广东省清远市第三中学2017届高三上学期第八次周考数学(理)试题含答案

广东省清远市清城区三中高三第一学期第八次周考
数学（理）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题（60分，每题5分）
1. 已知集合{11
}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B = （ ） （A ） [1,0]- （B ） ]2,1[（C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞ 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2
2z z
+=（ ） （A ）1i +（B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+
3. 已知a
=1,b
=2，且a )(b a
-⊥，则向量a
与向量b
的夹角为（ ）
（A ）6π（B ）4π （C ） 3
π
（D ）23π
4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC
的面积为（ ）
（A ）
1
2
（B ）1 （C D ）2 5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数
2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ）
（A ）
25 （B ）35 （C ）12 （D ）310
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
11
12
，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
（A ）
323 （B ）64 （C
（D ） 643 8. 已知直
线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若
0=⋅，则实数=m （ ）
（A
（B
）2
（C ）21 （D ）0
9. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的
[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有
1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）
（A ）2()f x x = （B ）()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+
10. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则当xy 取得最大值时，点P 的
坐标是（ ）
（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6)（D ）5(,5)2
11. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
与函数0)y x =≥的图象交于点P .
若函数
y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）
（A
（B ）
（C
（D ）32
12. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是
（ ） （A ）14 （B ）1 （C ）2 （D ）1
2
二、填空题（20分，每题5分） 13. 若函数53)(2++-=
a ax ax x f 的定义域为R ，则a 的取值范围是.
14.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的
中点，若CE mAB nAC =+
，则m n +=．
15.如图放置的边长为2的正方形PABC 沿x 轴正半轴滚动．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝
f (x )，则f (x )的最小正周期为________；y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域
的面积为________．
16.已知函数1)(2
+=x x f ，)(2))(()(x f x f f x g λ-=，若函数)(x g 在区间]1,2[--为增函数，则λ的取值范围为___________________.
三、解答题（70分）
17．（12分）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1﹣a n +2． （Ⅰ）设b n =a n+1﹣a n ，证明{b n }是等差数列； （Ⅱ）求{a n }的通项公式．
18. （本小题满分12分）
定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，对任意的R b a ∈,都有
)()()(b f a f b a f ⋅=+，且对任意的R x ∈，恒有0)(>x f .
（1）求)0(f ；
（2）若1)2()(2
>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.
19．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2+x．
（Ⅰ）讨论函数g（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若不等式2f（x）≤g′（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）设S n是数列{a n}（n∈N*）的前n项和，a1=1，且S n2=n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）证明：a n+2﹣a n=2（n∈N*）；
（2）若a n=log3b n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．
21．（10分）（2016•漳州二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF 垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．
22．（12分）设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．
数学（理）答案
一、1-12：CABCB CDBDD AD 二、
13. 14.
1
2
15.4 ，2π＋2. 16.
三、
17、解：（Ⅰ）由a n+2=2a n+1﹣a n+2得，
a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，
由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，
即b n+1﹣b n=2，
又b1=a2﹣a1=1，
所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，
则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
==（n﹣1）2，
又a1=1，
所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2
18.⑴f(0)=1 ⑵0﹤x﹤3
19.解：（Ⅰ）由g（x）=x3+ax2+x，求导g′（x）=3x2+2ax+1，判别式△=4a2﹣12，
令△=0，解得a=±；
当﹣≤a≤时，△=4a2﹣12≤0，g′（x）≥0，
所以y=g（x）在R上单调递增，无极值，无极值点；
当a＜﹣或a＞时，△＞0，
所以g′（x）=3x2+2ax+1=0有两个不等的实根x1和x2，则
；
从而有下表：
根据表格可知此时函数g （x ）有两个极值点，极大值点x 1，极小值点x 2． （Ⅱ）即：2xlnx ≤3x 2
+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立， 可得a ≥lnx ﹣x ﹣对x∈（0，+∞）上恒成立； 设h （x ）=lnx ﹣
﹣
，
则h ′（x ）=﹣+=﹣
令h ′（x ）=0，得x=1或x=﹣（舍）；
当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0；当x ＞1时，h ′（x ）＜0 ∴当x=1时，h （x ）取得最大值，h （x ）max =﹣2，∴a ≥﹣2．
∴a 的取值范围是上单调递减，在上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是
⎩
⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，
f （－1）－f （0）≤e －1， 即⎩
⎪⎨⎪⎧e m
－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1. ① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t
－1.
当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
又g (1)＝0，g (－1)＝e －1
＋2－e<0，故当t ∈时，g (t )≤0. 故当m ∈时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t )的单调性，知g (m )>0，即e m
－m >e －1； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m
＋m >e －1.
综上，m的取值范围是．。