高一数学下册《数列》知识点复习人教版
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
数列高中知识点归纳总结
数列高中知识点归纳总结数列是高中数学中常见的概念之一，而且在很多数学问题中都扮演着重要的角色。
它们不仅在学习上具有重要性，而且在实际应用中也起着关键作用。
本文将对数列的基本概念、性质和常见类型进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用数列。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一组数。
2. 通项：数列中的每一项都称为通项，通常用字母a、b、c等表示。
3. 公式：数列的通项可以通过一个数学公式来表示。
4. 首项与公差：等差数列中，首项是数列中的第一项，公差是指相邻两项之间的差值。
二、等差数列1. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之间具有相等差值的数列。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
3. 性质：a. 两项和公式：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (n/2)(a1+ an)。
b. 通项求和公式：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an)n/2。
三、等比数列1. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之间具有相等比值的数列。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
3. 性质：a. 两项和公式：等比数列的前n项和Sn（r ≠ 0）可以表示为Sn = (a1(r^n - 1))/(r - 1)。
b. 无穷项和公式：等比数列的无穷项和S∞（|r| < 1）可以表示为S∞ = a1/(1 - r)。
四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列，常用符号表示为1, 1, 2, 3, 5, 8, ...2. 等差-等比数列：等差-等比数列是指其每一项都是等差数列和等比数列的项之积的数列。
3. 平方数列：平方数列是由完全平方数组成的数列，常用符号表示为1, 4, 9, 16, 25, ...4. 级数数列：级数数列是指其每一项都是前一项与对应的阶乘之积的数列。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点数列作为数学中的一种重要的数学工具和概念，不仅在高中阶段的数学学习中占据着重要的地位，同时也在其他学科中有着广泛的应用。
在高一数学课程中，学生将学习数列的定义、性质和应用等内容，以下将对数列相关知识点进行介绍。
一、数列的概念及表示方法数列指的是按照一定顺序排列的一组数字集合。
其中，每一个数字称为数列的项，而数列的顺序则由项之间的位置关系来确定。
数列可以用文字描述、图形表示和符号表示等多种方式来表达。
以数列 {an} 为例，其中 a1、a2、a3 分别表示数列的第一项、第二项、第三项，an 表示数列的第 n 项。
此外，数列也可以用递推公式表示，该公式表明每一项的值与前一项的关系，如 an = an-1 + 1。
二、等差数列等差数列是指数列中，每一项与它前一项之间的差值都相等的数列。
这个公差可以是整数、小数甚至负数。
一般来说，等差数列的递推公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示第一项，d 表示公差。
等差数列是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律让人们在各个领域中广泛应用。
例如在物理学中，等差数列可以表示匀速直线运动的位置随时间的变化规律。
三、等比数列等比数列是指数列中，每一项与它前一项之间的比值都相等的数列。
这个公比可以是正数、小数甚至负数。
一般来说，等比数列的递推公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示第一项，r 表示公比。
等比数列同样也是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律在金融、工程等领域中有广泛的应用。
例如在金融中，等比数列可以用来计算复利的增长规律。
四、数列的求和在数学中，我们经常需要计算数列的前 n 项和。
对于等差、等比数列，我们可以使用求和公式来计算。
等差数列的前 n 项和为 Sn = (a1 + an) * n / 2，等比数列的前 n 项和为 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中 Sn表示前 n 项和。
数列的相关知识点总结
数列的相关知识点总结一、数列的定义数列是按照顺序排列的一组数字。
数列中的每个数字称为这个数列的项，通常用字母来表示数列的项，例如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。
其中n代表数列的项数，称为数列的长度或者规模。
数列通常用一个通用公式来表示，这个公式描述了数列中每一项与前一项的关系，通常用递推公式或者递归公式来表示。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项的差值是一个常数的数列，这个常数称为公差。
等差数列的通用公式为an = a1 + (n-1)d，其中a₁为第一项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通用公式为an = a₁ * rⁿ⁻¹，其中a₁为第一项，r为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
这个数列的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
三、数列的性质1. 数列的有界性：如果数列中的所有项都不大于一个常数M，那么这个数列就是有上界的；如果数列中的所有项都不小于一个常数N，那么这个数列就是有下界的。
如果一个数列既有上界又有下界，则称其为有界数列。
2. 数列的单调性：如果数列中任意相邻两项的大小关系保持不变，那么这个数列就是单调数列。
如果数列中的每一项都大于前一项，那么这个数列就是严格递增的；如果数列中的每一项都小于前一项，那么这个数列就是严格递减的。
3. 数列的极限性质：数列的极限是指数列中的项随着项数趋向于无穷大时的极限值。
如果一个数列存在有限的极限，则称其为收敛数列；如果数列的项随着项数趋向于无穷大时趋向于无穷大或者无穷小，则称其为发散数列。
四、数列的求和公式1. 等差数列的求和公式：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n项和，a₁表示第一项，an表示第n项。
数学数列知识点整理
数学数列知识点整理数学数列是数学中的重要概念，是指按照特定规律排列的一系列数。
数列具有重要的应用价值，例如在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将从数列的定义、分类、性质、求和公式和应用等方面进行整理和介绍。
一、数列的定义和分类数列是按照一定规律排列的一系列数，可以用{a1, a2, a3, …, an}表示，其中a1、a2、a3等分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。
数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等几种类型。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，常用an=a1+(n-1)d表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用an=a1*r^(n-1)表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3.递推数列递推数列是指数列中每一项都是前一项的某个函数，常用an=f(an-1)表示。
二、数列的性质数列具有一些基本性质，如有限项数列的和等于各项之和，等差数列和等比数列的前n项和公式等。
1.有限项数列的和有限项数列的和是指将数列中所有项相加的结果，用Sn表示。
例如，数列{1,2,3,4,5}的和为1+2+3+4+5=15，用S5表示。
有限项数列的和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
2.等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等差数列的和公式为Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
3.等比数列的和等比数列的和是指将等比数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等比数列的和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
三、数列的求和公式求和公式是指可以用一种通用的方法来计算数列的和。
除了上述等差数列和等比数列的前n项和公式外，还有一些其他的求和公式。
1.调和级数调和级数是指数列1/1、1/2、1/3、1/4、1/5……的和，用Hn表示。
高中数学数列知识点总结(精华版)知识分享
高中数学数列知识点总结（精华版）一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称 为该数列的项 .⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调 有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同 的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a n f(n).3. 递推公式：如果已知数列 a n 的第一项(或前几项)，且任何一项 a n 与 它的前一项 a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f(a n 1) 或a n f(a n1,a n 2) ，那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式. 如数列 a n 中， a 1 1,a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1是数列 a n 的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S 1(n 1) ① S n a 1 a 2 a n ； ② a n 1.n 1 2 n nS n S n1(n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列， 常数数列；有界数列，无界数列 .① 递增数列 :对于任何 n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, . ④ 常数数列 : 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤ 有界数列 :存在正数 M 使 a n M,n N .⑥ 无界数列:对于任何正数 M ,总有项a n 使得 a n M.n11、已知a n 2 n (n N * ) ，则在数列 { a n }的最大项为__(答： 1)；n 2 156 252、数列{a n }的通项为a n an，其中a,b 均为正数，则 a n 与a n1的大小关系bn 1为 ___(答： a n a n 1)；a 1 （0,1） ，由关系式 a n 1 f （a n ）得到的数列 {a n }满足 a n1 a n （n N*） ，则该函 数的图象是 （）（答： A ）1、等差数列的定义 ：如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结在高一数学课程中，数列是一个重要的概念。
数列是一种按照一定规律排列的一系列数，通过研究数列的规律和特性，我们可以掌握很多解题技巧和方法。
本文将对高一数学数列相关的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差。
以下是等差数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) =n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) = (n/2)(a1 + an) ，其中Sn为前n项和；4. 等差数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的中值；5. 若m项等于n项差相等，则m至n项也是等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，q为公比。
以下是等比数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；4. 等比数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的几何平均数；5. 如果q的绝对值小于1，那么等比数列的前n项和存在极限，即Sn = a1 / (1 - q)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
斐波那契数列的性质有：1. F(n) = F(n-1) + F(n-2)；2. 斐波那契数列的前n项和可以通过递推公式进行求解。
高中数学数列知识点总结归纳
高中数学数列知识点总结归纳数学数列是高中数学中的重要知识点之一，它是指由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高中数学中，数列作为一种数学模型，能够帮助我们描述和解决各种实际问题。
本文将对高中数学数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、数列的基本概念数列由一个个数按照一定的顺序排列而成，其中每个数叫做数列的项。
数列可以用公式来表示，这个公式可以根据数列的特点进行推导。
例如，等差数列的公式是an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1是首项，d是公差。
等比数列的公式是an=a1*r^(n-1)，其中r是公比。
数列还可以按照项数的有限性分为有限数列和无限数列。
二、常见数列及其性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列的常见性质有：（1）首项和公差确定一个等差数列；（2）通项公式：an=a1+(n-1)d；（3）前n项和公式：Sn=n/2*(a1+an)；（4）等差中项公式：若a1、an、an是等差数列中三项，且an是它们的中项，则an=(a1+an)/2。
等差数列在实际问题中的应用非常广泛，比如描述物体运动的位移、速度等。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列的常见性质有：（1）首项和公比确定一个等比数列；（2）通项公式：an=a1*r^(n-1)；（3）前n项和公式（仅当公比小于1时成立）：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)；（4）无穷项和公式（仅当公比小于1时成立）：Sn=a1/(1-r)。
等比数列在实际问题中常用于描述指数增长或指数衰减的情况。
3. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是由等差数列和等比数列的特点相结合而成的数列。
这种数列的常见特点有：（1）首项和公差确定等差部分；（2）从某一项开始，后一项与前一项的比保持不变，形成等比部分；（3）首项和公差确定等比部分。
三、数列的求和问题在解决数列的问题时，面临的一个常见问题就是求和。
高一数学下册数列知识点复习人教版
高一数学下册《数列》知识点复习人教版高一数学下册《数列》知识点复习人教版1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1练习题：1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )A.12 B．1 C．2 D．3解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.答案：C2．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( )A．1 B．－4 C．4 D．5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.答案：A3．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.又S7＞S8，∴a8＜0.假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C。
人教版高一数学第二册知识点总结
人教版高一数学第二册知识点总结人教版高一数学第二册是高中数学教材中的一本教材，本册教材主要包含了数列与数列的极限、数列的通项公式、函数与它的图象、函数的性质、函数的运算、函数的应用等内容。
下面将从这几方面对这本教材的知识点进行总结。
一、数列与数列的极限1.数列的概念：数列是按一定顺序排列的一列数，可以用临项表示，如a1，a2，a3......2.数列的性质：随着项数n的增加，数列的值会发生变化，而且可以按照一定的规律进行变化。
3.数列的通项公式：有些数列可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
通项公式通常是关于项数n的表达式。
4.数列的极限：当数列的项数趋于无穷大时，数列的值可能趋于无穷大、趋于某个有限值或者趋于无穷小。
这种趋势就称为数列的极限。
5.数列极限的定义：对于任意一个正数ε，存在正整数N，使得当n > N时，|an - A| < ε，那么数列的极限为A。
其中an为数列的第n项。
二、函数与它的图象1.函数的定义：函数是两个集合之间的一种对应关系。
常用的函数类型有映射函数、反函数、复合函数等。
2.函数的图象：函数的图象是函数在直角坐标系上的表示，可以通过具体的点来表示函数的值。
3.平移与伸缩：函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
平移可以用函数表达式中的加减常数来表示，伸缩可以用函数表达式中的乘除常数来表示。
三、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是指函数可以接受的自变量的取值范围，值域是指函数可能的输出值的集合。
2.奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的表达式来判断，例如f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x)为奇函数。
3.单调性：函数的单调性可以通过函数的导数来判断。
导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。
4.极大值与极小值：函数在一定区间上的最大值和最小值称为极大值和极小值。
四、函数的运算1.函数的四则运算：函数可以进行加减乘除运算，其运算结果仍然是一个函数。
(完整版)数列知识点归纳
数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ， 首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
高中数列知识点归纳总结笔记
高中数列知识点归纳总结笔记数列是高中数学中的一个重要概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的。
在学习数列的过程中，我们需要掌握一些基本概念和常见的求解方法。
本文将对高中数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和应用数列知识。
一、数列基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的有序集合。
2. 项数与项：数列中的每一个数称为一个项，数列中的项的个数称为项数。
3. 通项公式：数列中的每一项可以通过一个公式来表示，这个公式称为通项公式。
4. 数列的类型：数列根据项与项之间的关系可分为等差数列、等比数列和等差数列。
二、等差数列1. 定义：等差数列是指数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为an=a₁+(n-1)d。
3. 前n项和公式：等差数列前n项和Sn可表示为Sn=n*[2a₁+(n-1)d]/2。
三、等比数列1. 定义：等比数列是指数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式为an=a₁*q^(n-1)。
3. 前n项和公式：等比数列前n项和Sn可表示为Sn=a₁*(q^n-1)/(q-1)。
四、斐波那契数列1. 定义：斐波那契数列是指数列中，从第三项开始，每一项都是前两项的和的数列。
2. 通项公式：设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，则第n项的通项公式为an=a(n-1)+a(n-2)。
3. 性质：斐波那契数列具有一些独特的数学性质，如黄金分割、递归性等。
五、数列的应用1. 几何意义：数列在几何上常常表示随时间推移变化的某一物理量，如位置、速度、温度等。
2. 数列的数值应用：数列可以用于解决一些实际问题，如利润的变化、人口的增长等。
六、数列求解技巧1. 判断数列类型：根据数列项与项之间的关系，判断数列是等差数列还是等比数列。
高一年级数学数列知识点
高一年级数学数列知识点数学是一门既让人望而却步又充满挑战的学科。
而在高一的数学课程中，数列是一个非常重要的知识点。
所以，我们有必要系统地学习和理解数列的相关概念和应用。
本文将介绍高一年级数学中与数列相关的知识点。
一、数列的定义与分类数列是由一列按顺序排列的数字组成的列表。
它为我们研究和描述数字之间的规律提供了一个有效的工具。
根据构成数列的数字的特点，数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是一个常见的数列类型。
它的特点是每个相邻的数字之间的差是相同的。
我们用公式an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，d表示公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
相比之下，等比数列的特点是每个相邻的数字之间的比值是常数。
我们用公式an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，r表示公比。
例如，1，4，16，64，256就是一个公比为4的等比数列。
二、数列的求和公式在数列的研究中，我们经常需要求出数列的前n个数字的和。
根据数列的类型不同，我们可以使用不同的求和公式。
对于等差数列，求和公式是Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
而对于等比数列，求和公式是Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)。
在应用求和公式时，我们需要注意数列的边界条件。
特别是在使用等差数列求和公式时，我们必须确认数列的首项、公差和终项。
三、数列的应用数列作为一种有序的数字排列方式，可以在各种实际问题中发挥重要的作用。
首先，数列可以用于描述一些规律或模式。
通过观察和推理数列的数字，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解决问题。
例如，一个数列的通项公式可以帮助我们预测和计算数列中的任意一个数字。
其次，数列可以应用于计算和统计。
例如，我们可以使用数列的求和公式计算某个连续数列的总和。
数列全部知识点归纳总结
数列全部知识点归纳总结数列是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和其他学科的问题中。
它是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，每一个数被称为序列的项，而序列中的规律则被称为递推公式。
本文将对数列的基本概念、常见数列类型、性质及应用进行全面的知识点归纳和总结。
一、基本概念数列是由一组按特定顺序排列的数所组成的序列。
数列的每个数被称为序列的项，通常用字母表示，如a1, a2, a3等。
数列中每个项的位置被称为项号，通常用下标表示，如a1, a2, a3的项号分别为1, 2, 3。
数列也可以用函数来表示，即f(n)，其中n表示项号。
二、常见数列类型1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
它的递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.等差数列的前n项和：等差数列的前n项和可以用求和公式Sn = (n/2)(a1+an)来表示，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
4.等比数列的前n项和：等比数列的前n项和可以用求和公式Sn = (a1(r^n-1))/(r-1)来表示，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
三、数列的性质1.有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指数列的所有项都在一定范围内，无界数列则相反。
2.单调性：数列可以是单调递增的、单调递减的或者既不递增也不递减的。
3.周期性：有些数列具有周期性，即数列中的项按照一定的规律循环出现。
4.递推关系：数列中的每一项可以通过前一项和递推公式来推导得到。
四、数列的应用1.数学问题：数列广泛应用于数学问题的求解中，如求解等差数列、等差数列的前n项和等。
2.物理问题：数列也常常用于物理问题的建模与求解中，如描述物体运动的规律等。
3.计算机科学：数列在计算机科学中有着重要的应用，如算法设计、数据压缩等领域。
高一下册数学知识点人教版
高一下册数学知识点人教版高一下册数学知识点回顾一、数列与数列的通项公式数列是由一系列按一定规则排列的数所组成的，其中最常见的有等差数列和等比数列。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常用的表示方法是a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
例如，数列1，4，7，10，13就是一个等差数列，而其首项为1，公差为3。
要求第n项的值时，可以使用an=a1+(n-1)d来求解。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常用的表示方法是a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
例如，数列2，6，18，54，162就是一个等比数列，而其首项为2，公比为3。
要求第n项的值时，可以使用an=a1*r^(n-1)来求解。
二、直线方程与一次函数直线是平面上的一种基本几何图形，而直线方程则是描述直线位置与性质的一种工具。
一次函数是一种特殊的直线方程，其函数表达式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
1.斜率斜率是描述直线倾斜程度的一个重要指标，可以理解为直线上的任意两点之间的垂直距离与水平距离的比值。
注：斜率在直线方程中用字母k表示。
2.截距截距是描述直线与坐标轴交点位置的参数，分为x轴截距和y轴截距。
表示直线与x轴交点的坐标为(x，0)，表示直线与y轴交点的坐标为(0，y)。
注：x轴截距在直线方程中用字母a表示，y轴截距在直线方程中用字母b表示。
三、平面向量平面向量是描述平面上带有大小和方向的量，通常表示为有向线段。
平面向量具有加法、减法、数乘等运算法则。
1.向量的表示向量通常用有向线段来表示，其起点和终点分别表示向量的始点和终点。
通常用向量的首字母加上箭头（→）表示，例如向量a用表示为→a。
2.向量的运算向量的运算包括加法、减法和数乘。
人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)
人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)Lesson6 数列知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .3．等差中项a ＋b如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式n (a 1＋a n )n (n －1)设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系d d 2⎛S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．⎝⎭7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值．[难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .n(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．31例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－(n ≥2，a n －11n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．a n －1(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．11(1)证明∵a n ＝2－(n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.a n －1a n －111∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－111＝1a n －1－1⎛2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－15∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．712(2)解由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋2n －7n2设函数f (x ) ＝1＋2x －77⎛7⎛⎫易知f (x ) 在区间－∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．⎝⎭⎝⎭∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．－15解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.5⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨⎩a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，2即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2. 方法二∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解方法一∵a 1＝20，S 10＝S 15，10×915×145∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n12×11⎛5⎫∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪⎝⎭＝130.5方法二同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n －∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．⎧a n ＝4n －2511由①得nn (n －1)⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩22⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为{S n },{T n }，且S n a =, 则使得n 为正T n n -3b n整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ), 由待定系数法求出, 再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.2S n例6 已知数列{a n }中，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足a n =，则数列{a n }a 1=，n 的通项公式为2⎧(n =1)⎪a n =⎨3(n ≥2)⎪⎩1-4n 2S n -S n -122S n =2S n -1⇒S n -1-S n =2S n S n -1⇒11-=2(n ≥2) S n S n -1⇒S n =. 2n +1a a a aa n =n ⋅n -1⋅⋅3⋅2⋅a 1, n ≥2.n -1n -2212+ln n例7在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln(1+) ，则a n =n知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0) ，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n，m ∈N *) ．(2)若{an }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k，l ，m ，n ∈N *) ，则a k ·al ＝a m ·a n . (3)若{an }，{bn }(项数相同) 是等比数列，则{λan }(λ≠0) ，⎧1⎫⎧a n ⎫2⎨，{an }，{an ·b n }，⎨b 仍是等比数列．⎩a n ⎭⎩n ⎭5．等比数列的前n 项和公式等比数列{an }的公比为q(q≠0) ，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；a 1(1－q n )a 1－a n q当q ≠1时，S n ＝＝.1－q 1－q6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{an }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q .n7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．na (1－q )a 1－a n q 1n －1(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q 及前n 项和公式S n ＝＝(q ≠1)1－q 1－q共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：32⎧a 6－a 4＝a 1q (q －1)＝24，①⎨a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②⎩a 3·由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．当q ＝2时，a ＝1，∴S a 1(1－q 8)181－q 255；当q ＝－2时，a ，∴S a 1(1－q 8)1＝－181－q 85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．⎧①∴q ≠1，∴⎨⎪a 1(1－q n )1－q ＝40，⎪⎩a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280，②②①1＋q n ＝82，∴q n＝81，③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列．∴a n ＝a 1q n －1＝27，⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n≥2) ，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{cn }是等比数列； (2)求数列{bn }的通项公式． 1) 证明∵a n ＋S n ＝n ，∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(an ＋1－1) ＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{an －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1111＝2，∴c 12q ＝2又c n ＝a n －1，∴{c是以－11n }2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎛ 1⎛1⎝－2⎭ n －1⎝⎭＝－⎛ 12⎝2n ⎭，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎛ 1⎝2n ⎭. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎛ 1n ⎡⎛1⎝2⎭－⎢⎣1－⎝2n －1⎤⎭⎥⎦＝⎛ 1⎝2⎫⎪n －1⎭－⎛1⎝2⎫⎪n ⎭＝⎛ 1⎫n ⎝2⎪⎭. 又b 11＝a 1＝⎛12∴b n ＝ 2n ⎝⎭.① ②1例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－2，求a n ； (2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．a 1解 (1)设公比为q ，则a q 3，即q 3＝－8，21⎛1－－∴q ＝－2，∴a n ＝a 5·q n 5＝－2n 4.⎝⎭2(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 4，∴a 34＝8，a 4＝2.5∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝2＝32.a n ＋a n ＋1例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]a n －1＋a n当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2－a n11＝－2(a n －a n －1) ＝－2b n －1， [5分]1∴{b n }是首项为1，公比为－2 [6分]⎛1⎫(2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝－2⎪n －1， [8分]⎝⎭当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋…＋(a n －a n －1) [10分]⎛1n －1 －21－⎝⎭⎛1⎛1n －2＝1＋1＋－2＋…＋－2＝1＋⎝⎭⎝⎭⎛1⎫1－－2⎪⎝⎭2⎡521⎛1⎤521＝1＋3⎢1－－2n －1⎥＝33－2n －1当n ＝1时，33－21－1＝1＝a 1，⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭521∴a n 33－2n －1 (n ∈N *) ． [14分]⎝⎭例4 （07 重庆11）设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）2233例5 若数列1, 2cosθ, 2cos θ,2cos θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（）, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.【综合应用】例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；c 1c 2c n(2)设数列{c n }对n ∈N 均有b b b a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.12n解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d ) 2＝(1＋d )(1＋13d ) ．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.c c c 2) 由b b …＋b a n ＋1得12nc n －1c c 当n ≥2时，b b …＋＝a .b n －1n 12c 两式相减得：n ≥2时，b a n ＋1－a n ＝2.nn －1∴c n ＝2b n ＝2·3 (n ≥2) ．c 1又当n ＝1时，b ＝a 2，∴c 1＝3.1⎧3 (n ＝1)∴c n ＝⎨n －1.3 (n ≥2)⎩2·∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 0136－2×32 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013) ＝32 013.1－3知识点3：数列的基本知识*1，a n 与S n 的关系：a n =S 1(n =1) 或S n -S n -1例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如a 1=a ; a n +1=pa n +q 的递推公式(p . q 为常数且p ≠1)，可令整理得λ=a n +1+λ=p (a n +λ)，列②对形如a n +1=⎧1⎫求出⎨⎬即可⎩a n ⎭q, a n +1+λ=p (a n +λ)，所以是{a n +λ}等比数p -1 a n 1q的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，a n +1a n pa n +q例2：已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n ，则 a n的最小值为 10.5 n。
高中数列知识点
高中数列知识点在高中数学的学习中，数列是一个重要的知识点。
数列不仅在数学领域有着广泛的应用，还能培养我们的逻辑思维和数学运算能力。
接下来，让我们一起深入了解一下高中数列的相关知识。
一、数列的定义数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如：1，3，5，7，9 就是一个数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，以此类推。
二、数列的分类1、按照项数的多少，数列可以分为有穷数列和无穷数列。
有穷数列是指项数有限的数列，比如 2，4，6，8，10 这个数列只有 5 项，就是有穷数列。
无穷数列则是指项数无限的数列，像 1，2，3，4，5……就是一个无穷数列。
2、按照数列中项与项之间的大小关系，数列可以分为递增数列、递减数列和常数列。
如果从数列的第 2 项起，每一项的值都大于它前面一项的值，这样的数列叫做递增数列，例如 1，2，3，4，5……；如果从数列的第 2 项起，每一项的值都小于它前面一项的值，这样的数列叫做递减数列，比如 5，4，3，2，1；如果数列中的每一项都相等，那么这个数列就叫做常数列，比如 3，3，3，3，3 。
三、数列的通项公式如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
通项公式可以帮助我们快速地求出数列中的任意一项。
例如，数列 2，4，6，8，10……的通项公式为 an ＝ 2n 。
通过通项公式，当我们想要知道第 10 项是多少时，只需要把 n ＝ 10 代入通项公式，就可以求出 a10 ＝ 20 。
四、数列的递推公式如果已知数列{an}的第1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 an 与它的前一项 an 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
比如，已知数列{an}的首项 a1 ＝ 1 ，且 an ＝ an 1 ＋ 2 （n ≥ 2），通过这个递推公式，我们可以依次求出 a2 ＝ a1 ＋ 2 ＝ 3 ，a3 ＝ a2 ＋ 2 ＝ 5 ，以此类推。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点高一数学数列知识点1.数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。
数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。
(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。
3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列递推公式特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。
(2)有些数列没有递推公式。
有递推公式不一定有通项公式。
注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
高一数学数列知识点1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
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高一数学下册《数列》知识点复习人教版高一数学下册《数列》知识点复习人教版
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数
都叫做数列的项.
(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不
是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的
1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….
(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于
f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自
变量的值，相当于f(n)中的n.
(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同
的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同
一个集合.
2．数列的分类
(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.
(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列. 3．数列的通项公式
数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是
确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表
示的，
这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，
正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不
是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个
数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，
通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，
由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归
纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多
观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写
出其通项公式，没有通用的方法可循.
再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的
有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式. (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.
(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.
如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，
0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.
(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：
(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.
4．数列的图象
对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：
序号：1 2项：0
这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的
集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对
应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.
由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公
式也就是相应函数和解析式.
数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.
数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为
纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便
起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可
以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化
情况，但不精确.
把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域
是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.
5．递推数列
一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成
一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①
数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管
数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1
练习题：
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22
＝1，则数列{an}的公差是( )
A.12 B．1 C．2 D．3
解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝
2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.
答案：C
2．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( )
A．1 B．－4 C．4 D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5
＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6为周期的数列，
∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
3．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜
S5.∴C错误.
答案：。