4.3 两角和与差的三角函数--随堂巩固

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4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

αsin αsin
γγ＝1t－antαan＋αttaannγγ.
时作业
报
所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，
告
二
即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.
第4章第3节
第20页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
告
二
∴ sin αcos β＋cos αsin β＝－12，
∴ sin(α＋β)＝－12.
第4章第3节
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
Ⅱ.两角和与差公式的逆用
一
3．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为
课时
作
________．
业
报
告二
[答案] 1
所以β＝90°－(α＋γ)，
第4章第3节
第19页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报告一
故tan β＝tan[90°－(α＋γ)]＝csoins[[9900°°－－αα＋＋γγ]]＝csoinsαα＋＋γγ＝
课
cos αcos γ－sin sin αcos γ＋cos
二
β)．
第4章第3节
第29页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
三角形中的常见变形
报告一
报告二
课时作业
第4章第3节
第30页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报告
Ⅲ.辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)的应用

(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.3

讲案4.3两角和与差的三角函数课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝________________________.(2)cos(α＋β)＝________________________.(3)tan(α＋β)＝________________________.(4)a sin x＋b cos x＝__________________.2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝____________________.(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝____________________.(3)tanα－tanβ1＋tanα tanβ＝________________________.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝____________________.(2)cos2α＝________________＝________________＝________________.(3)tan2α＝____________________.4．常用公式的变形(1)cos 2α＝____________，sin 2α＝______________.(2)1＋tan α1－tan α＝__________，1－tan α1＋tan α＝__________.(3)(1＋tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________________.(4)1＋cos α＋sin α化成积的形式为________________．(5)1－cos α＋sin α化成积的形式为________________．导读校对：1.(1)sin αcos β＋cos αsin β(2)cos αcos β－sin αsin β (3)tan α＋tan β1－tan αtan β(4)a 2＋b 2sin(x ＋φ) 2.(1)sin(α－β)(2)cos(α－β) (3)tan(α－β)3.(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α (3)2tan α1－tan 2α4.(1)1＋cos2α2 1－cos2α2 (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α (3)2 (4)2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2 (5)2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2. 基础热身1.sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin17°(－sin43°)＋cos17°sin47° ＝sin17°(－cos47°)＋cos17°sin47°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7解析：∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝－34，于是tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝1－341＋34＝17. 答案：A3．在△ABC 中，下列结论正确的个数是( )①A >B ⇔cos A <cos B ；②A >B ⇔sin A >sin B ；③A >B ⇔cos2A <cos2BA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于①，y ＝cos x 在(0，π)上为减函数，则A >B ⇔cos A <cos B ，①正确；对于②，在△ABC 内，A >B ⇔a >b .又a sin A＝b sin B ，∴sin A >sin B .则②正确；对于③，根据②，A >B ⇔sin A >sin B ⇔sin 2A >sin 2B⇔1－2sin 2A <1－2sin 2B ⇔cos2A <cos2B ，则③正确；综上所述，结论正确的个数是3个．答案：D4．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解法一：由已知sin α＝2sin α2cos α2＝－2425＜0，cos α＝1－2sin 2α2＝725＞0，∴α为第四象限角．解法二：α2位于第二象限，在如图所示的区域内．由α所在象限对应α2处位置知，α为第四象限角．答案：D5．若α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos α的值是( ) A.26＋16 B.26－16C.23＋14D.23－13解析：∵α为锐角，∴－π6＜α－π6＜π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴0＜α－π6＜π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223.cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝223×32－13×12＝26－16. 答案：B思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.本节特点是公式多，应用灵活多变，要求理清公式的来龙去脉，把握公式的结构特征．这样才能准确地运用公式，用时要注意公式的逆用、变形使用．2．公式S α±β，C α±β具有一般性，即α、β为任意角，公式T α＋β也具有一般性，但应明确：公式T α＋β在α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，α±β≠k π＋π2，k ∈Z 时成立，否则不成立．当tan α，tan β或tan(α±β)不存在时，T α＋β不可用，可改用诱导公式或其他方法．3．转化的思想是实施三角变换的主导思想，变换主要包括：函数名称变换、角的变换、1的变换、积的变换和升降幂变换等.互动探究题型1利用公式化简三角式例1化简(1＋sinθ＋cosθ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cosθ(0＜θ＜π)．【解析】原式＝(2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2)(sinθ2－cosθ2)4cos2θ2＝cosθ2(sin2θ2－cos2θ2)|cosθ2|＝－cosθ2cosθ|cosθ2|因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cosθ.题型2利用公式求解给角求值问题例2化简sin(60°＋θ)＋cos120°sinθcosθ的结果为________．【解析】本题的解题思路是利用三角公式进行化简变形．由sin(60°＋θ)＋cos120°sinθcosθ＝sinθcos60°＋cosθsin60°＋cos120°sinθcosθ＝cosθsin60°cosθ＝32.【答案】3 2题型3利用公式求解给值求值问题已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．【解析】 ∵π2＜β＜α＜3π4，∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45， ∴sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.题型4三角公式的综合运用例4已知cos(α＋π4)＝35，(π2≤α<3π2)，求cos(2α＋π4)的值．【解法一】 ∵3π4≤α＋π4<7π4，cos(α＋π4)＝35>0，∴3π2<α＋π4<7π4，sin(α＋π4)＝－ 1－cos 2(α＋π4)＝－45. ∵sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)，cos(α＋π4)＝22(cos α－sin α)，∴sin α＋cos α＝－425，cos α－sin α＝325. 因此cos2α＝(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－2425. sin2α＝2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝3225－1＝725.从而得cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4＝22(cos2α－sin2α)＝－31250.【解法二】同解法一得sin(α＋π4)＝－ 1－cos 2(α＋π4)＝－45. ∴cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4) ＝2×(－45)×35＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725. 从而得cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4＝22(cos2α－sin2α)＝－31250.错解辨析例5若sinα＝55，sinβ＝1010且α、β为锐角，求α＋β的值．【错解】∵α为锐角，∴cosα＝1－sin2α＝25 5又β为锐角，∴cosβ＝1－sin2β＝31010，且sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝22.由于0＜α＜90°，0＜β＜90°，∴0＜α＋β＜180°.故α＋β＝45°或135°.【错因】上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°＜α＋β＜180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sinα＝55＜12，sinβ＝1010＜12，使得0°＜α＋β＜60°，故上述结论是错误的．【正解】∵α、β为锐角，sinα＝55，sinβ＝1010，∴cosα＝255，cosβ＝31010，且cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22.又∵0°＜α＋β＜60°，∴α＋β＝45°.。

两角和与差的三角函数同步习题高中数学新苏教版必修第二册(2022年)

10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-，联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论．【详解】函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象，故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈，所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确，故选：CD.【点睛】本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+，由62x k ωππ+=π+，k Z ∈，因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈，由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈，因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35，将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=，（2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=，所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】（1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。

两角和与差的三角函数公式知识点

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。

在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。

本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。

一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。

高考大一轮总复习4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式考纲展示►1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．考点1三角函数公式的基本应用1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________；cos(α∓β)＝________________；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.答案：sin αcos β±cos αsin βcos αcos β±sin αsin β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝________________；cos 2α＝______________＝______________＝______________；tan 2α＝2tan α1－tan2α.答案：2sin αcos αcos2α－sin2α2cos2α－1 1－2sin2α(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________.答案：12(2)[教材习题改编]已知cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin⎝⎛⎭⎫α＋π3的值是________．答案：4－3310解析：因为cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝45，所以sin⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcosπ3＋cos αsinπ3＝45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－3310.公式使用中的误区：角的范围；公式的结构．(1)若函数f(α)＝tan α＋21－2tan α，则α满足2tan α≠1，且α≠________.答案：kπ＋π2(k∈Z)解析：要使函数f(α)＝tan α＋21－2tan α有意义，则1－2tan α≠0，tan α有意义，所以2tan α≠1，则α≠kπ＋π2(k∈Z)．(2)化简：12sin x－32cos x＝________.答案：sin⎝⎛⎭⎫x－π3解析：12sin x－32cos x＝cosπ3sin x－sinπ3cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x－π3.[典题1](1)[2017·江西新余三校联考]已知cos⎝⎛⎭⎫π3－2x＝－78，则sin⎝⎛⎭⎫x＋π3的值为()A.14B.78 C ．±14 D ．±78 [答案] C[解析] 因为cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12×⎝⎛⎭⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为±14，故选C. (2)已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． [答案]5－12326[解析] 由cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2得 sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12 ＝5－12326. (3)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． [答案]3[解析] ∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. [点石成金]三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点2 三角函数公式的逆用与变形应用公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(________)；(2)________＝1＋cos 2α2，________＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(________)2,1－sin 2α＝(________)2，________＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.答案：(1)1∓tan αtan β (2)cos 2α sin 2α (3)sin α＋cosα sin α－cos α sin α±cos α(1)[教材习题改编]计算：sin 43°cos 13°－sin 13°cos 43°＝________. 答案：12解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.(2)[教材习题改编]已知sin θ＝35，θ为第二象限角，则sin 2θ的值为________．答案：－2425解析：∵sin θ＝35，θ为第二象限角，∴cos θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425.辅助角公式．(1)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最大值为________．答案： 2解析：sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π4＋cos x sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 2. (2)一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝________⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝________⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a b . 答案：a 2＋b 2sin(α＋φ)a 2＋b 2cos(α－φ)解析：一般地，函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab.[典题2] (1)[2017·贵州贵阳监测]已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C.45 D ．－45 [答案] D[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝45. 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝－45.(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B.22C.12 D ．－12[答案] B[解析] 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(3)[2017·陕西西安模拟]计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°·⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°＝________. [答案]32 [解析] 原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32. [点石成金] 三角函数公式活用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(3)注意切化弦思想的运用.1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79答案：D解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 2．化简：(1＋sin α＋cos α)·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0＜α＜π)＝________.答案：cos α 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α24cos2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cos α2＞0，所以原式＝cos α.考点3 角的变换角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－________)； α＝(α＋________)－β；β＝α＋β2________α－β2； α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2________⎝⎛⎭⎫α2＋β.[典题3] 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． [解] (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴－π2<α－β<π2.又tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β <0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010 ＝91050. [题点发散1] 在本例条件下，求sin(α－2β)的值．解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin [(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β ＝－2425.[题点发散2] 若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan []α＋(α－β) ＝ tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝35－131＋35×13＝29.[点石成金] 利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0<β <π2<α<π，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，cos ⎝⎛⎭⎫2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫2－β＝53， ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527，则由二倍角公式，可得cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案：D解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．[2016·四川卷]cos 2π8－sin 2π8＝________.答案：22解析：由二倍角公式，得 cos 2 π8－sin 2 π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＝22. 3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________．答案：62解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 15°＋22cos 15°＝2sin 60°＝2×32＝62. 4．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案：3解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.课外拓展阅读三角恒等变换的综合问题1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．[典例1] [改编题]已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a (其中ω>0，α∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值． [解] (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋a ，由题意，知2ω＋π4＝π2，得ω＝π8.所以最小正周期T ＝2πω＝16.(2)f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4＋a ，因为x ∈[6,16]，所以π8x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π，9π4.由图象可知(图略)，当π8x ＋π4＝9π4，即当x ＝16时， f (x )的最大值，由22sin9π4＋a ＝4，得a ＝2. 2．三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解． [典例2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． [解] (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意，得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25，因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4. 3．三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．[典例3] 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，是共线向量．(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值． [思路分析] (1)向量共线→三角函数式――→化简得sin 2A 的值→得锐角A(2)化函数为A sin (ωx ＋φ) ＋b 的形式→根据B 的范围求最值[解] (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝⎛⎭⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝32sin 2B －12cos 2B ＋1 ＝sin ⎝⎛⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，解得B ＝π3，y max ＝2.课时跟踪检测(二十) [高考基础题型得分练]1．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：D解析：原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23C ．－12D ．1 答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 3．[2017·河南六市联考]设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案：D解析：由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b .4．[2017·安徽师大附中学高三上学期期中]设当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( )A ．－55B ．55 C ．－255D ．255答案：C解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －α)，其中sin α＝255，cos α＝55，因为当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，所以sin(θ－α)＝1，即sin θ－2cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，联立方程组可得cos θ＝－255，故选C.5．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23答案：D解析：依题意，得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2 ＝12(1＋sin 2α)＝23. 6．[2017·广西柳州、北海、钦州三市模拟]若sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－cos 2α，则sin 2α的值可以为( )A ．－12或1B ．12C ．34D ．－34答案：A解析：解法一：由已知得22(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2α，∴sin α＋cos α＝22或sin α－cos α＝0，解得sin 2α＝－12或1.解法二：由已知得sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π2 ＝2sin ⎝⎛⎫α－π4cos ⎝⎛⎫α－π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12或sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝0，则sin 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝2×14－1＝－12或sin 2α＝1. 7．[2017·四川成都一诊]若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4答案：A解析：因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. 8．计算2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.答案： 3解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.9．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．答案：17250解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 10．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．答案：12解析：解法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.11．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．答案：13解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β ＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.[冲刺名校能力提升练]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C ．35D ．－35答案：C解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得， sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得，cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，② 由①②可得，cos α＋sin α＝－15，③由①③可得，sin α＝35.2．[2017·江西九校联考]已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4＜βB ．β<π4<αC ．π4<α<βD ．π4<β<α答案：B解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.3．[2017·河北衡水中学二调]3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案：D解析：3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin (10°－30°)12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4.4.[2017·山东菏泽二模]已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.答案：－3π4解析：因为tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13<1，所以0<α<π4.又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34<1，所以0<2α<π4，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1.因为0<β<π，所以－π<2α－β<π4，所以2α－β＝－3π4.5．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314⎝⎛⎭⎫0<β<α<π2. (1)求tan 2α的值； (2)求β的值．解：(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.6．[2017·安徽合肥质检]已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

【精编】2020年高考数学一轮复习对点提分专题4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (文理科通用)(学

第四篇三角函数与解三角形专题4.03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考试要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 【微点提醒】1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )【教材衍化】2.(必修4P127T2改编)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.－210B.210 C.－7210D.72103.(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.【真题体验】4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－895.(2019·青岛一模)已知角α是终边经过点P (sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝( ) A.12 B.32 C.－12D.－326.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.【考点聚焦】考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【规律方法】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.考点二三角函数式的求值角度1 给角(值)求值【例2－1】 (1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角【例2－2】 (1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.【规律方法】 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好. 【训练2】 (1)(2019·天津河西区模拟)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A.1B.2C.－1D.－2(2)已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________.(3)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3·sin 2θ，则sin 2θ＝( ) A.13 B.23C.－23D.－13考点三三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·杭州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的最值.【规律方法】 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.【反思与感悟】1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 【易错防范】1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的. 3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——缩小角的范围常用策略在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围.如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目.但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围.类型1 由三角函数值的符号缩小角的范围【例1】 (一题多解)已知α，β∈(0，π)，tan α＝2，cos β＝－7210，求2α－β的值.【评析】三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tan α，cos β的符号缩小α，β的范围，得到α－β的范围，再由α－β的范围，结合tan(α－β)的符号进而缩小α－β的范围，得到2α－β的范围.难点是想到缩小α－β的范围. 另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围.法二较法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势. 类型2 由三角函数值及特殊角的三角函数值缩小范围【例2】设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________.【评析】本题缩小角的范围分为两层：(1)由cos α＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22，结合α∈(0，π)，缩小角α的范围，得到α＋β的范围；(2)由sin(α＋β)＝513∈⎝⎛⎭⎫0，12，结合α＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，4π3上不单调，解决办法是画图. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.(2019·北京海淀区)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝( ) A.2325 B.－2325C.725D.－7253.(2019·日照调研)sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14B.12C.32D.14.(2019·信阳一模)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A.5B.92C.52D.25.(2019·济南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( )A.35B.45C.35或45D.34二、填空题6.(2017·江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________.7.化简：2sin （π－α）＋sin 2α2cos 2α2＝________.8.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.三、解答题9.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.10.已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( ) A.1110 B.－1110C.1D.－112.(一题多解)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.43 B.－43C.－34D.3413.(2019·广东七校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝________.14.(2019·烟台二中月考)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π). (1)求a ，θ的值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＝0，求cos α－sin α的值.【新高考创新预测】15.(试题创新)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]。

专题10两角和与差的三角函数(解析版)

2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题10两角和与差的三角函数1专题综述两角和与差的三角函数，由于集中交汇了三角函数内部各知识模块间的内容，还常常涉及函数、向量、解三角形等知识，形成了化简、求值(最值)求单调区间等多种题型，对于考查学生的数学思维能力、计算能力推理能力是一个很好的平台.本节内容是高考数学试卷中必考的、反复考查的知识点，要求学生能够做到熟练掌握、灵活运用.在《考试大纲》中，对两角和与差的三角函数的要求是:(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；(2)能利用两角差的余弦公式，导出两角差的正弦、正切公式；(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.由此，我们可以分析出本节内容的两个考点:能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，及两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系；掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.命题趋势分析:近3年来，各地的高考数学试卷中，对两角和与差的三角函数的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，其命题规律大致为:利用两角和与差的三角函数公式直接进行求值，或通过两角和与差公式的逆用、变形使用进行求值、化简，主要考查两角和与差的三角函数等基础知识和利用这些知识进行运算的能力；通过拆角、拼角等方法，利用两角和与差三角函数公式进行求值、化简，考查学生的推理能力和运算能力；以两角和与差的三角函数、解三角形、函数、向量等知识为素材形成交汇，主要考查学生综合运用上述知识进行运算求解的能力.通过研究已经公布的2018年《考试说明》发现，2018年高考对本节知识的考查要求未有改变.近3年高考的命题思路和命题风格均相对稳定，预计2018年高考对两角和与差的三角函数的考查会延续上述命题的思路和风格.2难点与剖析2.1难点梳理对于求值(求角)、化简等题型来说，学生学习的难点有两个:一是如何准确地记住众多两角和与差的三角函数公式，以及如何理解这些公式之间的内在联系；二是如何根据题目条件中三角函数的结构形式去选择合适的方法来解决问题.对于两角和与差的三角函数与三角函数、解三角形、向量等知识的综合题型，对学生的思维和运算能力要求相对较高，难度较大.2.2突破难点如何才能让学生准确记住两角和与差的三角函数的公式，并能理解这些公式之间的关系，我们的做法是:在复习时，帮助学生回忆并重建这些知识，包括两角差的余弦公式的推导过程，以及由此出发，推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切公式.通过这些公式的推导，让学生深刻理解这些公式的来龙去脉和公式之间的联系，建立起完整的知识结构.同时，也复习了解决三角函数问题中常用的数形结合、转化与化归、整体代换等思想方法，以及弦化切、切化弦、正弦与余弦互化等常用方法.两角和与差的三角函数与其他三角函数的综合，通常需要将f(x)的解析式转化为的形式加以解决.两角和与差的三角函数与向量的综合，通常要利用向量的共线、数量积的概念和运算，将向量问题转化为三角函数问题，利用三角函数有关知识和方法加以解决.两角和与差的三角函数与解三角形综合，通常涉及求解三角形基本量、判定三角形形状以及解三角形应用题等三类问题.不过在这三类问题中，两角和与差的三角函数不是考查的重点，其核心考点通常是解三角形及其应用.解这类综合题的基本思路是将几何问题转化为代数问题，分析已知等式中的边角关系，利用两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形边角互化，或将已知量和未知量集中在一个三角形中，利用正弦定理和余弦定理加以解决.针对不同问题的个性化的难点突破方法，我们将通过下面的典例剖析加以阐述.3典例剖析例1(1)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox轴为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则.(2).(3).(4)已知，则.(5).(6).思路探求:(1)对角的终边所在的象限合理分类讨论，分别求出，直接代入求出.(2)利用160°+20°=180°，将cos160°=－cos20°，逆用两角和的正弦公式sin30°=.(3)通过观察，发现15°+75°=90°，将式子化为.(4)把两角和与差的正弦公式中的，分别看成一个整体，通过解方程组，求出，求出.(5)因为23°+37°=60°，联想公式，逆用两角和正切公式，并进行变形得:.(6)两角和的正切的分子中出现了“1”，利用1=进行代换，即得.设计说明:本题组设计意图是帮助学生熟悉两角和与差的三角函数公式的使用，包括常见的直接使用公式、变名(角)使用、逆用公式、整体求解、正切公式的变形使用、巧用“1”的代换等.本题组的创新之处在于，将常见的两角和与差的三角函数公式通过比较隐性的方式呈现给学生，让学生能在变化后的情形中，认清知识的本质，达到熟练使用公式的目的.教学建议:在帮助学生回顾两角和与差的三角函数公式来龙去脉、构建完整的知识体系的基础上，让学生自主完成本题组训练，师生共同总结常见的使用公式的规律.例2(1)若，则.(2)已知，则.(3)已知，且，则.(4)已知，则.思路探求:(1)直接将左边展开，求出或利用进行求解.(2)观察已知和所求式子的特点，利用，，再利用弦化切，求得.(3)观察已知角与所求角的关系得出，a+=(+a)－(4－－cos(a+)=sin(B)，再由，得，，分别求出，，进而得出.(4)观察已知角与所求角的关系，不难得出.由已知，得出，求出.若根据求解，需要求出的值，再利用，求出，因此.不过若按第一种思路，由，得，要确定的范围，还要根据和，才能得出.若由，得，仍不能确定的值.换一种思路，由，得，因而，又，故.设计说明:本题组是围绕利用“拆角、拼角”的方法来进行求值、求角，目的在于引导学生仔细分析已知角与所求角之间的关系，建立起沟通已知角和未知角之间的桥梁关系，进而解决问题.本题组的创新之处在于能够比较系统地呈现常见的运用“拆角、拼角”解题的方法，并对给值求值和给值求角中的典型问题——对角的范围的讨论进行了剖析.教学建议:本题组是两角和与差三角函数公式考查中的重点内容，教学时要让学生有充分的解题体验，引导学生自主探寻解题思路.对于角的范围的讨论，就解题步骤而言，要强调解题“三步曲”:第一步，求角的某个三角函数值；第二步，确定角的范围；第三步，根据角的范围，写出所求的角.需要强调的是，在选取某一三角函数值时，要先缩小所求角的范围，最好将角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而确定角的大小.就教学方法而言，要采用数形结合的思想方法引导学生，增强直观性；就学习方式而言，要采取合作探究的方式，引导学生相互寻找解题过程中的漏洞，并比较解题方法的优劣，提高解题效益.例3(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( ) A．B．C．D．(2)在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是.思路探求:(1)观察已知等式，容易发现可以利用两角和的正弦公式对其进行化简，得到，因为△ABC是锐角三角形，cosC≠0，即，由正弦定理得a=2b，故选A.(2)由，可得，(①).因△ABC是锐角三角形，cosB≠0，cosC≠0，在①式两侧同除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，可得(②)，令，因△ABC是锐角三角形，，由②得t>1，从而，当且仅当t=2时取等号，此时或tanB=.设计说明:本题组是将两角和与差的三角函数与解三角形、函数等知识结合.由于《考试说明》中，对两角和与差的三角函数是C级要求，第(2)小题是填空题的最后一题，起着分步把关的作用.两题都以三角形为背景，体现了此类问题的共同点:将三角形内角和定理与两角和与差的三角函数公式结合，起到化繁为简的作用.不同点是第(1)小题化简后，利用正弦定理知识加以解决，第(2)小题化简后转化为函数最值问题加以解决.教学建议:解决此类问题的关键是引导学生分析已知式子的结构，或分析已知和未知之间的异同点，利用三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，对已知条件进行化简.拨开迷雾，看清方向，逐步将未知问题转化为学生熟悉的解三角形、函数最值等知识加以解决.例4已知向量.(I)若a∥b，求x的值；思路探求:(I)因为，所以.若cosx=0，则sinx=0，与矛盾，故cosx≠0，于是.又，所以.(Ⅱ).因为，所以，从而，于是，当，即x=0时，f(x)取到最大值3；当，即时，f(x)取到最小值.设计说明:本题主要考查向量共线、数量积的概念及运算、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数、三角函数图像与性质等基础知识，训练学生的运算求解能力.本题的创新之处有两点:一是把向量共线、数量积的概念和运算与三角函数知识结合起来；二是给出x的范围，求三角函数的条件最值，预设易错点.通过上述变化，可以更全面地考查学生的运算能力.教学建议:由于这类综合题涉及的知识点较多，因而对学生的运算能力有较高的要求.在教学时，要引导学生回顾有关概念和公式，这是准确运算的前提.对于的处理，考虑到学生的运算习惯，可以转化为进行解决，即.值得注意的是，由于，因此，此时，学生常常误以为，避免这类错误的有效策略就是数形结合，画出正弦函数的图像，能直观准确地得出结论.另外，解题规范也是需要强调的内容，解题过程要严谨，要力争不失分.例5△ABC的内角A，B，C.已知△ABC的面积为.(I)求；(Ⅱ)若，求△ABC的周长.思路探求:(I)由题设得，即.由正弦定理得，故.(Ⅱ)由题设及(I)得，即.所以，故.由题设得，即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2－bc =9，即(b +c )2－3bc =9，得，故△ABC 的周长为.设计说明:本题考查两角和与差的三角函数、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，可以训练学生的运算能力.此类题型是近年来各地高考的热点.本题的创新之处在于，设计不同的情境，让学生选用合适的三角形面积公式、余弦定理公式进行运算；采用化整为零、整体求解等运算策略解题.通过上述创新举措，考查学生灵活选用公式、灵活使用求解策略解题的能力.教学建议:在分析第(I )问解题思路时，要引导学生认真审题，仔细分析已知条件和求解目标的关联性，合理选择三角形面积公式.在分析第(Ⅱ)问解题思路时，要引导学生分析第(I )问的结论与第(Ⅱ)问的条件之间的关联性，在得出后，选用什么三角形面积公式建立等式；在得出bc =8后，引导学生选择合适的余弦定理公式，建立bc 与b +c 的关系，无须分别求出b ，c 的值，只需整体求出bc 的值即可.最新模拟题强化1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转4π后，终边经过点(21)P ，，则cos2α=（）A ．23 B ．223C ．23-D ．223-【答案】B 【解析】设旋转之后的角为β，由题得4παβ+=，3sin 3β=，6cos 3β=，又因为222παβ=-，所以得3622cos 2cos(2)sin 22sin cos 22333παββββ=-===⨯⨯=，故选B 。

专题03 两角和与差的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)

专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。

北师大版高中高二数学必修4《两角和与差的三角函数》教案及教学反思

北师大版高中高二数学必修4《两角和与差的三角函数》教案及教学反思一、教学目标1.理解两角和与差的三角函数概念2.掌握两角和与差的三角函数的计算公式3.能灵活运用两角和与差的三角函数求解题目二、教学重点1.两角和与差的三角函数概念2.计算公式3.绕过死点三、教学难点1.两角和与差的三角函数的绕过死点方法2.运用两角和与差的三角函数求解问题四、教学过程1. 教学内容的呈现本节课学习的主要内容为两角和与差的三角函数。

在这之前，我们先回顾一下基础的三角函数知识，然后引出两角和与差的概念。

同时，我们需要提出两角和与差公式的作用，以及绕过死点的方法。

2. 新知识的学习首先，我们来回顾一下基础的三角函数知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

接下来，我们引入两个新的概念：两角和与两角差。

这两个概念是指两个角的函数相加或相减后得到的函数，比如：$$\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$$$$\\cos(a+b) = \\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$$$$\\sin(a-b) = \\sin a \\cos b - \\cos a \\sin b$$$$\\cos(a-b) = \\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$$我们需要记住这些公式，因为在进一步的计算中会很常用。

接着，我们来讲一下如何避开死点。

在计算两角和与差的三角函数时，会遇到一些死点，导致计算不能进行下去。

所谓死点，就是使得分母为零的点，这个点被称为死点。

出现死点时，我们需要进行绕过，常用的方法有三种。

1.利用倒数公式：$\\tan(\\pi/2-a)=\\cot(a)$，$\\cot(\\pi/2-a)=\\tan(a)$来进行绕过。

2.利用奇偶性：sin(−x)=−sin(x)，cos(−x)=cos(x)，tan(−x)=−tan(x)，来进行绕过。

期末复习二———两角和与差的三角函数复习

期末复习二———两角和与差的三角函数复习一、复习要点：2.化特殊式子：sin cos a x b x +为一个角的一个三角函数形式，如：cos 2sin()6x x x π=+ 3.角的代换。

要学会灵活拆角，如：2()(),ααβαβ=++-()βαβα=+-等等。

4.公式的逆用和变用。

如：cos()cos sin()sin cos αββαββα---= tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβαβαβαβ+=+⋅--=-⋅+二、典型例题 23331sin ,(,),cos ,(,2),3242cos()sin()ππααπββπβααβ=-∈=∈-+例.已知求、的值例2.求值：①cos 24cos36cos66cos54-= ②tan17tan 433tan17tan 43++=sin()cos 0,tan()6212πππαααα++=-<<+例3.已知求的值。

,,)αβθαθββθααβαβ--例4.已知都为锐角，且sin +sin =sin ,cos +cos =cos .求(1)求cos(的值;(2)求的值例5求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++ 33536.cos(),sin(),0sin()45413444πππππαβαβαβ-=+=<<<<+例已知其中，求的值三、巩固练习。

1.,33αβαβαβππππ+已知sin ==且为锐角，则的值是( )510 A. B.或 C. D.以上都不对44442、已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为（） A ． 1318 B ．1322 C ．722 D ．318+tan20)+tan10tan20的值是( )1114.,,tan ,tan ,tan 25855αβγαβγαβγππππ===++都是锐角，，则等于（） A. B. C. D.34645.sin(36)cos(54)cos(36)sin(54)______αααα+-++-=化简6.已知)0,2(π-∈x ,53sin -=x ,则tan2x= ABC 357.在中，若sinA=,cosB=-,则sinC=______513 312,cos()sin 213ππβααβαβα<<<-=+38.已知,sin()=-,求的值2459.化简:①tan70cos10(3tan 201)- ②证明:sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=11),)23sin cos 5cos sin ;(2)5αβαβαβαβαβ+=-===10.已知sin(sin(求证：(1)tan tan11.,()cos 22x f x x x x ππ-≤≤=+若求的最大值和最小值，并求出此时的值。

专题4.3 三角函数--简单的三角恒等变换(有详细答案)

专题4.3 三角函数---简单的三角恒等变换【考点定位】2020考纲解读和近几年考点分布一、简单的三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．（二）二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．（三）辅助角公式1、尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα 2、辅助角公式对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。

巩固练习_两角和与差的正弦、余弦与正切公式_基础最新修正版

【巩固练习】1. Sin 20rcos40r+cos20°sin 40；的值等于2.3.4.5.6.A.-4若tana =3,A. -3sin Z -43 cos1242-464 tan P—的值是.12已知tan (a +P)A.鱼18在^ ABC中，如果A.锐角三角形则tan(aB.—寸22= -,ta n(P5B.—221"a5応2 sin ——121一一)=一，则tan(a +—)的值等于4 4 4C.空22sin A=2sin C cos B .那么这个三角形是B .直角三角形D.tan 15°+ tan 30°+ ta n15°• tan 30°的值是(A . 1B .晶 C. D.罷3 22cos10 ' -sin 20 1*1V-的值是()sin 70「A . 1 B43C .灵2 212如果cos日=—一9亡(兀,4),那么COSp13 27. &9.D .近C .等腰三角形)218(.等边三角形10 .已知a, P为锐角，且兀才——.1 11cosG = — cos (a 中P )= ——，贝U cos P =7 1411. tan20o^tan40b tan20ctan40o 的值是12.兀函数 y=cosx+cos(x+ —)的最大值是313. 已知COS—P) — 1! , cosi + P"!!，且-PEf兀I —兀l2'，Ct，求角P的值.14.求值：伽107)籍13 \1515.若锐角 a , P 满足 tana tan P =—，且 sin(a 一 P )=— 7 3(1 )求 cos(a — P )的值; (2)求 cos(a +P )的值.16.已知函数 f(x) =sin(x +M )+sin(x —壬)+cosx + a(a 亡 R,a 是常数). 6 6(1)求函数f (x)的最小正周期;(2)若X 迂〔一竺,一1时，f (x)的最大值为1，求a 的值.L 2 2」【答案与解析】 1.【答案】B【解析】sin 20'cos40' +cos20°sin40' =sin(20 ° +40^ =sin60° =亍 2. 【答案】DJ 2 f 6【解析]原式=-sin15」—sin(45"-30：) =-(sin45cos3tf -cos45 sin30 )=43. 【答案】D【解析]tan(—P )= 旦半叫 J1-ta n aL ta n P 34. 【答案】B5. 【答案】Btan 0 + P ) -tan(P -；) 3【解析] tan(a +—)= tan[(□ + P ) -( P - 一)] = --------------------- 4—=——441-tan 0 + P )[tan(P 上)224A=n -( &"Q .C cos 戸 sin B cos C H-cos B sin C=2sin C Cos B sin( B -C ) =0.【解析】原式 =2卩」晅辽 --12兀cos 一 2 12丿=2 兀兀兀；I ) 兀 cos —sin — —sin — cos — [=2s in(-—) k 3 12 3 12 4= -42.6.【答案】C【解析】••• 每申C=n ,••• 由已知可得：sin( BO=2sin =sin B cos C -cos B sin C=0=11.［答案】V s【解析】原式=ta n60"(1-ta n20"ta n4 O^+^ta n20"ta n40"=漿-品ta n 20'tan40' + 石tan 20’ tan 40’ = ^312.【答案】V s故^ ABC 为等腰三角形.A原式=tan(154309(1 -tan15讣tan30°) +tan15叮tan 30=tan45% —ta 门15' Ltan30°) +tan15' Utan30 =1 .& [答案】C••• B=C, 7.［答案】【解析】解析：原式_ 2cos(30' -20") -sin20'sin 70’2(COS 30E cos20asin30Lsin 20’)-sin 20“sin7073COS 20' cos20'9.【答案】7J 2 26【解析】12因为 COS0 =— 一133e 巳■-兀），所以sin 日2所以原式 =cos 8 cos — -sin 0 sin—=（上严1321322610.［答案】12【解析】••• a为锐角，且1cos a =-7sin a = J 1 - cos2。

第四章 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2025新高考一轮复习讲义

§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课标要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝____________________________________；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝____________________________________；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝____________________________________；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝____________________________________；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝____________________________________；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝____________________________________.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝________________________，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 常用结论两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )(2)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )(3)tan ⎝⎛⎭⎫π2－π3能根据公式tan(α－β)直接展开求值．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( )2．(必修第一册P220T3改编)计算cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°的结果为( ) A.32 B.12 C ．－12 D.22 3．(必修第一册P220T2改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.7210 B ．－7210 C ．－210 D.2104．若将sin x －3cos x 写成2sin(x －φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝________.题型一两角和与差的三角函数公式例1 (1)已知tan α＝17，tan β＝34，则tan(2α＋β)的值为( ) A.43 B.23 C ．－34 D ．－43(2)若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，则sin 2αcos β等于( ) A.23 B.13 C.16 D.112跟踪训练1 (1)(2023·榆林模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝9，则tan α等于( ) A.45 B ．－45 C.34 D ．－34(2)在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A.1665B ．－1665 C.1665或6516 D ．－6365题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式例2 (1)(2023·新乡模拟)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________.(2)已知函数f (x )＝sin x －2cos x ，设当x ＝θ时，f (x )取得最大值，则cos θ＝________. 跟踪训练2 (1)1sin 10°－3sin 80°＝________. (2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________.题型三角的变换问题例3 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. (2)(2023·临沂模拟)已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，则sin(α＋β)＝________.思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α－β2，π3＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6－α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等．跟踪训练3 (1)(2024·上饶模拟)已知sin α＝55，α为钝角，tan(α－β)＝13，则tan β等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝513，则cos α的值为________________．。

08两角和与差的三角函数

高中数学新教材巩固练习两角和与差的三角函数倒数关系：sin αcsc α＝1，cos αsec α＝1，tan αcot α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α，cot α＝cos αsin α；平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，tan 2α＋1＝sec 2α，cot 2α＋1＝csc 2α 和差角公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β cos (α±β)＝cos αcos βm sin αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1m tan αtan β倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1， tan 2α＝2tan α1－tan 2α降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin αcos α＝sin 2α2和差化积与积化和差公式：sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cos α－β2 sinαcosβ＝12[sin (α＋β)＋sin (α－β)]sinα－sinβ＝2cos α＋β2sin α－β2 cosαsinβ＝12[sin (α＋β)－sin (α－β)]cosα＋cosβ＝2cos α＋β2cos α－β2 co sαcosβ＝12[cos (α＋β)＋cos (α－β)]cosα－cosβ＝－2sin α＋β2sin α－β2 sinαsinβ＝－12[cos (α＋β)－cos (α－β)]三倍角公式sin 3α＝3sin α－4sin 3α＝4sin αsin (π3－α)sin (π3＋α)cos 3α＝4cos 3α－3cos α＝4cos αcos (π3－α)cos (π3＋α)tan 3α＝tan αtan (π3－α)tan (π3＋α)万能公式sin α＝2tanα21＋tan 2α2，cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2，tan α＝2tanα21－tan2α2一、选择题114.化简sin (x ＋y )sinx ＋cos (x ＋y )cosx 的结果是( )A .cos (2x ＋y )B .cosyC .sin (2x ＋y )D .sinyB115.满足cosαcosβ＝32＋sinαsinβ的一组值为( ) A .α＝195︒，β＝135︒ B .α＝90︒，β＝60︒ C .α＝90︒，β＝30︒D .α＝60︒，β＝30︒A116.已知270︒＜α＜360︒，且cot (270︒＋α)＝34，则cos (α－135︒)＝( )A .210B .－210 C .7210D .－7210D117.若三角形的两个内角α、β满足cosαcosβ＞sinαsinβ，则这个三角形的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定C118.若关于x 的方程x 2＋xcosαcosβ＋cosγ－1＝0的两个根之和等于两个根之积的一半，则以α、β、γ为内角的三角形形状是( )A .只可能是等腰三角形，不可能是直角三角形B .只可能是直角三角形，不可能是等腰三角形C .只可能是等腰直角三角形D .既可能是等腰三角形，也可能是直角三角形 A119.若α、β都是锐角，则( )A .cos (α＋β)＞cosα＋cosβB .cos (α＋β)＞sinα＋sinβC .cos (α＋β)＜cosα＋cosβD .cos (α＋β)＜sinα＋sinβC120.若sinα＋sinβ＝22，则cosα＋cosβ的取值范围是( )A .[0，22] B .[－22，22] C .[－2，2] D .[－142，142] D121.若三角形的两个内角α、β满足tanαtanβ＞1，则这个三角形的形状是( )A .等腰直角三角形B .不等腰直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形C122.已知π2＜β＜α＜3π4，cos (α－β)＝1213，sin (α＋β)＝－35，则sin 2α＝( )A .－1465B .1665 C .－5665D .865C123.若sinα－sinβ＝1－32，cosα－cosβ＝－12，则cos (α－β)的值为( ) A .12 B .32C .34D .1B124.已知A ，B ，A ＋B 都是锐角，P ＝sin (A ＋B )，Q ＝sinA ＋sinB ，R ＝cosA ＋cosB ，则( )A .R ＞Q ＞PB .P ＞Q ＞RC .Q ＞P ＞RD .Q ＞R ＞PA125.α、β为锐角，且满足cosα＝45，cos (α＋β)＝35，则sinβ＝( )A .1725 B .35 C .725 D .15C126.函数y ＝sin (x ＋π3)－3cos (x ＋π3)( )A .是奇函数，但不是偶函数B .是偶函数，但不是奇函数C .既不是奇函数，也不是偶函数D .奇偶性无法确定A127.下列函数中，与y ＝sinx ＋cosx 的振幅、最小正周期都相同的函数是( )A .y ＝sinxB .y ＝cosxC .y ＝2sinxD .y ＝sinxcosxC128.若α是三角形的最小内角，则函数y ＝sinα－cosα的值域为( )A .[－2，2]B .(－1，3－12) C .(－1，3－12] D .[－1，3－12] C129.若函数f (x )＝sin 2x ＋acos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则实数a ＝( )A . 2B .－ 2C .1D .－1D130.当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sinx ＋3cosx 的( )A .最大值是1，最小值是－1B .最大值是1，最小值是－12C .最大值是2，最小值是－2D .最大值是2，最小值是－1D131.函数y ＝3sin (x ＋20︒)＋5sin (x ＋80︒)的最大值是( )A .112B .132C .7D .8C132.函数y ＝|sin (π6－2x )＋sin 2x |的最小正周期是( )A .π4B .π2C .πD .2πB133.已知cotα＝2，tan (α－β)＝－35，则tan (β－2α)＝( )A .14B .－113C .113D .－18C134.已知tan (α＋β)＝25，tan (β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝( )A .1318 B .1322 C .322 D .16C135.若1－tan α1＋tan α＝5＋4，则cot (π4＋α)＝( )A .－4－ 5B .4＋ 5C .－14＋5D .14＋5B136.已知α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)＝( )A .2B .－2C .1D .－1A137.若α、β∈(π2，π)，且tanα＜cotβ，则( )A .α＜βB .α＞βC .π＜α＋β＜3π2D .α＋β＞3π2C138.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos (α－β)＝( )A .1B .－1C .12D .－12D139.若sin (α＋β)sin (β－α)＝m ，则cos 2α－cos 2β＝( )A .－mB .mC .－4mD .4mB140.若A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sinA ＝35，cosB ＝513，那么cosC ＝( )A .1665 B .5665C .1665或5665D .不确定A141.已知tanα、tanβ是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且－π2＜α、β＜π2，则α＋β＝( )A .π3 B .－2π3C .－2π3或π3D .－π3或2π3C142.函数y ＝sinxcosx1＋sinx ＋cosx的值域是( )A .[－2－1，2＋1]B .[－2＋12，2－12]C .[－22－1，22－1] D .[－2＋12，－1)∪(－1，2－12] D143.若在[0，π2]内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则k 的取值范围是( )A .0＜k ≤1B .0≤k ＜1C .－3≤k ≤1D .k ≤1B144.函数y ＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x －sin 2x的最小正周期是( )A .2πB .4πC .πD .π2D145.(1＋tan 21︒)(1＋tan 22︒)(1＋tan 23︒)(1＋tan 24︒)＝( )A .2B .4C .8D .16B146.设命题甲：tan (α＋β)＝0，命题乙：tanα＋tanβ＝0，则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件B147.在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形C148.在斜三角形ABC 中，有sinA ＝cosBcosC ，则必定有( )A .sinB ＋sinC 为常数 B .cosB ＋cosC 为常数 C .tanB ＋tanC 为常数D .cotB ＋cotC 为常数C149.在△ABC 中，如果sin 2A ＋sin 2B ＝sin (A ＋B )，且A 、B 都是锐角，则A ＋B ＝( )A .2π3B .πC .π2D .π4C150.若sinα＋cosα＝－2，则tanα＋cotα＝( )A .－2B .－1C .1D .2D151.已知三角形的一个内角α满足sinα＋cosα＝34，则这个三角形的形状是( )A .锐角三角形B .钝角三角形C .不等腰的直角三角形D .等腰直角三角形B152.函数y ＝cos 2x －sin 4x 的最小正周期是( )A .π2B .πC .3π2D .2πA153.若α∈[5π2，7π2]，则1＋sinx ＋1－sin α＝( )A .2cos α2B .－2cos α2C .2sin α2D .－2sin α2D154.函数y ＝log 0.5(sinxcosx )为增函数的区间是( )(k ∈Z )A .(kπ－π4，kπ＋π4)B .(kπ，kπ＋π4)C .(kπ＋π4，kπ＋π2)D .[kπ＋π4，kπ＋3π4]C155.cos π5cos 2π5＝( )A .4B .14C .2D .12B156.已知sinxsiny ＝12，则cosxcosy 的取值范围是( )A .[－12，12]B .[－32，12]C .[－12，32]D .[－1，1]A157.已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin 2θ＝( )A .233B .－223C .23D .－23A158.若sinα＋cosα＝13，0＜α＜π，则sin 2α＋cos 2α＝( )A .8＋179B .－8＋179C .－8－179D .－8±179C159.如果θ是第二象限的角，且cos θ2－sin θ2＝1－sin θ，那么θ2所在象限为( )A .一B .二C .三D .四C160.函数y ＝sinωxcosωx 的最小正周期为π，则ω的值为( )A .14 B .±14C .4D .±4B161.若x ＝π12，则cos 4x －sin 4x ＝( )A .0B .12C .22D .32D162.函数y ＝sin 2x 是( )A .最小正周期为2π的偶函数B .最小正周期为2π的奇函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为π的奇函数C163.已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则α所在象限是( )A .一B .二C .三D .四D164.函数y ＝2sinxcosx －(cos 2x －sin 2x )的最大值与最小值之积为( )A .2B .－2C .1D .－1B165.函数y ＝1－cos 2x ＋cos 4x 的最小正周期为( )A .2πB .πC .π2D .π4C166.化简2＋cos 4－sin 22的结果是( )A .cos 2B .－cos 2C .3cos 2D .－3cos 2D167.下列函数中，以π为最小正周期的函数是( )A .y ＝sin 22x B .y ＝sin 2x (x ≤0) C .y ＝tanx (－2π＜x ＜2π) D .y ＝cos 2x －2D168.函数y ＝cos 6x ＋sin 6x 的最小正周期是( )A .πB .2πC .π2D .4πC169.若3π2＜α＜2π，则化简12＋1212＋12cos 2α的结果是( ) A .sin α2B .－sin α2C .cos α2D .－cos α2D170.若π＜x ＜3π2，则tanx ＋sinx ＋tanx －sinx 可以化成( )A .sin (x 2－π4)tanxB .sin (x 2＋π4)tanxC .－2sin (x 2－π4)tanxD .－2sin (x 2＋π4)tanxA171.函数y ＝|tanx |＋|cotx |的最小正周期为( )A .π4B .π2C .πD .3π2B172.函数y ＝tan (2x ＋π3)－cot (π6－2x )的最小正周期为( )A .π4 B .π2C .πD .2πA173.函数y ＝tanx －1sinx的最小正周期为( )A .π2B .πC .3π2D .2πB174.在△ABC 中，a 2tanB ＝b 2tanA ，则△ABC 是( )A .等腰三角形B .等腰直角三角形C .直角三角形D .等腰或直角三角形D175.化简cot α2－tan α2cot α2＋tan α2的结果是( )A .sin αB .cos αC .tan αD .cot αB176.函数y ＝lg tanx1＋tan 2x的递增区间是( )(k ∈Z )A .(k π，k π＋π4]B .(k π，2k π＋π4]C .(2k π，2k π＋π2]D .(2k π，k π＋π2]A177.若f (tanx )＝sin 2x ，则f (－1)＝( )A .－sin 2B .－1C .12D .1B178.若tan A 2＝mn，则mcosA －nsinA ＝( )A .nB .－nC .mD .－mD179.已知锐角θ满足sin θ2＝x －12x ，则tan θ＝( ) A .x B .x ＋1x －1C .x 2－1xD .x 2－1D180.已知α、β都是锐角，且sin α＝12sin (α＋β)，则α、β的大小关系是( )A .α＞βB .α＝βC .α＜βD .不能确定略解：由已知sin α＋12sin (α－β)＝12sin (α＋β)＋12sin (α－β)＝sin αcos β＜sin α ∴ sin (α－β)＜0，即α＜β C181.下列函数中，最小正周期为π的是( )A .y ＝sinx1－cosxB .y ＝tan x2－1sinxC .y ＝cos 22xD .y ＝tanx －cotxB182.已知cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝( )A .55B .－55 C .255D .－255B183.已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tan θ2＝( )A .－3B .3C .－13D .13A184.与lg (cosx －1)2相等的式子是( )A .4lg |cos x2|＋2B .2lg (cosx －1)C .[lg (cosx －1)]2D .4lg |sin x2|＋2lg 2D185.若函数f (x )＝cos 2x ＋8sinx ，则它的最大值和最小值分别是( )A .9和－9B .7和－9C .不存在和7D .7和不存在B186.函数y ＝sinxcosx ＋1sinxcosx －1的值域是( )A .[－3，－13]B .(－∞，－13)∪(1，＋∞)C .[－3，1)D .[－3，1]A187.函数f (x )＝sin 2x ＋sinxcosx (x 为锐角)的值域为( )A .[1－22，1＋22]B .(－2，2)C .(0，1＋22]D .(12，1＋22)C188.设f (cos θ)＝cos 2θ－6cos θ，则f (2sin θ)的最小值是( )A .－112B .－5C .－114D .－3A189.如果0＜α＜π2,f (α)＝1＋cos 2αcot α2－tan α2，那么f (α)取得最大值时α的值是( )A .π6 B .π4 C .π3 D .2π5B190.设θ是三角形的最小内角，且acos 2θ2＋sin 2θ2－cos 2θ2－asin 2θ2＝a ＋1，则a 的取值范围是( )A .a ＜－3B .a ≤－3C .a ＜－1D .a ≤－1B191.若sin 8α＋cos 8α＝m ，则m 的范围是( )A .[0，1]B .[0，18]C .[18，1]D .(18，1)C192.函数y ＝sinxcosx ＋3cos 2x －32的最小正周期是( ) A .2π B .πC .π2D .π4B193.设T 1，T 2，T 3分别是函数y ＝2tan πx 1＋tan 2πx ，y ＝2sinxsin (x －3π2)，y ＝|cos 22x －sin 22x |的最小正周期，则有( ) A .T 1＝T 2＝T 3 B .T 1＜T 2＜T 3 C .T 3＜T 1＜T 2 D .T 3＜T 2＜T 1C194.如果cos 2α＝－2325，5π2＜α＜3π，那么sin α2和tan α2分别等于( )A .－105,155B .－155,62C .155,－155D .105,－105B195.若3＋tan α1－tan α＝23＋1，则sin 2α＋sin 2α等于( )A .1B .45C .35D .25A196.设2sin 2x ＋sinx －24＝0，x 是第二象限的角，则cos x 2的值等于( )A .35B .－35C .±35D .±45C197.M ＝tan α2sin α＋cos α，N ＝tan π8(tan π8＋2)，则M 和N 的关系是( )A .M ＞NB .M ＜NC .M ＝ND .M 和N 无关C198.f (x )＝1－x ，θ∈(5π4,3π2)时，式子f (sin 2θ)－f (－sin 2θ)的值是( )A .2sin θB .2cos θC .－2sin θD .－2cos θB199.已知sin α＝4－2m m ＋5,cos α＝m －3m ＋5，且α所在区间使得正余弦都是减函数，则cot α2＝( )A .－32B .12C .12或－32D .不确定B200.关于x 的方程x 2－xcosAcosB －cos 2C2＝0有一个根为1，则△ABC 一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形A201.下列各式中不正确的是( )A .sin α＋sin β＝2sin β＋α2cos β－α2B .sin α－sin β＝2cos β＋α2sin β－α2C .cos α＋cos β＝2cos β＋α2cos β－α2D .cos α－cos β＝2sin β＋α2sin β－α2B202.若x ＋y ＝2π3，0≤x ≤π2，则sinxsiny 的最大值与最小值分别是( )A .34，0 B .12，0 C .34，－12 D .12,－12A203.已知cos 2α－cos 2β＝m ，则sin (α＋β)sin (α－β)的值为( )A .4mB .－4mC .mD .－mD204.函数f (x )＝sinx ＋sin 3xcosx ＋cos 3x的最小正周期为( )A .π2B .πC .2πD .2π3B205.cos (π5＋1)cos (π5－1)＝( )A .cos 2π5＋sin 21B .sin 2π5－cos 21C .cos 2π5－sin 21D .sin 2π5＋con 21C206.已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( )A .－23B .－13C .13D .23C207.函数f (x )＝sin (x ＋5π12)cos (x －π12)是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为2π的函数，但没有奇偶性D .最小正周期为π的函数，但没有奇偶性 D208.函数f (x )＝2sin x 2sin (α－x2)的最大值等于( )A .2sin 2(α2)B .－2sin 2(α2)C .2cos 2(α2)D .－2cos 2(α2)A209.设sin α＋sin β＝13(cos α＋cos β)，且α、β∈(0，π2)，那么sin 3α－sin 3β的值是( )A .－33B .－32C .0D .－ 3C210.函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x －π12)－1是( )A .最小正周期为2π的奇函数B .最小正周期为2π的偶函数C .最小正周期为π的奇函数D .最小正周期为π的偶函数C211.将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果为( )A .－sin (x ＋y )sin (x －y )B .cos (x ＋y )cos (x －y )C .sin (x ＋y )cos (x －y )D .－cos (x ＋y )sin (x －y )B212.若y ＝sin (α＋β)－sin α－sin β，且α＞0，β＞0，α＋β＜2π，则y 是( )A .正数B .负数C .0D .非负数B213.若cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，则sin (α＋β)的值等于( )A .－513B .513C .－1213D .1213C214.已知tan α、tan β是方程x 2＋3x －4＝0的两个根，则cos 2α＋cos 2βsin 2α＋sin 2β＝( )A .－53B .－43C .－34D .－35A215.函数f (x )＝cos 2x ＋sinxcosx 的最大值是( )A .2B .32C .1＋22D .1＋222C216.函数y ＝cos 2x ＋cos 2(2π3－x )的最小正周期是( )A .2πB .πC .π2D .π4B217.函数y ＝|sin (π6－2x )＋sin 2x |的最小正周期是( )A .π4B .π2C .πD .2πB218.函数y ＝cosx1－sinx的单调递增区间是( )(k ∈Z )A .(2k π－3π2，2k π＋π2)B .(2k π－π2，2k π＋π2)C .(2k π－5π2，2k π－π2)D .[2k π－π2，2k π＋π2]A219.已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，则sin 2α＋sin 2β的取值范围是( )A .(－32，12)B .[0，94]C .[0，12]D .[0，14]B220.已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的值的范围是( )A .[－32，12]B .[－12，32]C .[－12，12]D .[－1，1]C221.等式sinx ＋siny ＝sin (x ＋y )成立，则必须有( )A .x ＋y ＝k π(k ∈Z )B .x ＝y ＝k π(k ∈Z )C .x 、y 、x ＋y 中至少有一个为2k π(k ∈Z )D .x ∈R ，y ∈RC222.设x ＋y ＋z ＝π3，且有S ＝sin 2(π3＋x )＋sin 2(π3＋y )－2sin (π3＋x )sin (π3＋y )cosz ，则S 的值是( )A .sin 2x B .sin 2yC .sin 2zD .sinxsinyC223.设x ＋y ＝2π3，则cosx －cosy 的最大值是( )C224.函数f (x )＝cos 3x －cosxcosx的值域是( )A .[4，＋∞)B .[－4，0)C .(－4，0]D .(－4，4]C225.在△ABC 中，若sinC ＝cosA ＋cosB ，则△ABC 为( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形A226.若x ＋y ＝1，则sinx ＋siny 与1的大小关系为( )A .sinx ＋siny ＞1B .sinx ＋siny ＝1C .sinx ＋siny ＜1D .不确定C227.如果△ABC 和△A 'B 'C '中，∠A ＝∠A '，且sinB ＋sinC ＜sinB '＋sinC '，那么下列不等式成立的是( )A .B －C ＞B '－C ' B .|B －C |＜|B '－C '| C .|B －C |＞|B '－C '|D .B －C ＜B '－C ' C228.已知3(sin α＋sin β)＝cos β－cos α，α、β∈(0，π)，则α－β等于( )A .－2π3B .－π3C .π3D .2π3D229.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A ＝80︒，a 2＝b (b ＋c )，则角C的度数为( ) A .40︒ B .60︒ C .80︒D .100︒B230.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos2A2，则△ABC 是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .不等边三角形D .直角三角形B231.在△ABC 中，若tan A －B 2＝a －ba ＋b，其中a 、b 分别是A 、B 的对边，则△ABC 是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形D232.在△ABC 中，若acosA ＋bcosB ＝ccosC ，那么△ABC 满足( )A .∠A ＝90︒B .∠B ＝90︒C .∠C ＝90︒D .∠A ＝90︒或∠B ＝90︒ D233.在：①cos 40︒＋3sin 40︒＝2cos 20︒②1＋2cos 20︒＝4cos 20︒cos 40︒ ③sin 40︒1＋cos 40︒＝cot 70︒④＝tan 20︒这四个式子中，成立的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4C234.若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＝1，则△ABC 的形状是( )A .直角三角形B .等边三角形C .钝角三角形D .等腰三角形A二、填空题235.已知tanx ＝43(π＜x ＜2π)，则cos (2x －π3)cos (π3－x )－sin (2x －π3)sin (π3－x )＝____.－35236.已知cosx ＋cosy ＝12，sinx －siny ＝13，则cos (x ＋y )＝_____________.－5972237.化简：sin (x ＋27︒)cos (18︒－x )＋cos (x ＋27︒)sin (18︒－x )＝_____________.22238.函数y ＝3sin 2x ＋33cos 2x ＋1的最小正周期是___________，最大值为__________，最小值为_______________. π；7；－5239.已知sin (π4－α)＝－23，π4＜α＜π2，则sinα＝_____________22＋106240.计算sin 7︒＋cos 15︒sin 8︒cos 7︒－sin 15︒sin 8︒＝_______________241.计算1sin 10︒ － 3cos 10︒＝________________4242.已知cos (α－β)＝－45，cos (α＋β)＝45，90︒＜α－β＜180︒，270︒＜α＋β＜360︒，则cos 2α＝_______________ －725243.已知α、β均为锐角，且cosα＝17，cos (α＋β)＝－1114，则β＝_____________π3244.已知13sin α＋5cos β＝9，13cos α＋5sin β＝15，则sin (α＋β)＝_____________.5665245.sin (θ＋75︒)＋cos (θ＋45︒)－3cos (θ＋15︒)＝_____________.246.计算1＋cot 15︒1－tan 75︒＝______________.－ 3247.已知α＋β＝π4，化简1－tan β1＋tan β＝_______________.tan α248.已知tan α＝12，tan (α－β)＝－35，则tan (2α－β)＝________________.112249.在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，则tanC ＝__________.2250.若tan (α＋π4)＝－940，则tan α＝____________，tan (α－π4)＝____________.－4031,409251.(1)1＋tan 66º＋tan 69º－tan 66ºtan 69º＝____________________.(2)tan 19º＋tan 101º－3tan 19ºtan 101º＝___________________. (3)若α＋β＝k π＋π4(k ∈Z )，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝_________________.(4)(1＋tan 1º)(1＋tan 2º)(1＋tan 3º)……(1＋tan 43º)(1＋tan 44º)＝_______________. 0；－3；2；222.252.已知α、β、γ都是锐角，且tan α＝12，tan β＝15，tan γ＝18，则α＋β＋γ＝__________.π4253.函数y ＝tanx ＋cot 2x 的值域是____________，最小正周期为_____________.(－∞，)∪(0，＋∞)，π254.已知sin (θ＋π6)sin (θ－π6)＝1120，则tan θ＝_____________.±2255.已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β＝__________________.－14256.已知tan (α＋β)＝25，tan (β－π4)＝14，则sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝_____________.66493257.已知△ABC 中，有lgtanA ＋lgtanC ＝2lgtanB ，则B 的取值范围是________________.[π3，π2] 258.在△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB 是以13为第三项，9位第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状为____________三角形. 锐角259.函数y ＝sin 2k πx ＋3cos 2k πx 的最小正周期T ＝1，则实数k ＝______________.1260.已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝35，且β是第三象限角，则tan β2＝______.－3261.函数y ＝1＋(sinx ＋cosx )＋(sinx ＋cosx )2的最大值是_______________.3＋ 2262.若cos 2(x 2)＝sinx ，则tan x 2＝____________. 12或不存在 263.计算：(1)sin 105ºcos 75º＝______________；(2)cos 215º＋cos 275º＋cos 15ºcos 75º＝_____________；(3)cos 5π8cos π8＝______________. 14；54；－24264.函数y ＝cos (π2x )cos [π2(x －1)]的最小正周期是_____________. 2265.在△ABC 中，已知C ＝90º，tanA ＋tanB ＝4，则此三角形的两个锐角分别等于______和______.15º；75º266.若sin θ∶sin θ2＝8∶5，则cos θ＝____________. 725267.计算：sin π8cos π8cot π8＝_______________. 2＋24268.若8cos (π4＋α)cos (π4－α)＝1，则sin 4α＋cos 4α＝_______________. 1732269.函数y ＝sinxcosx －2sin 3xcosx 的最小正周期是________________.π2270.若tanx ＝2，则2cos 2x 2－sinx －1sinx ＋cosx＝________________. 22－3271.已知3π4＜θ＜π，sin 2θ＝a ，则sin θ＋cos θ＝________________. －a +1272.若θ∈(π4，π2)，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ＝________________. －154273.已知cos (π＋α)＝13(π＜α＜2π)，则sin 2α＝________________. 429274.已知0≤x ≤π2，则函数y ＝42sinxcosx ＋cos 2x 的值域为__________________. [－1，3]275.已知1cosα－1sin α＝1，且α∈(π，2π)，则sin 2α＝________________. 22－2276.已知tanx ＝2，则sin 2x 1＋cos 2x＝_______________. 49277.已知x ∈[0，π4]，则函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最大值为_______________. 0278.4tan 10º＋tan 20º＋2tan 40º－tan 70º＝_________________.279.cos 20ºcos 40ºcos 60ºcos 80º＝__________________.116280.sin4π16＋cos 4π16＋sin 43π16＋cos 43π16＝___________________. 32 281.cos π15cos 2π15cos 3π15cos 4π15cos 5π15cos 6π15cos 7π15＝________________. 1128282.化简：1－sin 4＝_________________.sin 2－cos 2283.化简：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＝________________. tan θ2284.设θ是第二象限角，cos θ2＝－35，则1－sin θcos θ2－sin θ2＝________________. 1285.函数y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx 的最大值是________________.12＋ 2 286.如果f (a )＝12cotα－sin α2cos α21－2cos 2α2，那么f (π12)＝_______________. 2287.函数y ＝cos 2x ＋3sinx 的值域是_________________.[－4，178] 288.分别求下列函数的最小正周期：(1)f (x )＝cos 4x －sin 4x ＋5，T ＝______________.(2)f (x )＝cosπx －3sin πx ，T ＝_______________.(3)f (x )＝2tan 2x 1＋tan 2x，T ＝_____________.(4)f (x )＝1－tan 2(πx )1＋tan 2(πx )，T ＝_____________. π；2；π；1289.化简：tan (45º－α)1－tan (45º－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝_______________. 14290.已知tan α2＝25，则2sin α＋3cos α3cos α－4sin α＝______________. －10317291.已知2sinθ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，则2cos 2θ＋4sin 2θ＝________________. 75292.已知sinx ＝23，且π2＜x ＜π，则sin x 2＝_______________. 15＋36293.若α是第三象限的角，且sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)＝－513，则tan α2＝______. －5294.若3sin α＝4cos α，且sin α＜0，则tan α2＝________________. －2295.已知tan 35º＝m ，则cos 20º1－sin 20º＝________________. 1m296.当k ∈Z 时，(tan 5π12)k (tan π12)k ＋2＝________________. 2－4 3297.若5π2＜α＜11π4，sin 2α＝－45，则tan α2＝_______________.5＋12298.若sin α＝35，α∈(π2，π)，tan (π－β)＝12，则tan (α－2β)为________________. 724299.在△ABC 中，cos (π4＋A )＝513，那么cos 2A ＝_____________. 120169300.已知tan (90º＋α)＝12，则sin 4α＝______________. 2425301.已知tan α、tan β是方程7x 2－8x ＋1＝0的两个根，则tan α＋β2＝______________. －2或12302.若sin α＋cos α＝－15，且0≤α≤π，则tan α＝_______________. －34303.若f (sin θ＋cos θ)＝sin θ＋cos θ＋sin 2θ－3，则f (x )的最大值是____________，最小值是_______________.2－2，－174304.已知A 是△ABC 的一个内角，α是一个锐角，并且sin α＝34，cos (A －α)＝74，则△ABC 是______________三角形.钝角305.若函数f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ＋asinxcosx 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围是_______________________. [－12，12]306.在△ABC 中，若sinAsinB ＝cos 2C 2，则这个三角形是_____________三角形. 等腰307.在△ABC 中，三个内角成等差数列，且A ＜B ＜C ，则cosAcosC 的取值范围是_________.(－12，14) 308.sin 57º－sin 33º＋22cos 81ºsin 69º＝________________. 22309.计算：sin 7º＋cos 15ºsin 8ºcos 7º－sin 15ºsin 8º＝_________________. 2－ 3310.计算：12sin 170º－2sin 70º＝_________________. 1311.计算：sin 69º－sin 3º＋sin 39º－sin 33º＝_________________. 6＋24312.计算：cos 108ºcos 132º＋cos 132ºcos 12º＋cos 12ºcos 108º＝__________________.－34313.计算：cos 271º＋cos 71ºcos 49º＋cos 249º＝_________________.34314.计算：cot 9º－cot 27º－cot 63º＋cot 81º＝________________.4 315.计算：34tan 10º＋sin 10º＝________________. 14316.计算：sin 10ºsin 30ºsin 50ºsin 70º＝_________________.116317.计算：cos π7cos 2π7cos 3π7cos 4π7cos 5π7cos 6π7＝________________. －164318.计算：8sin 2π7sin 22π7sin 23π7＝________________. 78319.计算：cos 2π15＋cos 4π15－cos 7π15－cos π15＝_________________. 12320.将sin 10º＋sin 20º－12化成积的形式是_____________________. 4sin 5ºsin 10ºsin 15º321.将cosx ＋cos 2x ＋cos 3x ＋cos 4x 化成积的形式是_____________________.4cos x 2cosxcos 5x 2322.已知sin (θ＋30º)sin (θ－30º)＝1120，则sin θ＝________________. ±2323.已知sin α＋sin β＝m ，cos α＋cos β＝n (n 、m 不同时为0)，则sin (α＋β)＝____________.2mnm 2＋n 2 324.已知f (x )＝cos (x ＋2θ)＋sin (x －2θ)是奇函数，则θ＝______________.k π2＋π8(k ∈Z ) 325.函数f (x )＝3sin (2x ＋10º)＋5sin (2x ＋70º)的最大值是______________.7三、解答题326.已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos (α＋β)＝－1665，求cos β的值。

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4.3 两角和与差的三角函数1．(2009年高考陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2解析：选 A.3sin α＋cos α＝0，则tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103. 2．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210解析：选B.由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选B.3．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( )A.225 B ．－225C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.4．(原创题)已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，∴tan α＝1.答案：15.已知sin (30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α的值为________．解析：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin (30°＋α)＝35，∴cos (30°＋α)＝－45.∴cos α＝cos [(30°＋α)－30°]＝cos (30°＋α)·cos 30°＋sin (30°＋α)·sin 30°＝－45×32＋35×12＝3－4310. 答案：3－43106．化简：(1)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)；(2)11－tan θ－11＋tan θ.解：(1)原式＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)cos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan (α－β)．(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.1．(2008年高考海南、宁夏卷)3－sin 70°2－cos 210°＝() A.12 B.22C ．2 D.32解析：选C.原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2，故选C . 2．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin (θ－5π)sin (32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229C ．－19 D.19解析：选B.由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cos θ＝223，由三角函数诱导公式可得sin (θ－5π)sin (32π－θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229，正确答案为B .3．已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则cos α＋sin α等于( )A ．－72 B.72C.12 D ．－12解析：选D .由已知可得cos (π－2α)sin (α－π4)＝－cos 2α22(sin α－cos α)＝－(sin α＋cos α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝sin α＋cos α22＝－22 ⇒sin α＋cos α＝－12.4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A ．sin (α＋β)>sin α＋sin βB ．cos (α＋β)>cos αcos βC ．sin (α＋β)>sin (α－β)D ．cos (α＋β)>cos (α－β)解析：选C .∵sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin (α＋β)>sin (α－β)．5．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x －25与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，记∠xOA ＝α(0<α<π2)，∠xOB ＝β(π<β<3π2)，则sin (α＋β)的值为( )A.35B.45C ．－35D ．－45解析：选D .由⎩⎨⎧y ＝2x －25x 2＋y 2＝1得点A(35，45)，点B(－725，－2425)．sin α＝45，cos α＝35，sin β＝－2425，cos β＝－725，然后由两角和的正弦公式求解．6．(2008年高考山东卷)已知cos (α－π6)＋sin α＝453，则sin (α＋7π6)的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：选C .∵cos (α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋12sin α＋sin α＝453， ∴3(12cos α＋32sin α)＝453， ∴sin (α＋π6)＝45，又∵sin (α＋7π6)＝sin (π＋α＋π6)＝－sin (α＋π6)，∴sin (α＋7π6)＝－45.7.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α的值为________．解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：18．若点P(cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵P(cos α，sin α)在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.∴sin 2α＋2cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＝2＋2tan α－2tan 2α1＋tan 2α＝2－4－2×41＋4＝－2. 答案：－29.2cos 5°－sin 25°cos 25°的值为________．解析：由已知得：2cos 5°－sin 25°cos 25°＝2cos (30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.答案： 310．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．解：∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos α－sin α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. 11．求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)．解：(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2)原式＝tan [(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan (π6－θ)tan (π6＋θ)]＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)＝ 3.12．(2008年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan (α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan (α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.。