数理方程练习题(作业)
数理方程习题全解
93
2k 1 j sin 2k 1 = 2 cos 4 4
k 0,1,2,3
1 1 k 0 ： z1 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 3 3 1 1 k 1 ： z2 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 5 5 1 1 k 2 ： z3 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 7 7 1 1 k 3 ： z4 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2
3 8
k k 2 8 cos j sin 2 16 2 16
3 3 8 3
k 0,1,2,3
7 7 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ， 16 16 16 16 9 15 15 9 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ； 16 16 16 16
1 3 5 5 （2） j sin cos j sin 2 2 j cos 3 3 3 3 1 3 j 2 2
4
cos j sin 4 4
4
2
cos j sin 1 j 3 5 5 cos j sin 3 3
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
数学方程练习题及答案
数学方程练习题及答案数学方程练习题及答案「篇一」人教版高一数学函数与方程练习题及答案1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)<0，则方程f(x)=0在[-1,1]内A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析：由f -12f 12<0得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数。
∴f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根。
答案：C2.(20xx长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6f(x) 136.13 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064则函数f(x)存在零点的区间有A.区间[1,2]和[2,3]B.区间[2,3]和[3,4]C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号。
∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点。
答案：C3.若a>1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是A.(3.5，+∞)B.(1，+∞)C.(4，+∞)D.(4.5，+∞)解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4。
在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的.交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm≥4，又n≠m，故(n+m)1n+1m>4，则1n+1m>1。
答案：B4.(20xx昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：函数f(x)的导数为f′(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f′(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-1<0，g(2)=ln 2-12="">0，所以函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B。
数理方程作业
3. 将函数 f ( x) = a(1 − x / l ), x ∈ (0, l ) 展开为傅立叶级数， 并使 f (0) =
f (l ) = 0
4. 试用分离变量法求解细杆导热问题，杆长为 l，两端保持为零度，
初始温度分布为 u t =0 = bx(l − x) / l 2
5. 长为 l 的均匀杆，两端受压长度变为 l (1 − 2ε ) ，放手后自由振动，
求解杆的振动。
6. 在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程，
每秒钟在单位体积内产生的中子数正比于该处的中子浓度 u， 即可 表为βu，研究厚度为 l 的层状铀块，求其临界厚度（铀块厚度超 过临界厚度时，其中子浓度随时间急剧增长以致爆炸） 。
utt = a 2u xx , 7. 求 解 定 解 问 题 u x = 0 = 0, u x x =l = t , u t =0 = 0, ut t =0 = 0, 0 < x < l, t > 0 t≥0 0≤ x≤l
8. 在均匀静电场 E0 中放置一接地的导体球，球的半径为 R，求球外
电场的电势。
数理方程作业
1. 长为 l 的均匀弦， 两端 (x = 0, l) 固定， 弦中张力 T0， 在点 x = h 处
以横向力 F 拉弦，达到平衡后放手后任其自由振动，写出初始条 件，并表为定解问题。
2. 长为 l 的均匀杆，初始温度为 u0，端点 x = l 处保定解问题。
方程题100道带答案大全
方程题100道带答案大全一、一元一次方程1. 3x 7 = 11答案：x = 62. 5 2x = 1答案：x = 23. 4x + 8 = 24答案：x = 44. 9 3x = 0答案：x = 35. 7x 14 = 0答案：x = 2二、一元二次方程6. x^2 5x + 6 = 07. x^2 + 3x 4 = 08. 2x^2 4x 6 = 09. 3x^2 + 12x + 9 = 010. x^2 8x + 16 = 0三、二元一次方程组11.x + y = 5x y = 312.2x + 3y = 83x 2y = 713.4x + y = 92x 3y = 514.3x 2y = 105x + y = 1615.2x + 5y = 12x 3y = 4四、不等式16. 3x 7 > 217. 2x + 5 < 1518. 4x 9 ≥ 119. 5x + 6 ≤ 2420. 7 3x > 2x + 1（文档第一部分完成，后续题目及答案将依次列出）五、分式方程21. 1/x + 2/(x+1) = 3答案：x = 1 或 x = 322. (2x+1)/(x2) = 3答案：x = 7/223. (3x2)/(x+3) + 4/(x1) = 024. (x+4)/(x3) (x2)/(x+2) = 2答案：x = 11/325. (2x+3)/(3x1) = (x+2)/(x1)答案：x = 1 或 x = 5/3六、绝对值方程26. |2x 5| = 3答案：x = 4 或 x = 127. |3x + 2| 4 = 7答案：x = 3 或 x = 5/328. |x 2| + |x + 3| = 8答案：x = 5 或 x = 129. |2x + 1| = |3x 4|答案：x = 1 或 x = 11/5 30. |x 4| |x + 1| = 3答案：x = 5 或 x = 1/2七、根式方程31. √(x 1) = 2答案：x = 532. √(3x + 4) + √(2x 1) = 5答案：x = 433. √(x + 2) √(x 3) = 1答案：x = 434. √(2x 5) = √(3x + 2) 135. √(4 x) + √(x + 3) = 5答案：x = 4八、指数方程36. 2^x = 16答案：x = 437. 3^(2x) = 9答案：x = 138. 4^(x1) = 1/2答案：x = 1/239. 5^(x+2) = 25答案：x = 140. (1/2)^x = 8答案：x = 3（文档内容持续更新，敬请期待剩余题目及答案）九、对数方程41. log₂(x 1) = 3答案：x = 942. log₃(2x + 3) = 2答案：x = 343. log₅(x) log₅(x + 2) = 1答案：x = 544. log₁₀(3x 1) + log₁₀(x + 4) = 1答案：x ≈ 0.645. log(x 2) log(x + 1) = log₂3答案：x ≈ 5.4十、三角方程46. sin(x) = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π答案：x = π/6 或5π/647. cos(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 2π答案：x = π/2 或3π/248. tan(2x) = 1, 0 ≤ x ≤ π答案：x = π/8 或5π/849. 2sin²(x) sin(x) 1 = 0答案：x = π/6, 5π/6 或7π/6, 11π/650. cos²(x) + cos(x) 2 = 0答案：x = 2π/3, 4π/3十一、综合应用题51. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，另一辆汽车以80km/h的速度行驶，两车相距100km，多久后两车相遇？答案：1小时后两车相遇。
方程练习题100道
方程练习题100道方程练习题100道方程是数学中的重要概念，它是用来描述数与数之间关系的一种数学工具。
在数学学习中，解方程是一项基本技能。
通过解方程，我们可以找到未知数的值，从而得到问题的解答。
下面我将为大家提供100道方程练习题，希望能够帮助大家提高解方程的能力。
1. 解方程：2x + 3 = 72. 解方程：4y - 5 = 113. 解方程：3z + 2 = 54. 解方程：6a - 7 = 235. 解方程：5b + 4 = 196. 解方程：8c - 3 = 377. 解方程：9d + 5 = 328. 解方程：7e - 2 = 239. 解方程：10f + 9 = 4910. 解方程：11g - 6 = 49这些是简单的一元一次方程，通过移项和化简可以得到答案。
接下来，我们来看一些稍微复杂的方程。
11. 解方程：3(x + 2) = 1512. 解方程：4(2y - 3) = 3213. 解方程：2(3z + 4) = 1814. 解方程：5(4a + 5) = 6515. 解方程：6(5b - 2) = 4816. 解方程：7(6c + 3) = 8417. 解方程：8(7d - 4) = 12018. 解方程：9(8e + 1) = 9919. 解方程：10(9f - 5) = 14020. 解方程：11(10g + 2) = 132这些方程中含有括号，我们需要先进行分配律的运算，然后再解方程。
接下来，我们来看一些带有分数的方程。
21. 解方程：2/3x = 422. 解方程：3/4y = 923. 解方程：4/5z = 824. 解方程：5/6a = 1025. 解方程：6/7b = 1226. 解方程：7/8c = 1427. 解方程：8/9d = 1628. 解方程：9/10e = 1829. 解方程：10/11f = 2030. 解方程：11/12g = 22在解这些方程时，我们需要将分数转化为整数，然后再解方程。
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数理方程练习题(作业)
数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。
2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.3. 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩的解．4. 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩5. 解在半无界问题20000(,)(0,)sin (0)0(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪==≤≤∞⎨⎪=≥⎪⎩6. 求解二维Cauchy 问题222200(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩求下列函数的Fourier 变换1 0()00axe xf x a x -⎧≥=>⎨<⎩2 1||()0||a x a x x a≤⎧∏=⎨>⎩3 2()x f x e -=7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。
200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00tt xx t xx u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪==≤≤⎨⎪==≥⎩8. 散热片的横截面为矩形。
它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y vy b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩9. 求解定解问题2000cos sin 0,00,0ttxx x x x x l t t t x u a u A t lu u u u πω====⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪'==⎪⎪⎩10. 求解定解问题200sin 0,00t xx x x x l t u a u A tu u u ω===⎧-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 11. 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ω，则弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。
数理方程练习题
数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。
解 先把所给方程改写为()0ux y∂∂=∂∂ 2分 两边对x 积分，得()0()()u udx dx y y y x yϕϕ∂∂∂==+=∂∂∂⎰⎰ 4分 这里， ()y ϕ是任意函数。
再两边对y 积分，得方程的一般解为y()()()()uu dy y dy f x f x g y yϕ∂==+=+∂⎰⎰ 6分 这里，(),()f x g y 是任意两个一次可微函数。
2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.解: ,.r x r y r x r x r ∂∂===∂∂ ''(),().u x u y f r f r x r y r∂∂⇒==∂∂ 3分 因此有222'''223222'''223()()()()u x y f r f r x r ru y x f r f r y r r ∂=+∂∂=+∂ 3分 原方程化为:'''1()()0f r f r r+= 2分 故有:1212()ln r u f r c c c c ==+= 2分例1 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩R R的解．解 由定理3.1得22222()()1u(x, t)cos 221cos sin x atx atx at x at d a x a t x ataξξ+-++-=+=++⎰例2 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩R解 由公式错误！未找到引用源。
数学方程练习题(全)
数学方程练习题(全)
本文档提供了一系列数学方程练题，旨在帮助读者巩固数学方程的理解和应用。
以下是一些例题：
1. 一元一次方程
例题1：
求解方程：3x + 5 = 14
解答：
将方程中的5移到等号右边，得到：3x = 14 - 5
计算右边的值，得到：3x = 9
将方程两边都除以3，得到：x = 3
2. 一元二次方程
例题2：
求解方程：x^2 + 4x + 4 = 0
解答：
通过因式分解或配方法，可以将方程化简为：(x + 2)^2 = 0
由于一个数的平方等于0的唯一解是0，我们得到：x + 2 = 0 将方程解出，得到：x = -2
3. 两个未知数的方程
例题3：
求解方程组：
2x + 3y = 10
x - y = 2
解答：
可以使用消元法或代入法来解此方程组。
我们先使用代入法，将第二个方程中的x表示为y的函数，得到：x = y + 2 将x的值代入第一个方程，得到：2(y+2) + 3y = 10
化简方程，得到：2y + 4 + 3y = 10
将y的系数合并，得到：5y + 4 = 10
继续化简，得到：5y = 6
最后解出y的值，得到：y = 6/5
将y的值代入x = y + 2，得到：x = (6/5) + 2
以上是本文档提供的部分数学方程练题，希望对您的数学研究有所帮助。
数学解方程100道练习题
数学解方程100道练习题解题方法一：平方差公式法1. 解方程：x² - 9 = 02. 解方程：4x² - 16 = 03. 解方程：9x² - 4 = 04. 解方程：25x² - 49 = 05. 解方程：16x² + 9 = 06. 解方程：36x² + 25 = 07. 解方程：9x² - 16 = 08. 解方程：4x² - 25 = 09. 解方程：64x² - 16 = 010. 解方程：49x² - 4 = 0解题方法二：配方法11. 解方程：x² - 7x + 12 = 012. 解方程：x² + 5x + 6 = 013. 解方程：x² - 6x + 5 = 014. 解方程：x² + 6x + 9 = 015. 解方程：x² + 4x + 3 = 016. 解方程：x² - 4x + 4 = 017. 解方程：x² + 2x - 3 = 018. 解方程：x² - 9x + 14 = 019. 解方程：x² - 8x + 15 = 020. 解方程：x² + 3x - 10 = 0解题方法三：因式分解法21. 解方程：(x + 3)(x - 4) = 022. 解方程：(x - 2)(x + 7) = 023. 解方程：(x - 5)(x + 5) = 024. 解方程：(x + 1)(x + 4) = 025. 解方程：(x - 3)(x + 3) = 026. 解方程：(x + 2)(x - 2) = 027. 解方程：(x + 6)(x - 6) = 028. 解方程：(x - 9)(x + 9) = 029. 解方程：(x + 8)(x - 8) = 030. 解方程：(x - 7)(x + 7) = 0解题方法四：二次方程求根公式法31. 解方程：x² + 6x + 5 = 032. 解方程：x² - 4x + 4 = 033. 解方程：x² + 2x - 8 = 034. 解方程：x² + 5x + 6 = 035. 解方程：x² + 3x - 18 = 036. 解方程：x² + x - 12 = 037. 解方程：x² - 6x + 9 = 038. 解方程：x² - 9x + 20 = 039. 解方程：x² - 7x + 12 = 040. 解方程：x² - 8x + 15 = 0解题方法五：恒等变形法41. 解方程：3(x - 2) = 2x + 142. 解方程：2(x + 3) = 3x + 443. 解方程：(x - 4)² = 1644. 解方程：2(x + 5) - 3(x - 1) = 445. 解方程：5(x + 1) - (2x - 3) = 446. 解方程：4(2x - 3) - 3(4x + 5) = 847. 解方程：(2x - 1)³ = 12548. 解方程：(3x - 2)² = 4949. 解方程：√(x + 2) = 450. 解方程：2√(2x - 1) - 3 = 7解题方法六：代入法51. 解方程：2x + 3 = 752. 解方程：3x - 5 = 1653. 解方程：4x² + 3x = 754. 解方程：2x² - 5x + 3 = 055. 解方程：5x² + 2x = 356. 解方程：3x² - 4x + 1 = 057. 解方程：16x² + 8x - 1 = 058. 解方程：9x² - 12x + 4 = 059. 解方程：25x² - 14x - 3 = 060. 解方程：36x² + 30x - 5 = 0解题方法七：对数法61. 解方程：log₂(x + 3) = 262. 解方程：log₄(x - 2) = 363. 解方程：ln(x + 1) = 464. 解方程：log₇(x + 2) = 165. 解方程：log₅(x - 1) = 266. 解方程：log₃(x + 1) + log₃(x - 1) = 267. 解方程：log₆(2x - 1) + log₆(3x + 1) = 268. 解方程：log₈(x - 4) = 369. 解方程：log₂(x + 1) - log₂(x - 1) = 170. 解方程：log₉(2x - 1) - log₉(x - 1) = 1解题方法八：绝对值法71. 解方程：|x + 3| = 572. 解方程：|x - 4| = 373. 解方程：|x + 2| + |x - 2| = 674. 解方程：|x - 5| + |x + 5| = 1075. 解方程：2|x - 3| = 876. 解方程：3|x + 4| = 977. 解方程：|x - 9| = 778. 解方程：4|x + 8| = 3279. 解方程：|x - 7| - |x + 7| = 080. 解方程：|x + 6| - |x - 6| = 0解题方法九：分式方程法81. 解方程：(x + 2)/(3x - 1) = 4/382. 解方程：(2x - 1)/(x + 3) = 5/283. 解方程：(5x - 2)/(x - 4) = 3/284. 解方程：(3x + 1)/(2x - 3) = 7/585. 解方程：(x + 1)/(4x + 3) = 2/586. 解方程：(2x - 3)/(x + 2) - 3/(2x + 3) = 187. 解方程：(3x + 1)/(4x - 5) + 2/(3x - 1) = 17/1288. 解方程：2/(x + 3) + 3/(2x - 1) = 5/289. 解方程：(x - 2)/(4x + 5) - (2x - 3)/(5x + 2) = 1/390. 解方程：(2x + 1)/(x - 2) + (3x - 2)/(x + 3) = 5解题方法十：根号方程法91. 解方程：√(4x + 5) = 392. 解方程：√(x + 2) - 2 = 193. 解方程：√(x - 3) + 2 = 594. 解方程：√(x + 4) - √(x - 1) = 295. 解方程：√(2x + 3) = 496. 解方程：√(3x - 2) - √(2x + 1) = 297. 解方程：√(x - 1) - √(x + 2) = 198. 解方程：√(x - 4) + √(x + 3) = 699. 解方程：√(x + 1) + √(x - 1) = 4100. 解方程：√(2x + 1) + √(x - 2) = 5这些题目涵盖了数学解方程的常见方法和类型，希望通过这些练习题的练习，你能够熟练掌握解方程的技巧和方法。
数理方程第二次作业
《数理方程》第二次作业习题4.1 6、解：)2(21315),(21),(W 221)55(21,x V 120W ,0W V W 1V ,5V V V ),,(),(V ),(23220)()(20022002x at x at x t t a x t a x at x at x t tt xx tt t t t xx tt e e e at a t x t x u d d e at x d at a x a t x W t x t x u -++++==++=⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===+=-+-+--+-====⎰⎰⎰：所以，定解问题的解为）的解为：（）（）的解为：（）（）（定解问题可以分解为：ταξξττα（2）解：)1()cos(sin ),()1(2121),(W 2)cos(sin )]sin()[sin(21,x V 120W ,0W V W 10V ,sin V V V ),,(),(V ),(0)()(0)()(002002--+=-===-++=⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===+=⎰⎰⎰-+---+--====t e x at x t x u d e a d d e a t x at x at x at x t a x a t x W t x t x u t t t a x t a x t t a x t a x t t t xx tt t t t xxtt ：所以，定解问题的解为）的解为：（）（）的解为：（）（）（定解问题可以分解为：ταταατταττα 习题4.21、解：这是端点固定的半无界弦振动问题，从半无界域奇延拓到整个无界域有：()()⎩⎨⎧<-≥=ψ=Φ0,cos 0,cos ,sin x x x x x x x定解问题变为无界弦自由振动的定解问题()()()()⎩⎨⎧ψ=Φ==x x u x x u u a u t xx tt 0,,0,2由d ’Alembert 公式得()()()[]()()()[]()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+-++=ψ+-Φ++Φ=⎰⎰⎰+-+-+-at x x at atx atx atx atx a x t d aa xt d a at x at x d a at x at x t x u ,cos 21,cos 21sin sin 212121,ξξξξξξ()()[]()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--+≤--++-++=ax t x at at x a a x t at x at x aat x at x ,sin sin 21,sin sin 21sin sin 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+=a x t a at x a xt aat x at x ,cos sin ,sin cos cos sin2、解：这是端点自由的半无界弦振动问题，可由)()(21at x f at x f u -++= 开始讨论，由初始条件求得当0≥x 时的)()(21x f x f 和都是0，但x-at 可正可负。
数理方程作业答案
1．一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长 度的重力为ρ g ，其ρ 中是弦的线密度，g 是重力加速 度。
若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。
解：（1）设弦的微震动方程为：22222(,)u u f x t t xα∂∂=+∂∂ 依题意(,)f x t =-g ，所以弦的微震动方程为：22222u u g t xα∂∂=-∂∂ （2）根据所给图形，利02()(,)|t L x u x t hL=-= 依题意，刚开始时，v=0.，所以0(,)|0t u x t t=∂=∂又弦的两端固定，所以0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 所以定解问题为：22222u u g t xα∂∂=-∂∂ 02(,)|t x u x t hL == 02Lx ≤≤ 02()(,)|t L x u x t h L =-= 2Lx L ≤≤0(,)|0t u x t t=∂=∂ 用相似三角形，得：当02L x ≤≤，02(,)|t xu x t h L==；当2L x L ≤≤时，0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t ==2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。
试证明导线内的热传导方程为：222u ucp k j r t x∂∂-=∂∂其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数解：设导线内的热传导方程为：22(,)u k uf x t t c x ρ∂∂=+∂∂ 依题意，(,)f x t =2j rc ρ将其代入得222u ucp k j r t x∂∂-=∂∂3．长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、 热传导系数为k 、比热为c 。
（1）推导出杆的热传导方程；（2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位面积流入 的热量为q ），已知杆的初始温度分布为()2x L x - ，试写出相应的定解问题。
50道方程练习题有答案
50道方程练习题有答案方程是数学中非常重要的概念，它是描述数学关系的一种工具。
解方程是数学学习中的一项基本技能，也是培养逻辑思维和解决问题能力的重要手段。
今天，我们将介绍50道方程练习题，并附上答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握方程的解法。
题目1：求解方程2x + 3 = 7。
解答：将方程转化为x的形式，得到x = (7 - 3)/2 = 2。
题目2：求解方程3x - 5 = 4。
解答：将方程转化为x的形式，得到x = (4 + 5)/3 = 3。
题目3：求解方程4x + 2 = 6。
解答：将方程转化为x的形式，得到x = (6 - 2)/4 = 1。
题目4：求解方程5x - 3 = 7。
解答：将方程转化为x的形式，得到x = (7 + 3)/5 = 2。
题目5：求解方程6x + 4 = 10。
解答：将方程转化为x的形式，得到x = (10 - 4)/6 = 1。
......（省略若干题目）通过以上的练习题，我们可以看到解方程的基本思路就是将方程转化为x的形式，然后求解x的值。
在这个过程中，我们需要运用一些基本的数学运算，如加减乘除等。
同时，我们还需要注意方程中的系数和常数项，以便正确地进行计算。
除了一元一次方程外，还有一些其他类型的方程，如二元一次方程、一元二次方程等。
这些方程在解法上略有不同，但基本的思路是相似的。
下面，我们来看一道二元一次方程的例题。
题目6：求解方程2x + y = 5，x - y = 1。
解答：首先，我们可以通过第二个方程得到x = y + 1。
将此结果代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5，化简得到3y + 2 = 5，再进一步化简得到y = 1。
将y的值代入x = y + 1中，得到x = 1 + 1 = 2。
因此，方程的解为x = 2，y = 1。
通过以上的练习题，我们可以锻炼自己的解方程能力，提高数学思维和逻辑推理能力。
解方程是数学学习中的一项基本技能，也是解决实际问题的重要工具。
一元一次解方程数学题100道
一元一次解方程数学题100道1.小明去商店买文具，一支铅笔的价格是x元，他买了5支铅笔，付给售货员10元，找回2.5元，求一支铅笔的价格是多少？2.一个数加上5等于12，求这个数。
3.小红的年龄的3倍是21岁，求小红的年龄。
4.某数减去3等于7，这个数是多少？5.一个数的2倍加上3等于11，求这个数。
6.小敏有若干颗糖果，她分给朋友10颗后还剩下15颗，问小敏原来有多少颗糖果？设小敏原来有x颗糖果。
7.一辆汽车以每小时x千米的速度行驶，3小时行驶了180千米，求汽车的速度。
8.一个数除以4等于9，求这个数。
9.有一个数，它的5倍减去8等于17，求这个数。
10.甲有x元钱，乙比甲多5元，乙有12元，求甲有多少钱？11.某数的6倍加上2等于20，求这个数。
12.一个长方形的长是x米，宽是3米，周长是16米，求长是多少米？13.一个数减去8后乘以3等于15，求这个数。
14.小明的体重是x千克，他比小红重5千克，小红体重30千克，求小明的体重。
15.某数的一半加上7等于15，求这个数。
16.一支钢笔的价格是x元，一支圆珠笔比钢笔便宜3元，圆珠笔价格是5元，求钢笔的价格。
17.一个数的4倍减去10等于2，求这个数。
18.有一块地，长是x米，宽是2米，面积是10平方米，求长是多少米？19.一个数加上6后除以2等于8，求这个数。
20.小磊有x本书，他给了同学3本后还剩下8本，求小磊原来有多少本书？21.某数的3倍加上5等于14，求这个数。
22.一个数的7倍减去12等于9，求这个数。
23.小李的速度是每小时x千米，他跑了5小时的路程是100千米，求小李的速度。
24.一个数除以5再加上3等于7，求这个数。
25.有一个数，它的8倍加上4等于28，求这个数。
26.小王有x元钱，他花了8元后还剩下10元，求小王原来有多少钱？27.某数的9倍减去3等于24，求这个数。
28.一个数加上9后乘以2等于26，求这个数。
29.小张的身高是x厘米，他比小赵高5厘米，小赵身高160厘米，求小张的身高。
电子科大 数理方程(谷超豪)作业4
P746.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板)0,0b y a x ≤≤≤≤（上的稳定温度分布：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====∂∂+∂∂.0),(,sin )0,(0),(),0(02222b x u a x x u y a u y u y uxu π 解：令)()(),(y Y x X y x u =代入方程 ，得λ-=''-=''YY x X x X )()(再由一对齐次边界条件0),(),0(==y a u y u 得0)()0(==a X X由此得边值问题 ⎩⎨⎧===+''0)()0(0a X X X X λ由第一章讨论知，当2)(an n πλλ==时，以上问题有零解 .s i n )(x an x X n π= ),2,1( =n又 0)(2=-''n n Y an Y π求出通解，得yan n yan n n eB eA Y ππ-+=所以 ∑∞=-+=1.s i n)()(n ya n n yan n x an eB eA y x u πππ，由另一对边值，得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=∑∑∞=-∞=11s i n )(0s i n )(s i n n b a n n b a n n n n n x a n e B e A x a n B A a xπππππ 由此得，⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=+-,2,10,3,20111n e B e A n B A B A ba n nb a n nn n ππ，解得 bashe A baππ--=211 bashe B baππ211=,3,20===n B A n n代入),(y x u 的表达式得x ae e bash y x u y b ay b aππππsin)(121),()()(----⋅=x ay b xsh bashπππsin)(1-=P794．证明当u(M)在闭曲面Γ的外部调和，并且在无穷远处成立着 ))(1(),1()(2∞→=∂∂=oM oMoMr r o ru r o M u则公式(2.6)仍成立，但0M 是Γ外的任一点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数理方程练习题一（2009研）
1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程
2
0u x y
∂=∂∂
的一般解。
2. 设
u f = 满足Laplace 方程
2
2
22
u u x
y
∂∂∂∂+
=
求函数u.
3. 求Cauchy 问题
2
20
00(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩R R
的解．
4. 求解Cauchy 问题
200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪
≥⎧⎨
==⎨
⎪<⎩⎩
R
5. 解在半无界问题
20000(,)(0,)sin (0)0
(0)tt xx
t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪
==≤≤∞⎨⎪
=≥⎪⎩R
6. 求解二维Cauchy 问题
2
2
2
2
00
0(,,)(0,)
()
(,)tt t
t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨
==+∈⎪⎩R R
求下列函数的Fourier 变换
1 0()00
ax
e x
f x a x -⎧≥=>⎨
<⎩
2 1||()0
||a x a x x a
≤⎧∏=⎨
>⎩
3 2
()x f x e -=
7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研
究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。
200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00
tt xx t x
x u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪
==≤≤⎨⎪==≥⎩
8. 散热片的横截面为矩形。
它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则
处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题
0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y v
y b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪
==<<⎨⎪==<<⎩
9. 求解定解问题
2
000co s sin 0,0
0,
0tt
xx x x x x l t t t x u a u A t l
u u u u πω====⎧-=⎪⎪⎪
==⎨⎪
'==⎪⎪⎩
10. 求解定解问题
200sin 0,00
t xx x x x l t u a u A t
u u u ω===⎧-=⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎩ 11. 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ω，则弦的初始位移和初始速度都是零，
求弦的振动。
这个定解问题是
200000,sin 0,0
tt xx x x l t t t u a u u u A t u u ω====⎧-=⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩ 12. 在圆域0ρρ<上求解泊松方程的边值问题
22
()
u a b x y u c ρρ=⎧∆=+-⎪⎨
=⎪⎩ 13. 在矩形域0,0x a y b ≤≤≤≤上求解泊松方程的边值问题
00
20,00,0
x x a
y yx b
u u u u u ====⎧∆=-⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩
14. 求解固有值问题
''''
0()
()()0y y l x l y l y l λ⎧+=-<<⎨-==⎩
15. 求解定解问题
22
222
(0,0),(,0)(,)0,(0,)(),(0,)().
t
u u
a x l t t x u t u t l u x x u x x ϕψ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪
==⎨
⎪==⎪⎪⎩
16. 求解定解问题
(,0),
(0,)(),(0,)()()tt xx t u a u x t u x x u x x x ϕψ⎧=-∞<<+∞>⎨==-∞<<+∞⎩
17. 求解定解问题
22
222
(0,0),(,0)(,)0,(0,)(),(0,)().
t
u u
a x l t t x u t u t l u x x u x x ϕψ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪
==⎨
⎪==⎪⎪⎩
18. 解环形域2222
a x y
b ≤+≤内的定解问题
2222222222
22
12(),|1,|0.x y a x y b u u x y x y u u n +=+=⎧∂∂+=-⎪⎪∂∂⎨∂⎪
==⎪∂⎩
19. 解固有值问题
2'''0(0),
(1)()0.x y xy y x e y y e λ⎧++=<<⎨
==⎩。