数值计算简明教程
数值分析第二版课后答案
数值分析第二版课后答案【篇一：《数值分析简明教程》第二版(王能超编著)课后习题答案高等教育出版社】p.11，题1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不3超过10-3.【解】由二分法的误差估计式|x*?xk|?2k?1?1000.两端取自然对数得k?b?a1????10?3，得到k?1k?1223ln10?1?8.96，因此取k?9，即至少需ln2x2、（p.11，题2）证明方程f(x)?e?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用1二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。
2【解】由于f(x)?ex?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.又f(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.b?a11由二分法的误差估计式|x*?xk|?k?1?k?1????10?2，得到2k?100. 2222ln10?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分两端取自然对数得k?ln20.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：1?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字； 21?1因为|e?x2|?0.00828??0.05??10，所以x2?2.71亦有两位有效数字； 21?3因为|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效数字；2因为|e?x1|?0.01828??0.05??r1??r2?|e?x1|0.05??1.85%； x12.7|e?x2|0.05??1.85%； x22.71|e?x3|0.0005??0.0184%。
数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
SPSS简明教程(绝对受用)
第一章SPSS概览－－数据分析实例详解1.1 数据的输入和保存1.1.1 SPSS的界面1.1.2 定义变量1.1.3 输入数据1.1.4 保存数据1.2 数据的预分析1.2.1 数据的简单描述1.2.2 绘制直方图1.3 按题目要求进行统计分析1.4 保存和导出分析结果1.4.1 保存文件1.4.2 导出分析结果希望了解SPSS 10.0版具体情况的朋友请参见本网站的SPSS 10.0版抢鲜报道。
例1.1 某克山病区测得11例克山病患者与13名健康人的血磷值(mmol/L)如下, 问该地急性克山病患者与健康人的血磷值是否不同（卫统第三版例4.8）？患者: 0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人: 0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87解题流程如下：1.将数据输入SPSS，并存盘以防断电。
2.进行必要的预分析（分布图、均数标准差的描述等），以确定应采用的检验方法。
3.按题目要求进行统计分析。
4.保存和导出分析结果。
下面就按这几步依次讲解。
§1.1 数据的输入和保存1.1.1 SPSS的界面当打开SPSS后，展现在我们面前的界面如下：请将鼠标在上图中的各处停留，很快就会弹出相应部位的名称。
请注意窗口顶部显示为“SPSS for Windows Data Editor”，表明现在所看到的是SPSS的数据管理窗口。
这是一个典型的Windows软件界面，有菜单栏、工具栏。
特别的，工具栏下方的是数据栏，数据栏下方则是数据管理窗口的主界面。
该界面和EXCEL极为相似，由若干行和列组成，每行对应了一条记录，每列则对应了一个变量。
由于现在我们没有输入任何数据，所以行、列的标号都是灰色的。
请注意第一行第一列的单元格边框为深色，表明该数据单元格为当前单元格。
数值方法简明教程作业集答案
数值计算方法简明教程第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。
2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。
4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。
令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。
5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。
6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。
则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。
而11010<<-δ，故计算过程稳定。
《数值分析简明教程》讲义
2.2插值多项式的存在唯一性
定理：设节点 互异，则在次数不超过n的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 存在且唯一。
2.3 拉格朗日插值多项式
1、线性插值
问题：求作一次式 ，使满足条件
，
从几何图形上看， 表示通过两点 ， 的直线，因此，一次插值亦称线性插值。
例1：已知 ， ， 求 。（10.723）
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
33;1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
数值分析简明教程0-1 (14)
• 对于欧拉格式， 对于欧拉格式，假设 y n = y ( xn ) ，则有： 则有：
' y n +1 = y ( x n ) + hf ( xn , y ( x n )) = y ( x n ) + h y ( xn )
• 按泰勒展开有： 按泰勒展开有：
y ( x n +1) = y ( xn ) + h y ( xn ) +
第三章 常微分方程的差分法
第三章 常微分方程数值解
3.1 欧拉方法 § 3.2 龙格-库塔方法 § 3.3 亚当姆斯方法 § 3.4 收敛性与稳定性 § 3.5 方程组和高阶方程 §
2
本章要点： 本章要点 本章主要研究常微分方程的定解问题。 本章主要研究常微分方程的定解问题。 这类问#39; h2 2
y
''
(ξ )
x n < ξ < x n +1
• 从而有： 从而有：
y ( x n +1) − y n +1 =
h2 2
y
''
(ξ )
• 这说明欧拉格式是一阶方法。 这说明欧拉格式是一阶方法。
11
二、 隐式欧拉格式
y ( x n +1 ) − y ( x n ) 若用向后差商 h
' y 代替方程 ( xn +1) = f ( xn +1 , y ( x n +1))
-----------(3)
(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:
′ = f 1 ( x , y1 , y2 ) y1 ′ = f 2 ( x , y1 , y 2 ) y2 y1 ( x0 ) = y10 y2 ( x0 ) = y20
大学计算机基础简明教程(第3版)教学课件3
R进制数用 r个基本符号（0,1,2,…,r-1） 表示数码
R进制数N 展开式可表示为：
N=an-1×rn-1＋an-2×rn-2＋…＋a0×r0＋a-1×r-1＋…＋a-m×r-m
n 1
ai r i
im
6
二进制位权表示：
不足补零
问题：
1 101 101 110.110 101(B)= 1556.65(O) 已知456.78（D）
15 5 6 6 5
如何快速地转换成
11 0110 1110.1101 01(B)=36F.D4(H) 二、八、十六进制？
36 F D4
10
二进制、八进制、十六进制数间的关系
八进制 对应二进制
输出设备
内存
各种处理
二／十进制转换
数值
西文字形码
西文
汉字字形码
汉字
数／模转换
声音、图像
3
3.1数制与转换
4
3.1.1进位计数制
十进制数的表示，如678.34的位权展开式 678.34=6×102+7×101+8×100 +3×10-1+4×10-2
数码
基数
权
问题： 七进制数4532.1的位权展开式？
职称编码
教师 科研 工程
教授 011 研究员 061 教授级高工 081
副教授 012 副研 062 高工
082
讲师 013 助研 063 助教 014 见习 064 未定职 019 未定职 069
工程师 助工 未定职
083 084 089
数值分析简明教程讲义
eXL2(x)1 0.9417568X
0.3096362x2
3、
一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［
a,b］上n+1个互异节点
函数值分别为，yo,y1,...yn，求n次插值多项式
Ln(x)，满足条件
Ln(Xj)yj,j=0,
1,…，n
令
Ln(x) y°l0(x) y1〔1(X)... ynln(x)
设函数y=f(x)在区间［a,b］上有n+1个互异点X0，X1 ,...Xn，对应的函数值分别为,y0,y1,...yn，若存在一个简单函数y=p(x)，使其经过y=f(x)上的 这n+1个已知点(X0,y0),(X1, y1),…，(xn,yn)，即
/P(xi)=yi, i=0,1,…,n
那么，函数p(x)称为插值函数，点x0,x1,...Xn称为插值节点，包含插值节点的区间
一、 误差的来源
1、 模型误差
用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽 象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为 模型误
差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、 观测误差
在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度， 长度，电压等等，测量
的结果不可能绝对正确， 由此产生的误差称为 观测误差。观测误差在数值计算方法中也不
予讨论。
3、 截断误差（方法误差）
在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确 解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、 舍入误差
在计算过程中，由于计算机的字长有限， 采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表 示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为 舍入误差。。
数值分析简明教程
ℓi1
=
ai1 u11
(i = 2,3,∙∙∙, n)
ukj = akj − ∑km−=11 ℓkmumj
ℓik
=
1 ukk
�aik
−
∑km−=11
ℓimumk�
(j = k, k + 1,∙∙∙, n) (i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对．称．正．定．）：
则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x∗；
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周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且
lim
k→+∞
������������
=
������∗
(3) 后验误差估计：
|xk
−
x∗|
≤
L 1−L
|xk
−
xk−1|
先验误差估计：
|xk
−
谱半径：
n 阶 矩 阵 B 在 复 数 范 围 内 的 各 特 征 值 为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ， 则 称 ρ(B) = max1≤i≤n|λi| 为 B 之谱半径。
ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）
矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1‖‖A‖
② 系数矩阵 A = (aij)n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x(k+1) = (1 − ω)x(k) + ωD−1(b − Lx(k+1) − Ux(k))� ： ⇓
x(k+1) = Bωx(k) + ω(D + ωL)−1b Bω = (D + ωL)−1[(1 − ω)D − ωU]
数值分析简明教程课后习题答案
；
。
【解】（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令时等式精确成立，可解得：
即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则
2、（p.96，习题25）设已给出的数据表，
x
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值，并估计误差。
【解】已知，用三点公式计算微商：
，
用余项表达式计算误差
3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。
；
（2），而，实际误差为：。
由,可知，则余项表达式
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
【解】构造残差xx函数如下：
，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
：，
：，
解方程组（1）和（2），得
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。
，，取；
，，取；
【解】（1）；
（2）。
2、（p.124，题2）取，用xx方法求解初值问题，。
【解】xx格式：；化简后，，计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
数值分析简明教程讲义
第1章 绪论数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下: 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。
1.1 误差的基本概念除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。
数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。
一、误差的来源 1、模型误差用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、观测误差在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。
观测误差在数值计算方法中也不予讨论。
3、截断误差（方法误差）在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、舍入误差在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。
二、绝对误差和相对误差1、绝对误差秘绝对误差限设数x (精确值)有一个近似值为*x ，记 称e(x)为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
当e(x)为正时，近似值*x 偏大，叫做强近似值 ；当它为负时，近似值*x 偏小，叫作弱近似值。
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第一章SPSS概览－－数据分析实例详解1.1 数据的输入和保存1.1.1 SPSS的界面1.1.2 定义变量1.1.3 输入数据1.1.4 保存数据1.2 数据的预分析1.2.1 数据的简单描述1.2.2 绘制直方图1.3 按题目要求进行统计分析1.4 保存和导出分析结果1.4.1 保存文件1.4.2 导出分析结果希望了解SPSS 10.0版具体情况的朋友请参见本网站的SPSS 10.0版抢鲜报道。
例1.1 某克山病区测得11例克山病患者与13名健康人的血磷值(mmol/L)如下, 问该地急性克山病患者与健康人的血磷值是否不同（卫统第三版例4.8）？患者: 0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人: 0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87解题流程如下：1.将数据输入SPSS，并存盘以防断电。
2.进行必要的预分析（分布图、均数标准差的描述等），以确定应采用的检验方法。
3.按题目要求进行统计分析。
4.保存和导出分析结果。
下面就按这几步依次讲解。
§1.1 数据的输入和保存1.1.1 SPSS的界面当打开SPSS后，展现在我们面前的界面如下：请将鼠标在上图中的各处停留，很快就会弹出相应部位的名称。
请注意窗口顶部显示为“SPSS for Windows Data Editor”，表明现在所看到的是SPSS的数据管理窗口。
这是一个典型的Windows软件界面，有菜单栏、工具栏。
特别的，工具栏下方的是数据栏，数据栏下方则是数据管理窗口的主界面。
该界面和EXCEL极为相似，由若干行和列组成，每行对应了一条记录，每列则对应了一个变量。
由于现在我们没有输入任何数据，所以行、列的标号都是灰色的。
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数值分析简明教程第二版课程设计
数值分析简明教程第二版课程设计背景本次课程设计是为数值分析课程的学生提供的，旨在提高学生的计算能力和编程能力，加深对数值分析内容的理解。
数值分析作为一门重要的数学基础课程，在各个领域都有广泛应用，从工程到科学、社会领域都涵盖了数值分析的知识。
本次课程设计将会涉及以下方面：•数值微积分•插值与逼近•数值解方程•数值积分与微分方程•非线性方程的求解目的通过本次课程设计，学生将学习到：•数值分析的基本方法和算法；•如何编写数值分析的程序和实现算法；•理解数值分析的应用场景和思考数值分析方法的正确运用；内容根据课程设计的要求，学生需要掌握以下几个教学点：数值微积分•数值微积分的基本概念•常用数值微积分算法的原理和实现•数值微积分的误差分析插值与逼近•插值与逼近的基本概念和区别•常用数值插值算法的原理和实现•插值与逼近的误差分析数值解方程•数值解方程的基本概念和分类•常用数值解方程算法的原理和实现•数值解方程的误差分析数值积分与微分方程•数值积分的基本概念和分类•常用数值积分算法的原理和实现•微分方程的数值解法和实现非线性方程的求解•非线性方程的基本概念和分类•常用非线性方程求解算法的原理和实现•非线性方程求解的误差分析要求根据上述教学点，学生需要完成以下几个任务：1.编写数值微积分的程序，并进行误差分析；2.完成插值与逼近的程序，并进行误差分析；3.实现数值解方程的算法，并进行误差分析；4.实现数值积分的算法，并进行误差分析；5.实现非线性方程求解的程序，并进行误差分析。
建议以下是一些建议，帮助学生顺利完成本次课程设计：1.提前了解各个教学点的基本概念和算法，有一个整体的感觉；2.仔细阅读本次课程设计的要求和指导，明确任务和目标；3.切实利用计算机和编程技能，提高效率和精度；4.不断进行实验和调试，及时发现和修复错误；5.在完成任务的过程中注重思考和总结，认真分析算法和结果的合理性。
结语数值分析是一个充满挑战和机遇的学科，希望学生们通过本次课程设计，掌握数值分析的基本方法和技能，为今后的研究和工作提供强有力的支持，也希望大家在学习过程中，勇于创新和探索，挖掘数值分析知识的潜力和应用价值。
数值方法简明教程教学设计
数值方法简明教程教学设计1. 简介数值方法是一种数学计算、分析和解决问题的方法，它将数学问题转化为计算机程序可以解决的问题，并使用数值计算方法进行求解。
数值方法对于计算科学领域的研究和应用具有重要意义，因此在理工科专业的课程中广泛开设。
本文旨在给出一份简明教程教学设计，帮助教师在授课时更好地引导学生深入理解和掌握数值方法的基本概念、原理和应用。
2. 教学目标本教程的教学目标如下：1.培养学生从实际解决问题的角度出发，将数学问题转化为可以使用计算机解决的数值问题的能力；2.掌握数值计算方法和常用的算法，如二分法、牛顿法、迭代法等；3.熟练掌握 MATLAB 或 Python 等计算工具，实现数值方法中的算法；4.培养学生的创新思维和学习能力，使他们能够独立思考和解决应用数学问题。
3. 教学内容及进度安排第一章数值计算基础本章主要介绍数值计算的基本概念、误差分析和计算机数值表示方法，为后续章节的学习打下基础。
1.数值计算的基本概念2.误差分析3.计算机数值表示方法第二章非线性方程的求解本章主要介绍非线性方程的求解方法，包括二分法、牛顿法和迭代法等。
1.一元非线性方程的求解2.多元非线性方程的求解3.MATLAB 或 Python 实现方法第三章线性方程组的求解本章主要介绍线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、LU 分解法和共轭梯度法等。
1.线性方程组的基本概念和求解方法2.高斯消元法和 LU 分解法的实现3.共轭梯度法的介绍和应用第四章数值积分和微分本章主要介绍数值积分和微分的基本概念和方法，包括复合梯形公式、复合Simpson 公式和数值微分等。
1.数值积分和微分的基本概念和误差分析2.复合梯形公式和复合 Simpson 公式的实现3.数值微分的应用和实现第五章常微分方程初值问题的数值解法本章主要介绍常微分方程的数值解法，包括欧拉法、龙格-库塔法和改进的欧拉法等。
1.常微分方程初值问题的基本概念和数值解法2.欧拉法、龙格-库塔法和改进的欧拉法的实现3.MATLAB 或 Python 在解常微分方程初值问题中的应用4. 教学方式本教程建议采用以简为繁、由浅入深的方法进行教学。
Mathematica9.0简明教程24页
Mathematica9.0简明教程24页Mathematica 9.0简明教程/doc/440cc092763231126fdb1159.html 2015年10⽉10⽇⽬录0.Mathematica启动与帮助 (2)1. Mathematica基本使⽤ (3)2. Mathematica的基本语法特征 (3)3. Mathematica 中的数据类型和数学常数 (4)4. Mathematica数的运算符 (4)5. Mathematica 中的精确数与近似数 (4)6. Mathematica中的表 (5)建表命令： (5)分量命令： (6)运算命令 (6)7. Mathematica中的变量 (7)(1) Mathematica的变量命名 (7)(2) Mathematica中的变量取值与清除 (7)(3) Mathematica中有关变量的注意事项 (8)8. Mathematica中的函数 (9)(1).的Mathematica内部函数 (9)(2).Mathematica中的⾃定义函数 (10)(3).Mathematica中的函数求值 (11)9. Mathematica中的表达式 (11)(1).Mathematica中的算术表达式 (12)(2).Mathematica中的关系表达式 (12)(3).Mathematica中的逻辑表达式 (12)(4).Mathematica中的复合表达式 (13)10.Mathematica 中的⼀些符号和语句 (13)(1).Mathematica中的专⽤符 (13)(2).Mathematica中的屏幕输出语句 (14)11. 绘图 (15)（⼀）．Mathematica绘图命令有如下⼀些常⽤形式： (15)（⼆）．绘图命令中的选择项参数的形式为: (18)Mathematica⾃1988年由美国的Wolfram Research公司⾸次推出，是⼀个功能强⼤的常⽤数学软件, 不但可以解决数学中的数值计算问题, 还可以解决符号演算问题, 并且能够⽅便地绘出各种函数图形。
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数值分析简明教程
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王能超 编著
引言
实际问题中碰到的函数是各种各样的。有的表达很复杂，
有的
甚至给不出数学式子，而只是给出了一些离散数据——譬如某些点 的函数值和导数值。面对这种情况，一个很自然的想法就是构造某 个简单的函数作为要考察的函数的近似 。如果要求近似函数取给定 的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比 较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。 本章先讨论代数插值，然后在此基础上进一步研究所谓的样
算
作为
的近似值总有误差
0 1 n
，
x 称误差
为插值余项。下面给出著名的拉格朗日余项定理： f x x , x , , x a,b
定理 n设区间 1 该区间内有连 续直到 ，则当
f
含有节点, i 0 ,1, , n xi yi
pn x
，而 a , b x
题方案的准确而完整的描述。
计算公式是算法的核心概念。计算机上使用的算法，其计 算公 式常采用递推化的形式。递推化的基本思想是将一个复杂的计算过 程归结为简单过程的多次重复。 这种重复在算法上表现为循环，描 述是容易的。
数值分析简明教程 3 王能超 编著
多项式求值的秦九韶算法
x 设要求对给定
的求下列多项式的值
x x1 x 0 x1
, l1 x
x x0 x1 x 0
x
l0 x
l0
和 x0
1, l 0
分别满足条件 x1 0 , l1 x1 1, l1 x 0
p1 x
0
可见，插值问题的解 和
数值分析简明教程 13
可以通过插值基函数 y , y
次插值
k
x
x
k 1
k 1
x x
k 1
i
次插值
，既有递
推公式
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18 据此可以通过逐步线性插值生成高次插值。
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具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
p 1 x p 0 x c1 x x 0 p0 x f
其中 ，
，使满足条件，
y 0 , k 0 ,1, , n
这里
f
x
对于给定函数
pn x f
为一组已知数据。 (k ) (k ) f x 0 ＝ y 0 , k 0 ,1, , n ，设已知导数值
f
(n)
则上述插值问题的解就是泰勒多项式：
x0 f ' x0 x x0
这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 称为插值节点。
xi
（它们互不相同）
我们将从最简单的线性插值出发，进而讨论稍微复杂的抛物插
值，通过对这两种简单情形进行归纳最后得出拉格朗日公式的一般 情形。
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线性插值
p 求作一次式 1 x p1 x 0
问题
，使满足条件
和
所界定
内，因而
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误差的事后估计
下面介绍另一种误差估计方法。
x 考察三个节点1 , x 2 , x 3
x x ，对于给定的插值点 0
x，设用 1
和
进
y1
x1
x2
行线性插值求的一个近似值为 ，用 f '' x y2 a,b y 个近似值为 ，若假设 y 1 x x1 在
x0
n!
x x0
n
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拉格朗日插值
f 如果仅仅给出一系列节点上的函数值x i y i , i 0 ,1, , n
则插值问题可表述为如下： 问题 求作次数
n
pn 多项式 x
，使满足条件
p n x i y i , i 0 ,1, n
误差限和有效数字
的近似值，误差的绝对值 的上界
x 设以
x 代表数
*
称为近似
值
x x x
的绝对误差限；称
为相对误差限，如果 *
满足：
x
*
对于 其中， 误差
x
m 的近似值（规格化形式） x 0 .a a a 1 0 1 2 n
a1 , a 2 , , a n
a1 0
2 n
p x a 0 a1 x a 2 x a n x
由于该式有如下嵌套形式： p x a n x a n 1 x
a n 2 a1 x a 0
故有如下求该多项式值的秦九韶算法：
v0 a n k 1, 2 , ， n v k x v k 1 a n k
y 0 , p 1 x1 y 1
( x 0 , y 0 ), ( x1 表示过两点, y 1 )
y 从几何图形上看， p 1 x 的直线，
因此可表为如下对称形式： x y 0 l 0 x y 1 l1 x p1 其中
l1
l0 x
引论
许多科学问题的解决都离不开科学计算。本门课程将着 重
绍进行科学计算所必须掌握的一些最基本、最常用的算法,并分
析其误差。
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王能超 编著
研究算法的意义
尽管计算机的运算速度高， 可以承担大运算量的工作，但 这并 不意味着我们可随意选择 计算机上的算法，相反的，算法的优劣决 定着计算效率的高低，能否正确地制定算法也是科学计算成败的关 键。
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误差的来源
数值计算中的近似是正常的，计算误差是不可避免的： 为要进行数值计算，我们往往把实际问题归结为数学问题，然后建 立起合适的数学模型。而这些模型描述的近似必然会产生误差；在
数值计算过程中也不可避免的会产生误差，本书主要考察截断误差
和舍入误差。
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王能连续，且
f
x
0
在
上有唯一的实根 x a b / 2 。 a,b 0 考察有根区间 f x ，取中点 f a 0 两半。然后
x0
将它分为 是否同号。若确定同号，说明 ，否则必在
x0
进行根的搜索，即检查 所 a 1 x 0 , b1 b
问题
二次插值的几何解释是用通过三个点 的抛物线 y p x
2
令
l0 x
p 2 x 来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值， l 0 x y 0 l1 x y 1 l 2 x y 2
易知，
故有，
应满足条件 x x1 x x 2 l0 x x 0 x1 x 0 x 2
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王能超 编著
什么是算法
我们所说的“ 算法”必须是构造性的数值方法，即不但要 论证问 题的可解性，而且解的构造是通过数值演算过程来完成的。同传统 的近似计算方法不同，我们要研究的算法是为电子计算机提供的， 解题方案中的每个细节都必须准确的定义，并且要完整地描述整个 解题过程。我们所说的“算法”不仅仅是单纯的计算公式，而是指 解
k k k 区间 ，对于有根区间 x根区1 , x 2 , ,x 0
/2
施行同样手续可得到新的有
x
*
间
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，反复如此我们可得到一系列的有根区间：
5 王能超 编著
误差分析不可忽视
在研究算法的同时必须注意误差分析。否则，一个合理的算 法 也可能得出错误的结果。比如，两个相近的数相减，会造成有效数 字的严重损失。两个相差悬殊的数作加减运算会造成“小数”吃“ 大数” 的后果等等。
a1 , b 求的根在1 左侧，这 a 2 , b2 时令 有根
x a b
a 1 a , b1 x 0
和
a1 的右侧，这时令 , b1
a 2 , b2 a , b a 1 , b1 ，于是我们就得到了一个长度压缩了一半的
在 已给
阶导数，且
f
n f x pn x x xk n 1! k 0 时，对于拉格朗日公式确定的 成立
( n 1 )
x
a,b
x 0 , x1 , , x n
x
式中 是与 的范围
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有关的点，它包含在由 。
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n
y k lk x
k 0
k 0 j0 jk
n
n
x xj xk x j
yk
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拉格朗日余项定理
f 依据的数据表构造出x 点 x 处计 f x p
n
pn x 的插值函数
R x f
x
，在插值
pn x
n i i
pn x 多项式
，使
l k x , k 0 ,1, 2 , , n
的问题，我们可构造插值基函数 n ，它们都 是次数小于
0, j k lk kj 的多项式x j ， 且满足条件 1, j k
则有如下拉格朗日插值公式：
pn x
k－ 1
f k－ 1 x k 1
和节点 ，我们记这一结果为 。 f k－ 1 x i f k xi k 利用拉格朗日插值公式易知，利用两个 x xi x x k 1 与 f x f x f x ,i