江苏省连云港市赣榆区2020届高考数学仿真训练试题【含答案】
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD 平面
ABCD, AP AD, M , N 分别为棱 PD, PC 的中点.求证：
（1） MN / / 平面 PAB ；
（2） AM 平面 PCD .
第 16 题
17．(本小题满分 14 分)
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四
E：x＞2 ＞y2 17.解：（1）∵椭圆 a2 b2
1a
b
0
2
上的点（1， 2 ）的下辅助点为（1，﹣1），
∴辅助圆的半径为 R 12 (1)2 2 ，椭圆长半轴为 a＝R 2 ，
将点（1，
2 2
）代入椭圆方程
x2 2
y2 b2
1 中，解得 b＝1，.....................6
[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15 人，则参加英语测试
的学生人数是 ▲ ．
1 4．如图所示的算法流程图，若输出 y 的值为2，
则输入 x 的值为 ▲ ．
开始
输入 x
Y
N
x≥0
y←2x
y←log2(－x)
第 3 题图
输出 y
结束 （第 4 题）
（2）W ，( ) 16a 8a 4 5cos =8a (2 cos 1)(cos 2)
sin2
sin2
令W ，( )=0 ， cos 1 2
，因为
(1
,
2
)
，所以
3
，······························12 分
设锐角1
满足
cos1
4 5
，
1
（0， 3
）
当
∵ ex 0 ，令 m(x) x2 (1 a)x 2a 3 ，
∴函数 y f (x)g(x) 在区间 [1, 2] 上单调递增等价于对任意的 x [1, 2] ，函数 m(x) 0 恒成立
第 17 题
18．(本小题满分 16 分)
如图，某城市小区有一矩形休闲广场， AB 20 米，广场的一角是半径为16 米的扇形 BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休 闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 MN （宽度不计），点 M 在线段 AD 上，并且 与曲线 CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线 CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅 的造价每米为 2a 元，单人弧形椅的造价每米为 a 元，记锐角 NBE ，总造价为W 元．
2
························6 分
M
G
A
EF
B
因此，W ( )
2a
20 16 cos
16a(
),
sin
2
cos (0, 4) 5
··············7 分
········································
···········9 分
10
所以
42
10 ，
所以 cos 2C
2
cos
2
C
1
=
2
10 10
2
-1
=
-
4 5
16. 证明：（1）因为 M，N 分别为棱 PD，PC 的中点，所以 MN∥DC， 又因为底面 ABCD 是矩
形，所以 AB∥DC，
所以 MN∥AB． 又 AB 平面 PAB， MN 平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB．
n∈N*都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题
卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B.（选修 4—2：矩阵与变换）
已知矩阵
M
1 2
向量.
2 x 的一个特征值为 3, 求 M 的另一个特征值及其对应的一个特征
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.
15. (本小题满分 14 分)
cos A 5
在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且
5.
（1）若 a 5 ， c 2 5 ，求 b 的值； B
（2）若 4 ，求 cos 2C 的值.
16. (本小题满分 14 分)
(1,
3
)
时，W
，(
)<0
，W
(
)
单调递减；
当
(
,
)
时，W ，( )>0
，W ( )
单调递
32
增．······································
···14 分
所以当 ，总造价W 最小，最小值为 (16 3 8 )a ，
3
3
此时 MN 8 3 ， NG 4 3 ， NF 8 3 ，
（2）因为 AP=AD，M 为 PD 的中点， 所以 AM⊥PD．因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 又平面
PAD∩平面 ABCD= AD，CD⊥AD， CD 平面 ABCD，所以 CD⊥平面 PAD． 又 AM 平面
PAD，所以 CD⊥AM． 因为 CD， PD 平面 PCD， CD PD D ，所以 AM⊥平面 PCD．
b2 20 2 2
5
5 5
b
25
，即
b2
4b
5
0
，
解得 b 5 或 b 1（舍），
所以 b 5 ；
3
5．
5
10. 2
cos A
（2）由
5 5
及
0
A
得，
sin
A
1 cos2 A
1 ( 5 )2 2 5
5
5，
cos C
cos(
(A
B))
cos( A
)
2 (cos A sin A)
答：当 AM 4 3 米时，能使总造价最
小．···································· ····16 分
19．解：（1） f (x) (3 x)ex ， f '(x) (2 x)ex ，令 f '(x) 0 ，解得 x 2 ，列表：
x
(, 2)
2
(2, )
S1 9
V1
S2 ＝ 4 ，则 V2 的值是 ▲ ．
10.
已知直线 ax by 8 0
a ，b R 经过点 (1， 2) ，则 2a
1 4b
的最小值是
▲
．
11.已知函数 f x Asinω x A 0,| | , 0 的部分图象如图所示，将函数
2
f x的图象向左平移 0个单位长度后，所得图象关于直线 x 3 对称，则 的
18． 解：（1）过 N 作 AB 的垂线，垂足为 F ；过 M 作 NF 的垂线，垂足为 G ．
在 RT BNF 中， BF 16 cos ，则 MG 20 16 cos
D
在 RT MNG 中，
C N
MN
20 16 cos sin
，··············4
分
由题意易得 CN
16(
)
（1）试将W 表示为 的函数W ( ) ，并写出 cos 的取值范围；
（2）如何选取点 M 的位置，能使总造价W 最小． D
C N
M
A
E
B
（第 18 题图）
19．(本小题满分 16 分)
已知函数 f (x) (3 x)ex ， g(x) x a(a R) ．（ e 是自然对数的底数，
e≈2.718…）
8 ，则 x0y1 4 ，........................10 分
x0
2 2
x0
6 2
将 x0y1
6 4
与
x02 2
y12
1
联立可解得
y0
6 2
或
y0
2 2，
2 6
6 2
Hale Waihona Puke Baidu
∴下辅助点 N 的坐标为（ 2 ， 2 ）或（ 2 ， 2 ）；.....................14 分
分
x2 y2 1
∴椭圆 E 的方程为 2
；
（2）设点 N（x0，y0）（y0＜1），则点 M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程
和椭圆方程可得，
x02+y02＝2，
x02 2
y12
1
，故
y02＝2y12，即
y0
2 y1，
1
2 3 6
6
又 S△OMN 2 x0（y1﹣y0）
（1）求函数 f (x) 的极值； （2）若函数 y f (x)g(x) 在区间[1，2]上单调递增，求 a 的取值范围；
（3）若函数 h(x) f (x) g(x) 在区间(0， )上既存在极大值又存在极小值，并且 x
h(x) 的极大值小于整数 b，求 b 的最小值．
20．(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记集合 M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若 M 中有 3 个元素，求 λ 的取值范围； （3）是否存在等差数列{bn}，使得 a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2 对一切
象限内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M
的“下辅助点”.已知椭圆
E：
x2 a2
y2 b2
1a＞＞ b
0
上的点
1，
2 2 的下辅助点为
（1，﹣1）.
（1）求椭圆 E 的方程；
2 3 6 （2）若△OMN 的面积等于 8 ，求下辅助点 N 的坐标.
C．（选修 4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,
A 为曲线 2 2 cos 3 0 上的动点,
cos sin 7 0 上的动点, 求 AB 的最小值.
B 为直线
22. (本小题满分 10 分)
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC ， D ， E ， F 分别为 AA1 ， A1C1 ，
BB1 的中点， AB BC 5 ， AC AA1 2 ．
C1 E
（1）求证： AC ⊥ EF ；
A1
B1
（2）求二面角 B CD C1 的余弦值．
D
F
C
23. (本小题满分 10 分)
A
B
第 22 题
（1）证明：
Cm n 1
Cnm
Cnm1 （m且,）n
N,
mn ；
（2）证明：对一切正整数 n 和一切实数 x(x 0, 1,, n) ，有
y
轴上，则该
双曲线的离心率为 ▲ ．
8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 1260
里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该男子的第三日走的里数为 ▲
．
9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且
f '(x)
0
f (x)
↗
极大值
↘
∴当 x 2 时，函数 f (x) 取得极大值 f (2) e2 ，无极小值…………3 分
（2）由 y f (x)g(x) (3 x)(x a)ex ，得
y ' ex[x2 (3 a)x 3a 2x (3 a)] ex[x2 (1 a)x 2a 3] …………5 分
n
(1)mCnm
m0
x
x m
(x
1)(x
n! 2)(x
n)
.
1. {1,3,4,5}
2. 2 2
答案 3. 50
4． 2
6. (0,2]
11. .
3
7. 2
12.2
8. 120
9 13.
5
5
3 9. 2
14. {1,3}
15. 解：（1）在 ABC 中，由余弦定理 a2 =b2 +c2 -2bccosA 得，
4
最小值为 ▲ ．
12.如图，扇形 OAB 的半径为 2， AOB 120 ， P 是弧 AB 上一点，满足
OP OB 2 3 ， AB 与 OP 的交点为 M ，那么 OM AB
▲．
第 11 题
第 12 题
13. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l ： y kx 2 与圆 C： (x 1)2 y2 9 交于 A、B 两
江苏省连云港市赣榆区 2020 届高考数学仿真训练试题
一､填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分． 1． 已知集合 A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则 A∪B＝ ▲ ．
2．设复数 z 满足 z(1－i)＝4 i (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ ．
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为
5．某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课 程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为 ▲ ．
6. 函数 f (x) 2 log2 x 的定义域是 ▲ ．
7．已知双曲线 C
：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的焦点关于一条渐近线的对称点在
点，过点 A、B 分别做圆 C 的两条切线 l1 与 l2 ，直线 l1 与 l2 交于点 P，则线段 PC 长度的最
小值是 ▲ ．
14.
已知函数
f
(x)
x
e
x 1 ,
x„
0,
2x x2
1
,
x
0.
若关于 x 的不等式 f 2 (x) 2af (x) 2 a 0 的解集非
空，且为有限集，则实数 a 的取值集合为 ▲ ．
ABCD, AP AD, M , N 分别为棱 PD, PC 的中点.求证：
（1） MN / / 平面 PAB ；
（2） AM 平面 PCD .
第 16 题
17．(本小题满分 14 分)
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四
E：x＞2 ＞y2 17.解：（1）∵椭圆 a2 b2
1a
b
0
2
上的点（1， 2 ）的下辅助点为（1，﹣1），
∴辅助圆的半径为 R 12 (1)2 2 ，椭圆长半轴为 a＝R 2 ，
将点（1，
2 2
）代入椭圆方程
x2 2
y2 b2
1 中，解得 b＝1，.....................6
[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15 人，则参加英语测试
的学生人数是 ▲ ．
1 4．如图所示的算法流程图，若输出 y 的值为2，
则输入 x 的值为 ▲ ．
开始
输入 x
Y
N
x≥0
y←2x
y←log2(－x)
第 3 题图
输出 y
结束 （第 4 题）
（2）W ，( ) 16a 8a 4 5cos =8a (2 cos 1)(cos 2)
sin2
sin2
令W ，( )=0 ， cos 1 2
，因为
(1
,
2
)
，所以
3
，······························12 分
设锐角1
满足
cos1
4 5
，
1
（0， 3
）
当
∵ ex 0 ，令 m(x) x2 (1 a)x 2a 3 ，
∴函数 y f (x)g(x) 在区间 [1, 2] 上单调递增等价于对任意的 x [1, 2] ，函数 m(x) 0 恒成立
第 17 题
18．(本小题满分 16 分)
如图，某城市小区有一矩形休闲广场， AB 20 米，广场的一角是半径为16 米的扇形 BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休 闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 MN （宽度不计），点 M 在线段 AD 上，并且 与曲线 CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线 CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅 的造价每米为 2a 元，单人弧形椅的造价每米为 a 元，记锐角 NBE ，总造价为W 元．
2
························6 分
M
G
A
EF
B
因此，W ( )
2a
20 16 cos
16a(
),
sin
2
cos (0, 4) 5
··············7 分
········································
···········9 分
10
所以
42
10 ，
所以 cos 2C
2
cos
2
C
1
=
2
10 10
2
-1
=
-
4 5
16. 证明：（1）因为 M，N 分别为棱 PD，PC 的中点，所以 MN∥DC， 又因为底面 ABCD 是矩
形，所以 AB∥DC，
所以 MN∥AB． 又 AB 平面 PAB， MN 平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB．
n∈N*都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题
卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B.（选修 4—2：矩阵与变换）
已知矩阵
M
1 2
向量.
2 x 的一个特征值为 3, 求 M 的另一个特征值及其对应的一个特征
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.
15. (本小题满分 14 分)
cos A 5
在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且
5.
（1）若 a 5 ， c 2 5 ，求 b 的值； B
（2）若 4 ，求 cos 2C 的值.
16. (本小题满分 14 分)
(1,
3
)
时，W
，(
)<0
，W
(
)
单调递减；
当
(
,
)
时，W ，( )>0
，W ( )
单调递
32
增．······································
···14 分
所以当 ，总造价W 最小，最小值为 (16 3 8 )a ，
3
3
此时 MN 8 3 ， NG 4 3 ， NF 8 3 ，
（2）因为 AP=AD，M 为 PD 的中点， 所以 AM⊥PD．因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 又平面
PAD∩平面 ABCD= AD，CD⊥AD， CD 平面 ABCD，所以 CD⊥平面 PAD． 又 AM 平面
PAD，所以 CD⊥AM． 因为 CD， PD 平面 PCD， CD PD D ，所以 AM⊥平面 PCD．
b2 20 2 2
5
5 5
b
25
，即
b2
4b
5
0
，
解得 b 5 或 b 1（舍），
所以 b 5 ；
3
5．
5
10. 2
cos A
（2）由
5 5
及
0
A
得，
sin
A
1 cos2 A
1 ( 5 )2 2 5
5
5，
cos C
cos(
(A
B))
cos( A
)
2 (cos A sin A)
答：当 AM 4 3 米时，能使总造价最
小．···································· ····16 分
19．解：（1） f (x) (3 x)ex ， f '(x) (2 x)ex ，令 f '(x) 0 ，解得 x 2 ，列表：
x
(, 2)
2
(2, )
S1 9
V1
S2 ＝ 4 ，则 V2 的值是 ▲ ．
10.
已知直线 ax by 8 0
a ，b R 经过点 (1， 2) ，则 2a
1 4b
的最小值是
▲
．
11.已知函数 f x Asinω x A 0,| | , 0 的部分图象如图所示，将函数
2
f x的图象向左平移 0个单位长度后，所得图象关于直线 x 3 对称，则 的
18． 解：（1）过 N 作 AB 的垂线，垂足为 F ；过 M 作 NF 的垂线，垂足为 G ．
在 RT BNF 中， BF 16 cos ，则 MG 20 16 cos
D
在 RT MNG 中，
C N
MN
20 16 cos sin
，··············4
分
由题意易得 CN
16(
)
（1）试将W 表示为 的函数W ( ) ，并写出 cos 的取值范围；
（2）如何选取点 M 的位置，能使总造价W 最小． D
C N
M
A
E
B
（第 18 题图）
19．(本小题满分 16 分)
已知函数 f (x) (3 x)ex ， g(x) x a(a R) ．（ e 是自然对数的底数，
e≈2.718…）
8 ，则 x0y1 4 ，........................10 分
x0
2 2
x0
6 2
将 x0y1
6 4
与
x02 2
y12
1
联立可解得
y0
6 2
或
y0
2 2，
2 6
6 2
Hale Waihona Puke Baidu
∴下辅助点 N 的坐标为（ 2 ， 2 ）或（ 2 ， 2 ）；.....................14 分
分
x2 y2 1
∴椭圆 E 的方程为 2
；
（2）设点 N（x0，y0）（y0＜1），则点 M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程
和椭圆方程可得，
x02+y02＝2，
x02 2
y12
1
，故
y02＝2y12，即
y0
2 y1，
1
2 3 6
6
又 S△OMN 2 x0（y1﹣y0）
（1）求函数 f (x) 的极值； （2）若函数 y f (x)g(x) 在区间[1，2]上单调递增，求 a 的取值范围；
（3）若函数 h(x) f (x) g(x) 在区间(0， )上既存在极大值又存在极小值，并且 x
h(x) 的极大值小于整数 b，求 b 的最小值．
20．(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记集合 M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若 M 中有 3 个元素，求 λ 的取值范围； （3）是否存在等差数列{bn}，使得 a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2 对一切
象限内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M
的“下辅助点”.已知椭圆
E：
x2 a2
y2 b2
1a＞＞ b
0
上的点
1，
2 2 的下辅助点为
（1，﹣1）.
（1）求椭圆 E 的方程；
2 3 6 （2）若△OMN 的面积等于 8 ，求下辅助点 N 的坐标.
C．（选修 4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,
A 为曲线 2 2 cos 3 0 上的动点,
cos sin 7 0 上的动点, 求 AB 的最小值.
B 为直线
22. (本小题满分 10 分)
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC ， D ， E ， F 分别为 AA1 ， A1C1 ，
BB1 的中点， AB BC 5 ， AC AA1 2 ．
C1 E
（1）求证： AC ⊥ EF ；
A1
B1
（2）求二面角 B CD C1 的余弦值．
D
F
C
23. (本小题满分 10 分)
A
B
第 22 题
（1）证明：
Cm n 1
Cnm
Cnm1 （m且,）n
N,
mn ；
（2）证明：对一切正整数 n 和一切实数 x(x 0, 1,, n) ，有
y
轴上，则该
双曲线的离心率为 ▲ ．
8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 1260
里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该男子的第三日走的里数为 ▲
．
9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且
f '(x)
0
f (x)
↗
极大值
↘
∴当 x 2 时，函数 f (x) 取得极大值 f (2) e2 ，无极小值…………3 分
（2）由 y f (x)g(x) (3 x)(x a)ex ，得
y ' ex[x2 (3 a)x 3a 2x (3 a)] ex[x2 (1 a)x 2a 3] …………5 分
n
(1)mCnm
m0
x
x m
(x
1)(x
n! 2)(x
n)
.
1. {1,3,4,5}
2. 2 2
答案 3. 50
4． 2
6. (0,2]
11. .
3
7. 2
12.2
8. 120
9 13.
5
5
3 9. 2
14. {1,3}
15. 解：（1）在 ABC 中，由余弦定理 a2 =b2 +c2 -2bccosA 得，
4
最小值为 ▲ ．
12.如图，扇形 OAB 的半径为 2， AOB 120 ， P 是弧 AB 上一点，满足
OP OB 2 3 ， AB 与 OP 的交点为 M ，那么 OM AB
▲．
第 11 题
第 12 题
13. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l ： y kx 2 与圆 C： (x 1)2 y2 9 交于 A、B 两
江苏省连云港市赣榆区 2020 届高考数学仿真训练试题
一､填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分． 1． 已知集合 A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则 A∪B＝ ▲ ．
2．设复数 z 满足 z(1－i)＝4 i (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ ．
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为
5．某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课 程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为 ▲ ．
6. 函数 f (x) 2 log2 x 的定义域是 ▲ ．
7．已知双曲线 C
：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的焦点关于一条渐近线的对称点在
点，过点 A、B 分别做圆 C 的两条切线 l1 与 l2 ，直线 l1 与 l2 交于点 P，则线段 PC 长度的最
小值是 ▲ ．
14.
已知函数
f
(x)
x
e
x 1 ,
x„
0,
2x x2
1
,
x
0.
若关于 x 的不等式 f 2 (x) 2af (x) 2 a 0 的解集非
空，且为有限集，则实数 a 的取值集合为 ▲ ．