高中数学第17讲(必修2)直线与圆、圆与圆的位置关系

k 2 + 4 − 4 ( k 2 −15 ) > 0 , 1+ 2 2 + k + 4 + k 2 −15 > 0
解得 − 8 3 3 <k<-3或2<k< 或
8 3 3
.
1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 设直线的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆 设直线的方程为 圆 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 的方程为 Aa + Bb + C (1)圆心到直线的距离 ① 圆心到直线的距离d=① 圆心到直线的距离 A2 + B 2 ⇔ 相切 相切___________ b=r ,
5.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为 ，圆的半径为r，则有： 设点 到圆心的距离为d，圆的半径为 ，则有： 到圆心的距离为 圆外 (1)d＞r，点P在 18____________； ＞， 在 ； 圆上 (2)d=r,点P在 19 ______________; 点 在 圆内 (3)d＜r,点P在 20 ______________. ＜ 点 在 设点P(x 圆的方程为x 则有: 设点 0,y0),圆的方程为 2+y2+Dx+Ey+F=0,则有 圆的方程为 则有 ; (1) x 2 + y 2 + Dx + Ey + F ＞0,点P在 21 圆外 点 在
(3)过两定圆 1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 过两定圆C 和 过两定圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为 的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (其中参数 ∈R,不含圆 2的方程 当λ=-1时，方 其中参数λ∈ 不含圆 的方程.当 不含圆C 其中参数 时 程表示两圆公共弦所在直线的方程). 程表示两圆公共弦所在直线的方程
0 0 0 0 2 2 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F =0,点P在 22 (2) 点 在 2 (3)x0 + y02 + Dx0 + Ey0 + F ＜0,点P在 23 点 在
圆上 圆内
; .
典例精讲
题型一直线与圆的位置关系的判定与应用 题型一直线与圆的位置关系的判定与应用
例1 直线与圆的位置关系的判定与应用
x y x
当直线y=kx与圆相切时，斜率取最大值和 与圆相切时， 当直线 与圆相切时 2k − 0 最小值， 解得k= 3±,所 最小值，此时 k + 1 = 3 ,解得 解得 所 最小值是－ 以yx的最大值是 3 ，最小值是－ 3 . 的最大值是 (2)(方法一 方法一)y-x可看作是直线 可看作是直线y=x+b在 y轴上的 方法一 可看作是直线 在 轴上的 截距,当直线 当直线y=x+b与圆相切时 纵截距取得最 与圆相切时,纵截距取得最 截距 当直线 与圆相切时 大值和最小值,此时 解得b=-2± 6 , 大值和最小值 此时 2 − 0 + b = 3 ,解得 解得 ± 2 所以y-x的最大值是 的最大值是-2+ 6 ,最小值是 最小值是-2- 6 . 所以 的最大值是 最小值是 (方法二 由已知得圆的参数方程为 方法二)由已知得圆的参数方程为 方法二
2.圆的切线及圆的弦 圆的切线及圆的弦 (1)过圆 2+y2=r2 上一点 0,y0)的切线方 过圆x 上一点P(x 过圆 的切线方 x0x+y0y=r2 ； 过圆x 程为 ⑧ ____________； 过圆 2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线，则切点弦所在直线 作圆的两条切线， 作圆的两条切线 x0x+y0y=r2 . 的方程为⑨ 的方程为⑨____________ (2)圆的弦长 ⑩________(d为弦心距 ； 圆的弦长l=⑩ 2 r 2 + d 2 为弦心距 为弦心距)； 圆的弦长 圆的切线长l= 圆的切线长 s 2 +(s为点到圆心的距 r 2为点到圆心的距 离).
4.圆系方程 圆系方程 (1)同心圆圆系方程 17 (x-a)2+(y-b)2=r2 其 同心圆圆系方程 _____________(其 为常数， 为变量 为变量,r≠0),表示以 表示以(a,b)为 中 a、 b为常数 ， r为变量 、 为常数 表示以 为 圆心，半径为r的圆系 的圆系. 圆心，半径为 的圆系 (2) 过 定 直 线 l:Ax+By+C=0 和 定 圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 的 交 点 的 圆 系 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(参数 ∈R). 参数λ∈ 参数
π
2 4
π
π
2
,π),
或
3π 直线与圆相切. 时，直线与圆相切 4
(2)由∆>0,即1-tan2α>0,得-1<tБайду номын сангаасnα<1. 由 即 得 又α∈［0, 2)∪( 2,π), ∈ ∪ π 3π 所以0≤α< 或 <α<π时，直线与圆相 所以 时
4
π
π
交.
4
(3)由∆<0,即1-tan2α<0,得tanα<-1或tanα>1. 由 即 得 或 又α∈［0, ∈ 所以π4<α< 所以 离.
第17讲 17讲
直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆、
能充分利用几何性质判定直 线与圆、圆与圆的位置关系， 线与圆、圆与圆的位置关系，能熟 练地分析求解与圆的切线和弦有关 的综合问题，提升运算和推理能力 的综合问题，提升运算和推理能力.
1. 对 于 x∈R ， 直 线 (3k+2)x-ky-2=0 与 圆 ∈ x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是 D ) 的位置关系是( 的位置关系是 A.相交 相交 B.相切 相切 C.相离 相离 D.可以相交 也可能相切,但不可能相离 可以相交,也可能相切 但不可能相离 可以相交 也可能相切
由圆的方程可知,圆心为 ， 半径为 半径为r=2. 由圆的方程可知 圆心为(1，1),半径为 圆心为 圆心到直线的距离
d= 3k + 2 − k − 2 (3k + 2) + k
2 2
=
2k (3k + 2) + k
2 2
≤2， ，
故选D. 故选
2 所以直线与圆相交或相切(当 相切). 所以直线与圆相交或相切 当k= − 时,相切 相切 3
圆 C1:(x-m)2+(y+2)2=9, 圆 C2:(x+1)2+(ym)2=4，则C1(m,-2)，C2(-1,m). ， ， (1)若圆 1与圆 2相外切， 若圆C 与圆C 相外切， 若圆 则有 (m + 1)2 + (m + 2)2 =3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25, 即 所以m +3m-10=0，解得m=-5或 所以m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2. 从而， 与圆C 相外切. 从而，当m=-5或m=2时，圆C1与圆 2相外切 或 时 (2)若圆 1与圆 2内含 则有 (m + 1)2 + (m + 2)2 3-2, 若圆C 若圆 与圆C 内含,则有 ＜ 即m2+3m+2＜0， ＜ ， 解得-2＜ ＜ 解得 ＜m＜-1. 从而， 与圆C 内含. 从而，当-2＜m＜-1时，圆C1与圆 2内含 ＜ ＜ 时
或已知两圆位置关系求方程时， 系，或已知两圆位置关系求方程时， 只要利用圆心距与两圆的半径之间的 几何关系，即可找到解决问题的途径. 几何关系，即可找到解决问题的途径
点评已知两圆方程判断两圆位置关
题型三 与位置关系有关的最值问题
满足方程x 已知实数 、y满足方程 2+y2-4x+1=0.求: 求 例3 已知实数x、 满足方程 (1) yx的最大值和最小值； 的最大值和最小值； 的最大值和最小值 (2) y-x的最大值和最小值； 的最大值和最小值； 的最大值和最小值 (3) x2+y2的最大值和最小值 的最大值和最小值. 原方程化为(x-2)2+y2=3，表示以 原方程化为 ，表示以(2,0)为 为 圆心， 圆心，为半径的圆 3 . (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的 斜率， 斜率，所以设 y =k，即y=kx， ， ，
相离 几何法). 圆与直线 相离___________(几何法 几何法 ⇔ b>r b<r 相交 相交___________ ⇔
(2)判别式法：由方程组 判别式法： 判别式法
Ax + By +C =0
( x − a )2 + ( y −b )2 = r 2
得关于x(或 的一元二次方程 的一元二次方程， 得关于 或y)的一元二次方程，则判别式 相交 ＞0 ⇔ ⑤____________ ∆ =0⇔ ⑥ 相切 (代数法 代数法). 代数法 相离 ＜0 ⑦_____________ ⇔ (3)直线与圆相离时，圆上各点到直线的距 直线与圆相离时， 直线与圆相离时 离中的最大值和最小值的求法可用线心距法. 离中的最大值和最小值的求法可用线心距法 (4)直线与圆相交时，弦长的求法可利用弦 直线与圆相交时， 直线与圆相交时 心距、半径及半弦长组成的直角三角形， 心距、半径及半弦长组成的直角三角形，运用 勾股定理求解. 勾股定理求解
3.过圆 过圆(x-1)2+(y+2)2=9和圆 2+y2=4两交点 和圆x 过圆 和圆 两交点 的直线方程是 x-2y=0 . 两方程相减得-2x+1+4y+4=5, 两方程相减得 即-2x+4y=0，故所求方程为 ，故所求方程为x-2y=0.