加的增加，不等式选讲也可以考查比 较法、综合法和分析法等不等式方法，但柯西不等式，排序不等式，应用数学归纳法证明不 等式还不会进行试题的命题中．22．如图，已知图上的弧 » » AC BD = ，过点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ，证明：（Ⅰ） ACE BCD Ð=Ð ； （Ⅱ） 2 BC BE CD =´ ．（Ⅰ）证明：∵ » » AC BD = ，∴ ABC BCD Ð=Ð ，又∵ 点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ∴ ACE ABC Ð=Ð （弦切角等于对应圆周角） ∴ ACE BCD Ð=Ð ；（Ⅱ）∵ » » AC BD = ，∴ ABC BCD Ð=Ð ，又∵ 点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ∴ BCE CDB Ð=Ð （弦切角等于对应圆周角） ∴ △DCB ∽△CBE∴CD ：CB BC = ：BE ，∴ 2 BC BE CD =´ ．命制意图与评析：主要考查圆内接四边形、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相 似三角形、弧与弦的关系．试题相对于其他两选做题而言难度要小，由于考生对平面几何中 基本知识掌握的不好，得分情况应该与其他两道试题持平．23．已知直线 1 C ： 1cos sin x t y t a a =+ ì í = î （t 为参数），圆 2C ： cossin x y q q = ì í = î（q 为参数）， （Ⅰ）当 3pa =时，求 1 C 和 2 C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作 1 C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当a 变化时，求点P 轨 迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当 3 p a = 时，直线 1 C ： 1 1 23 2 x t y tì=+ ï ïíï = ï î （t 为参数），即为 3(1) y x =- ， 圆 2 C ： 221 x y += ，联立 22 3(1) 1y x x y ì =- ï í += ï î ，解之 1 0 x y = ì í = î 或 12 3 2 x y ì = ï ï í ï =- ï î ， 故 1 C 和 2C 的交点坐标是(1,0)和 13(,) 22- ； （Ⅱ）曲线 1 C 的普通方程为： sin cos sin 0 x y a a a --= ．点A 坐标为 2 (sin ,cos sin ) a a a - ，故当a 变化时，点P 轨迹的参数方程为2 1 sin 21 sin cos 2x y a a a ì = ï ï íï =- ï î （a 为参数） 点P 轨迹的普通方程为 22 11()416 x y -+= ，故点P 轨迹是圆心为 1(,0) 4 ，半径为 14的圆．（ （Ⅱ）（另解）设 (,) P x y ，则 (2,2) A x y ，由于 A 在直线 1 C 上，且OA ^ 直线 1 C ，则直线 1 C 的向量l = r(21,2) x y -， 所以，OP l = uuu r r g (21)20 x x y y -+= g ，即 22 11 ()416 x y -+= ，所以，点P 轨迹的参数方程是 11cos 441 sin 4x y q q ì =+ ï ï í ï = ï î （q 为参数），图形是圆． 命制意图与评析：考查圆和直线的参数方程及参数方程与 普通方程的互化知识，试题难度不大，但给予解答过于复 杂．试题与解答中有一个常识错误是“ P 点” ，应该是“点 P ” ．对于图形的表述是：名称+字母，如：三角形 ABC ．不 能写成：字母+名称：ABC 三角形．24．设函数 ( ) |24|1 f x x =-+ ． （Ⅰ）画出函数 ( ) y f x = 的图像；（Ⅱ）若不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，求a 的取值范围．解：（Ⅰ） ( ) 25(2) 23(2) x x f x x x -+< ì = í -³ î，当 0 x = 时， 5 y = ；当 2 x = 时， 1 y = ；当 4 x = ， 5 y = ，函数 ( ) y f x = 的图像是： （Ⅱ）（i ）若 0 a = 时，由于 ( ) 1 f x ³ ，显然( ) f x ax £ 解集是空集；（ii ）若 0 a > 时，由于不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，所以， 101202a - ³= - ； （iii ）若 0 a < 时， 2 a <- ；综上所述：a 的取值范围是 1 (,2)[,) 2-¥-+¥ U ．（Ⅱ）另解：令 ()() g x f x ax =- (2)5(2) (2)3(2) a x x a x x -++< ì= í --³ î ，不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，则2 (2)50 x a x < ì í -++< î 有解，或 2 (2)30 x a x ³ ì í--£ î有解，解之 2 a <- 或 1 2 a ³ ． 命制意图与评析：考查绝对值三角不等式，含绝对值的函数化为分段函数的化归思想， 含参量的处理方法及数形结合思想．试题比较常规，中学模拟考试中见较多，应该说难度不 大，但由于前面试题花的时间太多，后面没有太多时间思考，解答并不理想．。
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
2010年全国高考数学(山东卷)试卷分析
2010年山东省高考数学试卷分析
2010年全国高考数学（山东卷）
试卷分析
一、试卷综述
2010年的高考是我省实施新课程改革后的第四次自主命题考试.今年的高考试题是新课程改革的又一次真正的检验，是新课程改革的主要指向标，对今后新课程改革和中学数学教学均具有较强的指导作用.
命题严格遵守《2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》（以下简称《大纲》）和《2010年普通高等学校招生全国统一考试（课程标准实验版）山东卷考试说明》（以下简称《说明》），遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则．命题根据山东省高中教学的实际情况，不拘泥于某一版本，重点考查高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，加强了对数学的应用的考查，体现了新课程改革的理念.试卷在考查基础知识、基本能力的基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查.
从表1不难发现，2010年的考试内容体现了新课标的要求.对新课标增设内容如算法与框图、方差、正态分布、统计、概率和分布列、常用逻辑用语，绝对值不等式以及文科的复
数学试卷分析第1页（共26页）
试卷的知识覆盖面广，题目数量、难度安排适宜，题设立意新颖，文、理科试卷区别恰当，两份试卷难、中、易的比例分配恰当.试卷具有很高的信度、效度和区分度.达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标.命题稳中有变，稳中有新，继续保持了我省高考自主命题的风格，具有浓郁的山东特色.二试卷特点
1试卷的整体结构和知识框架
2010年山东高考数学试卷全面考查了《考试说明》中要求的内容，在全面考查的前提下，突出考查了高中数学的主干知识如函数、三角函数、不等式、空间几何体、圆锥曲线、概率统计、导数及应用等主要内容，试卷兼顾了新课改新增加的内容如正态分布，方差，定积分等，尤其是两份试卷的解答题，涉及内容均是高中数学的主干知识，试卷加强了对数学应用意识的考查，结合中学的主干知识，考查了和函数以及概率统计相关的应用题，突出体现了新课程改革的理念，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.2全面体现新课程改革的要求
2010年数学试题难度评析
2010年高考各省数学试题难度评析赵从朴：主持人好，各位网友大家好，我是赵从朴。
孟祥飞：主持人好，各位腾讯网友大家好，我是孟祥飞。
主持人：非常欢迎两位老师来到我们的直播间，因为交通的原因，可能来了有一点晚，让各位网友也是等的非常着急。
咱们直接进入正题，刚才跟两位老师聊天的时候，也听说了在数学考试五点钟一结束，就有同学找你们反馈他们在考场中的情况。
据您了解的情况，学生对今天数学考试有什么样的感受？孟祥飞：全国卷出来了，我大概看了一下，整体感觉全国卷这个试卷出的还是很好的，考察都是主干知识，没有一些偏题，比较怪的知识。
区分度还是比较大的，我们说什么样的试卷叫好的试卷，有梯度，有些同学程度特别好的可能全都做出来，如果程度不是很好的学生，可能什么都不会做，能做出一问或者几个关键步骤，所以整体试卷考察的是主干知识，入口相对比较宽，很多同学都可以顺利地进入这个题目，但是想出来还是感觉有一点困难，因为这个题目收尾的时候或者某些障碍设置上比较巧妙，可能还是侧重考察这个数学思维。
感觉整个试卷还是比较好，难度相对比较适中，有区分度，入口比较宽，还是比较适合做高考试题的。
主持人：看来两位老师对于北京卷和全国一卷都是比较认可的，刚才说了感觉这个试卷比较适中而且有区分度，您觉得这个区分度多大程度的体现学生的水平。
主持人：您的学生跟您有一些反馈，就您现在了解的情况，他们是说卷子难的多，还是说简单的多？全国卷难度相对适中主持人。
现在我看到很多网友都已经很迫不及待，期待孟老师出场，讲一讲全国一卷的整体情况。
孟祥飞：全国一卷，今年应该是最后一年的大纲了，这个题出的我感觉首先挺好的，但很保守，跟09年相比的话我感觉题目基本上主干内容，包括解析题考的方向基本没有任何变化。
这个卷已经拿到了，我给各位网友举几个例子，比如说三角函数这个题，09年考察的是在三角形中考察这个三角函数，通常考也是正选定理，入手都会很简单，给了A边、B边，这边是A边、B边，考生应该很容易做出第一个变形，把所有都替代成3A、3B，这个考察其实在09年中考察了同样的道理。
2010年高考数学浙江卷理科全解析-推荐下载
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
a5
0 ，则
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
π
解析：因为 0＜x＜ ，所以 sinx＜1，故 xsin2x＜xsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相
2
同，可知答案选 B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思 想和处理不等关系的能力，属中档题
（D） Q P
CR
（B）k＞5?
（D）k＞7?
解析：解析：通过 8a2 a5 0 ，设公比为 q ，将该式转化为 8a2 a2q3 0 ，解得 q =-
2，带入所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，属中档题
（4）设 0＜x＜ ，则“ x sin2 x＜1”是“ x sin x＜1”的 2
1(a＞0＞,b
在点 P ，满足 PF2 F1F2 ，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的
渐近线方程为
（A） 3x 4 y 0 （B） 3x 5y 0 （C） 4x 3y 0 （D） 5x 4 y 0
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系， 可知答案选 C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用 知识能力的考察，属中档题
（9）设函数 f (x) 4 sin(2x 1) x ，则在下列区间中函数 f (x) 不存在零点的是
（A）4, 2
（B）2, 0 （C）0, 2 （D）2, 4
解析：将 f x的零点转化为函数 gx 4sin2x 1与hx x 的交点，数形结合可知答
2010年高中数学联赛平面几何试题的朔源分析
故 DMN ∽ DCB ，于是 DMN DCB ，所以 BC / /MN ，故 OK BC ， 即 K 为 BC 的中点，矛盾！从而 A、B、D、C 四点共圆．
L
一、试题分析：从本题的设置及解答可以看出，此题所综合的知识点较多， 所考查的主要内容有：
A
M1 M H B
图2
1．等差幂线定理[２]： 如图 2 所示：若直线 L 垂直线段 AB 于 H， M 1 与 M 为 L 上的两点，则 M1 A2 MA2 M1B2 MB2 反之，若上式成立，则 MM1 所在的直线 L AB ．可以看出在证明 OK PQ 的 时候用了等差幂线定理，使得证明显得轻松而又自然。 2．圆幂定理： 如图3所示: PK 2 =P 的幂（关于⊙O）+K的幂（关于⊙O）
O A
求证 AGB CGD ． 证明：根据布勃卡定理可得， OP EF ． 延长 AC 交 EF 于 Q， 则在完全四边形 ABECFD 中， P、 Q 调和分割 AC， 图
5
E
B
P C
K D
G
从而 GA、GC、GP、GD 为调和线束，而 GP GQ ，于是 GP 平分 AGC ，即
AGP CGP ．
Q F
பைடு நூலகம்
延长 DB 交 EF 于 L（或无穷远点 L） ，则知 L、P 调和分割 BD，同样可得 BGP DGP 故 AGB CGD ． 从以上的分析中，我们若能以更高的观点去分析，探求试题的本源和背景，抓住试题的本质特征，这就能给 试题的解题思路提供了一个明确的目标． 同样我们从本题出发，对本题进行相应的改造和变通，我们也可以得 到新的问题。 三、问题的变式和延伸： 变式１[２]:设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分别交于 E、 F 两点， 两对角线的交点为 P， 过点 P 作OP EF 于
2010年高考数学全国_卷分析及高三数学备考建议
研究近几年的高考试题，掌握高考命题的趋势和方向，设计整体的复习计划，运用高效的复习策略是我们每位高三教师必备的工作和要求。
笔者作为教研员也想通过自己对试卷的感知和对教学的理解谈一下自己对2010年全国Ⅰ卷数学试卷和高三复习的想法。
2010年高考数学试卷（全国Ⅰ卷）延续了全国卷多年的命题风格，题型结构、分值没有太大的变化。
试卷遵循《考试大纲》的指导思想：在对数学基础知识、基本技能考查的同时突出了重点和主干知识；从学科的整体高度和思维价值的角度设计试题，注重了学科的内在联系和知识的综合性；试题朴实无华，没有偏题怪题，注重了对常规思想方法、理性思维的考查。
在平稳中有创新，有利于选拔人才，又兼顾了对中学数学教学的导向作用。
当然它的特点也非常明显。
一、由浅入深，突出重点从试卷的设计结构而言，由易到难，逐渐深入，突出主干，遵循了科学性、公平性、规范性的原则，彰显了时代精神。
比如选择题的前七题，填空题的前三道题，属于基础题，比较容易得分，稳定了考生的情绪，使其能迅速地进入考试状态。
以理科为例，理数解答题第17题仍为三角函数问题，18题概率统计，19题立体几何，20题导数问题，第21题解析几何和平面向量结合，第22题数列、不等式的综合问题。
二、注重对思想方法和思维能力的考查对数学思想方法的考查几乎贯穿于整个试卷，尤其是对化归与转化思想的考查，理科第1题的分母的实数化，第2题的切化弦，13题的去根式，20题和22题整个解题过程均渗透着转化的思想。
另外数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、运动与变换思想均在试题中得到了很好地考查，不再赘述。
由上可知试卷的每道试题均是一个能力的考查点，对学生运算能力、空间想像能力、推理论证能力，抽象概括能力、分析问题和解决问题的能力以及创新能力进行了很好地考查。
比如选择题的11题、12题，填空题16题，理科22题，都考查了学生思维能力的综合性水平和学习潜能，为高水平学生展示数学能力提供了机会，体现了高考的选拔功能。
2010年高考试题分析
08年 23. _____ was most important to her, she told me, was her family. A. It B. This C. What D. As
非谓语动词
010年 23. I have a lot of readings ___before the end of this term. A. completing B. to complete C. completed D. being completed 29. The living room is clean and tidy, with a dining table already ___for a meal to be cooked. A. laid B. laying C. to lay D. being laid
时态和语态
010年 30. Up to now, the program ______ thousands of children who would otherwise have died. A. would save B. saves C. had saved D. has saved
09年 25.The number of foreign students attending Chinese universities ______rising steadily since 1997. A. is B. are C. has been D. have been 34. I was out of town at the time, so I don’t know exactly how it________. A. was happening B. happened C. happens D. has happened
2010数学试卷评价报告
2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试卷评价报告2010年是湖南省实施新课程高考的第一年，湖南高考数学试卷保持了几年来自主命题所形成的湖南卷的特色。
试卷在整体上紧扣考纲，紧密结合教材，体现了新课程的思想和理念，深化能力立意，积极改革创新。
试卷做到了总体保持稳定，题型清新，难度适中，在着重考查主干基础知识的同时突出了对数学思想方法、数学能力、数学应用和创新意识的考查，从而从多个角度考查了考生的数学素养，充分发挥了数学作为基础学科在选拔人才中的重要作用，并将为湖南进一步实施新课改提供很好的导向。
1．试题评价1.1 题型稳中有变突出对新增知识的全面考查2010年的文、理试卷都保持了湖南卷一贯的考查风格，考查基础知识在平淡中见深刻，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。
在题型的分值分布中沿用同一思想，以下是近四年题型、题量和分值分布(见表 1.1)和主要考查内容所占分值统计情况(见表1.2)。
2010年数学高考试题的一大特点是对课标新增内容的全面考查，比如试题对算法与框图、三视图、几何概型、定积分、推理证明以及选修系列四的几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程、优选法与实验设计初步等内容进行了考查。
通过新增试题充分考查学生的思维品质和数学素养，强调考查学生的应用意识，同时启示中学数学新课程改革需注重培养学生应用数学知识解决各种数学内外问题的意识，使学生加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学知识和方法解决一些实际问题。
1.2 充分考虑文、理科考生的差异实现文、理不同题文科、理科考生在数学思维方面的水平有整体性的差异，对数学学习的层次要求也有很多的不同。
2010年的试题仍然很好的把握了这种差异性，在考查主干知识大致相同的情况下，在考查方式、考查能力层次方面进行了很好的区分。
文理全卷仅13题及理科第6题与文科第7题(占10分)完全一致，相似而难易程度不同的题有文理科的11题、文科的第3题与理科的第4题、文科的第5题与理科的第14题、文科的第10题与理科的第9题、文科的第16题与理科的第16题、文科的第18题与理科的第18题、文科的第19题与理科的第19题，其他题则完全不同。
2010年高考数学试题全国Ⅱ卷分析(超详细)
2010年高考数学试题分析暨 2011届高三数学复习建议一．选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈ 【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3， 故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++===（5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3， 故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.2010年高考大纲数学中“考试要求”规定：数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种， 故选B.均分 1.74 得分率 0.35 四（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位 【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若b CA a CB ==, 1a =，2b =，则= （A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查（角平分线定理）平面几何知识. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=， 所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==-， 所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+， 故选B.或：A B，三点一线得、、则由设1,=++=n m B D A b n a m CD 为菱形构造的平行四边形而CFDE ,ACD BCD ∠=∠31,3212===+==n m n m n m 得，结合即所以， .3132+=故，（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =（A ）1 （B ）（C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察锥体的体积，考察高次函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时， 故选C.均分1.73 得分率 0.35 三（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】 332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =. 故选A.均分2.11 难度 0.42（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个【答案】D对空间想象与推理的考查力度比较大；均分0.86 得分率0.17选择题中难度最大的一个仔细品味：有直观感知（点B、D它们的中点）、合情推理（直线BD上的任意点）的味。
卷面显稳定 题内含变化——评析2010年浙江省普通高等学校招生考试数学试卷
形式（ 条件 、 结论 或表 述形式 ）以降低 难度 ． 计 两 ， 统
卷， 只有 ３ 道题完全相 同（ 如表 １ ． ）
建立模 型 ， 化问题 ， 转 而不 是分类讨 论 ， 如第 ｌ ； ７题
４ 基础 起 步未变 ． ． 试卷 仍是 基础 题起 步 ， 图 力 为学生提供一个 良好 的开端 ，安 排 的题量不 少 ， 但
等， 这类 题看似 熟悉 、 易解 ， 实际 不是 ， 能等 同新 识方法与学生原有 的认知基础之间的距离． 是 试题拉
颖 题 的 公 平试 题 ．
大距离的方法主要有 以下两种 ： （） １ 综合知识与方 法． 如理科第 ３ （ 题 文科第 ６ 题） ０ ＜ ． ， ＇ ｉ２ ” ＇ ｉ ” 设 则‘ｓ ｘ 是‘ｓ ｘ ｎ ＜ｌ ｘ ｍ＜ｌ的什么条
－３ ．
图 １
分类 与讨论思想 ． 以运用这 类思想解决 的有 可
第 １ ，４ １ ，２题 等． 多 ， ０ １ ，９ ２ 量不 但有 灵活 性． 理科 如
１ （ 空 ） ８选 择 ） ２填 （
０ 当 可按类 否定 ， 但对其他类时 ， 后 移相 同题 ，或更 改试题 第 １ 题 ， 一 时 ，
能有效地考查 学生 的数学能力． 今年的创新 试题 ， 有 仅跳 出“ 摸球” 模式， 而且产生“ 新而不难” 的效果． 题 ｌ ，４ １ 和题 ２ ， Ｏ １ ，７ ２ 除这些题外 ， 年试卷 中出现 今 ２ 难度变化． ． 今年数学高考给人难度有增加 的
了看似常见 ， 但未落俗套的试 题．如理科题 ８ ９ １ 感觉 ， 主要是 因为部分试题拉大 了解题 所需的知 ， ，６ 这
有 些题具 有新意． 试题呈梯度安排 ， 看似平缓 ， 但易
2010年高考数学全国一卷试卷分析
2010年高考数学全国一卷试卷分析一、试卷分析2010年高考数学试卷基本符合《考试大纲》的各项要求，结构稳定，试题排列由易到难，在多角度、多层次考查数学基础知识的基础上,注重了对数学思想和方法及数学能力的考查,尤其是思维能力和运算能力的考查。
1、试题立足基础，突出主干知识,注重通性通法初看试卷，给人的感觉是首先是在题型、题量及分值上同往年一样，没有变化,无论文理全卷都是22道题,其中选择题12道,每题5分,共60分,填空题4道,每道5分,共20分,解答题6道,共70分；其次题的面貌好像也似曾相识，没有出现乍一看就很陌生或很新颖的题目。
理科选择题以复数的除法运算开篇,文科选择题以求特殊角的三角函数值开篇，都较易上手。
六道大题的编排依次为理科：17三角、18概率、19立体几何、20函数与导数、21解析几何、22数列与不等式，文科：17数列、18三角、19概率、20立体几何、21函数与导数、22解析几何，考查的都是高中数学学科知识体系的主干内容，文理科共有1 4道完全相同题目，其中选择题有8道，填空题有1道，解答题有5道，故今年考题对文科考生来说，整体难度仍要高于理科。
考题对函数、不等式、解析几何、立体几何、三角函数、数列等重点内容以及线性规划、概率、向量、导数的应用等热点问题都予以了重点考查。
高考重视的是具有普遍意义的方法和相关知识，例如解析几何中有关直线与圆锥曲线的问题，基本解法是将直线方程代入圆锥曲线方程，整理出一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、韦达定理、两点间距离公式等解题，理科21题（文22）就考查了解析几何的这种基本方法,理18（文19）概率题贴近生活，背景简单，试题切合我国中学数学的实际，难度符合考生的水平。
2、以能力立意，强调基本数学思想和方法数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确定以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养。
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2010年剑桥O水准高数试卷分析
2010年新加坡的剑桥O水准考试已经结束，总体来说试卷题目跟往年接近。
高数试卷2场考试，总计23题。
第一场考试，2小时
第一题，一元三次方程的题目，进行因式分解。
难度一般；
第二题，证明三角恒等式，最简单的使用公式。
利用恒等式求定积分，定积分是国内有的学生没有学习过的。
不过题目很简单，还可以使用高级图形计算器计算。
第三题，一元二次不等式的求解。
很简单的题目，6分；
第四题，画三角函数的图像。
利用导数求某点的斜率。
考试三角函数的求导；
第五题，画出一元二次绝对值函数的图像。
基本题目；
第六题，指数求导与应用，6分。
属于常规考题；
第七题，给出一组曲线，求线性化的过程。
国内的学生没有学过，属于麻烦，但是难度不大的题目。
经过一般10个题目的训练，就可以做好。
解决这个题目的基础知识是初中的知识。
7分；
第八题，导数的题目。
中等难度，7分；
第九题，简单的韦达定理的题目。
7分，学生基本都可以做对；
第十题，利用和差化积公式，求75度的三角函数值（tan,sec）。
7分；
第十一题，利用导数求曲线的极小值和极大值。
8分；
第十二题，简单的解析几何的题目。
园与坐标轴相交，求交点的距离。
给出一个表达式，求标准的园的方程（园心的坐标，半径的长度），10分。
算是本场考试最难的题目；
总体，第一场没有任何难度，都是基本的题目。
从考试的情况，学生答题也比较顺利。
没有遇到大的障碍。
国内的学生，普遍觉得过来参加考试的题目不难，但是有的没有学过。
知识面比较宽；
第一场考试，2个半小时
第一题，求解三角方程的题目，5分，难度一般；
第二题，相似三角形的题目。
涉及导数求极值的知识，标准的应用题目。
难度中等，6分；
第三题，简单的指数方程，对数方程。
送分题，8分；
第四题，二项式展开，公式给定，求展开的系数。
主要是熟悉公式的使用，8分；
第五题，解析几何的题目，8分。
常规题目；
第六题，平面几何证明题目，10分。
简单的圆与弦的证明题目；
第七题，曲线与直线围成的面积，标准积分题目，11分。
第八题，导数的应用题目。
位移，速度，加速度的题目，7分；
第九题，解析几何。
送分题，11分；
第十题，求导与积分，11分，中等难度；
第十一题，三角函数曲线，11分。
总体，第二场比第一场难一点点。
两场考试没有任何偏题，怪题。
注重基础知识。
二场
总计180分，考到75%就是满分。
由于考试可以使用计算器，对于国内的学生还是很容易适应考试的。
对于考试，导数部分，三角函数和解析几何是考试的核心。
这几部分的几乎就占了总考卷的65%，而这几部分考的题型全，注重基础知识，需要学生基本概念清楚。
从考试的命题看，紧扣大纲，没有生题，基本都是学生平时训练的题目。
基础题目占到75%，仅有25%有一点难度。