C1-7(振动)

5月25日，江西省新建县南矶乡，一艘大渔船搁浅在 鄱阳湖湖底草坪上，湖水干涸，湖草生长茂盛。鄱 阳湖是中国最大的淡水湖，丰水年份水域面积最大 可达4000平方公里以上，如今却因持续干旱严重“ 瘦身”。中心湖区荒草疯长，鱼蟹死伤一地。
第三篇
振动和波动
振动和波动是横跨物理学不同领域的一种非常 普遍而重要的运动形式，振动和波的基本原理是声 学、光学、电工学等科学技术部门的理论基础
总与质点相对于平衡位置的位移成正比，方向指向平衡位置的力。
以平衡位置为坐标原点，x表示质点相对于原点的位 移，回复力为： 注意
准弹性力
F kx
离系统平衡 位置的位移
系统本身决定的常数
7.2 简谐振动的定义 二.简谐振动的微分方程 由回复力： F kx
d x 由牛顿第二定律：F ma m 2 dt
x A cos(t )
x
A0
x
A
1

t+

相位
x( t )
t
0
1 0 t 2
At
振幅矢量
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量 At ，在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
7.3 简谐振动的描述 3. 比较同频率简谐振动的步调

2
N A2 A 1 O Q M P
六.阻尼振动 受迫振动
7.4 简谐振动的能量 无阻尼弹簧振子系统
0
o x
x
以平衡位置为坐标原点
{v A sin( t )
0
x A cos( t 0 )
振动系统动能：
1 1 1 2 2 2 2 2 2 Ek mv mA sin ( t ) kA sin ( t ) 2 2 2
由 x A cos( t ) 得
dx v A sin ( t ) dt d2 x a A 2 cos( t ) 2 dt
作简谐振动的物体的位移、速度和加速度 均随时间周期性变化。
第七章 今日内容：
振动
一.简谐振动的模型
二.简谐振动的定义 三.简谐振动的描述 四.简谐振动的能量 五.简谐振动的合成
7.4 简谐振动的能量
0
o x
x
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点 振动系统势能：
1 2 1 2 E P kx kA cos2 ( t ) 2 2
振动系统机械能：
1 E E p E k kA2 恒量 2 孤立谐振动系统机械能守恒
7.4 简谐振动的能量
E-t 曲线
解： 由孤立谐振动系统机械能守恒可知 (1)
适用范围
只适用于机 械运动
Fx kx
判 d2 x 2x 0 据 dt 2 2
任何运动， 任何物理量
判 任何一个物理量如果是时间 据 x A cos( t ) 的余弦（或正弦）函数，那 么该物理量作简谐振动。 3
任何运动， 任何物理量
7.2 简谐振动的定义
例1：木块 m 放置在光滑水平面，两弹簧完全相同，
1
x
点Q的振动比点P的振动超前 相位： = 2- 1
2 1 时间： t 4. 分析振动的合成（下面讲）
7.3 简谐振动的描述
例2 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T
＝2s，其平衡位置取坐标原点。若t＝0时刻质点第一次 通过x＝－2cm处，且向x轴负方向运动，再过多久质点 第二次通过x＝－2cm处？
谐振动
振幅 角频率 初相 振动周期 相位 位移 速度 加速度
符号或表达式
A

T=2/ t+ x=Acos(t+) v=-Asin(t+) a=-2Acos(t+)
7.3 简谐振动的描述 旋转矢量法优点：
{
直观地表达谐振动的各特征量 便于解题,特别是确定初相 便于振动合成
且最初处于原长状态。若将木块沿水平方向拉离O 点， 然后放手，证明木块沿水平面的运动为简谐振动。 k F k m m F o x x o
解：假设弹簧劲度系数为k，由胡克定律
F1 F2 kx F 2F 2kx
令k=2k，则
F k x
所以根据回复力定义得证。
7.2 简谐振动的定义 四.简谐振动物体的速度和加速度
d x k x0 2 dt m
k 2得 令 m
2
2
d2 x 2x 0 2 dt
7.2 简谐振动的定义 三.简谐振动的运动方程
d x 2 x 0 2 dt
求解得运动方程： 思考
2
积分常数
x A cos(t )

运动方程可否用正弦函数描述？二者均可
利用函数关系 cos(t ) sin( t ) 2 并令
第七章 今日内容：
振动
一.简谐振动的模型
二.简谐振动的定义 三.简谐振动的描述 四.简谐振动的能量 五.简谐振动的合成
六.阻尼振动 受迫振动
7.1 简谐振动的模型 回顾中学内容：简谐振动模型
弹簧振子
集中弹性 集中质量
k
M
0
m弹 <<M, m弹略去不计
弹簧振子的回复力：
弹性力
F kx
弹簧的劲度系数
x2
t
2 超前于1
7.3 简谐振动的描述 三.旋转矢量法
A
t=t

A t=0 x
v
t
t

0
an
t
t0
t+0
o
0
x
·
x
x = A cos( t + 0)
dx v x A cos(t ) dt v x v sin(t ) R sin(t )
2
T
T 2
1 固有频率 T 2

固有周期
—— 描述振动的快慢
7.3 简谐振动的描述 3.相位t+，初相 (1)相位：确定振动系统在任意瞬时运动状态（任 意瞬时的位移和速度）的物理量。 (t+)与状态参量 x ,v有一一对应的关系
x A cos( t ); v A sin( t )
d2 x a 2 dt 2 a x an cos(t ) R cos(t )
A sin(t )
2 A cos(t )
7.3 简谐振动的描述
用旋转矢量A在坐标轴上的投影描述简谐振动
旋转矢量A与简谐振动的对应关系 旋转矢量A
模 角速度 t=0时，A与ox夹角 旋转周期 t时刻，A与ox夹角 A在ox上的投影 A端点的速度在ox上的投影 A端点的加速度在ox上的投影
( t 2 ) ( t 1 ) 2 1
同频率简谐振动的相位差等于其初相差
7.3 简谐振动的描述 注 意
同相、反相； 超前、落后。
x A1 A2 o - A2 -A1 x1
同相和反相 当 = 2k (k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相 当 = (2k+1) (k =0,1,2,…), 两振动步调相反,称反相
x2
同相
T t
A1 A2 o - A2 -A1
x
x1
x2
反相
T t
7.3 简谐振动的描述 超前和落后
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大,
称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。 超前、落后以< 的相位角来判断
A1 A2 o - A2 -A1 x x1 T
能量随时间的变化
E-x 曲线
能量随空间的变化
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep 彼此变化步调相反
7.4 简谐振动的能量
例3 一个弹簧振子，弹簧的劲度系数k=25N/m,当物
体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，求： (1)振幅； (2)位移是多大时势能和动能相等？ (3)位移是振幅的一半时，势能是多少？
弹簧的形变量
7.1 简谐振动的模型 单摆 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动 单摆的回复力：
F mg sin
mg k
l
当 很小时 sin
T
F m mg
重力的切 向分力
F k
mg，由系统决定
角位移
7.2 简谐振动的定义 一.回复力
k
o
F M
0
x
x
回复力和物体惯性交互作用形成简谐振动
x 运动方程变形为： A sin(t )
一般采用余弦函数描述简谐振动的运动方程
2
7.2 简谐振动的定义 简谐振动的定义
代表式
判 据 1
文字表述
凡物体所受回复力与位移成 正比且反向时，物体的运动 是简谐振动。 任何一个物理量对时间的二 阶导数与其本身成正比且反 号时，该物理量按简谐振动 规律变化。

0
x-t 图象为振动曲线
7.3 简谐振动的描述 二.简谐振动的特征量 初相
x A cos(t )
振幅 1. 振幅A 振幅A：物理量离开平衡位置的最大距离| xmax | 。 表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。 由
x A cos( t ) v A sin( t )
2
x0 v0


x0
v0 0 x0 v0
x
x0 v0
3 2
7.3 简谐振动的描述
利用旋转矢量
1. 画出振动曲线图
x 2 3 4 1 t=0s 11 10 O 9 3 6 9 12 t x